2007-2014年广东高考试题分类汇编(13)圆锥曲线(解答题)

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广东省2015届高三数学理一轮复习备考试题：圆锥曲线

广东省2015届高三数学理一轮复习备考试题：圆锥曲线一、选择题1、(2014广东高考)若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等 2、（2013广东高考）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 ( )A . 2214x = B ．22145x y -= C ．22125x y -=D ．2212x = 3、（2014佛山二模）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐进线与实轴的夹角为60，则双曲线的离心率为A 、3B 、2C 、D 4、（2014广州一模）圆()()22121x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为A ．()()22211x y -+-= B ．()()22121x y ++-= C ．()()22211x y ++-= D ．()()22121x y -++=5、（2015广州六中8月质检）直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A.5 B. 12 C. 5 D. 236、（2014韶关一模）已知椭圆与双曲线221412x y -=的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，那么椭圆的离心率等于( )A. 35B. 45C. 54D. 34二、填空题7、（2014肇庆二模）若双曲线22221x y a b-=的渐近线方程是2y x =±，则双曲线的离心率等于 ▲ .8、（2010广东高考）若圆心在x O 位于y 轴左侧，且与直线0x y +=相切，则圆O 的方程是．9、（2009广东高考）巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为．10、（2014茂名二模）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则该双曲线的方程为11、（2014深圳一模）已知双曲线2222:1x y C a b -=与椭圆22194x y +=有相同的焦点，且双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，则双曲线C 的方程为．二、解答题12、（2014广东高考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.13、（2013广东高考）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.14、（2012广东高考）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率e =C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在椭圆C 上，是否存在点(),M m n ，使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由.15、（2011广东高考）设圆C 与两圆22(4x y +=，22(4x y +=中的一个内切，另一个外切．（1）求C 的圆心轨迹L 的方程；（2）已知点M ，F ，且P 为L 上动点，求MP FP - 的最大值及此时点P 的坐标．16、（珠海2015届高三9月摸底）焦点在x 轴的椭圆2212:1(34)4x y C a a +=≤≤，过1C 右顶点2(0)A a ，的直线:()(0)l y k x a k =->与曲线22:4akC y x =-相切，交1C 于2A E 、二点．（1）若1C 的离心率为3，求1C 的方程．（2）求2||A E 取得最小值时2C 的方程．17、（2014广州一模）已知双曲线E ：的中心为原点O ，左，右焦点分别为1F ，2F ，离心率为，点P 是直线上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足220PF QF =．（1）求实数a 的值；（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；（3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同两点M ，N ，在线段MN上取异于点M ，N 的点H ，满足，证明点H 恒在一条定直线上．18、（2015届深圳宝安区9月调研）已知21,F F 分别是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点，N M ,分别为其左右顶点.过2F 的直线l 与椭圆相交于B A ,两点.当直线l 与x 轴垂直时，四边形AMBN 的面积等于2，且满足.||||2||22N F AB MF +=(1)求此椭圆的方程；（2）当直线l 绕着焦点2F 旋转不与x 轴重合时，求BN BM AN AM ⋅+⋅的取值范围.19、（2014肇庆二模）如图6，圆22:(2)36C x y ++=，P 是圆C 上的任意一动点，A 点坐标为（2，0），线段PA 的垂直平分线l 与半径CP 交于点Q .（1）求点Q 的轨迹G 的方程；（2）已知B ，D 是轨迹G 上不同的两个任意点，M 为 BD 的中点. ①若M 的坐标为M （2，1），求直线BD 所在的直线方程；②若BD 不经过原点，且不垂直于x 轴，点O 为轨迹 G 的中心. 求证：直线BD 和直线OM 的斜率之积是常数（定值）.20、（2015届广州六中上第一次质检）已知点F 是椭圆)0(11222>=++a y a x 的右焦点，点(,0)M m 、(0,)N n 分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0=⋅．若点P 满足+=2．(Ⅰ)求点P 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线a x -=分别交于点S 、T （O 为坐标原点），试判断FS FT ⋅是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．参考答案一、选择题1、D2、B3、B4、A5、C6、B二、填空题7、5 8、22(2)2x y ++= 9、221369x y += 10、 11、2214y x -=三、解答题12、解：（1）依题意有3,2c a b ===故所求椭圆C 的标准方程为22194x y += （2）当两条切线的斜率存在时，设过00(,)P x y 点的切线为()00y y k x x -=-联立()0022194y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()()()222000049189360k x k y kx x y kx ++-+--=判别式()()()22222000018364940=ky kx k y kx ⎡⎤∆--+--=⎣⎦化简得()2200940y kx k ---=，即()2220000924x k x y k y --+-依题意得201220419y k k x -⋅==--，即220013x y +=当两条切线的斜率有一条不存在时，结合图像得P 是直线3,3,2,2x x y y =-===-的四个交点，也满足220013x y +=，故点P 的轨迹方程为2213x y +=13、(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,2=结合0c >,解得1c =. 所以抛物线C 的方程为24xy =.(Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x ,所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --=同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --=所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解.所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+,所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()2220020y y x y y+-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y =所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,Px y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.14、解析：（Ⅰ）因为e =，所以2223c a =，于是223a b =.设椭圆C 上任一点(),P x y ，则()()2222222222122443y PQ x y a y y y b b ⎛⎫=+-=-+-=--++ ⎪⎝⎭（b y b -≤≤）.当01b <<时，2PQ 在y b =-时取到最大值，且最大值为244b b ++，由2449b b ++=解得1b =，与假设01b <<不符合，舍去.当1b ≥时，2PQ 在1y =-时取到最大值，且最大值为236b +，由2369b +=解得21b =.于是23a =，椭圆C 的方程是2213x y +=.（Ⅱ）圆心到直线l的距离为d =，弦长AB =，所以OAB ∆的面积为12S AB d =⋅=，于是()2222211124S d d d ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭.而(),M m n 是椭圆上的点，所以2213m n +=，即2233m n =-，于是22221132d m n n==+-，而11n -≤≤，所以201n ≤≤，21323n ≤-≤，所以2113d ≤≤，于是当212d =时，2S 取到最大值14，此时S 取到最大值12，此时212n =，232m =.综上所述，椭圆上存在四个点2⎝⎭、2⎛ ⎝⎭、2⎝⎭、2⎛ ⎝⎭，使得直线与圆相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大，且最大值为12. 15、解：（1）设(F F '，圆C 的半径为r ，则(2)(2)4CF CF r r '-=+--=<　 ∴C 的圆心轨迹L 是以,F F '为焦点的双曲线，2a =，c =1b =∴C 的圆心轨迹L 的方程为2214x y -=（2）2MP FP MF -≤== ∴MP FP - 的最大值为2如图所示，P 必在L 直线MF 的斜率2k =-:2MF y x =-+22142x y y x ⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩215280x -+= (∵P x P x =， ∴MP FP - 的最大值为2，此时P 为16、解：(1)．由1C 的离心率e ==得29a = ………………………………………2分∴221:194x y C += (3)分(2)．l 与2C 方程联立消y 得2304akx kx -+= 由l 与2C 相切知230k ak ∆=-=，由0k >知3k a = (5)分l 与1C 方程联立消y 得22232422(4)240a k x a k x a k a +-+-=......① (6)分设点()E E E x y ，l 交1C 于2A E 、二点，∴E x 、a 是①的二根∴322244E a k a x a k -=+，故2284E ax a a k--=+ ………………………………………8分 ∴222222224264||()(1)()(19)(49)E EE a A E x a y k x a a a =-+=+-=++4242964(49)a a a +=+………………10分令2[916]t a =∈，，则222229||64(49)t tA E t +=+ 令2229()(916)(49)t t f t t t +=≤≤+，则222318(49)(427)()0(94)t t t f t t -+-'=<+在[916]t ∈，上恒成立故()f t 在[916]，上单减 ……………………………………………12分故16t =即4a =，12k =时()f t 取得最小值，则2||A E 取得最小值此时22:12C y x =- ………………………………………14分17、（1）解：设双曲线E 的半焦距为c ，由题意可得（2）证明：由（1，点()23,0F ．设点,()00,Q x y ，因为220PF QF =，所以(03,x y ⎫--⎪⎭因为点()00,Q x y 在双曲线E 上，所以200x y -（3）证法1：设点(),H x y ，的直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，则22114520x y -=，22224520x y -=，即，则,.PM PN MHHN λλ⎧=⎪⎨=⎪⎩．即⑦ ．所以点H 恒在定直线43120x y --=上．证法2：依题意，直线l 的斜率k 存在．设直线l 的方程为消去y 得()()()22229453053255690k x k k x k k -+---+=．因为直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，设点(),H x y，由整理得()()1212635100x x x x x x -+++=．1整理得()354150x k x --+=． ④ 因为点H 在直线l 上，所以 ⑤ 联立④⑤消去k 得43120x y --=．所以点H 恒在定直线43120x y --=上．（本题（3）只要求证明点H 恒在定直线43120x y --=上，无需求出x 或y 的范围．）18、解：⑴当直线l 与x 轴垂直时，由212222AMBN b S a a =⋅⋅=，得1b =. 又222MF AB FN =+,所以22b a c a c a+=+-，即2ac =，又221a c =+，解得a =因此该椭圆的方程为2212x y +=. (4分)①② ③图7yMPBQxAOl⑵设1122(,),(,)A x y B x y，而(M N ，所以11(,)AM x y =-，11(2,)AN x y =-，22(,)BM x y =-，22(2,)BN x y =-.从而有22111222()()AM AN BM BN x x y x x y ⋅+⋅=+++2222221212*********()2()24x x y y x x x x y y y y =+++-=+-++--.(7分)因为直线l 过椭圆的焦点(1,0)，所以可以设直线l 的方程为1()x ty t R =+∈，则由22121x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 并整理，得22(2)210t y ty ++-=，所以12222t y y t -+=+，12212y y t -=+. (9分) 进而121224()22x x t y y t +=++=+，21212222(1)(1)2t x x ty ty t -=++=+，可得222222242221()2()()2()42222t t AM AN BM BN t t t t ---⋅+⋅=-+--++++22286(2)2t t =-++.(10分)令22t m +=，则2m ≥. 从而有22861398()88AM AN BM BN m m m ⋅+⋅=-=--，而1102m <≤，所以可以求得AM AN BM BN ⋅+⋅的取值范围是9[,0)8-.(14分)19、解：（1）圆C 的圆心为C （-2，0），半径r =6，4CA =. （1分）连结QA ，由已知得QA QP =，（2分）所以6QC QA QC QP OP r CA +=+===>. （3分）根据椭圆的定义，点Q 的轨迹G 是中心在原点，以C 、A 为焦点，长轴长等于6的椭圆，即a =3，c =2，222945b a c =-=-=，（4分）所以，点Q 的轨迹G 的方程为22195x y +=. （5分）（2）①设B 、D 的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+4595459522222121y x y x （6分）两式相减，得121212125()()9()()0x x x x y y y y -++-+=，（7分）当BD 的中点M 的坐标为（2，1）时，有⎩⎨⎧=+=+242121y y x x ，（8分）所以0)(18)(202121=-+-y y x x ，即9102121-=--=x x y y k BD . （9分）故BD 所在的直线方程为)2(9101--=-x y ，即029910=-+y x . （10分） ②证明：设1122(,),(,)B x y D x y ，且21x x ≠，由①可知121212125()9()BD y y x x k x x y y -+==--+, （11分）又1212OM y y k x x +=+ （12分）所以95)(9)(521212121-=++⨯++-=⋅x x y y y y x x k k OM BD （定值）. （14分）20、解：（1）椭圆)0(11222>=++a y ax 右焦点F 的坐标为(,0)a ，………………1分 (,)NF a n ∴=-．(,)MN m n =-，∴由0=⋅NF MN ，得02=+am n ． …3分设点P 的坐标为),(y x ，由+=2，有(,0)2(0,)(,)m n x y =+--，⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2,y n x m 代入02=+am n ，得ax y 42=． …………………………5分（2）(法一)设直线AB 的方程为x ty a =+，211(,)4y A y a 、222(,)4y B y a，则x y a y l OA 14:=，x y ay l OB 24:=． ………………………………6分由⎪⎩⎪⎨⎧-==a x x y a y ,41，得214(,)a S a y --，同理得224(,)a T a y --．…………………………8分②当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为()(0)y k x a k =-≠，),4(121y a y A 、),4(222y ayB ，同解法一，得4212164a FS FT a y y ⋅=+． …………………………………10分由2(),4y k x a y ax =-⎧⎨=⎩，得22440ky ay ka --=，2124y y a ∴=-．……………………11分则044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a FT FS ． …………………………13分因此，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0． …………………………………14分。

