高一数学任意角
任意角+课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
§5.1.1 任意角
一 情景引入
现实生活中，存在着许多“周而复始”的周期性变化现象， 圆周运动是一种常见的周期性变化现象.
如何刻画点P的位置？
射线OA沿逆时针方向旋转至OP位置，形成角α， OA与OP分别为角α的始边与终边
一 情景引入
初中是怎么定义角的？范围是多少？ 定义：有公共端点的两射线组成的几何图形叫角. 角的范围：0°～360°
这些角有什么内在联系？
y
328°
o －32°
x
-392°
四 象限角
思考4：所有与-32°角终边相同的角，连同-32°角在内， 可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？
328=-32o +360o -392=- 32o -360o
688=- 32o +720o 32 360 2
S= β β=-32o +k 360o ,k Z
练一练
1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，
C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( D )A．A＝B＝C
B．A⊆CC．A∩C＝B
D．B∪C⊆C
练一练
2．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内 (不包含边界)，那么角α的集合是________．
{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}
角的减法：像实数减法的减去一个数等于加上这个数的相反数， 我们将角的减法转化为角的加法。
α— β=α+(— β)
四 象限角
思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角， 并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对 一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？
高一数学人必修课件任意角
正切函数y=tanx的图像是一个非周期 函数，图像呈现间断的曲线。在任意 角下，正切函数的图像可以通过平移 和伸缩变换得到。
余弦函数图像
余弦函数y=cosx的图像也是一个周期 函数，图像呈现波浪形。在任意角下 ，余弦函数的图像可以通过平移和伸 缩变换得到。
周期性质及奇偶性判断
周期性
正弦函数、余弦函数和正切函数都是 周期函数，它们的周期分别为2π、 2π和π。在任意角下，这些函数的周 期性保持不变。
转换公式
1度=π/180弧度，1弧度=180/π度。
正负角和零角概念
01
02
03
正角
按逆时针方向旋转所形成 的角叫做正角。
负角
按顺时针方向旋转所形成 的角叫做负角。
零角
射线没有作任何旋转时， 仍和原来位置重合，这时 也认为形成了一个角，并 把它叫做零角。
终边相同角关系
终边相同角定义
终边相同的两个角叫做终边相同 的角。
奇偶性
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函 数，正切函数是奇函数。在任意角下 ，这些函数的奇偶性保持不变。
增减区间和极值点求解
增减区间
正弦函数和余弦函数在一个周期内各有两个增区间和两个减区间。正切函数在其 定义域内是增函数。在任意角下，这些函数的增减区间可以通过求解不等式得到 。
极值点
正弦函数和余弦函数在一个周期内各有两个极大值点和两个极小值点。正切函数 没有极值点。在任意角下，这些函数的极值点可以通过求解导数等于零的方程得 到。
高一数学人必修课件 任意角
汇报人：XX
20XX-01-21
目录
• 任意角基本概念与性质 • 三角函数在任意角下性质 • 诱导公式及其应用举例 • 两角和与差三角函数公式
【课件】任意角课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
“角α”或“ ∠α”可以
简记成“α”
概念引入（1）
图5.1-3（1）中的角是一个正角，它等于750°；图5.1-3（2）中，
正角α=210°，负角β=-150°，γ=-660°.正常情况下，如果以零
时为起始位置，那么钟表的时针或分针在旋转时所形成的角总是
负角.
图5.1-3
概念理解（1）
都有着循环往复、周而复始的规
律，这种变化规律称为周期性，
例如：地球自转引起的昼夜交替
变化和公转引起的四季交替变化，
月亮圆缺，潮汐变化，物体做匀
速圆周运动时的位置变化，物体
做简谐运动时的位移变化，交变
电流变化等，这些现象都可以用
三角函数刻画.
复习引入
初中所学的角是如何定义的?角的取值范围如何?
角可以看成平面内
角的加法：设α，β是任意两个角，我们规
定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对
应的角是a+β.
相反角：类似于实数a的相反数是-a，我
们引入任意角α的相反角的概念.
