第十一章BHAR法
11第十一章 电解与库仑分析法
11B-2 仪器
库仑分析仪
11B-3 实验 11B-3-1 控制电位库仑分析法
现代仪器一般采用电子积分仪，电解消耗电量可直接读出。 化学库仑计本身也是一种电解电池，可以应用不同的电解反应 来构成。如银库仑计： ■Silver Coulometer (weight Coulometer)
由于反应的进行，电极表面上Fe3+离子浓度不断增加，Fe2+离子浓度不断下降，因 而阳极电位将逐渐向正的方向移动。最后，溶液中Fe2+还没有全部氧化为Fe3+ ，而 阳极电位已达到了水的分解电位，这时在阳极上同时发生下列反应而析出氧： 2H2O＝ O2↑ ＋ 4H+ ＋4e 显然，由于上述反应的发生，使Fe2+离子氧化反应的电流效率低于100％，因而 使测定失败。 如在溶液中加入过量的辅助电解质Ce3+离子，则Fe2+离子可在恒电流下电解完 全。开始阳极上的主要反应为Fe2+氧化为Fe3+ 。当阳极电位正移至一定数值时， Ce3+离子开始被氧化为Ce4+离子，而所产生的Ce4+ ，则转移至溶液主体，并氧北溶 液中的 Fe2+离子。由于Ce3+过量，稳定了电极电位，防止了水的电解。根据反应可 知，阳极上虽发生了Ce3+的氧化反应，但其所产生的Ce4+又将Fe2+氧化为Fe3+ 。因 此，电解所消耗的总电量与单纯Fe2+完全氧化为Fe3+的电量是相当的。可见，用这 种间接库仑分析方法，既可将工作电极的电位稳定，防止发生副反应，又可使用较 大的电流密度，以缩短滴定的时间。
11B-3-1 控制电位库仑分析法
第十一章-渐近法
单结点力矩分配法基本原理： 加刚臂——去刚臂——叠加 步骤： 1、计算固端弯距，不平衡力矩 2、计算分配系数、传递系数
3、分配传递 4、绘内力图
第十一章
渐近法
作业：11-1
本节课到此结 束再见!
第十一章 渐近法 §11-3 力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
一、计算步骤的形象化介绍
P 1
远 端 约 束 固 铰 滑 定 支 动 S C 0.5 0 -1
4i
3i
i
第十一章 渐近法 §11-2 力矩分配法的基本原理 3、节点不平衡力矩：
R1P M 1Fj
j 1 n
(刚臂反力矩)
4、分配系数： 1 j S1 j
5、分配弯矩： M 1j 6、传递弯矩： M
c i1
S
j 1
-23.7
-1.2
+87.6 87.6
200.9
A
120
B
M图(kn.m)
C
D
第十一章 §11-4 无剪力分配法
渐近法
无剪力分配法是计算符合某些特定条件的有侧 移刚架的一种方法。
I I 2q 2q I I I I q q q q q q q q
B B q q
（采用普通力 （采用普通力 矩分配法） 矩分配法）
弯距的比值。
C AB M BA M AB
A
M BA CAB S ABAB AB M
A
A
i
B
S AB 4i
S AB 3i
B
C AB 1 2
A
A
i
B
C AB 0
A
i
S AB i
C AB 1
弹塑性力学第十一章标准详解
第十一章习题答案11.3使用静力法和机动法求出图示超静定梁的极限载荷。
解1:（ 1）静力法首先该超静定梁（a ）化为静定结构（b ）、（c ）。
分别求出其弯矩图，然后叠 加，得该超静定梁的弯矩图（f ） 在极限情况下M A M s , M B M s设C 点支反力为R C ，贝U ：R C 2l Pl 1当P 值达到上述数值时，结构形成破坏机构，故 P 为该梁的完全解。
（2）机动法设破坏机构如图（g ）,并设B 点挠度为，则:C,(2l l 1)21l 1 21 11外力功W e P(IR c (2l h) M s由上二式得M p 41 l 1 2l l 1 l 1k ——41 l内力功 W i M AA M B B—M l 1 21 l 1由W e W ,可得极限载荷上限为4l li li 2l l i由于在P 作用下，M s M x M s ，故上式所示载荷为完全解的极限载荷。
解2：（ 1）静力法先将该超静定梁化为静定梁（b ）、（c ），分别作弯矩图，叠加得该超静定梁的 弯矩图（f ） 设A 点为坐标原点，此时弯矩方程为: M xR B l x在极限状态时，有M sx x-1 ,M x 1 M s 令dM Xdx 0 得 q(l X i ) R B 而 R B l iql 2 1 2q (1)、(2)、(3)得 M s 2l R B l X i 联立解2qM s i i ql M s M s(1) (2) (3)解得qii2i44 i6M s l 2在以上q0值作用下，梁已形成破坏机构，故其解为完全解（2）机动法如图（g）设在A、C两点形成塑性铰A B内力功为外力功为由虚功原理W i W该解与完全解的误差为3%q解3：（1）静力法设坐标原点在C点，此时弯矩方程为：BC 段（0 x L 2）M （x） R c x qx21 1AB段（L 2 x l）M （x）&X - ql x T2 4取较大的值，可得q011.66处，M为极大值，设在BC段，由dM xdx得R c q 0R cq(1)M s M s g2 3M slW e 2 02q x dx 4q得：q12M s q0 11.66^l2b ----------- ----------------- H在极限情况下由于此时形成破坏机构，故q 值完全解 (2)机动法,如图(g )设此梁在A 和处形成塑性铰，则8(l)⑴ 四边简支，边长为a 的正方形板，载荷作用在板的中点；(2) 三边简支一边自由的矩形板，在自由边中点承受集中力的作用;(3) 四边简支矩形板，在板上任意点(x,y)承受集中力的作用.M s即：R c I 3 .28qlM sR c1 22q M s(2) (3)q 188取正号q882 18 32 19.2M sA..I , C内力功为WM AAMB BMC C外力功为W e°qx dxI 2qA BII— M s由虚功原理 W i W 得I(3I 4)Ms 由极值条件dqdr 7 19 * 21代入q 的表达式，则得的极小值q 11 47 Ms由于此结果满足 M sM IM s联立解(1)、(2)、(3)得I x W o g dx其中 —43代入上式后，得 W ； 8M s ctg ctgw 043 816ctg Ms内力功W i 2M s ctg ctg W由W e W 得P 2M s ctgctg而ctga ctg2b2ba故P 2M s ―2b M s a 42bab (b )外力功W e Pw 0a如破坏时四角可以翘起。
第十一章常用的分离和富集方法.
