2023届重庆铜梁县第一中学数学高一第二学期期末复习检测试题含解析
重庆市第一中学校2022-2023学年高一下学期期末数学试题
c (1)求角 C 的大小；
试卷第 3 页，共 4 页
(2)若 c
3
，求
uuur AB
uuur BC
uuur BC
uuur CA
uuur CA
uuur AB
的取值范围．
22．如图， P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心， AC 为底面直径，△ ABD 为底面圆
O 的内接正三角形，且△ ABD 的边长为 3 ，点 E 在母线 PC 上，且 AE 3 ， CE 1．
(1)求证：直线 PO// 平面 BDE ，并求三棱锥 P BDE 的体积： (2)若点 M 为线段 PO 上的动点，当直线 DM 与平面 ABE 所成角的正弦值最大时，求此 时点 M 到平面 ABE 的距离．
重庆市第一中学校 2022-2023 学年高一下学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知 i 为虚数单位，复数 z a2 1 (a 1)i (a R) 为纯虚数，则 z （ ）
A． 2
uuuur MC)
t2
1
t
0 的点
M
只有
2
1 个，则正实数 t 的值为________．
四、解答题
17．已知
ar
(1, 0)
，
r b
(2,1)
．
(1)当
k
为何值时，
kar
r b
与
【新结构】2023-2024学年重庆市第一中学校高一下学期期末考试数学试题+答案解析
【新结构】2023-2024学年重庆市第一中学校高一下学期期末考试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z 满足为虚数单位，则()A.2B.4C.D.2.若直线的倾斜角为，则实数m 值为()A.B.C.D.3.已知单位向量，满足，且，则向量与的夹角是()A.B.C.D.4.用m 、n 、l 表示三条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题为真命题的是()A.若，，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则5.已知直线l ：与圆C ：交于A ，B 两点，则线段AB 长度的取值范围是()A. B.C.D.6.若的内角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ，，且，则角C 大小为()A.B.C.D.7.在正三棱台中，，，二面角的正弦值为，则的外接球体积为()A. B. C. D.8.已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上总存在点P ，使得，则椭圆的离心率的取值范围为()A.B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知两椭圆和，则()A.两椭圆的焦距相等B.两椭圆的离心率相等C.两椭圆有2个交点D.两椭圆有4个交点10.若的内角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ，，且，则()A.外接圆的半径为B.的周长的最小值为C.的面积的最大值为D.边AC 的中线BM 的最小值为11.棱长为2的正方体中，，，，则()A.三棱锥的外接球半径为B.直线PQ 与直线AB 所成角的余弦值的最小值为C.时，过点B 作直线AP 的垂面，则平面截正方体所得截面面积为D.若，则三棱锥的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.圆锥SO 的母线与底面所成角为，高为，则该圆锥的侧面积为__________.13.等腰直角中，，，，BQ 与AP 交于点M ，若，则__________.14.锐角的面积为2，且，若恒成立，则实数m 的最大值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分。
2023-2024学年重庆市部分学校高一(下)期末数学试卷(含解析)
2023-2024学年重庆市部分学校高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z 满足(1+i)z =2i ，则|−z |=( )A.22B. 1C.2 D. 22.7.8，7.9，8.1，8.1，8.3，8.5，8.7，8.9，9.0，9.0，9.1，9.1，9.4的第60百分位数是( )A. 8.7B. 8.9C. 9.0D. 9.13.在△ABC 中，记内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若c 2−ab =(a−b )2，则C =( )A. π6B. π4C. π3D. 2π34.下列说法正确的是( )A. 若空间四点共面，则其中必有三点共线B. 若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面C. 若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面D. 若空间四点不共面，则任意三点不共线5.某航空公司销售一款盲盒机票，包含哈尔滨、西安、兰州、济南、延吉5个城市，甲乙两人计划“五一”小长假前分别购买上述盲盒机票一张，则两人恰好到达城市相同的概率为( )A. 15B. 25C. 35D. 456.记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若atanB =btanA ，cosA +cosB =1，则△ABC 是( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形7.在△ABC 中，AB =3，AC =4，∠BAC =60°，且AE =23AB ,AF =14AC ，则CE ⋅BF =( )A. −2B. −3C. −4D. −58.已知正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1，F 为BB 1的中点，过A 1作平面α满足条件，D 1F ⊥α，则α截正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1所得截面为( )A. 六边形B. 五边形C. 四边形D. 三角形二、多选题：本题共3小题，共18分。
2023-2024学年重庆市高一数学下学期第二次质量监测试卷附答案解析
2023-2024学年重庆市高一数学下学期第二次质量监测试卷（数学试卷共4页，考试时间120分钟，满分150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数12i1iz +=-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在ABC 中，已知45,75,B C a︒︒===b =（）A ．B ．2C D ．3．已知平面向量a ，b满足a = 2b = ，3a b ⋅=- ，则2a b += （）A ．2B ．4CD ．4．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足3144OC OA OB =+，则AC AB=（）A ．13B ．14C ．23D ．345．要得到函数()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，可以将函数()cos 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．向右平移3π个单位长度B ．向左平移3π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度D ．向左平移6π个单位长度6．若用平行于某圆锥底的平面去截该圆锥，得到的小圆锥与圆台的母线长相等，则该小圆锥与该圆台的侧面积的比值为（）A ．14B ．13C ．12D ．347．镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，顶端塔刹为一青铜铸葫芦，葫芦表面刻有“风调雨顺､国泰民安”八个字，是全国重点文物保护单位､国家3A 级旅游景区，小胡同学想知道镇国寺塔的高度MN ，他在塔的正北方向找到一座建筑物AB ，高为7.5m ，在地面上点C 处（B ，C ，N 在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部A ，镇国寺塔顶部M 的仰角分别为15°和60°，在A 处测得镇国寺塔顶部M 的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为（1.73≈）A ．31.42mB ．33.26mC ．35.48mD ．37.52m8．已知函数()21cos cos (0)2f x x x x ωωωω=+>在区间[]0,π有且仅有2个零点，则ω的取值范围是（）A ．47,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．814,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．713,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1729,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下面关于空间几何体叙述正确的是（）A ．底面是正多边形的棱锥是正棱锥B ．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台C ．正四棱柱都是长方体D ．直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥10．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数π()6y f x =+是偶函数C ．点5π(,0)6是()f x 图象的一个对称中心D ．函数()f x 在区间π[,0]2-上单调递增11．ABC 中，下列说法正确的是（）A ．若0BC AB ⋅<，则ABC 为锐角三角形．B ．若[),0,AB AC AP AB AC λλ⎛⎫⎪=+∈+∞ ⎪⎝⎭，则点P 的轨迹一定通过ABC 的内心．C ．若G 为ABC 重心，则()13AG AB AC=+D ．若点O 满足,2,6OA OB OC AB AC ==== ，则16AO BC ⋅=三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知()1,2a = ，()2,3b =- ，()1,c x = ，()a b c +⊥，则c =.13．我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知2AB BC ==，13AA =．该“阳马”1D ABCD -的外接球的表面积．14．已知ABCP 是ABC 的外接圆上一点，则()PA PB PC ⋅+的最大值是．四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知12,e e 是夹角为π2的两个单位向量，121232,23a e e b e e =-=-.(1)求a b ⋅的值；(2)求a 与a b -的夹角的余弦值．16．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形ABCD ，其直观图如图所示，已知3A B ''=，1B C ''=，3A D ''=，且A D B C ''''∥．