离散型随机变量的均值与方差基础练习题.docx
第六节 离散型随机变量的均值与方差
所以
mn=0.06;
D(X)=E(X2)-(E(X))2=0.7-0.25=0.45.
答案:0.06 0.45
高频考点突破
考点一 离散型随机变量的均值与方差
[例1] 设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分, 取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分. (1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个 球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列;
考点二 与两点分布、二项分布有关的均值、方差 [例2] 一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分 布直方图,如图所示.
将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的销售量 低于50个的概率;
又因为 p= 1 ,所以 q= 5 .
4
12
(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资,如果一年后
他们中至少有一人获利的概率大于 4 ,求 p 的取值范围; 5
解:(2)记事件 A 为“甲投资股市且盈利”,事件 B 为“乙购买基金且盈利”,事
件 C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”,则 C=A B ∪ A B∪AB,且 A,B
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何 种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?
解:(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为 X1,都选择方案乙抽奖中奖次数 为 X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2X1),选择方案乙抽奖累计
得分的数学期望为 E(3X2).由已知可得,X1～B(2, 2 ),X2～B(2, 2 ),
2021新教材人教版高中数学A版选择性必修第三册模块练习题--7.3.2 离散型随机变量的方差
7.3.2离散型随机变量的方差基础过关练题组一离散型随机变量的方差与标准差1.(2020广东佛山顺德一中高二下期末)已知离散型随机变量X的分布列如下,则D(X)=( )X 0 2 4P 141214A.1B.2C.3D.42.(2020广东实验中学南海学校高二下期中)已知随机变量X的分布列如下表,则X的标准差为( )X 1 3 5P 0.4 0.1 xA.3.56B.√3.2C.3.2D.√3.563.(2020山东临沂罗庄第一中学高二下期中)编号为1,2,3的3位同学随意入座编号为1,2,3的3个座位,每位同学坐一个座位,设与座位编号相同的学生个数是X,则X的方差为( )A.√2B.√22C.12D.14.(多选)已知离散型随机变量X 的分布列如下表,则( )X -1 0 1 P121316A.P(X=0)=13B.E(X)=-13C.D(X)=2327D.D(X 2)=295.(2020天津静海第一中学高二期中)随机变量X 的可能取值为0,1,2,若P(X=0)=14,E(X)=1,则D(X)= .题组二 离散型随机变量的方差的性质6.(2020江苏宿迁宿豫中学高二下阶段检测)已知随机变量Y,X 之间的关系为Y=2X+3,且D(X)=7,则D(Y)=( ) A.7 B.17 C.28 D.637.若随机变量X 满足E(2X+3)=7,D(2X+3)=16,则下列结论正确的是( ) A.E(X)=72,D(X)=132B.E(X)=2,D(X)=4C.E(X)=2,D(X)=8D.E(X)=74,D(X)=88.(2020海南海口四中高三上月考)已知随机变量X 的分布列为X 0 1 x P12 13 pE(X)=23.(1)求D(X);(2)若Y=3X-2,求D(Y).题组三 均值与方差的简单应用9.若X 是离散型随机变量,P(X=x 1)=23,P(X=x 2)=13,且x 1<x 2,已知E(X)=43,D(X)=29,则x 1+x 2的值为( ) A.53B.73C.3D.11310.(2019山东枣庄高二下期末)已知随机变量X 的分布列如下表,若E(X)=1,D(2X+1)=2,则p=( )X 0 a 2 P 12-p 12pA.13B.14C.15D.1611.(2019山东菏泽鄄城一中高二下月考)有三张形状、大小、质地完全相同的卡片,在卡片上分别写上0,1,2,现从中任意抽取一张,将其上数字记作x,然后放回,再抽取一张,将其上数字记作y,令X=xy.求: (1)X 的分布列; (2)X 的数学期望与方差.能力提升练题组一离散型随机变量的方差1.()随机变量X的分布列如下表,其中a,b,c成等差数列,则D(X)的最大值为( )X 1 2 3P a b cA.29B.59C.34D.232.(多选)(2020河南顶级名校高三联考,)已知随机变量X的分布列如下表,则下列说法正确的是( )X x yP y xA.存在x,y∈(0,1),E(X)>12B.对任意x,y∈(0,1),E(X)≤12C.对任意x,y∈(0,1),D(X)≤E(X)D.存在x,y∈(0,1),D(X)>143.(2020山东德州高三上期末,)随机变量X 的可能取值为0,1,2,P(X=0)=0.2,D(X)=0.4,则E(X)= . 4.(原创)()已知随机变量X 的分布列如下:X 0 1 2 Pabc在①a=b -c,②E(X)=1这两个条件中任选一个,并判断当a 在(0,12)内增大时,D(X)是否随着a 的增大而增大,请说明理由.题组二 离散型随机变量的均值与方差的应用 5.()如图,某工人的住所在A 处,上班的企业在D 处,开车上、下班时有三条路程几乎相等的路线可供选择:环城南路经过路口C,环城北路经过路口F,中间路线经过路口G.如果开车到B,C,E,F,G 五个路口时因遇到红灯而堵车的概率分别为15,12,14,13,16,此外再无别的路口会遇到红灯.(1)为了减少开车到路口时因遇到红灯而堵车的次数,这位工人应该选择哪条行驶路线?