初中数学知识点精讲精析 平行线知识讲解
初中数学知识点精讲精析 两条直线的位置关系
第一节两条直线的位置关系要点精讲一、两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系有平行和相交两种．1．平行线的定义：（1）如果在同一平面内的两条不相交的直线叫平行线．（2）平行线用“∥”来表示；强调要在同一平面内，若不在同一平面内的两条直线，又不平行，又不相交，叫异面直线；线段、射线的平行关系根据它所在的直线来决定，若它们所在的直线不相交，就平行，若所在的直线相交，就不平行．2．相交线的定义若两条直线只有一个公共点，我们称这两条线为相交线．三、特殊角余角和补角：两角之和为90°则两角互为余角，两角之和为180°则两角互为补角．等角的余角相等，等角的补角相等．对顶角：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角．两条直线相交，构成两对对顶角．互为对顶角的两个角相等．邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．内错角：互相平行的两条直线直线，被第三条直线所截，如果两个角都在两条直线的四、两条直线互相垂直1．两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”（或“CD 垂直于AB”）．2．垂线的性质：性质1：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．3．点到直线的距离：过A点作l的垂线，垂足为B点，线段AB的长度叫做点A到直线l的距离．相关链接经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）．垂直平分线，简称“中垂线”，是初中几何学科中非常重要的一部分． 典型分析1．如图，△ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，若CD=4，则点D 到AB 的距离是________．【答案】4【解析】由三角形全等或角平分线性质定理易得D 到AB 的距离就是D 到AB 的距离CD ．中考案例1. （2012重庆市4分）已知：如图，BD 平分∠ABC ，点E 在BC 上，EF ∥AB ．若∠CEF=100°，则∠ABD 的度数为【 】A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°【答案】B 。
中考数学复习资料 专题5 平行线与三角形
初三数学总复习辅导资料5 平行线与三角形 一、相关知识点复习： （一）平行线1. 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2. 判定：同位角相等，两直线平行。
内错角相等，两直线平行。
同旁内角相等，两直线平行。
垂直于同一直线的两直线平行。
3. 性质：(1) 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
(2) 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。
(3) 两直线平行，同位角相等。
两直线平行，内错角相等。
两直线平行，同旁内角互补。
（二）三角形4. 一般三角形的性质(1) 角与角的关系：三个内角的和等于180°；一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何—个和它不相邻的内角。
(2) 边与边的关系：三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。
(3) 边与角的大小对应关系：在一个三角形中，等边对等角；等角对等边。
(4)5. (1) 等腰三角形的特殊性质：①等腰三角形的两个底角相等；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高是同一条线段，这条线段所在的直线是等腰三角形的对称轴。
(2) 等边三角形的特殊性质： ①等边三角形每个内角都等于60°； ②等边三角形外心、内心合一。
(3) 直角三角形的特殊性质：①直角三角形的两个锐角互为余角； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和（其逆命题也成立）； ④直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半；⑤直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
6. 三角形的面积 一般三角形：S △ =21a h （ h 是a 边上的高 ）直角三角形：S △ = 21a b = 21c h （a 、b 是直角边，c 是斜边，h 是斜边上的高）等边三角形： S △ =43a 2（ a 是边长 ）等底等高的三角形面积相等；等底的三角形面积的比等于它们的相应的高的比；等高的三角形的面积的比等于它们的相应的底的比。
初中数学平行线知识点
