第五章 平稳时间序列模型的建立

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模型识别举例：见Eviews操作。
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第二节 ARMA模型参数估计
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引：本章我们将讨论如下模型的参数估计：
xt = ϕ 1 xt −1 + ϕ 2 xt − 2 + L + ϕ p xt − p + at − θ 1 at −1 − L − θ q at − q
式中：xt是零均值平稳序列； at为白噪声序列。 待估计参数有： ϕ = (ϕ 1 ϕ 2 L ϕ p )′
上式是含有q+1个参数的非线性方程组，解此方程组，即 2 ˆ ˆ ˆ 可以求出各参数：ˆ a ,θ 1 ,θ 2 L ,θ q σ 方程组可以直接求解，也可以用迭代法求解。
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例，MA(1)模型参数的矩估计
设xt = at − θ 1 at −1 则由前结论可知 : ˆ γˆ 0 = σ a (1 + θ 12 ) ˆ2 (1) ˆ2 ˆ γˆ1 = −σ a θ 1 ( 2) 由(2) ÷ (1)得 : ˆ − θ1 ˆ = ρ1 ˆ 1 + θ 12 ˆ ˆ ˆ ˆ 即 : ρ1θ 12 + θ 1 + ρ1 = 0
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例1，AR(1)模型的矩估计
设xt = ϕ 1 xt −1 + at 则
γˆ k ˆ ˆ ϕ 1 = ρ1 = γˆ 0
ˆ ˆ σ = γˆ 0 (1 − ϕ 1 ρ1 )
2 a
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例2，AR(2)模型参数的矩估计
设xt = ϕ 1 xt −1 + ϕ 2 xt − 2 + at
2 待估计参数ϕ 1 , ϕ 2 , σ a
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1. 样本自相关函数截尾性的判断方法 理论上证明：若序列xt为MA(q)序列， 则k>q后，序列的样本自相关函数 ρk 渐 ˆ 近服从正态分布，即：
q 1 ˆ ˆ ρk ~ N(0, (1+ 2∑ρl2 )) n l =1
或近似的有：
1 ˆ ρk ~ N(0, ) n
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故由正态分布理论可知：
θ = (θ 1 θ 2 L θ q )′
2 σ a = E (at2 )
一、模型参数的矩方法估计
（一）基本思路 矩方法估计就是利用样本自协方差函数或样 本自相关函数对模型参数进行估计。类似于 数理统计中采用的矩方法估计。 假设序列xt是ARMA(p,q)序列，那么xt的自协 2 方差函数γ k或自相关函数 ρ k 可由模型参数 ϕ ,θ和σ 表达出来。 ˆ γ k、 ρ k 换成 γˆ k 、 ρ k ， 估计时，将公式中的 解方程组即可求出参数的矩估计值：
此时，所要估计的未知参数有p+q+1个。
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式中：
θ 0 = (1 − ϕ 1 − ϕ 2 − L − ϕ p ) µ θ0 即有 : µ = 1 − ϕ1 − ϕ 2 − L − ϕ p
在实际估计模型时，可将θ0看作一个常数估计， 若θ0显著不为0，则µ≠0，此时θ0 、 µ 有如上关系。 若θ0显著为0，则可认为µ=0，在最终模型中将此常数 项去掉即可。 一般而言，后一种方法拟合的效果较好。
ˆ 代替 ρ k ，并解上述方程组，就可得： 用 ρk
ˆ ϕ1 1 ϕ ρ ˆ1 ˆ2 = M L ϕ p ρ p −1 ˆ ˆ ˆ ρ1 1 ˆ ρ p −2 ˆ ρ2 ˆ ρ1 ˆ ρ p −3 ˆ L ρ p−2 ˆ L ρ p −3 L L ˆ ρ1 ˆ ˆ ρ p −1 ρ1 ˆ p −2 ρ 2 ρ ˆ L 1 M ρ p ˆ
设平稳序列xt的均值为µ , 其适应性模型为ARMA( p, q),即 : ( xt − µ ) − ϕ 1 ( xt −1 − µ ) − L − ϕ p ( xt − p − µ ) = at − θ 1 at −1 − θ 2 at − 2 − L − θ q at − q
将上式展开得：
xt − ϕ 1 xt −1 − L − ϕ p xt − p = θ 0 + at − θ 1 at −1 − θ 2 at − 2 − L − θ q at − q
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二、模型识别方法
（一）平稳序列模型识别要领 零均值平稳序列模型识别的主要根据是 序列的自相关函数(ACF)和偏自相关函 (ACF) 数(PACF)的特征。 (PACF) 若序列xt的偏自相关函数φ kk 在k>p以后 φ kk 截尾，即k>p 时， = 0，而且它的自相 关函数ρ k拖尾，则可判断此序列是AR(p) 序列。
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解一元二次方程式得 : ˆ − 1 ± 1 − 4 ρ12 ˆ = θ1 ˆ 2 ρ1 由MA可逆性知, θ 1 < 1, 所以 : ˆ − 1 + 1 − 4 ρ12 ˆ = θ1 ˆ 2 ρ1 将(3)式代入(1)式解得 : ˆ2 σ a = γˆ 0 ˆ 1 + 1 − 4 ρ12 2 (3)