(1)求原平面图形ABCD 的面积；(2)将原平面图形ABCD 绕BC 旋转一周，求所形成的几何体的体积．17．已知向量(sin (1,cos 22x x a b == ，函数()f x a b=⋅ (1)若()0f x =，且π2πx <<，求x 的值(2)如π102313f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4π6π2,,0,352f βαβ⎛⎫⎡⎤+=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，求cos()αβ+的值18．在①()()22sin sin sin sin sin A C A B A B -+=-1cos cos212B B B -=，③cos sin 3b C ac B =-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．已知a ，b ，c 是ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，且______．(1)求B ；(2)若2b =，求ABC 的周长的取值范围．19．已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(),OM a b =为函数()f x 的伴随向量，同时称函数()f x 为向量OM的伴随函数.(1)设函数()2ππsin cos 32g x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，试求()g x 的伴随向量OM ；(2)记向量(ON = 的伴随函数为()f x ，求当()65f x =且ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，sin x 的值；(3)已知将（2）中的函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，再把整个图象向右平移π3个单位长度得到()h x 的图象，若存在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()()2412h x a h x ⎡⎤+=⋅-⎣⎦成立，求a 的取值范围.【分析】根据复数的除法运算求出z ，根据复数的几何意义即可得答案.【详解】由题意12i (12i)(1i)13i1i 22z +++-+===-，故复数z 在复平面内对应的点13(,22-在第二象限，故选：B 2．C【分析】由题意求出A ，结合正弦定理计算即可求解.【详解】由45,75B C ︒︒==，得18060A B C ︒︒=--=，又a =sin sin a bA B=，所以2sin 2sin a Bb A=.故选：C 3．A【分析】由222244a b a a b b +=+⋅+ 求解.【详解】解：因为a ，b满足a = 2b = ，3a b ⋅=- ，所以222244a b a a b b +=+⋅+ ，()434344=⨯+⨯-+=，所以22a b +=，故选：A 4．B【分析】由已知可得3BC CA = ，4AB AC =，可求AC AB.【详解】由3144OC OA OB =+ ，有11344443OC OB OA OC =--，即3BC CA = ，则()44AB BA BC CA CA AC =-=-+=-= ，所以144AC AC AB AC == .故选：B【分析】利用诱导公式化简得到()5sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π，然后根据图象的平移变换判断即可.【详解】()πsin 212f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()55sin 2sin 2612g x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ，5πππ12123-=，所以()g x 的图象向右平移π3得到()f x 的图象.故选：A.6．B【分析】设该圆锥的底面半径为r ，母线长为2l ，利用圆锥侧面的面积公式：1222S r l π=⨯⨯即可求解.【详解】设该圆锥的底面半径为r ，母线长为2l ，则该圆锥的侧面积12222S r l rl ππ=⨯⨯=，截得的小圆锥的底面半径为2r，母线长为l ，其侧面积11122S r l rl ππ=⨯⨯=，而圆台的侧面积2113222S l ππ=-=-=．故两者侧面积的比值12112332rl S S rl ππ==．故选：B 7．C【分析】由已知，在ACM △中应用正弦定理得62sin15ABMN =︒，再由倍角余弦公式求sin15︒，进而求镇国寺塔的高度.【详解】在ACM △中105,45ACM CAM ∠=︒∠=︒，则30AMC ∠=︒，所以sin 30sin 45AC MC =︒︒，而32MN MC =，sin15AB AC =︒，所以sin15AB MN =︒，又sin15︒===则35.48m MN =.故选：C【分析】由题意首先得函数()πcos 21(0)3f x x ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在区间[]0,π上的两个零点只能是π,3π，由此即可进一步列出不等式组求解.【详解】由题意()21cos cos 2f x x x x ωωω=+1cos 21π2cos 21(0)223x x x ωωωω+⎛⎫=+=++> ⎪⎝⎭，当0x =时，ππ2π33t x ω=+=<，若函数()21cos cos (0)2f x x x x ωωωω=+>在区间[]0,π有且仅有2个零点，则这两个零点只能是π,3π，则当πx =时，π2π3π3π2π5π3t t ωω⎧=+≥⎪⎪⎨⎪=+<⎪⎩，解得4733ω≤<.故选：A.9．CD【分析】由正棱锥的定义判断A ，由棱台的定义判断B ，由正四棱柱的定义判断C ，由圆锥的定义判断D.【详解】对于A ，底面是正多边形且顶点在底面内的射影为底面中心的棱锥是正棱锥，故A 错误；对于B ，将两个相同的棱台的底面重合得到的多面体满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形，但是这样的多面体不是棱台，故B 错误；对于C ，因为正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱都是长方体，故C 正确；对于D ，根据圆锥的定义可知D 正确.故选：CD 10．AC【分析】根据给定的函数图象，求出()f x 的解析式，再逐项判断得解.【详解】观察函数图象，2A =，函数()f x 的周期7ππ2()π1212T =-=，2π2Tω==，又π(212f =，则ππ22π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈，而0πϕ<<，于是π3ϕ=，π()2sin(2)3f x x =+，对于A ，函数()f x 的最小正周期为π，A 正确；对于B ，πππ2π()2sin[2()2sin(2)6633f x x x +=++=+，函数π()6y f x =+不是偶函数，B 错误；对于C ，0()2sin(5π5ππ2663f ⨯+==，因此点5π(,0)6是()f x 图象的一个对称中心，C 正确；对于D ，当π[,0]2x ∈-时，2π2[,]3ππ33x +∈-，而当5π12x =-时，函数()f x 取得最小值，因此函数()f x 在区间π[,0]2-上不单调，D 错误.故选：AC 11．BCD【分析】根据0BA BC ⋅>uu r uu u r可确定角B 为锐角，但ABC 不一定为锐角三角形，可判定A ；根据单位向量、共线向量的概念可判断B ；根据向量的加法运算可确定C ；根据向量的数量积以及向量模的运算可确定D ．【详解】选项A ：若0BC AB ⋅<，则0BA BC ⋅>uu r uu u r ，因此角B 为锐角，但ABC 不一定为锐角三角形，故A 错误；选项B ：因为,AB AC AB AC分别表示,AB AC方向上的单位向量，所以AB AC AB AC+ 的方向与BAC ∠的角平分线一致．若[),0,AB ACAP AB AC λλ∞⎛⎫ ⎪=+∈+ ⎪⎝⎭，则AP 的方向与BAC ∠的角平分线一致，所以点P 的轨迹一定通过ABC 的内心，故B 正确；选项C ：若G 为ABC 的重心，设边BC 的中点为M ，则()()22113323AG AM AB AC AB AC ==⨯+=+，故C正确；选项D ：设BC 的中点为D ，若点O 满足OA OB OC ==，则点O 为ABC 外心，于是有OD BC ⊥．又2,6AB AC ==，则()AO BC DO DA BC DO BC DA BC AD BC ⋅=-⋅=⋅-⋅=⋅()()()()()222222111162162222AC AB AC AB AC AB AC AB =+⋅-=-=-=⨯-= ，故D 正确．故选：BCD ．12【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示，垂直关系的坐标表示求解即得.【详解】由()1,2a = ，()2,3b =- ，得(3,1)a b +=- ，而()1,c x = ，且()a b c +⊥ ，因此30x -=，解得3x =，即()1,3c =r ，所以c =13．17π【分析】根据长方体的外接球即为四棱锥1D ABCD -的外接球，长方体的对角线就是外接球的直径，结合球体的表面积公式求解.【详解】长方体的外接球即为四棱锥1D ABCD -的外接球，因为2AB BC ==，13AA =.=，则长方体的外接球的半径R =该“阳马”外接球的表面积为224π4π17π2S R ==⨯=⎝⎭.故答案为：17π14．2【分析】建立平面直角坐标系，设点A ,B ,C ,P 的坐标，求出,,PA PB PC的坐标，利用数量积的坐标表示和辅助角公式求得()PA PB PC ⋅+为关于α的三角函数，结合正弦函数的性质即可求解．【详解】以ABC外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，如图，因为等边ABC21sin BCr r A=⇒=，设11(1,0),((,(cos ,sin )22A B C P αα--，则1(1cos ,sin ),(cos sin )2PA PBαααα=--=--，1(cos ,sin )2PC αα=--，所以(12cos ,2sin )PC PBαα+=---，()(1cos ,sin )(12cos ,2sin )1cos PA PB PCααααα⋅+=--⋅---=-，因为1cos 1α-≤≤，所以01cosα2£-£所以()PA PB PC ⋅+的最大值为2．故答案为：215．(1)12【分析】（1）由题意，根据平面向量数量积的定义可得120e e ⋅=，结合数量积的运算律计算即可求解；（2）根据数量积的运算律和向量的几何意义计算求出,,()a a b a a b -⋅-，结合数量积的定义计算即可求解.【详解】（1）由题意知，1212πcos 02e e e e ⋅==，所以2212121122(32)(23)613612a b e e e e e e e e ⋅=-⋅-=-⋅+=；（2）由题意得，a12a b e e -=+ ，由（1）知12a b ⋅= ，所以2()13121a a b a a b ⋅-=-⋅=-=，所以()cos ,a a b a a b a a b⋅--=-即a 与a b - .16．