概率论与数理统计：协方差和相关系数

协方差和相关系数
对二维随机变量),(Y X ，我们除了讨论X 与Y 的期望和方差之外，还
需讨论X 与Y 之间相互关系的数字特征，本节主要讨论这方面的数字特征。

§ 协方差和相关系数 协方差的定义与性质
定义 设(,)X Y 是二维随机变量.若{[()][()]}E X E X Y E Y --存在,则称它为随
机变量
X 与Y 的协方差,记为Cov(,)X Y ,即
Cov(,){[()][()]}X Y E X E X Y E Y =--.
常用下面的式子计算协方差
Cov(,){[()][()]}X Y E X E X Y E Y =--()()()E XY E X E Y =-.
注：（1）X 与Y 的协方差),(Y X Cov 实质上是二维随机变量X 与Y 的函数
)]([()]([(Y E Y X E X -⋅-的期望，它是一个常数。

（2）当),(Y X 为二维离散型随机变量时，其分布律为
}{),2,1,,2,1(,, =====j i y Y x X P P j i ij ，则
ij i i j
i P Y E y X E x Y X Cov )]()][([),(1
1
--=
∑∑∞=∞
=；
（3）当),(Y X 为二维连续型随机变量时，),(y x f 为),(Y X 的联合概率密度函数，则dxdy y x f Y E y X E x Y X Cov ),())(())((),(--=
⎰⎰
+∞∞-+∞
∞
-。

（4）利用期望的性质可得到协方差有下列计算公式：
)()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=
证明：
)
()()( )()()()()()()( )]
()()()([ )]
())(([(),(Y E X E XY E Y E X E Y E X E Y E X E XY E Y E X E Y XE Y X E XY E Y E Y X E X E Y X Cov -=+--=+--=--=
此公式是计算协方差的重要公式，特别地取Y X =时，有
)()]())(([(),(X D X E X X E X E X X Cov =--=，易见，方差是协方差的特例，协
方差是方差的推广。

例4.39 已知),(Y X 的联合分布律为
求),(Y X Cov 。

解：X 的边缘分布：
Y 的边缘分布：
8.08.012.00)(2
1=⨯+⨯==
•
=∑i i
i p x X E ，
1.01.019.00)(21
=⨯+⨯==
•
=∑j i
i p y Y E ，
0118.0011.0101.000)(21
2
1
=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==
∑∑==ij i j j
i p y x XY E 08.01.08.00)()()(),(-=⨯-=-=Y E X E XY E Y X Cov 一般讲，)()
()(Y E X E XY E ≠ 例4.40 已知二维随机变量),(Y X 的分布律为
求Cov(,)X Y .
解 易知,
X
的分布律为
{0}0.4P X ==, {1}0.25P X ==, {2}0.35P X ==.
Y 的分布律为
{1}0.5P Y =-=, {0}0.3P Y ==, {2}0.2P Y ==.
因而 ()00.410.2520.350.95E X =⨯+⨯+⨯=,
()(1)0.500.320.20.1E Y =-⨯+⨯+⨯=- ()0(1)0.15000.25020E XY =⨯-⨯+⨯⨯+⨯⨯1(1)0.15100.05+⨯-⨯+⨯⨯+120.05⨯⨯
2(1)0.2200220.15+⨯-⨯+⨯⨯+⨯⨯0.15=.
于是 Cov(,)()()()X Y E XY E X E Y =-0.150.95(0.1)0.245=-⨯-=.
例4.41 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为
01,01,
(,)0x y x y f x y +≤≤≤≤⎧=⎨
⎩，，
其他, 求 Cov(,)X Y . 解 因为
11
00
()(,)d d ()d d E X x f x y x y x x y x y +∞
+∞
-∞
-∞
=⋅=⋅+⎰
⎰
⎰
⎰
1
017
()d 212
x x x =+=⎰, 11
00
()(,)d d ()d d E Y y f x y x y y x y x y +∞+∞
-∞
-∞
=
⋅=⋅+⎰⎰
⎰
⎰
1017()d 212
y y y =+=⎰
11
001()(,)d d ()d d 3
E XY xyf x y x y xy x y x y +∞
+∞
-∞
-∞
==⋅+=
⎰
⎰
⎰
⎰ 所以
Cov(,)()()()X Y E XY E X E Y =-.1441
12712731-=⨯-
=
例4.42 设),(Y X 服从在D 上的均匀分布，其中D 由X 轴、Y 轴及1=+y x 所围成，
求X 与Y 的协方差 ),(Y X Cov 。

解：∵D 的面积为2
1
=
S ⎩
⎨⎧∈=∴其他,0),(,2),(D
y x y x f
3
1)22(2)(10
2
1010=-==
⎰⎰⎰-dx x x xdydx X E x
3
1
)1(2)(1021010=-==⎰⎰⎰-dx x ydydx Y E x
12
1
)2()1(2)(1
322
1
1010
=
+-=-==
⎰⎰⎰⎰
-dx x x x dx x x xydydx XY E x
, 36
1
3131121)()()(),(=
⨯-=
-=Y E X E XY E Y X Cov 协方差的性质： 性质1 Cov(,)
Cov(,)X Y Y X =.
性质2
2
Cov(,){[()]}()X X E X E X D X =-=
.
性质3 Cov(,)
Cov(,)aX bY ab X Y =,其中,a b 为任意常数.
性质4 Cov(,)0c X =, c 为任意常数.
性质5 Cov()Cov(,)Cov(,)X Y Z X Z Y Z +=+，. 性质6 ()()()2Cov(,)D X
Y D X D Y X Y ±=+±.
例 4.43设随机变量
X ～)5.0,
12(B ，Y ～)1,0(N ，1),(-=Y X Cov ，求134++=Y X V 与Y X W 42+-=的方差与协方差。

解：3)5.01(5.012)1()(,65.012)(=-⨯⨯=-==⨯==p np X D np X E
1)(,0)(2====σμX D Y E
33),(24)(9)(16)134()(=++=++=Y X Cov Y D X D Y X D V D
44),(16)(16)(4)42()(=-+=+-=Y X Cov Y D X D Y X D W D
22
)(12),(6),(16)(8 )
42,134(),(-=+-+-=+-++=Y D X Y Cov Y X Cov X D Y X Y X Cov W V Cov。