(2)对于(1)中所选择的路线,求其堵车次数的方差.6.(2019福建龙岩一级达标校高二下期末联考,)为回馈顾客,某购物商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励.规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球(球的大小、形状完全相同),球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为40元,其余3个所标的面值均为20元,求顾客所获的奖励额X的分布列及数学期望;(2)商场对奖励总额的预算是30 000元,并规定袋中的4个球由标有面值为20元和40元的两种球共同组成,或标有面值为15元和45元的两种球共同组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡.请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.提示:袋中的4个球由标有面值为a元和b元的两种球共同组成,即袋中的4个球所标的面值“既有a元又有b元”.答案全解全析7.3.2 离散型随机变量的方差基础过关练1.B 由已知得E(X)=0×14+2×12+4×14=2,所以D(X)=(0-2)2×14+(2-2)2×12+(4-2)2×14=2.2.D 易知0.4+0.1+x=1,解得x=0.5, ∴E(X)=1×0.4+3×0.1+5×0.5=3.2,∴D(X)=(1-3.2)2×0.4+(3-3.2)2×0.1+(5-3.2)2×0.5=3.56, ∴X 的标准差为√D (X )=√3.56. 故选D.3.D 由题意得X 的可能取值为0,1,3, P(X=0)=2A 33=13,P(X=1)=3A 33=12, P(X=3)=1A 33=16,∴E(X)=0×13+1×12+3×16=1,∴D(X)=(0-1)2×13+(1-1)2×12+(3-1)2×16=1.故选D.4.ABD 由X 的分布列可知P(X=0)=13,所以A 正确;根据离散型随机变量分布列的期望与方差的计算公式可得,E(X)=(-1)×12+0×13+1×16=-13,所以D(X)=(-1+13)2×12+(0+13)2×13+(1+13)2×16=59,所以B 正确,C 不正确;因为P(X 2=0)=13,P(X 2=1)=23,所以E(X 2)=23,所以D(X 2)=(0-23)2×13+(1-23)2×23=29,所以D 正确. 故选ABD.5.答案 12解析 P(X=0)=14,则P(X=1)+P(X=2)=34,E(X)=P(X=1)+2P(X=2)=1,故P(X=1)=12,P(X=2)=14,所以D(X)=14×(0-1)2+12×(1-1)2+14×(2-1)2=12.6.C ∵Y=2X+3,D(X)=7, ∴D(Y)=D(2X+3)=22D(X)=28. 故选C.7.B ∵E(2X+3)=2E(X)+3=7,D(2X+3)=4D(X)=16,∴E(X)=2,D(X)=4,故选B. 8.解析 (1)由题意可得12+13+p=1,解得p=16.又E(X)=0×12+1×13+x×16=23,∴x=2,∴D(X)=(0-23)2×12+(1-23)2×13+(2-23)2×16=59.(2)∵Y=3X -2,∴D(Y)=D(3X -2)=9D(X)=9×59=5.9.C ∵E(X)=43,D(X)=29,∴{23x 1+13x 2=43,23(x 1-43)2+13(x 2-43)2=29,解得{x 1=1,x 2=2,或{x 1=53,x 2=23(不合题意,舍), ∴x 1+x 2=3.10.B 由题意得,E(X)=0×(12-p)+a×12+2×p=1,∴a2+2p=1,①又知D(2X+1)=2,由方差的性质知,D(2X+1)=4D(X),∴D(X)=12,∴D(X)=(0-1)2×(12-p)+(a-1)2×12+(2-1)2×p=12,即a 2-2a+1=0,所以a=1.将a=1代入①式,得p=14.故选B.11.解析 (1)随机变量X 的可能取值为0,1,2,4,“X=0”是指两次取的卡片上的数字至少有一次为0,其概率P(X=0)=1-23×23=59,“X=1”是指两次取的卡片上的数字均为1,其概率P(X=1)=13×13=19,“X=2”是指两次取的卡片上一个数字为1,另一个数字为2,其概率P(X=2)=2×13×13=29,“X=4”是指两次取的卡片上的数字均为2,其概率P(X=4)=13×13=19.则X 的分布列为X 0 1 2 4 P591929 19(2)由(1)知,E(X)=0×59+1×19+2×29+4×19=1,所以D(X)=(0-1)2×59+(1-1)2×19+(2-1)2×29+(4-1)2×19=169.能力提升练1.D ∵a,b,c 成等差数列,∴2b=a+c, 又∵a+b+c=1, ∴b=13,c=23-a,0≤a≤23,∴E(X)=a+2b+3c=83-2a,则D(X)=[1-(83-2a)]2×a+[2-(83-2a)]2×13+[3-(83-2a)]2×(23-a)=-4a 2+83a+29=-4(a -13)2+23,又0≤a≤23,∴当a=13,即a=b=c=13时,D(X)取得最大值23.故选D.2.BC 依题意可得x+y=1,E(X)=2xy,又2xy≤(x+y )22=12,所以E(X)≤12,当且仅当x=y=12时取等号,∴A 错误,B 正确;D(X)=(x-2xy)2y+(y-2xy)2x=(1-2y)2x 2y+(1-2x)2y 2x=[(1-2y)2x+(1-2x)2y]yx=[(2x-1)2x+(1-2x)2y]yx=(1-2x)2(x+y)yx=(1-2x)2yx, ∵0<x<1, ∴-1<2x-1<1, ∴0<(2x -1)2<1,∴D(X)<yx,即D(X)<12E(X),∴C 正确;∵D(X)=(1-2x)2yx<xy≤(x+y )24=14,当且仅当x=y=12时取等号. ∴D 错误. 故选BC. 3.答案 1解析 设P(X=2)=x,其中0≤x≤0.8, 则P(X=1)=0.8-x,∴E(X)=0×0.2+1×(0.8-x)+2x=x+0.8,∴D(X)=(x+0.8)2×0.2+(0.2-x)2×(0.8-x)+(1.2-x)2x=0.4, 解得x=0.2(x=1.2舍去), 因此,E(X)=0.2+0.8=1.4.