第十一章常用的分离和富集方法制作人：杨敏岚施忠斌§ 11-1概述§ 11-2沉淀分离法§ 11-3溶剂萃取分离法§ 11-4离子交换分离法§ 11-5液相色谱分离法教学内容：回收率、分离因索、分配系数、分配比、萃取率、分离系数、交联度、交换容量、离了亲和力、比移值等含义；沉淀分离法、溶剂萃取分离法、离子交换分离法、液相色谱分离法教学重点：分离效果的评价；纸色谱法教学难点：分离机理2前处理■ ■取样f溶样f消除干扰掩蔽分离测定原理方法亠计算数据处理结果气液分离: 液液分离方法论文撰写「氢氧化物I NaOH、NH3-沉淀分离I硫化物：H Q S固相萃取I有机沉淀剂：H2C2O4，丁二酮肪I离子交换分离/阳离子交换树脂禺于交映分禺伽离子交换树脂挥发和蒸憎克氏定氮法，CX预氧化T法螯合物萃取r萃取分离V离子缔合物萃取I I三元络合物萃取r支撑型液J液膜分离-乳状液型液膜生物膜气固分离•超临界流体萃取V其他分离方法：萃淋树脂、螯合树脂、浮选、色谱分离法分离分析法：气相色谱法，液相色谱法、电泳分析法4有机沉淀剂: 种类多•选择性好•晶形好•可灼烧除去• 6 § 11-1概述液相色«分离法评价分离效果的指标:1、回收率（RQ R A ・；；"X100% R A 臺99.9% R^^95% A分离前w 的质量R2. S R /A （分离因索）：S R /A = 0X100% S B /A<0,1% S R /A V W-」％R A' ------ AN+B（共沉淀分离与富集待测组分）容易共沉淀•选择性不离：应«先沉淀微■组分. 设A ——待测组分。
B 一共存组分（直接测定A ） A:A-选择方法测定 分离 溶剂萃取分离法 离子交换分离法分离后A 的质*常*分析痕S 分析§ 11・2沉淀分离法「无机沉淀剂 沉淀剂-一、方法例: 有机沉淀剂 —BN+A （分离干扰组分〉无机沉淀剂: B 沉淀分离方法（-）沉淀分离干扰组分（适合于常量组分分离）BaSO4 I r EOTA 标（二〉共沉淀的分离和富集f 有机二、共沉淀剂SrSO,. PbSO^晶格相同正胶 负胶«R 作用 3 (―〉HgJ -------- H,WO. + 丹宁一共 I例：H^WO, + 丹宁 ------- 2* —•r —2・ 八 + 'Zn + 4 SCN --------- Zn(SCN )4 Zn 甲基»MV 3作用[CV* SC ：< 缔合物一Zn(SCN)?'.( CV*h例： Ba2」干扰）.Zn-^+M^SO^（干扰） （待测） Zu"例：Ph"(微*) + NajCO,+ CM N^co ------------ CaCOjI(外加)＞载体或共沉淀剂 无机 Pb"（一）无机共沉淀剂，例:+ Fe （OH ）3一-~ SrSO.痕量»子— 无机共沉淀剂吸附 混晶 Al 矢 + Fe(OH )3——Fe(OH )3 j- Al^ SrSOq i - PZ Pbh+ SrSO^ （二）有机共沉淀剂MV**SCN'<«体)有机沉淀剂: 种类多•选择性好•晶形好•可灼烧除去•610三、提高沉淀分离的选样性L 控制酸度：例CSJ Cd2+分离在KCN 的氨件溶液屮通入H Q S, C0被沉淀，Cu"不沉淀.Cu(CN)<-2. 利川络合掩蔽作用例Pb"、6*分离在EDTA 存在下，控制pH2.8~4.9,CaC2O4i ，与Pb"分离3. 利川掘化还原反应■改变离了存（匸状态究竞萃取分离法分为几类呢?§11-3溶剂萃取分离法一萃取分离法分为固…液、气•…液和液…•液萃取法.液•…液萃取法亦称溶剂萃取法。
事件时间法中CAR和BHAR的比较
事件时间法中CAR和BHAR的⽐较2019-10-08摘要：对新股长期绩效进⾏研究时，事件时间法是衡量其长期绩效的重要⽅法。
其本⾝分为CAR和BHAR两种计量模型。
不同模型有种不同的内在逻辑。
本⽂剖析了两者之间的异同。
关键词：事件时间法；CAR；BHAR⼀、理论分析事件时间法是新股长期绩效的研究⽅法中极为重要的⽅法之⼀，属于横截⾯分析⽅法的⼀种。
我们假定整个市场运⾏有效，能够对相关事件迅速做出反应。
当出现具有重⼤影响⼒的经济事件时，股票价格也会随之发⽣变化。
我们可以收集事件发⽣前后的相关市场数据，通过⼀定的模型对其进⾏量化，从⽽考察这⼀经济事件产⽣的具体影响。
Fama等（1969）最早开始利⽤事件时间法来研究盈利预测的长期股价效应。
随后事件时间法被相继应⽤于并购重组等事件的相关研究。
Ritter（1991）在其论⽂中⾸次将此⽅法应⽤于对IPO长期绩效的研究之中，并且在之后的新股长期绩效研究中得到普遍应⽤。
将事件时间法应⽤于新股长期绩效的研究时，正常收益率是⼀个很关键的概念。
⼀般将其定义为在某⼀重⼤事项没有发⽣的条件下，我们所能够得到的收益率，即期望收益率。
⽽异常收益率就是在这⼀事项发⽣的条件下，实际收益率与期望收益率两者之差：其中，为股票i在t时期的实际收益率，为股票i在t时期对应的期望收益率，即我们⽤于⽐较的作为基准的正常收益率。
事件时间法中选择适当的期望收益率作为正常收益率相当重要，不同的期望收益率的选择，会产⽣不同的异常收益率的计算模型，不同的模型往往会得出完全不同的实证结果。
⼀般⽽⾔，主要使⽤同期市场收益率、⾏业可配⽐公司和规模可配⽐公司收益率作为模型中的期望收益率。
除此之外，在计算股票组合的长期异常收益率时，有两种加权⽅法：等权平均和市值加权平均。
等权平均即简单平均，它将股票组合中所有股票赋予相同的权重，将所有股票的收益率加总后进⾏简单的算术平均，基于“每种股票买⼀元”的投资思想，能够反映组合中股票的平均⽔平。
【精品】高等数学B第十一章
讲授内容§11.1对坐标的曲线积分的概念§11.2对坐标的曲线积分的计算教学目的与要求：１、理解对坐标的曲线积分的概念.２、掌握对坐标的曲线积分的性质.３、熟练掌握对坐标的曲线积分的计算方法.教学重难点：重点—第二类曲线积分的计算方法．难点—第二类曲线积分的反向变号性质.下限对应有向曲线的起点，上限对应终点.教学方法：讲练结合教学法教学建议：１、建议对变力作功问题作仔细讲解，从而深化学生对第二类曲线积分概念的理解.２、通过大量针对性的例题讲解及练习，使学生熟练掌握其计算.学时：2学时一、教学过程二、对坐标的曲线积分的概念1.引例：求变力沿有向曲线所作的功设在xOy面上有一质点从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,在移动过程中,质点受到变力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j的作用.其中P(x,y),Q(x,y)在L上连续.求变力F(x,y)作的功.将L用其上的点A=M(x0,y0),M1(x1,y1),…,M n－1(x n－1,y n－1),M n(x n,y n)=B划分为n段.在第i 个有向小弧段M i －1M i 任取一点(ξi ,ηi ),由于有向小弧段M i－1M i 光滑且很短,故可用有向线段M i －1M i =(Δx i )i +(Δy i )j 代替它,其中Δx i =x i －x i －1,Δy i =y i －y i －1,因此变力F (x ,y )沿有向小弧段M i －1M i 所作的功可看作常力F (ξi ,ηi )沿有向线段M i －1M i =(Δx i )i +(Δy i )j 所作的功,即：Δw i ≈F (ξi ,ηi )•M i －1M i =P(ξi ,ηi )Δx i +Q(ξi ,ηi )Δy i .以λ表示n 个小弧段的最大长度,则变力F (x ,y )沿有向曲线L 所作的功为：W=0lim→λ∑=ni 1Δw i =0lim→λ∑=ni 1P(ξi ,ηi )Δx i +Q(ξi ,ηi )Δy i2.对坐标的曲线积分的定义定义：设L 为xOy 面上点从A 沿点B 的一条光滑有向曲线弧,函数P(x ,y ),Q(x ,y )在L 上有界.在L 上沿L 的方向任意插入一点列A=M 0(x 0,y 0),M 1(x 1,y 1),…,M n －1(x n －1,y n －1),M n (x n ,y n )=B将L 划分为n 个有向小弧段M i －1M i (i =1,2,…n ),在第i 个有向小弧段M i －1M i上任取一点(ξi ,ηi ),设 Δx i =x i －x i －1,Δy i =y i －y i －1,以λ表示n 个小弧段的最大长度,若极限0lim→λ∑=ni 1P(ξi ,ηi )Δx i 存在,则称此极限为函数P(x ,y )在有向曲线L 上对坐标x 的曲线积分,记作：⎰LP(x,y)dx.同理,若极限 0lim→λ∑=ni 1Q(ξi ,ηi )Δy i 存在,则称此极限为函数Q(x ,y )在有向曲线L 上对坐标y 的曲线积分,记作：⎰LQ(x,y)dy.即：⎰LP(x,y)dx =0lim→λ∑=ni 1P(ξi ,ηi )Δx i ；⎰LQ(x,y)dy =0lim→λ∑=ni 1Q(ξi ,ηi )Δy i其中,P(x ,y ),Q(x ,y )为被积函数；L 为积分曲线.上述两个积分称为第二类的曲线积分.在应用上常将上述两个积分合起来写成：⎰LP(x,y)dx+⎰LQ(x,y)dy =⎰LP(x,y)dx +Q(x,y)dy.