第五章时间序列的模型识别汇总
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5时间序列模型
方差函数： 自协方差函数：
? ? 2 t
?
D(Y) t
?
?
[ yE?
??
(Y) td]2 FYt ( y)
?? Cov(Yt ,Ys ) ??E ???Yt EYt ??Ys ??EYs ??? t,s ? (t, s)
自相关函数（ACF)：
? ?ts, ? ?? ts, ?
?(ts,) ??tt, ????s,
模型
? 完善阶段 ：
? 异方差场合
? Robert F.Engle，1982年，ARCH模型 ? Bollerslov，1986年GARCH模型
? 多变量场合
? C.A.Sims等，1980年，向量自回归模型 ? C.Granger ，1987年，提出了协整（co-integration）理论
模拟时间序列数据：
8
? 随机过程与时间序列的关系如下所示：
随机过程: {y1, y2, …, yT-1, yT,} 第1次观测：{y11, y21, …, yT-11, yT1} 第2次观测：{y12, y22, …, yT-12, yT2}
???? ? 第n次观测：{y1n, y2n, …, yT-1n, yTn}
一般的，对于任意 m ? N,,t,1 t2 L , tm ? T,Yt1 ,L ,Ytm 的联合分布函数为：
FYt1 ,Yt2 ,L ,Ytm ( y1 ,,y,)2 L ymP ?? (Yt1 y1Y,,L tm ? ym )
均值方程：
? ?t ? E(Yt ) ?
?
?? ydFYt ( y)
9
2、随机过程的分布及其数字特征
设{Yt}为一个随机过程，对任意一个 t ? T ，Yt的分布函数为：
第五章 时间序列模型
第五章 时间序列模型
5.时间序列模型
5.1 时间序列 5.2 自回归(AR)模型 5.3 滑动平均(MA)模型 5.4 自回归滑动平均(ARMA)模型
2/40
5.1 时间序列
数字化技术的应用和发展使得随机序列的分析变得日
益广泛和重要，并由平稳随机过程在时间轴上的 取样引
出平稳离散随机信号或时间序列的概念。对于这类随机序 列，主要采用相关函数和功率谱进行分析。对于平稳离散 时间信号，还常用时间序列描述方法进行研究，由此提出 时间序列模型法。它是采用各种随机差分方程表示时间序
当 z1, 2 1 时，上式右边齐次解随 n 的增大而趋于零，而特 解部分具有有限方差，在均方意义下收敛，随 n 的增大而 渐近收敛于特解公式的平稳结果。 实际上，二阶模型的平稳条件与其系数 a1和 a 2是有关
的，这可通过 a1和 a 2 平面表示。设 z1, 2 1 ，并设z1 z2 a1
1 H ( z) (1 z1 z 1 )(1 z 2 z 1 )(1 z p z 1 )
所以，AR模型的传递函数只有极点，除原点外没有任何 零点，属于全极点模型，对应于全极点滤波器，具有无限 冲激响应(IIR)。因此，模型传递函数的性质完全取决于 p
个极点在 z 平面上的分布情况。可以证明，如果所有 p 个
1 k 1 k 1 k z1 z 2 D (n) z1 z 2 k 0 k z1k 1 z 2 1 (n k ) z1 z 2 k 0
15/40
5.2 自回归(AR)模型
根据模型差分方程，零输入下得齐次方程
x(n) a1 x(n 1) a2 x(n 2) 0
11/40
5.时间序列模型
5.1 时间序列 5.2 自回归(AR)模型 5.3 滑动平均(MA)模型 5.4 自回归滑动平均(ARMA)模型
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5.1 时间序列
数字化技术的应用和发展使得随机序列的分析变得日
益广泛和重要，并由平稳随机过程在时间轴上的 取样引
出平稳离散随机信号或时间序列的概念。对于这类随机序 列，主要采用相关函数和功率谱进行分析。对于平稳离散 时间信号，还常用时间序列描述方法进行研究，由此提出 时间序列模型法。它是采用各种随机差分方程表示时间序
