数列求和的经典方法（含答案）
高考数列求和解题方法大全
高考数列求和解题方法大全Final revision by standardization team on December 10, 2020.高考数列求和解题方法大全数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考的热点和重点。
由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。
鉴于此，下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧作一归纳，以提高同学们数列求和的能力。
一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、)1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n例1． 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x ， 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32=x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.例2． 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积当时1=x ，()()[]22121127531n n n n S n =-+=-+++++=当时1≠x设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=……………② （设制错位）①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 例3.已知1,0≠>a a ，数列{}n a 是首项为a ，公比也为a 的等比数列，令)(lg N n a a b n n n ∈⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n S 。
(完整word版)高中数列求和常用方法
求数列前n 项和的8种常用方法一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+⋅，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =，1n S na =； （2）1q ≠，()111nn a q S q-=-，特别要注意对公比的讨论；3.可转化为等差、等比数列的数列；4.常用公式:（1）1nk k ==∑12123(1)n n n ++++=+L ；（2）21nk k ==∑222211631123(1)(21)()(1)2n n n n n n n ++++=++==++L ； （3）31nk k ==∑33332(1)2123[]n n n +++++=L ；（4）1(21)n k k =-=∑2135(21)n n ++++-=L .例1 已知3log 1log 23-=x ，求23n x x x x ++++L 的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++L＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 例2 设123n S n =++++L ，*n N ∈,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝n n 64341++＝50)8(12+-n n 501≤∴ 当 88-n ，即8n =时，501)(max =n f .二.倒序相加法:如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。
高中数列求和方法大全
数列的求和1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。
（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=（2）等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn （切记：公比含字母时一定要讨论）3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++Λ 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
常见拆项公式：111)1(1+-=+n n n n ；1111()(2)22n n n n =-++ )121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=⋅5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。
6．合并求和法：如求22222212979899100-++-+-Λ的和。
7．倒序相加法：8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等 （二）主要方法：1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； （三）例题分析：例1．求和：①321ΛΛ个n n S 111111111++++=②22222)1()1()1(n n n xx x x x x S ++++++=Λ ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S 思路分析：通过分组，直接用公式求和。
解：①)110(9110101011112-=++++==kkk k a Λ321Λ个])101010[(91)]110()110()110[(9122n S n n n -+++=-++-+-=ΛΛ8110910]9)110(10[911--=--=+n n n n②)21()21()21(224422+++++++++=nnn x x x x x x S Λ n xx x x x x n n 2)111()(242242++++++++=ΛΛ（1）当1±≠x 时，n x x x x n x x x x x x S n n n n n n 2)1()1)(1(21)1(1)1(22222222222+-+-=+--+--=+--- （2）当n S x n 4,1=±=时 ③kk k k k k k k k k a k 23252)]23()12[()]1()12[()12(2)12(2-=-+-=-+-+++++-=Λ2)1(236)12)(1(25)21(23)21(2522221+-++⋅=+++-+++=+++=n n n n n n n a a a S n n ΛΛΛ)25)(1(61-+=n n n 总结：运用等比数列前n 项和公式时，要注意公比11≠=q q 或讨论。
