3.2立体几何中的向量方法第1课时优秀教学设计
立体几何中的向量方法——平行与垂直关系
3.2立体几何中的向量方法导学案第1课时(平行与垂直关系）【学习目标】1.直线的方向向量与平面的法向量的概念及求法；2.用向量研究平行、垂直关系.【重点难点】1.求直线的方向向量与平面的法向量；用向量研究平行、垂直关系；用向量研 究平行、垂直关系.1.直线的方向向量： 图示：注：直线的方向向量不唯一，但它们都是 向量.2.平面的法向量： 图示：注：平面的法向量不唯一，但它们都是 向量. 3.空间平行与垂直关系： （1）直线与直线平行：设直线m l ,的方向向量分别为111222(,,),(,,)a a b c b a b c ==r r，则⇔m l // ⇔ ⇔ .（2）直线与平面平行：设直线l 的方向向量为111(,,)a a b c =r ，平面α的法向量为111(,,)u x y z =r，则 ⇔α//l ⇔ ⇔（3）平面与平面平行：设平面βα,的法向量分别为111222(,,),(,,)u x y z v x y z ==r r则⇔βα// ⇔ ⇔ .（4）直线与直线垂直：设直线m l ,的方向向量分别为111222(,,),(,,)a a b c b a b c ==r r，则⇔⊥m l ⇔ ⇔ .（5）直线与平面垂直：设直线l 的方向向量为111(,,)a a b c =r ，平面α的法向量为111(,,)u x y z =r，则 ⇔⊥αl ⇔ ⇔ .（6）平面与平面垂直：设平面βα,的法向量分别为111222(,,),(,,)u x y z v x y z ==r r则⇔⊥βα ⇔ ⇔ .同步强化练习：(1)设a r ，b r分别是直线l 1，l 2的方向向量，根据下列条件判断l 1与l 2的位置关系：①a r ＝(2，3，－1)， b r ＝(－6，－9，3)； （ ） ②a r ＝(5，0，2)， b r ＝(0，4，0)； （ ） ③a r＝(－2，1，4)， b r＝(6，3，3)．（）(2)设u r 是平面α的法向量，a r是直线l 的方向向量，根据下列条件判断α和l 的位置关系：①u r ＝(2，2，－1)， a r＝(－3，4，2)；（ ）②u r ＝(0，2，－3)， a r＝(0，－8，12)； （ ） ③u r ＝(4，1，5)， a r＝(2，－1，0)． （ ） (3)设u r ，v r分别是平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系：①u r ＝(1，－1,2)， v r ＝(3，2，－12)；（ ） ②u r＝(0，3，0)， v r＝(0，－5，0)； （ ） ③u r＝(2，－3，4)，v r＝(4，－2，1)．（）探究1：求平面的法向量 例1 在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平面ACD 1的一个法向量n r.变式训练1：在如图所示的坐标系中，ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体,给出下列结论：其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4探究2：向量法证明平行、垂直问题例2 如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为AB 、B 1C 的中点． （1）证明平面A 1BD ∥平面B 1CD 1；（2）证明MN ⊥面A 1BD ．变式训练2-1：如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，若6,3===CD AD PA .（1）求证：AF ∥平面PCE （2）求证：平面PCE ⊥平面PCD变式训练2-2：如图,在正方体AC 1中,O 为底面ABCD 的中心,P 是DD 1的中点.设Q 是CC 1上的 点.当点Q 在什么位置时,平面D 1BQ ∥平面PAO?。
3.2立体几何中的向量方法1
AB=AC=1, 则AC1与截面 1CC1所成 与截面BB
3 1 0 角的余弦值为_________ 角的余弦值为 1 0
.