写成向量形式为：⎰LP(x,y)dx+⎰LQ(x,y)dy =⎰LF (x,y)•d r其中F (x,y)=P(x,y)i +Q(x,y)j ; d r =dx i +dy j同理,当Γ为空间有向曲线,函数P(x ,y ,z ),Q(x ,y ,z ),R(x ,y ,z )在Γ上有界,则定义：⎰ΓP(x,y,z)dx =0lim→λ∑=ni 1P(ξi ,ηi ,ζi )Δx i⎰ΓQ(x,y,z)dy =0lim→λ∑=ni 1Q(ξi ,ηi ,ζi )Δy i⎰ΓR(x,y,z)dz =0lim→λ∑=ni 1R(ξi ,ηi ,ζi )Δz i .合起来即为：⎰ΓP(x,y,z)dx+⎰ΓQ(x,y,z)dy+⎰ΓR(x,y,z)dz=⎰ΓP(x,y,z)dx +Q(x,yz)dy+R(x,y,z)dz3.对坐标的曲线积分的性质：1)⎰+21L L Pdx+Qdy=⎰1L Pdx+Qdy+⎰2L Pdx+Qdy2)⎰-LP(x,y)dx =-⎰LP(x,y)dx ；⎰-LQ(x,y)dy =-⎰LQ(x,y)dy ；或者⎰-LP(x,y)dx +Q(x,y)dy =-⎰LP(x,y)dx+Q(x,y)dy ；这里-L 为L 的负方向.注：对坐标的曲线积分与方向有关，故必须注意积分方向.三、 对坐标的曲线积分的计算方法定理：设函数P (x ,y ),Q(x,y)在有向曲线弧L 上连续,L 的参数方程为：x =φ(t ),y=ψ(t )，当参数t 单调地从α变到β时,点M(x,y)从L 的起点A 运动到终点B,φ(t )和ψ(t )在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续的导数,且φ′2(t)+ψ′2(t)≠0,则有：⎰LP(x,y)dx+Q(x,y)dy =⎰βα{P[φ(t),ψ(t)]φ′(t)+Q[φ(t),ψ(t)]ψ′(t)}dt ．证明：在L 上任取点列：A=M 0,M 1,…,M n －1,M n =B, 它们对应一列单调变化的参数值：α=t 0<t 1<…<t n －1<t n =β,由于⎰LP(x,y)dx =0lim→λ∑=ni 1P(ξi ,ηi )•Δx i.设点(ξi ,ηi )对应的参数值为τi 即：ξi =φ(τi ),ηi =ψ(τi ),其中：t i －1 -τi - t i .又由于 Δx i =x i -x i-1=φ(t i )-φ(t i-1)积分中值定理φ′(τ′i )Δt i 这里：Δt i =t i -t i －1,t i －1-τ′I -t i .于是：⎰LP(x,y)dx =0lim→λ∑=ni 1P [φ(τi ),ψ(τi )]φ′(τ′i )Δt i ,由φ′(t)在[α,β](或[β,α])上连续(从而一致连续),可将τi ′换为τi ,即有：⎰LP(x,y)dx =0lim→λ∑=ni 1P[φ(τi ),ψ(τi )]φ′(τi )由于P[φ(t),ψ(t)]φ′(t)连续,,从而定积分存在,且有⎰LP(x,y)dx =⎰βαP[φ(t),ψ(t)]φ′(t)dt同理：⎰LQ(x,y)dy =⎰βαQ[φ(t),ψ(t)]ψ′(t)dt两式相加即有：⎰L P(x,y)dx+Q(x,y)dy=⎰βα{P[φ(t),ψ(t)]φ′(t)+Q[φ(t),ψ(t)]ψ′(t)}dt 注1）下限α对应于起点A,上限β对应于终点B.2）对坐标的曲线积分的基本思想也是将其转化为对参变量的定积分.几种特殊情形：1)曲线L的方程为：y=ψ(x),则⎰L P(x,y)dx+Q(x,y)dy=⎰b a{P[x,ψ(x)]+Q[x,ψ(x)]ψ′(x)}dx下限a对应于起点A,上限b对应于终点B.2)设曲线L的方程为：x=φ(y),则⎰L P(x,y)dx+Q(x,y)dy=⎰d c{P[φ(y),y]+Q[φ(y),y]φ′(y)}dy下限c对应于起点A,上限d对应于终点B.3)当Γ为空间曲线时,设其参数方程为：x=φ(t),y=ψ(t),z=ω(t)则：⎰ΓP(x,y)dx+Q(x,y)dy+R(x,y,z)dz=⎰βα{P[φ(t),ψ(t),ω(t)]φ′(t)+Q[φ(t),ψ(t),ω(t)]ψ′(t)+R[φ(t),ψ(t),ω(t)]ω′(t)}dt下限α对应于起点A,上限β对应于终点B.y2,其中L为：例1计算：⎰L dx1）半径为a,圆心为原点,按逆时针方向绕行的上半圆周；2）从点A(a,0)到点B(-a,0)的直线段.解1) L的参数方程为：x=a cosθ,y=a sinθ(0<θ<π)θ=0对应于起点A, θ=π对应于终点B.⎰L dx y 2=⎰-πθθθ022)sin (sin d a a =302334cos )cos 1(a d a -=-⎰πθθ; 2) L 的参数方程为：y=0,x 从a 到-a ,⎰Ldx y 2=⎰-=•aadx 00特点：积分值与路径有关. 例2计算：⎰+Ldy x xydx 22,其中L 为：1）抛物线y=x 2上从点O(0,0)到点B(1,1)的一段弧； 2）抛物线x=y 2上从点O(0,0)到点B(1,1)的一段弧； 3）有向折线OAB,O,A,B 的坐标分别为(0,0),(1,0),(1,1).解 1) L ： y=x 2,x 从0变到1；⎰L2xydx+x 2dy=⎰1(2x•x 2+2x 2•x)dx=12) L ： x=y 2,y 从0变到1；⎰L2xydx+x 2dy=⎰1(2y 2•y•y 2+y 4)dy=1 3)⎰L2xydx+x 2dy=⎰OA2xydx+x 2dy+⎰AB2xydx+x 2dy在OA 上, L ： y=0,x 从0变到1；⎰OA2xydx+x 2dy=⎰1(2x•0+x 2•0)dx=0；在AB 上, L ： x=1,y 从0变到1；⎰AB 2xydx+x 2dy=⎰1(2y•0+1)dy=1所以：⎰L2xydx+x 2dy=1.特点：积分与路径无关. 例3计算：⎰Lxyzdz ,其中L 是用平面y =z 截球面x 2+y 2+z2=1所得的截痕,从z 轴的正向看沿逆时针方向.解L 的方程为：y =z ,x 2+y 2+z 2=1,它在xOy 面上的投影为：x 2+2y 2=1,从而其参数形式为：x =cos θ,y=z =22sin θ, 且θ从0变到2π, ⎰Lxyzdz =θθθθθπd ⎰•••20cos 22sin 22sin 22cos =⎰πθθθ2022sin cos 42d =162π 例4设有一质点在M(x ,y )处受到力F 的作用.力F 的大小与点M 到原点的距离成正比,力F 的方向指向原点.此质点由点A(a ,0)沿椭圆12222=+by a x 按逆时针方向移动到点B(0,b ),求力F 所作的功.分析：根据对坐标曲线积分的物理意义，变力沿曲线L 作功即为在L 上的对坐标的曲线积分．解 由于OM=x i +y j , |OM |=22y x +,从而F =－k(x i +y j )(k>0为比例系数). 所以F 所作的功为：W=⎰A B-kxdx-kydy=-⎰A Bkxdx+kydy由于弧AB 的参数方程为：x=a cos θ,y=b sin θ,其中θ=0对应起点A, θ=π/2对应终点B,从而：W =⎰•+-•-2)]cos (sin )sin (cos [πθθθθθd b b a a k=k(a 2-b 2)⎰20sin cos πθθθd =k(a 2-b 2)/2例5计算：⎰++=L y x dydx I ||||,其中L 是以点A(1,0),B(0,1),C(－1,0)和D(0,－1)为顶点的正方形的正向周界.解(方法一)由于L ：|x |+|y |=1,所以,在AB 上,有x+y =1；在CD 上,有x+y =-1； 在BC 和DA 上,有x+y =0；从而有 d (x+y )=0. 所以：I=⎰=+Ldy dx 0(方法二)因为：⎰++A B ||||y x dydx =⎰-+-+01)1()1(1dx x x =0；⎰++B C ||||y x dy dx =⎰-++-+10)1(11dx x x =-2⎰++CD ||||y x dy dx =⎰---+--01)1(11dx x x =0； ⎰++D A ||||y x dy dx =⎰--+10)1(11dx x x =2所以,I=0.注：将积分曲线的方程直接代入被积表达式有时可使被积函数化简，使计算简便.作业：P2013(1)(3)(4)(5)P2024(3)(4)(5)教学后记：复习思考题：计算:L xyzdz⎰,其中L是用平面y=z截球面2221x y z++=所得的截痕,从z轴的正向看沿逆时针方向.讲授内容§11.3曲线积分与路径无关的条件教学目的与要求：1、掌握格林公式;2、掌握平面上的曲线积分与路径无关的条件;3、掌握二元函数的全微分求积教学重难点：重点—通过本节的教学，使学生掌握格林公式，并能应用格林公式计算第二类曲线积分，掌握平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数的全微分的原函数.难点—1.平面曲线积分与路径无关的条件2.二元函数的全微分求积教学方法：讲授法教学建议：建议向学生强调格林公式使用的条件并举例说明.学时：4学时教学过程一、格林公式单连通与复连通区域:设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.对平面区域D的边界曲线L,我们规定L的正向如下:当观察者沿L的这个方向行走时,D内在他近处的那一部分总在他的左边.