中考数学确定圆的条件专题练习及答案
2020年九年级数学中考《圆》综合专题复习试题(含答案)
1 ∵AH＝2AC＝ 3，
AH ∴OA＝sin60°＝2. ∴⊙O 半径的长为 2. (2)证明：在 BM 上截取 BE＝BC，连接 CE， ∵∠ABC＝120°，BM 平分∠ABC， ∴∠MBA＝∠MBC＝60°. ∵BE＝BC， ∴△EBC 是等边三角形．
∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°. ∴∠BCD＋∠DCE＝60°. ∵∠ACM＝∠ABM＝60°，∴∠ECM＋∠DCE＝60°. ∴∠ECM＝∠BCD. ∵∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°. ∴△ACM 是等边三角形．∴AC＝CM. ∴△ACB≌△MCE(SAS)．∴AB＝ME. ∵ME＋EB＝BM， ∴AB＋BC＝BM.
基础题组
1．(2019·保定一模)已知⊙O 的半径 OA 长为 2，若 OB＝ 3，则可以得到的正确图形可
能是(A)
2．(2019·广州)平面内，⊙O 的半径为 1，点 P 到 O 的距离为 2，过点 P 可作⊙O 的切线条
数为(C)
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．无数条
3．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点 A 为圆心作圆．如果⊙A 与线
则∠D＝27°．
基础题组
1．(2019·柳州)如图，A，B，C，D 是⊙O 上的点，则图中与∠A 相等的角是(D)
A．∠B
B．∠C
C．∠DEB
D．∠D
A︵B
A︵B
2．(2019·吉林)如图，在⊙O 中， 所对的圆周角∠ACB＝50°.若 P 为 上一点，
∠AOP＝55°，则∠POB 的度数为(B)
A．30°
3 切，连接 OC，则 tan∠OCB＝ 5 ．
中考数学圆的综合综合练习题附详细答案
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交
AC的延长线于点E．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．
【答案】（1）直线DE与⊙O相切（2）4 【解析】 试题分析：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴EADOAD＝，∵OAOD＝，∴ODAOAD＝，∴ODAEAD＝，∴EA∥OD，∵DE⊥EA，∴DE⊥OD，又∵点
D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切
（2）
如图1，作DF⊥AB，垂足为F，∴DFADEA90＝＝，∵EADFAD＝，ADAD＝，∴△EAD≌△FAD，∴AFAE8＝＝，DFDE＝，
∵OAOD5＝＝，∴OF3＝，在Rt△DOF中，
22DF4ODOF＝＝，∴
AFAE8＝＝
考点：切线的证明，弦心距和半径、弦长的关系 点评：本题难度不大，第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行，再由两直线平行推出同旁内角相等．第二小题通过求出两个三角形全等，从而推出对应边相等，接着用弦心距和弦长、半径的计算公式，求出半弦长．
2．如图，在锐角△ABC中，AC是最短边．以AC为直径的⊙O，交BC于D，过O作
OE∥BC，交OD于E，连接AD、AE、CE．
（1）求证：∠ACE=∠DCE； （2）若∠B=45°，∠BAE=15°，求∠EAO的度数； （3）若AC=4，23CDFCOESS，求CF的长． 【答案】（1）证明见解析，（2）60°；（3）433 【解析】 【分析】 （1）易证∠OEC=∠OCE，∠OEC=∠ECD，从而可知∠OCE=∠ECD，即∠ACE=∠DCE； （2）延长AE交BC于点G，易证∠AGC=∠B+∠BAG=60°，由于OE∥BC，所以∠AEO=∠AGC=60°，所以∠EAO=∠AEO=60°；
（3）易证12COECAESS，由于23CDFCOESS，所以CDFCAESS=13，由圆周角定理可知∠AEC=∠FDC=90°，从而可证明△CDF∽△CEA，利用三角形相似的性质即可求出答案．
九年级数学确定圆的条件测试题
3.4确定圆的条件
课堂练习：
1.过一点可以作条直线；
2.过不同的两点可以作条直线；
3.过一点可以作个圆；
4.过不同的两点可以作个圆，这些圆的圆心所在的位置有什么特征？
5.下面有不在同一条直线上的三点A，B，C，同时过这三点能作多少个圆？试着用尺规作图作一下。
结论：
6.分别作出下面三类三角形的外接圆，并说出它们的外心的位置有什么特点。
7.一个Rt△ABC,两条直角边分别为3，4则，它外接圆的半径为
8.请用尺规作图的方法找出下图的圆心。
A
晚间训练：
1.如图，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由．
2..下图是一个圆形物体的碎片，请用尺规作图的方法找出其圆心，并把这个圆复原。
3.已知线段AB＝2cm，以1.5cm的长为半径作圆，使得它经过点A和点B，这样的圆能作出几个？并把它们画出来。
4.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M, AM = 2，BM = 8，求CD的长度。
5、如图是一个装有水的水管的截面，已知水管的直径是100cm，装有水的液面宽度为AB=60cm，则水管中水的最大深度为多少？
6、如图AB是⊙O的直径，弦CD垂直AB于P，若AP =5cm，CD=12cm，求半径的长。
7、
8、如图，在⊙O中，弦AC与BD交于E，①求证:△ABE∽△CDE,
②若，求CD的长。
人教中考数学压轴题专题复习——圆的综合的综合及详细答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）．（1）求⊙M的半径；（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．（3）在（2）的条件下求AF的长．【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4．【解析】【分析】（1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；（2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论；（3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM，∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径，∴BT=TC=123∴124；（2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB，∴∠HBC+∠BCH=90°在△COF中，∵∠OFC+∠OCF=90°，∴∠HBC=∠OFC=∠AFH，在△AEH和△AFH中，∵AFH AEHAHF AHE AH AH∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEH≌△AFH（AAS），∴EH=FH；（3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°，作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°，∵⊙O的半径为4，∴CG=4，连AG，∵∠BCG=90°，∴CG⊥x轴，∴CG∥AF，∵∠BAG=90°，∴AG⊥AB，∵CE⊥AB，∴AG∥CE，∴四边形AFCG为平行四边形，∴AF=CG=4．【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．2．如图所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边交于点D，E为BC边上的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接OE，AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？并在此条件下求sin∠CAE的值．【答案】(1)见解析;(2)1010. 【解析】 分析：（1）要证DE 是⊙O 的切线，必须证ED ⊥OD ，即∠EDB+∠ODB=90°（2）要证AOED 是平行四边形，则DE ∥AB ，D 为AC 中点，又BD ⊥AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，所以∠CAB=45°，再由正弦的概念求解即可．详解：（1）证明：连接O 、D 与B 、D 两点，∵△BDC 是Rt △，且E 为BC 中点，∴∠EDB=∠EBD ．（2分）又∵OD=OB 且∠EBD+∠DBO=90°，∴∠EDB+∠ODB=90°．∴DE 是⊙O 的切线．（2）解：∵∠EDO=∠B=90°，若要四边形AOED 是平行四边形，则DE ∥AB ，D 为AC 中点，又∵BD ⊥AC ，∴△ABC 为等腰直角三角形．∴∠C AB=45°．过E 作EH ⊥AC 于H ，设BC=2k ，则EH=22k ，AE=5k ， ∴sin ∠CAE=1010EH AE ．点睛：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．3．函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。
中考数学专题练——专题11 圆(试题精选,含答案)
专题十一圆一、单选题1.（2019·高新模拟）如图，O为圆心，是直径，是半圆上的点，是上的点.若，则的大小为（）A. B. C. D.2.（2020·南通模拟）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，BD为直径，若∠A＝65°，则∠DBC的值是（ ）A. 65°B. 25°C. 35°D. 15°3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是( )A. B. 2 C. 6 D. 84.（2020九上·奉化期末）如图，在菱形ABCD中，已知AB=4，∠B=60°，以AC为直径的⊙O与菱形ABCD 相交，则图中阴影部分的面积为( )A. B. C. D.5.（2019九上·温州月考）如图，△ABC内接于⊙O中，AB=AC，=60°，则∠B=( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°6.（2020九上·中山期末）如图，AD是半圆的直径，点C是弧BD的中点，∠ADC=55°，则∠BAD等于（）A. 50°B. 55°C. 65°D. 70°7.（2020九上·海曙期末）平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为(-4，-5)，半径为5，那么⊙P与y轴的位置关系是（）A. 相交B. 相离C. 相切D. 以上都不是8.（2019九上·驻马店期末）如图，直径AB为3的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′处，则图中阴影部分的面积是（）A. 3πB.C. 6πD. 24π9.（2020九上·北仑期末）下列四个结论，不正确的是（）①过三点可以作一个圆；②圆内接四边形对角相等③平分弦的直径垂直于弦；④相等的圆周角所对的弧也相等A. ②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③④10.（2020九上·诸暨期末）如图，是圆内接四边形的一条对角线，点关于的对称点在边上，连接.若，则的度数为（）A. 106°B. 116°C. 126°D. 136°11.（2019九上·武汉月考）如图，O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB 于点C，则△ABC的最大面积是（）A. B. C. D.12.如图，在⊙O中，点C在优弧AB上，将弧BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D. 若⊙O的半径为，AB=8，则BC的长是（）A. B. C. D.13.（2019九上·如皋期末）如图，▱ABCD中，，，，是边AB上的两点，半径为2的过点A，半径为1的过点、E、F分别是边CD，和上的动点则的最小值等于A. B. 6 C. D. 914.