当 z1, 2 1 时，上式右边齐次解随 n 的增大而趋于零，而特 解部分具有有限方差，在均方意义下收敛，随 n 的增大而 渐近收敛于特解公式的平稳结果。 实际上，二阶模型的平稳条件与其系数 a1和 a 2是有关
的，这可通过 a1和 a 2 平面表示。设 z1, 2 1 ，并设z1 z2 a1
1 H ( z) (1 z1 z 1 )(1 z 2 z 1 )(1 z p z 1 )
所以，AR模型的传递函数只有极点，除原点外没有任何 零点，属于全极点模型，对应于全极点滤波器，具有无限 冲激响应(IIR)。因此，模型传递函数的性质完全取决于 p
个极点在 z 平面上的分布情况。可以证明，如果所有 p 个
1 k 1 k 1 k z1 z 2 D (n) z1 z 2 k 0 k z1k 1 z 2 1 (n k ) z1 z 2 k 0
15/40
5.2 自回归(AR)模型
根据模型差分方程，零输入下得齐次方程
x(n) a1 x(n 1) a2 x(n 2) 0
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《时间序列模型识别》课件
常用的时间序列模型同样包括ARIMA 、SARIMA、VAR、VARMA等，这些 模型能够考虑利率的季节性、周期性 等特点，提高利率预测的准确度。
外汇汇率预测
外汇汇率预测是时间序列模型的又一重要应用。通过分析历史外汇汇率数据，时 间序列模型可以预测未来的汇率走势，帮助投资者制定外汇交易策略。
常用的时间序列模型同样适用于外汇汇率预测，如ARIMA、SARIMA、VAR、 VARMA等。这些模型能够捕捉外汇汇率的动态变化规律，为投资者提供有价值 的参考信息。
总结词
气候变化趋势分析是全球气候治理的重要基 础，利用时间序列模型可以对气候变化趋势 进行定量评估，为政策制定提供科学依据。
详细述
通过长时间尺度的历史气候数据，建立时间 序列模型，并利用该模型分析气候变化的趋 势。分析结果可以为应对气候变化、制定减 排政策等提供决策支持。
06
时间序列模型在生产领域 的应用
解释性
选择易于解释的模型，有助于 理解时间序列数据的内在规律 。
计算效率
考虑模型的计算效率和可扩展 性，以便在实际应用中快速处
理大量数据。
03
时间序列模型性能评估
预测精度评估
01
均方误差（MSE）
衡量预测值与实际值之间的平均 差异，值越小表示预测精度越高 。
02
平均绝对误差（ MAE）
计算预测值与实际值之间的绝对 差值的平均值，值越小表示预测 精度越高。
03
均方根误差（ RMSE）
将预测误差的平方和开方，反映 预测值的离散程度，值越小表示 预测精度越高。
模型稳定性评估
模型参数稳定性
评估模型参数在多次运行或不同数据集上的稳定性， 以确保模型的可靠性。
模型结构稳定性
外汇汇率预测
外汇汇率预测是时间序列模型的又一重要应用。通过分析历史外汇汇率数据，时 间序列模型可以预测未来的汇率走势，帮助投资者制定外汇交易策略。
常用的时间序列模型同样适用于外汇汇率预测，如ARIMA、SARIMA、VAR、 VARMA等。这些模型能够捕捉外汇汇率的动态变化规律，为投资者提供有价值 的参考信息。
总结词
气候变化趋势分析是全球气候治理的重要基 础，利用时间序列模型可以对气候变化趋势 进行定量评估，为政策制定提供科学依据。
详细述
通过长时间尺度的历史气候数据，建立时间 序列模型，并利用该模型分析气候变化的趋 势。分析结果可以为应对气候变化、制定减 排政策等提供决策支持。
06
时间序列模型在生产领域 的应用
解释性
选择易于解释的模型，有助于 理解时间序列数据的内在规律 。
计算效率
考虑模型的计算效率和可扩展 性，以便在实际应用中快速处
理大量数据。
03
时间序列模型性能评估
预测精度评估
01
均方误差（MSE）
衡量预测值与实际值之间的平均 差异，值越小表示预测精度越高 。
02
平均绝对误差（ MAE）
