第十二章 练习题答案

第十二章 练习题一、 填空1、级数∑∞=1n n u ，一般项n u 趋于零是级数收敛的 必要 条件2、若数项级数1∞=∑n n u 收敛，则lim n n u →∞= 0 。

3、级数11n n aq -∞∑=当q 时收敛，当q 时发散4、 级数∑+∞=-11-3)1n nn （的和为（ 41） 5、判别级数1(1)(1)nn In n ∞=-+∑的敛散性（绝对、条件或发散） 条件收敛 ．6、判别级数n11(1)n n ∞=+-∑的敛散性（绝对、条件或发散） 发散 ．7、部分和数列{}n s 有界是正项级数∑∞=1n n u 收敛的 充要 条件8、 幂级数∑∞=-1)5(n nnx 的收敛区间是()6,4．9、 幂级数221212-∞=∑-n n n x n 的收敛区间是()2,2-．10、幂级数+++++nnx x x x 3232的收敛区间为 ()1,1- 11、 幂级数()222121nxx x nn -+++- 的收敛区间为 []1,1- 12、幂级数2323n x x x nx +++++的和函数是2,1(1)xx x <-．13、 级数()n n nx n ∑∞=--11!1的收敛半径等于∞+ .14、 函数 xx f +=21)(的麦克劳林展开式是()()2,2,2101-∈-∑∞=+x x n n n n ．15、()xe xf =的幂级数展开式为 ++++++!!3!2132n x x x x n16、函数 xx f +=31)(的麦克劳林展开式是()()3,3,3101-∈-∑∞=+x x n n n n．17、 函数x sin 的幂级数展开式为 ()()21121!n nn x n +∞=-⋅+∑18、 在),[ππ-上的()x x f =以π2为周期，则傅里叶系数=n a 0 .19、 设()x f 是周期为π2的周期函数，它在),[ππ-上的表达式为()2x x f =，则 ()x f 的傅里叶系数=n b 0 . 二、选择第一节1、 等比级数a+aq+aq 2+…+aq n-1+…(a ≠0)（ A ）A. 当|q|<1时发散；当|q|≥1时收敛B. 当|q|≤1时发散；当|q|>1时收敛C. 当|q|≤1时收敛；当|q|>1时发散D. 当|q|<1时收敛；当|q|≥1时发散 2、若0lim =∞→n n a ，则级数∑∞=1n n a （ D ）A 、一定收敛B 、一定发散C 、一定条件收敛D 、可能收敛，也可能发散3、级数∑∞=---1112)1(n n n 的和等于____D_____。

A 、2/3 B 、1/3 C 、1 D 、3/2。

4、≠∞→n n u lim 0是级数1n n u ∞=∑发散的（A ）.A.充分条件 B ．必要条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件5、 下列级数条件收敛的是（ B ）（A ）112(1)()5n nn ∞-=-∑ （B）1 (1)n n ∞-=-∑（C ） 11(1)(1)n n n n -∞=-+∑ （D ）11 (1)n n ∞-=-∑6、 幂级数的nn n x n ∑∞=+112收敛半径为（ C ） A 2 B 1 C 21 D 41 7、级数()∑∞=--123111n n n是（ A ），A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不能确定 8、下列命题正确的是( A ).A .若级数1n n u ∞=∑发散,则级数1n n u ∞=∑必发散 B .若级数1n n u ∞=∑发散,则级数1n n u ∞=∑必发散C ..若级数1n n u ∞=∑收敛,则级数1n n u ∞=∑必收敛 D .若级数1n n u ∞=∑收敛, 则必有1lim1n x nu u λ+→∞=< 9、如果1lim =∞→n n u ，则级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+121n n n nu收敛性是（ B ）A ．一定条件收敛；B ．一定发散；C ．一定绝对收敛；D ．可能收敛也可能发散。