数列求和经典方法(必看)
a4 1, a5 3, a6 2, a7 1, a8 3, a9 2, a10 1, a11 3, a12 2,
……
a6k 1 1, a6k 2 3, a6k 3 2, a6k 4 1, a6k 5 3, a6k 6 2
3、 S n
1 k n(n 1) 2 k 1
n
4、 S n
k
k 1
n
2
1 n(n 1)(2n 1) 6
5、 S n
k
k 1
n
3
1 [ n(n 1)]2 2 1 2 3 n ，求 x x x x 的前 n 项和. log 2 3 1 1 log 3 x log 3 2 x log 2 3 2
∴
Sn
(2n 1) x n 1 (2n 1) x n (1 x) (1 x) 2
[例 4] 求数列 ,
2 4 6 2n , 3 , , n , 前 n 项的和. 2 2 2 2 2 2n 1 解：由题可知，{ n }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n }的通项之积 2 2 2 4 6 2n 设 S n 2 3 n …………………………………① 2 2 2 2 1 2 4 6 2n S n 2 3 4 n 1 ………………………………② （设制错位） 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2n ①－②得 (1 ) S n 2 3 4 n n 1 （错位相减） 2 2 2 2 2 2 2 1 2n 2 n 1 n 1 2 2 n2 ∴ S n 4 n 1 2
n 项的和. 解： ∵ an
经典总结：数列的求和方法
第六章 数列§6.5 等比的求和 班级 姓名 学号例1：求数列1，3x, 5x 2, …，(2n －1)x n －1前n 项的和。
例2：设{a n } 是由正数组成的等比数列，它的前n 项和为S n ，试比较log b S n +log b S n+2与2log b S n+1的大小。
例3：求在区间[a, b]（b>a, a, b ∈N*）上分母是3的不可约分数之和。
例4：数列{a n }对一切自然数n 都满足a 1+2a 2+22a 3+…+2n －1a n =9－6n（1）求{a n }的通项公式。
（2）若b n =2sin |πn a n |，求证：b 1+b 2+…+b 2n －1>1 【备用题】已知a>0, a ≠1，数列{a n }是首项为a ，公比也为a 的等比数列，令b n =na n lga(n ∈N*)（1）求数列{b n }的前n 项和S n ；（2）若数列{b n }中的每一项总小于它后面的项，求a 的取值范围。
作业：【基础训练】1、数列2， ,21,,814,413,2121-+n n 的前n 项之和为： （ ） A 、n n n 2122)1(-++ B 、n n n 2112)1(-++ C 、12212)4--++n n n D 、12212)4--+-n n n 2、11+103+1005+……+[10n +(2n －1)]的值为： （ ） A 、2)110(910n n +- B 、21)110(910n n +-- C 、21)110(91n n +-+ D 、2)1()110(910-+-n n 3、数列{a n }中，a n =1+2+…+2n －1(n ∈N*)，则该数列前n 项和为： （ ）A 、n ·2nB 、2n －nC 、2n+1－n －1D 、2n+1－n －24、已知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧++11n n 的前n 项之和为10，则项数n 为 （ ） A 、80 B 、99 C 、120 D 、1215、已知数列{a n }满足a n =31－6n ，数列{b n }满足na a ab n n +++= 21，则数列{|b n |}的前 20项之和为： （ ）A 、187B 、164C 、257D 、3046、1)1(11411311212222-+++-+-+-n 的值为 （ ） A 、)2(21++n n B 、)2(2143++-n n C 、)2111(2143+++-n n D 、211123+-+-n n 【拓展练习】1、在数列{a n }中，S n 为其前n 项之和，且S n =2n －1，则2232221na a a a ++++ 等于： A 、(2n －1)2 B 、2)12(31-n C 、4n －1 D 、)14(31-n 2、等差数列{a n }前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为： （ ）A 、130B 、170C 、210D 、2603、已知等比数列{a n }前n 项和为S n 且S 5=2, S 10=6，则a 16+a 17+a 18+a 19+a 20等于： （ ）A 、12B 、16C 、32D 、544、数列{(－1)n n}的前2k －1项之和S 2k －1(k ∈N*)为： （ ）A 、3k －2B 、－kC 、212-k D 、2－3k 5、数列{(－1)n n}的前n 项和为S n =an 2+bn+c(n ∈N*，a, b, c 为实常数)，则下列命题中正确的是： （ ）A 、数列{a n }为等差数列B 、当c=0时，数列{a n }的公差为2a 的等差数列C 、当c=0时，数列{a n }的公差为2a 的等差数列 D 、以上说法都不对 6、在等差数列{a n }中，d ≠0，S 20=10A ，则A 的值： （ ）A 、a 5+a 15B 、a 8+a 13C 、a 21D 、2a 1+38d7、在等比数列{a n }中，若有a 3=2S 2+1, a 4=2S 3+1，则该数列的公比q= 。
数列求和的七种基本方法
完美格式整理版 学习好帮手 数列求和的七种基本方法 甘志国部分内容(已发表于 数理天地(高中)，2014(11)：14-15) 数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过例题(这些例题涵盖了2014年高考卷中的数列求和大题)简单介绍数列求和的七种基本方法. 1 运用公式法
很多数列的前n项和nS的求法，就是套等差、等比数列n
S的公式，因此以下常用公式
应当熟记：
221231123(1)2135(21)12222111111122222nnnnnnnnn
还要记住一些正整数的幂和公式：
2233332222)1(41321)12)(1(61321nnnnnnn
例1 已知数列}{na
的前n项和232nnSn，求数列}{na的前n项和nT.