区域D的边界曲线L的方向:定理1设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成,函数P(x ,y)及Q(x ,y)在D 上具有一阶连续偏导数,则有⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂L DQdyPdx dxdy yPx Q )(,其中L 是D 的取正向的边界曲线. 简要证明:仅就D 即是X －型的又是Y －型的区域情形进行证明.设D ={(x ,y)|ϕ1(x)≤y ≤ϕ2(x),a ≤x ≤b}.因为py∂∂连续,所以由二重积分的计算法有 dxx x P x x P dx dy y y x P dxdy y P b ax x b a D)]}(,[)](,[{}),({12)()(21ϕϕϕϕ-=∂∂=∂∂⎰⎰⎰⎰⎰.另一方面,由对坐标的曲线积分的性质及计算法有⎰⎰⎰⎰⎰+=+=abbaL L Ldxx x P dx x x P Pdx Pdx Pdx )](,[)](,[2121ϕϕdxx x P x x P ba)]}(,[)](,[{21ϕϕ-=⎰.因此⎰⎰⎰=∂∂-L DPdxdxdy yP .设D ={(x ,y)|ψ1(y)≤x ≤ψ2(y),c ≤y ≤d}.类似地可证⎰⎰⎰=∂∂L DQdxdxdy x Q.由于D 即是X －型的又是Y －型的,所以以上两式同时成立,两式合并即得⎰⎰⎰+=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy y P x Q .应注意的问题:对复连通区域D ,格林公式右端应包括沿区域D 的全部边界的曲线积分,且边界的方向对区域D 来说都是正向.设区域D 的边界曲线为L ,取P =-y ,Q =x ,则由格林公式得⎰⎰⎰-=LDydxxdy dxdy 2,或⎰⎰⎰-==LDydxxdy dxdy A 21.例1求椭圆x=acos θ,y=bsin θ的面积A.解A=21⎰Lxdy-ydx=⎰--πθθθθ20)]sin (sin )sin (cos [21a b b a dθ=πab例2计算⎰⎰-Dy d e σ2,其中D 是以O(0,0)、A(1,1)、B(0,1)为顶点的三角形闭区域.解 令 P=0,Q=2y xe-,则x Q ∂∂-yP ∂∂=2y e -, 因此⎰⎰-Dy d e σ2⎰++-=BOAB OA ydy xe 2=⎰-OA y dy xe 2=⎰-12dx xe x =(1-e -1)/2 特点：应用格林公式将二重积分化为曲线积分． 例3计算⎰L-2x 3ydx+x 2y 2dy,其中L 为x 2+y 2≥1与x 2+y 2≤2y 所围区域D 的正向边界.解因为x Q ∂∂-y P ∂∂=2xy 2+2x 3，所以⎰L -2x 3ydx+x 2y 2dy=⎰⎰D(2xy 2+2x 3)dσ=0特点：应用格林公式将对坐标的曲线积分化为二重积分，这也是格林公式主要应用．例4计算dy y x x y dx x y xy L)3sin 21()cos 2(2233+-+-⎰，其中L 为抛物线22y x π=上的由点（0，0）到（1,2π）的一段弧. 分析：从被积函数以及积分曲线的方程来看，化为对参变量的定积分来作不易，从而考虑用格林公式．又由于曲线L 不是封闭曲线，因此要想使用格林公式，必须先补线，使其封闭．解设L 1为在1=y 上从（1,2π）到（0，0）的一段，L 2为在0=x 上从点（1,0）到（0，0）的一段，并记L+L 1+L 2为L 0. 由于x y xy P cos 223-=，223sin 21y x x y Q +-=，xQ ∂∂=26cos 2xy x y +-=y P ∂∂由格林公式有：⎰+-+-0)3sin 21()cos 2(2223L dy y x x y dx x y xy =0，则有dy y x x y dx x yxy L)3sin 21()cos 2(2233+-+-⎰=-⎰++-+-21)3sin 21()cos 2(2223L L dyy x x y dx x y xy=⎰⎰--021)cos 2(πdydx x x =42π例5计算I=⎰+-L y x ydxxdy 22,其中L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续曲线,L 的方向为逆时针方向.解 由于P=-22yx y+; Q=-22yx x +，且当x 2+y 2≠0时,x Q ∂∂=2222x y x y +-=yP∂∂ 当(0,0)∉D 时,由格林公式有：I=0；当(0,0)∈D 时,以(0,0)为中心,以充分小的半径r 作一圆,使整个圆含于L 所围的区域中,则由格林公式有：⎰+-Ly x ydx xdy 22-⎰+-l yx ydxxdy 22=0 即：⎰+-L y x ydx xdy 22=⎰=+-l y x ydxxdy 222rydx xdy l⎰-=222rrπ=2π注：若积分曲线内含有奇点时，不能直接应用格林公式，必须先用一条适当的曲线挖掉奇点后方可应用格林公式．二、平面上曲线积分与路径无关的条件1、定义：设G 为平面开区域,函数P(x ,y )及Q(x ,y)在G 内具有一阶连续的偏导数,若对G 内任意两点A 和B 及G 内从点A 到点B 的任意两条曲线L 1和L 2,成立等式：⎰1L P(x,y)dx+Q(x,y)dy=⎰2L P(x,y)dx+Q(x,y)dy则称曲线积分⎰LP(x,y)dx+Q(x,y)dy 与路径无关.显然,当曲线积分在G 内与路径无关时,对G 内任意的封闭曲线L,有：⎰LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=0；2、 平面上曲线积分与路径无关的条件定理：设G 为平面开区域,函数P(x ,y )及Q(x ,y )在G 内具有一阶连续的偏导数,则曲线积分⎰LP(x,y)dx+Q(x,y)dy 与路径无关的充分必要条件：xQ ∂∂=y P ∂∂ ∀(x,y)∈G.证明：(充分性)设L 为G 内的任意封闭曲线.由于G 是单连通的,从而有：⎰LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=⎰⎰D(x Q ∂∂-yP∂∂)dσ=0(必要性)设对G 内的任意曲线L 成立：⎰LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.现证x Q ∂∂=yP∂∂ ∀(x,y)∈G.假设在G 内存在一点M 0,使(x Q ∂∂-yP ∂∂)M ≠0,不妨设(x Q ∂∂-yP ∂∂)M =η>0由于P y,Q x在G内连续,由保号性定理知：存在U(M0)⊂D,∀(x,y)∈U(M0),有x Q ∂∂-yP ∂∂≥η/2>0,于是在U(M 0)内取一个以M 0园心,以r ＞0为半经的园K,记K 的正向边界曲线为γ,圆K 的面积为σ,在K 上,有⎰γP(x,y)dx+Q(x,y)dy=⎰⎰K(x Q ∂∂-yP ∂∂)dσ≥σ•η/2>0从而与已知条件矛盾.即x Q ∂∂=yP∂∂在G 内恒成立. 奇点：在G 内函数P(x ,y )、Q(x ,y )、P y (x ,y )或Q x (x ,y )不连续的点称为奇点.三、二元函数的全微分求积讨论P(x ,y )及Q(x ,y )满足什么条件时,P dx+Q dy 是某个二元函数的全微分. 定理：设开域G 是单连通域,函数P(x,y)、Q(x,y)在G 内具有一阶连续偏导数,则P(x ,y )dx+Q(x ,y )dy 在G 内为二元函数u (x ,y )的全微分的充要条件是：x Q ∂∂=yP∂∂ ∀(x,y)∈G.证明(必要性)假设存在着某一函数u (x ,y ),使得du=P(x ,y )dx+Q(x ,y )dy ,则必有：x u∂∂=P(x,y); yu∂∂=Q(x,y) 从而y x u ∂∂∂2=y P∂∂; x y u ∂∂∂2=xQ∂∂ 由P y (x ,y )和Q x (x ,y )连续有x Q ∂∂=yP∂∂ ∀(x,y)∈G(充分性)若等式x Q ∂∂=yP∂∂在G 内恒成立,则以M 0(x 0,y 0)为起点,M(x ,y )为终点的曲线积分与路径无关,从而此积分可表示为：⎰),(),(00y x y x Pdx+Qdy,当M 0(x 0,y 0)固定时,它是一个二元函数,记为：u (x ,y )=⎰),(),(00y x y x Pdx+Qdy.下面证明u (x ,y )满足du=P(x ,y )dx+Q(x ,y )dy . 由于u (x+Δx ,y ) =⎰∆+),(),(00y x x y x Pdx+Qdy=⎰),(),(00y x y x Pdx+Qdy+⎰∆+),(),(y x x y x Pdx+Qdy所以：u (x+Δx ,y )-u (x ,y )=⎰∆+),(),(y x x y x Pdx+Qdy=⎰∆+xx xP(x,y)dx=P(x+θΔx,y)Δx (0≤θ≤1)由P(x ,y )连续,有x u∂∂=x y x u y x x u x ∆-∆+→∆),(),(lim 0=0lim →∆x P(x+θΔx,y)=P(x,y)同理有：yu∂∂=Q(x,y)由于u (x ,y )=⎰),(),(00y x y x Pdx+Qdy 积分与路径无关,故选取平行于坐标轴的直线段连成的折线M 0RM 或者M 0SM 作为积分路径,则有：u (x ,y )=⎰xx 0P(x,y 0)dx+⎰yy 0Q(x,y)dy或 u (x ,y )=⎰yy 0Q(x 0,y)dy+⎰xx 0P(x,y)dx例6.