初中数学知识点精讲精析 正切

第2节 正切

要点精讲

1. 正弦、余弦、正切的定义：

（1）如图，在Rt △ABC 中，锐角A 的对边与斜边的比，叫做∠A 的正弦。

（2）在Rt △ABC 中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦。

（3）在Rt △ABC 中，锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切。

当锐角A 确定后，这些比值都是固定值。

2. 特殊角30°、45°、60°的正弦值、余弦值、正切值。

如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°

设BC ＝k ，则AB ＝2k

记作，即∠的对边斜边sin sin A A A a

c =

=

记作，即∠的邻边斜边cos cos A A A b

c =

=

记作，即∠的对边∠的邻边tan tan A A A A a

b =

=

α

ααα

30456012223232221233

1

3

°°°sin cos tan 由勾股定理得AC k =

3∴°sin 3021

2=

==BC AB k k cos30323

2°===

AC AB k k

用同样的方法可求45°、60°角的三角函数值。

3. 互为余角的正弦、余弦之间的关系：

∴sinA ＝cosB

语言表达：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值； 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4. 同角的三角函数之间的关系：

5. 0°～90°间正弦值、余弦值、正切值的变化规律： 在0°～90°间的角：

正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）。

6. 会用计算器求锐角的正弦值、余弦值、正切值。

典型例题

【例1】 如图，从帐篷竖直的支撑竿AB 的顶部A 向地面拉一根绳子AC 固定帐篷．若

地面固定点C 到帐篷支撑底部点的距离是4.5米，∠ACB =35°，求帐篷支撑竿AB 的高(精确到0.1米)(备选数据sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)． 【答案】

AB =≈3.2(m)

【解析】在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，BC =4.5m ， ∠ACB =35°求AB ．

tan3033

3°=

==BC AC k k

由定义知：，sin cos A a c B a

c =

=即°sin cos()A A =-90同理：°cos sin()A A =-90比如：°°sin cos 6030=cos sin 5238°°=sin cos 2

2

1A A +=tan sin cos tan tan()A A A A A =

=-，°1

900101<<<

C

B

E A

D

C

因为tan ∠ACB =

BC

AB

所以AB =BC ·tan ∠ACB =4.5×tan35°≈4.5×0.70≈3.15≈3.2(m)

【例2】如图，小亮在在操场上距离旗杆AB 的C 处，用测角仪测得旗杆顶端杆A 的仰角为30°，已知BC =9米，测角仪的高CD 为1.2米，求旗杆AB 的高． 【答案】

AB 的高为()

2.133+m

【解析】过点D 作D E ⊥AB 于E ．在Rt △AD E 中，

D E=BC =9m ，∠AD E=30°，求A

E ．因为tan ∠AD E=

DB

AE

所以A E=DB ·tan ∠AD E=9×tan30°=9×

3

3

=()m 33 旗杆AB 的高为()

2.133+m ．