0
3正方体中 正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的 正方体中 为
45 中点, 则二面角E-BC-A的大小是 的大小是__________ 中点 则二面角 的大小是
θ = π m, n
m
n
θ
L
注意法向量的方向: 注意法向量的方向:同进 同出, 同出,二面角等于法向量 夹角的补角;一进一出, 夹角的补角;一进一出, 二面角等于法向量夹角
) 若二面角α l β 的大小为 θ (0 ≤ θ ≤ π , 则 cos θ =
uv u v
.
3. 线面角
设n为平面 α的法向量,直线 与平面α所 为平面 的法向量,直线AB与平面 成的角为 θ 1 ,向量 AB 与n所成的角为θ 2 , 所成的角为 则
cosθ = cos AB, CD =
B A C L D
AB AB CD AB CD
2,二面角 ,
将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角. ②法向量法 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角 . 如图, 如图,向量 n ⊥α,m ⊥ β , 则二面角α l β 的大小 θ =〈m, n 〉
z P
A B E D x C y
为原点, 解:以A为原点,AD,AB,AP所在的直线分 为原点 所在的直线分 别为X轴 别为 轴,Y轴,Z轴,建立空间直角坐标系, 轴 轴 建立空间直角坐标系, 设BE=m,则 A(0, 0, 0), P (0, 0,1), D ( 3, 0, 0), E (m,1, 0), , ∴ AP = (0, 0,1), DP = ( 3, 0,1), DE = (m 3,1, 0)
3.2 向量法解决平行问题
AP t a
2、平面的法向量
换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面
的法向量
l
平面 α的向量式方程
a AP 0
a
P
A
总结:如何求平面的法向量
⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 ) ⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
n1·D→A＝2x1＝0， 即n·A→E＝2y1＋z1＝0，
x1＝0， 得
z1＝－2y1.
令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2). 因为F→C1·n1＝－2＋2＝0，所以F→C1⊥n1. 又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.
(2)平面ADE∥平面B1C1F. 证明 —C—1B→1＝(2,0,0)，设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量.
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l a // u a u
l
a
A
u
C B
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则 （3） u v u v 0
β
u
v
α
四、平行关系：
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ，平面 ,
－2x＋y＋3z＝0， 即
x－y＝0，
x＝3z，
解得
令 z＝1，则 x＝y＝3.
x＝y.
故平面ABC的一个法向量为n＝(3,3,1).
题型二 利用空间向量证明平行问题
3.2.1立体几何中的向量方法(一)(平行与垂直)
P
G
D A X B
C Y
Z
方法一： 立体几何法
P
方法二：向量法
E
D A X
G
C B
Y
例题4：棱长为a 的正方体
OABC O' A' B' C '
中,E、F分别是棱AB,OA上的动点，且AF=BE,求证：
A F O E
1 1
解：如图所示建立空间 O’ 直角坐标系，设AF=BE=b. C’ A1 (a, a, a) F (0, a b,0)
E
A１F O1 E
例5： 正方体ABCD A1 B1C1 D1 ,E是AA1中点，
求证：平面EBD
平面C1BD.
方法一：几何法
E
方法二：向量法
练习 四棱锥P - ABCD中, 底面ABCD是 正方形, PD 底面ABCD, G是PB上的点, 求证 : 平面GAC 平面PDB
Z
3.2.1立体几何中的向量方法(一)
-----直线的方向向量与平面的法向量
１．直线的方向向量
如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。
换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量
A
l
a
P
直线ｌ的向量式方程
AP ta
2、平面的法向量
换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面
的法向量
l
a
A
P
例题1.
如图所示, 正方体的棱长为1
(1,0,0) (1)直线OA的一个方向向量坐标为___________
(0,0,1) (2)平面OABC 的一个法向量坐标为___________ (-1,-1,1) (3)平面AB C 的一个法向量坐标为___________
3.2立体几何中的向量方法
例1 如图 3.2 3 , 一个结晶 体形状为四棱柱 , 其中, 以顶 点A为端点的三条棱长都相 等, 且它们彼 此 的夹角都 是
D1
C1 B1
A1
D
60 0 , 那么这个顶点为端点的A B 晶体的对角线的长与棱 长有 图3.2 3 什么关系? 分析 如图3.2 3,由于四棱柱的棱之间具 有平行
ka2 , b1 kb2 , c1 kc2 图3.2 22.