(1)12(2)42π【分析】（1）根据直观图还原平面图形ABCD 为一个直角梯形，再利用直角梯形的面积公式求解；（2）将原平面图形ABCD 绕BC 旋转一周，所得几何体是一个圆柱挖去一个圆锥，再结合圆柱和圆锥的体积公式求解．【详解】（1）还原平面图形ABCD ，如图，因为3A B ''=，1B C ''=，3A D ''=，且//B A D C ''''，所以3AB =，2BC =，6AD =，且//AD BC ，AB AD ⊥，原平面图形ABCD 为直角梯形，故(26)3122ABCD S +⨯==；（2）将原平面图形ABCD 绕BC 旋转一周，所得几何体是一个圆柱挖去一个圆锥，如图，其中圆柱的底面半径为3，高为6，圆锥的底面半径为3，高为4，母线长为5，所以几何体的体积为221π36π3442π.3V =⨯⨯-⨯⨯=17．(1)4π3(2)1665-【分析】（1）由()0f x =及数量积的坐标运算得到11sin 022x x +=，从而得到tan 2x =，即可求解；（2）由数量积的坐标运算及三角恒等变换化简得到()1π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意求得5cos 13α=，3sin 5β=，利用基本关系式，求得sin ,cos αβ的值，结合两角和的余弦公式，即可求解.【详解】（1）由题意，向量1sin 2a x ⎛= ⎝r ，11,cos 2b x ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，函数()f x a b =⋅ ，因为()0f x =，即0a b ⋅= ，可得11sin 022x x =，所以tan 2x =又因为π2πx <<，则ππ22x <<，可得12π23x =，所以4π3x =.（2）由11()sin22f x x x =1111π2sin cos 2sin 22223x x x ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为ππ1022sin 2cos 3213f ααα⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5cos 13α=，又因为()4π622sin π2sin 35f βββ⎛⎫+=+=-=- ⎪⎝⎭，所以3sin 5β=，因为π,0,2αβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得12sin 13α==，4cos 5β=，所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-541231613513565=⨯-⨯=-.18．(1)3B π=(2)(]4,6【分析】（1）选①，根据题意，利用正弦定理得到222a c b ac +-=，利用余弦定理求得1cos 2B =，即可求解；选②，根据题意，化简得到πsin 216B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解；选③，根据题意和正弦定理得得到sin cos sin 0C B B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，求得tan B =，即可求解；（2）由题意，得到2sin b R B =，求得周长)2sin sin ABC l a b c A C =++=++ ，化简得到π24sin 6ABC l A ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）解：选①，由()()22sin sin sin sin sin A C A B A B -+=-，可得()()()()sin sin sin sin sin sin sin A C A B A B A B -+=-+，因为πA B C ++=及正弦定理，可得()()()sin sin sin a c C a b A B -=-+，所以()()()a c c a b a b -=-+，整理得222a c b ac +-=，则2221cos 22a cb B ac +-==，因为0πB <<，所以π3B =．1cos cos212B B B -=cos22B B -=，即πsin 216B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0πB <<，可得ππ112π666B -<-<，所以ππ262B -=，即π3B =．选③，由cos sin 3b C a B =-，由正弦定理得sin cos sin sin sin 3B C A C B =-，即()sin cos sin sin B C B C C B =+-，即sin cos sin cos cos sin sin sin B C B C B C C B =+，整理得sin cos sin 0C B B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，因为0πC <<，sin 0C >，可得cos 0B B =，即tan B =因为0πB <<，所以π3B =．（2）解：由π3B =，2b =，可得432sin 3b R B ==，所以周长()2sin sin 3ABC l a b c A C =++=++ ，又由πA B C ++=，可得2π3A C +=，)2π2sin sin 2sin sin 3ABC l A C A A ⎤⎛⎫=++=++- ⎪⎥⎝⎭⎣⎦ππ224sin 66A A ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又因为2π03A <<，可得ππ5π666A <+<，所以1sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以424sin 66A π⎛⎫<++≤ ⎪⎝⎭，所以ABC 的周长的取值范围为(4,6].19．(1)12OM ⎛= ⎝⎭(3)117,22a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，然后由函数()f x 的伴随向量的定义可求得结果，（2）由定义求出()f x ，由()65f x =得π3sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再由同角三角函数的关系可求得π4cos 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，然后由ππsin sin 33x x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦化简可得答案，（3）先利用三角函数图象变换规律求出()h x ，由π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得()(2h x ⎤∈⎦，令()t h x =，则()()2412h x a h x ⎡⎤+=⋅-⎣⎦可化为()2412t a t +=⋅-，然后利用二次函数的性质讨论可求得结果.【详解】（1）()2ππsin cos 32g x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11sin sin sin 22x x x x x =-++=+，所以12OM ⎛= ⎝⎭.（2）依题意()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由()65f x =得π6π32sin 3535x x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππππ,,0,3632x x ⎛⎫⎛⎫∈-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π4cos 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ1ππsin sin sin 33233x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（3）将()π2sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，得π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把整个图象向右平移π3个单位长度，得πππ2sin 22sin 2333y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()π2sin 23h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ2π2,333x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()(π2sin 223h x x ⎛⎫⎤=-∈ ⎪⎦⎝⎭令(()2t h x ⎤=∈⎦，则()()2412h x a h x ⎡⎤+=⋅-⎣⎦可化为()2412t a t +=⋅-，即2122a t t =++，因为函数2122y t t =++是开口向上，对称轴为1t =-的二次函数，所以(1t ⎤∈-⎦时，函数2122y t t =++单调递减；(]1,2t ∈-时，函数2122y t t =++单调递增，所以2min 11(1)222y =--+=-，又当t =时，72y =-2t =时，172y =，所以211172,222y t t ⎡⎤=++∈-⎢⎣⎦；因为存在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()()2412h x a h x ⎡⎤+=⋅-⎣⎦成立，所以存在(1t ⎤∈-⎦使2122a t t =++成立，因此只需117,22a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.-【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的综合问题，考查三角函数图象变换规律，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是对三角函数恒等变换公式的正确应用，考查计算能力和转化能力，属于较难题.。
2021年重庆铜梁县第一中学高一数学理下学期期末试题含解析
2020-2021学年重庆铜梁县第一中学高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量，.且，则（）A. 2B.－3C. 3D.参考答案：B【分析】通过得到，再利用和差公式得到答案.【详解】向量，.且故答案为B【点睛】本题考查了向量平行，正切值的计算，意在考查学生的计算能力.2. 设M是□ABCD的对角线的交点，O是任意一点，则等于（）A. B. C. D.参考答案：D略3. 已知圆：+=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（）A. +=1B. +=1C.+=1D.+=1参考答案：A设圆的圆心（-1,1）关于直线的对称点为，则，解得，所以圆的方程为+=1。