解 由232nnSn,可得nan233,160nan，所以： (1)当16n时,n
T=232nnSn.
(2)当17n时，
512322)()()(21616161817162121nnSSSSSaaaaaaaaaT
nnnnn
所以 2232(1,2,,16)32512(17,)nnnnTnnnnN且 例2 求1)2(3)1(21nnnnSn
.
解 设2)1()1(knkknkak
，本题即求数列}{ka的前n项和. 完美格式整理版 学习好帮手 )2)(1(61)12)(1(61)1()1(21)321()1)(321(2222nnnnnnnnnnnnSn
高考题1 (2014年高考浙江卷文科第19题(部分))求数列21n的前n项和n
S.
答案：2nSn.
高考题2 (2014年高考四川卷理科第19题(部分))求数列24n的前n项和n
数列求和的方法总结
数列求和的方法总结
数列求和的方法总结
数列求和与三角函数在高考中轮番出现，一般分值在十分左右。
下面给大家整理了数列求和的`方法总结，欢迎阅读!
数列求和的方法总结
01裂项相消法：
将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的结果，如图。
02公式法：
用常用求和公式求和得到细解结果，也是数列求和的最基本最重要的方法，如图。
03倒序相加法：
是解决数列求和经典方法，在等差数列前n项和公式的推导过程中，使用了这种方法，如图。
数列求和(讲)9种方法分类将
(2)求数列{an}的通项公式an；
1 式(S3n)＞设1数列loga(1a－naan)＋对2任的意前的n正项整和数为nS恒n，成不立等， 求实数a3的取值范围．
五. 分组求和法
项的特征
cn=an+bn
({an}、{bn}为等差或等比数列。）
例5.求下面数列的前n项和
21,41,6 1 , 4 8 16
来加以分析，根据数列的通项的结构特点去选择适 当的方法．
2．等价转换思想是解决数列问题的基本思想方 法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题 来解决．
3．数列求和是数列的一个重要内容，其实质是 将多项式化简，等差、等比数列及可以转化为等差、 等比数列的求和问题应掌握，还应掌握一些特殊数 列的求和．
S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+……+39+（-41）
=-21
七.奇偶法
通过分组，对n分奇偶讨论求和
例7.数列an 中, an
2n
3n
3(n为奇数) 1(n为偶数) ,
求an的前n项和Sn。
练习：求和
(1).Sn 1 2 3 4 (1)n1 n (2).S 1 32 52 72 ..... (1)n1(2n 1)2
＝121＋12－n＋1 1－n＋1 2＝34－2(n＋2n1＋)(n3＋2).
