运筹学

第一章概论

运筹学是一门应用科学，它广泛应用现有的科学技术知识和数学方法，解决实际中提出的专门问题，为决策者选择最优决策提供定量依据。

运筹学的模型有三种基本形式：(1)形象模型(2)模拟模型(3)符号或数学模型

目标的评价准则：达到最佳、适中、满意

随机模型的评价准则：期望值、方差、概率分布

第二章图解法

目标函数为变量的线性函数，约束条件也为变量的线性等式或不等式的模型称之为线性规划。

如果目标函数是变量的非线性函数，或约束条件中含有变量非线性的等式或不等式的数学模型则称之为非线性规划。

满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行解。

把使得目标函数值最大(即利润最大)的可行解称为该线性规划的最优解.此目标函数值称为最优目标函数值，简称最优值

如果某一个线性规划问题有最优解，则一定有一个可行域的顶点对应一个最优解。

求解线性规划问题时，解的情况有；唯一最优解；无穷多最优解：无界解；无可行解。

若线性规划问题的可行域存在，则可行域是一个凸集。

若线性规划问题的最优解存在，则最优解或最优解之一(如果有无穷多的话)一定是可行域的凸集的某个顶点。

灵敏度分析：在建立数学模型和求得最优解之后，研究线性规划的一些系数Cj、aij、bi变化时，对最优解产生什么影响

在约束条件右边常量增加一个单位而使最优目标函数值得到改进的数量称之为这个约束条件的对偶价格。

当约束条件右边常数增加一个单位时：

1)如果对偶价格大于零，则其最优目标函数值得到改进，即求最大值时，变得更大；求最小值时，变得更小。

2)如果对偶价格小于零，则其最优目标函数值变坏了求最大值时变小了；求最小值时变大了。

3)如果对偶价格等于零，则其最优目标函数值不变.

第三章单纯形法

线性规划的最优解里有人工变量大于零，则此线性规划无可行解。

无界解是指在约束条件下目标函数值可以任意的大。

在一个已得到最优解的单纯形表中，如果存在一个非基变量的检验数σS为零，则此线性规划问题有无穷多最优解。

在单纯形法计算过程中，入基变量所对应列向量与常数项相除有时存在两个以上相同的最小比值,这样在下一次迭代中就有了一个或几个基变量的值等于零，这称之为退化。

第四章线性规划灵敏分析与对偶

对于两个有对偶关系的线性规划的问题我们只要求得了其中一个最优解，就可以从这个问题的对偶价格而求得其对偶问题的最优解，知道了其中一个最优值也就找到了其对偶问题的最优值，因为这两个最优值相等。

原问题的最优解是对偶问题约束条件的对偶价格；原问题约束条件的对偶价格是对偶问题的最优解。

松弛变量=0，对偶价格≠0，松弛变量≠0 ，对偶价格=0

单纯形法是在保持原问题的所有约束条件的常数大于等于零的情况下，通过迭代，使得所有

的检验数都小于等于零，最后求得最优解；

对偶单纯形法则是在保持原问题的所有检验数都小于等于零的情况下，通过迭代，使得所有约束条件的常数都大于等于零，最后求得最优解。

线性规划问题中某一个约束条件的影子价格表示为，当该约束条件的右端常数增加一个单位时(假设原问题的最优基解不变)，原问题目标函数最优值增加的数量。这是因为互为对偶的线性规划问题的最优值相等。

灵敏度分析：研究线性规划模型的原始资料变化对最优解产生的影响就叫作线性规划的灵敏度分析。它的主要功能是分析线性规划参数变化对最优解的影响。

第五章运输问题

需求假设:

每一个出发地都有一个固定的供应量，所有的供应量都必须配送到目的地。与之相类似，每一个目的地都有一个固定的需求量，整个需求量都必须由出发地满足，即

总供应量＝总需求量

可行解特性:

当且仅当供应量的总和等于需求量的总和时，运输问题才有可行解

成本假设:

从任何一个出发地到任何一个目的地的货物配送成本和所配送的数量成线性比例关系，因此这个成本就等于配送的单位成本乘以所配送的数量

整数解性质:

只要它的供应量和需求量都是整数，任何有可行解的运输问题必然有所有决策变量都是整数的最优解。因此，没有必要加上所有变量都是整数的约束条件

第六章整数规划

一个数学规划问题，如果对它的某些决策变量或全部决策变量要求取整数，该问题就称为整数规划问题。

若问题的目标函数和约束条件都具有线性特性时，这类问题就称为整数线性规划，简称为整数规划(Integer Programming，简记为IP)。

一个规划问题中要求部分或全部决策变量是整数，则这个规划称为整数规划。当要求全部变量取整数值的，称为纯整数规划；只要求一部分变量取整数值的，称为混合整数规划。如果模型是线性的，称为整数线性规划。本章只讨论整数线性规划。

动态规划是运筹学的一个分支，是求解多阶段决策过程最优化问题的数学方法。

动态决策问题的特点：系统所处的状态和时刻是进行决策的重要因素；即在系统发展的不同时刻（或阶段）根据系统所处的状态，不断地做出决策；找到不同时刻的最优决策以及整个过程的最优策略。

动态规划方法的关键：在于正确地写出基本的递推关系式和恰当的边界条件（简称基本方程）。

在多阶段决策过程中，动态规划方法是既把当前一段和未来一段分开，又把当前效益和未来效益结合起来考虑的一种最优化方法。因此，每段决策的选取是从全局来考虑的，与该段的最优选择答案一般是不同的.