如图，我们把射线OA绕端点0按不同方向旋
转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，
概念的理解（1）
两个角也能像两个实数那样进行加减运算吗？
角的减法：像实数减法的“减去一个数等于
第二象限
O
第三象限
第一象限
x
第四象限
270°+k·360°
(-90°+k·360°)
k·360°
深化与思考
思维升华
表示区间(域)角的三个步骤
第一步：先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的
《高一数学任意角》课件
周期性概念在解决三角函数问题中具有重要应用，例如通过周期性质 判断函数的奇偶性、单调性等。
象限角的性质
第一象限角
第二象限角
第一象限角是指终边落在第一象限的角， 这些角的范围是$0° < 角 < 90°$，其正弦 值、余弦值和正切值均为正。
第二象限角是指终边落在第二象限的角， 这些角的范围是$90° < 角 < 180°$，其正 弦值为正，余弦值为负，正切值为负。
过的平面角。
角的度量单位是度（°），在国 际单位制中，角的度量单位是弧
度（rad）。
任意角的形成
任意角是由射线围绕其顶点旋转 形成的，旋转的角度可以是任意
的。
根据旋转的方向，角可以分为正 角和负角，正角是指逆时针旋转 形成的角，负角是指顺时针旋转
形成的角。
当射线绕顶点旋转一周后，与原 来的位置重合，此时形成的角称 为周角，周角的度数是360°或2π
正切函数的图像
正切函数的图像也是一个周期函 数，其图像在直角坐标系中呈现
直线形状。
三角函数值表的使用
01
三角函数值表的查询
三角函数值表是一种常用的工具，用于查询三角函数在不同角度下的值
。通过查询三角函数值表，可以方便地得到所需的角度和对应的三角函
数值。
02
三角函数值表的使用方法
在使用三角函数值表时，需要先确定所需查询的角度范围，然后查找相
正弦函数具有周期性、对 称性、单调性等性质，这 些性质在解决三角函数问 题中具有重要作用。
正弦函数的图像
正弦函数的图像是一个周 期函数，其图像在直角坐 标系中呈现波浪形状。
余弦函数
余弦函数的定义
余弦函数是三角函数的另一种形 式，定义为直角三角形中锐角的
任意角+课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
所有与角α终边
相同的角，连同 角α在内，可构 成一个集合S＝ {β|β＝α＋k·360°， k∈Z}
11
课堂精讲
角度 1 求与已知角终边相同的角 【例 2－1】 在与角 10 030°终边相同的角中，求满足下列 条件的角. (1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)内的角.
解 (2)由0°<k·360°＋10 030°<360°， 得－10 030°<k·360°<－9 670°， 解得k＝－27， 故所求的最小正角为β＝310°. (3)由360°≤k·360°＋10 030°<720°， 得－9 670°≤k·360°<－9 310°， 解得k＝－26， 故所求的角为β＝670°.
y
120°
300° O
x
y＝－ 3x
14
课堂精讲
(1)求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是求出与已 知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值. (2)求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分 x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并.
15
课堂精炼
【训练 2】 写出终边落在 x 轴上的角的集合 S.
解 题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°； 题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°； γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150° ＝570°.
高一数学任意角
y 终边
o 终 边
x
Ⅰ
1)置角的顶点于原点
2)始边重合于X轴的正半轴 终边落在第几象限就是第几象限角
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
y
o
x
与 终边相同的角的一般形式为:
0 S={ | = k 360 几点注意：
0
1 、是任意的角
2、k的两层含义：
(1)特殊性：对 k每赋一个值就有一个具 体角
（2）一般性：表示了所有 与终边相同的角
例1、在0 到360 范围内，找出与下列角终边 相同的角，并判定它们是第几象限角. （1） 120
（2） 640
（3） 950 12
例2
写出终边落在Y轴上的角的集合。
900 +Kx3600 y
• 终边落在坐标轴上的情形
x 1800 +Kx3600 o 或3600＋KX3600 00 +Kx3600
2700 +Kx3600
练习:
1、写出下列关于角的集合 （ 1 ）锐角 （2） 0 到90 的角 （3）第一象限角 （4）小于90 的角
思考:
若角、 满足下列条件， 求它们的关系式？ （1）终边关于x轴对称 （2）终边关于y轴对称 （3）终边互为反向延长线
1.1.1 任 意 角
学习目标:
• 1 理解任意角的概念 • 2 知道象限角 • 3 会用集合表示终边相同的角
终边 B
顶 点
o
A
始边
角：一条射线绕着它的端点在平面内旋转形成的图形
生活中的例子
逆时针
顺时针
定义：
任 正角：按逆时针方向旋转形成的角 意 负角：按顺时针方向旋转形成的角 角 零角：射线不作旋转时形成的角
高一数学角度和弧度制以及三角函数