我们随时随地看到向量 运算的 作用, 你同意"向量是躯体, 运算 是灵魂""没有运算的向量只能 起路标的作用 "的说法吗?
l u
v
图3.2 2 2
探究 1. 如图3.2 23, 若 直线l和平面的夹角为 , 你能用u, v表示 吗?
l // u v u v 0 a1 a2 b1b2 c1c2 0图3.2 21;
u
l
v
l u // v u kv a1 , b1 , c1 k a2 , b2 , c2 a1
图3.2 2 1
l
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置, 所以我们可以利用直线 的方向向量与平面 的法向量表示空间直线 、平面间的平行、垂直 、 夹角等位置关系 .
u
l l l
v
u
v
u
v
1
2
图3.2 2
1
例如, 图3.2 2, 设直线l的方向向量是u a1 , b1 , c1 , 平面的法向量v a2 , b2 , c2 , 则
C
关系, 所以以A为起点的三个向量可以 将各棱用向 , 不妨设这三个向量的模 都 量形式表示 .根据题设 AC1的长, 可以将AC1用与棱 等于1.为了求出对角线 相关的向量表示出来 .
§3.2 立体几何中的向量方法(一)——空间向量与平行关系
§3.2立体几何中的向量方法(一)——空间向量与平行关系课时目标 1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题.2.能用向量语言表述线线，线面，面面的平行关系．1．直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线________或______的向量，一条直线的方向向量有________个．2．平面的法向量直线l⊥α，取直线l的____________a，则向量a叫做平面α的__________．3．空间中平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，且a2b2c2≠0，则l∥m⇔______________⇔__________⇔________________________.(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔________⇔__________⇔________________________.(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔__________⇔__________⇔________________________.一、选择题1．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α的一个法向量的是()A．(0，－3,1) B．(2,0,1)C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1)2．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A．(1,2,3) B．(1,3,2)C．(2,1,3) D．(3,2,1)3．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为() A．(1，－1,1) B．(2，－1,1)C．(－2,1,1) D．(－1,1，－1)4．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为() A．(－9，－7,7) B．(18,17，－17)C．(9,7，－7) D．(－14，－19,31)5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B、AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A．相交B．平行C．垂直D．不能确定6．已知线段AB的两端点的坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则与线段AB平行的坐标平面是()A ．xOyB ．xOzC ．yOzD ．xOy 或yOz二、填空题7．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的单位法向量坐标为________________________．8．已知直线l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，且l ∥α，则m ＝________. 9.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、P 、Q 分别为棱AB 、CD 、BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则 ①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥面DCC 1D 1； ④A 1M ∥面D 1PQB 1.以上结论中正确的是________．(填写正确的序号) 三、解答题10．已知平面α经过三点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2，0)，试求平面α的一个法向量． 11.如图所示，在空间图形P —ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，CD ∥AB ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，且PB ＝4PM ，∠PBC ＝30°，求证：CM ∥平面P AD .【能力提升】12．