1．特别是对于 anacn＋1，其中{an}
是各项均不为0的等差数列，通常用裂项
相消法，即利用 anacn＋1＝dca1n－an1＋1
(其中d＝an＋1－an)．
常见的拆项公式有：
1. 1 1 1 n(n 1) n n 1
变式探究2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数列求和的经典方法（含答案）数列前n 项和的求法知识归纳：1．拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等），然后分别求和.(“拆项”的典型例子是数列“n S =n n 21813412211++++”的求和) 2．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列.(“并项”的典型例子是数列“n S n n ?-++-+-+-=+1)1(654321 ”的求和.) 3．裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项.(“裂项”的典型例子是数列“)1(1321211+++?+?=n n S n ”的求和) 4．错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法.若}{n a 是等差数列，{n b }是等比数列，则数列{n n b a ?}的求和运用错位求和方法.(比如：.}{,)10 9()(n n nn S n a n a 项和的前求?=) 5．倒序求和法：将一个数列的倒数第k 项（k =1，2，3，…，n ）变为顺数第k 项，然后将得到的新数列与原数列进行变换（相加、相减等），这是仿照推导等差数列前n 项和公式的方法.例1（错位求和法）：求数列}{1-n nq (q 为常数)的前n 项和。
解：Ⅰ、若q =0，则n S =0Ⅱ、若q =1，则)1(21321+=+?+++=n n n S n Ⅲ、若q ≠0且q ≠1，则12321-+?+++=n n nq q q S ①n n nq q q q qS +?+++=3232 ②①式—②式：n n n nq q q q q S q -+?++++=--1321)1( )1(11132n n n nq q q q q qS -+?++++-=- ?)11(11n nn nq qq q S ----=qnq q q S nn n ----=1)1(12综上所述：≠≠----=+==)10(1)1(1)1)(1(21)0(02q q q nq q q q n n q S nn n 且例二（裂项求和法）： 1、乘积形式，如：（1）、111)1(1+-=+=n n n n a n （2）、)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （3）、])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++=n n n n n n n a n（4）、nn n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++= -则 2、根式形式，如：n n nn a n -+=++=111练习1：求数列211?，321?，431?，…，)1(1+n n ，…的前n 项和n S 解：∵)1(1+n n =111+-n n111313121211+-+?++-+-=n n S n ?111+-=n S n 练习2：求数列311?，421?，531?，…，)2(1+n n ，…的前n 项和n S 解：由于：)2(1+n n =211(21+-n n ）则：??+-++-+-=)211()4121()311(21n n S n)2111211(21+-+--=n n S n ? 42122143+-+-=n n S n例三（倒序法）：已知函数()xf x = (1)证明：()()11f x f x +-=；(2)求128910101010f f f f ??++++的值.练习：若函数)(x f 对任意R x ∈都有2)1()(=-+x f x f 。
（1）)1()1()2()1()0(f nn f n f n f f a n +-+?+++=，数列}{n a 是等差数列吗？是证明你的结论；（2）求数列}1{1+?n n a a 的的前n 项和n T 。
解：（1）、)1()1()2()1()0(f n n f n f n f f a n +-+?+++=（倒序相加）)0()1()2()1()1(f nf n n f n n f f a n ++?+-+-+= 1221101=?=-+=-+=+nn n n n n则，由条件：对任意R x ∈都有2)1()(=-+x f x f 。
?）（1222222+=+?+++=n a n ?1+=n a n ?21+=+n a n ?11=-+n n a a从而：数列}{n a 是1,21==d a 的等差数列。
（2）、2111)2)(1(111+-+=++=?+n n n n a a n nn T =)2(11541431321+?+++?+?+?n n ）（ ?n T =422121211141313121+=+-=+-+++-+-n nn n n 故：n T =42+n n例四（拆项求和）：求n S =n n 21813412211++++ 解：由于：n n n n n a 2121+==则：n S =)21814121()321(n n ++++++?+++（等差+等比，利用公式求和）=211))21(1(21)1(21--++n n n=n n n )21(1)1(21-++练习：求数列9，99，999，… 的前n 项和n S分析：此数列也既不是等差数列也不是等比数列启发学生先归纳出通项公式110-=n n a 可转化为一个等比数列与一个常数列。
