伸缩变换 ppt课件

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1.5正弦型函数图象的平移和伸缩变换

1.5正弦型函数图象的平移和伸缩变换

向右平移 个单位
y sin x
3
y
sin(x
3
)
纵坐标不变 横坐ห้องสมุดไป่ตู้变为原来的1

y sin(2x )
3
2
横坐标不变 总坐标变为原来的3倍
y 3sin(2x ) 向上平移1个单位
3
y 3sin(2x ) 1
3
法二:先伸缩( 变换)后平移( 变换):
纵坐标不变
y sin x 横坐标变为原来的1 倍 y sin 2x 2
函数y Asin(x ) b的图象
A是振幅:A变换也叫振幅变换;
T为周期:T 2 ,变换也叫周期变换;
f是频率:f 1 ; T
x 是相位:变换也叫相位变换; 是初相:x 0时的相位.
要得到y 3sin(2x ) 1的图象,需将y sin x的图象作怎样的变换?
3
法一:先平移( 变换)后伸缩( 变换):
向右平移 个单位 6
y sin(2x )
3
横坐标不变 总坐标变为原来的3倍
y 3sin(2x ) 向上平移1个单位
3
y 3sin(2x ) 1
3
总结:1.箭头图:起始→终止;
2. 四个数据,四个变换:先:, 后:A,b

函数的图像----图像的伸缩变换

函数的图像----图像的伸缩变换
y
o
x
2.作函数y sin 2x, y sin 1 x
简图.
2
解时:的函图数象y=.sin2x的周期T
列x 表:
0
4
2x
0
2
sin2x 0 1

,因x此先[0,作 ]
2
3 4
3 2
2
0 -1 0
解:函数 y sin 1 x 时的图象. 2
T 的4周 期
x [0, 4,]因此先作
列x
可得到( )
的图像上所有点向左 6
平移个单位,
A.y sin(2x ) 6
C.y sin(2x ) 3
B.y sin(2x ) 6
D.y sin(2x ) 3
2.要得到函数
y
2
cos(2x
3
)
,只需将函y数 2sin 2x

图像( )
A.向左平移 个单位 12
C.向右平移 个单位
的纵坐标伸长(A>1)或缩短(A<1)为原来的A倍,横坐标不变
得到。值域为[-A,A]
y=sinx
相位 y=Asin(x+) 周期
变换
变换
y=Asinx
周期 变换
y=Asinωx
y=Asin(ωx+)
相位 变换
★阅读P49– P52,完成“基础感知”; ★巩固固化,完成“深入学习”.
★对议,小组内两人讨论,完成“基础感知”; ★组议,小组讨论运用公式,完成“深入学习”
0
表:
1 2
x
0
sin 12x 0
2 3 4
2
3 2
2
1 0 -1 0

--坐标系ppt(共38张PPT)

--坐标系ppt(共38张PPT)
角.
高考总复习·数学理科(RJ)
第十四章 系列4选讲
(2)极坐标与直角坐标的互化
设 M 为平面内的一点,它的直角坐标为(x,y),极坐标为
(ρ,θ).由图可知下面关系式成立:
x=ρcos
y=ρsin
θ, ρ2=x2+y2,
θ
或 tan
θ=yx(x≠0).
高考总复习·数学理科(RJ)
第十四章 系列4选讲 这就是极坐标与直角坐标的互化公式.
即 ρ=4sin
3
θ-2cos
θ.
高考总复习·数学理科(RJ)
第十四章 系列4选讲
【思维升华】 求曲线的极坐标方程的步骤:(1)建立适
当的极坐标系,设P(ρ, θ )是曲线上任意一点;(2)由曲线
上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径 ρ 和极角 θ
之间的关系式;(3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲 线的极坐标方程.
高考总复习·数学理科(RJ)
第十四章 系列4选讲
【解析】 (1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变 为曲线 C 上的点(x,y),依题意,得xy==x21y,1.
由 x21+y21=1 得 x2+2y2=1, 即曲线 C 的方程为 x2+y42=1.
高考总复习·数学理科(RJ)
第十四章 系列4选讲
第十四章 系列4选讲
高考总复习·数学理科(RJ)
第十四章 系列4选讲
坐标系与参数方程 第1课时 坐标系
1.平面直角坐标系
设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 φ:
x′=λ·x y′=μ·y
(λ>0), (μ>0) 的作用下,点 P(x,y)对应到点 P( ′ x′,