2007广东省数学高考题目及答案

2007年普通高等招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：锥体的体积公式sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。

如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+. 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ∙=∙.用最小工乘法求线性回归方程系数公式x b y a x n i x yx n xiyi ni ni -=--=∑∑==,2121ξ.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的. 1.已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则=⋂N MA.{}1 x xB.{}1 x xC.{}11 x x -D.φ2.若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数）则b ＝A.2B.21 C.21- D.-23.若函数是则)(R),(21sin )(2x f x x x f ∈-=A.最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为π2的偶函数D.最小正周期为π的偶函数4.客车从甲地以60km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h 的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是5.已知数|a n |的前n 项和S n =n 2-9n ，第k 项满足5<a n <8,则k= A.9 B.8 C.7 D.66.图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1、A 2、…、A 10（如A 2表示身高（单位：cm ）（150，155）内的学生人数）.图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160~180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A.i<6B. i<7C. i<8D. i<97.图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A 、B 、C 、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n ）为A.15B.16C.17D.188.设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b ∈S ，对于有序元素对（a,b ）,在S 中有唯一确定的元素a*b 与之对应），若对任意的a,b ∈S,有a*(b*a)=b,则对任意的a,b ∈S,下列等式中不恒成立的是A.（a*b ）*a=aB.［a*(b*a)］*(a*b)=aC.b*(b*b)=bD.(a*b)* ［b*(a*b)］=b二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分，其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分.9.甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同.其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球. 现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为 .（答案用分数表示）10.若同量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°，则ba b a ··+＝ .11.在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A （2，1），若线段OA 的垂直平分线过抛物线)0(22p px y =的焦点，则该抛物线的准线方程是 .12.如果一个凸多面体n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条.这些直线中共有)(n f 对异面直线，则)4(f ＝图4; )(n f ＝ .（答案用数字或n 的解析式表示）13.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为)(33R t ty t x ∈⎩⎨⎧-=+=参数，圆C 的参数方程为[])20(2sin 2cos 2πθθθ，参数∈⎩⎨⎧+==y x ，则题C 的圆心坐标为，圆心到直线l的距离为 .14.（不等式选讲选做题）设函数)2(,312)(-++-=f x x x f 则＝ ;若2)(≤x f ，则x 的取值范围是 .15.（几何证明选讲选做题）如图5所法，圆O 的直径6=AB ，C为圆周上一点，3=BC ，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D 、E ，则∠DAC ＝，线段AE 的长为 .图5三、解答题：本大题共有6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、.（1）若5=c ，求sin ∠A 的值;（2）若∠A 是钝角，求c 的取值范围. 17.(本题满分12分)下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据.（1（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y =a x b+;（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5） 18.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y=x 相切于坐标原点O .椭圆9222y ax +＝1与圆C 的一个交点到椭圆两点的距离之和为10.（1）求圆C 的方程.（2）试探安C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点P 的距离等于线段OF 的长.若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分14分）如图6所示，等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3，点B 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上，且EF ⊥AB .现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE .记BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积.（1）求V (x )的表达式；（2）当x 为何值时，V (x )取得最大值？（3）当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值 20.（本小题满分14分）已知a 是实数，函数f (x )=2ax 2+2x -3-a ,如果函数y =f (x )在区间［-1,1］上有零点，求a 的取值范围. 21.（本小题满分14分）已知函数f (x )=x 2+x -1,α、β是方程f (x )=0的两个根（α>β）.f ′(x )是f (x )的导数.设a 1＝1，a n +1=a n -)()(n n a f a f '(n =1,2,…). (1)求α、β的值；(2)证明：任意的正整数n ，都有a n >a ;(3)记b n -αβ--n n a a ln (n =1,2,…),求数列{b n }的前n 项和S n .、2007年数学答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中。