最优化原理：作为整个过程的最优策略具有这样的性质：无论过去的状态和决策如何，相对于前面的决策所形成的状态而言，余下的决策序列必然构成最优子策略。也就是说，一个最优策略的子策略也是最优的。

第八章贮存论

需求：为了满足生产的需要，需不断地将库存输出给需用单位，需求就是库存的输出。

确定存贮系统何时进行补充(订货)及每次补充(订货)多少数量的决定称为存贮策略。

报警点s：又称订货点。该点库存量和提前订货时间是相对应的，当库存量下降到这一点时，必须立即订货。

凡需求量D、提前订货时间t为确定已知的存贮问题所构成的存贮模型为确定型，凡上述二者之一或全部为随机变量的存贮问题构成的存贮模型为随机型。

经济订购批量模型又称整批间隔进货模型或EOQ存贮模型，英文为Economic Order Quantity，该模型适用于整批间隔进货，不允许缺货的存贮问题，即某种物资单位时间的需求量为常数D，存贮量以单位时间消耗数量D的速度逐渐下降，经过时间T后，存贮量下降到零，此时开始订货并随即到货，库存量由零瞬间上升为最高库存量Q，然后开始下一个存贮周期，形成多周期存贮模型

由于需求量和提前订货时间是确定已知的，因此只要确定每次订货的数量是多少或进货间隔期为多长时间，就可以作出存贮策略。由于存贮策略是使用存贮总费用最小的经济原则来确定订货批量，故称该订货批量为经济订货批量。

第九章博弈论

博弈论(the Game Theory)也就是运筹学中的对策论,“是关于策略相互作用的理论”，研究两个或两个以上参加者在对抗性或竞争性局势下如何采取行动，如何作出有利于己方的决策及其均衡问题。

局中人（Player）：局中人是指在博弈中选择行动以最大化自身效用的决策主体。

策略或策略空间（Strategy）：策略是局中人选择行动的规则，它规定局中人如何对其他人的行动作出反应，即在每种可能的情况下应该如何行动。

支付（Payoff）（支付函数与支付矩阵）：博弈论中，可用数值表示各局中人从博弈中所获得的收益或效用水平，该数值称为支付。

根据博弈者选择的策略，博弈论可划分为合作博弈与非合作博弈。当事人能否达成一个具有约束力（binding agreement）的协议。若有，就是合作博弈；否则就是非合作博弈。

从局中人行动的先后顺序可划分为静态博弈（Static game）和动态博弈（dynamic game）。静态博弈是指在博弈中，局中人同时选择行动或虽非同时行动但后行动者并不知道先行动者采取了什么具体行动。动态博弈是指局中人的行动有先后顺序，且后行动者能够观察到先行动者所选择的行动。

从局中人是否具有有关其他参与人（对手）的特征、策略空间及支付函数方面的知识的角度，可划分为完全信息博弈(game of complete information)和不完全信息博弈(game of incomplete information)。

“完全信息”指的是每个局中人对所有其他参与人的特征（策略空间、支付函数等）有完全的了解，“静态”指的是所有局中人同时选择行动且只选择一次。

在博弈论里，一个博弈可以有两种表述方式：一种是策略式（strategic form representation）表述，另一种是扩展式（extensive form representation ）表述。前者适合于讨论静态博弈，后者适合于讨论动态博弈。在策略式表述中，所有参与人同时选择各自的策略，所有参与人选择的策略一起决定每个参与人的支付。

一个参与人的最优策略选择可能并不依赖于其他参与人的策略选择，即无论其他参与人选择什么策略，他的最优策略是唯一的，这种最优策略被称为“占优策略”（dominant strategy）。先找出某个参与人的劣策略（假定存在），把它剔除，重新构造一个不包含已剔除策略的新博弈；然后再剔除新博弈中某个参与人的劣策略；……直至剩下一个唯一的策略组合。该策略组合就是博弈的均衡解，称为“重复剔除的占优策略均衡”。

纳什均衡（Nash equilibrium）是指这样一种均衡，博弈中的每个局中人都确信，在其他局中人策略给定的情况下，他选择了最优策略。其核心思想是：博弈的理想结局是，每个局中人选择的策略是对其他局中人所选策略的最佳反应，其中每一个局中人都不能因单方面改变

自己的策略而获益。

纳什均衡一定是在重复剔除严格劣策略过程中没有被剔除掉的策略组合，但没有被剔除掉的策略组合不一定是纳什均衡，除非它是唯一的。

如果一个策略规定参与人在每一个给定的信息情况下下只选择一种特定的行动，则称该策略为纯策略。

若一个策略规定参与人在给定信息情况下以某种概率分布随机地选择不同的行动，则称该策略为混合策略。在博弈的策略式表述中，混合策略可定义为在纯策略空间上的概率分布。纳什均衡的弱点：

（1）多重性。同一博弈里有时会出现多个纳什均衡，即一般怀况下不能保证其唯一性. （2）有些纳什均衡并不合理。

第十章决策论

广义：相当于决策分析，把决策看作一个过程，即为了实现某一特定目标，在占有一定信息和经验的基础上，根据主客观条件的可能性，提出各种可行方案，采用一定的科学方法和手段，进行比较、分析和评价，按照决策准则，从中筛选出最满意的方案。

不确定型的决策特征：（1）自然状态已知（2）各方案在不同自然状态下的收益值已知（3）自然状态发生不确定

风险型决策特征：1自然状态已知2各方案在不同自然状态下的收益值已知3自然状态发生的概率分布已知