初中数学平行线知识点平行线是初中数学中的重要概念之一，它在几何学中具有广泛的应用。
通过学习平行线的相关知识，我们可以更好地理解和解决与平行线相关的问题。
本文将就初中数学中的平行线知识点进行详细介绍。
一、平行线的定义平行线是指在同一个平面内，永不相交的两条直线。
简单地说，如果两条直线在同一个平面内，且不交于任何一点，我们就说这两条直线是平行线。
二、判定平行线的条件1. 同位角相等定理：如果两条平行线被一条横切线所截，那么同位角相等。
2. 内错角相等定理：如果两条平行线被一条横切线所截，那么内错角相等。
3. 首尾内角相等定理：如果两条平行线被一条横切线所截，那么首尾内角相等。
4. 平行线的性质：两条平行线分别与第三条平行线相交，那么这两个相交角相等。
5. 逆命题：如果两条线上的任意一对同位角或内错角或首尾内角相等，那么这两条线是平行线。
三、平行线的性质1. 平行线之间的距离始终相等，即两条平行线上的任意一对对应的线段之间的距离相等。
2. 平行线上的对应角相等，即两条平行线之间的任意一对对应角相等。
3. 平行线与横切线之间的夹角称为同位角。
同位角等于180度减去对应角。
4. 平行线与横切线之间的夹角称为内错角。
内错角相等。
5. 平行线与横切线之间的夹角称为首尾内角。
首尾内角相等。
四、平行线的应用1. 平行线的应用之一是在平面几何中的图形相似性判定中。
如果两个图形中的各对应边平行，则这两个图形是相似的。
2. 平行线的应用之二是在解决与直角三角形或等边三角形相关的问题时，可以通过构造平行线来辅助解题。
3. 平行线的应用之三是在解决与平移、旋转、缩放等几何变换相关的问题时，平行线起到了重要的作用。
五、实例分析例1：已知直线AB∥CD，角ABC=60度，求角CBD的大小。
解析：由于AB∥CD，所以∠ABC和∠CBD是同位角，因此∠CBD=∠ABC=60度。
例2：如图所示，AB∥DC，AD为横切线，∠BAC=40度，求∠CDA的大小。
中考数学考前知识点归纳：平行线
中考数学考前知识点归纳：平行线
2019中考数学考前知识点归纳：平行线
为了更有效地帮助学生梳理学过的知识，提高复习质量和效率，在2019中考中取得理想的成绩，下文为大家准备了2019中考数学考前知识点归纳：平行线。
1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
说明：也可以说两条射线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行。
2、平行线的判定：
(1)同位角相等，两直线平行。
(2)内错角相等，两直线平行。
(3)同旁内角互补两直线平行。
3、平行线的性质
(1)两直线平行，同位角相等。
(2)两直线平行，内错角相等。
(3)两直线平行，同旁内角互补。
说明：要证明两条直线平行，用判定公理(或定理)在已知条件中有两条直线平行时，则应用性质定理。
4、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角_________________.
5、如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角_________________.。
初中数学知识归纳平行线与平行线的性质
初中数学知识归纳平行线与平行线的性质初中数学知识归纳：平行线与平行线的性质平行线是初中数学中重要的概念之一，它在几何学中具有广泛的应用。
平行线的性质也是我们在学习几何学中需要掌握的重要内容。
本文将对平行线及其性质进行归纳总结。
一、平行线的定义和判定1. 定义：平行线是在同一个平面上且不交叉的两条直线。
2. 判定：有三种常见的判定平行线的方法：a. 对应角相等法则：若两条直线被一条横线所截，且对应角相等，则这两条直线平行。
b. 同位角相等法则：若两条直线被两条平行线所截，同位角相等，则这两条直线平行。
c. 内错角相等法则：若两条直线被一条横线所截，内侧错角相等，则这两条直线平行。
二、平行线的性质1. 同位角性质：a. 同位角相等：当两条直线被一组平行线截断时，同位角相等。
b. 同位角互补：当一组平行线与一条横线相交时，同位角互为补角。
2. 内错角性质：a. 内错角互补：当两条平行线被一条横线所截，内侧错角互为补角。
3. 对应角性质：a. 对应角相等：当两条平行线被一条横线所截，对应角相等。
b. 对应角互补：当两条平行线被两条横线所截，对应角互为补角。
4. 平行线的传递性：若直线a与直线b平行，直线b与直线c平行，则直线a与直线c平行。
这是因为平行关系具有传递性。
5. 平行线与垂直线的关系：若两条直线相互垂直，则它们互相平行。
6. 平行线与平面的关系：如果两条直线在同一个平面内且平行，则它们与该平面的任何直线都平行。
三、平行线的应用1. 平行线在平面图形中的应用：平行线的性质是解决平面图形中各种几何问题的基础。
通过利用平行线的性质，可以求解线段长度、角度大小等问题。
2. 平行线在实际生活中的应用：平行线除了在几何学中的应用外，在实际生活中也有很多应用。
例如，建筑工程中需要保证墙壁、地板等是平行的；道路规划中需要保持道路是平行的。