圆锥曲线2013

2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 ．（2013年高考江西卷（理））过点引直线l与曲线y=A,B 两点,O 为坐标原点,当∆AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于（）A ．y EB BC CD=++B．C． D．【答案】B2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（）A ．25B ．45 CD【答案】C3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是（）A．214x =B ．22145x y -= C ．22125x y -=D．212x -=【答案】B4 ．（2013年高考新课标1（理））已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>)则C 的渐近线方程为（）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±【答案】C5 ．（2013年高考湖北卷（理））已知04πθ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等【答案】D6 ．（2013年高考四川卷（理））抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是（）A ．12BC ．1 D【答案】B7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是（）A ．2B ．3C ．23 D ．26 【答案】D8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =（）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C9 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是（）A ．1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B10．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =,则k =（）A ．12BCD ．2【答案】D11．（2013年高考北京卷（理））若双曲线22221x y a b-=则其渐近线方程为（）A ．y =±2xB ．y= C ．12y x =±D．y x =±【答案】B12．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知抛物线1C :212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C :2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =（）ABCD【答案】D13．（2013年高考新课标1（理））已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D14．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为（）A ．24y x =或28y x = B ．22y x =或28y x = C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =【答案】C15．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）已知 A B 、为平面内两定点,过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅,其中λ为常数,则动点M 的轨迹不可能是（）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线【答案】C16．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为（）A ．4B 1C ．6-D【答案】A 二、填空题17．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为_____________.【答案】x y 43±= 18．（2013年高考江西卷（理））抛物线22(0)x py p =>的焦点为F,其准线与双曲线22133x y -=相交于,A B 两点,若ABF ∆为等边三角形,则P =_____________【答案】619．（2013年高考湖南卷（理））设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点,P是C 上一点,若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30 ,则C 的离心率为___.【答案】320．（2013年高考上海卷（理））设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且4CBA π∠=,若AB=4,BC =,则Γ的两个焦点之间的距离为________【答案】. 21．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））已知直线y a =交抛物线2y x =于,A B 两点.若该抛物线上存在点C ,使得ABC ∠为直角,则a 的取值范围为___ _____.【答案】),1[+∞22．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是__________.【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,223．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ,右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若126d d =,则椭圆C 的离心率为_______.【答案】24．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左.右焦点分别为12,F F ,焦距为2c,若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________【答案】1-25．（2013年高考陕西卷（理））双曲线22116x y m -=的离心率为54, 则m 等于___9_____. 【答案】9 26．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接,AF BF ,若410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=,则C 的离心率e =______. 【答案】5727．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）抛物线28yx =的准线方程是_______________【答案】2x =-28．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））在平面直角坐标系xOy 中,设定点),(a a A ,P 是函数xy 1=(0>x )图象上一动点,若点A P ，之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为_______.【答案】1-或1029．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点,过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,,点Q 为线段AB 的中点,若2||=FQ ,则直线的斜率等于________.【答案】1± 三、解答题30．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分9分.已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、 (1)若112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程;(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P FQ ⊥,求直线l 的方程. [解](1) (2)【答案】[解](1)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.根据题意知2221a b a b =⎧⎨-=⎩, 解得243a =,213b = 故椭圆C 的方程为2214133x y +=.(2)容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=. 当直线l 的斜率不存在时,其方程为1x =,不符合题意; 当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=. 设1122( ) ( )P x y Q x y ，，，,则2212121111222242(1) (1 ) (1 )2121k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++ ，，，，，因为11F P FQ ⊥ ,所以110F P FQ ⋅=,即 21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++-- 2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++2271021k k -==+, 解得217k =,即k =故直线l的方程为10x +-=或10x -=.31．（2013年高考四川卷（理））已知椭圆C :22221,(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点41(,)33P .(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且222211||||||AQ AM AN =+,求点Q 的轨迹方程.【答案】解:2+=所以,a =又由已知,1c =, 所以椭圆C的离心率c e a ===()II 由()I 知椭圆C 的方程为2212x y +=.设点Q 的坐标为(x,y).(1)当直线l 与x 轴垂直时,直线l 与椭圆C 交于()()0,1,0,1-两点,此时Q点坐标为0,2⎛ ⎝ (2) 当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为2y kx =+.因为,M N 在直线l 上,可设点,M N 的坐标分别为1122(,2),(,2)x kx x kx ++,则22222212(1),(1)AM k x AN k x =+=+. 又()222222(1).AQ x y k x =+-=+由222211AQAMAN=+,得()()()22222212211111k x k x k x =++++,即 ()212122222212122211x x x x x x x x x +-=+= ① 将2y kx =+代入2212x y +=中,得()2221860kx kx +++= ②由()()22842160,k k ∆=-⨯+⨯>得232k >. 由②可知12122286,,2121k x x x x k k +=-=++ 代入①中并化简,得2218103x k =- ③因为点Q 在直线2y kx =+上,所以2y k x-=,代入③中并化简,得()22102318y x --=.由③及232k >,可知2302x <<,即x ⎛⎫⎛∈ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝ .又0,2⎛-⎝满足()22102318y x --=,故x ⎛∈ ⎝. 由题意,(),Q x y 在椭圆C 内部,所以11y -≤≤, 又由()22102183y x -=+有()2992,54y ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭且11y -≤≤,则1,22y ⎛∈ ⎝. 所以点Q 的轨迹方程是()22102318y x --=,其中,x ⎛∈ ⎝,1,22y ⎛∈ ⎝32．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ,,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF ,设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(,0)M m ,求m 的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ,若0k ≠,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值.【答案】解:(Ⅰ)由于222c a b =-,将x c =-代入椭圆方程22221x y a b +=得2b y a =±由题意知221b a =,即22a b = 又ce a == 所以2a =,1b = 所以椭圆方程为2214x y +=204x ≠,将向量坐标代入并化简得:m(23000416)312x x x -=-,因为204x ≠,12118kk kk +=-=-为定值.33．（2013年高考上海卷（理））(3分+5分+8分)如图,已知曲线221:12x C y -=,曲线2:||||1C y x =+,P 是平面上一点,若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点,则称P 为“C 1—C 2型点”.(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线y kx =与2C 有公共点,求证||1k >,进而证明原点不是“C 1—C 2型点”; (3)求证:圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”.【答案】:(1)C 1的左焦点为(F ,过F 的直线x =与C 1交于(,与C 2交于(1))±+,故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”,且直线可以为x =;(2)直线y kx =与C 2有交点,则(||1)||1||||1y kxk x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩,若方程组有解,则必须||1k >; 直线y kx =与C 2有交点,则2222(12)222y kx k x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩,若方程组有解,则必须212k < 故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点,即原点不是“C 1-C 2型点”. (3)显然过圆2212x y +=内一点的直线l 若与曲线C 1有交点,则斜率必存在; 根据对称性,不妨设直线l 斜率存在且与曲线C 2交于点(,1)(0)t t t +≥,则:(1)()(1)0l y t k x t kx y t kt =+=-⇒-++-=直线l 与圆2212x y +=内部有交点,<化简得,221(1)(1)2t tk k +-<+............① 若直线l 与曲线C 1有交点,则2222211()2(1)(1)10212y kx kt t k x k t kt x t kt x y =-++⎧⎪⇒-++-++-+=⎨-=⎪⎩ 22222214(1)4()[(1)1]0(1)2(1)2k t kt k t kt t kt k ∆=+---+-+≥⇒+-≥-化简得,22(1)2(1)t kt k +-≥-.....②由①②得,222212(1)(1)(1)12k t tk k k -≤+-<+⇒< 但此时,因为2210,[1(1)]1,(1)12t t k k ≥+-≥+<,即①式不成立;当212k =时,①式也不成立综上,直线l 若与圆2212x y +=内有交点,则不可能同时与曲线C 1和C 2有交点,即圆2212x y +=内的点都不是“C 1-C 2型点” .34．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））如图,在正方形OABC中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(10,0),点C 的坐标为(0,10).分别将线段OA 和AB 十等分,分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ,连结i OB ,过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)iP i N i ∈≤≤. (1)求证:点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上,并求该抛物线E 的方程;(2)过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点,M N ,若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1,求直线的方程.【答案】解:(Ⅰ)依题意,过*(,19)∈≤≤i A i Ni 且与x 轴垂直的直线方程为=x i (10,) i B i ,∴直线i OB 的方程为10=iy x 设i P 坐标为(,)x y ,由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x iiy x 得:2110=y x ,即210=x y , ∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上,且抛物线E 方程为210=x y(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k ,直线与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N 设:1122(,)(,)M x y N x y ,则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆= OCM OCN S S ∴124=x x又120⋅< x x ,∴124=-x x 分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y,解得32=±k 直线的方程为3+102=±y x ,即32200-+=x y 或3+2200-=x y 35．（2013年高考湖南卷（理））过抛物线2:2(0)E xpy p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ,且122k k +=,1l E 与相交于点A,B,2l E 与相交于点C,D.以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N 为圆心)的公共弦所在的直线记为l .(I)若120,0k k >>,证明;22FM FN P < ;(II)若点M 到直线l,求抛物线E 的方程. 【答案】解: (Ⅰ)，设),(),,(),,(),,(),,(),,().2,0(3434121244332211y x N y x M y x D y x C y x B y x A pF 02,221211=++-+=p x pk x E px k y l ：方程联立，化简整理得与抛物线方程：直线),(2,20,2211211212112221121p k p k FM p p k y p k x x x p x x p k x x -=⇒+==+=⇒=-=⋅=+⇒),(2,2,222223422134p k p k FN p p k y p k x x x -=⇒+==+=⇒同理. )1(2121222221221+=+=⋅⇒k k k k p p k k p k k FN FM222121221212121212)11(1)1(,122,,0,0p p k k k k p FN FM k k k k k k k k k k =+⋅⋅<+=⋅∴≤⇒≥+=≠>> 所以,22p FN FM <⋅成立. (证毕) (Ⅱ),)]2(2[21)]2()2[(21,212121121p p k p p k p y p y p r r r N M +=++=+++=⇒的半径分别为、设圆,2同理,221211p p k r p p k r +=+=⇒.,21r r N M 的半径分别为、设圆则21212212)()(r y y x x N M =-+-的方程分别为、, 的方程为：，直线l r y y x x 22234234)()(=-+-0-)(2)(2222123421223421212341234=+-+-+-+-r r y y x x y y y x x x .))(-())(())(()(2)(212123412341234123412212212=++--+--+-+-⇒r r r r y y y y x x x x y k k p x k k p2))((1))(()(2)(2)(2222121222222122212212212212++-+++-+-+-+-⇒k k k k p k k k k p k k p y k k p x k k p 0202)(1)(222212221=+⇒=+++++--+⇒y x k k p k k p p y x55758751)41()41(2|512||52|),(212112121212==+-+-⋅≥++⋅=+=p p k k p y x d l y x M 的距离到直线点y x p 1682=⇒=⇒抛物线的方程为.36．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两点,2l 交椭圆1C 于另一点D (1)求椭圆1C 的方程; (2)求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.【答案】解:(Ⅰ)由已知得到1b =,且242a a =∴=,所以椭圆的方程是2214x y +=;(Ⅱ)因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=,直线21:10l y x x ky k k=--⇒++=,所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为d =,所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦AB ==;由22222048014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以28||4D P k x x DP k +=-∴==+所以（第21题图）11||||22ABDS AB DP ∆==⨯====≤=当252k k =⇒=⇒=时等号成立,此时直线1:1l y x =- 37．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如题(21)图,椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,离心率e =,过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于,A A '两点,4AA '=.(1)求该椭圆的标准方程;(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点,P P ',过,P P '作圆心为Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q 外.若PQ P Q '⊥,求圆Q 的标准方程.【答案】38．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））设椭圆2222:11x y E a a+=-的焦点在x 轴上 (Ⅰ)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆E 上的第一象限内的点,直线2F P 交y轴与点Q ,并且11F P FQ ⊥,证明:当a 变化时,点p 在某定直线上. 【答案】解:(Ⅰ)13858851,12,122222222=+=⇒+-==->x x a c a a c a a ，椭圆方程为： .(Ⅱ) ),(),,),,0(),,(),0,(),0,(2221m c QF y c x P F m Q y x P c F c F -=-=-（则设. 由)1,0(),1,0()1,0(012∈∈⇒∈⇒>-y x a a .⎩⎨⎧=++=-⊥=+=0)()(,//).,(),,(112211my c x c ycx c m Q F P F QF P F m c Q F y c x P F 得：由解得联立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-==-=-+=-⇒=+-⇒22222222222222111.))((c a a c y x a y a x c y x y c x c xy x y x y x yx y y x x -=∴∈∈±=⇒=+-++-⇒1)1,0(),1,0(.)1(1121222222222 所以动点P 过定直线01=-+y x .39．（2013年高考新课标1（理））已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P与M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线 C.(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.【答案】由已知得圆M 的圆心为M (-1,0),半径1r =1,圆N 的圆心为N (1,0),半径2r =3.设动圆P 的圆心为P (x ,y ),半径为R.(Ⅰ)∵圆P 与圆M 外切且与圆N 内切,∴|PM|+|PN|=12()()R r r R ++-=12r r +=4, 由椭圆的定义可知,曲线C 是以M,N 为左右焦点,场半轴长为2,的椭圆(左顶点除外),其方程为221(2)43x y x +=≠-.(Ⅱ)对于曲线C 上任意一点P (x ,y ),由于|PM|-|PN|=22R -≤2,∴R≤2, 当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2.∴当圆P 的半径最长时,其方程为22(2)4x y -+=, 当l 的倾斜角为090时,则l 与y 轴重合,可得|AB|=当l 的倾斜角不为090时,由1r ≠R 知l 不平行x 轴,设l 与x 轴的交点为Q,则||||QP QM =1Rr ,可求得Q(-4,0),∴设l :(4)y k x =+,由l 于圆M1=,解得k =±当k时,将y x =+代入221(2)43x y x +=≠-并整理得27880x x +-=,解得1,2x12||x x -=187.当k时,由图形的对称性可知|AB|=187, 综上,|AB|=187或|AB|= 40．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ,, 过点F 且与x(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB += , 求k 的值.【答案】41．（2013年高考江西卷（理））如图,椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b ：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ,直线l 的方程为=4x .(1) 求椭圆C 的方程;(2) AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ),设直线AB 与直线l 相交于点M ,记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ,使得123+=.k k k λ?若存在求λ的值;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)由3(1,)2P 在椭圆上得,221914a b+= ① 依题设知2a c =,则223b c = ② ②代入①解得2221,4,3c a b ===.故椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)方法一:由题意可设AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为(1)y k x =- ③代入椭圆方程223412x y +=并整理,得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++ ④ 在方程③中令4x =得,M 的坐标为(4,3)k .从而121231233331222,,11412y y k k k k k x x ---====----. 注意到,,A F B 共线,则有AF BF k k k ==,即有121211y yk x x ==--. 所以1212121212123331122()1111212y y y y k k x x x x x x --+=+=+-+------ 1212122322()1x x k x x x x +-=-⋅-++ ⑤④代入⑤得22122222823432214(3)8214343k k k k k k k k k k -++=-⋅=---+++, 又312k k =-,所以1232k k k +=.故存在常数2λ=符合题意.方法二:设000(,)(1)B x y x ≠,则直线FB 的方程为:00(1)1y y x x =--, 令4x =,求得003(4,)1y M x -, 从而直线PM 的斜率为0030212(1)y x k x -+=-,联立0022(1)1143y y x x x y ⎧=-⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,得0000583(,)2525x y A x x ---,则直线PA 的斜率为:00102252(1)y x k x -+=-,直线PB 的斜率为:020232(1)y k x -=-,所以00000123000225232122(1)2(1)1y x y y x k k k x x x -+--++=+==---,故存在常数2λ=符合题意.42．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程;(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24xcy =,0c >,解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '=设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --=同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++ 联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = 所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92. 43．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））平面直角坐标系xOy 中,过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的右焦点F 作直0x y +=交M 于,A B两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12. (Ⅰ)求M 的方程;(Ⅱ),C D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】44．（2013年高考湖北卷（理））如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分别为2m ,2n ()m n >,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ,B ,C ,D .记mnλ=,BDM ∆和ABN ∆的面积分别为1S 和2S .(I)当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值;(II)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.【答案】解:(I)12S S λ=()m n m n λ⇒+=-,1111m n m n λλλ++∴==--解得:1λ=+(舍去小于1的根)(II)设椭圆()22122:1x y C a m a m +=>,22222:1x y C a n+=,直线l :ky x =22221ky x x y a m =⎧⎪⎨+=⎪⎩2222221a m k y a m +⇒=A y ⇒= 同理可得,B y =又 BDM ∆和ABN ∆的的高相等12B D B A A B A BS BD y y y y S AB y y y y -+∴===-- 如果存在非零实数k 使得12S S λ=,则有()()11A B y y λλ-=+,第21题图即:()()222222222211a n k a n k λλλλ-+=++,解得()()2222232114a k n λλλλ--+=∴当1λ>+时,20k >,存在这样的直线l ;当11λ<≤+时,20k ≤,不存在这样的直线l .45．（2013年高考北京卷（理））已知A 、B 、C 是椭圆W :2214x y +=上的三个点,O 是坐标原点.(I)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积;(II)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由.【答案】解:(I)椭圆W :2214x y +=的右顶点B 的坐标为(2,0).因为四边形OABC 为菱形,所以AC 与OB 相互垂直平分. 所以可设A(1,m ),代入椭圆方程得2114m +=,即m =. 所以菱形OABC 的面积是11||||22||22OB AC m ⋅=⨯⨯=. (II)假设四边形OABC 为菱形. 因为点B 不是W 的顶点,且直线AC 不过原点,所以可设AC 的方程为(0,0)y kx m k m =+≠≠.由2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消去y 并整理得222(14)8440k x kmx m +++-=. 设A 1,1()x y ,C 2,2()x y ,则1224214x x km k +=-+,121222214y y x x mk m k ++=⋅+=+. 所以AC 的中点为M(2414km k -+,214mk+). 因为M 为AC 和OB 的交点,所以直线OB 的斜率为14k-.因为1()14k k⋅-≠-,所以AC 与OB 不垂直. 所以OABC 不是菱形,与假设矛盾.所以当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能是菱形. 46．（2013年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 已知点B (-1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.【答案】解:(Ⅰ) A (4,0),设圆心C2222,2),,(EC ME CM CA MNME E MN y x +===，由几何图像知线段的中点为x y x y x 84)422222=⇒+=+-⇒（(Ⅱ)点B (-1,0),222121212122118,8,00),,(),,(x y x y y y y y y x Q y x P ==<≠+，由题知设.080)()(88811211221212222112211=+⇒=+++⇒+-=+⇒+-=+⇒y y y y y y y y y yy y x y x y 直线PQ 方程为:)8(1)(21121112121y x y y y y x x x x y y y y -+=-⇒---=-1,088)(8)()(122112112==⇒=++⇒-=+-+⇒x y x y y y y x y y y y y y所以,直线PQ 过定点(1,0)47．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））如图,抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->,点()00,M x y 在抛物线2C 上,过M 作1C 的切线,切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O )01x =,切线.MA 的斜率为12-. (I)求p 的值;(II)当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为【答案】48．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，,离心率为3，直线2y =与C 的. (I)求,;a b ;(II)设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别相交于,A B 两点,且11AF BF ,证明:22AF AB BF 、、成等比数列.【答案】49．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.已知抛物线24C y x =：的焦点为F .(1)点 A P 、满足2AP FA =-.当点A 在抛物线C 上运动时,求动点P 的轨迹方程;(2)在x 轴上是否存在点Q ,使得点Q 关于直线2y x =的对称点在抛物线C 上?如果存在,求所有满足条件的点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.【答案】(1)设动点P 的坐标为( )x y ，,点A 的坐标为( )A A x y ，,则( )A A AP x x y y =--，, 因为F 的坐标为(1 0)，,所以(1 )A A FA x y =-，, 由2AP FA =-得( )2(1 )A A A A x x y y x y --=--，，.即2(1)2A A A A x x x y y y -=--⎧⎨-=-⎩ 解得2A Ax x y y =-⎧⎨=-⎩代入24y x =,得到动点P 的轨迹方程为284y x =-.(2)设点Q 的坐标为( 0)t ，.点Q 关于直线2y x =的对称点为( )Q x y '，,则122yx t y x t ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=+⎪⎩ 解得3545x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩若Q '在C 上,将Q '的坐标代入24y x =,得24150t t +=,即0t =或154t =-. 所以存在满足题意的点Q ,其坐标为(0 0)，和15( 0)4-，.。