（2019·武汉模拟）点G为△ABC的重心（△ABC三条中线的交点），以点G为圆心作⊙G与边AB，AC相切，与边BC相交于点H，K，若AB＝4，BC＝6，则HK的长为（）A. B. C. D.15.（2019·武汉模拟）如图，⊙O内切于正方形ABCD，边AD，CD分别与⊙O切于点E，F，点M、N 分别在线段DE，DF上，且MN与⊙O相切，若△MBN的面积为8，则⊙O的半径为（）A. B. 2 C. D. 216.（2020·长兴模拟）如图，AB为☉O的直径，P为弦BC上的点，∠ABC=30°，过点P作PD⊥OP交☉O 于点D，过点D作DE∥AB交AB的延长线于点E.若点C恰好是的中点，BE=6，则PC的长是（）A. -8B. -3C. 2D. 12-17.（2019九上·宜兴月考）在平面直角坐标系中，直线经过点A（－3，0），点B（0，），点P的坐标为（1，0），与轴相切于点O，若将⊙P沿轴向左平移，平移后得到（点P的对应点为点P′），当⊙P′与直线相交时，横坐标为整数的点P′共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个18.（2019·海州模拟）如图，菱形ABCD的边AB=5，面积为20，∠BAD＜90°，⊙O与边AB、AD都相切，AO=2，则⊙O的半径长等于（）A. B. C. D.19.（2019·高台模拟）如图，AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，⊙O的直径为6cm，AB＝6 cm，则阴影部分的面积为（）A. B. C. D.20.（2019九下·深圳月考）如图，△ABC内接于圆O，∠BOC=120°，AD为圆O的直径．AD交BC于P 点且PB=1，PC=2，则AC的长为( )A. B. C. 3 D. 2二、填空题21.（2019·嘉定模拟）如图，的半径长为5cm，内接于，圆心O在的内部，如果，cm，那么的面积为________cm22.（2019九上·黄石期末）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°.求∠P的度数________.23.（2020九上·东台期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=40°，则∠ACB的大小为________．24.（2019·台江模拟）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是________．25.（2019九上·道里期末）如图，已知，在中，，，，是ABC的内切圆，则这个圆的半径是________．26.（2020九上·北仑期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠B=45°，DE⊥AC于E交AB 于F，若BC=2CD，AE=2，则线段BF=________。
2020年九年级数学中考《圆》综合专题复习试题(含答案)
2020年九年级数学中考《圆》综合专题复习试题（含答案） 专题1圆的基本性质考点示例1．如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦(不是直径)，AB⊥CD 于点E ，则下列结论正确的是(D)A ．AE>BE B.＝ C ．∠D＝∠AEC D ．△ADE∽△CBEAD ︵ BC ︵ 122．如图，点O 为优弧所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D 在AB 的延长线上，BD ＝BC ，AB ︵ 则∠D＝27°．基础题组1．(2019·柳州)如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，则图中与∠A 相等的角是(D)A ．∠B B ．∠C C ．∠DEBD ．∠D2．(2019·吉林)如图，在⊙O 中，所对的圆周角∠ACB＝50°.若P 为上一点，AB ︵ AB ︵ ∠AOP＝55°，则∠POB 的度数为(B)A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°3．(2019·保定二模)如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，∠BAC＝40°，则∠ADC 的度数是(B)A ．40°B ．50°C ．60°D ．90°4．(2019·黄冈)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧()，点O 是这段弧所在圆的圆心，AB ︵ AB ＝40 m ，点C 是的中点，点D 是AB 的中点，且CD ＝10 m ，则这段弯路所在圆的半径AB ︵ 为(A)A ．25 mB ．24 mC ．30 mD ．60 m5．(2019·德州)如图，点O 为线段BC 的中点，点A ，C ，D 到点O 的距离相等．若∠ABC＝40°，则∠ADC 的度数是(B)A ．130°B ．140°C ．150°D ．160°6．(2019·廊坊安次区二模)如图，点A 是量角器直径的一个端点，点B 在半圆周上，点P 在上，点Q 在AB 上，且PB ＝PQ.若点P 对应140°(40°)，则∠PQB 的度数为(B)AB ︵ A ．65° B ．70° C ．75° D ．80°7．(2019·陕西)如图，AB 是⊙O 的直径，EF ，EB 是⊙O 的弦，且EF ＝EB ，EF 与AB 交于点C ，连接OF.若∠AOF＝40°，则∠F 的度数是(B)A ．20°B ．35°C ．40°D ．55°8．(2018·衢州)如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD⊥AO 于点E ，连接BC ，过点O 作OF⊥BC 于点F.若BD ＝8 cm ，AE ＝2 cm ，则OF 的长度是(D)A ．3 cm B. cm C ．2.5 cm D. cm659．(2019·宁夏)如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB，垂足为C ，将劣弧沿弦AB 折叠交于OCAB ︵ 的中点D.若AB ＝2，则⊙O 的半径为3．10210．(2019·盐城)如图，点A ，B ，C ，D ，E 在⊙O 上，且为50°，则∠E＋∠C＝155°．AB ︵能力提升11．(2019·十堰)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AE⊥CB 交CB 的延长线于点E.若BA 平分∠DBE，AD ＝5，CE ＝，则AE ＝(D)13A ．3 B ．3 C ．4 D ．223312．(2019·威海)如图，⊙P 与x 轴交于点A(－5，0)，B(1，0)，与y 轴的正半轴交于点C.若∠ACB＝60°，则点C 的纵坐标为(B)A.＋ B ．2＋ C ．4133232D ．2＋2213．(2019·嘉兴)如图，在⊙O 中，弦AB ＝1，点C 在AB 上移动，连接OC ，过点C 作CD⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为．1214．(2019·包头)如图，在⊙O 中，B 是⊙O 上的一点，∠ABC＝120°，弦AC ＝2，弦3BM 平分∠ABC 交AC 于点D ，连接MA ，MC.(1)求⊙O 半径的长；(2)求证：AB ＋BC ＝BM.解：(1)连接OA ，OC ，过点O 作OH⊥AC 于点H ，∵∠ABC＝120°，∴∠AMC＝180°－∠ABC＝60°.∴∠AOC＝2∠AMC＝120°.∴∠AOH＝∠AOC＝60°.12∵AH＝AC ＝，123∴OA＝＝2.AHsin60°∴⊙O 半径的长为2.(2)证明：在BM 上截取BE ＝BC ，连接CE ，∵∠ABC＝120°，BM 平分∠ABC，∴∠MBA＝∠MBC＝60°.∵BE＝BC ，∴△EBC 是等边三角形．∴CE＝CB ＝BE ，∠BCE＝60°.∴∠BCD＋∠DCE＝60°.∵∠ACM＝∠ABM＝60°，∴∠ECM＋∠DCE＝60°.∴∠ECM＝∠BCD.∵∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°.∴△ACM 是等边三角形．∴AC＝CM.∴△ACB≌△MCE(SAS)．∴AB＝ME.∵ME＋EB ＝BM ，∴AB＋BC ＝BM.专题2与圆有关的位置关系考点示例1．如图，在△OAB 中，OA ＝OB ＝10，∠AOB＝80°，以点O 为圆心，6为半径的优弧分别MN ︵ 交OA ，OB 于点M ，N.(1)点P 在右半弧上(∠BOP 是锐角)，将OP 绕点O 逆时针旋转80°得OP′.求证：AP ＝BP′；(2)点T 在左半弧上，若AT 与相切，求点T 到OA 的距离；MN ︵ (3)设点Q 在优弧上，当△AOQ 的面积最大时，直接写出∠BOQ 的度数．MN ︵解：(1)证明：∵∠AOP＝∠AOB＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∠BOP′＝∠POP′＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∴∠AOP＝∠BOP′.又∵OA＝OB ，OP ＝OP′，∴△AOP≌△BOP′(SAS)．∴AP＝BP′.(2)连接OT ，过点T 作TH⊥OA 于点H.∵AT 与相切，∴∠ATO＝90°.MN ︵ ∴AT＝＝＝8.OA2－OT2102－62∵OA·TH ＝AT·OT ，1212∴TH＝＝＝.AT·OT OA 8×610245∴点T 到OA 的距离为.245(3)10°或170°.(注：当OQ⊥OA 时，△AOQ 的面积最大，且左右两半弧上各存在一点)基础题组1．(2019·保定一模)已知⊙O 的半径OA 长为，若OB ＝，则可以得到的正确图形可23能是(A)2．(2019·广州)平面内，⊙O 的半径为1，点P 到O 的距离为2，过点P 可作⊙O 的切线条数为(C)A ．0条B ．1条C ．2条D ．无数条3．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝3，BC ＝4，以点A 为圆心作圆．如果⊙A 与线段BC 没有公共点，那么⊙A 的半径r 的取值范围是(D)A ．3≤r≤5B ．3＜r ＜5C ．r ＝3或r ＝5D ．0＜r ＜3或r ＞54．(2019·保定莲池区一模)以O 为中心点的量角器与直角三角板ABC 如图所示摆放，直角顶点B 在零刻度线所在直线DE 上，且量角器与三角板只有一个公共点P.若点P 的读数为35°，则∠CBD 的度数是(C)A ．55°B ．45°C ．35°D ．25°5．(2019·舟山)如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，半径OC ＝1，∠ABC＝30°，切线PA 交OC 延长线于点P ，则PA 的长为(B)A ．2 B. C. D.32126．(2019·唐山路北区三模)如图，⊙O 与正方形ABCD 的两边AB ，AD 相切，且DE 与⊙O 相切于点E.若⊙O 的半径为5，且AB ＝11，则DE 的长度为(B)A ．5B ．6 C. D.301127．(2018·石家庄长安区模拟)如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，点M ，N ，O 均为格点，点N 在⊙O 上．若过点M 作⊙O 的一条切线MK ，切点为K ，则MK ＝(B)A ．3B ．2C ．5 D.25348．(2018·烟台)如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O ，A ，B ，C 在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O 为原点建立平面直角坐标系，则过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(－1，－2)．9．(2019·常州)如图，半径为的⊙O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB ，BC 都相3切，连接OC ，则tan∠OCB＝．3510．(2019·盐城)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，以CD 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点M ，N ，过点N 作NE⊥AB，垂足为E.(1)若⊙O 的半径为，AC ＝6，求BN 的长；52(2)求证：NE 与⊙O 相切．解：(1)连接DN ，ON ，∵⊙O 的半径为，∴CD＝5.52∵∠ACB＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，∴BD＝CD ＝AD ＝5.