解析 若选择①,则有{a +b +c =1,a =b -c ,可得b=12,则E(X)=b+2c=32-2a,所以D(X)=(2a -32)2a+(2a -12)2b+(2a +12)2c=-4a 2+2a+14=-4(a -14)2+12,所以当a∈(0,14)时,D(X)随着a 的增大而增大,当a∈(14,12)时,D(X)随着a 的增大而减小. 若选择②,则有{a +b +c =1,E (X )=b +2c =1,可得a=c,因此D(X)=a+c=2a,所以当a 在(0,12)内增大时,D(X)随着a 的增大而增大.5.解析 (1)设这位工人选择行驶路线A —B —C —D 、A —F —E —D 、A —B —G —E —D 时堵车的次数分别为X 1、X 2、X 3,则X 1、X 2的可能取值均为0,1,2,X 3的可能取值为0,1,2,3. P(X 1=0)=45×12=25,P(X 1=1)=15×12+45×12=12,P(X 1=2)=15×12=110,所以E(X 1)=0×25+1×12+2×110=710.P(X 2=0)=23×34=12,P(X 2=1)=13×34+23×14=512,P(X 2=2)=13×14=112,所以E(X 2)=0×12+1×512+2×112=712.P(X 3=0)=45×56×34=12,P(X 3=1)=15×56×34+45×16×34+45×56×14=47120,P(X 3=2)=45×16×14+15×56×14+15×16×34=110, P(X 3=3)=15×16×14=1120,所以E(X 3)=0×12+1×47120+2×110+3×1120=3760.综上,E(X 2)最小,所以这位工人应该选择行驶路线A —F —E —D.(2)由(1)知E(X 2)=712,P(X 2=0)=12,P(X 2=1)=512,P(X 2=2)=112,则D(X 2)=(0-712)2×12+(1-712)2×512+(2-712)2×112=59144,所以该条行驶路线堵车次数的方差为59144.6.解析 (1)由题意得随机变量X 的可能取值为40,60, P(X=40)=C 32C 42=12,P(X=60)=C 11C 31C 42=12.所以X 的分布列为X 40 60 P12 12所以顾客所获的奖励额的期望E(X)=40×12+60×12=50.(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为30 000÷500=60元, 所以可先寻找使期望为60的可能方案: ①当球标有的面值为20元和40元时,若选择“20,20,20,40”的面值设计,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60;若选择“40,40,40,20”的面值设计,因为60元是面值之和的最小值,所以期望不可能为60.因此可能的面值设计是选择“20,20,40,40”,设此方案中顾客所获的奖励额为X 1,则X 1的可能取值为40,60,80, P(X 1=40)=C 22C 42=16,P(X 1=60)=C 21C 21C 42=23,P(X 1=80)=C 22C 42=16.所以X 1的分布列为X 1 40 60 80 P162316所以E(X 1)=40×16+60×23+80×16=60.D(X 1)=(40-60)2×16+(60-60)2×23+(80-60)2×16=4003.②当球标有的面值为15元和45元时,同理可排除“15,15,15,45”和“45,45,45,15”的面值设计,所以可能的面值设计是选择“15,15,45,45”,设此方案中顾客所获的奖励额为X 2,则X 2的可能取值为30,60,90, P(X 2=30)=C 22C 42=16,P(X 2=60)=C 21C 21C 42=23,P(X 2=90)=C 22C 42=16.所以X 2的分布列为X 2 30 60 90 P162316所以E(X 2)=30×16+60×23+90×16=60.D(X 2)=(30-60)2×16+(60-60)2×23+(90-60)2×16=300.因为E(X 1)=E(X 2)=60,D(X 1)<D(X 2), 所以两种方案奖励额的期望都符合要求,但面值设计方案为“20,20,40,40”的奖励额的方差要比面值设计方案为“15,15,45,45”的奖励额的方差小,所以应该选择面值设计方案“20,20,40,40”,即标有面值20元和面值40元的球各2个.。
考点62 离散型随机变量均值与方差、正态分布-2020年领军高考数学(理)一轮必刷题
考点62 离散型随机变量均值与方差、正态分布1．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）一试验田某种作物一株生长果个数x 服从正态分布()290,N σ，且()700.2P x <=，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[]90,110的株数记作随机变量X ，且X 服从二项分布，则X 的方差为（ ）A ．3B ．2.1C ．0.3D ．0.21【★答案★】B 【解析】∵290(),x N δ～，且()700.2P x <=，所以()1100.2P x >=∴()901100.50.20.3P x <<=-=， ∴()10,0.3X B ～，X 的方差为()100.310.3 2.1⨯⨯-=．故选B ．2．（湖北省钟祥市2019届高三高考第一次模拟考试理）某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N （105，102），已知P （95≤ξ≤105）=0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【★答案★】B 【解析】∵考试的成绩ξ服从正态分布N （105，102）． ∴考试的成绩ξ关于ξ=105对称， ∵P （95≤ξ≤105）=0.32， ∴P （ξ≥115）=12（1-0.64）=0.18， ∴该班数学成绩在115分以上的人数为0.18×50=9 故选：B ．3．（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试理）某种种子每粒发芽的概率都为0.85，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望()E X =_______． 