10、设a 是常数，则级数∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-121sin n n n na 是（ C ）． A ．绝对收敛；B ．条件收敛；C ．发散 ；D ．收敛性与a 有关，故不能确定． 11、 下列正项级数发散的是（ A ）A ++++121916131B +-+-4131211C ∑⋅n n n n !2 D ∑∞=12sin n n na12、下列级数中条件收敛的是（ A ） （A ）n n n 1)1(11∑∞=+- （B ）211)1(n n n∑∞=- (C ）1)1(1+-∑∞=n n n n（D ）)1(1)1(1+-∑∞=n n n n13、下列级数收敛的是（ A ）A ．() +-++-+-nn 91191919132 B ． +++++n 31916131 C ． +++++n 313131313 D ． +++++n n232323233322 14、部分和数列{}n s 有界是正项级数∑∞=1n n u 收敛的（ C ）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、以上都不对 15、当)(1∑∞=+n n n b a 收敛时，∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b （ C ）（A ）必同时收敛（B ）必同时发散（C ）可能不同时收敛（D 不可能同时收敛 16、∑∞=1n n u 为正项级数，下列命题中错误的是（ C ）（A ）如果1lim1<=+∞→ρn n n u u ，则∑∞=1n n u 收敛 （B ） 1lim 1>=+∞→ρnn n u u ，则∑∞=1n n u 发散 （C ）如果11<+n n u u ，则∑∞=1n n u 收敛 （D ）如果11>+n n u u ，则∑∞=1n n u 发散 17、 下列级数中条件收敛的是（ C ）.A. ()∑∞=+-1211n nn B. ()∑∞=-11n nn C. ∑∞=-1)1(n nnD. ∑∞=1sin n n18、设1n n u ∞=∑是正项级数,则（ B ）A ．1n n u ∞=∑收敛时，∑∞=12n n u 也收敛 B ．1n n u ∞=∑收敛时，∑∞=12n n u 不一定收敛C ．1n n u ∞=∑发散时，∑∞=12n n u 也发散 D ．1n n u ∞=∑发散时，∑∞=12n n u 也收敛19、 幂级数nn n x n ∑∞=+122的收敛半径是（ C ）. A. 1 B. 2 C.21D. ∞+ 20、 )43(1n n n n n x x +∑∞=的收敛半径R 为 ( C )A. 4B. 3C.41 D. 31 21、211(1)21n nn x n +∞=-+∑的收敛半径为 （ A ）A 、1B 、1/2C 、0D 、+∞ 22、 幂级数∑∞=+1)1(n n x n 的收敛区间为（ A ）（A ）（-1，1）； （B ）),(+∞-∞； （C ）（-1，1）； （D ）[-1，1]。

23、设幂级数∑∞=0n n n x a 级数的收敛半径是R ，则在()R xx x <=00,处（ B ）A 条件收敛B 绝对收敛C 发散D 收敛性不能确定三、计算：1、 求幂级数()232221123nnx x x x n-+-++-+的收敛域解：1≥n ，nn n a a 1lim+∞→=()22111limn n n +∞→=21lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n =1 ...........2分 即1=ρ，所以收敛半径1=R ，收敛区间为()1,1-当1-=x 时，级数为2221312111n +++++ ，为1加上收敛的2=p 的p 级数 ......4分 当1=x 时，级数为()22211312111nn -++-+- 为收敛的交错级数所以收敛域为[]1,1- ..............6分2、使用比值判别法判别12!n n n n n ∞=⋅∑的收敛性.解：因为2!n n n n u n⋅=，则1112(1)!22lim lim lim 1(1)2!11n n n n n n n n n nu n n u n n e n +++→∞→∞→∞⋅+===<+⎛⎫+ ⎪⎝⎭...............4分 由比值判别法，12!n n n n n ∞=⋅∑收敛． .........6分3、判定级数∑∞=02sin n nn的敛散性，若收敛是条件收敛还是绝对收敛. 解：因为n n n 212sin ≤， ........2分 ∑∞=021n n 收敛 ........3分所以 ∑∞=02sin n nn收敛，且为绝对收敛. ..................6分 4、用比值审敛法判断级数12n n n ∞=∑的敛散性。