计算预测值与实际值之间的绝对 差值的平均值，值越小表示预测 精度越高。
03
均方根误差（ RMSE）
将预测误差的平方和开方，反映 预测值的离散程度，值越小表示 预测精度越高。
模型稳定性评估
模型参数稳定性
评估模型参数在多次运行或不同数据集上的稳定性， 以确保模型的可靠性。
模型结构稳定性
时间序列分析
n 1
an + 2
时间间隔不等时：加权平均法。 时间间隔不等时：加权平均法。
+ an a + a3 a a1 + a 2 f1 + 2 f 2 + + n 1 f n 1 2 2 2 a = ∑f
式中f1,f2,…,fn-1：相邻时点指标间隔的月（季）数。
序时平均数计算示例
(三)平均发展水平的计算
1.绝对数时间序列的序时平均数 绝对数时间序列 时期数列的序时平均数（简单算术平均 （ 1 ） 时期数列 简单算术平均 法）。
a =
a1 + a
2
+ + a n
n
=
∑
n
a
（2） 时点数列的序时平均数
①连续时点数列：逐日登记。 连续时点数列：逐日登记。
未分组资料: 逐日登记,每日都有数据（简单算术平 未分组资料 : 逐日登记 , 每日都有数据 简单算术平 均法）。
某企业2005年上半年统计资料
二月 126 600 三月 124 610 四月 122 640 五月 126 640 六月 128 700 七月 124 700
例5-3答案
时间间隔相等的间断时点数列, [分析] 属于时间间隔相等的间断时点数列,采用首末折 分析] 时间间隔相等的间断时点数列 首末折 半法计算。 半法 上半年平均职工人数为：
a =
a1 + a
2
+ + a n
n
=
∑
n
a
分组资料: 逐日登记, 非每日都有数据（加权算术平 分组资料 : 逐日登记 , 非每日都有数据 加权算术平 均法）。
a1 f1 + a 2 f 2 + + a n f n a = = f1 + f 2 + + f n
统计学原理第5章：时间序列分析
a a
n 118729 129034 132616 132410 124000 5
127357.8
②时点序列
若是连续时点序列： 计算方法与时期序列一样； 若是间断时点序列： 则必须先假设两个条件，分别是 假设上期期末水平等于本期期初水平； 假设现象在间隔期内数量变化是均匀的。 间隔期相等的时点序列 采用一般首尾折半法计算。 例如：数列 a i , i 0,1,2, n 有 n 1 个数据，计算 期内的平均水平 a n a n 1 a 0 a1 a1 a 2
（3）联系
环比发展速度的乘积等于相应的定基发展速度，
n n i 0 i 1 i 1
相邻两期的定基发展速度之商等于后期的环比发展速度
i i 1 i 0 0 i 1
（二）增减速度
1、定义：增长量与基期水平之比 2、反映内容：现象的增长程度 3、公式：增长速度
0.55
二、时间序列的速度分析指标
（一）发展速度 （二）增长速度 （三）平均发展水平
（四）平均增长速度
（一）发展速度
1、定义：现象两个不同发展水平的比值 2、反映内容：反映社会经济现象发展变化快慢相对程度 3、公式：v 报告期水平 100%
基期水平
（1）定基发展速度
是时间数列中报告期期发展水平与固定基期发展水平对比所 得到的相对数，说明某种社会经济现象在较长时期内总的发 展方向和速度，故亦称为总速度。 （2）环比发展速度 是时间数列中报告期发展水平与前期发展水平之比，说明某 种社会经济现象的逐期发展方向和速度。
c
a
b
均为时期或时点数列，一个时期数列一个时点数列，注意平均的时间长度 ，比如计算季度的月平均数，时点数据需要四个月的数据，而时期数据则 只需要三个月的数据。
第五章 平稳时间序列模型的建立
2. 样本偏自相关函数截尾性的判断方法
可以证明：若序列xt为AR(p)序列，则
k>p后，序列的样本偏自相关函数ˆkk 服
从渐近正态分布，即近似的有：
ˆkk
~
N (0, 1 ) n
此处n表示样本容量。于是可得：
P( ˆkk
1 ) 31.7% n
P( ˆkk
2 ) 4.5% n
在实际进行检验时，可对每个k>0，分