分别求和后再相加。
解：由于：110-=n n a 则：?+++=99999n S)110()110()110()110(321-+?+-+-+-=n n S ?)1111()10101010(321+?+++-+?+++=n n Sn S n n --?-=101101010 ?n S n n --=+910101例五（并项求和法）：22222212979899100-++-+-【同步练习】1．数列}{n a 的通项公式是)(11+∈++=N n n n a n ，若它的前n 项和为10，则其项数n 为A ．11B ．99C ．120D ．1212．数列 ,211,,3211,211,1n ++++++的前n 项和为 A ．122+n n B ．12+n n C ．12++n n D ．12+n n3．数列}{n a 的通项是14-=n a n ，na a ab nn +++= 21，则数列}{n b 的的前n 项和为A ．2n B ．)1(+n n C ．)2(+n n D ．)12(+n n4．已知数列}{n a 的前n 项和为142+-=n n S n ，则||||||||10321a a a a ++++ 的值是 A ．65 B ．67 C ．61 D ．565．数列 ,21)12(,,815,413,211nn +-的前n 项和为n S ，则=n S A ．n n 2112-+ B ．12211--+n n C ．n n n 21122-+- D ．n n n 2112-+-6．在等比数列}{n a 中，1221-=+++n n a a a ，则=+++22221n a a aA ．2)12(-nB ．3)12(2-n C ．14-nD ．314-n7．数列2211,(12),(122),,(1222),n -+++++++的通项公式_________，前n 项和_________.8．若数列{}n a 满足 12a =，1(1)2n n na n a +-+=，则数列{}n a 的通项公式__________. 9．已知数列}{n a 是等差数列，其前n 项和为.621,33=?=S a S n （I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）求和：nS S S 11121+++ .10.设数列}{n a 的前n 项和为22n S n =，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（Ⅱ）设nnn b a c =，求数列}{n c 的前n 项和n T .第五课时数列综合测试1.在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＝12，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 9的值为( )A ．48B ．54C ．60D ．662.正项数列{a n }满足a 2n ＋1＝a 2n ＋4(n ∈N *)，且a 1＝1，则a 7的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．73.若log 32，log 3(2x －1)，log 3(2x＋11)成等差数列，则x 的值为( )A ．7或－3B ．log 37C ．log 27D ．44.设}{n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且65S S <，876SS S >=，则下列结论错误的是（） A ．0<d< p="">B ．59S S >C ．07=aD ．6S 与7S 是n S 的最大值5.等差数列中a 1＋3a 8＋a 15=120，则2a 9－a 10的值是（）A ．24B ．22C ．20D ．－86.在等差数列中，已知a 1＋a 4＋a 7=45, a 2＋a 5＋a 8=39，则a 3＋a 6＋a 9的值是（） A ．33 B ．30 C ．27 D ．247.等差数列中a 1＋3a 8＋a 15=120，则2a 9－a 10的值是（）A ．24B ．22C ．20D ．－88.若log 32，log 3(2x－1)，log 3(2x＋11)成等差数列，则x 的值为（）A ．7或－3B ．log 37C ．log 27D ．49.已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若S 9=18，S n =240，a n －4=30，则n 的值是（）A ．10B ．12C ．15D ．18 10. 已知n a =2×31-n ,则数列｛n a ｝的偶数项所组成的新数列的前n 项和n S 的值为（）Ａ．3n－1 B ．3(3n－1) Ｃ．419-n Ｄ．4)19(3-n11.三个数成等比数列，它们的积为512，如果中间一个数加上2，则成等差数列，这三个数是 .12.在等比数列{a n }中，已知a 2=6，且a 5－2a 4－a 3＋12=0，则a n =______．13.在等比数列{}n a 中，34151211-=-==n n S a a ，，，则=q ，=n 。
14.已知数列1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2的值为________． 15.在等差数列{a n }中，S n 为它的前n 项和，若a 1＞0，S 16＞0，S 17＜0, 则当n ＝______时，S n 最大．16.设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=,求{}n a ，{}n b 的通项公式.17.已知数列｛n a ｝满足112,32,(2)-==+≥n n a a a n ，求数列{}n a 的通项n a 。