∴AB＝10.∴BC＝＝8.AB2－AC2∵CD 为⊙O 的直径，∴∠CND＝90°.又∵BD＝CD ，∴BN＝NC ＝4.(2)证明：由(1)知，BD ＝CD ，∴∠BCD＝∠B.∵OC＝ON ，∴∠BCD＝∠ONC.∴∠ONC＝∠B.∴ON∥AB.∵NE⊥AB，∴ON⊥NE.∵ON 为⊙O 的半径，∴NE 与⊙O 相切．11．(2018·安顺)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点O 为BC 的中点，AC 与半圆O 相切于点D.(1)求证：AB 是半圆O 所在圆的切线；(2)若cos∠ABC＝，AB ＝12，求半圆O 所在圆的半径．23解：(1)证明：作OE⊥AB 于点E ，连接OD ，OA.∵AB＝AC ，点O 是BC 的中点，∴∠CAO＝∠BAO.∵AC 与半圆O 相切于点D ，∴OD⊥AC.又∵OE⊥AB，∴OD＝OE ，即OE 是半圆O 所在圆的半径．∴AB 是半圆O 所在圆的切线．(2)∵AB＝AC ，点O 为BC 的中点，∴AO⊥BC.在Rt△AOB 中，OB ＝AB·cos∠ABC＝12×＝8.23根据勾股定理，得OA ＝＝4.AB2－OB25∵S △AOB ＝AB·OE ＝OB·OA ，1212∴OE＝＝，即半圆O 所在圆的半径为.OB·OA AB 853853能力提升12．(2019·张家口一模)如图，在△ABC 中，BC ＝4，⊙P 与△ABC 的边或边的延长线相切．若⊙P 的半径为2，△ABC 的面积为5，则△ABC 的周长为(C)A ．8B ．10C ．13D ．1413．(2019·唐山滦南县一模)如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连接PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P.当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时，BP 的长为(C)A ．3B ．4C ．3或4D ．不确定3314．(2019·石家庄新乐市二模)如图，在扇形AOB 中，OA ＝OB ＝4，∠AOB＝120°，点C 是上的一个动点(不与点A ，B 重合)，射线AD 与扇形AOB 所在⊙O 相切，点P 在射线AD 上，AB ︵ 连接AB ，OC ，CP.若AP ＝2，则CP 的取值范围是2－4≤PC＜6．37 15．(2019·河池)如图，五边形ABCDE 内接于⊙O，CF 与⊙O 相切于点C ，交AB 延长线于点F.(1)若AE ＝DC ，∠E＝∠BCD，求证：DE ＝BC ；(2)若OB ＝2，AB ＝BD ＝DA ，∠F＝45°，求CF 的长．解：(1)证明：∵AE＝DC ，∴＝.AE ︵ DC ︵ ∴∠ADE＝∠DBC.在△ADE 和△DBC 中，{∠ADE ＝∠DBC ，∠E ＝∠BCD ，AE ＝DC ，)∴△ADE≌△DBC(AAS)．∴DE＝BC.(2)连接CO 并延长交AB 于点G ，作OH⊥AB 于点H ，则∠OHG＝∠OHB＝90°.∵CF 与⊙O 相切于点C ，∴∠FCG＝90°.∵∠F＝45°，∴△CFG，△OGH 是等腰直角三角形．∴CF＝CG ，OG ＝OH.2∵AB＝BD ＝DA ，∴△ABD 是等边三角形．∴∠ABD＝60°.∴∠OBH＝30°.∴OH＝OB ＝1.∴OG＝.122∴CF＝CG ＝OC ＋OG ＝2＋.216．(2019·绍兴)在屏幕上有如下内容：如图，△ABC 内接于⊙O，直径AB 的长为2，过点C 的切线交AB 的延长线于点D.张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．(1)在屏幕内容中添加条件∠D＝30°，求AD 的长．请你解答；(2)以下是小明、小聪的对话：小明：我加的条件是BD ＝1，就可以求出AD 的长．小聪：你这样太简单了，我加的是∠A＝30°，连接OC ，就可以证明△ACB 与△DCO 全等．参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目(可以添线添字母)，并解答．解：(1)连接OC ，∵CD 为切线，∴OC⊥CD.∴∠OCD＝90°.∵∠D＝30°，∴OD＝2OC ＝2.∴AD＝AO ＋OD ＝1＋2＝3.(2)答案不唯一，如：添加∠DCB＝30°，求AC 的长．解：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠ACO＋∠OCB＝90°，∠OCB＋∠DCB＝90°，∴∠ACO＝∠DCB.∵∠ACO＝∠A，∴∠A＝∠DCB＝30°.在Rt△ACB 中，BC ＝AB ＝1.12∴AC＝BC ＝.33 专题3三角形的内心与外心考点示例1．(2015·河北T6·3分)如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE相交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是(B)A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE2．(2016·河北T9·3分)如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是(B) A．△ACD的外心B．△ABC的外心C．△ACD的内心D．△ABC的内心3．(2018·河北T15·2分)如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB 平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为(B)A．4.5 B．4 C．3 D．24．(2018·河北T23·9分)如图，∠A＝∠B＝50°，P为AB中点，点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN＝α.(1)求证：△APM≌△BPN；(2)当MN＝2BN时，求α的度数；(3)若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围．解：(1)(2)解答过程见本书P68T4(3)∵△BPN的外心在该三角形的内部，∴△BPN 是锐角三角形．∵∠B＝50°，∴40°＜∠BPN＜90°，即40°＜α＜90°.5．(2019·河北T23·9分)如图，△ABC 和△ADE 中，AB ＝AD ＝6，BC ＝DE ，∠B＝∠D＝30°，边AD 与边BC 交于点P(不与点B ，C 重合)，点B ，E 在AD 异侧，I 为△APC 的内心．(1)求证：∠BAD＝∠CAE；(2)设AP ＝x ，请用含x 的式子表示PD ，并求PD 的最大值；(3)当AB⊥AC 时，∠AIC 的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m ，n 的值． 解：(1)(2)解答过程见本书P68T2(3)如图，设∠BAP＝α，则∠APC＝α＋30°，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∠PCA＝60°，∠PAC＝90°－α.∵I 为△APC 的内心，∴AI，CI 分别平分∠PAC，∠PCA.∴∠IAC＝∠PAC，∠ICA＝∠PCA.1212∴∠AIC＝180°－(∠IAC＋∠ICA)＝180°－(∠PAC＋∠PCA)12＝180°－(90°－α＋60°)12＝α＋105°.12∵0°＜α＜90°，∴105°＜α＋105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°.12∴m＝105，n ＝150.基础题组1．(2019·保定一模)如图，在4×4的网格图中，A，B，C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，△ABC的外心可能是(D)A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点2．(2019·廊坊广阳县一模)在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A，B，C上，他们在玩抢凳子的游戏，要在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最恰当的位置是△ABC的(D)A．三条高的交点 B．重心 C．内心 D．外心3．如图，△ABC是等腰直角三角形，点D，E在BC上，△ADE是等边三角形．若点O是△ABC的内心，则下列说法正确的是(C)A．点O是△ADE的内心 B．点O是△ADE的外心C．点O不是△ABE的内心 D．点O是△ABC的外心【解析】 易知OA平分∠BAC，则OA不平分∠BAE，所以点O不是△ABE的内心．4．(2018·石家庄二模)如图1，把△ABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一直线上，点O都落在直线MN上，直线MN∥AB，如图2，则点O是△ABC的(B)A．外心B．内心C．三条中线的交点 D．三条高的交点 图1 图2 5．(2019·秦皇岛海港区一模)如图是△ABC的外接圆，I是△ABC的内心，AI的延长线与圆相交于点D，连接BI，BD，DC.则下列说法中错误的一项是(D)A．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合B．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合C．∠ABI绕点B顺时针旋转一定能与∠IBC重合D．线段CD绕点C顺时针旋转一定能与线段CA重合6．(2019·石家庄模拟)如图，在△ABC中，点I为△ABC的内心，点D在BC上，且ID⊥BC.若∠ABC＝44°，∠C＝56°，则∠AID的度数为(A)A．174° B．176° C．178° D．180°7．(2019·石家庄新华区模拟)如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝44°，点D，点E分别从点B，点C同时出发，在线段BC上做等速运动，到达C点，B点后运动停止．(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝BE，求∠DAE的度数；(3)若△ACE的外心在其内部时，求∠BDA的取值范围．解：(1)证明：∵点D，点E分别从点B，点C同时出发，在线段BC上做等速运动，∴BD＝CE.∴BD＋DE＝DE＋CE，即BE＝CD.∵∠B＝∠C＝44°，∴AB＝AC.∴△ABE≌△ACD(SAS)．(2)∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠AEB.∵△ABE≌△ACD，∴AD＝AE.∴∠ADE＝∠AEB.∴∠BAE＝∠ADE.∴∠BAD＋∠DAE＝∠BAD＋∠B.∴∠DAE＝∠B＝44°.(3)∵△ACE 的外心在其内部，∴△ACE 是锐角三角形．∴∠BDA＝∠AEC＜90°.∵∠B＝44°，∴∠BAD＝180°－44°－∠BDA＜90°.∴∠BDA＞46°.∴46°＜∠BDA＜90°.能力提升8．(2019·河北一模)如图，点O 是△ABC 的内心，M ，N 是AC 上的点，且CM ＝CB ，AN ＝AB.若∠ABC＝100°，则∠MON＝(C)A ．60°B ．70°C ．80°D ．100°9．(2019·唐山路南区三模)如图，O 为锐角三角形ABC 的外心，四边形OCDE 为正方形，其中E 点在△ABC 的外部，判断下列叙述不正确的是(D)A ．O 是△AEB 的外心，O 不是△AED 的外心B ．O 是△BEC 的外心，O 不是△BCD 的外心C ．O 是△AEC 的外心，O 不是△BCD 的外心D ．O 是△ADB 的外心，O 不是△ADC 的外心10．(2019·石家庄新华区校级模拟)如图，将Rt△ABC 平移到△A′B′C′的位置，其中∠C＝90°.使得点C′与△ABC 的内心重合，已知AC ＝4，BC ＝3，则阴影部分的面积为(D)A. B. C. D.25242552252411．(2019·保定一模)在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，点M 是△ABC 的中线AD 上一点，以M 为圆心作⊙M.设半径为r.(1)如图1，当点M 与点A 重合时，分别过点B ，C 作⊙M 的切线，切点为E ，F.求证：BE ＝CF ；(2)如图2，若点M 与点D 重合，且半圆M 恰好落在△ABC 的内部，求r 的取值范围；(3)当M 为△ABC 的内心时，求AM 的长．解：(1)证明：连接AE ，AF ，∵BE 和CF 分别是⊙M 的切线，∴∠BEA＝∠CFA＝90°.