解：因为2nn nu = ，于是 11111lim lim()lim 12222n n n n n n nu n n n u n ++→∞→∞→∞++===<。

所以，由比值审敛法知，级数收敛。

..............6分5、求幂级数231...(1)...23nn x x x x n --+-+-+的收敛半径与收敛域。

解：因为 111lim lim 11n n n nan a nρ+→∞→∞+=== 所以收敛半径 11R ρ== ........2分对于端点1x =，级数成为交错级数 11111...(1)...,23n n--+-+-+由莱布尼茨定理可知级数收敛。

对于端点1x =，级数成为1111 (23)------级数发散。

因此，收敛域是(1,1]-。

........6分6、求幂级数n n x n ∑∞=+0)1(，)1,1(-∈x 的和函数．解:所给幂级数的收敛半径是1， ..............2分 则)1,1(-∈x 时，设和函数为)(x s即 )(x s =n n x n ∑∞=+0)1(= +++++++n x n x x x )1(432132在上式两端积分得 =+=∑⎰⎰∞=dx x n dx x s nn xx)1()(xxx x xn x n n -==∑∑∞=∞=+101........4分 在上式两端求导得 2)1(11)()(x x x dx x s x s x-='⎪⎭⎫⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰，)1,1(-∈x .....6分 7、求幂级数1112())nnn n x ∞=--∑的收敛域．解 令12t x =-，题设级数化为1(1),nn n n ∞--∑因为11lim22n n n n n na a ρ++→∞=== 所以收敛半径1,2R =收敛区间为1,2t ＜即0 1.x ＜＜ ...........3分当x=0时，级数成为1n ∞=该级数发散；当x =1时，级数成为1,nn ∞=该级数收敛 从而所求收敛域为(]0,1. .............6分 8、求幂级数()∑∞=--111n nn nx 的和函数. (7分) 解 1||1lim n n na a ρ+→∞==所以收敛半径为1 ...........2分 当1x =时级数()∑∞=--1111n n n 收敛 ；当1x =-时级数∑∞=-11n n发散，所以收敛域为(1,1]- ..4分 设()∑∞=--111n n n n x ()x s =， 则有()()∑∞=---=111/1n n n x x s x +=11 ...........6分9、求幂级数11(1)nn n x n∞-=-∑的收敛半径和收敛域解：设111limlim 11n x x na n a nρ+→∞→∞+===，所以级数的收敛半径为 11r ρ== ........2分 1x =时，级数为，111(1)n n n ∞-=-∑，此交错级数收敛 ............4分1x =-时，级数为，11n n ∞=-∑，此级数发散，因此收敛域为 (-1, 1] ..........6分 10、 将函数x 2sin 展开成x 的幂级数由()()∑∞=-=02!21cos n nnx n x ................2分()x x 2cos 121sin 2-=x 2cos 2121-= ()()()∑∞=--=02!2212121n nnn x .............5分 ()()()∑∞=-=122!2221n n n n x ()+∞∞-∈,x ..................6分 11、将函数()2312++=x x x f 展开成()4+x 的幂级数 解：()2312++=x x x f 2111+-+=x x ...............2分而()∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+-=+--=++-=+0343134113143111n nx x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<+134x即()∑∞=++-=+013411n n nx x ()17-<<-x 同理有()∑∞=++-=+012421n n nx x （26-<<-x ）.....4分所以()2312++=x x x f ＝()∑∞=++-0134n n nx ()∑∞=+++0124n n nx ＝()∑∞=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-01143121n nn n x （26-<<-x ）...........6分12、求函数() 12xf x x=-在0x =处的幂级数展开式. 解：()111 =-122212x f x x x=+-- ..........2分由于230111nk k x x x x x x +∞==++++++=-∑，(1,1]x ∈- ................4分所以()10111111 =--2212221222n n n nk k x f x x x x x ∞∞-===+=+=--∑∑ ...........6分四、证明： 1、 证明级数 ∑∞=--1213)1(n n n条件收敛。