验证：22y x ydxxdy +-在右半平面内(x >0)是某个二元函数的全微分,并求此函数.解 令 P=22yx y+-; Q=22yx x+ 则有： y P ∂∂=22222)(y x x y +-=x Q∂∂在右半平面内恒成立,从而22y x ydx xdy +-是某个二元函数的全微分.取右半平面的点(1,0)作为起点,则有：u (x ,y ) =⎰+-),()0,1(22y x y x ydxxdy=⎰+-ABy x ydx xdy 22+⎰+-BC y x ydxxdy 22=0+⎰+yy x xdy 022=xyarctan注：点(x 0,y 0)可在相应满足条件的区域内任意选取，求出的u (x ,y )可能相差一个常数．例7.验证：(3x 2y +8xy 2)dx +(x 3+8x 2y +12ye y)dy 是某二元函数的全微分,并求此函数.解 令P=3x 2y +8xy 2,Q=x 3+8x 2y +12ye y；则y P ∂∂=3x 2+16xy=xQ ∂∂在全平面内成立, 取积分起点为(0,0),路径如图：u (x ,y )=⎰OA+⎰AB=0+⎰y(x 3+8x 2y +12ye y)dy=[x 3y +4x 2y 2+12(y -1)e y]0y=x 3y +4x 2y 2+12(y -1)e y+12.下面介绍求u (x ,y )的另一方法： 因为y P ∂∂=3x 2+16xy=xQ ∂∂ 所以u (x ,y )=⎰(3x 2y +8xy 2)dx +φ(y )=x 3y +4x 2y 2+φ(y )又yu ∂∂=x 3+8x 2y +φ′(y)=Q=x 3+8x 2y +12ye y； 所以φ′(y)=12ye y,即：φ(y )=⎰12ye y dy =12(y -1)e y+C从而u (x ,y )=x 3y +4x 2y 2+12(y —1)e y+C.作业：P 2027(1)(2)(3),8(1)P 2039(1)(2),10(1),11 教学后记：复习思考题：1.在单连通区域G 内,如果P(x ,y)和Q(x ,y)具有一阶连续偏导数,且恒有Q Px y∂∂=∂∂,那么 (1)在G 内的曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰是否与路径无关?(2)在G 内的闭曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰是否为零?(3)在G 内P(x ,y)dx +Q(x ,y)dy 是否是某一函数u(x ,y)的全微分? 2.在区域G 内除M0点外,如果P(x ,y)和Q(x ,y)具有一阶连续偏导数,且恒有Q Px y∂∂=∂∂,G1是G 内不含M0的单连通区域,那么 (1)在G1内的曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰是否与路径无关?(2)在G1内的闭曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰是否为零?(3)在G1内P(x ,y)dx +Q(x ,y)dy 是否是某一函数u(x ,y)的全微分?3.在单连通区域G 内,如果P(x ,y)和Q(x ,y)具有一阶连续偏导数,Q Px y∂∂≠∂∂,但Q P x y∂∂-∂∂非常简单,那么 (1)如何计算G 内的闭曲线积分? (2)如何计算G 内的非闭曲线积分? (3)计算(sin 2)(cos 2)x x Le y y dx e y dy -+-⎰,其中L 为逆时针方向的上半圆周222(),0x a y a y -+=≥(讲授内容§11.4对坐标的曲面积分的概念§11.5对坐标的曲面积分的计算教学目的与要求：1、掌握对坐标的曲面积分的概念与性质;2、掌握对坐标的曲面积分的计算方法;3、掌握两类曲面积分之间的关系教学重难点：重点—对坐标的曲面积分的概念、计算方法.难点—１.计算曲面积分时，如何根据曲面的侧确定积分所带正负号．２．对坐标的曲面积分的物理意义：流体流量问题的理解教法方法：启发式教学法，以讲授法为主教学建议：学时：2学时教学过程一、对坐标的曲面积分的概念1、曲面的侧双侧曲面：若光滑曲面Σ是非封闭的,其边沿逐段光滑曲线为L.在Σ上任取一点M0,过点M0作法线,这法线有两个方向,认定其中一个作为M0点出发方向,当动点M从M0出发,沿完全落在Σ上的封闭曲线Γ(Γ不越过Σ的边沿曲线L)运动,再次回到点M0时：若法线的方向与原来的方向一致时,则称曲面Σ是双侧的;若法线的方向与原来的方向相反时,则称曲面Σ是单侧的.一般曲面都是双侧的.(以后总讨论双侧曲面).对封闭曲面Σ而言,其两侧是指内侧和外侧；其中法线方向指向朝外的一侧规定为外侧,另一侧为内侧.对非封闭曲面z =z (x ,y )而言,其两侧是指上侧和下侧.其中法向量与z 轴正向的夹角小于π/2的一侧为上侧.另一侧为下侧.同样,曲面有左侧、右侧;前侧、后侧.有向曲面：取定了法向量也即规定了侧的曲面称为有向曲面.1、 有向曲面的投影：设Σ是光滑有向曲面.在Σ上取一小曲面ΔS,(Δσ)xy 为ΔS 在xoy 面上的投影区域的面积.假定ΔS 上各点处的法向量与z 轴正向的夹角γ的余弦cos γ有相同的符号(即cos γ都是正的或都是负的)规定：ΔS 在xoy 面上的投影为： (ΔS)xy =⎪⎩⎪⎨⎧≡<∆->∆0cos ,0;0cos ,)(;0cos ,)(γγσγσxy xy即上侧曲面ΔS 的投影为正,下侧曲面的投影为负,cos γ≡0即(Δσ)xy =0.同理可定义ΔS 在xoz 面及yoz 面上的投影为：(ΔS)xz =⎪⎩⎪⎨⎧≡<∆->∆0cos ,0;0cos ,)(;0cos ,)(ββσβσxz xz(ΔS)yz =⎪⎩⎪⎨⎧≡<∆->∆0cos ,0;0cos ,)(;0cos ,)(αασασyz yz 其中α,β分别为法向量与x 轴正向和y 轴正向的夹角.2、 流向曲面一侧的流量设稳定流动(流速v 与时间t 无关)的不可压缩流体(设密度为1)的速度场为：v (x ,y ,z )=P(x ,y ,z )i +Q(x ,y ,z )j +R(x ,y ,z )k ,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数P(x ,y ,z ),Q(x ,y ,z ),R(x ,y ,z )在Σ上连续.流量：即单位时间内流向Σ指定侧的流体的质量.1）若Σ为平面上面积为A的一块闭区域,且流体在该闭区域上各点处的流速为常向量v,设n为该平面的单位法向量,则单位时间内流过这闭区域的流体质量为：|A|v|cosθ|=|A v·n|.其中θ=(v＾n)流向n侧的流体的质量,即流量Φ规定为：Φ=A v•n. 显然当(v＾n)<π/2时,流量为正；当(v＾n)=π/2时,流量为0；当(v＾n)>π/2时,流量为负,此时流体实际上流向-n侧,且流向-n的流量为-A v•n.2）若Σ为有向曲面,流体流向指定侧的流速为v(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k.现求流体流向指定侧的流量.将Σ划分为n个小片ΔS i(ΔS i也表示第i个小片的面积),在ΔS i上任取一点(ξi,ηi,ζi),以该点处的流速v(ξi,ηi,ζi)=P(ξi,ηi,ζi)i+Q(ξi,ηi,ζi)j+R(ξi,ηi,ζi)k代替ΔS i上各点处的流速,以该点处曲面Σ的单位法向量n i=cosαi i+cosβi j+cosγi k 代替各点处的单位法向量,则流体流向ΔS i指定侧的流量的近似值为：v i•n iΔS i(i=1,2,…,n)于是流体流向指定侧的流量为：Φ≈∑=n i 1v i •n i ΔS i=∑=n i 1[P(ξi ,ηi ,ζi )cos αi +Q(ξi ,ηi ,ζi )cos βi +R(ξi ,ηi ,ζi )cos γi ]ΔS i=∑=n i 1[P(ξi ,ηi ,ζi )(ΔS i )yz +Q (ξi ,ηi ,ζi )(ΔS i )xz +R(ξi ,ηi ,ζi )(ΔS i )xy ]令λ→0(λ为各小曲面的最大直径)则得流量Φ的精确值.3、 对坐标的曲面积分的定义定义：设Σ为光滑有向曲面.R(x ,y ,z )在Σ上有界,把Σ任意分成n 次,ΔS i (其面积也记作ΔS i )在xoy 面上的投影为(ΔS i )xy ,(ξi ,ηi ,ζi )为ΔS i 上的任意一点,λ为各小曲面的最大直径,若0lim →λ∑=ni 1R(ξi ,ηi ,ζi )(ΔS i )xy 存在,则称此极限为函数R(x ,y ,z )在有向曲面Σ上对坐标x ,y 的曲面积分,记作 ⎰⎰∑R(x,y,z)dxdy=0lim →λ∑=n i 1R(ξi ,ηi ,ζi )(ΔS i )xy其中R(x ,y ,z )为被积函数,Σ为积分曲面.