∵AB＝AC ，AE ＝AF ，∴Rt△ABE≌Rt△ACF(HL)．∴BE＝CF.(2)过点D 作DG⊥AB 于点G ，∵AB＝AC ＝5，AD 是中线，∴AD⊥BC，BD ＝BC ＝4.12∴AD＝＝3.AB2－BD2∴BD·AD ＝AB·DG.∴DG＝.1212125∴当0＜r ＜时，半圆M 恰好落在△ABC 的内部．125(3)当M 为△ABC 的内心时，如图，过点M 作MH⊥AB 于点H ，作MP⊥AC 于点P ，则有MH ＝MP ＝MD.连接BM ，CM ，∴AB·MH ＋BC·MD ＋AC·MP ＝AD·BC.12121212∴r＝＝＝.AD·BC AB ＋AC ＋BC 8×35＋5＋843∴AM＝AD －DM ＝.53专题4 与圆有关的计算考点示例1．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，∠C＝30°，CD ＝2.则S 阴影＝(D)3A ．π B ．2π C. D.π233232．如图，将长为8 cm 的铁丝首尾相接围成半径为2 cm 的扇形．则S 扇形＝4cm 2.3．如图，边长为a 的正六边形内有两个三角形(数据如图)，则＝(C)S 阴影S 空白A ．3 B ．4 C ．5 D ．6基础题组1．(2019·长沙)一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是(C)A ．2πB ．4πC ．12πD ．24π2．(2019·成都)如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O，P 为上的一点(点P 不与点D 重合)，DE ︵ 则∠CPD 的度数为(B)A ．30°B ．36°C ．60°D ．72°3．(2019·唐山滦南县二模)边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则∠ABO 的度数为(A)A ．24°B ．48°C ．60°D ．72°4．(2019·通辽)如图，等边三角形ABC 内接于⊙O.若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积等于(C)A. B. C. D ．2ππ32π34π35．(2019·唐山乐亭县模拟)某同学以正六边形三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径，向外作三段圆弧，设计了如图所示的图案．已知正六边形的边长为1，则该图案外围轮廓的周长为(C)A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π6．(2019·保定竞秀区一模)如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为(D)A ．10B ．9C ．8D ．77．(2019·宁波)如图所示，在矩形纸片ABCD 中，AD ＝6 cm ，把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后，分别裁出扇形ABF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB 的长为(B)A ．3.5 cmB ．4 cmC ．4.5 cmD ．5 cm8．(2018·盐城)如图，图1是由若干个相同的图形(图2)组成的美丽图案的一部分，图2中图形的相关数据：半径OA ＝2 cm ，∠AOB＝120°.则图2的图形周长为cm(结果保留8π3π)．9．(2019·广东)在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 的三个顶点均在格点上，以点A 为圆心的与BC 相切于点D ，分别交AB ，ACEF ︵ 于点E ，F.(1)求△ABC 三边的长；(2)求图中由线段EB ，BC ，CF 及所围成的阴影部分的面积．EF ︵解：(1)AB ＝＝2，22＋6210AC ＝＝2，62＋2210BC ＝＝4.42＋825(2)由(1)得AB 2＋AC 2＝BC 2，∴∠BAC＝90°.连接AD ，则AD ＝＝2.22＋425∴S 阴影＝S △ABC －S 扇形AEF＝AB·AC －π·AD 21214＝20－5π.能力提升10．(2019·大庆)如图，在正方形ABCD 中，边长AB ＝1，将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转180°至正方形AB 1C 1D 1，则线段CD 扫过的面积为(B)A. B. C ．π D ．2ππ4π211．(2019·武汉)如图，AB 是⊙O 的直径，M ，N 是(异于A ，B)上两点，C 是上一动点，AB ︵ MN ︵ ∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E.当点C 从点M 运动到点N 时，则C ，E 两点的运动路径长的比是(A)A. B. C. D.2π2325212．(2019·保定高阳县模拟)如图，半圆O 的直径AB ＝20，将半圆O 绕点B 按顺时针方向旋转得到半圆O′，A′B 与交于点P ，设旋转角为α(0°＜α＜90°)．AB ︵ (1)如图1，当α＝30°时．①求BP 的长；②求图中阴影部分的面积(结果保留π)；(2)如图2，在AB 的延长线上有一点C ，使BC ＝OB ，过点C 作CD⊥AC 于点C ，当与12A ′B ︵ CD 相切于点E 时，点O′恰好在上，直接写出的长．AB ︵ BE ︵解：(1)①连接AP ，∵AB 是半圆O 的直径，∴∠APB＝90°.又由旋转的性质得∠ABP＝30°，∴BP＝AB·cos30°＝20×＝10.323②连接OP.∵AB＝20，∠ABP＝30°，∴OB＝10，∠BOP＝120°.∴S 阴影＝S 半圆O′－(S 扇形BOP －S △BOP )＝π×102－(－×10×sin30°×10)12120×π×102360123＝50π－(－25)100π33＝π＋25.5033(2)的长为＝π.BE ︵ 60×π×1018010313．(2019·湘潭)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)．弧田是由圆弧和其所对的弦围12成(如图中的阴影部分)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理(当半径OC⊥弦AB 时，OC 平分AB)可以求解．现已知弦AB ＝8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为10平方米．14．(2019·孝感)刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S 1来近似估计⊙O 的面积S ，设⊙O 的半径为1，则S －S 1＝0.14(π取3.14)．万能解题模型(五) 与面积有关的计算 方法指导计算规则图形的面积时，常常直接利用面积公式进行计算．常见的面积公式有：①三角形的面积＝×底×高＝×周长×内切圆的半径；②等边三角形的面积＝×边长的平方；121234③平行四边形的面积＝底×高；④矩形的面积＝长×宽；⑤菱形的面积等于对角线之积的一半；⑥正方形的面积等于边长的平方；⑦圆的面积＝πR 2；⑧扇形的面积＝＝lR ；⑨相似三角形面积的比等于相似比的平方．n πR2360121．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝3，将△ABC 沿CB 向右平移得到△DEF.若平移距离为2，则四边形ABED 的面积等于(B)A ．2B ．6C ．7D ．102．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为边CD 的中点．若菱形ABCD 的周长为16，∠BAD＝60°，则△OCE 的面积是(A)A. B ．2 C ．2 D ．4333．(2019·保定竞秀区二模)如图，两张完全相同的正六边形纸片(边长为2a)重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片沿水平方向向左平移a 个单位长度，则空白部分与阴影部分面积之比是(C)A ．5∶2B ．3∶2C ．3∶1D ．2∶14．(2019·`乐山)把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置，则图中阴影部分的面积为 (A)A. B. C. D.16131514类型2 利用和差法间接求面积5．(2019·山西)如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB ＝2，BC ＝2，以AB 的中点O 3为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为(A)A.－B.＋ C ．2－π D ．4－534π2534π233π26．(2018·唐山路北区二模)如图为两正方形ABCD ，BPQR 重叠的情形，其中点R 在AD 上，CD 与QR 相交于点S.若两正方形ABCD ，BPQR 的面积分别为16，25，则四边形RBCS 的面积为(C)A. B. C. D ．81722837787．(2019·吉林)如图，在扇形OAB 中，∠AOB＝90°.D ，E 分别是半径OA ，OB 上的点，以OD ，OE 为邻边的▱ODCE 的顶点C 在上．若OD ＝8，OE ＝6，则阴影部分图形的面积是AB ︵ 25π－48(结果保留π)．8．如图，D ，E 分别是△ABC 边AB ，BC 上的点，AD ＝2BD ，BE ＝CE ，设△ADF 的面积为S 1，△CEF 的面积为S 2.若S △ABC ＝6，则S 1－S 2的值为1．类型3 利用整体思想求阴影部分面积9．(2019·宿迁)如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和(阴影部分面积)是(A)A ．6－πB ．6－2πC ．6＋π 333D ．6＋2π3类型4 利用等积变换法间接求面积方法指导当直接求面积较麻烦或根本求不出时，可通过图形的平移、旋转、割补等，为公式法或和差法创造条件，从而求面积．(1)通过轴对称变换求面积10．(2018·宜昌)如图，正方形ABCD 的边长为1，点E ，F 分别是对角线AC 上的两点，EG⊥AB，EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G ，I ，H ，J ，则图中阴影部分的面积等于(B)A ．1 B. C. D.121314(2)通过平移变换求面积11．(2017·阿坝州)如图，抛物线的顶点为P(－2，2)，与y 轴交于点A(0，3)．若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P′(2，－2)，点A 的对应点为A′，则抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为12．(3)通过旋转变换求面积12．如图，直线a ，b 垂直相交于点O ，曲线C 关于点O 成中心对称，点A 的对称点是点A′，AB⊥a 于点B ，A′D⊥b 于点D.若OB ＝3，OD ＝2，则阴影部分的面积之和为6．(4)利用全等三角形进行转换求面积13．(2019·宜宾)如图，∠EOF 的顶点O 是边长为2的等边△ABC 的重心，∠EOF 的两边与△ABC 的边交于E ，F ，∠EOF＝120°，则∠EOF 与△ABC 的边所围成的阴影部分的面积是(C)A. B. C. D.322353334(5)利用“等底等高等积”进行转换14．(2017·衢州)运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB 是⊙O 的直径，CD ，EF 是⊙O 的弦，且AB∥CD∥EF，AB ＝10，CD ＝6，EF ＝8.则图中阴影部分的面积是(A)A.π B ．10π C ．24＋4π D ．24＋5π252。
2020九年级中考数学 专题复习：圆的综合(含答案)