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.13.如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝60°，P A⊥平面ABCD，P A＝AC ＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．平行关系的常用证法（1）证明线线平行只需要证明表示两条直线的向量满足实数倍数关系，如证明AB ∥CD只需证AB →＝λCD →.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直线在平面外．证面面平行可转化证两面的法向量平行．(2)证明线面平行问题或面面平行问题时也可利用立体几何中的定理转化为线线平行问题，再利用向量进行证明．§3.2 立体几何中的向量方法(一)——空间向量与平行关系知识梳理1．平行 重合 无数 2．方向向量 法向量3．(1)a ∥b a ＝λb a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2(a 2b 2c 2≠0)(2)a ⊥u a·u ＝0 a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0(3)u ∥v u ＝k v a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2(a 2b 2c 2≠0)作业设计1．D [只要是与向量n 共线且非零的向量都可以作为平面α的法向量．故选D.]2．A [∵AB →＝(2,4,6)，而与AB →共线的非零向量都可以作为直线l 的方向向量，故选A.]3．C [显然a 与b 不平行，设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧a·n ＝0，b·n ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋z ＝0，5x ＋6y ＋4z ＝0. 令z ＝1，得x ＝－2，y ＝1，∴n ＝(－2,1,1)．]4．B [设B (x ，y ，z )，AB →＝(x －2，y ＋1，z －7) ＝λ(8,9，－12)，λ>0.故x －2＝8λ，y ＋1＝9λ，z －7＝－12λ， 又(x －2)2＋(y ＋1)2＋(z －7)2＝342， 得(17λ)2＝342，∵λ>0，∴λ＝2.∴x ＝18，y ＝17，z ＝－17，即B (18,17，－17)．]5．B [可以建立空间直角坐标系，通过平面的法向量AB →和MN →的关系判断．]6．C [AB →＝(0,5，－3)，AB 与平面yOz 平行．]7.⎝⎛⎭⎫33，33，33或⎝⎛⎭⎫－33，－33，－338．－8解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量与α的法向量垂直．∴(2，m,1)·⎝⎛⎭⎫1，12，2＝2＋12m ＋2＝0，∴m ＝－8. 9．①③④解析 ∵A 1M →＝AM →－AA 1→＝D P →－DD 1→＝D 1P →， ∴A 1M ∥D 1P .∵D 1P ⊂面D 1PQB 1，∴A 1M ∥面D 1PQB 1. 又D 1P ⊂面DCC 1D 1，∴A 1M ∥面DCC 1D 1. ∵B 1Q 为平面DCC 1D 1的斜线，∴B 1Q 与D 1P 不平行，∴A 1M 与B 1Q 不平行． 10．解 ∵A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，∴AB →＝(1，－2，－4)，AC →＝(2，－4，－3)， 设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )．依题意，应有n ·AB →＝0，n ·AC →＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －4z ＝02x －4y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y z ＝0. 令y ＝1，则x ＝2.∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)．11．证明 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz . 方法一 ∵∠PBC ＝30°，PC ＝2， ∴BC ＝23，PB ＝4.于是D (1,0,0)，C (0,0,0)，A (4,23，0)，P (0,0,2)． ∵PB ＝4PM ，∴PM ＝1，M ⎝⎛⎭⎫0，32，32.∴CM →＝⎝⎛⎭⎫0，32，32，DP →＝(－1,0,2)，DA →＝(3，23，0)．设CM →＝x DP →＋y DA →，其中x ，y ∈R .则⎝⎛⎭⎫0，32，32＝x (－1,0,2)＋y (3,23，0)．∴⎩⎨⎧－x ＋3y ＝023y ＝322x ＝32，解得x ＝34，y ＝14.∴CM →＝34DP →＋14DA →，∴CM →，DP →，DA →共面．∵CM ⊄平面P AD ，∴CM ∥平面P AD .方法二 由方法一可得CM →＝⎝⎛⎭⎫0，32，32，DP →＝(－1,0,2)，DA →＝(3,23，0)．设平面P AD的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有，即⎩⎨⎧－x ＋2z ＝03x ＋23y ＝0.令x ＝1，解得z ＝12，y ＝－32.故n ＝⎝⎛⎭⎫1，－32，12.又∵CM →·n ＝⎝⎛⎭⎫0，32，32·⎝⎛⎭⎫1，－32，12＝0.∴CM →⊥n ，又CM ⊄平面P AD . ∴CM ∥平面P AD .12．