同理P(x ,y ,z )在曲面Σ上的对坐标y ,z 的曲面积分为：(,,)d d P x y z y z ∑⎰⎰=0lim →λ∑=n i 1P(ξi ,ηi ,ζi )(ΔS i )x z ；Q(x ,y ,z )在曲面Σ上的对坐标x ,z 的曲面积分为：⎰⎰∑Q(x,y,z)dxdz=0lim →λ∑=n i 1Q(ξi ,ηi ,ζi )(ΔS i )xz ；合起来可写成：⎰⎰∑P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy5、对坐标的曲面积分的性质对坐标的曲面积分与对坐标的曲线积分具有相似的性质,如：1）⎰⎰∑+∑21Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=⎰⎰∑1Pdydz+Qdxdz+Rdxdy+⎰⎰∑2Pdydz+Qdxdz+Rdxdy2）⎰⎰∑-Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=-⎰⎰∑Pdydz+Qdxdz+Rdxdy ；因此对坐标的曲面积分必须注意曲面的所取的侧.二、对坐标的曲面积分的计算方法定理：设曲面Σ方程为z =z (x ,y ),取曲面Σ的侧为上侧,Σ在xoy 面上的投影区域为D xy ,函数z =z (x ,y )在D xy 上具有一阶连续的偏导数,R(x ,y ,z )在Σ上连续,则有：⎰⎰∑R(x,y,z)dxdy=⎰⎰xy D R[x,y,z(x,y)]dxdy证明：由于⎰⎰∑R(x,y,z)dxdy=0lim →λ∑=n i 1R(ξi ,ηi ,ζi )(ΔS i )xy因为所取曲面为上侧,所以cos γ>0,(ΔS i )x y =(Δσi)xy 又因(ξi ,ηi ,ζi )在曲面上,从而ζi =z(ξi ,ηi )于是有：∑=n i 1R(ξi ,ηi ,ζi )(ΔS i )xy =∑=n i 1R[ξi ,ηi ,z(ξi ,ηi )](Δσi)xy 令λ→0,则有：⎰⎰∑R(x,y,z)dxdy=⎰⎰xy D R[x,y,z(x,y)]dxdy当所取曲面为下侧时,由于 cos γ<0,(ΔS i )xy =-(Δσi)x y 所以 ⎰⎰∑R(x,y,z)dxdy=-⎰⎰xy D R[x,y,z(x,y)]dxdy注：对坐标的曲面积分的计算分两步：1）将曲面方程z =z (x ,y )代入R(x ,y ,z )中,在D xy 上作二重积分；2）定号：上侧取+,下侧取-同理若曲面Σ方程为：x =x (y ,z ),则有：⎰⎰∑P(x,y,z)dydz=±⎰⎰yz D P[x(y,z),y,z]dydz ；其中“+”对应曲面的前侧(cos α>0),“-”对应曲面的后侧(cos α<0)；若曲面Σ方程为：y =y (x ,z ),则有：⎰⎰∑Q(x,y,z)dxdz=⎰⎰xz D Q[x,y(x,z),z]dxdz其中“+”对应曲面的右侧(cos β>0),“-”对应曲面的左侧(cos β<0).例1计算⎰⎰∑++=dxdy z y x I 222；其中Σ是柱面x 2+y 2=4介于0≤z ≤1之间的部分,法向量指向oz 轴.解由于Σ在xoy 面上的投影区域的面积为0,即：(ΔS)xy =0,所以I=0.例2计算I=⎰⎰∑xyzdxdy,其中Σ是球面x 2+y 2+z 2=1=1的外侧在x ≥0和y ≥0的部分.解将Σ分为Σ1和Σ2两部分,其中 Σ1：z=-221y x --,取下侧； Σ2：z=221y x --,取上侧.Σ1和Σ2在xoy 面上的投影区域均为 D xy ： x 2+y 2≤1,x ≥0,y ≥0.I=⎰⎰∑xyzdxdy=⎰⎰∑1xyzdxdy+⎰⎰∑2xyzdxdy=-⎰⎰xy D xy(-221y x --)dxdy+⎰⎰xy D xy 221y x --dxdy =2⎰⎰xyD xy 221y x --dxdy =2⎰⎰-102201sin cos rdr r r r d θθθπ =2⎰20cos sin πθθθd ⎰-10231dr r r =2/15例3计算：I=⎰⎰∑(2x+z)dydz+zdxdy 其中Σ：z =x 2+y 2(0≤z ≤1),其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.解将Σ分为Σ1和Σ2两部分，其中Σ1：x=2y z -,取后侧；Σ2：x=-2y z -,取前侧.Σ1和Σ2在yoz 面上的投影区域均为 D yz ： y 2≤z ≤1.⎰⎰∑(2x+z)dydz=⎰⎰∑1(2x+z)dydz+⎰⎰∑2(2x+z)dydz=⎰⎰yz D (22y z -+z)dydz+⎰⎰yz D (-22y z -+z)dydz =-4⎰⎰yz D 2y z -dydz=-4⎰⎰--12112y dz y z dy =-4⎰--1112322])[(32dy y z y =-⎰--11232)1(38dy y =-316⎰-10232)1(dy y =-316⎰204cos πθθd=-22143316π•••=-π Σ在xoy 面上的投影区域均为D xy ： x 2+y 2≤1. Σ取上侧⎰⎰∑zdxdy=⎰⎰xy D (x 2+y 2)dxdy=⎰⎰10220rdr r d πθ=π/2 所以I=⎰⎰∑(2x+z)dydz+zdxdy=⎰⎰∑(2x+z)dydz+⎰⎰∑zdxdy=-π+(π/2)=-π/2注：对坐标的曲面积分的计算,当为组合型时,按照“一投、二代、三定号”的法则,先将单一型的曲面积分划为二重积分,然后再组合.这里：“一投”：将积分曲面Σ投向单一型曲面积分中指定的坐标面；“二代”：将Σ的方程化为投影面上两变量的显函数,再用此函数代替被积函数中的另一变量；“三定号”：依据Σ所取的侧,确定二重积分前面的所要取的“+”或“-”. 其中“+”对应于Σ的上侧或前侧或右侧；“-”对应于Σ的下侧或后侧或左侧. 作业：P 20314(1)(2)(4)(5)教学后记：复习思考题：计算I ∑=；其中Σ是柱面224x y +=介于0≤z ≤1之间的部分,法向量指向oz 轴.讲授内容§11.6高斯公式与斯托克斯公式教学目的与要求：1、理解并掌握高斯公式;2、掌握通量与散度的概念;会利用高斯公式计算曲面积分.3、理解并掌握斯托克斯公式及其证明;4、掌握向量场的环流量与旋度;会利用斯托克斯计算闭曲线上的曲线分. 教学重难点：重点—会用高斯公式，斯托克斯公式计算曲面、曲线积分.难点—高斯公式,散度.高斯公式的证明.斯托克斯公式,斯托克斯公式的证明. 教法方法：讲练结合教学法教学建议：学时：2学时教学过程一、高斯公式定理1设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成,函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数,则有⎰⎰⎰Ω(xP∂∂+yQ∂∂+zR∂∂)dv=⎰⎰∑Pdydz+Qdxdz+Rdxdy或⎰⎰⎰Ω(xP∂∂+yQ∂∂+zR∂∂)dv=⎰⎰∑(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS简要证明设Ω是一柱体,上边界曲面为∑1:z=z2(x,y),下边界曲面为∑2:z=z1(x,y),侧面为柱面∑3,∑1取下侧,∑2取上侧;∑3取外侧.根据三重积分的计算法,有⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂=∂∂Ωxy D y x z y x z dz z R dxdy dv z R ),(),(21 ⎰⎰-=xy D dxdy y x z y x R y x z y x R )]},(,,[)],(,,[{12另一方面,有⎰⎰⎰⎰∑-=1)],(,,[),,(1xy D dxdy y x z y x R dxdy z y x R⎰⎰⎰⎰∑=2)],(,,[),,(2xy D dxdy y x zy x R dxdy z y x R⎰⎰∑=30),,(dxdy z y x R以上三式相加,得⎰⎰⎰⎰-=∑xy D dxdy y x z y x R y x zy x R dxdy z y x R )]},(,,[)],(,,[{),,(12 所以⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=∂∂dxdy z y x R dv z R ),,(类似地有⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=∂∂dydz z y x P dv x P ),,(⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=∂∂dzdxz y x Q dv y Q ),,(把以上三式两端分别相加,即得高斯公式.例1利用高斯公式计算曲面积分()()x y dxdy y z xdydz ∑-+-⎰⎰,其中∑为柱面221x y +=及平面z =0,z =3所围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧. 解这里P =(y -z)x ,Q =0,R =x -y , z y x P -=∂∂0=∂∂y Q 0=∂∂z R由高斯公式,有dydzz y dxdy y x )()(-+-⎰⎰∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ-=-=dzd d z dxdydz z y θρρθρ)sin ()(29)sin (201030πθρρρθπ-=-=⎰⎰⎰dz z d d . 