第一讲 任意角和弧度制及三角函数一、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念.2、 与角α终边相同的角的集合： *β|β=α+2kπ,k ∈Z +二、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、rl =α.3、弧长公式：R Rn l απ==180. 4、扇形面积公式：lR R n S 213602==π.三、任意角的三角函数1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、 设点(),A x y为角α终边上任意一点，那么：（设r =sin α=y r ， cos x r α=，tan y x α=，cot xyα=各象限的符号：sin α cos α tan α3、 sin α，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT四、角度制与弧度制的互化及特殊角的三角函数值,23600π= ,1800π=1rad ＝180°π≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝π180≈0.01745（rad ）Xy+O— —+xyO — + — +y O— + + —x五、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：1cos sin22=+αα.2、 商数关系：αααcos sin tan =. 3、 倒数关系：tan cot 1αα=1．（2016•上海模拟）若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（2016•广西模拟）60°角的弧度数是（ ） A ．B ．C ．D ．3．（2016•岳阳校级三模）已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的中心角的弧度数是（）A．1 B．4 C．1或4 D．2或44．（2016•安徽模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，问这块田的面积是多少（平方步）？（）A．120 B．240 C．360 D．4805．（2016•抚顺一模）设sinα=，α∈（，π），则tanα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣6．（2016•邢台校级模拟）角θ的终边过点（a﹣2，a+2），且cosθ≤0，sinθ＞0，则a的取值范围为（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2）C．（﹣2，2] D．[﹣2，2]7．（2016•眉山模拟）设a=sin46°，b=cos46°，c=tan46°．则（）A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a，），则cosα的值为（）8．（2016•温州三模）已知角α的终边与单位圆交于点P（﹣35A．B．﹣C．D．﹣9．（2016春•上海校级期末）与30°角终边相同的角α=．10．（2016春•嘉兴期末）已知角α的终边与x轴正半轴的夹角为30°，则α=（用弧度制表示）．11．（2016•湖南一模）已知P，Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P点的纵坐标为，Q点的横坐标为，则cos∠POQ=．12．（2016•浙江模拟）设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上一点，且，则x=，tanα=．13．（2016春•浦东新区期中）如图，扇形的半径为r cm，周长为20cm，问扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出扇形面积的最大值．14．（2016春•陕西校级月考）（1）判断下列各角是第几象限角：①606°②﹣950°（2）写出与﹣457°角终边相同的角的集合，并指出它是第几象限角．1．（2016春•澄城县期末）下列角中终边与330°相同的角是（ ） A ．30° B ．﹣30°C ．630°D ．﹣630°2．（2016春•延边州校级期末）在0到2π范围内，与角终边相同的角是（ ） A ．B ．C ．D ．3．（2016春•西藏期末）与角﹣463°终边相同的角为（ ） A ．K•360°+463°，K ∈Z B ．K•360°+103°，K ∈Z C ．K•360°+257°，K ∈ZD ．K•360°﹣257°，K ∈Z4．（2016春•抚顺期末）已知sinθ•tanθ＜0，那么角θ是（ ） A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角5．（2016•朔州模拟）若点（sin ，cos ）在角α的终边上，则sinα的值为（ ） A ．B ．C ．D ．6．（2016•湖南校级模拟）已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P （﹣3，m ），且sinα=﹣，则tanα等于（ ） A ．﹣B ．C ．D ．﹣7．（2016•浙江模拟）若点P （﹣3，4）在角α的终边上，则cosα=（ ）A．B．C．D．8．（2016•广东模拟）已知α是第二象限的角，其终边上的一点为，且，则tanα=（）A．B．C．D．9．（2016春•晋江市校级期末）已知扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为cm2．10．（2016春•潍坊期末）已知扇形的半径为2，面积为π，则该扇形的圆心角为．11．（2016•广西模拟）已知sinx=，且x是第一象限角，则cosx=．12．（2016•南昌校级二模）已知θ为第四象限角，sinθ+3cosθ=1，则tanθ=．13．（2016•长沙模拟）已知sinα=，α∈（0，）．（1）求tanα的值；（2）求cos（α+）的值．14．（2016春•上饶校级期中）已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．第二讲 三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式：2k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为： “奇变偶不变，符号看象限”Z k ∈1．sin2012°=（ ） A ．sin32° B ．﹣sin32° C ．sin58°D ．﹣sin58°2．=（ ）A ．﹣sinxB ．sinxC ．cosxD ．﹣cosx3．（2016•长沙模拟）化简（1﹣cos30°）（1+cos30°）得到的结果是（ ） A ． B ．C ．0D ．14．（2016•舟山校级模拟）若=，则tanθ=（ ）A ．1B ．﹣1C ．3D ．﹣35．已知α为三角形的一个内角．且tan（π﹣α）=．则角α的值为（）A．B．C．D．6．（2016•重庆校级模拟）已知α为第二象限角，且，则tan（π+α）的值是（）A．B．C．D．7．（2016春•内蒙古校级期末）sin300°=（）A．B．C．D．8．