2014年广东高考理科数学试卷(纯word版含答案)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃= A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1}【品题】B.考查集合的并集，目测就可以得出结果. 2、已知复数z 满足(34)25,i z +=则z = A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 【品题】A.考查复数的运算，()()()25342534343434i z i i i i ⋅-===-++⋅- 3、若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A ．8 B.7 C.6 D.5【品题】C.考查线性规划，求出三条直线的交点为()111,1,(2,1),,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭，故3,36m n m n ==--=，4、若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等C. 实半轴长相等D.焦距相等【品题】D.考查双曲线，注意到两条双曲线的22234c a b k =+=-相等，故而选D. 5、已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是 A ．（-1,1,0）B. （1,-1,0）C. （0,-1,1）D. （-1,0,1）【品题】B.考查向量的夹角与运算，将ABCD 四个选项代入1cos ,cos602a b a b a b⋅===⋅即可选出正确答案6、已知某地区中小学学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了解该地区中下学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A. 100，10B. 200,10C. 100，20D. 200，20【品题】D.考查分层抽样.总人数为10000人，100002%200⋅=，其中高中生抽取20002004010000=⋅人，故抽取的高中生近视人数为4050%20⋅=人7、若空间中四条两两不同的直线1234,,,,l l l l 满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥⊥则下面结论一定正确的是A ．14l l ⊥B ．14//l lC ．14,l l 既不垂直也不平行D ．14,l l 的位置关系不确定【品题】D.考查空间直线的位置关系.可利用正方体来判断，易得答案. 8、设集合(){}12345=,,,,1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为 A.130 B.120 C.90 D.60【品题】A.考查分类计数原理、排列组合.先分成3类，4个0、3个0、2个0 （1）4个0①4个0，1个1：155C =②4个0，1个-1：155C = （2）3个0：①3个0，2个1：2510C =②3个0，1个1,1个-1：115420=C C ⋅年级③3个0，2个-1：2510C =（3）2个0①2个0，3个1：3510C =②2个0，2个1,1个-1：215330C C ⋅= ③2个0，1个1，2个-1：215330C C ⋅= ④2个0，3个-1：3510C =综上所述，所有的可能性有130种【品味小题】选择很基础了，第8题稍微要一点点细心.答案是BACDBDDA ，选项延续了多年答案3221的模式二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9、不等式125x x -++≥的解集为【品题】(][),32,-∞-⋃+∞.考查简单的绝对值不等式，用几何意义很快得出答案. 10、曲线52x y e -=+在点(0,3)处的切线方程为【品题】53y x =-+.考查复合函数求导、切线方程.'5'05,|5xx y e y -==-=-，故切线方程为53y x =-+.本题易错点在符合函数求导忘记乘以5-.11、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为【品题】16.考查分步技术原理和古典概型.基本事件731010120C C ==种，包括6且6为中位数的，前3个数从0—5六个数中选3个，后三个数只能是7、8、9，故满足题意的事件有3620C =种，从而概率为16.本题主要分析准确6为7个数的中位数这个条件就可以很快做出来.12、在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+，则ab=【品题】2.考查正余弦定理，边角互化.222222222a b c a c b b c b ab ac+-+-⋅+⋅=，化简即可.13、若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++=【品题】50.考查等比数列的基础知识.依题意有51011a a e ⋅=，所求等式左边()10501011ln ln 50a a e =⋅==（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为_________【品题】()1,1.考查极坐标方程.212:,:1C y x C y ==，联立方程很快得出结果15、（几何证明选讲选做题）如图3,在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且AE EB 2=，AC 与DE 交于点F ，则=∆∆的面积的面积AEF CDF 【品题】9.考查相似三角形面积比等于相似比的平方.【品填空题】10是易错点、11题有点新意；10、12、13等等是广东07—13年高考考过的. 【品小题】难度适中，出得不错。

2013年高考理科数学试题分类汇：圆锥曲线

, MF = 5 ,若
MF 为直径的圆
B． y 2 = 2 x 或 y 2 = 8 x ∴． y = 2 x 或 y = 16 x
2 2
C． y = 4 x 或 y = 16 x
2 2
答案 C 令5．以代令3
B为海市春季高考数学试卷Ⅲ含答案) 已知 A、
uuuu r2 uuur uuu r
面内两定点,过该面内动
x2 y 2 − =1 5 A． 4
答案 B 4 ．以代令3
x2 y 2 − =1 5 B． 4
x2 y 2 − =1 5 C． 2
x2 y 2 − =1 5 ∴． 2
高考新课标令理
已知双曲线 C :
x2 y2 5 − 2 = 1 Ⅲ a > 0, b > 0 )的离心率为 , 2 a b 2
∴．， 1
3 4
答案 B 令代．以代令3 普通高等学校招生统一考试大纲版数学理上OR∴ 版含答案已校对
2 抛物线 C : y = 8 x
已知
点 M ( −2, 2 ) ,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线
C 交于 A, B 两点,
若 MAMB = 0 ,则 k =
uuur uuur
∴．
x2 y 2 + =1 18 9
设抛
答案 ∴ 令4．以代令3 普通高等学校招生统一考试新课标卷数学理物线 C : y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点为 F ,点 M 在 C 过点 (0,2) ,则 C 的方程为
2 2 A． y = 4 x 或 y = 8 x
纯上OR∴ 版含答案
3 3
B． −
3 3
C． ±