位似变换和伸缩变换

位似变换和伸缩变换

P(x, y) l
y
P(x, y)

O
x

T=
B2 A2
A2 B2

2 AB
A2 B2

2 AB

A2 B2
A2 B2

A2 B2
位似变换与伸缩变换
求一个变换的矩阵可从两种途径得到
(一)用公式, (二)直接从坐标关系式得到。
怎样由正弦曲线 y=sinx 得到曲线 y=sin2x?
2
-5 -2Leabharlann 510-4
y=sinx
-6
y=3sinx
坐标对应关系为:
x’= x y’=3y

x y
' '

1 0
0 x
3

y
问题分析:
(3)怎样由正弦曲线y sin x得到曲线 y 3sin 2x?
纵坐标y不变,将横坐标x缩为原来的 1, 2
横坐标不变,纵坐标伸长为原来的3倍,

0
3


3
0


0
3


0
1

x' kx

y
'

ky

x y
' '

k 0
0 x
k

y

位似变换对应矩阵为:k 0
0
k

当为 1 时它是什么变换
例 1.已知圆 x2 y2 1,变换 T 为: 横坐
标不变,纵坐标缩短到 1 倍。求圆在 T 变换作 5

平面直角坐标系及伸缩变换

平面直角坐标系及伸缩变换

=4.动圆 M 与圆 O1 内切,又与圆 O2 外切,建立适当的坐标系,
求动圆圆心 M 的轨迹方程,并说明轨迹是何种曲线.
解: 如图所示,以 O1O2 的中点 O 为原点,O1O2 所在直线为
x 轴建立平面直角坐标系.
y
由由|O|O1O1O2|=2|=4,4,得得OO11((- -22, ,00)),、OO2(22(,20,0))..
A1(- a,0),A2(a,0)
ec (e1) a
y b x a
A1(0,-a),A2(0,a)
ec (e1) a
y a x b
图形 ly
OF x
标准方程
y2=2px (p>0)
焦点坐标 准线方程
( p ,0 ) x p
2
2
二 抛

yl
FO
y2=-2px x (p>0)
( p ,0) 2
lll和和和lll的的的距距距离离离的的的最最最小小小值值值为为为|1|122||1±5±52441|±5.2|.45|.4 | .
O
x
∴∴∴点点点QQQ与与与ll的l的的最最最小小小值值值为为为88558555..5.
题 型 三 定义法求轨迹方程
【例 3】已知两个定圆 O1和 O2,它们的半径分别是 1 和 2,且|O1O2|
所以有 x02
4
把①代入②,
y02

4
1.
(2x)2

(2y)2 1,
4
整理, 得 x24y21.
MP
O
x
所以点M的轨迹方程是 x24y21.
课堂小结
平面直角坐标系建系时,根据几何特点选 择适当的直角坐标系。

高中数学:131《三角函数图像的变换》课件必修

高中数学:131《三角函数图像的变换》课件必修
这些操作包括平移、伸缩、翻折和旋转等,可以单独或组合使用。
变换的目的是为了更好地理解三角函数的性质,解决实际问题,以及进行图像处理 等。
变换的种类和特点
01
02
03
04
平移变换
将图像沿x轴或y轴方向移动 ,保持图像形状不变。
伸缩变换
通过改变x轴和y轴的比例来 改变图像的大小,可以横向或
纵向伸缩。
翻折变换
利用伸缩变换的性质求解函数的极值
例如,利用正弦函数的伸缩性质,可以求解y=sin(3x)在x=π/9处的极小值为1。
利用对称变换的性质求解函数的对称轴或对称中心
例如,利用正弦函数的对称性质,可以求解y=sin(x)的对称轴为x=kπ+π/2,k∈Z。
变换在实际问题中的应用
物理学中的应用
三角函数图像的综合变换在物理学中有广泛的应用,如振 动和波动现象、交流电等。通过变换可以更好地理解物理 现象和解决实际问题。
x轴缩短为原来的1/2,则图像的 周期变为原来的2倍。
01
03
02 04
总结词:影响相位
详细描述:沿x轴伸缩不仅改变 了图像的周期,还会影响函数的 相位。例如,将x轴缩短为原来 的1/2,相当于将相位滞后了π。
沿y轴伸缩
总结词:改变振幅
详细描述:沿y轴伸缩是 指保持x轴不变,通过改 变y轴的长度来改变整个 图像的振幅。例如,将y 轴放大为原来的2倍,则 图像的振幅变为原来的2 倍。
翻折变换
旋转变换
$y = -f(-x)$ 或 $y = f(x)$,前者表示沿x 轴翻折,后者表示沿y轴翻折。
$x = xcostheta - ysintheta$ 和 $y = xsintheta + ycostheta$,其中$theta$为 旋转角度。

