第05章 时间序列模型(自相关性和协整检验)

作回归时 ut-k 的系数。称之为偏相关是因为它度量了k 期 间距的相关而不考虑 k -1 期的相关。
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我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自相关 和偏自相关系数，以及Ljung-Box Q-统计量来检验序列 相关。Q-统计量的表达式为：
QLB T T 2
j 1
p
r j2 Tj
由于通常假设随机扰动项都服从均值为 0，同方差 的正态分布，则序列相关性也可以表示为：
E (ut ut s ) 0 s 0 , t 1 , 2 , , T (5.1.4)
特别的，如果仅存在
E (ut ut 1 ) 0
题。
t 1 , 2 , , T
(5.1.5)
称为一阶序列相关，这是一种最为常见的序列相关问
(5.1.2)
如果扰动项序列 ut 表现为：
cov( u t , u t s ) 0
s 0 , t 1 , 2 , , T
(5.1.3)
即对于不同的样本点，随机扰动项之间不再是完全相互独立的， 而 是 存 在 某 种 相 关 性 ， 则 认 为 出 现 了 序 列 相 关 性 (serial correlation)。 4
通常会计算出不同滞后阶数的 Q- 统计量、自相关系数
和偏自相关系数。如果，各阶 Q- 统计量都没有超过由 设定的显著性水平决定的临界值，则接受原假设，即
不存在序列相关，并且此时，各阶的自相关和偏自相
关系数都接近于0。
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反之，如果，在某一滞后阶数 p，Q-统计量超过设定
的显著性水平的临界值，则拒绝原假设，说明残差序列存 在 p 阶自相关。由于Q-统计量的 P 值要根据自由度 p 来
k ,k
r1 r k 1 r k j 1 k 1, j k j 1 k 1 k 1, j rk j j 1
k k 是在 k 阶滞后时的自相关系数估计值。
k , j k 1, j k ,k k 1,k j
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在时间序列模型的发展过程中，一个重要的特征是 对统计均衡关系做某种形式的假设，其中一种非常特殊 的假设就是平稳性的假设。通常一个平稳时间序列能够 有效地用其均值、方差和自相关函数加以描述。本章首
先通过讨论回归方程扰动项通常会存在的序列相关性问
题，介绍如何应用时间序列数据的建模方法，修正扰动 项序列的自相关性。进一步讨论时间序列的自回归移动 平均模型（ARMA模型），并且讨论它们的具体形式、 估计及识别方法。
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如果回归方程的扰动项存在序列相关，那么应用 最小二乘法得到的参数估计量的方差将被高估或者低 估。因此，检验参数显著性水平的 t 统计量将不再可信。
可以将序列相关可能引起的后果归纳为：
① 在线性估计中OLS估计量不再是有效的；
② 使用OLS公式计算出的标准差不正确；
③ 回归得到的参数估计量的显著性水平的检验不 再可信。
致随机误差项的序列相关。所以在这种情况下，要把显
著的变量引入到解释变量中。
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EViews提供了以下3种检测序列相关的方法。 1．D_W统计量检验 Durbin-Watson 统计量（简称D_W统计量）用于检 验一阶序列相关，还可估算回归模型邻近残差的线性联
系。对于扰动项 ut 建立一阶自回归方程：
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2 . 相关图和Q -统计量
1. 自相关系数 我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自相关系数 和偏自相关系数来检验序列相关。时间序列 ut 滞后 k 阶的 自相关系数由下式估计
rk
其中

T
t k 1
ut u ut k u T 2 t 1 ut u
（5.2.26）
ln( inv t ) 1 rt 1 2 ln( gnpt ) u t
t = 1, 2, , T
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应用最小二乘法得到的估计方程如下：
ˆt ln( inv t ) 0.016rt 1 0.734 ln( gnpt ) u
t =（-1.32） （154.25） R2=0.80 D.W.=0.94
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由于传统的时间序列模型只能描述平稳时间序
列的变化规律，而大多数经济时间序列都是非平稳
的，因此，由20世纪80年代初Granger提出的协整概 念，引发了非平稳时间序列建模从理论到实践的飞 速发展。本章还介绍了非平稳时间序列的单位根检 验方法、ARIMA模型的建模方法、协整理论的基本
思想及误差修正模型。
u 是序列的样本均值，这是相距 k 期值的相关系数。 称 rk 为时间序列 ut 的自相关系数，自相关系数可以部分的 刻画一个随机过程的性质。它告诉我们在序列 ut 的邻近数
据之间存在多大程度的相关性。
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2．偏自相关系数