将上式展开得：
xt 1xt1 p xtp 0 at 1at1 2at2 qatq
此时，所要估计的未知参数有p+q+1个。
式中：
0 (1 1 2 p )
即有:
0
11 2 p
在实际估计模型时，可将θ0看作一个常数估计， 若θ0显著不为0，则μ≠0，此时θ0 、 μ 有如上关系。 若θ0显著为0，则可认为μ=0，在最终模型中将此常数 项去掉即可。
– 原假设：序列非平稳
H0：1 1
– 备择假设：序列平稳
检验统计量
H0：1 1
– –
时 1 1 时 1 1
t (1 )
ˆ1 1 S (ˆ1 )
渐近 N (0,1)
ˆ1 1 S(ˆ1)
DF统计量
1 1 时
t (1 )
ˆ1 1 S (ˆ1 )
渐近 N (0,1)
1 1 时
ˆ1 S (ˆ1
对ACF和PACF的截尾性作一判断。
1. 样本自相关函数截尾性的判断方法
理 则论k>上q后证，明序：列若的序样列本xt自为相MA关(q函)序数列ˆ k，渐
近服从正态分布，即：
ˆ k
~
N (0, 1 (1 2 q
n
时间序列的模型识别课件
时间序列的模型基础
1 自回归模型(AR)
利用过去时刻的观测值来预测未来时刻的值。
2 移动平均模型(MA)
根据过去时刻的预测误差来预测未来时刻的值。
3 自回归移动平均模型(ARMA)
结合自回归和移动平均模型的特点，适用于一般的时间序列。
时间序列的平稳性检验
1 平稳性的概念
时间序列的均值和方差在时间上保持恒定。
ARMA模型
自回归移动平均模型是自回归模型和移动平均模型的综合应用。它能够捕捉 时间序列的长期和短期动态特征。
ARIMA模型
自回归积分移动平均模型是自回归模型、差分和移动平均模型的组合应用。 它适用于具有趋势和季节性的时间序列。
季节性调整
对具有季节性的时间序列进行季节性调整可以消除季节性的影响，使时间序 列更具可预测性。
时间序列的模型识别ppt 课件
时间序列是按照时间顺序排列的数据集合，它具有趋势、季节性和周期性等 特征。本课程将介绍时间序列的基础概念和模型识别方法，帮助您更好地理 解和应用时间序列分析。
介绍时间序列
时间序列是按照时间顺序排列的数据集合，常见于经济、金融、气象等领域。了解时间序列的基 本概念和特征对于进行模型识别和预测至关重要。
2 单位根检验
用于判断时间序列是否具有单位根，进而确定是否为平稳序列。
3 差分
通过对时间序列进行差分，将非平稳序列转化为平稳序列。
AR模型
自回归模型是基于过去时刻的观测值进行预测的模型。它的特点是具有记忆性，各个时刻的值受 前面时刻的影响。
MA模型
移动平均模型是根据过去时刻的预测误差进行预测的模型。它的特点来自对预 测误差有很好的适应能力。
时间序列的模型识
时间序列的模型识别
• 时间序列的基本概念 • 时间序列的模型 • 时间序列的模型识别方法 • 时间序列的预测 • 时间序列的应用
01
时间序列的基本概念
时间序列的定义
总结词
时间序列是指按照时间顺序排列的一系列观测值。
详细描述
时间序列是按照时间顺序排列的一系列数据点，可以是数字、文本或其他类型 的数据。这些数据点通常表示在某个特定时间点上的测量值或观察结果。
详细描述
参数法通常需要预先设定一些数学模型，如AR模型、MA模型、ARMA模型等，然后通过最小二乘法 、最大似然估计等方法估计模型的参数。如果实际数据与某个模型的拟合度较高，则认为该模型适用 于该时间序列。
图形法
总结词
图形法是一种直观的方法，通过绘制时间序 列的图形和各种统计量来识别模型。
详细描述
图形法包括绘制时间序列的时序图、自相关 图、偏自相关图等，以及计算各种统计量如 峰度、偏度等。通过观察图形的特征和统计 量的值，可以初步判断时间序列的模型类型。
信息准则法
总结词
信息准则法是一种基于信息论的方法，通过比较不同模型的复杂度和拟合度来选择最优 模型。
详细描述
信息准则法包括AIC准则、BIC准则等，它们通过计算模型的复杂度和拟合度来选择最 优模型。复杂度越小、拟合度越高的模型被认为是更好的模型。信息准则法可以自动选