2020中考数学 专题复习：圆的综合（含答案）类型一 与基本性质有关的证明与计算1. 如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是AE ︵上的一点，且∠BDE ＝∠CBE ，BD 与AE 交于点F . (1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)若BD 平分∠ABE ，求证：DE 2＝DF ·DB ；(3)在(2)的条件下，延长ED ，BA 交于点P ，若P A ＝AO ，DE ＝2，求PD 的长．第1题图(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°， ∴∠EAB ＋∠ABE ＝90°，∵∠BDE ＝∠EAB ，∠BDE ＝∠CBE ， ∴∠EAB ＝∠CBE ，∴∠ABE ＋∠CBE ＝∠ABE ＋∠EAB ＝90°，即CB ⊥AB . 又∵AB 是⊙O 的直径， ∴BC 是⊙O 的切线； (2)证明：∵BD 平分∠ABE ， ∴∠ABD ＝∠DBE ，AD ︵＝DE ︵， ∴∠ABD ＝ ∠DEA ， ∴∠DEA ＝ ∠DBE ， ∵∠EDB ＝∠BDE ， ∴△DEF ∽△DBE ，∴DE DB ＝DF DE， ∴DE 2＝ DF ·DB ；(3)解：如解图，连接OD ，延长ED 交BA 的延长线于点P ，第1题解图∵OD ＝OB ， ∴∠ODB ＝∠OBD ， ∵BD 平分∠ABE ， ∴∠OBD ＝ ∠EBD ， ∴∠EBD ＝∠ODB ， ∴OD ∥BE ， ∴△PDO ∽△PEB ， ∴PD PE ＝POPB， ∵P A ＝AO ， ∴P A ＝AO ＝OB ， ∴PO PB ＝PD PE ＝23， ∵PD PE ＝PD PD ＋DE ＝23，DE ＝2， ∴PD ＝4.2. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是BD ︵的中点，CE ⊥AB ，垂足为E ，BD 交CE 于点F . (1)求证：CF ＝BF ；(2)若BE ＝4，EF ＝ 3，求⊙O 的半径．第2题图(1)证明：连接AC ，如解图，∵点C 是BD ︵的中点，∴∠DBC ＝∠BAC ， 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CE ⊥AB ，第2题解图∴∠BCE ＋∠ECA ＝∠BAC ＋∠ECA ＝90°， ∴∠BCE ＝∠BAC ， 又∵C 是BD ︵的中点， ∴∠DBC ＝∠CDB ， ∴∠BCE ＝∠DBC ， ∴CF ＝ BF ；(2)解：∵BE ＝ 4，EF ＝ 3， ∴BF ＝32＋42＝ 5，∴CF ＝ 5，∴CE ＝ 5＋3＝ 8， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝ 90°， ∴CE 2＝BE ·AB ， ∴AB ＝CE 2BE ＝ 644＝ 16，∴AO ＝ 8，∴⊙O 的半径为8.3. 如图，⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于E ，AM ⊥BC 于M ，交CD 于N ，连接AD . (1)求证：AD ＝AN;(2)若AB ＝8，ON ＝ 1，求⊙O 的半径．第3题图(1)证明：∵CD ⊥AB ， ∴∠CEB ＝ 90°， ∴∠C ＋∠B ＝ 90°， 同理∠C ＋∠CNM ＝ 90°， ∴∠CNM ＝∠B ， ∵∠CNM ＝ ∠AND ， ∴∠AND ＝ ∠B ， ∵AC ︵＝AC ︵， ∴∠ADN ＝ ∠B ， ∴∠AND ＝ ∠ADN ， ∴AN ＝AD ；第3题解图(2)解：设OE 的长为x ，连接OA ， ∵AN ＝AD ，CD ⊥AB ， ∴DE ＝ NE ＝x ＋1，∴OD ＝OE ＋ED ＝x ＋x ＋1＝2x ＋1， ∴OA ＝ OD ＝ 2x ＋1，∴在Rt △OAE 中，OE 2＋AE 2＝ OA 2， ∴x 2＋42＝(2x ＋1)2，解得x ＝53或x ＝－3(不合题意，舍去)，∴OA ＝ 2x ＋1＝ 2×53＋1＝ 133，即⊙O 的半径为133.4. 如图，A 、B 、C 为⊙O 上的点，PC 过O 点，交⊙O 于D 点，PD ＝ OD ，若OB ⊥AC 于E 点．第4题图(1)判断A 是否是PB 的中点，并说明理由； (2)若⊙O 半径为8，试求BC 的长． 解：(1)A 是PB 的中点， 理由：连接AD ，如解图，第4题解图∵CD 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥AC ， ∵OB ⊥AC ， ∴AD ∥OB ， ∵PD ＝ OD ，∴AD 是△PBO 的中位线， ∴P A ＝AB ， ∴A 是PB 的中点； (2)∵AD ∥OB ， ∴△APD ∽△BPO ， ∴AD BO ＝PD PO ＝ 12， ∵⊙O 半径为8， ∴OB ＝ 8， ∴AD ＝4， ∴AC ＝CD 2－AD 2＝ 415，∵OB ⊥AC ， ∴AE ＝CE ＝ 215， ∴OE ＝12AD ＝ 2，∴BE ＝6， ∴BC ＝BE 2＋CE 2＝4 6.5. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、E 是⊙O 上的点，且AC ︵＝EC ︵，连接AC 、BE ，并延长交于点D ，已知AB ＝2AC ＝6.第5题图(1)求DC 的长； (2)求EC ︵的长．解：(1)如解图，连接BC ，第5题解图∵ AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，CB ⊥AD ， ∵AC ︵＝EC ︵， ∴∠ABC ＝∠DBC ， ∴△ABD 为等腰三角形， ∵AB ＝2AC ＝6， ∴DC ＝AC ＝3；(2)如解图，连接OC 、OE ， ∵AB ＝2AC ＝6，∠ACB ＝90°， ∴∠ABC ＝30°，OC ＝OE ＝3， ∴∠DBC ＝∠ABC ＝30°∴∠COE ＝2∠DBC ＝60°，∴l EC ︵＝60×π×3180＝π.6. 如图，AB 为圆O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，交圆O 于点D ，OF ⊥AC 于点F .第6题图(1)求证：OF ＝12BD ；(2)当∠D ＝30°，BC ＝1时，求圆中阴影部分的面积． (1)证明：如解图，连接OC ，第6题解图∵OF ⊥AC ，OA ＝OC ， ∴AF ＝FC ，∵OA ＝OB ，∴OF 是△ABC 的中位线，∴OF ＝12BC ，∵AB ⊥CD ，∴BC ︵＝BD ︵， ∴BC ＝BD ， ∴OF ＝12BD ；(2)解：∵∠D ＝30°， ∴∠A ＝∠D ＝30°， ∴∠COB ＝2∠A ＝60°， ∴∠AOC ＝120°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，BC＝1，∴AB＝2，AC＝3，由(1)可知OF＝12BC＝1 2，∵∠COB＝60°，OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴OA＝OB＝BC＝1，∴S△AOC＝12AC ·OF＝12×3×12＝34，S扇形AOC＝120πOA2360＝π3，∴S阴影＝S扇形AOC－S△AOC＝π3－34.7. 如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，OD⊥AB交⊙O于点D，AC、OD的延长线交于点E，连接CD.(1)求证：∠ECD＝∠BCD；(2)当AC＝CD时，求证：CE＝CB.第20题图证明：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ECB＝90°，∵OD⊥AB，∴∠DOB＝90°，∴∠BCD＝12∠DOB＝45°，∴∠ECD＝∠ECB－∠BCD＝90°－45°＝45°，∴∠ECD ＝∠BCD ；(2)如解图，连接OC 、BD ，第7题解图∵AC ＝CD ，∴∠AOC ＝∠DOC ，∠ABC ＝∠DBC ， 又∵∠E ＋∠A ＝∠ABC ＋∠A ＝90°， ∴∠E ＝∠ABC ＝∠DBC ， 在△ECD 和△BCD 中⎩⎨⎧∠E ＝∠DBC∠ECD ＝∠BCD CD ＝CD， ∴△ECD ≌△BCD (AAS)， ∴CE ＝ CB .8. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，且BD 为直径，∠ACB ＝ 45°，过A 点的AC 的垂线交BC 的延长线于点E . (1)求证：BE ＝ DC ； (2)如果AD ＝2，求图中阴影的面积．第8题图解：(1)∵BD 是⊙O 的直径， ∴∠BAD ＝90°，∵∠ACB ＝45°，∴∠ADB ＝∠ACB ＝ 45°， ∵AE ⊥AC ，∴△ACE 与△ABD 是等腰直角三角形，∴AE ＝ AC ，AB ＝ AD ，∠EAC ＝ ∠BAD ＝ 90°， ∴∠EAB ＝ ∠CAD ， 在△ABE 与△ADC 中，⎩⎨⎧AE ＝AC∠EAB ＝ ∠CAD AB ＝AD， ∴△ABE ≌△ADC ， ∴BE ＝DC ；第8题解图(2)如解图，连接AO ，则∠AOD ＝ ∠ABD ＝90°， ∵AD ＝ 2， ∴AO ＝ OD ＝ 1， ∴S 阴影＝ S 扇形－S △AOD ＝90 ·π×12360－12×1×1＝ π4－12. 9. 如图，在△ABC 中，以AC 为直径的⊙O 分别交AB ，BC 于点D ，E ，连接DE ，AD ＝BD ，∠ADE ＝120°. (1)证明：△ABC 是等边三角形； (2)若AC ＝2，求图中阴影部分的面积．第9题图(1)证明：如解图，连接CD ， ∵AC 为⊙O 的直径， ∴CD ⊥AB ， ∵AD ＝BD ， ∴AC ＝BC ，∵∠ADE ＝120°，∴∠ACE ＝60°， 又∵AC ＝BC ，∴△ABC 是等边三角形；第9题解图(2)解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠CAB ＝∠ACB ＝∠B ＝60°，∵∠ADE ＝120°，∴∠BED ＝∠BDE ＝∠B ＝60°， ∴△BDE 是等边三角形， ∴BD ＝ED ， ∵AD ＝BD ，∴DE ＝AD ＝ BE ＝12AB ＝ 12BC ，∴DE ︵＝AD ︵，DE 为△ABC 的中位线，E 为BC 的中点， ∴S 弓形DE ＝S 弓形AD ，∴S 阴影＝S △DEB ＝ 12S △BDC ，∵AC ＝2，∴AD ＝BD ＝1，∴DC ＝3，∴S 阴影＝12×12×1×3＝ 34.10. 如图，在△ABC 中，AB ＝ AC ，以AB 为直径的半圆分别交AC ，BC 边于点D ，E ，连接BD .第10题图(1)求证：点E 是BD ︵的中点；(2)当BC ＝ 12，且AD ∶CD ＝1∶2，求⊙O 的半径． (1)证明：如解图，连接AE ，DE ，第10题解图∵AB 是直径， ∴AE ⊥BC ， ∵AB ＝ AC ， ∴BE ＝ EC ，∵∠CDB ＝90°，DE 是斜边BC 的中线， ∴DE ＝ EB ， ∴ED ︵＝ EB ︵，即点E 是BD ︵的中点； (2)设AD ＝x ，则CD ＝ 2x ， ∴AB ＝AC ＝3x ，∵AB 为直径， ∴∠ADB ＝90°， ∴BD 2＝ (3x )2－x 2＝8x 2， 在Rt △CDB 中， (2x )2＋8x 2＝122， ∴x ＝23， ∴OA ＝ 32x ＝33，即⊙O 的半径是3 3.类型二 与切线有关的证明与计算1. 如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，圆心O 在AC 上，∠A ＝ 30°，D 为BC ︵的中点．第1题图(1)求证：AB ＝BC ；(2)试判断四边形BOCD 的形状，并说明理由． 解：(1)∵AB 是⊙O 的切线，∴∠OBA ＝ 90°，∠AOB ＝ 90°－30°＝ 60°. ∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∠OCB ＝ ∠A ＝ 30°， ∴AB ＝ BC ；(2)四边形BOCD 为菱形，理由如下：连接OD 交BC 于点M ， ∵D 是BC ︵的中点，第1题解图∴OD 垂直平分BC ， 在Rt △OMC 中， ∵∠OCM ＝ 30°， ∴OC ＝2OM ＝OD ， ∴OM ＝MD ，∴四边形BOCD 为菱形．2. 如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上两点，∠BAC ＝∠DAC ，过点C 作直线EF ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，连接BC .(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若DE ＝1，BC ＝2，求劣弧BC ︵的长l .第2题图(1)证明：如解图，连接OC ， ∵OA ＝OC ， ∴∠OAC ＝∠OCA ， ∵∠BAC ＝∠DAC ， ∴∠DAC ＝∠OCA ， ∴AD ∥OC ， ∵EF ⊥AD ， ∴∠AEC ＝90°，∴∠OCF ＝∠AEC ＝90°， ∴EF 是⊙O 的切线；(2)解：如解图，连接OD ，DC .第2题解图∵∠DAC ＝12∠DOC ，∠OAC ＝12∠BOC ，∠DAC ＝∠OAC ， ∴∠DOC ＝∠BOC ， ∴DC ＝BC ＝2， 在Rt △EDC 中， ∵ED ＝1，DC ＝2， ∴sin ∠ECD ＝DE DC ＝12， ∴∠ECD ＝30°，∴∠OCD ＝90°－30°＝60°， 又∵OC ＝OD ，∴△DOC 为等边三角形，∴∠BOC ＝∠COD ＝60°，OC ＝2， ∴l ＝60π×2180＝23π. 3. