ch43 -协方差和相关系数 副本

P(Y t0 X ) 1
时, 等式成立.
Ch4-99
相关系数的性质
| | 1 XY | XY | 1
Cauchy-Schwarz不等式 的等号成立 即Y 与X 有线性关 ( X EX ) / D( X ) , Y (Y EY ) / D(Y ) .
x 1 1 y 2 2

s
t 2 1 2
1 2



ste

1 2 1 2 ( s t ) t 2 2 2 (1 )
dsdt
令 s t u

1 2
2
2 1



t ( t u )e

| cov( X , Y ) | D( X ) D(Y )
2
Ch4-95
当D(X ) > 0, D(Y ) > 0 时，当且仅当
P Y E (Y ) t0 [ X E ( X )] 1
时, 等式成立 — Cauchy-Schwarz不等式
证 令 g (t ) E [ Y E (Y )] t[ X E ( X ) ]
D( X Y ) D( X ) D(Y )
X , Y 不相关
X ,Y 相互独立
若 ( X , Y ) 服从二维正态分布， X , Y 相互独立 X , Y 不相关
例4 设 ( X ,Y ) ~ N ( 1,4; 1,4; 0.5 ), Z = X + Y , 求 XZ 解 E ( X ) E (Y ) 1, D( X ) D(Y ) 4,
g (t0 ) 0 即 2 E[(Y E (Y )) t0 ( X E ( X ))] 0 显然 E[(Y E (Y )) t0 ( X E ( X ))] 0
cov( X , Y ) D(Y ) t0 D( X ) D( X )
为（X , Y ）的协方差矩阵
可以证明 协方差矩阵 为 半正定矩阵
Ch4-88
若D (X ) > 0, D (Y ) > 0 ,称
( X E ( X ))(Y E (Y ) cov( X , Y ) E D( X ) D(Y ) D( X ) D(Y )
为X ,Y 的 相关系数，记为





Ch4-100
XY 1
XY 1
cov( X , Y ) 0
PY X 1

cov( X , Y ) 0
PY X 1


XY 0
Ch4-101
X , Y 不相关
cov( X , Y ) 0 E ( XY ) E ( X ) E (Y )
1 2 t 2 2 (1 ) 2
u2
dudt
Ch4-93
1 2 e 2 2 1
1 2
u2 2 (1 2 )
du t e
12 2 t 2
dt
XY
若 ( X ,Y ) ~ N ( 1, 12, 2, 22, ), 则X ,Y 相互独立 X ,Y 不相关
协方差和相关系数的性质
协方差的性质
Ch4-94
cov( X , Y ) cov(Y , X )
E ( XY ) E ( X ) E (Y )

cov( aX , bY ) ab cov( X , Y )
cov( X Y , Z ) cov( X , Z ) cov(Y , Z ) cov( X , X ) D( X )
Ch4-86
§ 4.4 协方差和相关系数
问题 对于二维随机变量(X ,Y ): 已知联合分布 边缘分布
对二维随机变量,除每个随机变量各自 的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系 问题是用一个怎样的数去反映这种联系.
数 E [ X E ( X )][Y E (Y )]
反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系
E ( XY ) p,
cov( X , Y ) pq, XY 1
Ch4-92
例2 设 ( X ,Y ) ~ N ( 1,12;2,22 ; ), 求XY 解 cov( X , Y ) ( x 1 )( y 2 ) f ( x, y )dxdy
D[(Y E (Y )) t0 ( X E ( X ))] 0
Ch4-97
P[(Y E (Y )) t0 ( X E ( X )) 0] 1
P[(Y E (Y )) t0 ( X E ( X )) 0] 1
即
P[(Y E (Y )) t0 ( X E ( X ))] 1
Ch4-87
协方差和相关系数的定义
定义 称 E [ X E ( X )][Y E (Y )]
为 X ,Y 的协方差. 记为
cov( X , Y ) E [ X E( X )][Y E(Y )]
称
cov( X , Y ) D( X ) D(Y ) cov( X , Y )
若 ( X ,Y ) 为离散型，
cov( X , Y ) [ xi E ( X )][ y j E (Y )]pij
i 1 j 1


若 ( X ,Y ) 为连续型，
cov( X , Y )



[ x E ( X )][ y E (Y )] f ( x, y )dxdy
即 Y 与 X 有线性关系的概率等于1, 这种 线性关系为
Y E (Y ) X E( X ) P 1 D( X ) D(Y )
Ch4-98
完全类似地可以证明
E ( XY ) E ( X ) E (Y )
2 2 2
当E(X 2) > 0, E(Y 2 ) > 0 时,当且仅当
Ch4-102
XY 1/ 2, cov( X ,Y ) 2
cov( X , Z ) cov( X , X ) cov( X ,Y ) 6 D( Z ) D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2 cov( X , Y ) 12

XZ 3/ 12 3/ 2 .
XY
cov( X , Y ) D( X ) D(Y )
无量纲 的量
cov( X , Y ) 事实上， XY
若 XY 0, 称 X ,Y 不相关.
协方差和相关系数的计算
Ch4-89
cov( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y ) 1 D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2
Ch4-90
例1 已知 X ,Y 的联合分布为
Y
pij X
1 p 0
0 0 q 0 < p <1 p+q=1
1
0
求 cov (X ,Y ), XY
解
X P 1 0 Y P 1 0 XY P 1 0
p q
p q
p
q
Ch4-91
E ( X ) p, E (Y ) p, D( X ) pq, D(Y ) pq,
2
2
D(Y ) 2t cov( X , Y ) t D( X ) 对任何实数 t , g (t ) 0
Ch4-96
4 cov ( X , Y ) 4 D( X ) D(Y ) 0
2
即 | cov( X , Y ) | D( X ) D(Y )
2
等号成立
g (t ) 0 有两个相等的实零点