2014-2019年高考数学真题分类汇编专题11：解析几何4(圆锥曲线理科解答题)1带详细答案

2014-2019年高考数学真题分类汇编专题11：解析几何（圆锥曲线理科解答题）（一）1．（2014•新课标Ⅰ理）已知点(0,2)A -，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，F 是椭圆的右焦点，直线AF O 为坐标原点．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．【考点】椭圆的性质；直线与圆锥曲线的综合【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a 、c 关系，通过A 求出a ，即可求E 的方程；（Ⅱ）设直线:2l y kx =-，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 将2y kx =-代入2214x y +=，利用△0>，求出k 的范围，利用弦长公式求出||PQ ，然后求出OPQ ∆的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设(,0)F c ，由条件知2c =，得c =又c a =，所以2a =，2221b a c =-=，故E 的方程2214x y +=．⋯．（5分）（Ⅱ）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线:2l y kx =-，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y将2y kx =-代入2214x y +=，得22(14)16120k x kx +-+=，当△216(43)0k =->，即234k >时，1,2x从而212143|||k PQ x x -=-=又点O 到直线PQ 的距离d =，所以OPQ ∆的面积12OPQS d PQ ∆==t =，则0t >，244144OPQ t S t t t∆==++…，当且仅当2t =，k =等号成立，且满足△0>，所以当OPQ ∆的面积最大时，l 的方程为：2y x -或2y =-．⋯（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．2．（2014•新课标Ⅱ理）设1F ，2F 分别是2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ．（1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求a ，b ．【考点】椭圆的性质【分析】（1）根据条件求出M 的坐标，利用直线MN 的斜率为34，建立关于a ，c 的方程即可求C 的离心率；（2）根据直线MN 在y 轴上的截距为2，以及1||5||MN F N =，建立方程组关系，求出N 的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，M ∴的横坐标为c ，当x c =时，2b y a=，即2(,)b M c a ，若直线MN 的斜率为34，即22123tan 224b b a MF Fc ac ∠===，即22232b ac a c ==-，即22302c ac a +-=，则23102e e +-=，即22320e e +-= 解得12e =或2e =-（舍去），即12e =．（Ⅱ）由题意，原点O 是12F F 的中点，则直线1MF 与y 轴的交点(0,2)D 是线段1MF 的中点，设(,)M c y ，(0)y >，则22221c y a b +=，即422b y a =，解得2b y a=， OD 是△12MF F 的中位线，∴24b a=，即24b a =，由1||5||MN F N =，则11||4||MF F N =，解得11||2||DF F N =，即112DF F N =设1(N x ，1)y ，由题意知10y <，则(c -，12)2(x c -=+，1)y ．即112()22x c c y +=-⎧⎨=-⎩，即11321x c y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩代入椭圆方程得2229114c a b+=，将24b a =代入得229(4)1144a a a a-+=，解得7a =，b =【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．3．（2014•大纲版理）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合【分析】（Ⅰ）设点Q 的坐标为0(x ，4)，把点Q 的坐标代入抛物线C 的方程，求得08x p =，根据5||||4QF PQ =求得p 的值，可得C 的方程．（Ⅱ）设l 的方程为1x my =+(0)m ≠，代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长||AB ．把直线l '的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得||MN ．由于MN 垂直平分线段AB ，故AMBN 四点共圆等价于1||||||2AE BE MN ==，由此求得m 的值，可得直线l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点Q 的坐标为0(x ，4)，把点Q 的坐标代入抛物线2:2(0)C y px p =>，可得08x p=，点(0,4)P ，8||PQ p ∴=．又08||22p p QF x p =+=+，5||||4QF PQ =， ∴85824p p p+=⨯，求得2p =，或2p =-（舍去）．故C 的方程为24y x =．（Ⅱ）由题意可得，直线l 和坐标轴不垂直，24y x =的焦点(1,0)F ，设l 的方程为1(0)x my m =+≠，代入抛物线方程可得2440y my --=，显然判别式△216160m =+>，124y y m +=，124y y =-．AB ∴的中点坐标为2(21D m +，2)m ，弦长212|||4(1)AB y y m -=+．又直线l '的斜率为m -，∴直线l '的方程为2123x y m m=-++．过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M 、N 两点，把线l '的方程代入抛物线方程可得2244(23)0y y m m +-+=，344y y m-∴+=，2344(23)y y m =-+．故线段MN 的中点E 的坐标为222(23m m++，2)m -，23421)21|||m MN y y m +∴=-=，MN 垂直平分线段AB ，故AMBN 四点共圆等价于1||||||2AE BE MN ==， ∴2221144AB DE MN +=， 22222222422116(1)(21)4(1)(2)(2)4m m m m m m m++∴+++++=⨯，化简可得210m -=， 1m ∴=±，∴直线l 的方程为10x y --=，或10x y +-=．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题． 4．（2014•北京理）已知椭圆22:24C x y +=，（1）求椭圆C 的离心率（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论．【考点】椭圆的性质；圆与圆锥曲线的综合【分析】（1）化椭圆方程为标准式，求出半长轴和短半轴，结合隐含条件求出半焦距，则椭圆的离心率可求；（2）设出点A ，B 的坐标分别为0(x ，0)y ，(,2)t ，其中00x ≠，由OA OB ⊥得到0OA OB =，用坐标表示后把t 用含有A 点的坐标表示，然后分A ，B 的横坐标相等和不相等写出直线AB 的方程，然后由圆222x y +=的圆心到AB 的距离和圆的半径相等说明直线AB 与圆222x y +=相切．【解答】解：（1）由2224x y +=，得椭圆C 的标准方程为22142x y +=．24a ∴=，22b =，从而2222c a b =-=．因此2a =，c = 故椭圆C的离心率c e a ==；（2）直线AB 与圆222x y +=相切．证明如下：设点A ，B 的坐标分别为0(x ，0)y ，(,2)t ，其中00x ≠． OA OB ⊥，∴0OA OB =，即0020tx y +=，解得02y t x =-．当0x t =时，202t y =-，代入椭圆C的方程，得t =故直线AB的方程为x =O 到直线AB的距离d ．此时直线AB 与圆222x y +=相切．当0x t ≠时，直线AB 的方程为0022()y y x t x t--=--，即0000(2)()20y x x t y x ty ---+-=．圆心O 到直线AB的距离d =．又220024x y +=，02y t x =-．故220024|2|||y xxd++===此时直线AB与圆222x y+=相切．【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，考查了圆与圆锥曲线的综合，训练了由圆心到直线的距离判断直线和圆的位置关系，体现了分类讨论的数学思想方法，考查了计算能力和逻辑思维能力，是压轴题．5．（2014•安徽理）如图，已知两条抛物线2111:2(0)E y p x p=>和2222:2(0)E y p x p=>，过原点O的两条直线1l和2l，1l与1E，2E分别交于1A、2A两点，2l与1E、2E分别交于1B、2B两点．（Ⅰ）证明：1122//A B A B；（Ⅱ）过O作直线l（异于1l，2)l与1E、2E分别交于1C、2C两点．记△111A B C与△222A B C的面积分别为1S与2S，求12SS的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合【分析】（Ⅰ）由题意设出直线1l和2l的方程，然后分别和两抛物线联立求得交点坐标，得到1122,A B A B的坐标，然后由向量共线得答案；（Ⅱ）结合（Ⅰ）可知△111A B C与△222A B C的三边平行，进一步得到两三角形相似，由相似三角形的面积比等于相似比的平方得答案．【解答】（Ⅰ）证明：由题意可知，1l和2l的斜率存在且不为0，设11:l y k x=，22:l y k x=．联立1212y k x y p x =⎧⎨=⎩，解得11121122(,)p p A k k ．联立1222y k x y p x=⎧⎨=⎩，解得22221122(,)p pA k k ．联立2212y k x y p x =⎧⎨=⎩，解得11122222(,)p pB k k ．联立2222y k x y p x=⎧⎨=⎩，解得22222222(,)p pB k k ．∴11122212111112(,)A B p k k k k =--， 22222212111112(,)A B p k k k k =--． 111222p A B A B p =， 1122//A B A B ∴；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知1122//A B A B ，同（Ⅰ）可证1122//B C B C ，1122//AC A C ．∴△111A B C ∽△222A B C ，因此2111222||()||S A B S A B =，又111222p A B A B p =， ∴111222||||A B p p A B =．故211222S p S p =．【点评】本题是直线与圆锥曲线的综合题，考查了向量共线的坐标表示，训练了三角形的相似比与面积比的关系，考查了学生的计算能力，是压轴题．6．（2014•福建理）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的两条渐近线分别为1:2l y x =，2:2l y x =-．（1）求双曲线E 的离心率；（2）如图，O 点为坐标原点，动直线l 分别交直线1l ，2l 于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、第四象限），且OAB ∆的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程，若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合【分析】（1）依题意，可知2ba=，易知c ，从而可求双曲线E 的离心率；（2）由（1）知，双曲线E 的方程为222214x y a a-=，设直线l 与x 轴相交于点C ，分l x ⊥轴与直线l 不与x 轴垂直讨论，当l x ⊥轴时，易求双曲线E 的方程为221416x y -=．当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y kx m =+，与双曲线E 的方程联立，利用由121||||82OAB S OC y y ∆=-=可证得：双曲线E 的方程为221416x y -=，从而可得答案．【解答】解：（1）因为双曲线E 的渐近线分别为1:2l y x =，2:2l y x =-，所以2ba=．2=．故c ，从而双曲线E 的离心率ce a=（2）由（1）知，双曲线E 的方程为222214x y a a-=．设直线l 与x 轴相交于点C ，当l x ⊥轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则||OC a =，||4AB a =，所以1||||82OC AB =，因此1482a a =，解得2a =，此时双曲线E 的方程为221416x y -=．以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E 的方程为221416x y -=也满足条件．设直线l 的方程为y kx m =+，依题意，得2k >或2k <-；则(mC k-，0)，记1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由2y kx m y x =+⎧⎨=⎩得122m y k =-，同理得222m y k =+，由121||||2OAB S OC y y ∆=-得： 122||||8222m m m k k k--=-+，即2224|4|4(4)m k k =-=-．由221416x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得：222(4)2160k x kmx m ----=，因为240k -<，所以△22222244(4)(16)16(416)k m k m k m =+-+=---，又因为224(4)m k =-，所以△0=，即直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点．因此，存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为221416x y -=．【点评】本题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想．7．（2014•广东理）已知椭圆2222:1(0)x y C a ba b+=>>的右焦点为0)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点0(P x ，0)y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．【考点】轨迹方程；椭圆的标准方程【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求得a 和b ，则椭圆的方可得．（2）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用△0=，整理出关于k 的一元二次方程，利用韦达定理表示出12k k，进而取得0x 和0y 的关系式，即P 点的轨迹方程．【解答】解：（1）依题意知225a b c a⎧-=⎪⎨=⎪⎩，求得3a =，2b =，∴椭圆的方程为22194x y +=．（2）①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A 、B 两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P 的坐标为(3,2)±±，符合题意，②当两条切线斜率均存在时，设过点0(P x ，0)y 的切线为00()y k x x y =-+， 222200[()]19494k x x y x y x -++=+=， 2222000049[()2()]36x k x x y ky x x +-++-=22222200000049[222]36x k x k x kx x y ky x ky x ++-++-= 整理得2220000(94)18()9[()4]0k x k y kx x y kx ++-+--=，∴△2220000[18()]4(94)9[()4]0k y kx k y kx =--+⨯--=，整理得222000(9)2(4)0x k x y k y --⨯⨯+-=， 2012204119y k k x -∴-===--，220013x y ∴+=．把点(3,2)±±代入亦成立，∴点P 的轨迹方程为：2213x y +=．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，轨迹方程的相关问题．对于求轨迹方程，最重要的是建立模型求得x 和y 关系．8．（2014•湖北理）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C ．（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设斜率为k 的直线l 过定点(2,1)P -，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合【分析】（Ⅰ）设出M 点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设出直线l 的方程为1(2)y k x -=+，和（Ⅰ）中的轨迹方程联立化为关于y 的一元二次方程，求出判别式，再在直线1(2)y k x -=+中取0y =得到021k x k+=-．然后分判别式小于0、等于0、大于0结合00x <求解使直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设(,)M x y ，依题意得：||||1MF x =+||1x =+，化简得，22||2y x x =+．∴点M 的轨迹C 的方程为24,00,0x x y x ⎧=⎨<⎩…；（Ⅱ）在点M 的轨迹C 中，记21:4(0)C y x x =…，2:0(0)C y x =<．依题意，可设直线l 的方程为1(2)y k x -=+．由方程组21(2)4y k x y x-=+⎧⎨=⎩，可得244(21)0ky y k -++=．①当0k =时，此时1y =，把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =．故此时直线:1l y =与轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)4．②当0k ≠时，方程244(21)0ky y k -++=的判别式为△216(21)k k =-+-．设直线l 与x 轴的交点为0(x ，0)，则由1(2)y k x -=+，取0y =得021k x k+=-．若2016(21)0210k k k x k ⎧=-+-<⎪⎨+=-<⎪⎩，解得1k <-或12k >．即当1(,1)(,)2k ∈-∞-+∞时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．若000x =⎧⎨<⎩或000x >⎧⎨⎩…，解得1k =-或12k =或102k -<…．即当1k =-或12k =时，直线l 与1C 只有一个公共点，与2C 有一个公共点．当102k -<…时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 无公共点．故当1k =-或12k =或102k -<…时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．若2016(21)0210k k k x k ⎧=-+->⎪⎨+=-<⎪⎩，解得112k -<<-或102k <<．即当112k -<<-或102k <<时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点．此时直线l 与C 恰有三个公共点．综上，当1(,1)(,){0}2k ∈-∞-+∞时，直线l 与C 恰有一个公共点；当1[,0){12k ∈--⋃，1}2时，直线l 与C 恰有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰有三个公共点．【点评】本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，重点是做到正确分类，是中档题．