结论：初中数学中的平行线概念和性质是我们学习几何学的基础。
通过掌握平行线的定义和判定方法，以及其性质，可以运用它们解决各种几何问题。
平行线知识点+四大模型(基础资料)
平行线四大模型平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.模型四“骨折”模型·点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.巩固练习平行线四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°. （2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.模块一平行线四大模型应用例1（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．练(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．(2) 如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .例2如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.练如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.例3如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．求证：∠E= 2 (∠A+∠C) .练如图，己知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．练（武昌七校2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .练如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .例6 已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．(3)如图(3)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．。
七年级数学下《平行线的性质》知识点总结归纳
七年级数学下《平行线的性质》知识点总结归纳一、平行线的性质1.同位角相等：两条平行线被一条横截线所截，形成的同位角相等。
2.内错角相等：两条平行线被一条横截线所截，形成的内错角相等。
3.同旁内角互补：两条平行线被一条横截线所截，形成的同旁内角互补，即角度和为180°。
二、性质的应用1.计算平行线的距离：利用平行线的性质，可以计算两条平行线之间的距离。
2.判断角度大小：利用平行线的性质，可以判断两条直线之间的角度大小。
3.解决实际问题：平行线的性质在实际生活中有广泛的应用，如建筑、机械制造等领域。
三、注意事项1.平行线的性质是在同一平面内，两条不相交的直线所具备的属性。
因此，确定两条线是否平行，首先需要确定它们是否在同一平面内。
2.平行线的性质需要通过横截线来体现，因此在证明或应用性质时，需要明确横截线的位置。
3.在实际应用中，需要根据具体情境判断两条线是否平行，并选择适当的方法来解决问题。
四、相关定理与概念1.平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等。
2.垂直线的性质：垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
3.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
五、易错点提醒1.学生在应用性质时，容易出现混淆，将判定定理和性质混淆使用。
需要明确的是，判定定理用于判断两条直线是否平行，而性质用于说明平行线之间的关系或推导其他结论。
2.对于同旁内角互补的理解，学生容易出现误区，认为同旁内角之和为90°而非180°。
需要强调的是，同旁内角互补是指它们的角度和为180°，不是90°。
3.在实际解决问题时，学生容易忽略题目中的限制条件或隐藏条件，导致解题错误。
需要提醒学生认真审题，注意细节，以免出现不必要的错误。
七年级第五章平行线知识点
七年级第五章平行线知识点在学习初中数学时，平行线的知识点是必须掌握的内容之一。
而在七年级第五章的数学课程中，同学们将开始进入平行线这一重要知识点的学习。
本篇文章将介绍七年级第五章平行线知识点的相关内容，供同学们参考学习。
一、平行线的定义和符号平行线是指在同一个平面内永远不相交的两条直线。
其中，符号“∥”表示两条直线平行，例如：AB∥CD。
需要注意的是，不在同一个平面内的两条直线并不是平行线。
此外，通过一条直线与另一条直线上的一点作垂线，若垂线与另一条直线的夹角为90°，那么这条直线与另一条直线就是平行线。
二、平行线的性质平行线有一些特殊性质，其中常用的性质包括三角形内角和定理、平行线截断定理、同位角定理等。
1. 三角形内角和定理对于任何一个三角形，三个内角的和等于180°。