（2016•马鞍山）计算：cos210°=（）A．B．C．D．9．（2016•山东模拟）已知tanα=3，则=．10．（2016•内江模拟）已知sinx=，x∈（，），则tanx=．11．（2013•北京校级模拟）求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°的值．12．（2016•资阳模拟）=．13．（2016春•湘潭期末）已知x的终边经过点P（1，）．（1）求角x的正弦、余弦值；（2）求sin（π﹣x）﹣sin（+x）的值．14．（2016春•周口期末）已知角α终边上一点P（﹣4，3 ），求．1．（2016•湖南校级模拟）已知sinα=﹣，且α∈（﹣，0），则tan （2π﹣α）的值为（ ） A ．﹣ B ．C ．±D ．2．（2016•吉林校级模拟）已知A+B=π，B ∈（，π），且sinB=，则tanA=（ ）A ．B ．C ．2D ．3．（2016春•金昌校级期末）若=，则tanα等于（ ）A ．﹣3B ．﹣C ．3D ．4．（2016春•日喀则市校级期末）已知tanα=2，则的值是（ ）A ．B ．3C ．﹣D ．﹣35．（2016春•邯郸校级期末）已知sin （π+α）=，且α是第四象限角，则cos （α﹣2π）的值是（ ）A ．﹣B ．C ．±D ．6．（2016春•高安市校级期中）已知，，则sin （α+π）等于（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2016•离石区一模）若点（a，16）在函数y=2x的图象上，则tan的值为（）A．B．C．﹣D．﹣8．（2016•安徽一模）已知函数f（x）=，则f（）=（）A．﹣B．﹣C．D．9．（2016•江西模拟）已知α是第二象限的角，tanα=﹣，则sin（90°+α）=．10．（2016•四川）sin750°=．11．（2016•陕西校级模拟）设cos（﹣80°）=k，那么tan100°=．12．（2016•岳阳校级模拟）已知A、B、C为△ABC的三内角，若，则A=．13．（2016春•衡阳校级期末）已知tanx=2，求的值．14．（2016春•上饶校级期中）已知角α终边上一点P（﹣3，4），求：（1）sinα和cosα的值（2）的值．。
人教版高一数学必修四第一章任意角
1．1任意角和弧度制1．1.1任意角考点学习目标核心素养任意角的概念理解任意角的概念，能区分各类角数学抽象象限角及终边相同的角会判断象限角及终边相同的角数学抽象、逻辑推理问题导学预习教材P2－P5，并思考下列问题：1．角的概念推广后，分类的标准是什么？2．如何判断角所在的象限？3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角角的概念的推广重在“旋转”，理解“旋转”二字应明确以下三个方面：①旋转的方向；②旋转角的大小；③射线未作任何旋转时的位置．2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．■名师点拨象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．■名师点拨对终边相同的角的理解(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏．(2)k·360°与α中间用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)．(3)相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)小于90°的角都是锐角．()(2)终边相同的角一定相等．()(3)锐角都是第一象限角．()(4)第二象限角是钝角．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2 020°是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案：C与30°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}解析：选 A.由终边相同的角的定义可知与30°角终边相同的角的集合是{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}．将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为________．答案：－25°395°任意角的概念下列结论：①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③钝角比第三象限角小；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确的结论为________(填序号)．【解析】①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；③钝角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故③不正确；④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确．【答案】②理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是() A．60°，720°B．－60°，－720°C．－30°，－360°D．－60°，720°解析：选B.钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而212×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.终边相同的角在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)[360°，720°)内的角．【解】(1)与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，由－360°<k·360°＋10 030°<0°，得－10 390°<k·360°<－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由360°≤k·360°＋10 030°<720°，得－9 670°≤k·360°<－9 310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.[变设问]在本例条件下，求最小的正角．