由前推导的一般公式得 ˆ ˆ ˆ ˆ ρ1 = ϕ 1 + ρ1ϕ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ρ 2 = ρ1ϕ 1 + ϕ 2 求解得 : ˆ ˆ ρ (1 − ρ 2 ) ˆ ϕ1 = ˆ 1 − ρ12 ˆ ˆ ρ 2 − ρ12 ˆ ϕ2 = ˆ 1 − ρ12
ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ σ a = γˆ 0 (1 − ϕ 1 ρ1k n
在实际进行检验时，可对每个k>0，分 ˆ ,L, φ 别检验 φˆ , φˆ （通常 1 ˆ n φ > 取 m = n或m = ）中满足 n 的个数 10 所占的百分比是否超过31.7%，或满足 2 ˆ φ > n 的个数是否超过4.5%。 若k=1,2,…p-1都超过了，而k=p时未超过，
ˆ P( ρk < ˆ P( ρk < 1 n 2 n ) = 68.3% ) = 95.45%
此处n是样本容量。
对于k>q，若 的个数不超过总个数的31.7%， n 2 ˆ ρ > 或 的个数不超过总个数的4.5%，就可 n ˆk 认为 ρ在k>q时是截尾的。
k
ˆ ρk >
1
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在实际进行检验时，可对每个k>0，分 ˆ ˆ ˆ 别检验 ρ k +1 , ρ k + 2 , L , ρ k + m （通常 1 n ˆ ρ > 取 m = n或m = ）中满足 的个数 n 10 所占的百分比是否超过31.7%，或满足 2 ˆ ρ > n 的个数是否超过4.5%。 若k=1,2,…q-1都超过了，而k=q时未超过，
k +1, k +1 k + 2,k + 2 k + m,k + m
kk
kk
ˆ 就可认为φ kk在k>q时是截尾的。
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（三）关于ARMA序列阶数的确定
ARMA序列的阶数，直接通过自相关图较 难确定，较常用的方法有Pandit-Wu方法 (后将介绍)或延伸自相关函数(EACF)法。
（延伸自相关函数可参见P217附录I）
第五章 平稳时间序列模型的建立
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引： 对平稳时间序列建立模型一般要经过以下几步： 1.模型识别：根据系统性质，以及所及所提供的 时序据的概貌，提出一个相适的类型的模型。 2.模型参数估计：就是根据实际的观测数据具体 地确定该数学模型所包含的项数以及各项系数 的数值。 3.模型的诊断检验：包括模型的适应性检验，模 型的定阶等等。 4.模型的应用：如预测。 本章主要介绍前三部分的内容。
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（二） AR(p)模型参数的矩估计
设序列xt经过模型识别，确定为AR(p) 模型。 xt = ϕ 1 xt −1 + ϕ 2 xt − 2 + L + ϕ p xt − p + at 由第四章有如下结论：
ρ k = ϕ 1 ρ k −1 + ϕ 2 ρ k −2 + L + ϕ p ρ k − p
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序列的非平稳包括均值非平稳和方差非 平稳。 均值非平稳序列平稳化的方法：差分变 换。 方差非平稳序列平稳化的方法：对数变 换、平方根变换等。 序列平稳性的检验方法和手段主要有： 序列趋势图、自相关图、非参数检验方 法、单位根检验等等。 有关内容的详细说明参见上机实习3。
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（二）关于非零均值的平稳序列
非零均值的平稳序列有两种处理方法： 设xt为一非零均值的平稳序列，且有E(xt)=µ 方法一:用样本均值 x 作为序列均值µ的估计， 方法一 建模前先对序列作如下处理： 令 wt = xt − x 然后对零均值平稳序列wt建模。
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方法二 在模型识别阶段对序列均值是否为零不 予考虑，而在参数估计阶段，将序列均 值作为一个参数加以估计。 以一般的ARMA(p,q)为例说明如下：
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第一节 平稳时间序列模型的识别
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一、模型识别前的说明
（一）关于非平稳序列 本章所介绍的是对零均值平稳序列 零均值平稳序列建立 零均值平稳序列 ARMA模型，因此，在对实际的序列进 行模型识别之前，应首先检验序列是否 平稳，若序列非平稳，应先通过适当变 换将其化为平稳序列，然后再进行模型 识别。
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（三）关于平稳序列均值是否为零的检 验。 方法一 为检验µ =E(xt)=µ=0
可将样本均值 和均值的标准差 S x 进行比较， 若样本均值落在 0 ± S x 的范围内，则可认为 是零均值过程。 S x 的般公式和几种特殊情况下的计算公式 参见课本P90~91.
x
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方法二：同说明（二）在的方法二
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于是可得如下的Yule-Walk方程：
ρ1 = ϕ 1 ρ 0 + ϕ 2 ρ1 + L + ϕ p ρ p −1 ρ 2 = ϕ 1 ρ1 + ϕ 2 ρ 0 + L + ϕ p ρ p −2 L ρ p = ϕ 1 ρ p −1 + ϕ 2 ρ p − 2 + L + ϕ p ρ 0