【★答案★】300【解析】设没有发芽的种子数为Y ,则有2X Y =,由题意可知Y 服从二项分布，即Y(1000,0.15)B ,()10000.15150E Y =⨯=,()2()300E X E Y ==.4．（河北省石家庄市2019届高三毕业班模拟考试一A 卷理）已知随机变量X 服从正态分布()2,1N ，若()()223P X a P X a ≤-=≥+，则a =__________．【★答案★】1 【解析】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为2X =，结合题意有：()()2232,12a a a -++=⇒=.故★答案★为：1．5．（湖南省益阳市2019届高三4月模拟考试数学理）某市高三年级26000名学生参加了2019年3月模拟考试，已知数学考试成绩2(100,)XN σ.统计结果显示数学考试成绩X 在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则数学成绩不低于120分的学生人数约为__________． 【★答案★】3250 【解析】因为成绩()2100,X N σ~，所以正态分布曲线关于100X =对称，又成绩在80分到120分之间的人数约占总人数的34，由对称性知：成绩不低于120分的学生约为总人数的1311248⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以此次考试成绩不低于120分的学生约有12600032508⨯=.6．（2019届湘赣十四校高三联考第二次考试理）我国2019年新年贺岁大片《流浪地球》自上映以来引发了社会的广泛关注，受到了观众的普遍好评.假设男性观众认为《流浪地球》好看的概率为23，女性观众认为《流浪地球》好看的概率为12.某机构就《流浪地球》是否好看的问题随机采访了4名观众（其中2男2女）. （1）求这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多的概率；（2）设ξ表示这4名观众中认为《流浪地球》好看的人数，求ξ的分布列与数学期望. 【★答案★】（1）736（2）见解析【解析】设X 表示2名女性观众中认为好看的人数，Y 表示2名男性观众中认为好看的人数， 则12,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，22,3Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭. （1）设事件A 表示“这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”，则()()()()2,12,01,0P A P X Y P X Y P X Y ===+==+==,222212022221211123323C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 21022111722336C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，()()00,0P P X Y ξ==== 2200221112336C C ⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()11,00,1P P X Y P X Y ξ====+==，= 2210012222111121223233C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭16=， ()()()()22,01,10,2P P X Y P X Y P X Y ξ====+==+==,2220112222111121232233C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22022*********C C ⎛⎫⎛⎫+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()31,22,1P P X Y P X Y ξ====+==,2212212222112*********C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13=， ()()42,2P P X Y ξ==== 222222121239C C ⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ξ的分布列为∴11131170123436636393E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 7．（天津市耀华中学2019届高三第一次模拟考试数学理）在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球4个，白球3个，蓝球3个。
离散型随机变量的方差
ξ P
x1 p1
x2 … xk … xn p2 … pk … pn
则称 Eξ=x1p1+x2p2+…+xkpk+…+xnpn为ξ的数学期望. 数 学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散 型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实 验中取值的平均值． 但有时两个随机变量只用这一个特征量是无法区 别,还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散 的程度进行刻画．
（2）若x~B(n,P),则Dx=np(1-p) ;
练习1、已知随机变量x的分布列为
-1 0 1 =3x+1 1 1 1 P 6 3 2 1 5 (1) Ex=________ , D x=________ 3 9
(2)E =_______，D = _______. 25 50 5 2.已知x~B(100,0.5),则Ex=___,Dx=____,σx=___. 100 σ(2x-1)=_____ 99 D(2x-1)=____, E(2x-1)=____, 10
∴甲、乙两射手的射击平均水平相同. 又∵ Dx 0.4, Dx 2 0.8, 如果对手在9环 ∴甲射击水平更稳定.
