云南省昆明市第三中学2021-2022学年高三上学期第四次综合测试理科数学试卷 (含答案)

云南省昆明市第三中学高2022届高三上学期第四次综合测试理科数学试题（本试卷满分150分，考试时间120分钟）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}x y x N y y M x 2log ,21==⎭⎬⎫⎩⎨⎧==，则下列判断正确的是（ ） A.=N M Φ B.),0[+∞=N M C.N M = D.N M ≠⊂ 2.设表示复数21,Z Z 的点在复平面内关于实轴对称，且i Z +=11，则21Z Z ⋅=（ ）A.0B.2C.i -1D.2-3.若命题“R x ∈∃0，使得032020<-++m mx x ”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）A.),6[]2,(+∞-∞B.)6,2(C.]6,2[D.)2,6(--4.设1.041.04.0,1.0log ,5.0===c b a ，则（ ）A.b a c >>B.a c b >>C.c a b >>D.b c a >> 5.已知362cos 2sin 22-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ββ，则βsin 的值是（ ） A.33-B.97-C.92D.31- 6.已知b a c a λλ+-==)1(,2，若1,0=⋅=⋅c a b a ，则λ=（ ） A.1 B.21- C.21D.1-7.原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在从右到左的绳子上打结，满七进一，如图所示，那么孩子已经出生（ ）天A.1326B.510C.429D.3368.若对任意非零实数b a ,，定义b a *的运算规则如下图的程序框图所示，则4)23(**的值是（ ） A.1213 B.21 C.23D.99.已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是c b a ,,，若c A b B a 2sin sin =+，则ABC ∆是（ ） A.等边三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形10.如图正方体1111-ABCD A B C D 的棱长为3，以顶点A 为球心，2为半径做一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于（ ）A.65π B.32π C.π D.67π11.已知点A 、B 是双曲线1222=-y x 上的两点，O 为坐标原点，且满足OA ⊥OB ，则点O 到直线AB 的距离等于（ ）A.2B.3C.2D.2212.已知函数2()cos 1,f x x ax a R =+-∈，若对于任意的实数x 恒有()0f x ≥，则实 数a 的取值范围是（ ）A.1[,)2+∞B. 1(,)2+∞C. 1[,)4-+∞D. 1(,)4+∞第II 卷（非选择题 共90分）本卷包含必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13.n xx )1(-的二项展开式中各项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项等于 .14.若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+001234y x y x ，则14+++=x y x z 的取值范围是 。

15.已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足3)2(),()23(-=-=-f x f x f ，数列}{n a 的前n 项和为)(22*1N n n S n n ∈+-=+，则=+)()(65a f a f .16.三棱锥P-ABC 中，PA=2，BC=3，PA ⊥BC ，作出与PA 、BC 都平行的截面α，分别交棱PB 、PC 、AC 、AB 于点E 、F 、G 、H ，则截面EFGH 的最大面积为 .三．解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，若)(12,4*12N n S a S n n ∈+==+.(1)证明：数列{21+n S }是等比数列； (2)求数列}{n a 的通项公式.18.（本小题满分12分）云南省2014年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布(170.5,16)N .现从我校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm 和187.5 cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[157.5，162.5]，第二组[162.5，167.5]，…，第6组[182.5，187.5]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；(2)求这50名男生身高在177.5cm 以上（含177.5 cm ）的人数；(3)在这50名男生身高在177.5cm 以上（含177.5 cm ）的人中任意抽取2人，该2人 中身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若),(~2σμξN ．则()P μσξμσ-<≤+=0.6826，(22)P μσξμσ-<≤+=0.9544, (33)P μσξμσ-<≤+=0.9974.19.（本小题满分12分）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，AA 1＝8，点D 在线段AB 上．(1)当AC 1∥平面B 1CD 时，确定D 点的位置并证明；(2)当BD AB ＝13时，求二面角B －CD －B 1的余弦值．20.（本小题满分12分）已知A 、B 分别是直线x y 33=和x y 33-=上的两个动点，线段AB 的长为32，P 是AB 的中点． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点)0,1(Q 任意作直线l （与x 轴不垂直），设l 与（1）中轨迹C 交于M N 、两点，与y 轴交于R 点．若RM MQ λ=，RN NQ μ=，证明：λμ+为定值．21.（本小题满分12分）已知函数()()()()212ln f x a x x a R =---∈．(1)若曲线 ()()g x f x x =+上点()()1,g 1处的切线过点()0,2，求函数()g x 的单调减区间；(2)若函数()y f x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，求a 的最小值．选考题：请在下列两道试题中选择其中一道解答，并在答题卡相应位置填涂选做标识22.（本小题满分10分）选修4—45：极坐标与参数方程在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:23C ρθ=．(1)求2C 与3C 交点的直角坐标；(2)若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设()11f x x x =-++．(1)求()2f x x ≤+的解集；(2)若不等式()121a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，求实数x 的取值范围．云南省昆明市第三中学高2022届高三上学期第四次综合测试参考答案一.选择题：1.C2.B3.C4.D5.D6.C7.B8.C9.C 10.A 11.A 12.A二.填空题：13.15 14.]8,47[ 15. 3 16.23 三.解答题：17.(1)数列}21{+n S 成首项为23，公比为3的等比数列； (2)13-=n n a18.(1)证明：当D 是AB 的中点时，AC 1∥平面B 1CD ．