初中数学知识点精讲精析 平行线知识讲解

5·2 平行线

5·2·1 平行线

1. 平行的定义

同一平面内, 不相交的两条直线叫做平行线.直线a与b是平行线,记作“∥”,这里“∥”是平行符号.

注意：同一平面内, 不相交的两条直线叫做平行线.

直线a与b是平行线,记作“∥”,这里“∥”是平行符号.

2.平面中两条直线的位置关系

在同一平面内,两条直线只有两种位置关系:相交或平行,两者必居其一.即两条直线不相交就是平行,或者不平行就是相交.

3. 平行公理及推论

平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.

平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行.

符号语言：∵b∥a,c∥a ∴b∥c.

4．比较平行公理和垂线的第一条性质.

共同点:都是“有且只有一条直线”,这表明与已知直线平行或垂直的直线存在并且是唯一的. 不同点:平行公理中所过的“一点”要在已知直线外,两垂线性质中对“一点”没有限制,可在直线上,也可在直线外.

例1．在同一平面内，三条直线的交点个数可能是．

分析：

画图试试，可知最多三条，也可能交于一点，也有可能其中2条平行，那就有2个交点，还可能是三条线都平行，那就没有交点了。

解：0或1或2或3.

例2．下列说法正确的是（）

A．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行

B．经过一点有无数条直线与已知直线平行

C．经过一点有一条直线与已知直线平行

D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

分析; 平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.

答：A正确

例3．若∠α与∠β是同旁内角，且∠α=50°，则∠β的度数是（ ）

A ．50°

B ．130°

C ．50°或130°

D ．不能确定

分析：没说这两条直线是什么关系，∴同旁内角的度数关系不明确。

例4．下列命题：（1）长方形的对边所在的直线平行；（2）经过一点可作一条直线与已知直线平行；（3）在同一平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线相交；（4）经过一点可作一条直线与已知直线垂直．其中正确的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

分析：（1）是对的；（2）错误，因为如果这个点是在直线上，那就不存在过这个点与该直线平行的点了(公理的前提是直线外一点)；（3）

是对的，同一平面内，两条直线间只有这两种关系；（4）正确，即使这个点在直线上也是可以的。

例5．如图，直线AB ，CD 被DE 所截，则∠1和 是同位角，∠1和 是内错角，∠1和 是同旁内角．如果∠5=∠1，那么∠1 ∠3．

答：∠1和∠3是同位角，∠1和∠5是内错角，∠1和∠2是同旁内角．如果∠5=∠1，那么∠1=∠3．

5.2.2 直线平行的条件

平行判定的条件：

1.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.

简单地说:同位角相等,两条直线平行.

符号语言： ∵∠1=∠2 ∴AB ∥CD.

2. 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.

简单地说：内错角相等,两直线平行.

符号语言：∵∠2=∠3 ∴a ∥b.

3. 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两条直线平行.

简单地说：同旁内角互补,两直线平行.

符号语言： ∵∠4+∠2=180° ∴ a ∥b.

例1．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？

分析：垂直总与直角联系在一起，我们学过哪些判断两条直线平行的方法？

答：这两条直线平行. a b c

┐1 ┐2

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个 如图所示

理由如下： ∵b ⊥a ,c ⊥a

∴∠1=∠2=900(垂直定义)

∴b ∥c (同位角相等，两直线平行)

例2.如图，点B 在DC 上，BE 平分∠ABD,∠DBE=∠A,则B E ∥AC,请说明理由。

分析：由BE 平分∠ABD 我们可以知道什么？联系∠DBE=∠A ，我们又可以知道什么？由此能得出B E ∥AC 吗？为什么？

解：∵BE 平分∠ABD

∴∠ABE=∠DBE （角平分线的定义）

又∠DBE=∠A

∴∠ABE=∠A （等量代换）

∴B E ∥AC(内错角相等，两直线平行)

注意：用符号语言书写证明过程时，要步步有据。

例3. 已知:如图，直线AB ,CD,EF 被MN 所截, ∠1=∠2, ∠3+∠1=180°,试说明CD ∥EF. 解:因为∠1=∠2,

所以 AB ∥CD.

又因为 ∠3+∠1=180°,

所以 AB ∥ EF.

从而 CD ∥EF (为什么?).

例4.如图，下列推理中正确的有〔 〕

① 因为∠1＝∠2，所以BC ∥AD ；

② 因为∠2＝∠3，所以AB ∥CD ；

③ 因为∠BCD+∠ADC=1800,所以BC ∥AD ； ④ 因为∠BCD+∠ADC=1800,所以AC ∥BD.

答：A.就④是对的。

例5.如图，BE 平分∠ABC ，∠1＝∠2，你能推断哪两条线段平行？说明理由。

A B

C

D 4 1 3

2 A

B C

D E