详细描述
差分自回归移动平均模型
ARIMA模型
总结词
详细描述
总结词
详细描述
自回归积分滑动平均模 型
ARIMA模型是一种结合 了自回归、积分和移动 平均三种模型的混合模 型。它通过同时考虑时 间序列中的过去值、过 去误差值和时间序列的 非平稳性来预测未来值 。
• 时间序列的基本概念 • 时间序列的模型 • 时间序列的模型识别方法 • 时间序列的预测 • 时间序列的应用
01
时间序列的基本概念
时间序列的定义
总结词
时间序列是指按照时间顺序排列的一系列观测值。
详细描述
时间序列是按照时间顺序排列的一系列数据点，可以是数字、文本或其他类型 的数据。这些数据点通常表示在某个特定时间点上的测量值或观察结果。
详细描述
参数法通常需要预先设定一些数学模型，如AR模型、MA模型、ARMA模型等，然后通过最小二乘法 、最大似然估计等方法估计模型的参数。如果实际数据与某个模型的拟合度较高，则认为该模型适用 于该时间序列。
图形法
总结词
图形法是一种直观的方法，通过绘制时间序 列的图形和各种统计量来识别模型。
详细描述
图形法包括绘制时间序列的时序图、自相关 图、偏自相关图等，以及计算各种统计量如 峰度、偏度等。通过观察图形的特征和统计 量的值，可以初步判断时间序列的模型类型。
信息准则法
总结词
信息准则法是一种基于信息论的方法，通过比较不同模型的复杂度和拟合度来选择最优 模型。
详细描述
信息准则法包括AIC准则、BIC准则等，它们通过计算模型的复杂度和拟合度来选择最 优模型。复杂度越小、拟合度越高的模型被认为是更好的模型。信息准则法可以自动选
详细描述
差分自回归移动平均模型
ARIMA模型
总结词
详细描述
总结词
详细描述
自回归积分滑动平均模 型
ARIMA模型是一种结合 了自回归、积分和移动 平均三种模型的混合模 型。它通过同时考虑时 间序列中的过去值、过 去误差值和时间序列的 非平稳性来预测未来值 。
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ˆkk ~ N 0, 1 T
这样根据正态分布的性质，我们有
（5.5）
P
ˆkk
1
68.3%
T
（5.6）
P
ˆkk
2
95.5%
T
（5.7）
这样，关于偏自相关系数 kk 的截尾性的判断，转化为利用上述性质（5.6）或者（5.7），
可以判断 ˆkk 的截尾性。具体方法为对于每一个 p>0，考查p1, p1 ， p2, p2 ，…， pM , pM
内容，一个比较直观的方法，就是通过观察自相关系数（ACF）和偏自相关系数（PACF）
可以对拟合模型有一个初步的识别，这是因为从理论上说，平稳 AR、MA 和 ARMA 模型的
ACF 和 PACF 有如下特性：
模型（序列）
AR(p)
MA(q)
ARMA(p,q)
自相关系数（ACF） 拖尾
q 阶截尾
拖尾
偏自相关系数（PACF） p 阶截尾
第五章 时间序列的模型识别
前面四章我们讨论了时间序列的平稳性问题、可逆性问题，关于线性平稳时间序列模型， 引入了自相关系数和偏自相关系数，由此得到 ARMA(p, q)统计特性。从本章开始，我们将 运用数据开始进行时间序列的建模工作，其工作流程如下：
1. 模型识别 用相关图和偏相关图识别模型 形式（确定参数 p, q）
T
1 k
T k j 1
xj x
xjk x , 1 k T 1
(5.3)
ˆk ˆk , 1 k T 1
在上述两种估计中，当样本容量T 很大，而 k 的绝对值较小时，上述两种估计值相差不 大，其中由(5.1)定义的第一种估计值的绝对值较小。根据前面章节的讨论，因为 AR( p )，
MA( q )或者 ARMA( p, q )模型的自协方差系数 k 都是以负指数阶收敛到零，所以在对平
其中 x
1 T
T
x j 为样本均值，则样本自协方差系数ˆk 是Xt 的自协方差系数 k 的估
j 1
计。样本自相关系数定义为
ˆk ˆk ˆ0 , k T 1
(5.2)
是Xt 的自相关系数k 的估计。