左右,派乙.
注：期望值高,平均值大,水平高 方差值小,稳定性高,水平高
例1.设X是一个离散型随机变量 , 其分布列如下表 , 试求EX , DX .
X P -1 1/2 0 1-2q 1 q2
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度 的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程 度越小，即越集中于均值。
注：标准差与随机变量有相同的单位。
练习：1.已知随机变量x 的分布列 x P 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1
高二数学选修2-2练习题.doc.docx
0.3
0.4
⑶P(2
x＜4)
P( x
2)
P( x
3)
0.20.3
0.5
B组答案
13—17. BABDD 18.
16
19. 15
21
22、解：（1）由题知，总得分X的概率分布列为：
2
3
21. 0.135
X-300-100100300
P
0.23
C320.220.8 C320.2 0.82
0.83
∴EX=3000.23( 100) C320.220.8100 C320.2 0.82300 0.83
X的数学期望EX
6
X
0
1
2
3
P
a
1
1
b
3
6
则a=_____
___．
9、一个袋中有
10个大小相同的小球，其中
6个红球，4个白球，现从中摸
3个，至少摸到2
个白球的概率是__________________.
三．解答题：本大题共
3小题，共
41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
10、（本题
12分）有品，其中
21、已知Y～N（3，1），P（4＜Y＜5）=_____________．
六、解答 ：本大 共3小 ，共41分，解答 写出文字 明、 明 程或演算步 。
22、某考生参加一种 ，需回答三个 ， 定：每 回答正确得
100分，回答不正确得
-100
分。已知 考生每 回答正确的概率都是
0.8，且各 回答正确与否相互之 没有
∴所求概率P（A）=19
36
（2）由 分析知，X的可能取0,1,2,
2015高考数学(理)一轮题组训练：13-6离散型随机变量的均值与方差
第6讲离散型随机变量的均值与方差基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2013·广东卷改编)已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E(X)＝解析E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32.答案3 22．已知某一随机变量X的概率分布列如下，且E(X)＝6.3，则a的值为________.解析0.4.∴E(X)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3.∴a＝7.答案73．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10，0.6)，则E(Y)，V(Y)分别是________．解析由已知随机变量X＋Y＝8，所以有Y＝8－X.因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，V(Y)＝(－1)2V(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.答案2 2.44．若p为非负实数，随机变量X的分布列为则E (X )的最大值为________．解析 由p ≥0，12－p ≥0，则0≤p ≤12，E (X )＝p ＋1≤32. 答案 325．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球．否则一直发到3次为止，设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围是________．解析 X 的可能取值为1,2,3， ∵P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ， P (X ＝3)＝(1－p )2，∴E (X )＝p ＋2p (1－p )＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3，由E (X )>1.75，即p 2－3p ＋3>1.75，得p <12或p >52(舍)．∴0<p <12. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，126．(2014·长沙调研)有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3次，若X 表示取到次品的次数，则V (X )＝________.解析 因为是有放回地取产品，所以每次取产品(试验)取得次品(成功)的概率为14，从中取3次(做3次试验)X 为取得次品(成功)的次数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，∴V (X )＝3×14×34＝916. 答案 9167．马老师从课本上抄录一个随机变量X 的概率分布列如下表：请小牛同学计算X 处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (X )＝________.解析 设P (X ＝1)＝x ，则P (X ＝3)＝x ，由分布列性质，∴P (X ＝2)＝1－2x ， 因此E (X )＝1·x ＋2·(1－2x )＋3·x ＝2. 答案 28．(2014·青岛调研)某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a 1为首项，公比为2的等比数列，相应资金是以700元为首项，公差为 －140元的等差数列，则参与该游戏获得资金的数学期望为________元． 解析 由概率分布性质a 1＋2a 1＋4a 1＝1 ∴a 1＝17，从而2a 1＝27，4a 1＝47. 因此获得资金X 的分布列为∴E (X )＝700×17＋560×27＋420×47＝500(元) 答案 500 二、解答题9．某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是13. (1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率； (2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率； (3)求这支篮球队在6场比赛中胜场数的均值和方差． 解 (1)P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×13＝427.所以这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为427.(2)6场胜3场的情况有C 36种，∴P ＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝⎛⎭⎪⎫1－133＝20×127×827＝160729. 所以这支篮球队在6场比赛中恰胜3场的概率为160729. (3)由于X 服从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13，∴E (X )＝6×13＝2，V (X )＝6×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43.所以在6场比赛中这支篮球队胜场的均值为2，方差为43.10．(2014·汕头一模)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号． (1)求X 的分布列、数学期望和方差；(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，V (Y )＝11，试求a ，b 的值． 