4. （5分）如图所示，阴影部分表示的集合是（）A．（?U B）∩A B．（?U A）∩B C．?U（A∩B）D．?U（A∪B）参考答案：A考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：集合．分析：根据阴影部分对应的集合为A∩?U B．解答：由图象可值，阴影部分的元素由属于集合A，但不属于集合B的元素构成，∴对应的集合表示为A∩?U B．故选：A．点评：本题主要考查集合的表示，比较基础．5. 执行如图所示的程序框图．若输出的结果为﹣1，则可以输入的x的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．0参考答案：A【考点】程序框图．【专题】计算题；分类讨论；分类法；函数的性质及应用；算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用条件结构计算并输出分段函数y=的值，分类讨论满足输出的结果为﹣1的x值，可得答案．【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用条件结构计算并输出分段函数y=的值，当x≤1时，由x2﹣1=﹣1得：x=0，当x＞1时，由log2x=﹣1得：x=（舍去），综上可得：可以输入的x的个数为1个，故选：A【点评】本题考查的知识点是循环框图，分段函数的应用，难度不大，属于基础题．6. 给出下列命题：①有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围成的几何体一定是棱柱；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形所围成的几何体是棱锥；③用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台.以上命题中真命题的个数为（）A.0B.1C.2D.3参考答案：A略7. 已知数列2008，2009，1，-2008，-2009…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2019项之和等于（）A. 1B. 2010C. 4018D. 4017参考答案：C【分析】计算数列的前几项，观察数列是一个周期为6的数列，计算得到答案.【详解】从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和计算数列前几项得：2008，2009，1，-2008，-2009，-1,2008,2009,1，-2008…观察知：数列是一个周期为6的数列每个周期和为0故答案为C【点睛】本题考查了数列的前N项和，观察数列的周期是解题的关键.8. 圆上的动点到直线的最小距离为（）A． B． C． D．参考答案：A试题分析：由题意得，圆心为（2,2），半径r=1，由圆心到直线的最小距离公式可得，所以圆上动点到直线的最小距离为．考点：考查圆上动点到直线的最小距离 .9. 下列函数中，在区间(0,2)是增函数的是（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】直接判断一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数在区间上的单调性即可得到结果.【详解】、、在区间是减函数，在区间(0,2)是增函数.故选：C.【点睛】一次函数的单调性判断：，当时在上递增，当时在上递减；二次函数的单调性判断：，当时在上递减，在上递增；当时在上递增，在上递减.10. 已知集合M＝{y｜y＝，x＞0}，N＝{x｜y＝lg（2x－）}，则M∩N为（）A．（1，2） B．（1，＋∞） C．[2，＋∞） D．[1，＋∞）参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设m>0，则直线(x＋y)＋1＋m＝0与圆x2＋y2＝m的位置关系为________．参考答案：答案：相切或相离解析：圆心到直线的距离为d＝，圆的半径为r＝，∵d－r＝－＝(m－2＋1)＝(－1)2≥0，∴直线与圆的位置关系是相切或相离．12. 已知函数,若实数满足，且，则的取值范围是．参考答案：由图像可知，且，于是，则，所以，所以的取值范围是．13. 函数参考答案：略14. 若，则的值为参考答案：215. 已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为________________.参考答案：略16. 若函数f(x)满足：对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f(x)的定义域内，就有函数值也是某个三角形的三边长.则称函数f(x)为保三角形函数，下面四个函数：①；②；③④为保三角形函数的序号为___________．参考答案：②③任给三角形，设它的三边长分别为，则，不妨设，，①，可作为一个三角形的三边长，但，则不存在三角形以为三边长，故此函数不是保三角形函数②，，，则是保三角形函数③，，是保三角形函数④，当，时，，故此函数不是保三角形函数综上所述，为保三角形函数的是②③17. 已知角的终边经过点，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则= ▲．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
重庆市部分区2023-2024学年高一下学期期末联考数学试卷(含解析)
重庆市部分区2023-2024学年高一下学期期末联考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．复数的虚部是( )A.2．某学校有小学生270人,初中生x 人,高中生810人.为了调查学校学生的近视率,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为360的样本,且从初中生中抽取的人数为120人,则x 为( )A.270B.360C.450D.5403．若一个扇形的半径为1,圆心角为,则该扇形的面积为( )4．设,当,在上的投影向量为( )B.5．已知的内角A ,B ,C 的对边分别是a,b,c ,且,则的形状是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形6．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次,每次命中的环数如下：甲：乙：则下列结论正确的是( )A.甲成绩的平均数较小 B.乙成绩的中位数较小C.乙成绩的极差较大D.乙比甲的成绩稳定7．如图所示的平行四边形中,E ,F 满足,,G 为的中点,若ππ2cos isin 66z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=30︒e 2a e eABC △::5:8:10a b c =ABC △7,8,7,9,5,4,9,10,7,49,5,7,8,7,6,8,6,7,7ABCD 2CE EB = CF FD =EF AG AB AD λμ=+8．如图,在正方体中,点E,F,G,H 分别为棱,,,的中点,点M 为棱上的动点,则下列说法中正确的个数是( )①与异面;②三棱锥的体积为定值;③平面截正方体所得的截面图形始终是四边形;④平面与平面所成的角为定值.A.1个B.2个C.3个D.4个9．已知复数A.C.z 在复平面内对应的点在第二象限D.10．已知不重合的直线m,n,l 和平面,,则( )A.若,,则B.若,,则C.若,,,,,则D.若,,,,则直线l 过点P11．已知函数部分图象如图所示,下列说法正确的是( )1111ABCD A B C D -BC CD 11C D 11B C 1CC AM 1A E 1H A EM -AEM AEM 1BB GF z =z z ⋅=202410122z =αβγ//m n n α⊂//m αm α⊥//m βαβ⊥m α⊂n β⊂αβ⊥l αβ= m l ⊥m n ⊥m αγ= n αβ= l βγ= m n P = ()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭A.的图象关于点对称B.若在区间单调递增且,则的取值范围为C.将函数的图象D.若方程在上有两个不相等的实数根,则的取值范围是三、填空题12．__________.13．一个正方体的顶点都在表面积为的球面上,则正方体的棱长为__________.四、双空题14．已知中,则外接圆的半径为__________;线段的最大值为__________.五、解答题15．已知,,,且.（1）求的值：（2）求向量与向量夹角的余弦值.16．我国是世界上严重缺水的国家,某区为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查.通过抽样,获得某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）,将数据按照,,,分成9组,制成了如图所示的频率直方图.()f x 5π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭()f tx ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦0t >t 10,6⎛⎤⎥⎝⎦cos2y x =()f x ()f x m =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦m )2cos600︒=3πABC △BC =A =13BD BC = ABC △AD ()11,0e = ()20,1e = 122m e e =+ 12n e e λ=- m n ⊥λn 122a e e =+[0,0.5)[0.5,1) [4,4.5)（1）求直方图中a 的值;（2）设该区有70万居民,估计全区居民中月均用水量不低于3吨的人数,说明理由;（3）若该区政府希望使的居民每月的用水量不超过标准x 吨,估计x 的值,说明理由.17．已知函数（1）求函数的解析式和周期,并求其图象的对称轴方程;（2）求函数在上的单调递减区间.18．如图,在平面四边形中,（1）求的值;（2）求的正弦值;（3）若,求中边上高的长度.19．如图,在五面体中,,,,（1）证明：;（2）给出①;②;③平面平面.试从中选两个作为条82%()2cos cos f x x x x =⋅+-()y f x =()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ABCD BAD ∠=ADC =AC ==AD BAC ∠2AB =ABC △BC ABCDEF //AD CF 2AD CF CA ===4BE EF ==CFE ∠=//AD BE FD BE ⊥CA DE ⊥ABED ⊥ACFD件,剩下一个作为结论,可以让推理正确,请证明你的推理;CE ABED（3）在（2）中推理正确的前提下,求直线与平面夹角的正切值.参考答案1．答案：B 解析：2．答案：D解析：依题意初中生应抽取 120 人.所以,解 故选：D.3．答案：C解析：由一个扇形的半径为1,圆心角为.故选：C.4．答案：B解析：由题意可知:,则在,故选:B.5．答案：C解析：因为,所以设,,,,由余弦定理得,因为,所以,所以为钝角三角形.故选：C 6．答案：D 解析：7．答案：A360120270810xx⨯=++540x =302ππ1612⨯=12112a e ⋅=⨯⨯= a e =::5:8:10a b c =5a t =8b t =10c t =0t >222256410011cos 025880t t t C t t +-==-<⨯⨯(0,π)C ∈π,π2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ABC △解析：因为,,所以,,所以,,又G 为的中点,所以,所以故选：A.8．答案：C 解析：9．答案：ABD 解析：10．答案：BCD 解析：11．答案：BCD 解析：12．答案：解析：13．答案：1解析：14．答案：;解析：15．