解：由0°<k·360°＋10 030°<360°，得－10 030°<k·360°<－9 670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤①写出在[0°，360°)内相应的角；②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；③根据条件能合并一定合并，使结果简洁．(2)终边相同的角常用的三个结论①终边相同的角之间相差360°的整数倍；②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．1．下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是()A．－37°B．143°C ．379°D ．－143°解析：选D.与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°＋k ·180°，k ∈Z ，当k ＝－1时，37°－180°＝－143°，故选D.2．若角2α与240°角的终边相同，则α＝( ) A ．120°＋k ·360°，k ∈Z B ．120°＋k ·180°，k ∈Z C ．240°＋k ·360°，k ∈Z D ．240°＋k ·180°，k ∈Z解析：选B.角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k ·360°，k ∈Z ，则α＝120°＋k ·180°，k ∈Z .选B.3．终边在直线y ＝－x 上的角的集合S ＝________．解析：由题意可知，终边在直线y ＝－x 上的角有两种情况：①当终边在第二象限时，可知{β|β＝135°＋k ·360°，k ∈Z }；②当终边在第四象限时，可知{β|β＝315°＋k ·360°，k ∈Z }．综合①②可得，终边在直线y ＝－x 上的角的集合S ＝{β|β＝135°＋k ·180°，k ∈Z }． 答案：{β|β＝135°＋k ·180°，k ∈Z }象限角与区间角的表示(1)如图，终边落在阴影部分的角的集合是( ) A ．{α|－45°≤α≤120°} B ．{α|120°≤α≤315°}C ．{α|k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z }D ．{α|k ·360°＋120°≤α≤k ·360°＋315°，k ∈Z } (2)已知角α是第三象限角，则角α2是( )A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角【解析】 (1)阴影部分的角从－45°到90°＋30°＝120°，再加上360°的整数倍，即k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z .(2)因为α是第三象限角，所以k ·360°＋180°＜α＜k ·360°＋270°(k ∈Z )， 所以k ·180°＋90°＜α2＜k ·180°＋135°(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°＋90°＜α2＜n ·360°＋135°(n ∈Z )，所以α2是第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋270°＜α2＜n ·360°＋315°(n ∈Z )，所以α2是第四象限角．【答案】 (1)C (2)D象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．1．给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选D.①－15°是第四象限角； ②180°＜185°＜270°是第三象限角； ③475°＝360°＋115°，而90°＜115°＜180°， 所以475°是第二象限角；④－350°＝－360°＋10°是第一象限角， 所以四个结论都是正确的．2．集合{α|k ·180°＋45°≤α≤k ·180°＋90°，k ∈Z }中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是( )解析：选C.当k＝2n，n∈Z时，n·360°＋45°≤α≤n·360°＋90°，n∈Z；当k＝2n＋1，n ∈Z时，n·360°＋225°≤α≤n·360°＋270°，n∈Z.故选C.1．下列角中，终边在y轴非负半轴上的是()A．45°B．90°C．180°D．270°解析：选B.根据角的概念可知，90°角是以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了90°，故其终边在y轴的非负半轴上．2．下列各角中与330°角终边相同的角是()A．510°B．150°C．－150°D．－390°解析：选D.－390°＝330°－720°，所以与330°角终边相同的角是－390°.3．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°.解：(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．[A基础达标]1．下列角的终边位于第二象限的是()A．420°B．860°C．1 060°D．1 260°解析：选B.420°＝360°＋60°，终边位于第一象限；860°＝2×360°＋140°，终边位于第二象限；1 060°＝2×360°＋340°，终边位于第四象限；1 260°＝3×360°＋180°，终边位于x轴非正半轴．故选B.2．与1 303°终边相同的角是()A．763°B．493°C．－137°D．－47°解析：选C.因为1 303°＝4×360°－137°，所以与1 303°终边相同的角是－137°.3．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°＜β＜180°}，则A∩B＝() A．{－36°，54°}B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°}D．{－126°，54°}解析：选C.令k＝－1，0，1，2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.4．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是()A．90°－αB．90°＋αC．360°－αD．180°＋α解析：选C.特例法，取α＝30°，可知C正确．故选C.5．