偏自相关系数是指在给定ut-1，ut-2，…，ut-k-1的条件下，
ut 与ut-k 之间的条件相关性。其相关程度用偏自相关系数k,k 度量。在 k 阶滞后下估计偏自相关系数的计算公式如下
渐进的 2(p) 分布。
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在给定的显著性水平下，如果这两个统计量小于设
定显著性水平下的临界值，说明序列在设定的显著性水 平下不存在序列相关；反之，如果这两个统计量大于设 定显著性水平下的临界值，则说明序列存在序列相关性。
在EView软件中的操作方法：
选择View/Residual Tests/Serial correlation LM Test， 一 般 地 对 高 阶 的 ， 含 有 ARMA 误 差 项 的 情 况 执 行 Breush-Godfrey LM。在滞后定义对话框，输入要检验 序列的最高阶数。
这是偏自相关系数的一致估计。
（5.2.28）
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要得到k,k的更确切的估计，需要进行回归
u t 0 1u t 1 k 1u t k 1 k ,k u t k t
t = 1, 2, , T （5.2.29）
因此，滞后 k 阶的偏自相关系数是当 ut 对 ut-1，…，ut-k
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§5.1 序列相关及其检验 §5.1.1 序列相关及其产生的后果
对于线性回归模型
y t 0 1 x1t 2 x 2t k x kt u t
(5.1.1)
随机扰动项之间不相关，即无序列相关的基本假设为
cov( ut , ut s ) 0
s 0 , t 1 , 2 , , T
差不存在序列相关，在各阶滞后的自相关和偏自相关值都 接近于零。所有的Q-统计量不显著，并且有大的 P 值。
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例5.1: 利用相关图检验残差序列的相关性
考虑美国的一个投资方程。美国的GNP和国内私人总 投资INV是单位为10亿美元的名义值，价格指数P为GNP的 平减指数（1972=100），利息率R为半年期商业票据利息。 回归方程所采用的变量都是实际GNP和实际投资；它们是 通过将名义变量除以价格指数得到的，分别用小写字母gnp， inv表示。实际利息率的近似值 r 则是通过贴现率R减去价 格指数变化率 p 得到的。样本区间：1963年～1984年，建 立如下线性回归方程：
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§5.1.2
序列相关的检验方法
EViews提供了检测序列相关和估计方法的工具。但
首先必须排除虚假序列相关。虚假序列相关是指模型的
序列相关是由于省略了显著的解释变量而引起的。例如， 在生产函数模型中，如果省略了资本这个重要的解释变 量，资本对产出的影响就被归入随机误差项。由于资本 在时间上的连续性，以及对产出影响的连续性，必然导
p 为预先定义好的整数；备选假设是：存在 p 阶自相关。
检验统计量由如下辅助回归计算。
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（1）估计回归方程，并求出残差et
ˆ ˆ x ˆ x ˆ x et yt 0 1 1t 2 2t k kt
（2）检验统计量可以基于如下回归得到
(5.1.8)
et X t 1et 1 p et p vt
ut ut 1 t
(5.1.6)
D_W统计量检验的原假设： = 0，备选假设是 0。
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D.W .
2 ˆ ˆ ( u u ) t t 1 t 2 2 ˆ u t t 1 T
T
ˆ) 2(1
如果序列不相关，D.W.值在2附近。 如果存在正序列相关，D.W.值将小于2。 如果存在负序列相关，D.W.值将在2～4之间。 正序列相关最为普遍，根据经验，对于有大于50个观测 值和较少解释变量的方程， D.W. 值小于 1.5 的情况，说明残 差序列存在强的正一阶序列相关。
(5.1.9)
这是对原始回归因子Xt 和直到 p 阶的滞后残差的回归。 LM检验通常给出两个统计量：F 统计量和 T×R2 统计量。
F统计量是对式（5.1.9）所有滞后残差联合显著性的一种检
验。T×R2统计量是LM检验统计量，是观测值个数 T 乘以 回归方程（5.1.9）的 R2。一般情况下，T×R2统计量服从
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例5.1(续)
序列相关LM检验
LM统计量显 示，在5%的显 著性水平拒绝原 假设，回归方程 的残差序列存在 序列相关性。因 此，回归方程的
估计结果不再有
效，必须采取相 应的方式修正残 差的自相关性。
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例5.2: 含滞后因变量的回归方程扰动项序列相关的检验 考虑美国消费CS 和GDP及前期消费之间的关系，数据
第五章 时间序列模型
关于标准回归技术及其预测和检验我们已经在
前面的章节讨论过了，本章着重于时间序列模型的估 计和定义，这些分析均是基于单方程回归方法，第 9 章我们还会讨论时间序列的向量自回归模型。 这一部分属于动态计量经济学的范畴。通常是运 用时间序列的过去值、当期值及滞后扰动项的加权和 建立模型，来“解释”时间序列的变化规律。