答案：（1）22CE EB = CF FD =13BE BC = 12DF DC = 1122AF AD DF AD DC AD AB =+=+=+1133AE AB BE AB BC AB AD =+=+=+EF 1111113222222343AG AF AE AD AB AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫=+=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭λ=23=3423==12-()()1cos 600cos 54060cos 3π602︒=︒+︒=+︒=-33+（2）解析：（1）因为,则因为,则有,解得.（2）可知,设与的夹角为,则所以,向量与向量夹角的余弦值16．答案：（1）0.30（2）84000（3）估计月均用水量标准为2.8吨时,82%的居民每月的用水量不超过标准解析：（1）由频率直方图可知,月均用水量在的频率为.同理在,,,,的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由,解得（2）由（1）知,该区100位居民月均用水量不低于3吨的频率为.由以上样本的频率分布,可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为（3）因为前6组的频率之和为,前5组的频率之和为所以,由,解得因此,估计月均用水量标准为2.8吨时,82%的居民每月的用水量不超过标准.17．答案：（1）（2）在上的单调递减区间为35-()()12221,0,0,1,2,e e m e e n e e λ===+=- ()()()()()()2,00,12,1,1,00,1,m n λλ=+==-=-m n ⊥20λ-=2λ=()()()()1,00,21,2,1,2a n =+==-a nθ3cos 5a n a n θ⋅===⋅n 122a e e =- [)0,0.50.080.50.04⨯=[)0.5,1[)1.5,2[)2,2.5[)3,3.5[]4,4.5()10.040.080.210.250.060.040.020.52a -++++++=⨯0.30a =0.060.040.020.12++=7000000.1284000⨯=()0.080.160.300.420.500.300.50.88+++++⨯=()0.080.160.300.420.500.50.73++++⨯=2.53x ≤<()0.3 2.50.820.73x ⨯-=- 2.8x =()ππ62k x k =+∈Z ()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：（1）函数图象的周期由,解得;所以,函数图象的对称轴方程为.（2）当时,有,要使单调递减,故函数在上的单调递减区间为;18．答案：（1）3解析：（1）在中,由余弦定理得即,所以.（2）在因为,所以为锐角,所以所以()()2211cos cos 2cos 122f x x x x x x =⋅+-=+-1πcos2sin 226x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭()y f x =2ππ2T ==()ππ2π62x k k +=+∈Z ()ππ62k x k =+∈Z ()y f x =()ππ62k x k =+∈Z π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()f x π26x ≤+≤x ≤≤()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦ACD △2222cos AC AD DC ADDC ADC∠=+-222π24AD =+-3AD =ACD △==CAD ∠=CD AC <CAD ∠cos CAD ∠=πsin sin cos 2BAC CAD CAD ⎛⎫∠=-∠=∠=⎪⎝⎭（3）由在中,由余弦定理得,解得又的面积为,的边19．答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）证明：因为,面面,所以面.又因为面,面面,所以.（2）条件①②,结论③：证明;且,故四边形是平行四边形,故,因为,所以,又,,,平面,所以面,而面,故平面平面;条件①③,结论②：证明：且,故四边形是平行四边形,故,由,可得.因为面面,面面,面,所以面.而面,,因为,故.若条件②③,结论①：由于且,故四边形是平行四边形,故,若,则,由于面面,无法推导平面,不能推出,下面求直线和平面夹角的正切值：连接直线,πcos cos sin 2BAC CAD CAD ⎛⎫∠=-∠=∠=⎪⎝⎭ABC △2222cos BC AB AC AB AC BAC=+-⋅⋅∠222225=+-⨯=BC =ABC △11sin 2222ABC S AB AC BAC =⋅⋅⋅∠=⨯=△ABC ∴△BC =//AD CF CF ⊂,BCFE AD ⊄BCFE //AD BCFE AD ⊂ABED ABED BCFE BE =//AD BE //AD CF AD CF =ACFD //CA FD FD BE ⊥CA BE ⊥CA DE ⊥BE DE E = BE DE ⊂ABED CA ⊥ABED CA ⊂ACFD ABED ⊥ACFD //AD CF AD CF =ACFD //CA FD FD BE ⊥//AD BE FD AD ⊥ABED ⊥ACFD ABED ⋂ACFD AD =FD ⊂ACFD FD ⊥ABED ED ⊂ABED FD ED ∴⊥//CA FD CA DE ⊥//AD CF AD CF =ACFD //CA FD CA DE ⊥DF DE ⊥ABED ⊥ACFD DF ⊥ABED DF BE ⊥CE ABED CE AE因为,,,所以平面所以为直线和平面所成的角在中,因为,,,所以平面所以,,因为平面,所以,直线和平面CA DE ⊥CA BE ⊥DE BE E = CA ⊥ABDE CEA ∠CE ABED Rt FDE △DE ==CF EF ⊥CF FD ⊥FD EF F = CF ⊥FED AD DE ⊥4AE ==CA ⊥ABDE CA AE ⊥CE ABED。
重庆市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题含答案
高2026届高一（下）期末考试数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效．3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若π1,3a b A ===，则B =（）A.π3B.π2C.π6 D.π4【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理结合b a <进行求解即可.【详解】由正弦定理得：31sin sin A B=，则1sin 2B ==，由b a <得B A <，所以π6B =，故选：C ．2.某校高一年级有四个班共有学生200人，其中1班60人，2班50人，3班50人，4班40人．该校要了解高一学生对食堂菜品的看法，准备从高一年级学生中随机抽取40人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按班级来分层，则高一2班应抽取的人数是（）A.12B.10C.8D.20【答案】B 【解析】【分析】由分层抽样的概念求解．【详解】解：依题意高一2班应抽取的人数为504010200⨯=人，故选：B ．3.已知平面四边形OABC 用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正方形O A B C ''''，则原图形OABC 中的AB =（）A.B. C.3 D.2【答案】C 【解析】【分析】根据斜二测画法规则结合勾股定理即可求解.【详解】根据斜二测画法规则， 1,2OA O A OB O B ''''====OA OB ⊥，则3AB ==，故选：C ．4.已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（）A.若αβ∥，m β∥，则m α∥B.若,m n αα⊥⊥，则m n ∥C.若m α∥，m β∥，则αβ∥D.若,m n m α⊥⊂，则n α⊥【答案】B 【解析】【分析】根据线线，线面，面面的平行关系，垂直关系，判断选项.【详解】A 中m 可能在α内，错误；B 中由线面垂直的性质显然正确；C 中α与β可能相交，错误；D 中n 可能在α内，可能平行于α，可能与α斜交，错误.故选：B5.甲、乙、丙3人独立参加一项挑战，已知甲、乙、丙能完成挑战的概率分别为13、13、14，则甲、乙、丙中有人完成挑战的概率为（）A.15B.13C.25D.23【答案】D 【解析】【分析】由独立乘法公式以及对立事件概率公式即可求解.【详解】由题意，甲、乙、丙三人都没完成挑战的概率11111113343P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再由对立事件关系，则甲、乙、丙中有人完成挑战的概率12133P =-=，故选：D ．6.平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，11π3A AD A AB ∠=∠=，11AA AB ==，E 为11CD 的中点，则异面直线BE 和DC 所成角的余弦值为（）A.0B.2C.12D.4【答案】A 【解析】【分析】由11·2BE DC AA AD AB AB ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭求解即可．【详解】解：由题意，11π111cos 32AA AB AA AD ==⨯⨯= ，·0AB AD =，又D C A B =，1111112BE AE AB AA A D D E AB AA AD AB =-=++-=+- ，所以1111·00222BE DC AA AD AB AB ⎛⎫⋅=+-=+-= ⎪⎝⎭，即有BE DC ⊥u u r u u u r ，故选：A ．7.甲在A 处收到乙在航行中发出的求救信号后，立即测出乙在方位角（是从某点的正北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）为45°、距离A 处为10n mile 的C 处，并测得乙正沿方位角为105°的方向，以6n mile/h 的速度航行，甲立即以14n mile/h 的速度前去营救，甲最少需要（）小时才能靠近乙．A.1B.2C.1.5D.1.2【答案】A 【解析】【分析】设甲乙相遇在点B 处，需要的时间为t 小时，则6,14BC t AB t ==，在△ABC 中，由余弦定理求解．【详解】解：设甲乙相遇在点B 处，需要的时间为t 小时，则6,14BC t AB t ==，又4575120,10ACB AC ∠=︒+︒=︒=，在△ABC 中，由余弦定理得：222(14)10(6)210(6)cos120t t t =+-⨯⨯⨯︒，则28350t t --=，即()()8510t t +-=，解得1t =或58t =-（舍去），故选：A ．8.已知向量,OA OB 满足1,2==OA OB uu r uu u r ，且向量OB 在OA 方向上的投影向量为OA．若动点C 满足12OC = ，则CA CB的最小值为（）A.12-B.4263- C.172D.574-【答案】D 【解析】【分析】应用数形结合及极化恒等式，化221·4CB CA CM AB =- ，求解即可．【详解】解：如图，根据投影向量，OA AB ⊥，则60AOB ∠=︒，且3AB =，因为12OC = ，所以点C 在以O 为圆心，半径12r =的圆上运动．