连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接DE .因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以侧面BB 1C 1C 为矩形，DE 为△ABC 1的中位线，所以DE ∥AC 1.因为DE ⊂平面B 1CD ，AC 1⊄平面B 1CD ，所以AC 1∥平面B 1CD ．(2)由AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6得AC ⊥BC ．以C 为原点建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz ，则B (6,0,0)，A (0,8,0)，A 1(0,8,8)，B 1(6,0,8)．设D (a ，b,0)(a >0，b >0)，因为点D 在线段AB 上，且BD AB ＝13，即BD →＝13BA →. 所以a ＝4，b ＝83.所以B 1C →＝(－6,0，－8)，CD →＝(4，83，0)． 平面BCD 的一个法向量为n 1＝(0,0,1)，设平面B 1CD 的法向量为n 2＝(x ，y,1)，由B 1C →·n 2＝0，CD →·n 2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ －6x －8＝0，4x ＋83y ＝0，所以x ＝－43，y ＝2，n 2＝(－43，2,1)．设二面角B －CD －B 1的大小为θ，cos θ＝|n 1·n 2|n 1||n 2||＝36161，所以二面角B －CD －B 1的余弦值为36161.19.解析：（Ⅰ）由直方图，经过计算我校高三年级男生平均身高为1711.01851.01802.01753.01702.01651.0160=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯高于全市的平均值170.5（4分）（Ⅱ）由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在177.5cm 以上(含177.5 cm)的人数为10人. ……………（6分）（Ⅲ） 4 997.0)435.170435.170(=⨯+≤<⨯-ξP ，0013.029974.01)5.182(=-=≥∴ξP ，0.0013×100 000=130. 所以，全省前130名的身高在182.5 cm 以上，这50人中182.5 cm 以上的有5人. 随机变量ξ可取0,1,2，于是924510)0(21025====C C P ξ,954525)1(2101515====C C C P ξ,924510)2(21025====C C P ξ 1922951920=⨯+⨯+⨯=∴ξE . ………………………………（12分）20.解：（1）设),(y x P ，),(11y x A ，),(22y x B∵P 是线段AB 的中点，∴1212,2.2x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩∵A B 、分别是直线y x =和y x =上的点，∴11y x =和22y x =．∴1212,.3x x y y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩又23AB =12)()(221221=-+-y y x x ．∴22412123y x +=，∴动点P 的轨迹C 的方程为2219x y +=． …………6分 （2）依题意，直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为(1)y k x =-．设),(33y x M 、),(44y x N 、),0(5y R ，则M N 、两点坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.19,)1(22y x x k y 消去y 并整理，得2222(19)18990k x k x k +-+-=，∴22439118k k x x +=+， ① 23429919k x x k-=+． ②∵MQ RM λ=，∴[]),()0,1(),0(),(33533y x y y x -λ=-．即⎩⎨⎧λ-=--λ=.,)1(35333y y y x x ∴)1(33x x -λ=．∵l 与x 轴不垂直，∴13≠x ， ∴331x x -=λ，同理441x x -=μ． ∴443311x x x x -+-=μ+λ34343434()21()x x x x x x x x +-=-++．将①②代入上式可得49-=μ+λ ……12分 21.（1）∵()()()322ln g x a x a x =----，∴()23g x a x'=--，∴()1g x a '=-， 又()11g =，∴121110a --==--，得2a =． 由()22320x g x x x-'=--=<，得02x <<， ∴函数()g x 单调减区间为()0,2．（2）因为()0f x <在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立不可能，故要使函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，只要对任意的()10,,02x f x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭恒成立，即对12ln 0,,221x x a x ⎛⎫∈>- ⎪-⎝⎭恒成立． 令()2ln 12,0,12x I x x x ⎛⎫=-∈ ⎪-⎝⎭，则()()()()222212ln 2ln 211x x x x x I x x x --+-'==-- 再令()212ln 2,0,2m x x x x ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，则()()2221220x m x x x x --'=-+=<， 故()m x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，于是()122ln 202m x m ⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭， 从而，()0I x '>，于是()I x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，所以()124ln 22I x I ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭， 故要使2ln 21x a x >--恒成立，只要[)24ln 2,a ∈-+∞， 综上，若函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，则a 的最小值为24ln 2-．22.【解析】（1）()330,0,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、 ……………4分 （2）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为(23cos ,)αα．所以2sin 23cos AB αα=-4in()3s πα=-， 当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4． ……………10分23.解：（2）121111112123a a aa a a a +--=+--≤++-= 当且仅当11120a a ⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，取等号．…………………………8分 由不等式()121a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，可得113x x -++≥ 解得：32x ≤-或32x ≥，故实数x 的取值范围是33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭…………………………10分。