例2设函数u (x ,y ,z )和v (x ,y ,z )在闭区域Ω上具有一阶和二阶连续偏导数,证明：⎰⎰⎰ΩuΔvdxdydz=⎰⎰∑u n v ∂∂dS-⎰⎰⎰Ω(x u ∂∂x v ∂∂+y u ∂∂y v ∂∂+z u ∂∂z v ∂∂)dxdydz 或者 ⎰⎰⎰ΩuΔvdxdydz=⎰⎰∑un v ∂∂dS-⎰⎰⎰Ω(grad u•grad v)dxdydz 其中Σ是闭区域Ω的整个边界曲面,nv ∂∂为函数v (x ,y ,z )沿Σ的为法线方向的方向导数,符号：Δ=22x ∂∂+22y ∂∂+22z∂∂称为Laplace 算子. 此公式称为格林(Green)第一公式证明因为 n v ∂∂=xv ∂∂cosα+y v ∂∂cosβ+z v ∂∂cosγ 其中cosα,cosβ,cosγ是Σ上点(x ,y ,z )处的单位法向量的方向余弦,所以：⎰⎰∑u n v ∂∂dS=⎰⎰∑u(x v ∂∂cosα+y v ∂∂cosβ+z v ∂∂cosγ)dS gauss Ω[)(x v u x ∂∂∂∂+)(y v u y ∂∂∂∂+)(z v u z ∂∂∂∂]dxdydz =⎰⎰⎰ΩuΔvdxdydz+⎰⎰⎰Ω(x u ∂∂x v ∂∂+y u ∂∂y v ∂∂+z u ∂∂zv ∂∂)dxdydz 移项即得所需等式.例3设Σ为光滑封闭曲面,n 是Σ的外法线向量,l 为一固定向量,θ为n 与l 的夹角,证明：⎰⎰∑cosθdS=0.解可设：n =(cosα,cosβ,cosγ),l =(a ,b ,c ),且都是单位向量.Σ所围区域为Ω,则cosθ=|l ||n l n |•=acosα+bcosβ+ccosγ 所以：⎰⎰∑cosθdS=⎰⎰∑(acosα+bcosβ+ccosγ)dS=⎰⎰⎰Ω0dv=0二、通量与散度高斯公式的物理意义:将高斯公式dS R Q P dv z R y Q x P )cos cos cos ()(⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=∂∂+∂∂+∂∂γβα改写成⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=∂∂+∂∂+∂∂dS v dv z R y Q x P n)(其中vn =v ⋅n =Pcos α+Qcos β+Rcos γ,n ={cos α,cos β,cos γ}是∑在点(x ,y ,z)处的单位法向量.公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域Ω的流体的总质量,左端可解释为分布在Ω内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量.散度:设Ω的体积为V ,由高斯公式得⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=∂∂+∂∂+∂∂dS v V dv z R y Q x P V n1)(1其左端表示Ω内源头在单位时间单位体积内所产生的流体质量的平均值. 由积分中值定理得⎰⎰∑=∂∂+∂∂+∂∂dS v V z R y Q x P n 1|)(),,(ζηξ令Ω缩向一点M(x ,y ,z)得⎰⎰∑→Ω=∂∂+∂∂+∂∂dS v V z R y Q x P nM 1lim上式左端称为v 在点M 的散度,记为divv ,即z R y Q x P ∂∂+∂∂+∂∂=v div其左端表示单位时间单位体积分内所产生的流体质量.一般地,设某向量场由A(x ,y ,z)=P(x ,y ,z)i +Q(x ,y ,z)j +R(x ,y ,z)k给出,其中P ,Q ,R 具有一阶连续偏导数,∑是场内的一片有向曲面,n 是∑上点(x ,y ,z)处的单位法向量,则A ndS ∑⋅⎰⎰叫做向量场A 通过曲面∑向着指定侧的通量(或流量),而P Q R x y z∂∂∂++∂∂∂叫做向量场A 的散度,记作divA ,即z R y Q x P ∂∂+∂∂+∂∂=A div高斯公式的另一形式:divAdv A ndS Ω∑=⋅⎰⎰⎰⎰⎰,或ndivAdv A dS Ω∑=⎰⎰⎰⎰⎰ 其中∑是空间闭区域Ω的边界曲面,而An =A ⋅n =Pcos α+Qcos β+Rcos γ是向量A 在曲面∑的外侧法向量上的投影.三、斯托克斯公式定理1设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线,∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面,Γ的正向与∑的侧符合右手规则,函数P(x ,y ,z)、Q(x ,y ,z)、R(x ,y ,z)在曲面∑(连同边界)上具有一阶连续偏导数,则有dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂∑⎰⎰⎰Γ++=Rdz Qdy Pdx记忆方式:⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂Rdz Qdy Pdx R Q P z y x dxdy dzdx dydz或⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂Rdz Qdy Pdx dS R Q P z y x γβαcos cos cos其中n =(cos α,cos β,cos γ)为有向曲面∑的单位法向量.讨论:如果∑是xOy 面上的一块平面闭区域,斯托克斯公式将变成什么?例1利用斯托克斯公式计算曲线积分zdx xdy ydz Γ++⎰,其中Γ为平面x +y +z =1被三个坐标面所截成的三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.解设∑为闭曲线Γ所围成的三角形平面,∑在yOz 面、zOx 面和xOy 面上的投影区域分别为Dyz 、Dzx 和Dxy ,按斯托克斯公式,有dydz dzdx dxdyzdx xdy ydz xy z z x yΓ∑∂∂∂++=∂∂⎰⎰⎰ ⎰⎰∑++=dxdy dzdx dydz 23 3==++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xy xy zx yz D D D D dxdy dxdy dzdx dydz .例2利用斯托克斯公式计算曲线积分dzy x dy x z dx z y I )()()(222222-+-+-=⎰Γ,其中Γ是用平面32x y z ++=截立方体:0≤x ≤1,0≤y ≤1,0≤z ≤1的表面所得的截痕,若从x 轴的正向看去取逆时针方向.解取∑为平面32x y z ++=的上侧被Γ所围成的部分,∑的单位法向量n =,即cos cos cos αβγ===按斯托克斯公式,有 ⎰⎰⎰⎰∑∑++-=---∂∂∂∂∂∂=dS z y x dS y x x z x y z y x I )(34313131222222.⎰⎰⎰⎰-=⋅-=∑xy D dxdy dS 3322334其中Dxy 为∑在xOy 平面上的投影区域,于是294366-=⋅-=-=⎰⎰xy D dxdy I⎰⎰⎰⎰∑∑+++++-=---∂∂∂∂∂∂=dxdy y x dzdx z x dydz z y y x x z z y z y x dxdy dzdx dydz I )()()(2222222提示: )(34cos cos cos 222222z y x y x x z x y z y x ++-=---∂∂∂∂∂∂γβαdxdy dS 222111++=⎰⎰⎰⎰∑∑⋅-=++-=dS dS z y x I 2334)(34296332-=-=-=⎰⎰⎰⎰xyxy D D dxdy dxdy四、环流量与旋度旋度:向量场A =(P(x ,y ,z),Q(x ,y ,z),R(x ,y ,z))所确定的向量场 k j i )()()(y P x Q x R z P z Q y R ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂称为向量场A 的旋度,记为rotA ,即k j i A )()()(y P x Q x R z P z Q y R ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=rot旋度的记忆法:R Q P z y x ∂∂∂∂∂∂=kj i A rot斯托克斯公式的另一形式:⎰⎰⎰Γ∑⋅=⋅dsdS τA n A rot或⎰⎰⎰Γ∑=dsA dS n τ)(A rot其中n 是曲面∑上点(x ,y ,z)处的单位法向量,τ是∑的正向边界曲线Γ上点(x ,y ,z)处的单位切向量.沿有向闭曲线Γ的曲线积分⎰⎰ΓΓ=++ds A Rdz Qdy Pdx τ叫做向量场A 沿有向闭曲线Γ的环流量.上述斯托克斯公式可叙述为:向量场A 沿有向闭曲线Γ的环流量等于向量场A 的旋度场通过Γ所张的曲面∑的通量.作业：P 20415(1)(2)(3)教学后记：复习思考题：计算222(-)(-)(-),SI y x dydz z y dxdz x z dxdy =++⎰⎰其中Σ为曲面222z x y =--与平面z=0所围立体的表面外侧.讲授内容§11.7两类曲线积分、曲面积分的联系教学目的与要求：1、掌握两类曲线积分之间的联系．2、掌握两类曲面积分之间的联系．3、会用两类曲线、曲面积分之间的关系解题.教学重难点:重点—两类曲面、曲线积分的相互转化关系难点—如何用两类积分的转化公式简化曲线、曲面积分计算.