解 (1)X 的分布列为∴E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.V (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75. (2)由V (Y )＝a 2V (X )，得a 2×2.75＝11，即a ＝±2. 又E (Y )＝aE (X )＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2. 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4. ∴⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝4，即为所求． 能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X 的均值为________． 解析 X 的所有可能取值为3,2,1,0，其分布列为∴E (X )＝3×0.6＋答案 2.3762．(2014·西安调研)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________．解析记不发芽的种子数为Y，则Y～B(1 000,0.1)，∴E(Y)＝1 000×0.1＝100.又X＝2Y，∴E(X)＝E(2Y)＝2E(Y)＝200.答案2003．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X＝0)＝112，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.解析由题意知P(X＝0)＝13(1－p)2＝112，∴p＝12.随机变量X的分布列为：E(X)＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.答案5 3二、解答题4．如图所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列、数学期望与方差．解(1)依题意及频率分布直方图知，0．02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.(2)由题意知，X～B(3,0.1)．因此P(X＝0)＝C03×0.93＝0.729，P(X＝1)＝C13×0.1×0.92＝0.243，P(X＝2)＝C23×0.12×0.9＝0.027，P(X＝3)＝C33×0.13＝0.001.故随机变量X的分布列为X的数学期望为X的方差为V(X)＝3×0.1×(1－0.1)＝0.27.。
高中数学离散型随机变量的期望与方差练习(含答案)
高中数学离散型随机变量的期望与方差练习(含答案)1.事件A为“三个点数都不同”，事件B为“至少出现一个6点”，求条件概率P(A|B)和P(B|A)。
2.已知随机变量ξ服从正态分布N(1,1)，若P(ξ<3)=0.977，则求P(-1<ξ<3)。
3.随机变量X的取值为1和2，若P(X=0)=0，E(X)=1，则求D(X)。
4.已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X≥4)=0.1587，则求P(2<X<4)。
5.甲乙等人参加米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是多少？6.不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数的数学期望是多少？7.下面说法中正确的是：A.离散型随机变量ξ的均值E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值；B.离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平；C.离散型随机变量ξ的均值E(ξ)反映了ξ取值的平均水平；D.离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值。
8.每次试验的成功率为p，重复进行10次试验，其中前7次都未成功，后3次都成功的概率是多少？9.设随机变量X服从二项分布B(n,p)，则P(X=k)的分布列为多少。
10.现在有10张奖券，其中7张未中奖，3张中奖，某人从中随机无放回地抽取1张奖券，则此人得奖金额的数学期望为多少？11.已知X～B(n,p)，E(X)=2，D(X)=1.6，则n和p的值分别为多少？12.袋中有大小相同的5个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，则它们的和的数学期望为多少？1.一个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可能取值的个数是（）A。
5B。
9C。
10D。
25.答案：C。
10.2.电灯泡使用时数在1 000小时以上的概率为0.2，则三个灯泡在1 000小时以后最多有一个坏了的概率是（）A。
离散型随机变量的均值与方差(二)
例3 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环 境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两 个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次 数的分布列分别为
0 1 2 3 0.2 2 0.4
0.3 0.3 0.2 0 0.1 1 0.5
试评定这两个保护区的管理水平．
选修2—3 第二章 概率
离散型随机变量的均值 与方差（二）
离散型随机变量的数学期望怎样计算？它有怎样 的性质？
特别地 性质
均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，但 有时两个随机变量即使均值相同，其取值差异也 可能很大。我们需要另一个数来反映随机变量取 值的集中情况。
方差越小，随机变量的取DX ( x1 EX )2 p1 ( x2 EX )2 p2
( xn EX )2 pn
例1 随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面 的点数的均值、方差．
例2 在某地举办的射击比赛中，规定每位射手射 击10次，每次一发．记分的规则为：击中目标一 次得3分；未击中目标得0分；并且凡参赛的射手 一律另加 2 分．已知射手小李击中目标的概率为 0.8，求小李在比赛中得分的数学期望与方差．
第二章 2.3 2.3.2 离散型随机变量的方差(优秀经典课时作业练习及答案详解)