9．（2014•湖南理）如图，O 为坐标原点，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1e ；双曲线22222:1x y C a b-=的左、右焦点分别为3F ，4F ，离心率为2e ，已知12e e =，且24||1F F =．（Ⅰ）求1C 、2C 的方程；（Ⅱ）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与2C 交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合；圆锥曲线的综合【分析】（Ⅰ）由斜率公式写出1e ，2e ，把双曲线的焦点用含有a ，b 的代数式表示，结合已知条件列关于a ，b 的方程组求解a ，b 的值，则圆锥曲线方程可求；（Ⅱ）设出AB 所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于y 的一元二次方程，由根与系数的关系得到AB 中点M 的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出AB 的长度，写出PQ 的方程，和双曲线联立后解出P ，Q 的坐标，由点到直线的距离公式分别求出P ，Q 到AB 的距离，然后代入代入三角形面积公式得四边形APBQ 的面积，再由关于n 的函数的单调性求得最值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，12e e ==12||F F =123e e =24||1F F ．∴2221b a +=1=．解得：1a b ==．∴椭圆1C 的方程为2212x y +=，双曲线2C 的方程为2212x y -=；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1(1,0)F -．直线AB 不垂直于y 轴，∴设AB 的方程为1x ny =-，联立22112x ny x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)210n y ny +--=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(M x ，0)y ，则120222,22n n y y y n n +==++，12212y y n =-+．则||AB=． M 在直线AB 上，∴20222122n x n n =-=-++．直线PQ 的方程为002y ny x x x ==-，联立22212n y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得222()202n x x -⨯--=．解得2242x n =-，代入2n y x =- 得2222n y n =-．由220n ->，得n <P ∴，Q的坐标分别为(，则P ，Q 到AB 的距离分别为：2212n nn d n +-=，22222n n n d n --=P ，Q 在直线A ，B 的两端，∴221222n nn d d n +-+=+．则四边形APBQ的面积12213||()22S AB d d n =+=--． ∴当20n =，即0n =时，四边形APBQ 面积取得最小值2．【点评】本题考查圆锥曲线方程的求法，是直线与圆锥曲线、圆锥曲线与圆锥曲线间的关系的综合题，考查了椭圆与双曲线的基本性质，关键是学生要有较强的运算能力，是压轴题．10．（2014•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0,)b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1F C ．（1）若点C 的坐标为4(3，1)3，且2BF =（2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值．【考点】椭圆的标准方程；椭圆的性质【分析】（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a ，b 的值．（2）求出C 的坐标，利用1F C AB ⊥建立斜率之间的关系，解方程即可求出e 的值．【解答】解：（1）C 的坐标为4(3，1)3，∴22161991a b +=，即221619a b+=， 22222BF b c a =+=， 222a ∴==，即21b =，则椭圆的方程为2212x y +=．（2）设1(,0)F c -，2(,0)F c ， (0,)B b ，∴直线2:b BF y x b c =-+，代入椭圆方程22221(0)x y a b a b +=>>得222112()0x x a c c +-=，解得0x =，或2222a cx a c =+，2222(a c A a c +，2222())b c a a c --+，且A ，C 关于x 轴对称， 2222(a c C a c ∴+，2222())b c a a c -+，则122222222322()23F Cb c a a b bc a c k a c a c c ca c --+=-=+++， 1FC AB ⊥， ∴2223()()13b a c b a c c c-⨯-=-+，由222b ac =-得2215c a =，即e =．【点评】本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运算量较大．11．（2014•辽宁理）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P（Ⅰ）求1C 的方程；（Ⅱ）若椭圆2C 过点P 且与1C有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合【分析】（Ⅰ）设切点0(P x ，0)y ，0(0x >，00)y >，利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得切线的斜率和切线的方程，即可得出三角形的面积，利用基本不等式的性质可得点P 的坐标，再利用双曲线的标准方程及其性质即可得出；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得椭圆2C 的焦点．可设椭圆2C 的方程为22122111(0)3x y b b b +=>+．把P 的坐标代入即可得出方程．由题意可设直线l的方程为x my =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系，再利用向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设切点0(P x ，0)y ，0(0x >，00)y >，则切线的斜率为0x y -，可得切线的方程为0000()x y y x x y -=--，化为004x x y y +=．令0x =，可得04y y =；令0y =，可得04x x =．∴切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形的面积000014482S y x x y ==． 22000042x y x y =+…，当且仅当00x y ==∴842S=…．此时P ．由题意可得22221a b-=，c e a ===21a =，22b =．故双曲线1C 的方程为2212y x-=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知双曲线1C 的焦点(0)，即为椭圆2C 的焦点．可设椭圆2C 的方程为22122111(0)3x y bb b +=>+．把P 代入可得22112213b b +=+，解得213b =，因此椭圆2C 的方程为22163xy +=．由题意可设直线l 的方程为x my =1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立2226x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，化为22(2)30m y++-=， ∴12y y +=，12232y y m -=+． 1212()x x m y y ∴+=++， 22121212266()32m x x m y y y y m -=+++=+．11(2)AP x y =，22(2)BP x y =，AP BP ⊥，∴0AP BP =，∴12121212))40x x x x y y y y ++++=，∴22110m -+=，解得1m =或1)m =--，因此直线l 的方程为：1)0x y --或1)0x y +-=．【点评】本题综合考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、向量垂直与数量积的关系、切线的斜率和切线的方程、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了转化和化归能力，考查了解决问题的能力，属于难题．12．（2014•山东理）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =．当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E ，（ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）ABE ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的p 值；（2）（ⅰ）设出点A 的坐标，求出直线AB 的方程，利用直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E ，求出点E 的坐标，写出直线AE 的方程，将方程化为点斜式，可求出定点；（ⅱ）利用弦长公式求出弦AB 的长度，再求点E 到直线AB 的距离，得到关于面积的函数关系式，再利用基本不等式求最小值．【解答】解：（1）当点A 的横坐标为3时，过点A 作AG x ⊥轴于G ，A ，(2p F ，0)，||32pAF =+， ∴||||32pFD AF ==+． ADF ∆为正三角形，∴13||||224p FG FD ==+．又||||||32p FG OG OF =-=-， ∴33224p p -=+， 2p ∴=．C ∴的方程为24y x =．当D 在焦点F 的左侧时，||||32p FD AF ==+．又||2||2(3)62PFD FG p ==-=-， ADF ∆为正三角形，362pp ∴+=-，解得18p =， C ∴的方程为236y x =．此时点D 在x 轴负半轴，不成立，舍． C ∴的方程为24y x =．（2）（ⅰ）设1(A x ，1)y ，1||||1FD AF x ==+， 1(2D x ∴+，0)，12AD y k ∴=-．由直线1//l l 可设直线1l 方程为12y y x m =-+，联立方程1224y y x my x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得21880y y y m +-=① 由1l 和C 有且只有一个公共点得△164320y m =+=，12y m ∴=-，这时方程①的解为142y m y =-=，代入12yy x m =-+得2x m =，2(E m ∴，2)m ．点A 的坐标可化为212(,)m m -，直线AE 方程为222222()1m m y m x m m m+-=--，即2222()1my m x m m -=--， ∴32222211m m y x m m m =-+--，∴222211m my x m m =---， ∴22(1)1my x m =--，∴直线AE 过定点(1,0)；（ⅱ）直线AB 的方程为2111()24y y y y x -=--，即211224y x y y =-++．联立方程21122244y x y y y x ⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，消去x 得22118(8)0y y y y +-+=， ∴1218y y y +=-，∴12118|||2|AB y y y y =-=+，由（ⅰ）点E 的坐标为21144(,)E y y -，点E 到直线AB 的距离为：2211222844|2||2|y y d ++-++==ABE ∴∆的面积233111211111842|||2||2|2||22162242y y S AB d y y y y ==+++=+⨯厖，当且仅当12y =±时等号成立，ABE ∴∆的面积最小值为16．【点评】本题考查了抛物线的定义的应用、标准方程求法，切线方程的求法，定点问题与最值问题．13．（2014•江西理）如图，已知双曲线222:1(0)x C y a a-=>的右焦点为F ，点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF x ⊥轴，AB OB ⊥，//(BF OA O 为坐标原点）．（1）求双曲线C 的方程；（2）过C 上一点0(P x ，00)(0)y y ≠的直线002:1x x l y y a -=与直线AF 相交于点M ，与直线32x =相交于点N ．证明：当点P 在C 上移动时，||||MF NF 恒为定值，并求此定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合【分析】（1）依题意知，(,)c A c a ，设(,)tB t a-，利用AB OB ⊥，//BF OA，可求得a 线C 的方程；（2）易求A ，l 的方程为：0013x x y y -=，直线002:1x x l y y a-=与直线AF 相交于点M ，与直线32x =相交于点N ，可求得0023(2,)3x M y -，3(2N ，002)2x y -，于是化简023||||||x MF NF -=于是原结论得证．【解答】（1）解：依题意知，(,)c A c a ，设(,)tB t a -，AB OB ⊥，//BF OA ，∴11c tac t a +-=--，1()t a a c t =-，整理得：2ct =，a = ∴双曲线C 的方程为2213x y-=；（2）证明：由（1）知A ，l 的方程为：0013x x y y -=，又(2,0)F ，直线002:1x x l y y a -=与直线AF 相交于点M ，与直线32x =相交于点N ．于是可得0023(2,)3x M y -，3(2N ，002)2x y-，∴023||||||x MF NF -==2|23||23|3xx-==-．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，推理论证能力、运算求解能力、函数与方程思想，属于难题．14．（2014•陕西理）如图，曲线C由上半椭圆22122:1(0,0)y xC a b ya b+=>>…和部分抛物线22:1(0)C y x y=-+…连接而成，1C与2C的公共点为A，B，其中1C．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点B的直线l与1C，2C分别交于点P，Q（均异于点A，)B，若AP AQ⊥，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合【分析】（Ⅰ）在1C、2C的方程中，令0y=，即得1b=，设1C：的半焦距为c，由ca=及2221a c b-==得2a=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半椭圆1C的方程为221(0)4yx y+=…，设其方程为(1)(0)y k x k=-≠，代入1C的方程，整理得2222(4)240k x k x k+-+-=．(*)设点(pP x，)py，依题意，可求得点P的坐标为224(4kk-+，28)4kk-+；同理可得点Q的坐标为2(1,2)k k k----，利用0AP AQ =，可求得k的值，从而可得答案．【解答】解：（Ⅰ）在1C、2C的方程中，令0y=，可得1b=，且(1,0)A-，(1,0)B是上半椭圆1C的左右顶点．设1C：的半焦距为c，由ca=及2221a c b-==得2a=．2a∴=，1b=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半椭圆1C 的方程为221(0)4y x y +=…．易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为(1)(0)y k x k =-≠，代入1C 的方程，整理得：2222(4)240k x k x k +-+-=．(*) 设点(p P x ，)p y ，直线l 过点B ，1x ∴=是方程(*)的一个根，由求根公式，得2244p k x k -=+，从而284p ky k -=+，∴点P 的坐标为224(4k k -+，28)4kk -+．同理，由2(1)(0)1(0)y k x k y x y =-≠⎧⎨=-+⎩…得点Q 的坐标为2(1,2)k k k ----， ∴22(,4)4kAP k k =-+，(1,2)AQ k k =-+， AP AQ ⊥，∴0AP AQ =，即222[4(2)]04k k k k --+=+， 0k ≠，4(2)0k k ∴-+=，解得83k =-．经检验，83k =-符合题意，故直线l 的方程为8(1)3y x =--，即8380x y +-=．【点评】本题考查椭圆与抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查设点法、数形结合思想、函数与方程思想，属于难题．15．（2014•四川理）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ． ①证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）； ②当||||TF PQ 最小时，求点T 的坐标．【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合【分析】第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，222a b c =+及焦距24c =建立方程组求得2a ，2b ；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ 的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将||||TF PQ 表示出来，由||||TF PQ 取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T 的坐标．【解答】解：（1）依题意有22224c a a b c =⎧⎪=⎨⎪-==⎩解得2262a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆C 的标准方程为22162x y +=．（2）设(3,)T t -，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，PQ 的中点为0(N x ，0)y ， ①证明：由(2,0)F -，可设直线PQ 的方程为2x my =-，则PQ 的斜率1PQ k m=．由22222(3)420162x my m y my x y =-⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩，所以222122122168(3)24(1)04323m m m m y y m y y m ⎧⎪=++=+>⎪⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩，于是1202223y y my m +==+，从而20022262233m x my m m -=-=-=++，即2262(,)33m N m m -++，则直线ON 的斜率3ON mk =-，又由PQ TF ⊥知，直线TF 的斜率011132TF PQt k k m-==-=--+，得t m =．从而33OT ON t mk k ==-=-，即OT ON k k =，所以O ，N ，T 三点共线，从而OT 平分线段PQ ，故得证． ②由两点间距离公式得||TF =由弦长公式得2222212121224(1)||||1()411m PQ y ym y y y y m m +=-+=+-+=+，所以22||||1)1TF PQ m ==+，令1)x x =…，则2||2)||TF x PQ x ==+22x =时，取“=”号），所以当||||TF PQ 最小时，由2221x m ==+，得1m =或1m =-，此时点T 的坐标为(3,1)-或(3,1)--．【点评】本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面： 1、设交点坐标，设直线方程；2、联立直线与椭圆方程，消去y 或x ，得到一个关于x 或y 一元二次方程，利用韦达定理；3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题．。