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC ，AC 分别交于D ，E 两点，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F .第3题图(1)求证：DF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，cos A ＝25，求DF 的长．(1)证明：如解图，连接OD ，第3题解图∵OB ＝OD ， ∴∠ODB ＝∠B . 又∵AB ＝AC ， ∴∠C ＝∠B . ∴∠ODB ＝∠C . ∴OD ∥AC ， ∵DF ⊥AC ， ∴∠DFC ＝90°.∴∠ODF ＝∠DFC ＝90°， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴DF 是⊙O 的切线；(2)解：如解图，过点O 作OG ⊥AC ，垂足为点G . ∴AG ＝12AE ＝2.∵cos A ＝AG OA ＝25，∴OA ＝225＝5.∴OG ＝OA 2－AG 2＝21.∵∠ODF ＝∠DFG ＝∠OGF ＝90°. ∴四边形OGFD 为矩形， ∴DF ＝OG ＝21.4. 如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，边BC是⊙O的切线，切点为D，AB经过圆心O并与圆相交于点E，连接AD.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若AC＝8，tan∠DAC＝34，求⊙O的半径．第4题图(1)证明：如解图，连接OD，第4题解图∵BC是⊙O的切线，∴OD⊥BC，∴∠ODB＝90°，又∵∠C＝90°，∴AC∥OD，∴∠CAD＝∠ADO，又∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠OAD，∴AD平分∠BAC；(2)解：∵AC＝8，tan∠P AC＝CDAC＝34，∴CD＝6，在Rt△ACD中，AD＝AC2＋CD2＝10，如解图，连接DE ，∵AE 为⊙O 的直径， ∴∠ADE ＝ 90°， ∴∠ADE ＝ ∠C ， ∵∠CAD ＝∠OAD ， ∴△ACD ∽△ADE ， ∴AD AC ＝ AE AD ，即108＝ AE10， ∴AE ＝252，∴⊙O 的半径是254.5. 如图，AB 为⊙O 的直径，CB ，CD 分别切⊙O 于点B ，D ，CD 交BA 的延长线于点E ，CO 的延长线交⊙O 于点G ，EF ⊥OG 于点F .(1)求证：∠FEB ＝∠ECF ； (2)若BC ＝6，DE ＝4，求EF 的长．第5题图(1)证明：∵EF ⊥OG ，BC 是⊙O 的切线， ∴∠CBA ＝ ∠EFC ＝90°，∴∠EOF ＋∠FEB ＝ 90°，∠BOC ＋∠BCO ＝90°， ∵∠EOF ＝ ∠COB ， ∴∠FEB ＝ ∠BCO ， ∵CB ，CD 是⊙O 的切线， ∴∠ECF ＝ ∠BCO ， ∴∠FEB ＝ ∠ECF ；(2)解：如解图，连接OD ，则OD ⊥CE ，第5题解图∵CB，CD为⊙O的切线，BC＝6，DE＝4，∴CD＝BC＝6，∴CE＝CD＋DE＝6＋4＝10，在Rt△CBE中，根据勾股定理得BE＝CE2－BC2＝102－62＝8，设OD＝x，则OE＝8－x，在Rt△ODE中，根据勾股定理得OE2＝OD2＋ED2，即(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3，则OE＝5.在Rt△ODC中，根据勾股定理得OC＝CD2＋OD2＝62＋32＝35，∵∠EOF＝∠COB，∠EFO＝∠CBO，∴△EFO∽△CBO，∴EFCB＝OEOC，即EF6＝535，解得EF＝2 5.6. 如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB＝30°，延长CB至点D，使得CB＝BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE.(1)求证：BE是⊙O的切线；(2)当BE＝3时，求图中阴影部分的面积．第6题图 (1)证明：如解图，连接OB,第6题解图∵OB ＝OC ，∠ACB ＝30°，∴∠OBC ＝∠OCB ＝30°，∵DE ⊥AC ，∴∠DEC ＝90°，∴∠D ＝60°，∵CB ＝BD ，∴BE ＝BD ，∴△BDE 为等边三角形，∴∠DBE ＝60°，∴∠EBO ＝180°－∠DBE －∠OBC ＝180°－60°－30°＝90°，即OB ⊥BE ，又∵OB 为⊙O 的半径，∴BE 是⊙O 的切线；(2)解：∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，在Rt △ABC 中，BC ＝BD ＝BE ＝3，∠ACB ＝30°，∴AB ＝BC ·tan30°＝ 3，AC ＝ 2AB ＝23，∴OA ＝12AC ＝3，∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝ 12×3×3＝332， ∴S 阴影＝ S 半圆－S △ABC ＝ 12π×(3)2－332＝3π－332. 7. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于C ，BE ∥CO .(1)求证：BC 是∠ABE 的平分线；(2)若DC ＝ 8，⊙O 的半径OA ＝6，求CE 的长．第7题图(1)证明：∵BE ∥CO ，∴∠OCB ＝∠EBC ，∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠OBC ，∴∠OBC ＝∠EBC ，∴BC 是∠ABE 的平分线；(2)解：∵CD 是⊙O 的切线，∴CD ⊥CO ，∴∠DCO ＝90°，在Rt △DCO 中，有DC 2＋CO 2＝DO 2，即82＋62＝DO 2，∴DO ＝10，∵CO ∥BE ，∴CE DC ＝BO DO ，即CE 8＝610， ∴CE ＝4.8.8. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，BD 是⊙O 的弦，点E 是BC 的中点，连接DE .第8题图(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若CD ∶AD ＝1∶3，BC ＝2，求线段BD 的长． （1）证明：如解图，连接OD .第8题解图∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠CDB ＝90°，在Rt △CDB 中，∵点E 是BC 的中点，∴DE 是Rt △CDB 斜边BC 上的中线，∴ED ＝12BC ，EB ＝12BC ， ∴ED ＝EB ，∴∠EDB ＝∠EBD ，∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠OBD ，∠OBD ＋∠EBD ＝∠ODB ＋∠EDB ＝∠ABC ＝90°，∴∠ODE ＝90°，∴OD ⊥DE ，又∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线．（2）解：在Rt △CDB 和在Rt △CBA ，∵∠C=∠C ，∠CDB=∠ABC=90°，∴Rt △CDB ≌Rt △CBA.∴CD ：BC= BC ：AC ，∵CD ：AD=1：3，∴设CD 为x ,则AD =3x ，AC=4x ，∴x ：2=2：4x ，解得x 1=1， x 2=-1（舍），∴CD =1，∴BD=222221 3.BC CD -=-=9. 如图，在⊙O 中，AB 为直径，C 为圆上一点且∠P ＋12∠AOC ＝90°. (1)求证：P A 是⊙O 的切线；(2)cos B ＝45，P A ＝8，求⊙O 的半径．第9题图(1)证明：∵∠B 与∠AOC 所对的弧都为弧AC ，∴∠B ＝12∠AOC ， 又∵∠P ＋12∠AOC ＝90°， ∴∠P ＋∠B ＝90°.在△ABP 中，∠BAP ＝180°－90°＝90°，∴P A ⊥AB .又∵AB 为⊙O 的直径，∴P A 是⊙O 的切线；(2)解：在Rt △ABP 中，∵cos B ＝45，P A ＝8，∴AB PB ＝45. ∴设AB ＝4x ，则PB ＝5x ，根据勾股定理得P A 2＋AB 2＝PB 2，∴82＋(4x )2＝(5x )2，化简得：9x 2＝64，解得x ＝83. ∴AB ＝4×83＝323， ∴AO ＝12AB ＝12×323＝163. ∴⊙O 的半径为163.10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在对角线AC 上，EC ＝ BC ＝ DC .(1)若∠CDB ＝39°，求∠BAD 的度数；(2)求证：∠1＝∠2.第10题图(1)解：∵BC ＝DC ，∴∠CBD ＝∠CDB ＝ 39°，∵∠BAC ＝∠CDB ＝ 39°，∠CAD ＝ ∠CBD ＝ 39°，∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝ 39°＋39°＝ 78°；(2)证明：∵BC ＝ EC ，∴∠CBE ＝∠CEB ，∵∠CEB ＝∠2＋∠BAE ，∠CBE ＝∠1＋∠CBD ，∴∠2＋∠BAE ＝ ∠1＋∠CBD ，∵∠BAE ＝∠CBD ，∴∠1＝ ∠2.。
九年级中考数学考点训练——几何专题：《圆的综合》试卷(五)(Word版含答案)
九年级中考数学考点训练——几何专题：《圆的综合》（五）1．正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．（1）如图①，若点E在上，F是DE上的一点，DF＝BE．求证：△ADF≌△ABE；（2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE﹣BE＝AE．请说明理由；（3）如图②，若点E在上，连接DE，CE，已知BC＝5，BE＝1，求DE及CE的长．2．如图1，直线l⊥AB于点B，点C在AB上，且AC：CB＝2：1，点M是直线l上的动点，作点B关于直线CM的对称点B′，直线AB′与直线CM相交于点P，连接PB．（1）如图2，若点P与点M重合，则∠PAB＝，线段PA与PB的比值为；（2）如图3，若点P与点M不重合，设过P，B，C三点的圆与直线AP相交于D，连接CD，求证：①CD＝CB′；②PA＝2PB．3．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，直径AD与BC垂直，垂足为点E．（1）求证：∠ABC＝∠ACB；（2）连接OB，CD，若OB＝，CD＝5，求CE的长．4．问题提出（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是．问题探究（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是上一点，且＝2，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF 的长．问题解决（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，垂足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．①求y与x之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．5．如图，在⊙O中的内接四边形ABCD中，AB＝AD，E为弧AD上一点．（1）若∠C＝110°，求∠BAD和∠E的度数；（2）若∠E＝∠C，求证：△ABD为等边三角形．6．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点且AP ＝AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若AB＝2+，BC＝4，求⊙O的半径．7．等边三角形ABC内接于⊙O，点D在弧AC上，连接AD、CD、BD．（1）如图1，求证BD平分∠ADC；（2）如图2，若∠DBC＝15°，求证：AD：AC＝：；（3）如图3，若AC、BD交于点E，连接OE，且OE＝2，若BD＝3CD，求AD的长．8．如图1，在直角坐标系中，直线l与x、y轴分别交于点A（2，0）、B（0，）两点，∠BAO的角平分线交y轴于点D．点C为直线l上一点，以AC为直径的⊙G经过点D，且与x轴交于另一点E．（1）求出⊙G的半径r，并直接写出点C的坐标；（2）如图2，若点F为⊙G上的一点，连接AF，且满足∠FEA＝45°，请求出EF的长？