[A 组 学业达标]1．下面说法中正确的是( )A ．离散型随机变量的均值E (ξ)反映了取值的概率的平均值B ．离散型随机变量的方差D (ξ)反映了取值的平均水平C ．离散型随机变量的均值E (ξ)反映了取值的平均水平D ．离散型随机变量的方差D (ξ)反映了取值的概率的平均值 解析：由E (ξ)与D (ξ)的意义知选C. 答案：C2．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝3,6,9.则D (X )等于( )A ．6B ．9C ．3D ．4解析：由题意得E (X )＝3×13＋6×13＋9×13＝6.D (X )＝(3－6)2×13＋(6－6)2×13＋(9－6)2×13＝6.答案：A3．设随机变量X ～B (n ，p )，且E (X )＝1.6，D (X )＝1.28，则( ) A ．n ＝8，p ＝0.2 B ．n ＝4，p ＝0.4 C ．n ＝5，p ＝0.32D ．n ＝7，p ＝0.45解析：由已知有⎩⎪⎨⎪⎧np ＝1.6，np (1－p )＝1.28，解得n ＝8，p ＝0.2.答案：A4．甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲命中目标的概率为23，乙命中目标的概率为45，设命中目标的人数为X ，则D (X )等于( )A.86225 B.259675 C.2215D.1522解析：X 取0,1,2，P (X ＝0)＝13×15＝115，P (X ＝1)＝25，P (X ＝2)＝815，所以E (X )＝2215，D (X )＝86225.答案：A5．设0＜p ＜1，随机变量ξ的分布列是则当p 在(0,1)内增大时，A ．D (ξ)减小 B ．D (ξ)增大C ．D (ξ)先减小后增大 D ．D (ξ)先增大后减小解析：由分布列可知E (ξ)＝0×1－p 2＋1×12＋2×p 2＝p ＋12，所以方差D (ξ)＝⎝⎛⎭⎫0－p －122×1－p 2＋⎝⎛⎭⎫1－p －122×12＋⎝⎛⎭⎫2－p －122×p 2＝－p 2＋p ＋14，所以D (ξ)是关于p 的二次函数，开口向下，所以D (ξ)先增大后减小．答案：D6．若D (ξ)＝1，则D (ξ－D (ξ))＝________. 解析：D (ξ－D (ξ))＝D (ξ－1)＝D (ξ)＝1. 答案：17．若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为________．解析：∵D (x )＝8， ∴D (2x －1)＝4D (x )＝2D (x )＝16.答案：168．已知离散型随机变量X 的可能取值为x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1，且E (X )＝0.1，D (X )＝0.89，则对应x 1，x 2，x 3的概率p 1，p 2，p 3分别为________，________，________.解析：由题意知，－p 1＋p 3＝0.1， 1．21p 1＋0.01p 2＋0.81p 3＝0.89.又p 1＋p 2＋p 3＝1，解得p 1＝0.4，p 2＝0.1，p 3＝0.5. 答案：0.4 0.1 0.59．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，求D (ξ)的值．解析：设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.10．甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲，乙命中的概率分别为13，34.(1)求第三次由乙投篮的概率．(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、期望及标准差． 解析：(1)P ＝13×23＋23×34＝1318.(2)P (ξ＝0)＝13×13＝19；P (ξ＝1)＝13×23＋23×14＝718.P (ξ＝2)＝23×34＝12.故ξ的分布列为：E (ξ)＝0×19＋1×718＋2×12＝2518，D (ξ)＝⎝⎛⎭⎫0－25182×19＋⎝⎛⎭⎫1－25182×718＋⎝⎛⎭⎫2－25182×12＝149324，所以D (ξ)＝14918.[B 组 能力提升]11．已知随机变量ξ满足P (ξ＝1)＝0.3，P (ξ＝2)＝0.7，则E (ξ)和D (ξ)的值分别为( ) A ．0.6和0.7 B ．1.7和0.09 C ．0.3和0.7D ．1.7和0.21 解析：E (ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D (ξ)＝(1－1.7)2×0.3＋(2－1.7)2×0.7＝0.21. 答案：D12．若随机变量X 的分布列为P (X ＝m )＝13，P (X ＝n )＝a ，若E (X )＝2，则D (X )的最小值等于( )A ．0B ．1C ．4D ．2解析：由分布列的性质，得a ＋13＝1，a ＝23.∵E (X )＝2，∴m 3＋2n3＝2.∴m ＝6－2n .∴D (X )＝13×(m －2)2＋23×(n －2)2＝23×(n －2)2＋13×(6－2n －2)2＝2n 2－8n ＋8＝2(n －2)2.∴n ＝2时，D (X )取最小值0. 答案：A13．已知某随机变量X 的分布列如表(p ，q ∈R )：X 1 －1 Ppq且X 的数学期望E (X )＝12，那么X 的方差D (X )＝________.解析：根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＝1，p －q ＝12，解得p ＝34，q ＝14，故X 的方差D (X )＝⎝⎛⎭⎫1－122×34＋⎝⎛⎭⎫－1－122×14＝34.答案：3414．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，均值E (X )及方差D (X )．解析：(1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．因此P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X＝0)＝C03×(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13×0.6×(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23×0.62×(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33×0.63＝0.216，则X的分布列为：因为X～B(3,0.6)方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.。
2.3.2 离散型随机变量的方差
课堂小结
1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义 、离散型随机变量取值的方差、 2、记住几个常见公式 、
D(aX + b ) = a 2 DX
服从两点分布， 若 X 服从两点分布，则 DX = p(1 − p )
若 X ~ B ( n , p )，则 DX = np (1 − p )
普通高中课程数学选修2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差 普通高中课程数学选修 15 [普通高中课程数学选修 ）、练习 （三）、练习
2、定量分析 、 怎样定量刻画随机变量的稳定性？ 怎样定量刻画随机变量的稳定性？ （1）样本的稳定性是用哪个量刻画的？方差 ）样本的稳定性是用哪个量刻画的？ （2）能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量 ） 的稳定性呢？ 的稳定性呢？离散型随机变量取值的方差
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为： 的概率分布为： 一般地，若离散型随机变量 的概率分布为
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 根据月工资的分布列， 解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得
EX 1 = 1200 × 0.4 + 1 400 × 0.3 + 1600 × 0.2 + 1800 × 0.1 =1400
DX1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2 × 0.3 + (1600 -1400 )2 × 0.2
二、离散型随机变量均值的线性性质
E (aX + b ) = aEX + b
X E(X)
三、两点分布与二项分布的均值 X服从两点分布 服从两点分布 X~B（n,p） （ ）
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离散型随机变量的均值与方差基础练习题
一、填空题
1．若随机变量X 的分布列如下表：则EX ＝_______.