广东省13市高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：圆锥曲线 Word版含答案

广东省13市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择、填空题1、（潮州市2017届高三上学期期末）已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点成F ，过点F且倾斜角为45°的直线l 与抛物线在第一、第四象限分别交于A 、B ，则等于（）A ．3B ．7+C ．3+D ．22、（珠海市2017届高三上学期期末）已知双曲线221C 1164x y =：－，双曲线22222C 1(00)x y a b a b=>>：－，的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 2一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，若△OMF 2的面积为 16，且双曲线C 1，C 2的离心率相同，则双曲线C 2的实轴长为A ．4B ．8C ．16D ．323、（佛山市2017届高三教学质量检测（一））已知双曲线)0(1:2222>>=-a b by a x C 的右焦点为F ，O 为坐标原点，若存在直线l 过点F 交双曲线C 的右支于B A ,两点，使0=⋅，则双曲线离心率的取值范围是________4、（广州市2017届高三12月模拟）已知双曲线：C 12222=-bx a y （0,0>>b a ）的渐近线方程为x y 21±=, 则双曲线C 的离心率为(A) 25 (B) 5 (C) 26 (D) 65、（惠州市2017届高三第三次调研）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( ) （A ） 3 （B ）2（C ）2 （D ）3 6、（江门市2017届高三12月调研）过抛物线（）焦点的直线与抛物线交于两点，以为直径的圆的方程为，则A ．B ．C ．D ．7、（揭阳市2017届高三上学期期末）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点与短轴一端点组成一正三角形三个顶点，若焦点到椭圆上点的最大距离为,a b 为实半轴长和虚半轴长，焦点在y 轴上的双曲线标准方程为.8、（茂名市2017届高三第一次综合测试）过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点2(,0)F c 作圆222a y x =+的切线，切点为M ，延长2M F 交抛物线24y cx =-于点,P 其中O 为坐标原点，若21()2OM OF OP =+，则双曲线的离心率为（） A ．7224- B ．7224+ C ．231+D ．251+ 9、（清远市清城区2017届高三上学期期末）已知双曲线c ：，以右焦点F 为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M 、N （异于原点O ），若|MN|=，则双曲线C 的离心率是（）A B ．2 D 1 10、（汕头市2017届高三上学期期末）圆0138222=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a （）A ．34-B ．43- C ．3 D ．2 11、（韶关市2017届高三1月调研）已知点A 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上一点，F 是右焦点,若AOF ∆(O 是坐标原点)是等边三角形，则该双曲线离心率e 为(C)1+1+二、解答题1、（潮州市2017届高三上学期期末）已知点A 、B 分别是左焦点为（﹣4，0）的椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，且椭圆C 过点P （，）．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知F 是椭圆C 的右焦点，以AF 为直径的圆记为圆M ，过P 点能否引圆M 的切线？若能，求出这条切线与x 轴及圆M 的弦PF 所对的劣弧围成的图形面积；若不能，说明理由．2、（珠海市2017届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为F 1(－1，0)，离心率e . (1)求椭圆G 的标准方程；(2)已知直线l 1：y ＝kx +m 1与椭圆G 交于A ，B 两点，直线l 2：y ＝kx +m 2（m 1≠m 2）与椭圆G 交于C ，D 两点，且| AB |＝|CD |，如图所示. ①证明：m 1+m 2＝0；②求四边形ABCD 的面积S 的最大值.3、（佛山市2017届高三教学质量检测（一））已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 过点)1,2(M ，且离心率为23（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设)1,0(-A ，直线l 与椭圆C 交于Q P ,两点，且AQ AP =，当OPQ ∆（O 为坐标原点）的面积S 最大时，求直线l 的方程4、（广州市2017届高三12月模拟）已知动圆P 与圆221:(2)49F x y ++=相切，且与圆1)2(:222=+-y x F 相内切，记圆心P 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交曲线C 于,M N 两个不同的点, 求△QMN 面积的最大值．5、（惠州市2017届高三第三次调研）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为()()121,0,1,0F F -，点A ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C 有两个不同交点M N 、时，能在直线53y =上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM NQ =？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．6、（江门市2017届高三12月调研）在平面直角坐标系中，椭圆：()的离心率为, 椭圆的顶点四边形的面积为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆的顶点的直线交椭圆于另一点，交轴于点，若、、成等比数列，求直线的方程．7、（揭阳市2017届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （-1, 0）、B （1,0）、C （0, -1），N 为y 轴上的点，MN 垂直于y 轴，且点M 满足AM BM ON CM ⋅=⋅（O 为坐标原点），点M 的轨迹为曲线T ． (Ⅰ)求曲线T 的方程；(Ⅱ)设点P （P 不在y 轴上）是曲线T 上任意一点，曲线T 在点P 处的切线l 与直线54y =-交于点Q ，试探究以PQ 为直径的圆是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，说明理由．8、（茂名市2017届高三第一次综合测试）,x y R ∈，向量,i j 分别为直角坐标平面内,x y 轴正方向上的单位向量，若向量(3)a x i y j =++, (3)b x i y j =-+,且||||4a b +=．（Ⅰ）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设椭圆22:1164x y E +=，P 为曲线C 上一点，过点P 作曲线C 的切线=+y kx m 交椭圆E 于A 、B 两点，试证：∆OAB 的面积为定值.9、（清远市清城区2017届高三上学期期末）以椭圆()222:11x M y a a +=>的四个顶点为顶点的四边形的四条边与O ：221x y +=共有6个交点，且这6个点恰好把圆周六等分. （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若直线l 与O 相切，且与椭圆M 相交于P ，Q 两点，求PQ 的最大值.10、（汕头市2017届高三上学期期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=求实数t 的取值范围.11、（韶关市2017届高三1月调研）设椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>，椭圆C短轴的一个端点与长轴的一个端点的连线与圆O：224 3x y+=相切，且抛物线2y=-的准线恰好过椭圆C的一个焦点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过圆O上任意一点P作圆的切线l与椭圆C交于,A B两点，连接PO并延长交圆O 于点Q，求ABQ∆面积的取值范围.参考答案一、选择、填空题1、【解答】解：直线l的方程为y=x﹣，代入y2=2px，整理得4x2﹣12px+p2=0，解得x=p，∴==3+2．故选C．2、C3、4、B5、【解析】设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为：x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2(c 2a 2－1)＝b 4a 2，∴y＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b 2a ＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a 2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3. 6、B7、221129y x -= 8、 D 解：如图9，∵21M (OP)2O OF =+，∴M 是2F P 的中点.设抛物线的焦点为F 1，则F 1为（- c ，0），也是双曲线的焦点. 连接PF 1，OM.∵O 、M 分别是12F F 和2PF 的中点，∴OM 为 △PF 2F 1的中位线.∵OM=a ，∴|PF 1|=2 a.∵OM ⊥2PF ，∴2PF ⊥PF 1，于是可得|2PF 2b =，设P （x ，y ），则 c -x =2a ，于是有x=c-2a ， y 2=-4c （c -2 a ），过点2F 作x 轴的垂线，点P 到该垂线的距离为2a. 由勾股定理得 y 2+4a 2=4b 2，即-4c(c-2a)+4 a 2=4(c 2- a 2)，变形可得c 2-a 2=ac ，两边同除以a 2有210e e --=, 所以12e = ,负值已经舍去. 故选D . 9、C 10、A11、【解析】依题意及三角函数定义,点(cos,sin )33B c c ππ⋅ ,即1()2B c ，代入双曲线方程 22222234b c a c a b -=，又222c a b =+，得24e =+e =1,故选D另解，设左焦点为1F , 可题意及双曲线几何性质可得190F AF ∠=,1AF = 所以212c e a ===二、解答题1、【解答】解：（1）由题意a 2=b 2+16，+=1，解得b 2=20或b 2=﹣15（舍），由此得a 2=36，所以，所求椭圆C 的标准方程为=1．（2）由（1）知A （﹣6，0），F （4，0），又（，），则得=（，），=（﹣，）．所以=0，即∠APF=90°，△APF 是Rt △，所以，以AF 为直径的圆M 必过点P ，因此，过P 点能引出该圆M 的切线，设切线为PQ ，交x 轴于Q 点，又AF 的中点为M （﹣1，0），则显然PQ ⊥PM ，而k PM =，所以PQ 的斜率为﹣，因此，过P 点引圆M 的切线方程为：y ﹣=﹣（x ﹣），即x +y ﹣9=0．令y=0，则x=9，∴Q （9，0），又M （﹣1，0），所以S 扇形MPF ==，因此，所求的图形面积是S=S △PQM ﹣S 扇形MPF =．2、3、4、解：（Ⅰ）设圆P 的半径为R ,圆心P 的坐标为(,)x y ，由于动圆P 与圆221:(2)49F x y ++=相切，且与圆1)2(:222=+-y x F 相内切，所以动圆P 与圆1F 只能内切. …………………………………1分所以127,1.PF R PF R ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩…………………………………2分则4||6||||2121=>=+F F PF PF .…………………………………3分所以圆心P 的轨迹是以点12,F F 为焦点的椭圆, 且3,2a c ==, 则2225b a c =-=.所以曲线C 的方程为15922=+y x . …………………………………4分（Ⅱ）设112233(,), (,), (,)M x y N x y Q x y ，直线MN 的方程为2x my =+，由222,1,95x my x y ì=+ïïïíï+=ïïî可得225920250m y my ++-=（），则1212222025,5959m y y y y m m +=-=-++. …………………………………5分所以MN =…………………………………6分=()22301.59m m +=+…………………………………7分因为//MN OQ ，所以△QMN 的面积等于△OMN 的面积.…………………8分点O 到直线2:+=my x MN 的距离d =. ……………………………9分所以△QMN的面积221130(1)2259m S MN dm +=?创+.…………………………………10分t ，则221m t =-(1)t ≥ ，()223030304545195t t S t t t t===+-++. 设()()451f t t t t=+?，则()2224545t f t t t -¢=-=. 因为1t ³, 所以()22540.t f t t-¢=>所以()45f t t t=+在[)1,+?上单调递增. 所以当1t =时, ()f t 取得最小值, 其值为9.…………………………………11分所以△QMN 的面积的最大值为309.…………………………………12分说明:△QMN 的面积21212S OF yy =?==5、解:（Ⅰ）设椭圆C 的焦距为2c ，则1c =，因为2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C上，所以122a AF AF =+=， ……2分因此2221a b a c ==-=，故椭圆C 的方程为2212x y +=．．．．．．5分（Ⅱ）椭圆C 上不存在这样的点Q ，证明如下：设直线的方程为2y x t =+，设()11,M x y ，()()223445,,,,,3N x y P x Q x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，MN 的中点为()00,D x y ，由22212y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去，得229280y ty t -+-=， ……………6分所以1229t y y +=，且()2243680t t ∆=-->，故12029y y ty +==且33t -<<．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分由PM NQ =得),()35,(2424131y y x x y x x --=-- ．．．．．．．．．9分所以有24135y y y -=-，=-+=35214y y y 3592-t ．．．．．．．．．．．．10分(也可由PM NQ =知四边形PMQN 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此，也D 为线段PQ 的中点，所以405329y t y +==，可得42159t y -=)，又33t -<<，所以4713y -<<-，与椭圆上点的纵坐标的取值范围[]1,1-矛盾。