对于平行线的情况，之间的夹角为通行角，则通行角的补角和为180°。
2. 平行线截断定理当有一对平行线被第三条直线所截断时，将产生许多相似的三角形。
其中，截割线段的比例相等，即AB/BC=DE/EF，其中AB、BC为被截断的平行线，DE、EF为截割线段。
3. 同位角定理在平行线之间，相对位置相同的夹角被称为同位角，它们互相之间的关系有同旁内角、同旁外角等。
同旁内角互补，同旁外角相等。
三、平行线的应用平行线的应用十分广泛，包括分形、地图导航等。
其中，平行线在地图导航中的运用尤为重要。
通过平行线的关系，我们可以快速而准确地找到目的地的位置和方向。
四、如何学好平行线知识点学好平行线知识点需要同学们具备扎实的基础，并且掌握好相关的定理和性质。
在学习平行线的过程中，需要注重理论和实践的结合。
同时，可以通过做一些有趣的平行线例题来提高对知识点的理解和掌握。
总之，平行线知识点是初中数学中非常重要的知识点之一。
通过不断学习、理解和掌握，同学们一定能够在考试中得心应手，取得优异的成绩。
初中数学知识点精讲精析 平行线
5.2 平行线学习目标1. 理解在同一平面内两条直线的位置关系只有相交和平行两种。
2. 能借助直尺和三角板过直线外一点作已知直线的平行线。
3. 体会平行公理及其推论。
知识详解1. 平行线在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作“a∥b”。
在同一平面内，两条不重合的直线的位臵关系只有两种：相交或平行。
平行线的性质：性质1（平行公理）：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；性质2（平行线的传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，即：如果a∥b，b∥c，那么a∥c.平行线的画法：（1）在方格纸上：在方格纸上画，一般有水平、垂直和斜画三种方式，斜画是过任意由若干相邻方格组成的矩形的对角线画一条直线，再按相同的方式画出另一条直线，就可以得到一组平行线；（2）用一副三角板画，其步骤可简记为：一落：用三角板一边落在已知直线上；二靠：用直尺紧靠三角板的一边；三移：沿直尺移动三角板，使三角板与已知直线重合的边过已知点；四画：沿三角板过已知点的边画直线。
2.平行线的判定在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。
3.平行线的性质【典型例题】例1：如图14，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而行，如果第一次拐的角是∠A为120°第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C为（）.A.120°B.130°C.140°D.150°【答案】D【解析】如图14，过B作BD//CF，根据AE//CF，可知BD//AE，根据“两直线平行，内错角相等，或同旁内角互补可得∠A=∠ABD，∠DBC+∠C=180°，因为∠A=120°，∠ABC=150°，所以∠DBC=30°，所以∠C=150°例2：三条直线a、b、c，若a∥c，b∥c，则a与b的位置关系是（）A.a⊥bB.a∥bC.a⊥b或a∥bD.无法确定【答案】B【解析】由于直线a、b都与直线c平行，依据平行公理的推论，可推出a∥b，故选B. 例3：下列命题中，真命题是（）A.互补两角若相等，则此两角都是直角B.直线是平角C.不相交的两条直线叫做平行线D.和为180°的两个角叫做邻补角【答案】A【解析】A、设两角大小为α，则2α=180°，必有α=90°，故正确；B、直线和平角是不同的两个概念，故错误；C、应在同一个平面内，故错误；D、邻补角应是特殊的补角，不仅数量上和为180°，且位置上应有一条公共边，另一边互为反向延长线，故错误.【误区警示】易错点1：平行公理1. 下列结论中，不正确的是（）A.两点确定一条直线B.两点之间，直线最短C.等角的余角相等D.两直线和第三条直线都平行，则这两直线也平行【答案】B【解析】A、两点确定一条直线，是直线的性质，故本选项正确；B、应为两点之间，线段最短，故本选项错误；C、等角的余角相等，是余角的性质，故本选项正确；D、两直线和第三条直线都平行，则这两直线也平行，是平行公理，故本选项正确.易错点2：两直线位置关系2. 若直线a与直线b都和直线c平行，那么直线a和直线b的位置关系是（）A.平行B.相交C.平行或相交D.无法确定答案】A【解析】直线a与直线b都和直线c平行，那么直线a和直线b的位置关系是平行【综合提升】针对训练1. 如图13，E在直线DF上，B在直线AC上，若∠AGB=∠EHF，∠C=∠D，试判断∠A与∠F 的关系，并说明理由.2. 如图12所示，直线a∥b，则∠A= .3. 如图11所示，∠1＝∠2.（1）再加上___________或____________条件时，DF∥BE；（2）再加上___________或____________条件时，DC∥BA.1. 【答案】∠A=∠F.