作为Xt 的自协方差系数 k 的估计，根据数理统计知识，样本自协方差系数还可以
写为
2 / 17
ˆk
截尾性，进而由此可以给出模型的初步识别。首先，我们需要给出样本的自相关系数 ˆk 和
偏自相关系数 ˆkk 的定义。
设平稳时间序列Xt 的一个样本 x1, , xT 。则样本自协方差系数定义为ˆkFra bibliotek1 T
T k j 1
xj x
xjk x , 1 k T 1
(5.1)
ˆk ˆk , 1 k T 1
对于线性平稳时间序列模型来说，模型的识别问题就是确定 ARMA(p,q)过程的阶数， 从而判定模型的具体类别，为我们下一步进行模型的参数估计做准备。所采用的基本方法主 要是依据样本的自相关系数（ACF）和偏自相关系数（PACF）初步判定其阶数，如果利用 这种方法无法明确判定模型的类别，就需要借助诸如 AIC、BIC 等信息准则。我们分别给 出几种定阶方法，它们分别是（1）利用时间序列的相关特性，这是识别模型的基本理论依 据。如果样本的自相关系数（ACF）在滞后 q+1 阶时突然截断，即在 q 处截尾，那么我们 可以判定该序列为 MA(q)序列。同样的道理，如果样本的偏自相关系数（PACF）在 p 处截 尾，那么我们可以判定该序列为 AR(p)序列。如果 ACF 和 PACF 都不截尾，只是按指数衰 减为零，则应判定该序列为 ARMA(p,q)序列，此时阶次尚需作进一步的判断；（2）利用数 理统计方法检验高阶模型新增加的参数是否近似为零，根据模型参数的置信区间是否含零来 确定模型阶次，检验模型残差的相关特性等；（3）利用信息准则，确定一个与模型阶数有关
1 / 17
的准则函数，既考虑模型对原始观测值的接近程度，又考虑模型中所含待定参数的个数，最 终选取使该函数达到最小值的阶数，常用的该类准则有 AIC、BIC、FPE 等。实际应用中， 往往是几种方法交叉使用，然后选择最为合适的阶数(p,q)作为待建模型的阶数。
§5.1 自相关和偏自相关系数法
在平稳时间序列分析中，最关键的过程就是利用数据去识别和建模，根据第三章讨论的
稳时间序列的数据拟合 AR( p )，MA( q )或者 ARMA( p, q )模型时，希望实际计算的样本自
协方差系数ˆk 能以很快的速度收敛。因此，我们一般选择由(5.1)定义的第一种估计值作
为 k 的点估计。
根据第三章偏自相关系数的计算，利用样本自相关系数 ˆk 的值，定义样本偏自相关
系数 ˆkk 如下：
2. 参数估计 对初步选取的模型进行参数估计
3. 诊断与检验 包括参数的显著性检验和 残差的随机性检验
模型是否可取
吗 可取
停止
不可取
图 5.1 建立时间序列模型流程图
在 ARMA(p,q)的建模过程中，对于阶数(p,q)的确定，是建模中比较重要的步骤，也是比较 困难的。需要说明的是，模型的识别和估计过程必然会交叉，所以，我们可以先估计一个比 我们希望找到的阶数更高的模型，然后决定哪些方面可能被简化。在这里我们使用估计过程 去完成一部分模型识别，但是这样得到的模型识别必然是不精确的，而且在模型识别阶段对 于有关问题没有精确的公式可以利用，初步识别可以我们提供有关模型类型的试探性的考 虑。
拖尾
拖尾
但是，在实际中 ACF 和 PACF 是未知的，对于给定的时间序列观测值 x1, x2 , , xT ，我们
需要使用样本的自相关系数 ˆk 和偏自相关系数 ˆkk 对其进行估计。然而由于ˆk 和
ˆkk 均是随机变量，对于相应的模型不可能具有严格的“截尾性”，只能呈现出在某步之后
围绕零值上、下波动，因此，我们需要借助 ˆk 和 ˆkk 的“截尾性”来判断k 和kk 的
ˆkk
Dˆ k Dˆ
,
k 1, 2,
,T
(5.4)
其中
1 ˆ1
ˆ k 1
1 ˆ1
ˆ1
Dˆ ˆ1 1
ˆk2 , Dˆk ˆ1
1
ˆ2
ˆk1 ˆk2
1
ˆk1 ˆk2
ˆk
关于样本的自相关系数ˆk 的统计性质，我们将在下一章给予讨论。
Quenouille 证明， ˆkk 也满足 Bartlett 公式，即当样本容量 T 充分大时，