证明 方法一 ∵B 1C →＝A 1D →，B 1∉A 1D ， ∴B 1C ∥A 1D ，又A 1D ⊂平面ODC 1，∴B 1C ∥平面ODC 1.方法二 ∵B 1C →＝B 1C 1→＋B 1B →＝B 1O →＋OC 1→＋D 1O →＋OD →＝OC 1→＋OD →. ∴B 1C →，OC 1→，OD →共面．又B 1C ⊄平面ODC 1，∴B 1C ∥平面ODC 1. 方法三建系如图，设正方体的棱长为1，则可得 B 1(1,1,1)，C (0,1,0)， O ⎝⎛⎭⎫12，12，1，C 1(0,1,1)， B 1C →＝(－1,0，－1)，OD →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，－1，OC 1→＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0. 设平面ODC 1的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，则得⎩⎨⎧－12x 0－12y 0－z 0＝0， ①－12x 0＋12y 0＝0， ②令x 0＝1，得y 0＝1，z 0＝－1，∴n ＝(1,1，－1)． 又B 1C →·n ＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0， ∴B 1C →⊥n ，且B 1C ⊄平面ODC 1， ∴B 1C ∥平面ODC 1.13．解 方法一 当F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC . ∵BF →＝BC →＋12CP →＝AD →＋12(CD →＋DP →)＝AD →＋12(AD →－AC →)＋32(AE →－AD →)＝32AE →－12AC →. ∴BF →、AE →、AC →共面． 又BF ⊄平面AEC ， ∴BF ∥平面AEC . 方法二如图，以A 为坐标原点，直线AD 、AP 分别为y 轴、z 轴，过A 点垂直于平面P AD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系．由题意，知相关各点的坐标分别为A (0,0,0)，B ⎝⎛⎭⎫32a ，－12a ，0，C ⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，0，D (0，a,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎫0，23a ，13a . 所以AE →＝⎝⎛⎭⎫0，23a ，13a ，AC →＝⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，0， AP →＝(0,0，a )，PC →＝⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，－a ，BP →＝⎝⎛⎭⎫－32a ，12a ，a .设点F 是棱PC 上的点，PF →＝λPC →＝⎝⎛⎭⎫32aλ，12aλ，－aλ，其中0<λ<1， 则BF →＝BP →＋PF →＝⎝⎛⎭⎫32aλ－1 ，12a 1＋λ，a 1－λ，令BF →＝λ1AC →＋λ2AE →即⎩⎪⎨⎪⎧λ－1＝λ1，1＋λ＝λ1＋43λ2，1－λ＝13λ2.解得λ＝12，λ1＝－12，λ2＝32，即λ＝12时，BF →＝－12AC →＋32AE →，即F 是PC 的中点时，BF →、AC →、AE →共面．又BF ⊄平面AEC ，所以当F 是棱PC 的中点时，BF∥平面AEC.。
第1课时 空间向量与平行关系
内，则有a n0.
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面 的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量 与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、 垂直、夹角等关系.
你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、 垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用 平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置 关系以及它们二面角的大小吗？
怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？
⑴点 在空间中，我们取一定点 O 作为基点，
那么空间中任意一点 P 的位置就可以用向量
OP 来表示，我们把向量 OP 称为点 P 的位置向
量.
P
O
⑵直线
P
a
B A
空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A 以及一个定方向确定.
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
αb
uｍ
l
p = x a + y b ,x ,y R .
因 为 p×v = x a + y b ×v
= x a×v + y b×v = 0 .
v
β
即 平 面 β 的 法 线 与 平 面 α 内 任 一 直 线 垂 直 . 所 以 平 面 β 的 法 向 量 也 是 平 面 α 的 法 向 量 ， 即 u∥ v.因 此 ， α ∥ β .
证 明 :取 l,m的 方 向 向 量 a,b, 取 α , β 的 法 向 量 u,v.
因 为 l ∥ β , m ∥ β , 所 以 a ⊥ v , b ⊥ v .
所 以 a v 0 ,b v 0 .
因 为 l ,m α ,且 l ,m 相 交 ，
所以α内任一直线的方向向量p