空间位置关系的判断与证明学习资料

空间位置关系的判断

与证明

空间中的线面关系

要求层

次

重难点

空间线、面的位置

关系

B

①理解空间直线、平面位置关系

的定义，并了解如下可以作为推理

依据的公理和定理．

◆公理1：如果一条直线上的

两点在一个平面内，那么这条直线

上所有的点在此平面内．

◆公理2：过不在同一条直线

上的三点，有且只有一个平面．

◆公理3：如果两个不重合的

平面有一个公共点，那么它们有且

只有一条过该点的公共直线．

◆公理4：平行于同一条直线

的两条直线互相平行．

◆定理：空间中如果一个角的

两边与另一个角的两边分别平行，

那么这两个角相等或互补．

②以立体几何的上述定义、

公理和定理为出发点，认识和理解

空间中线面平行、垂直的有关性质

与判定．

公理1，公理2，公

理3，公理4，定理

*

A

高考要求

模块框架

空间位置关系的判断与证明

*公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．

定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

1．集合的语言：

我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系：

点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ∉； 点A 在平面α内，记作：A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉； 直线l 在平面α内（即直线上每一个点都在平面α内），记作l α⊂； 直线l 不在平面α内（即直线上存在不在平面α内的点），记作l α⊄； 直线l 和m 相交于点A ，记作{}l m A =，简记为l m A =； 平面α与平面β相交于直线a ，记作a αβ=． 2．平面的三个公理：

⑴ 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所

有的点都在这个平面内． 图形语言表述：如右图：

α

B

l

A

符号语言表述：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂

⑵ 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，

也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面． 图形语言表述：如右图，

α

C

B

A

符号语言表述：,,A B C 三点不共线⇒有且只有一个平面α， 使,,A B C ααα∈∈∈．

⑶ 公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且

只有一条过这个点的公共直线． 图形语言表述：如右图：

A

αa

β

符号语言表述：,A a A a αβαβ∈⇒=∈．

如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线．

知识内容

3．平面基本性质的推论：

推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

4．共面：如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面内，那么我们说它们共面．

<教师备案>1．公理１反映了直线与平面的位置关系，由此公理我们知道如果一条直线与一个平面有公共点，那公共点要么只有一个，要么直

线上所有点都是公共点，即直线在平面内．

2．公理２可以用来确定平面，只要有不在同一条直线上的三点，

便可以得到一个确定的平面，后面的三个推论都是由这个公理得

到的．要强调这三点必须不共线，否则有无数多个平面经过它

们．

确定一个平面的意思是有且仅有一个平面．

3．公理３反应了两个平面的位置关系，两个平面（一般都指两个

不重合的平面）只要有公共点，它们的交集就是一条公共直

线．此公理可以用来证明点共线或点在直线上，可以从后面的例

题中看到．

4．平面基本性质的三个公理是不需要证明的，后面的三个推论都

可以由这三个公理得到．推论１与２直接在直线上取点，利用公

理１与２便可得到结论，推论３是由平行的定义得到存在性的，

再由公理２保证唯一性．

线线关系与线面平行

1．平行线：在同一个平面内不相交的两条直线．

平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．

公理４（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行；

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．

2．空间中两直线的位置关系：

⑴共面直线：平行直线与相交直线；

⑵异面直线：不同在任一平面内的两条直线．

3．空间四边形：顺次连结不共面的四点所构成的图形．

这四个点叫做空间四边形的顶点；所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．

如右图中的空间四边形ABCD，它有四条边,,,

AB BC CD DA，两条对角线AC BD．

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