解析 由分布列的性质，
可得2x ＋3x ＋7x ＋2x ＋3x ＋x ＝1，∴x ＝1
18. ∴EX ＝0×2x ＋1×3x ＋2×7x ＋3×2x ＋4×3x ＋5x ＝40x ＝20
9. 答案
2．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若ξ表示取到次品的个数，则Eξ等于________．
解析ξ＝0时，P =: ξ＝1时，P ＝C 17C 13
C 210；ξ＝2时，P ＝C 23C 210，
∴E ξ＝1×C 17C 13C 210＋2×C 23
C 210＝7×3＋2×3C 210
＝35. 答案 35
3．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10，0.6)，则E (Y )，D (Y )分别是________．
解析 若两个随机变量Y ，X 满足一次关系式Y ＝aX ＋b (a ，b 为常数)，当已知E (X )、D (X )时，则有E (Y )＝aE (X )＋b ，D (Y )＝
a 2D (X )．由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以有Y ＝8－X .因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2， D (Y )＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4. 答案 2；2.4 4．已知X 的概率分布为
则在下列式子中：①E (X )＝－3；②D (X )＝23
27； ③P (X ＝0)＝1
3.正确的序号是________． 解析 E (X )＝(－1)×12＋1×16＝－1
3，故①正确．
D (X )＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1＋132×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋132×16＝59，故②不正确． 由分布列知③正确． 答案 ①③
5．有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量ξ1，ξ2，已知E ξ1=E ξ2，D ξ1>D ξ2，则自动包装机 的质量较好．
6．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望E (ξ)＝________．
答案 125
7．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数X 的数
学期望E (X )＝________． 答案：23
8．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________．
解析 种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为Y ，则Y ～B (1 000,0.1)，∴E (Y )＝1 000×0.1＝100，故需补种的期望为E (X )＝2·E (Y )＝200. 答案 200
9．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X 为这3支签的号码之中最大的一个，则X 的数学期望为________．
解析 由题意可知，X 可以取3,4,5,6， P (X ＝3)＝1C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23
C 36＝320，
P (X ＝5)＝C 24C 36＝310，P (X ＝6)＝C 25
C 36＝12.
由数学期望的定义可求得E (X )＝5.25. 答案 5.25 二、解答题
10．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为2
3，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独
立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝1
12，求随机变量X 的分布列与均值. 解: 由已知条件P (X ＝0)＝1
12 即(1－p )2
×13＝112，解得p ＝1
2，
随机变量X 的取值分别为0,1,2,3. P (X ＝0)＝1
12，
P (X ＝1)＝23×⎝
⎛⎭⎪⎫1－122＋2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝13， P (X ＝2)＝2×23×12×⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝512， P (X ＝3)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1
6.
因此随机变量X 的分布列为
E (X )＝0×112＋1×3＋2×12＋3×6＝3.
11．袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求： (1)随机变量ξ的概率分布表； (2)随机变量ξ的数学期望与方差． 解 (1)
(2)随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝5
2；
12.随机变量ξ的方差D (ξ)＝9
20.在某一项有奖销售中，每10万张奖券中有1个头奖，奖金10000元；2个二等奖，奖金各5000元；500个三等奖，奖金各100元，10000个四等奖，奖金各5元．试求每张奖券奖金的期望值．如果每张奖券2元，销售一张平均获利多少？（假设所有奖券全部售完）
解：每张奖券可获得的奖金数ξ的分布列为
每张奖券的期望值 E ξ= 10000×100000+5000×100000
+100×
500100000+5×10000
100000
=1.2元. 如果每张奖券2元，销售一张平均获利0.8元．。