人教版高中数学必修四课件:1.5 三角函数图像平移伸缩变换(共22张PPT)

人教版高中数学必修四课件:1.5 三角函数图像平移伸缩变换(共22张PPT)

x
sin x 2sin x 1 sin x 2
y
2
1
o
-1 -2
0

2

3
2
2
0
1
0
-1 0
0
2
0
-2 0
0
1
2
0
1 2
0
y=2sinx y=sinx
y= 12sinx


2
3
2
2
x
小结1 函数 y Asin x, x R 的图象
(其中A 0且 A 1)
可以看作把正弦曲线上所有点的
纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当
0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)
而得到. A的作用
引起值域 改变
纵向伸缩
函数 y Asin x, x R 的值域是 A, A
问题2
在同一坐标系中作出函数y=sin2x 及图y象=间sin的12关x的系简。图,并指出它们y=sinx
x
0


4
• 再把所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当
0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变), 得到
y=Asin( x+ )。
变换2:
函数y=Asin(x+ )(其中A>0, >0)的
图象,可看作由下面方法得到:
• 把y=sinx图象上所有点的横坐标缩短(当
>1时)或伸长(当0< <1时)到原来的 1 倍
函数y Asin(x )的图像
复习:
2.用五点法作函数 y sin x, x 0,2