教学方法：讲练结合教学法教学建议：学时：２学时教学过程一、两类曲线积分之间的联系由定义,得⎰⎰+=+L L ds Q P Qdy Pdx )sin cos (ττ⎰⎰⋅=⋅=L L d ds Q P r F }sin ,{cos },{ττ,其中F ={P ,Q},T ={cos τ,sin τ}为有向曲线弧L 上点(x ,y)处单位切向量,dr =Tds ={dx ,dy}. 类似地有⎰⎰ΓΓ++=++ds R Q P Rdz Qdy Pdx )cos cos cos (γβα⎰⎰ΓΓ⋅=⋅=r F d ds R Q P }cos ,cos ,{cos },,{γβα.其中F ={P ,Q ,R},T ={cos α,cos β,cos γ}为有向曲线弧Γ上点(x ,y ,z)处单们切向量,dr =Tds ={dx ,dy ,dz}.二、两类曲面积分之间的联系设积分曲面∑由方程z =z(x ,y)给出的,∑在xOy 面上的投影区域为Dxy ,函数z =z(x ,y)在Dxy 上具有一阶连续偏导数,被积函数R(x ,y ,z)在∑上连续.如果∑取上侧,则有⎰⎰⎰⎰=∑xy D dxdyy x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,(另一方面,因上述有向曲面∑的法向量的方向余弦为221cos y x xz z z ++-=α221cos y x y z z z ++-=β2211cos y x z z ++=γ故由对面积的曲面积分计算公式有⎰⎰⎰⎰=∑xy D dxdyy x z y x R dS z y x R )],(,,[cos ),,(γ由此可见,有⎰⎰⎰⎰∑∑=dSz y x R dxdy z y x R γcos ),,(),,(如果∑取下侧,则有⎰⎰⎰⎰-=∑xy D dxdyy x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,( 但这时cos γ=,因此仍有⎰⎰⎰⎰∑∑=dSz y x R dxdy z y x R γcos ),,(),,(类似地可推得⎰⎰⎰⎰∑∑=dSz y x P dydz z y x P αcos ),,(),,(。
第十一章 电解与库仑分析法
控制 i = 0.5 — 2A 电解过程中Φa ↑, ΦC ↓，要 使 i 不变调 R↓
2021/7/16
9
要使某一物质在阴极上还原析出， ΦC要比ΦdC稍 负
2.控制电位电解分析法
• （1）恒电位的选定
• 0.1mol·L-1Ag+和1mol·L-1Cu2+混合溶液，
二控制电位库仑分析法?一仪器装置及电量的测定?1电化学库仑计银库仑计微库仑计测量电量10库仑氢氧库仑计q10库仑准确度0121?2电子库仑计?控制电位电解分析装置库仑计电流时间积分仪q控制电位库仑分析仪器装置比较221氢氧气体库仑计结构?电解管a内电解液05moll1na2so423外恒温水浴套d?刻度管b测量h2o2体积2氢氧气体库仑计工作原理2h2o4ho24e2h2eh2或2h2o2eh22oh0时每库仑电量析出vh2数
∵ Φd,Ag >Φd,Cu ∴ Ag 先在阴极上析出
②析出完全时， 〔Ag+〕=10-6 mol/L ΦC =0.80 + 0.0592 lg 10-6 = 0.44v 〉0.35v
∴ Ag 和 Cu 能 分离完全
2021/7/16
8
11-2电解分析方法及其应用
1.恒电流电解法
• 1.原理 • U= (Φa- ΦC)+i(r+R)
2021/7/16
5
（3）分解电压和析出电位的关系
• ①析出电位更具有实用意义 • ②理论上 Ud= Φda- ΦdC • 上例中 Ud= 1.23-0.345=0.885v • 实际 Ud实=1.50v Ud实 〉 Ud理
2021/7/16
6
由于电解过程发生极化现象，产生超电位
第11章 电势分析法
玻璃电极 10
a1 E外 k1 0.059lg a1
a2 E内 k2 0.059lg a2
a1 E膜 E 外 E 内 0.059lg a2
E膜 K 0.059lg a 1 K 0.059pH E玻 = K′- 0.059pH试
无机及分析化学
试
11
√
无机及分析化学
5
√
思考1、一定温度下，甘汞电极的电势主要取决 于 。 A. Cl－的浓度 B. H＋的浓度 C. Hg的质量 D. Hg2Cl2的质量 思考2、 在电势分析法中，作为参比电极，其要 求之一是电极 。 A.电势应等于零 B.电势与温度无关 C.电势在一定条件下为定值 D.电势随试液中被测离子活度变化而变化
思考3、 pH玻璃电极的响应机理与膜电势的产生是由 于 。 A. H+在玻璃膜表面还原而传递电子 B. H+进入玻璃膜的晶格缺陷而形成双电层结构 C. H+穿透玻璃膜而使膜内外H+产生浓差而形成双电层结构 D. H+在玻璃膜表面进行离子交换和扩散而形成双电层结构
思考4、参比电极的电极电势与待测成分的浓度之间 （ ）。 A. 符合能斯特方程 B. 符合质量作用定律 C. 符合阿仑尼乌斯公式 D. 以上答案都不正确
第十一章 电势分析法
学习要求： 1、熟悉电势分析法的基本原理； 2、了解直接电势法和电势滴定法的有关应用。
无机及分析化学
1
§11－1 电势分析法的基本原理
一、基本原理 三、指示电极 二、参比电极用
一、直接电势法
二、电势滴定法
无机及分析化学
2
电势分析法的特点：
无机及分析化学
3
§11－1 电势分析法的基本原理
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十一章 BHAR法
本章导读：
事件研究法是探讨事件 (如合并、 收购、 收益公告或再融资行为等 )发生前后标的
公司股票价格 (或企业价值 )反应的经验研究方法。基于检验期的长短 ,事件研究可分为
短期和长期事件研究。短期事件研究通常是指检验期小于一年的事件研究 ,而长期事件研
究则是指检验期人于等于 1年的事件研究。应该说 ,长期事件研究是对短期事件研究的延
伸 ,其直接目的是检验公司事件 (如首发、 增发、 收益公告等 )的长期效应 ,但也间接
地检验了市场有效性假说。本章是第九章的一个延伸或补充。
11.1 BHAR法简介
BHAR（Buy and Hold Abnormal Return），即购入 -持有异常收益法。无论是短期事
件研究 ,还是长期事件研究 ,都包含以下六大步骤 ,即定义事件以及事件研究窗口、 选择
研究样本、 选择望收益模型或基准收益率、 估计异常收益、 检验异常收益的显着性、 实
证结果与解释。然而 ,在长期事件研究中 ,正确选择期望攻益模型或基准收益率、 正确度
量异常收益 ,以及正确看待异常收益的统计显着性 ,变得尤其重要。(详细说明参考第九
章)
BHAR的计算公式为:
其中，itR表示t月样本公司的股票收益率，)(itRE表示t月样本公司的股票期望收益率，T
表示考察的时间区间。
11.2 BHAR与CAR的比较
CAR法只是对收益的简单累积，没有考虑到上一个时间段的收益产生对下一个时间段收
益的影响，不同时间段的收益的基础已经发了变化，即CAR没有考虑复合效应对超额收益的
影响。举例说明如假设某公司四、五月份实际收益率分别为：15%和5%，而预期收益率为10%，
则
CAR=(15%-10%)+(5%-10%)=0，
BHAR=(1+15%)(1+5%)-(1+10%)2=-0.25%
如果调整数据二者的差距将进一步拉大。
11.3 BHAR 程序及解释
根据第九章方法计算出公司的预期收益收益以后，接下来就需要计算BHAR。计算BHAR
首要的步骤就是要解决连乘问题，而stata中恰有一连乘命令prod。
11.3.1 下载连乘函数prod
第一步：找prod下载地址
第一种方法：在stata命令对话框中输入如下命令： findit dm71,回车后弹出如下对话框。
（如图11.1）
图11.1
第二种方法：
⑴点击stata菜单栏上的help(如图11.2)，然后选择search
图11.2
⑵ 弹出如下对话框（如图11.3），选择search all，在keywords栏输入dm71，点击OK，同
样可以弹出如图11.1所示对话框。
图11.3
第二步，安装prod
⑴ 得到如图11.1后，可以找到以下网址：dm71 from （参见图11.1中黑色标记部分），
点击后弹出如图11.4所示对话框。
图11.4
⑵点击click here to install 来安装prod命令，如图11.5即安装完成，此时你可以
在stata命令栏中调用此函数了。
如11.5
注：此处只注明下载prod函数，其他的的函数下载方法与此完全一样，前提是你必须知道
函数的名字。
11.3.2 prod连乘函数的应用
根据第九章的事件研究法（短期）的相关步骤，我们可以用市场模型估计出公司i第t
期的预期股票收益率)(itRE，同时我们也具有公司i第t期的实际的股票收益率itR，此时事
件期的时间窗口为T。则计算BHAR的基本命令如下：
sort dm date
/*对公司和日期排序*/
gen r1=1+r
/*r为实际公司的股票收益率*/
gen r2=1+r_yq
/*r_yq为公司的预期股票收益率*/
egen r3 = prod(r1), by(dm date)
/*求每个公司每个事件日的累计复合收益率*/
egen r4 = prod(r2), by(dm date)
/*求每个公司每个事件日的累计预期的复合收益率*/
gen R=r4-r
3
/*计算BHAR*/