数学物理方法3-4

P61.1

P62.5.2

P82.3求解无限长细杆的热传导（无热源）问题

200, (,0)|() t xx t u a u x t u x ϕ=⎧−=−∞<<∞>⎨=⎩

【解】 作傅氏变换，[(,)](,)u x t U t ω=F [()]()x ϕω=ΦF

定解问题变换为

22(,)0(,0)()U a U t U ωωωω'⎧+=⎨

=Φ⎩ 常微分方程的初值问题的解是

22

(,)()a t U t e ωωω−=Φ 再进行逆傅里叶变换，

22221i i i 1(,)[(,)]()d 2π1 [()d ]d 2πa t x a t x u x t U t e e e e e ωωωξωωωωωϕξξω∞−−−∞

∞∞−−−∞−∞==Φ=⎰⎰⎰F 交换积分次序得

22i ()1(,)()[d ]d 2πa t x u x t e e ωωξϕξωξ∞∞−−−∞−∞=⎰⎰ 引用积分公式 2

222

4πd ()e e e βσωβωσωσ∞−−∞=⎰

且令 ,i()a t x σβξ==− 以便利用积分公式，即得到

2

2()41(,)()[]d 2πx a t u x t e a t ξϕξξ

−−∞−∞=⎰

P83.9 第三章：用积分变换解下列问题：

⎪

⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=>+=>>=∂∂∂==.0,1,0,

1,0,0,1002x u y y u y x y

x u y x

解：令 dx e y x u y s u sx −+∞⎰=0),(),(~

对泛定方程关于变量x 取拉普拉斯变换得

s u L xy 1][= 由拉普拉斯变换的定义及微分性质，有

[][][][]1~1),(~),0(),(][),(),(][00−=−−∂∂=−∂∂=∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂==−∞+−+∞

⎰⎰dy u d s y y x u s y y u y x u sL y u L y dx e y x u y dx e y x u u L x sx x sx xy xy

即得 s dy

u d s 11~=− 解之得

c y s s y s u ++=21),(~ 因

s dx e dx e x u s u sx sx 1)0,()0,(~00===−∞+−∞+⎰⎰ 所以可得

s y s s y s u 11),(~2++= 取逆变换得

1111),(121++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=−−y xy s L s s yL y x u

P83.10 第三章 ：求上半平面内静电场的电位，即解下列定解问题 22200,0,,|(),,

lim 0y x y u y x u f x x u =+→∞⎧∇=>−∞<<+∞⎪⎪=−∞<<+∞⎨⎪=⎪⎩

解：有原题的x 值的取值范围可知，此题可用傅里叶变换求解，则令：

(,)(,),()()jwx jwx U w y u x y e dx F w f x e dx −−+∞+∞==−∞−∞⎰⎰

对方称两边对x 求傅里叶变换可得：222()0U jw U y

∂−=∂，

其解的形式为:12(,)wy wy U w y c e c e −=+（1）在对条件进行变换可得： (,)(),lim (,)0y U w y F w U w y →∞

== （2） 代入（1）式中有12()c c F w += 则： 11(,)(())wy wy U w y c e F w c e −=+−， 此时可分类讨论：

1）当w=0时，U （w,y ）=F(w);

2）当w<0时，要满足条件（2），则需C 2=0，有(,)()wy U w y F w e −=

3）当w>0时，同理需要C 1=0，则有(,)()wy U w y F w e =

综上所述，可得：||(,)()w y U w y F w e −=

又有逆变换1|w|y |w|y 221[]2()

jwx y F e e e dw x y ππ−−−+∞=∂=−∞+⎰ 则可得u （x,y ）的表达式为：

1||22221(,)[()]()*()()()w y y y U x y F F w e f x f d x y y x ππ−−+∞===−∞++−⎰τττ