函数图象的变换PPT

函数图象的变换PPT
总结词
水平平移是指函数图像在水平方向上移动一定的距离。
详细描述
水平平移不改变函数的值,只是改变了图像的位置。对于函数y=f(x),若图像向 右平移a个单位,则新的函数为y=f(x-a);若图像向左平移a个单位,则新的函 数为y=f(x+a)。
垂直平移
总结词
垂直平移是指函数图像在垂直方向上移动一定的距离。
函数图象的变换
• 函数图象变换概述 • 平移变换 • 伸缩变换 • 翻折变换 • 旋转变换 • 应用实例
01
函数图象变换概述
函数图象变换的定义
01
函数图象变换是指通过平移、伸 缩、翻转等几何变换操作,改变 函数图象的位置、形状和大小。
02
这些变换操作可以通过代数表达 式或矩阵变换来实现,使得函数 图象在坐标系中按照特定的规则 进行移动、旋转和缩放。
详细描述
当函数图像在y轴方向上伸缩时,其形状和大小会发生变化,但x轴上的比例保持不变。例如,将函数y=f(x)的图 像在y轴方向上放大2倍,得到新的函数y=2f(x)。
斜向伸缩
要点一
总结词
斜向伸缩是指同时沿x轴和y轴方向对函数图像进行放大或 缩小。
要点二
详细描述
当函数图像在x轴和y轴方向上同时伸缩时,其形状和大小 会发生变化,x轴和y轴上的比例都会改变。例如,将函数 y=f(x)的图像在x轴方向上放大2倍,在y轴方向上放大3倍 ,得到新的函数y=3f(2x)。
逆时针旋转
总结词
当函数图像按照逆时针方向旋转时,其形状和大小也不会发生变化,同样只是位置发生 了移动。
详细描述
与顺时针旋转相反,当函数图像按照逆时针方向旋转一定的角度时,每个点的坐标同样 会发生变化,但方向是远离原点。同样地,这种变化也可以用三角函数的性质来描述。
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写出其坐标变换。
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y),保持纵坐标不变,将横 坐 就标得到x缩正为弦原曲来线的y=123s,in在2x.此基础上,将纵坐标变为原来的3倍,
即:设点P(x , y)经变换得到点为P′ (x
y′=3y
3
通常把 3 叫做平面直角坐P标PT课件系中的一个坐标伸缩变换10 。
2 3 3 2
x y
B
x
'
y
'
3 2 2 3
x y
x ' y x' x 1
C
y'
x
D
y'
y
1
PPT课件
17
4 曲线 x2y22x0变成曲线
的伸缩变换是
.
x'21y6'24x'0
5 在伸缩变换
x' y'
2x y
与伸缩变换
x' 2x
y'
2
y
的作用下,
单位圆 x2 y2 1分别变成什么图形?
在正弦曲线上任取一点P(x , y),保持横坐标x不变, 将纵坐标伸长为原来的3倍,就得到曲线y=3sinx。 即:设点P(x , y)经变换得到点为P′ (x′, y′)
x′=x 2
y′=3y
通常把 2 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。
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9
问题分析:
(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?
一点,保持纵坐标不变,将横坐标x缩 为原来 1 ,得到点 P′(x′, y′).坐标对应关
y=sin2x
系为: 2
2
x’=
1 2
x
1
y’=y
O
x
y=sinx
通常把 1 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。
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8
问题分析:
(2)怎样由正弦曲线 y=sinx得到曲线 y=3sinx? 写出其坐标变换。
坐标系下进行伸缩变换。
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11
例1.在直角坐标系中,求下列方程所对应
的图形经过伸缩变换
x’=2x
y’=3y
后的图形。
(1)2x+3y=0; (2)x2+y2=1
(1)x’+y’=0
因此,在该伸缩变换下,直线仍然变成直线,而圆可以变为
椭圆。
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12
例2:在同一坐标系中,如何将直线 x-2y=2 变成直线 2x’-y’=4,写出其坐标变换。
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18
7 在同一直角坐标系下,求满足下列图形的伸缩变 换:曲线 4x2+9y2=36 变为曲线 x’2+y’2=1
8 在同一直角坐标系下,经过伸缩变换
x 3x
y
y
后,曲线C变为x’2-9y’2 =1,求曲线C的方程,并画出图形。
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19
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13
例3.在同一直角坐标系下,求满足下列图形 的伸缩变换:曲线4x2+9y2=36变为曲线 x’2+y’2=1
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14
例4.在同一直角坐标系下,经过伸缩变
x’=3x
换 y’=y 后,曲线C变为x’2-9y’2 =1, 求曲线C的方程并画出图形。
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思考:在伸缩 变换
:
伸缩变换的定义:设P(x,y)是平面直角坐标系中 任意一点,在变换
:
x y
' '
x y
( 0) ( 0)
4
的作用下,点P(x,y)对应P’(x’,y’).称 为平面直角
坐标系中的伸缩变换。
注:(1)0,0
(2)把图形看成点的运动轨迹,平面图形的伸缩变换可 以用坐标伸缩变换得到;
(3)在伸缩变换下,平面直角坐标系不变,在同一直角
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2
精品资料
• 你怎么称呼老师? • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点,你
是否会认为老师的教学方法需要改进? • 你所经历的课堂,是讲座式还是讨论式? • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒,也不怕那风雨狂,只怕先生骂我
笨,没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照,花儿对我笑,小鸟说早早早……”
选修4-4 1.1伸缩变换
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1
1.对称变换
在直角坐标系中,已知点M(a,b),则
(1)点M关于原点O对称的点为_____________; (2)点M关于x轴对称的点为_____________; (3)点M关于y轴对称的点为_____________; (4)点M关于直线y=x对称的点为_____________; (5)点M关于直线y=-x对称的点为_____________; (6)点M关于直线y=x+t对称的点为_____________;
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16
补充练习:
1 求下列点经过伸缩变换
x' 2x
y'
3
y
①(1,2); ②(-2,-1).
后的点的坐标:
2 曲线C经过伸缩变换 则曲线C的方程是
x
'
y
'
1 3 1 2
x y
后的曲线方程是 .
4x'29y'236
3 将点(2,3)变成点(3,2)的伸缩变换是( )
A
x' y'
PPT课件
5
练习:填空题
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6
3.平面直角坐标系中的伸缩变换
• 思考: • (1)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
y
y=sin2x
2
O
x
PPT课件 y=sinx
7
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x , y),保持纵坐标不变,将横 坐标x缩为原来的 1 ,就得到正弦曲线y=sin2x. 即:设P(x , y)是平2面直角坐标系中任意
x y
' '
x y
( 0) ( 0)
下,椭圆是否可以变成圆?抛物线,双曲线变
成什么曲线?
对于双曲线和抛物线的方程,不管进行什么样的伸缩变换之后,方程特点 仍然没有变,抛物线方程的二次项和一次项都没有变,双曲线的两个二次 项仍然是二次项,这两个二次项之间的减号也没有变; 从另外一个角度来说,把它们的图象进行压缩时,图象特点是没有变的, 压缩后的图象仍然是抛物线型和双曲线型的,所以它们的图象是没有变 化的,仍然是双曲线和抛物线.
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