9．定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝90°，那么称这样的三角形为“类直角三角形”．尝试运用（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，BD是∠ABC的平分线．①证明△ABD是“类直角三角形”；②试问在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“类直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．类比拓展（2）如图2，△ABD内接于⊙O，直径AB＝13，弦AD＝5，点E是弧AD上一动点（包括端点A，D），延长BE至点C，连结AC，且∠CAD＝∠AOD，当△ABC是“类直角三角形”时，求AC的长．10．如图，在∠DAM内部做Rt△ABC，AB平分∠DAM，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点N 为BC的中点，动点E由A点出发，沿AB运动，速度为每秒5个单位，动点F由A点出发，沿AM运动，速度为每秒8个单位，当点E到达点B时，两点同时停止运动，过A、E、F作⊙O．（1）判断△AEF的形状为，并判断AD与⊙O的位置关系为；（2）求t为何值时，EN与⊙O相切？求出此时⊙O的半径，并比较半径与劣弧长度的大小；（3）直接写出△AEF的内心运动的路径长为；（注：当A、E、F重合时，内心就是A点）（4）直接写出线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为．（参考数据：sin37°＝，tan37°＝，tan74°≈，sin74°≈，cos74°≈）参考答案1．解：（1）由圆周角定理得，∠ADF＝∠ABE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°，在△ADF和△ABE中，，∴△ADF≌△ABE（SAS）；（2）∵△ADF≌△ABE，∴AE＝AF，∠EAB＝∠FAD，∵∠BAD＝90°，∴∠EAF＝90°，∴△AEF为等腰直角三角形，∴EF＝AE，∴DE﹣BE＝AE；（3）如图，过点B作BH⊥CE于点H，∵四边形ABCD为正方形，故∠BEC＝45°，∠DEC＝45°，在△BEC中，BE＝1，BC＝5，∠EBC＝45°，则BH＝BE sin∠EBC＝1•sin45°＝＝EH，在Rt△BCH中，CH＝＝＝，EC＝EH+CH＝4；在△EDC中，∠DEC＝45°，CE＝4，CD＝BC＝5，过点C作CH⊥ED于点H，在Rt△ECH中，EC＝4，∠DEC＝45°，则CH＝EH＝EC＝4，在Rt△CDH中，CH＝4，CD＝5，则HD＝3，∴DE＝EH+CH＝7．2．解：（1）若点P与点M重合，如下图所示，∵点B、B关于CM对称，则PB＝PB′，B′C＝BC，而PC＝PC，∴△PB′C≌△PBC（SSS），故∠B＝∠PB′C＝90°，在Rt△AB′C中，B′C＝BC＝AC，∴∠PAB＝30°，在Rt△PAB中，∵∠A＝30°，∴PB＝PA，故答案为30°，2；（2）①∵B、C、D、P在圆上∴∠PBC＝∠B′DC，又∵B关于直线CM的对称点为B′，∴△PB′C≌△PBC（AAS），∴∠P B′C＝∠PBC，∴∠P B′C＝∠B′DC，∴CB′＝CD；②同理∠DCA＝∠APB且∠A＝∠A，∴△ACD∽△APB，∴，∵AC：CB＝2：1，又BC＝CB′＝CD，∴，∴，即AP＝2PB．3．（1）证明：∵AD⊥BC，∴＝，∴∠ABC＝∠ACB；（2）解：连接OC，如图，设OE＝x，则DE＝OD﹣OE＝﹣﹣x，在Rt△OEC中，CE2＝OC2﹣OE2＝（）2﹣x2，在Rt△CDE中，CE2＝CD2﹣DE2＝52﹣（﹣x）2，∴（）2﹣x2＝52﹣（﹣x）2，解得x＝，∴CE＝＝．4．解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，∴四边形CEDF是矩形，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴四边形CEDF是正方形，∴CE＝CF＝DE＝DF，故答案为：CF 、DE 、DF ； （2）连接OP ，如图2所示： ∵AB 是半圆O 的直径，＝2，∴∠APB ＝90°，∠AOP ＝×180°＝60°， ∴∠ABP ＝30°，同（1）得：四边形PECF 是正方形， ∴PF ＝CF ，在Rt △APB 中，PB ＝AB •cos ∠ABP ＝8×cos30°＝8×＝4，在Rt △CFB 中，BF ＝＝＝＝CF ，∵PB ＝PF +BF ， ∴PB ＝CF +BF ， 即：4＝CF +CF ，解得：CF ＝6﹣2；（3）①∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°， ∵CA ＝CB ， ∴∠ADC ＝∠BDC ，同（1）得：四边形DEPF 是正方形，∴PE ＝PF ，∠APE +∠BPF ＝90°，∠PEA ＝∠PFB ＝90°，∴将△APE 绕点P 逆时针旋转90°，得到△A ′PF ，PA ′＝PA ，如图3所示： 则A ′、F 、B 三点共线，∠APE ＝∠A ′PF ， ∴∠A ′PF +∠BPF ＝90°，即∠A ′PB ＝90°， ∴S △PAE +S △PBF ＝S △PA ′B ＝PA ′•PB ＝x （70﹣x ）， 在Rt △ACB 中，AC ＝BC ＝AB ＝×70＝35，∴S △ACB ＝AC 2＝×（35）2＝1225，∴y ＝S △PA ′B +S △ACB ＝x （70﹣x ）+1225＝﹣x 2+35x +1225； ②当AP ＝30时，A ′P ＝30，PB ＝AB ﹣AP ＝70﹣30＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B＝＝＝50，∵S＝A′B•PF＝PB•A′P，△A′PB∴×50×PF＝×40×30，解得：PF＝24，∴S＝PF2＝242＝576（m2），四边形PEDF∴当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2．5．解：（1）∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠C＝180°，∵∠C＝110°，∴∠BAD＝70°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝55°，∵四边形ABDE内接于⊙O，∴∠ABD+∠E＝180°，∴∠E＝125°．（2）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠C＝180°，∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴∠ABD+∠E＝180°，又∵∠E＝∠C，∴∠BAD＝∠ABD，∴AD＝BD，∵AB＝AD，∴AD＝BD＝AD，∴△ABD为等边三角形．6．（1）证明：连接OA，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线；（2）解：过点C作CE⊥AB于点E．在Rt△BCE中，∠B＝60°，BC＝4，∴BE＝BC＝2，CE＝2，∵AB＝2+，∴AE＝AB﹣BE＝，在Rt△ACE中，AC＝＝3，∴AP＝AC＝3．在Rt△PAO中，OA＝OP＝3，∴⊙O的半径为3．7．解：（1）∵△ABC为等边三角形，则∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵∠BDC＝∠BAC＝60°，∠ADC＝∠ACB＝60°＝∠BDC，∴BD平分∠ADC；（2）过点A作AH⊥BD于点H，在Rt△AHD中，∠ADH＝60°，设AD＝2a，则AH＝a，HD＝a，∵∠ABC＝60°，∠DBC＝15°，∴∠ABH＝60°﹣15°＝45°，∴△为等腰直角三角形，则AB＝AH＝a＝AC，∴AD：AC＝：；（3）设CD＝m，在DB上截取DF＝CD，连接CF，∵∠BDC＝60°，故△CDF为等边三角形，则CD＝DF＝CF＝m，∠DFC＝60°，则BD＝3CD＝3m，则BF＝2m，∵∠BFC＝180°﹣∠DFC＝120°＝∠ADC，∵FC＝CD，∠FBC＝∠CAD，∴△BFC≌△ADC（AAS），∴AD＝BF＝2m，∵∠DFC＝∠ADB＝60°，∴FC∥AD，∴△AED∽△CEF，故＝2，设EC＝2t，则AE＝4t，AC＝6t，SG＝CG＝3t，故GE＝t，连接AO，过点O作OG⊥AC于点G，∵△ABC为等边三角形，则∠OAG＝30°，在Rt△AOG中，OG＝AG tan∠OAG＝3t×＝t，在Rt△OGE中，OG＝t，GE＝t，OE＝2，由勾股定理得：（t）2+t2＝（2）2，解得t＝，则AC＝6；过点A作CD的垂线交CD的延长线于点K，在Rt△ADK中，∠ADK＝180°﹣∠ADC＝60°，AD＝2m，则DK＝m，AK＝m，在Rt△AKC中，AK＝m，KC＝KD+CD＝m+m＝2m，AC＝6，由勾股定理得：（m）2+（2m）2＝（6）2，解得m＝6，则AD＝2m＝12．8．解：（1）连接GD，EC．∵∠OAB的角平分线交y轴于点D，∴∠GAD＝∠DAO，∵GD＝GA，∴∠GDA＝∠GAD，∴∠GDA＝∠DAO，∴GD∥OA，∴∠BDG＝∠BOA＝90°，∵GD为半径，∴y轴是⊙G的切线；∵A（2，0），B（0，），∴OA＝2，OB＝，在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB＝＝＝设半径GD＝r，则BG＝﹣r，∵GD∥OA，∴△BDG∽△BOA，∴＝，∴r＝2（﹣r），∴r＝，∵AC是直径，∴∠AEC＝∠AOB＝90°，∴EC∥OB，∴＝＝，∴＝＝，∴EC＝2，AE＝，∴OE＝2﹣＝，∴C的坐标为（，2）；（2）过点A作AH⊥EF于H，连接CE、CF，∵AC是直径，∴AC＝2×＝∴∠AEC＝∠AFC＝90°∵∠FEA＝45°。
中考数学点对点-涉及圆的证明与计算问题(解析版)
专题27 涉及圆的证明与计算问题专题知识点概述圆的证明与计算是中考必考点，也是中考的难点之一。
纵观全国各地中考数学试卷，能够看出，圆的证明与计算这个专题内容有三种题型：选择题、填空题和解答题。
一、与圆有关的概念1．圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
2．圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。
圆心角的度数等于它所对弧的度数。
3.圆周角：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。
4. 外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心是三角形三条边垂直平分线的交点。
外心到三角形三个顶点的距离相等。
5．若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。
6.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
内心是三角形三个角的角平分线的交点。
内心到三角形三边的距离相等。
二、与圆有关的规律1.圆的性质：（1）圆具有旋转不变性；（2）圆具有轴对称性；（3）圆具有中心对称性。
2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
3．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。
5.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．6．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．7．圆内接四边形的特征①圆内接四边形的对角互补；②圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。
中考数学专题题库∶圆的综合的综合题及详细答案
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，AB为⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD的中点，连接
CD，CA．
（1）求证：∠ABD=2∠BDC； （2）过点C作CH⊥AB于H，交AD于E，求证：EA=EC； （3）在（2）的条件下，若OH=5，AD=24，求线段DE的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）92DE.