设M 是AB 的中点，由极化恒等式得：22213·44CB CA CM AB CM =-=- ，因为min712CMOM r -=-=，此时2382735274444CM ---=-= ，即CA CB 的最小值为5274-，故选：D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设复数z 的共轭复数为z ，i 为虚数单位，若()2i 1i z +=+，则（）A.复数z 的虚部为1- B.2z =C.z 在复平面内对应的点在第一象限 D.816z =【答案】AD 【解析】【分析】由题意，1i21i iz +=-=--，再依次判断．【详解】解：由题意，1i21i iz +=-=--，则虚部为1-，()()22112z =-+-=，则A 正确，B 错误；1i z =-+在复平面内对应的点()1,1-在第二象限，C 错误；()221i 2i z =--=，()()22422i 4z z ===-，()()2284416z z ==-=，D 正确，故选：AD ．10.一个袋子中有大小相同，标号分别为1，2，3，4的4个小球．采用不放回方式从中任意摸球两次，一次摸一个小球．设事件A =“第一次摸出球的标号小于3”，事件B =“第二次摸出球的标号小于3”，事件C =“两次摸出球的标号都是偶数”，则（）A.()()P A P B =B.()16P AB =C.()23P A B ⋃= D.()112P AC =【答案】ABD 【解析】【分析】写出样本空间以及各个事件所包含的基本事件，再结合古典概型概率计算公式逐一验算即可求解.【详解】由题意，摸球两次的样本空间()()()()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3Ω=，事件()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4A =，事件()()()()()(){}1,2,2,1,3,1,3,2,4,1,4,2B =，事件()(){}2,4,4,2C =，所以()(){}1,2,2,1AB =，(){}2,4AC =，()()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,4,1,4,2A B = ，利用古典概型计算公式，()()61122P A P B ===，()21126P AB ==，()105126P A B == ，()112P AC =，故选：ABD ．11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为线段1CC 上的动点，O 为正方体内一点，则以下命题正确的是（）A.1B M DM +取得最小值B.当M 为线段1CC 中点时，平面1BMD 截正方体所得的截面为平行四边形C.四面体ABMD 的外接球的表面积为5π时，1CM =D.若1,2AO CO A O ==，则点O 【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，将平面11BB C C 沿1C C 翻折到与平面11DD C C 为同一平面，结合勾股定理以及三角形三边关系即可判断；对于B ，设N 是1A A 的中点，得出四边形1NBMD 是菱形即可判断；对于C ，当1CM =时，验算四面体ABMD 的外接球的表面积即可判断；对于D ，找出点O 的轨迹即可验算求解.【详解】选项A 中，将平面11BB C C 沿1C C 翻折到与平面11DD C C 为同一平面，则11B M DM B D +≥==，当D ，M ，1B 三点共线时，等号成立，故A 正确；选项B 中，设N 是1A A 的中点，连接1D N ，NB ，而正方体的棱长为2，且,M N 分别为11,CC AA 的中点，所以11NB BM MD D N ====所以四边形1NBMD 是菱形，所以平面1BMD 就是平面1BMD N ，此截面是平行四边形，故B 正确；选项C 中，当1CM =时，因为CM ，AD ，AB 两两垂直，所以四面体ABMD 的外接球的直径23R ==，则32R =，此时外接球表面积24π9πR =，故C 错误；选项D 中，由AO CO =，所以点O 在AC 的中垂面11D DBB 上，设11B D 的中点为H ，则1A H =，因为1DD ⊥平面1111D C B A ，1A H ⊂平面1111D C B A ，所以11A H DD ⊥，又因为111A H B D ⊥，1111B D DD D = ，11B D ⊂平面1111D C B A ，1DD ⊂平面1111D C B A ，所以1A H ⊥平面11D DBB ，则HO ==所以点O 在以H 为圆心，r =的半圆上运动，点O ，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：判断D 选项的关键的得出点O 首先在面11D DBB 上，进一步得出HO ==O 的轨迹，由此即可顺利得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量()()1,1,,2a b m ==-，若()//a a b + ，则m =______．【答案】2-【解析】【分析】首先求出a b +的坐标，再由向量共线的坐标表示计算可得.【详解】因为()()1,1,,2a b m ==- ，所以()()()1,1,21,1a b m m +=+-=+-，又因为()//a a b +，所以()()1111m ⨯+=⨯-，所以2m =-.故答案为：2-．13.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______.【答案】2π【解析】【分析】由轴截面得到圆锥的底面半径和母线，利用侧面积公式求出答案.【详解】由题意得，圆锥的底面半径为1r =，母线长为2l =，故圆锥的侧面积为ππ122πrl =⨯⨯=.故答案为：2π14.记△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin cos cos a A c C a C c A +=+，若△ABC 的面积()20S tb t =>，则t 的最大值为______．【答案】14##0.25【解析】【分析】利用正弦定理将已知式子统一成角的形式，化简得22sin sin sin A C B +=，然后由已知得221sin 2ab C S t b b==，化简后利用正弦定理统一成角的形式，再利用基本不等式可求得结果.【详解】因为sin sin cos cos a A c C a C c A +=+所以由正弦定理得()22sin sin sin sin A C A C B +=+=，由()20S tb t =>得：22221sin sin sin sin sin 122sin 4sin 4ab C S A C A C t b b B B +===≤=，当且仅当sin sin A C =，即45A C ==︒，90B =︒时等号成立，故答案为：14．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.为调查外地游客对洪崖洞景区的满意程度，某调查部门随机抽取了100位游客，现统计参与调查的游客年龄层次，将这100人按年龄（岁）（年龄最大不超过65岁，最小不低于15岁的整数）分为5组，依次为[)[)[)[)[]15,25,25,35,35,45,45,55,55,65，并得到频率分布直方图如下：（1）求实数a 的值；（2）估计这100人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（3）估计这100人年龄的第80百分位数．（结果保留一位有效数字，四舍五入）【答案】（1）0.035a =；（2）41.5（3）51.7【解析】【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出实数a 的值；（2）利用平均数的定义进行求解；（3）先确定年龄的第80百分位在[)45,55之内，设第80百分位数为x ，得到方程，求出答案.【小问1详解】由题知，()100.010.0150.030.011a ⨯++++=，则0.035a =；【小问2详解】由图样本平均数200.1300.15400.35500.3600.141.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】由题知，年龄在[)15,55的频率为0.9，年龄在[)15,45的频率为0.6，则年龄的第80百分位在[)45,55之内，设第80百分位数为x ，则()0.6450.030.8x +-⨯=，解得51.7x ≈．16.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是一个菱形，60,DAB ∠=︒，点P 为1BC 上的动点．（1）证明：DP ∥平面11AB D ；（2）试确定点P 的位置，使得BC DP ⊥．【答案】（1）证明见解析（2）点P 为1BC 中点【解析】【分析】（1）由11BD B D ∥得到BD ∥平面11AB D ，同理得到1BC ∥面11AB D ，得到面面平行，进而得到线面平行；（2）作出辅助线，得到DE BC ⊥，结合BC EP ⊥，得到线面垂直，故BC EP ⊥，结合1BC CC ⊥，EP ⊂平面1BCC ，所以1EP CC ∥，证明出结论.【小问1详解】由题知，由1111,BB DD BB DD =∥，则四边形11BB D D 为平行四边形，所以11BD B D ∥，因为11B D ⊂平面11AB D ，BD ⊄平面11AB D ，所以BD ∥平面11AB D ，同理可证1BC ∥面11AB D ，由BD ⊂面1BDC ，1BC ⊂面1BDC ，1BD BC B = ，所以平面1BDC ∥平面11AB D ，又PD ⊂面1BDC ，所以DP ∥面11AB D ；【小问2详解】取BC 中点E ，连接DE ，PE ．在△BDC 中，π,3BC DC BCD =∠=，则△BDC 为正三角形，所以DE BC ⊥，又BC DP ⊥，DE BC E ⋂=，,DE BC ⊂平面EDP ，所以BC ⊥面EDP ，因为EP ⊂平面EDP ，所以BC EP ⊥．在面1BCC 中，1BC CC ⊥，EP ⊂平面1BCC ，所以1EP CC ∥，在1BCC 中，E 为BC 中点，所以EP 为中位线，则点P 为1BC 中点．17.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos cos 2sin sin A B c a A B b ⎫=+=⎪⎭．（1）求A 的大小；（2）已知233AB AC AD =+ ，若A 为钝角，求ABD △面积的取值范围．【答案】（1）π3或2π3；（2）0,9⎛ ⎝⎦【解析】【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到3sin 2A =，求出π3A =或2π3；（2）由233AB AC AD =+ 得到2BD DC = ，故36ABD S bc =△，以由（1）知，2π3A =，且2a =，由余弦定理224b c bc ++=，由基本不等式得43bc ≤，求出403bc <≤，得到ABD △面积的取值范围.