理由：因为∠AGB=∠DGF，∠AGB=∠EHF，所以∠DGF=∠EHF，所以BD∥CE，所以∠C=∠ABD，又∠C=∠D，所以∠D=∠ABD，所以DF∥AC，所以∠A=∠F.【解析】从图中可以猜测∠A=∠F，但题目没有告诉DF∥AC，所以需要根据已知条件说明DF ∥AC.2. 【答案】22°【解析】本题是一道稍有难度的试题，因为已知条件和平行线有关，要求∠A的度数，可以通过构造平行线，借助平行线的特征求解.如图12，作AD//a，因为a//b，可知AD//b，根据两直线平行，内错角相等，可得∠1=28°，∠DAC=50°，所以∠BAC=50°－28°=22°3. 【答案】（1）再加上∠CDB＝∠ABN或 AB∥CD的条件时，DF∥BE.（2）再加上∠MDF＝∠DBE或DF∥BE的条件时，DC∥BA.【解析】（1）要使DF∥BE，可考虑∠MDF＝∠EBM，当然，由于考虑这个条件就能直接判定两直线平行了，∠1＝∠2就成了多余条件，根据题意，这个显然无须考虑；我们还可考虑∠NDF＝∠EBN，由于∠1＝∠2，因此，我们只要加上∠CDB＝∠ABN这个条件就行了，而∠CDB＝∠ABN，又能知AB∥CD，因此加上AB∥CD的条件也能判定DF∥BE.（2）分析方法与（1）相同，只不过这时要考虑的同位角变成了∠MDC＝∠DBA而已.【中考链接】（2014年襄阳）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=55°，则∠1等于（）A.35°B.45°C.55°D.65°【答案】A【解析】∵BC⊥AE，∴∠ACB=90°∴∠A+∠B=90°. 又∵∠B=55°，∴∠A=35°. 又CD ∥AB，∴∠1=∠B=35°课外拓展平行线是公理几何中的重要概念。
平行线及其判定知识点总结
平行线及其判定知识点1：平行线的定义及平面内两直线的位置关系定义:在同一平面内，的两条直线叫做平行线，直线a，b平行，记作。
在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系: 。
说明1(1)在同一平面内，两条直线的位置关系只有平行与相交两种，若没有特别说明，“重合”视为一条直线。
(2)平常所说的“两条射线平行，两条线段平行”都是指它们所在的直线平行(3)平行线的定义有三个特征：一是在同一平面内；二是两条直线；三是不相交。
三者缺一不可。
例题：下列说法中，正确的是（）A.两条不相交的直线叫做平行线B.一条直线的平行线有且只有一条C.若直线a∥b，b∥c，则a∥eD.若两条线段不相交，则它们互相平行【分析】根据平行线的定义、平行公理的推论来判断【解析】A选项中缺少“在同一平面内”这个条件，故A选项错误。
若没有其条件限制，一条直线的平行线有无数条，故B选项错误。
平行于同一直线的两条直线平行，故C选项正确。
根据平行线的定义可知D选项错误.故选C知识点2：平行公理平行公理：经过一点.有且只有一条直线与这条直线平行。
（注意：①平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，它和垂线的性质不同②“有且只有＂强调直线的存在性和唯一性）如图，经过直线a外一点P，能且只能画出一条直线与直线a平行·Pa例题：下列说法正确的是（）A.在同一平面内，过直线外一点有一条直线与已知直线平行B.过一点有且只有一条直线与已知直线平行C.经过一点有且只有一条线段与已知线段平行D.过一点有且只有一条直线与己知直线垂直【解析】A选项中“在同一平面内”这个条件，不影响后半向的对错。
“过直线外一点有一条直线与已知直线平行”说的是存在性，即过直线外一点肯定有一条直线与已知直线平行，故A选项正确。
B选项错误，因为若经过直线上一点，则没有直线与已知直线平行。
C选项错误，道理同B选项。
D选项错误，因为缺少“在同一平面内”这个大前提，D选项中结论不成立，如图，AB，BC，BD是正方体的三条棱，它们两两垂直，且都经过点B，若把AB看作已知直线，则经过点B有两条直线BC，BD与已知直线AB垂直知知识点3：平行公理的推论平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也。
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5·2 平行线
5·2·1 平行线
1. 平行的定义
同一平面内, 不相交的两条直线叫做平行线.直线a与b是平行线,记作“∥”,这里“∥”是平行符号.
注意：同一平面内, 不相交的两条直线叫做平行线.
直线a与b是平行线,记作“∥”,这里“∥”是平行符号.
2.平面中两条直线的位置关系
在同一平面内,两条直线只有两种位置关系:相交或平行,两者必居其一.即两条直线不相交就是平行,或者不平行就是相交.
3. 平行公理及推论
平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行.
符号语言：∵b∥a,c∥a ∴b∥c.
4．比较平行公理和垂线的第一条性质.
共同点:都是“有且只有一条直线”,这表明与已知直线平行或垂直的直线存在并且是唯一的. 不同点:平行公理中所过的“一点”要在已知直线外,两垂线性质中对“一点”没有限制,可在直线上,也可在直线外.