【解析】 【分析】 （1）连接AD，如图1，设∠BDC=α，∠ADC=β，根据圆周角定理得到∠CAB=∠BDC=α，由AB为⊙O直径，得到∠ADB=90°，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据已知条件得到∠ACE=∠ADC，等量代换得到∠ACE=∠CAE，于是得到结论； （3）如图2，连接OC，根据圆周角定理得到∠COB=2∠CAB，等量代换得到∠COB=∠ABD，根据相似三角形的性质得到OH=5，根据勾股定理得到
AB=22ADBD=26，由相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】 （1）连接AD．如图1，设∠BDC=α，∠ADC=β， 则∠CAB=∠BDC=α， ∵点C为弧ABD中点，∴AC=CD，∴∠ADC=∠DAC=β，∴∠DAB=β﹣α，
∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴α+β=90°，∴β=90°﹣α，∴∠ABD=90°﹣∠DAB=90°﹣
（β﹣α），∴∠ABD=2α，∴∠ABD=2∠BDC；
（2）∵CH⊥AB，∴∠ACE+∠CAB=∠ADC+∠BDC=90°， ∵∠CAB=∠CDB，∴∠ACE=∠ADC，
∵∠CAE=∠ADC，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE；
（3）如图2，连接OC，∴∠COB=2∠CAB， ∵∠ABD=2∠BDC，∠BDC=∠CAB，∴∠COB=∠ABD，
∵∠OHC=∠ADB=90°，∴△OCH∽△ABD，∴12OHOCBDAB，
∵OH=5，∴BD=10，∴AB=22ADBD
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中考数学确定圆的条件
专题练习及答案
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复习内容：确定圆的条件
教学目标：
1、理解不在同一直线上的三个点确定一个圆。
2、掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法。
3、了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念。
4、经历作圆的过程，进一步体会解决问题的策略。
教学重点：理解不在同一直线上三个点确定一个圆及作圆的方法
教学难点：过不在同一条直线上的三个点作圆的方法。
课堂教学：
知识点1：过三点的圆。
由圆的定义可知，圆有两个要素：一个是圆心，另一个是半径，圆心确定
圆的位置，半径确定圆的大小，作图的关键是确定圆心的位置和半径的大小。
探索1：作圆，使它经过已知点A
由于所求的圆的圆心和半径都没有限制，因此，只要以点A以外的任意一
点为圆心，以这一点（圆心）与点A的距离为半径，就可以作出要求作的圆，
这样的圆有无数个。
探索2：作圆，使它经过A，B两点。
要作经过A、B两个点的圆，就必须以与点A、B距离相等的点为圆心。所
以只要以线段AB为垂直平分线上任意一点为圆心，以这点与A或B的距离为半
径长，就可以作出要求作的圆，这样的圆也有无数个。
探索3：作圆，使它经过不在同一直线上的三个已知点。
作圆的关键是圆心和半径，要求圆心到三点的距离相等。因此符合这样条
件的点是唯一的，而半径也是唯一的。所以这样的圆是唯一的。
结论：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，同一直线上三点不能作圆。
知识点2：三角形外接圆、三角形的外心，圆的内接三角形的概念。
三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆
心是三角形的三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做
这圆的内接三角形。
如图，⊙O为△ABC的外接圆，O为△ABC的外心，△ABC是⊙O的内接三角
形。
说明：
1、锐角三角形的外心在三角形的内部
2、“接”说明三角形的顶点与圆的位置关系，“内”“外”是相对的位置关
系。
以三角形为准，那么圆在其外，并且三个顶点都在圆上，就说圆是三角形
的外接圆。
【典型例题】
例1. 下列命题中，真命题的个数是 （ ）
①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只
有一个内接三角形。③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接
圆，④三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等。
A. 4个 B. 3个 C. 2个
D. 1个
例2. 如图，直角坐标系中一条圆孤经过网格点A、B、C，其中B点坐标为
（4，4），则该圆孤所在的圆的圆心的坐标 。
例3. 图中△ABC外接圆的圆心坐标是
例4. 如图，方格纸上一圆经过（2，5），（2，－3）两点，则该圆圆心的
坐标为
例5. 一只猫观察到一老鼠洞的全部三个出口，它们不在一条直线上，这只
猫应蹲在
地方，才能最省力地顾及到三个洞口。
例6 已知，锐角△ABC用直尺和圆规，作△ABC的外接圆，写出作法，
并保留作图痕迹。
作法：
例7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，直角边长a， b是方程0242xx的两个
根。
求Rt△ABC的外接圆的半径。
分析：由直角三角形的外心为斜边中点可知，Rt△ABC的斜边AB即为其外
接圆直径，因此只要求出AB即可，而AB可由方程求得。
例8. 在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12求其外接圆的半径。
例9. 已知直线a：y＝x－3和点A（0，－3），B（3，0）设P为a上一点，
试判断P、A、B是否在同一个圆上。
分析：P、A、B三点能否确定圆的关键是判断P、A、B是否在同一直线
上，已知点P在直线a上，应判断A、B两点是否在直线a上。
例10. 大家知道：四个点不能确定一个圆，但是有些特殊的四边形的四个顶
点在同一个圆上请说出这些特殊的四边形，并研究这些四边形的四个内角之间
有什么特殊的大小关系。
解：特殊的四边形为矩形，正方形，等腰梯形，它们四个内角中相对的两
个内角和为180°
说明：本题是对不共线三点确定一个圆的知识的拓展，我们要善于联想，
大胆猜想，灵活运用所学知识探究出新的知识。
例11. 如图，已知圆的内接三角形ABC中，AB＝AC，D是BC边上的一点，E
是直线AD的延长线与△ABC外接圆的交点。
（1）求证：AB2＝AD·AE
（2）当D为BC延长线上一点时，第（1）问的结论成立吗？如果成立，请
证明，如果不成立，请说明理由。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 判断题（正确的在题后括号内打“√”，错误的打“×”）
（1）经过三个点一定可以作圆 （ ）
（2）三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等 （ ）
（3）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆 （ ）
（4）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形
（ ）
2. 三角形的外心是（ ）
（A） 三条边中线的交点 （B） 三条边高的交点
（C） 三条边垂直平分线的交点（D）三条角平分线的交点
3. 在同一个圆中画两条直径，依次连接四个端点得到的四边形是（ ）
（A） 菱形 （B） 等腰梯形 （C） 正方形 （D）矩形
4. 如图，P为正三角形ABC外接圆上一点，则∠APB等于（ ）
（A）150° （B）135° （C）115° （D）120°
5. 若△ABC的外接圆的圆心在△ABC的外部，则△ABC是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形
D. 无法确定
6. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 三点可确定一个圆
B. 三角形的外心是三角形三边中线的交点
C. 一个三角形有且只有一个外接圆
D. 三角形的外心必在三角形的内部或外部
7. 等腰直角三角形的外接圆的半径为 （ ）
A. 腰长 B. 腰长的22倍 C. 底边长的
2
2
倍 D. 腰上的高
8. Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5 ，AC＝12 则其外接圆半径为
9. 若直角三角形的两直角边长分别为6，8，则这个三角形的外接圆直径是
10. 等腰三角形ABC内接于半径为5cm的⊙O中，若底边BC＝8cm，则△ABC
的面积是
11. 在Rt△ABC中，如果两条直角边的长分别为3、4，那么Rt△ABC的外接
圆的面积为
12. 等边三角形的边长为4，则此三角形外接圆的半径为
13. 如图，是一块残破的圆轮片，A、B、C是圆弧上的三点
（1）作出弧ACB所在的⊙O（不写作法，保留作图痕迹）
（2）如果AC＝BC＝60cm，∠ACB＝120°，
求该残破圆轮片的半径。
【试题答案】
1. ⑴× ⑵√ ⑶√ ⑷×
3. D 4. D 5. C 6. C 7. B 8.
9. 10 10. 8cm2或32 cm2 11. 425 12.
3
34
13. （1）作图略 （2）60cm