【小问1详解】cos cos 2sin cos cos sin 2sin sin sin sin sin sin A B c B A B A C A B bA B B +⎫+=⇒=⎪⎭，()sin 2sin sin 2sin sin sin sin sin sin sin B A C C C A B B A B B+=⇒=，因为在△ABC 中，()sin sin 0,sin 0B A C B +=>>，所以化简得：sin 2A =，又0πA <<，解得：π3A =或2π3；【小问2详解】由233AB AC AD =+ 得：()322AD AB AC AD DB AD DC =+=+++ ，则2BD DC = ，从而2213sin 3326ABD ABC S S bc A bc ==⨯=△△，因为A 为钝角，所以由（1）知，2π3A =，且2a =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得：224b c bc ++=，因为222b c bc +≥，所以42bc bc ≥+，所以43bc ≤，当且仅当3b c ==时等号成立，又b ，c 可以无限接近0，所以403bc <≤，从而0,69ABD S bc ⎛=∈ ⎝⎦△，故△ABD 面积的取值范围为0,9⎛ ⎝⎦．18.已知三棱台111ABC A B C -中，△ABC 为正三角形，1111112A B AA BB AB ====，点E 为线段AB 的中点．（1）证明：1A E ∥平面11B BCC ；（2）延长111,,AA BB CC 交于点P ，求三棱锥P -ABC 的体积最大值；（3）若二面角1A CC B --的余弦值为13，求直线1BB 与平面11ACC A 所成线面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）1（3）33【解析】【分析】（1）设F 是BC 的中点，连接EF ，1C F ，则利用三角形中位线定理结合已知可证得四边形11A EFC 是平行四边形，则11A E C F ∥，再由线面平行的判定定理可证得结论；（2）由题意可得当平面PAB ⊥平面ABC 时，该三棱锥的体积最大，由已知可得△PAB 是边长2的正三角形，从而可求出三棱锥的体积；（3）由题意可得二面角1A CC B --的平面角是1AC B ∠，利用余弦定可求出其余弦值，作1BO AC ⊥于点O ，连接PO ，则可得∠BPO 为直线1BB 与平面11ACC A 所成角，然后在BPO △中可求得结果.【小问1详解】证明：如图，设F 是BC 的中点，连接EF ，1C F ，在三棱台111ABC A B C -中，因为1112A B AB =，所以1112A C AC =，且11A C AC ∥，因为E ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以EF AC ∥，12EF AC =，所以11A C ∥EF ，11A C EF =，所以四边形11A EFC 是平行四边形，所以11A E C F ∥，又1A E ⊄平面11B BCC ，1C F ⊂平面11B BCC ，所以1A E ∥平面11B BCC ；【小问2详解】因为2AB =，又122sin 602ABC S =⨯⨯⨯︒=△为定值，所以当平面PAB ⊥平面ABC 时，该三棱锥的体积最大．因为11A B ∥AB ，1112A B AB =，所以11,A B 分别是PA ，PB 的中点，所以2PA PB AB ===，因此△PAB 是边长2的正三角形，因为PE AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PE ⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABC ，又PE =，则1133P ABC ABC V PE S -== △；则三棱锥P -ABC 的体积最大值为1．【小问3详解】如图，2PA AC PB BC ====，1C 是PC 的中点，则11,AC PC BC PC ⊥⊥，所以二面角1A CC B --的平面角是1AC B ∠，又11AC BC =，由余弦定理得：222111111cos 23AC BC AB AC B AC BC +-∠== ，解得113AC BC ==作1BO AC ⊥于点O ，连接PO ，因为PC ⊥平面1AC B ，所以PC BO ⊥，又11AC PC C = ，1,AC PC ⊂平面11ACC A ，所以BO ⊥平面11ACC A ，则∠BPO 为直线1BB 与平面11ACC A 所成角，由262,33PB BO ==，则22233PO PB BO =-，从而3cos 3PO BPO PB ∠==，所以直线1BB 与平面11ACC A 所成线面角的余弦值为33．19.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O 的半径为R ．A 、B 、C 为球面上三点，劣弧BC 的弧长记为a ，设0O 表示以O 为圆心，且过B 、C 的圆，同理，圆32,O O 的劣弧AC 、AB 的弧长分别记为b ，c ，曲面ABC （阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角,,C OA B A OB C B OC A ------分别为α，β，γ，则球面三角形的面积为()2πABC S R αβγ=++- 球面．（1）若平面OAB 、平面OAC 、平面OBC 两两垂直，求球面三角形ABC 的面积；（2）若平面三角形ABC 为直角三角形，ACBC ⊥，设123,,AOC BOC AOB θθθ∠=∠=∠=．则：①求证：123cos cos cos 1θθθ+-=；②延长AO 与球O 交于点D ，若直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，(],0,1BE BD λλ=∈ ，S 为AC 中点，T 为BC 中点，设平面OBC 与平面EST 的夹角为θ，求sin θ的最小值，及此时平面AEC 截球O 的面积．【答案】（1）2π2R （2）①证明见解析；②sin 5θ=，253π78R 【解析】【分析】（1）根据题意结合相应公式分析求解即可；（2）①根据题意结合余弦定理分析证明；②建系，利用空间向量求线面夹角，利用基本不等式分析可知点E ，再利用空间向量求球心O 到平面AEC 距离，结合球的性质分析求解.【小问1详解】若平面OAB ，OAC ，OBC 两两垂直，有π2αβγ===，所以球面三角形ABC 面积为()22ππ2ABC S R R αβγ=++-=球面.【小问2详解】①证明：由余弦定理有：222212222222223222AC R R R cos BC R R R cos AB R R R cos θθθ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩，且222AC BC AB +=，消掉2R ，可得123cos cos cos 1θθθ+-=；②由AD 是球的直径，则,AB BD AC CD ⊥⊥，且AC BC ⊥，CD BC C ⋂=，,CD BC ⊂平面BCD ，所以AC ⊥平面BCD ，且BD ⊂平面BCD ，则AC BD ⊥，且AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC ，可得BD ⊥平面ABC ，由直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，所以ππ,43DAB DCB ∠=∠=，不妨先令R =2AD AB BD BC AC =====，由AC BC ⊥，AC BD ⊥，BC BD ⊥，以C 为坐标原点，以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 作BD 的平行线为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设(,BE t t =∈，则())()0,2,0,,0,0,0,A BC D ，可得()0,1,0,,0,02S T ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，),,1,22E t O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则),22CB CO ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，,1,0,22ST TE t ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面OBC 法向量()111,,m x y z =，则11110022m CB m CO x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取12z =-，则110y x ==，可得()2m =- ，设平面EST 法向量()222,,n x y z =，则22220202n ST x y n TE x tz ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，取2x =，则22,1y t z ==-，可得),,1n t =- ，要使sin θ取最小值时，则cos θ取最大值，因为cos cos,m nm nm nθ⋅======，令(]1,1,13m m=+∈，则()2218mt t-==，可得()2221888293129621218m mt m mm mm+===≤=+-+--+-+，当且仅当3,m t==取等．则cosθ10sin5θ==为最小值，此时点E，可得CE=，()0,2,0CA=，设平面AEC中的法向量(),,k x y z=，则20k CE zk CA y⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩，取1x=，则0,y z==-，可得(1,0,k=-，可得球心O到平面AEC距离为AO kdk⋅==设平面AEC截球O圆半径为r，则2225326r R d=-=，所以截面圆面积为225353πππ2678r R==.【点睛】方法点睛：1.利用空间向量求线面角的思路直线与平面所成的角θ主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角ϕ求得，即sin cosθϕ=；2.利用空间向量求点到平面距离的方法设A为平面α内的一点，B为平面α外的一点，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离AB ndn⋅=.。
重庆高一高中数学期末考试带答案解析
重庆高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列事件为随机事件的是( )A．抛一个硬币，落地后正面朝上或反面朝上B．边长为a,b的长方形面积为abC．从100个零件中取出2个,2个都是次品D．平时的百分制考试中，小强的考试成绩为105分2.若a＜b＜0,则下列不等式不能成立的是（）3.在△ABC中，，，A=120°，则B等于( )A．30°B．60°C．150°D．30°或150°4.在等比数列中，已知，则等于( )A．16B．6C．12D．45.设M=, N= , 则M与N的大小关系为( )A．M>N B．M<N C．M=N D．不能确定6.不等式的解集为 ( )A．B．C．D．7.下列样本数据为3,3,4,4,5,6,6,7,7,则标准差是( )A. ; B, ; C. 5 D.8.如图，该程序运行后输出的结果为( )A．1B．10C．19D．289.已知首项为正数的等差数列满足: ,,则使其前n项和成立的最大自然数n是( ).A．4016B．4017C．4018D．401910.若不等式对于一切成立，则的最小值是 ( )A．－2B．－C．－3D．0二、填空题1.某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查。
现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数为16。