例1．在同一平面内，三条直线的交点个数可能是．
分析：
画图试试，可知最多三条，也可能交于一点，也有可能其中2条平行，那就有2个交点，还可能是三条线都平行，那就没有交点了。
解：0或1或2或3.
例2．下列说法正确的是（）
A．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．经过一点有无数条直线与已知直线平行
C．经过一点有一条直线与已知直线平行
D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
分析; 平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
答：A正确
例3．若∠α与∠β是同旁内角，且∠α=50°，则∠β的度数是（ ）
A ．50°
B ．130°
C ．50°或130°
D ．不能确定
分析：没说这两条直线是什么关系，∴同旁内角的度数关系不明确。
例4．下列命题：（1）长方形的对边所在的直线平行；（2）经过一点可作一条直线与已知直线平行；（3）在同一平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线相交；（4）经过一点可作一条直线与已知直线垂直．其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
分析：（1）是对的；（2）错误，因为如果这个点是在直线上，那就不存在过这个点与该直线平行的点了(公理的前提是直线外一点)；（3）
是对的，同一平面内，两条直线间只有这两种关系；（4）正确，即使这个点在直线上也是可以的。
例5．如图，直线AB ，CD 被DE 所截，则∠1和 是同位角，∠1和 是内错角，∠1和 是同旁内角．如果∠5=∠1，那么∠1 ∠3．
答：∠1和∠3是同位角，∠1和∠5是内错角，∠1和∠2是同旁内角．如果∠5=∠1，那么∠1=∠3．
5.2.2 直线平行的条件
平行判定的条件：
1.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
简单地说:同位角相等,两条直线平行.
符号语言： ∵∠1=∠2 ∴AB ∥CD.
2. 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.
简单地说：内错角相等,两直线平行.
符号语言：∵∠2=∠3 ∴a ∥b.
3. 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两条直线平行.
简单地说：同旁内角互补,两直线平行.
符号语言： ∵∠4+∠2=180° ∴ a ∥b.
例1．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？
分析：垂直总与直角联系在一起，我们学过哪些判断两条直线平行的方法？
答：这两条直线平行. a b c
┐1 ┐2
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个 如图所示
理由如下： ∵b ⊥a ,c ⊥a
∴∠1=∠2=900(垂直定义)
∴b ∥c (同位角相等，两直线平行)
例2.如图，点B 在DC 上，BE 平分∠ABD,∠DBE=∠A,则B E ∥AC,请说明理由。
分析：由BE 平分∠ABD 我们可以知道什么？联系∠DBE=∠A ，我们又可以知道什么？由此能得出B E ∥AC 吗？为什么？
解：∵BE 平分∠ABD
∴∠ABE=∠DBE （角平分线的定义）
又∠DBE=∠A
∴∠ABE=∠A （等量代换）
∴B E ∥AC(内错角相等，两直线平行)
注意：用符号语言书写证明过程时，要步步有据。
例3. 已知:如图，直线AB ,CD,EF 被MN 所截, ∠1=∠2, ∠3+∠1=180°,试说明CD ∥EF. 解:因为∠1=∠2,
所以 AB ∥CD.
又因为 ∠3+∠1=180°,
所以 AB ∥ EF.
从而 CD ∥EF (为什么?).
例4.如图，下列推理中正确的有〔 〕
① 因为∠1＝∠2，所以BC ∥AD ；
② 因为∠2＝∠3，所以AB ∥CD ；
③ 因为∠BCD+∠ADC=1800,所以BC ∥AD ； ④ 因为∠BCD+∠ADC=1800,所以AC ∥BD.
答：A.就④是对的。
例5.如图，BE 平分∠ABC ，∠1＝∠2，你能推断哪两条线段平行？说明理由。
A B
C
D 4 1 3
2 A
B C
D E
答：∵BE 平分∠ABC ，∴∠1＝∠3，
又∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，
∴DE ∥BC （内错角相等，两直线平行）
例6.如图，已知AC ⊥AE,BD ⊥BF, ∠1＝∠2,AE 与BF 平行吗？为什么？
分析：∵∠1＝∠2，又∠1和∠2是同位角，∴AC ∥BD,
∵AC ⊥AE,BD ⊥BF, ∴AE ∥BF.
解：平行。
A C D E
F B
1 2
A
B C D
E 3 2 1。