若角α，β的终边相同，则α－β的终边落在()A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上C．x轴上D．y轴的非负半轴上解析：选A.因为角α，β的终边相同，故α－β＝k·360°，k∈Z.所以α－β的终边落在x 轴的非负半轴上．6．在0°～360°范围内，与－120°终边相同的角是________．解析：与－120°终边相同的角为α＝－120°＋k·360°(k∈Z)，由0°≤－120°＋k·360°＜360°，k∈Z，得13≤k＜43，又k∈Z，所以k＝1，此时α＝－120°＋360°＝240°.答案：240°7．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________．解析：顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1 080°，又50°＋(－1 080°)＝－1 030°，故所得的角为－1 030°.答案：－1 030°8．终边在第一或第三象限的角的集合是________．解析：因为终边在第一象限的角的集合为{α|k ·360°<α<90°＋k ·360°，k ∈Z }，终边在第三象限的角的集合为{α|180°＋k ·360°<α<270°＋k ·360°，k ∈Z }，故终边在第一或第三象限的角的集合为{α|k ·180°<α<90°＋k ·180°，k ∈Z }．答案：{α|k ·180°<α<90°＋k ·180°，k ∈Z }9．已知角的集合M ＝{α|α＝30°＋k ·90°，k ∈Z }，回答下列问题： (1)集合M 有几类终边不相同的角？(2)集合M 中大于－360°且小于360°的角是哪几个？ (3)写出集合M 中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)集合M 的角可以分成四类，即终边分别与－150°角，－60°角，30°角，120°角的终边相同的角．(2)令－360°<30°＋k ·90°<360°，k ∈Z ， 则－133<k <113，k ∈Z ，所以k ＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3， 所以集合M 中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°. (3)集合M 中的第二象限角与120°角的终边相同， 所以β＝120°＋k ·360°，k ∈Z .10．已知角β的终边在直线3x －y ＝0上． (1)写出角β的集合S ；(2)写出S 中适合不等式－360°<β<720°的元素． 解：(1)因为角β的终边在直线3x －y ＝0上， 且直线3x －y ＝0的倾斜角为60°，所以角β的集合S ＝{β|β＝60°＋k ·180°，k ∈Z }． (2)在S ＝{β|β＝60°＋k ·180°，k ∈Z }中， 取k ＝－2，得β＝－300°， 取k ＝－1，得β＝－120°， 取k ＝0，得β＝60°，取k ＝1，得β＝240°， 取k ＝2，得β＝420°， 取k ＝3，得β＝600°.所以S 中适合不等式－360°<β<720°的元素分别是－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.[B 能力提升]11．若α是第二象限角，那么α2和2α都不是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B.由α是第二象限角可知α2是第一或第三象限角，2α是第三或第四象限角，所以α2和2α都不是第二象限角． 12．角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________．解析：因为5α与α的始边和终边相同，所以这两个角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝k ·360°，α＝k ·90°.又180°<α<360°，令k ＝3，得α＝270°. 答案：270°13．已知，如图所示．(1)分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．解：(1)终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z }，终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z }．(2)由题图可知，阴影部分的角的集合是终边与介于[－30°，135°]之间的角的终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．14．(选做题)已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．解：由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z，因为α，β都是锐角，所以0°＜α＋β＜180°.取k＝1，得α＋β＝80°.①因为α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.因为α，β都是锐角，所以－90°＜α－β＜90°.取k＝－2，得α－β＝－50°.②由①②，得α＝15°，β＝65°.。
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高一数学任意角
高一数学任意角是学习数学形状和运算的基本步骤，是数学必修课中
的重要内容。
任意角的定义是在直角三角形的任一内角的一般记号，常用符号表示
为α（α意为希腊字母的第一个字母“αlpha”）。
这意味着在一个直角
三角形中，有两个较大的角顶点，一个较小的角顶点，就是α，即任意角。
根据定义可知，任意角的度是可变的，变化范围在0° 到180° 之间，具体取决于当前三角形的形状。
该角度是它周围直角三角形另外两个角度（最多就是90°）和一个较小角度α之和。
任意角在数学学习和运算中有着广泛的应用。
首先，可以应用到三角
函数。
如果求出α角度，则可以从三角函数表中查找和计算相应函数值。
其次，任意角也可以应用到几何证明的计算和思维中。
因为任意角是
指定原理，因此只要把α角和正确的直角三角形联系起来，就可以证明平
行四边形，角平分线的证明等结论。
最后，任意角也可以用于求解直角三角形的高度、斜边长度等，还可
以用来求解圆的半径和圆心角度。
总之，任意角是数学学习和运算中重要的内容，它被广泛应用于几何证明和计算中，是无可替代的内容。