在1~16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从49 ~ 64这16个数中应取的是2.如右图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长。
在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为。
（用分数表示）3.在ABC中，三边a，b，c与面积s的关系式为则角C为4.已知数列满足则的通项公式。
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2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知a 是第二象限角,5sin ,cos 13a a ==则（ ） A ．1213-B ．513- C ．513D ．12132．已知等差数列{}n a 中，468a a +=则34567a a a a a ++++=（ ） A ．10B ．16C ．20D ．243．在ABC ∆中，设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且21cos 222A b c=+，则ABC ∆一定是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形4．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22S =，46S =，则6S =（） A ．14B ．18C ．36D ．605．在ABC ∆中，“A B >”是“cos cos A B <”的 ( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知{}n a 、{}n b 都是公差不为0的等差数列，且lim 2nn na b →∞=，12n n S a a a =++⋯+，则22lim nn nS nb →∞的值为（ ） A ．2B ．-1C ．1D ．不存在7．关于某设备的使用年限x （单位：年）和所支出的维修费用y （单位：万元）有如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程 1.23y x a =+，据此估计，该设备使用年限为10年时所支出的维修费用约是（ ） A ．12.08万元B ．12.28万元C ．12.38万元D ．12.58万元8．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，则与BC 相等的向量为（ ）A ．BAB ．CDC ．AD D ．OD9．将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是( )A ．甲队平均得分高于乙队的平均得分中乙B ．甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数C ．甲队得分的方差大于乙队得分的方差D ．甲乙两队得分的极差相等 10．若11tan ,tan()32ααβ=+=,则tan =β（ ） A ．17B ．16C ．57D ．56二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知()1,2a =，(),4b x =，若//a b ，则实数x 的值为__________．12．如图所示，已知点()1,1A ，单位圆上半部分上的点B 满足·0OAOB =，则向量OB 的坐标为________．13．若tan α、tan β是方程2240x x --=的两根，则tan()αβ-=__________. 14．给出下列四个命题：①正切函数tan y x = 在定义域内是增函数； ②若函数()3cos(2)6f x x π=+，则对任意的实数x 都有55()()1212f x f x ππ+=-； ③函数cos sin ()cos sin x xf x x x+=-的最小正周期是π；④cos()y x =-与cos y x =的图象相同.以上四个命题中正确的有_________（填写所有正确命题的序号）15．已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a d +=________16．若数列{}n a 的前n 项和n S ，满足22n S n n =-，则n a =______．三、解答题：本大题共5小题，共70分。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．2019年是中华人民共和国成立70周年，某校党支部举办了一场“我和我的祖国”知识竞赛，满分100分，回收40份答卷，成绩均落在区间[50,100]内，将成绩绘制成如下的频率分布直方图.（1）估计知识竞赛成绩的中位数和平均数；（2）从[80,90)，[90,100]分数段中，按分层抽样随机抽取5份答卷，再从对应的党员中选出3位党员参加县级交流会，求选出的3位党员中有2位成绩来自于[90,100]分数段的概率.18．已知()()215f x x a a x =+-+.（1）解关于a 的不等式()10f >；（2）若不等式()f x b <的解集为()1,2-，求实数a ，b 的值.19．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 是边长为4的菱形，BC ⊥平面11ACC A ，2CB =，点1A 在底面ABC 上的射影D 为棱AC 的中点，点A 在平面1A CB 内的射影为E()1证明：E 为1A C 的中点： ()2求三棱锥11A B C C -的体积20．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin sin 4cos sin a C c A a B C +=.（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若3a =，2c =，求πsin 23C +⎛⎫⎪⎝⎭的值. 21．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足222a b c bc =+-. （1）求角A ； （2）若2a =，3ABC S ∆=，求ABC ∆的周长. 参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、A 【解析】cosα＝±21sin α-±1213，又∵α是第二象限角，∴cosα＝－1213. 2、C 【解析】根据等差数列性质得到46582a a a +==，再计算得到答案. 【详解】已知等差数列{}n a 中，4655824a a a a +==⇒=345675520a a a a a a ++++==故答案选C 【点睛】本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型. 3、C 【解析】利用二倍角公式化简已知表达式，利用余弦定理化角为边的关系，即可推出三角形的形状． 【详解】 解：因为222A b c cosc +=，所以22112A b c cosc+-=-， 即cos b A c =，由余弦定理可知：2222b c a bbc c+-=，所以222c a b =+． 所以三角形是直角三角形． 故选：C ． 【点睛】本题考查三角形的形状的判断，余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题． 4、A 【解析】由已知结合等比数列的求和公式可求，11a q-，q 2，然后整体代入到求和公式即可求．【详解】∵等比数列{a n }中，S 2＝2，S 4＝6， ∴q ≠1，则()()2141121161a q q a qq ⎧-⎪=-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，联立可得，11a q=--2，q 2＝2，S 6()6111a q q=⨯-=--2×（1﹣23）＝1． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了等比数列的求和公式的简单应用，考查了整体代入的运算技巧，属于基础题． 5、A 【解析】余弦函数cos y x =在0π（，）上单调递减 【详解】因为A,B 是ABC ∆的内角，所以,A B π∈（0，）,在0π（，）上余弦函数cos y x =单调递减, 在ABC ∆中，“A B >”⇔ “cos cos A B <” 【点睛】充要条件的判断，是高考常考知识点，充要条件的判断一般有三种思路：定义法、等价关系转化法、集合关系法。
6、C 【解析】 首先根据lim 2n n n a b →∞=求出数列{}n a 、{}n b 公差之间的关系，再代入22lim n n nSnb →∞即可。
【详解】因为{}n a 和{}n b 都是公差不为零的等差数列，所以设()()11121?1n n b b n d a a n d =+-=+- 故()()11121limlim 21nn n n a n d a b b n d →∞→∞+-==+-，可得122d d =又因为()112112n n n d a a a na -+++=+和()21121n b b n d =+-代入则()()1112122122lim lim 21212n n n nn n d na S d nb nb n n d d →∞→∞⎛⎫-+ ⎪=⨯== ⎪+- ⎪ ⎪⎝⎭． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了极限的问题以及等差数列的通项属于基础题。
7、C 【解析】计算出x 和y ，将点(),x y 的坐标代入回归直线方程，求得实数a 的值，然后将10x =代入回归直线方程可求得结果. 【详解】由表格中的数据可得2345645x ++++==， 2.2 3.8 5.5 6.5755y ++++==，由于回归直线 1.23y x a =+过样本中心点(),x y ，则1.2345a ⨯+=，解得0.08a =， 所以，回归直线方程为 1.230.08y x =+，当10x =时， 1.23100.0812.38y =⨯+=. 因此，该设备使用年限为10年时所支出的维修费用约是12.38万元. 故选：C. 【点睛】本题考查利用回归直线方程对总体数据进行估计，充分利用结论“回归直线过样本的中心点(),x y ”的应用，考查计算能力，属于基础题. 8、D 【解析】容易看出，四边形BCDO 是平行四边形，从而得出BC OD =. 【详解】根据图形看出，四边形BCDO 是平行四边形//,BC OD BC OD ∴=BC OD ∴=故选：D 【点睛】本题考查相等向量概念辨析，属于基础题. 9、C 【解析】由茎叶图分别计算甲、乙的平均数，中位数，方差及极差可得答案． 【详解】26282931315x ++++==甲29；28293231305x ++++==乙30，∴x x 甲乙，<∴A错误；甲的中位数是29，乙的中位数是30，29<30,∴B 错误；甲的极差为31﹣26＝5，乙的极差为32﹣28＝4，54≠，∴D 错误； 排除可得C 选项正确， 故选C ． 【点睛】本题考查了由茎叶图求数据的平均数，极差，中位数，运用了选择题的做法即排除法的解题技巧，属于基础题. 10、A 【解析】试题分析：11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯，故选A. 考点：两角和与差的正切公式．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。