2014年广东高考理科数学参考答案与解析

2014年广东高考理科数学参考答案与解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B 【命题意图】本小题主要考查了集合中的元素及并集运算问题，要注意正确运用集合的基本运算，认清集合中的元素，避免遗漏元素而出错.【解析】∵{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，∴{1,0,1,2}M N =-，故选B .2.D 【命题意图】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数的概念，关键是正确掌握复数的运算法则与性质.【解析】∵(34)25i z -=，∴2534z i =-=25(34)(34)(34)i i i +-+=34i +，故选D . 3．C 【命题意图】本题主要考查线两直线交点的解法、二元不等式组的解法及性规划问题，关键是作出如图所示的可行域，并正确判断目标函数2z x y =+经过两直线1x y +=与1y =-交点(2,1)B -时，值最大；经过两直线y x =与1y =-交点(1,1)A --时，值最小.【解析】由题画出如图所示的可行域；由图可知当直线2z x y =+经过点(2,1)B -时，max 2213z =⨯-=，当直线2z x y =+经过点(1,1)A --时，min 2(1)13z =⨯--=-，所以6M N -=，故选C .2246510y = -1x +y -1=0y = x B ACO4. D 【命题意图】本题主要考查了双曲线的几何意义. 【解析】∵09k <<，∴90k ->，250k ->，∴曲线221259x y k +=-与221259x y k +=-均是双曲线，且222c a b =+=25(9)k +-=(25)9k -+，即焦距相等.故选D.5．B 【命题意图】本题主要考查了空间向量坐标运算和夹角求解，关键是正确掌握空间向量坐标运算的法则.【解析】∵(1,0,1)=-a ，设所求向量为(,y,z)x =b ，由题意得：||||cos60⋅=a b a b ，∴(1,1,0)=-b .故选B .6. A 【命题意图】本题主要考查了统计图表中的扇形统计图和条形统计图以及分层抽样的理解.【解析】由题意知：该地区中小学生总人数为：35004500200010000++=人，所以样本容量为100002%200⨯=，应抽取高中生人数为：420040794⨯=++，所以抽取的高中生近视人数为4050%20⨯=人.故选A.7. D 【命题意图】本题主要考查了立体几何空间中直线位置关系的判定.【解析】如图所示的正方体A B C DA B C D ''''-中，令1l 为AA '，2l 为BC ，当3l 为CC '时， 1334l l l l ⎫⇒⎬⊥⎭∥14l l ⊥，则选项A 成立，当3l 为CD 时，则4l 可以为对角线BC '或BB '或B C ''，1l 与4l 是异面直线或平行或垂直，所以1l 与4l 位置关系不确定.故选D. CC'D'B'A'D A B8. D 【命题意图】本题主要考查了集合中的新定义、计数原理、排列组合及绝对值不等式的性质，旨在考查创新意识和创新能力.【解析】由新定义知：12345,,,,x x x x x 中至少有两个0，至多有4个0，只含2个0时有2352C 个，只含3个0时有3252C 个，只含4个0时有452C 个，共130个，故选D. 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．{|32}x x x ≤-≥或【命题意图】本题主要考查了含两个绝对值的不等式的解法.【解析】当2x <-时，125x x -+--≥，解得3x ≤-，又2x <-，∴3x ≤-；当21x -≤<时，125x x -+++≥，原不等式无解；当1x ≥时，125x x -++≥，解得2x ≥，又1x ≥，∴2x ≥；10.530x y +-=【命题意图】本题主要考查了导数的几何意义、曲线切线方程的求解及点斜式直线方程的应用.【解析】由题知：55x y e -'=-，∴(0)5k f '==-，由点斜式直线方程的曲线切线方程为：35y x -=-，即530x y +-=.11．16【命题意图】本题主要考查了利用排列组合知识处理古典概型概率的计算以及中位数概念的理解. 【解析】由题意得：所有的基本事件有731010120C C ==个，其中中位数是6的事件有3620C =个，所求概率为20120P ==1612．2【命题意图】本题主要考查了【解析】∵b B c C b 2cos cos =+，由余弦定理化角为边得：222222222a b c a c b b c b ab ac+-+-⋅+⋅=，即2a b =，故2a b =. 13．50【命题意图】本题主要考查了等比数列的性质与自然对数的运算性质.【解析】由题意得，51011912120a a a a a a e ===，又∵0n a >，∴1220ln ln ln a a a +++=1220ln()a a a =10120ln()a a =510ln e ⨯=50.（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14. (1,1)【命题意图】本题主要考查了极坐方程与直角坐标方程相互转化及曲线交点直角坐标的求解.【解析】由2sin cos ρθθ=得sin sin 1cos θρθθ⨯=，将sin y ρθ=，tan y xθ=代入上式，得2y x =，由sin 1ρθ=得1y =，解方程组21y x y ⎧=⎨=⎩得曲线1C 和2C 交点的直角坐标为(1,1). 15.9【命题意图】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的运用.【解析】∵2EB AE =，∴1133AE AB CD ==，又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CDF AEF ∆∆，∴2()9CDF CD AEF AE∆==∆的面的面积积.积三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16. 【命题意图】本题主要考查了三角函数的相关知识，即给角求值、诱导公式、两角和差公式及平方关系，重点考查知识的应用与计算能力以及传化思想.【解析】（1）∵()sin()3f x A x π=+，x R ∈，532()122f π=. ∴532sin()=1232A ππ+,即332sin =42A π，∴3A =；（2）由（1）知()3sin()3f x x π=+，又∵()()3f f θθ--=，(0,)2πθ∈， ∴3sin()3sin()333ππθθ+--+=，∴3sin()3sin()333ππθθ++-=， ∴13133sin cos sin cos 22223θθθθ++-=，所以3sin 3θ=，又∵(0,)2πθ∈， ∴2cos 1sin θθ=-=231()3-=63， ∴()6f πθ-=3sin()63ππθ-+=3cos θ=6. 【点评】本题综合了三角函数的相关知识，涉及了振幅的求解，特殊三角函数值，诱导公式，两角和差公式以及同角三角函数关系，特别要注意三角函数值的符号是由角所在象限来决定的.17. 【命题意图】本题主要考查了概率统计中的相关知识，即频率分布表和频率分布直方图，以及互斥事件和对立事件概率的求解，重点考查概率统计知识的应用能力和统计学的基本思想，即分析样本数据和处理样本数据的能力，从而估计总体数据特征的思想.【解析】【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率统计问题来考查,本题是概率统计知识的交汇题，涉及样本数据的收集，处理和分析的整个过程，如频率分布表和频率分布直方图，互斥事件和对立事件概率的求解.18. 【命题意图】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与空间角，即空间几何体中二面角的体积计算，旨在考查逻辑推理能力、空间想象能力和化归思想.【解析】【点评】本题通过矩形ABCD 与三角形PCD 为载体，以折叠为手段，把立体几何的相关知识交汇在一起，折叠问题是立几常考知识，特别注意折叠前后变化量和未变化量是解题的关键，利用空间向量为工具求解二面角是理数区别文数的一个重要特征.19. 【命题意图】本题主要考查了数列的通项n a 及其前n 项和n S 的关系，因式分解的应用、解方程组，重点考查逻辑思维、运算和化归能力.【解析】【点评】数列高考六大主考知识点之一，但新课标高考考查的难度已大为降低，所考查的热点为利用11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求数列的通项公式，但要注意验证首项是否成立，否则出错.20. 【命题意图】本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、平面向量垂直平行的性质、点的轨迹以及数形结合思想和化归思想，重在考查逻辑推理能力和计算能力.【解析】【点评】解析几何是必考题型,重点考查求圆锥曲线的方程、点的轨迹、直线与圆锥曲线的位置关系以及含参问题，其中直线与圆锥曲线的相交问题一般联立方程，设而不求,并借助根的判别式及韦达定理进行转化.21. 【命题意图】本题主要考查了函数的定义域求解，恒成立问题，导数的运算、利用导数法研究函数的单调性与最值，分类讨论思想和根式不等式的解法，重点考查知识的综合应用能力和换元、化归思想.【解析】【点评】（1）求()f x 的定义域等价于222(2)2(2)30x x k x x k +++++->的解集，注意要把2(2)x x k ++看成一个整体，即换元思想；（2）求()f x 的单调性应转化为求222()(2)2(2)3g x x x k x x k =+++++-的单调性；（3）解不等式()(1)f x f >应利用函数的单调性穿脱函数符号，可以起到事半功倍的效果.切忌直接求解.。

广东版(二)2014届高三数学(理)试题分省分项汇编：专题09 圆锥曲线原卷版 Word版缺答案

一．基础题组1.【广东省广州市海珠区2014届高三上学期综合测试二】已知双曲线221x y m-=的离心率是2，则m 的值是 .2.【广东省深圳市宝安区2014届高三调研考试】以抛物线x y 202=的焦点为圆心，且与双曲线221169x y -=的两条渐近线都相切的圆的方程为______________________. 二．能力题组1.【广东省仲元中学、中山一中、南海中学、潮阳一中、宝安中学、普宁二中2014届高三第一次联考】定义：关于x 的不等式x A B -<的解集叫A 的B 邻域．已知2a b +-的a b+邻域为区间()2,8-，其中a 、b 分别为椭圆22221x y a b+=的长半轴和短半轴．若此椭圆的一焦点与抛物线2y =的焦点重合，则椭圆的方程为（）A.22183x y +=B.22194x y +=C.22198x y += D.221169x y += 2.【广东省增城市2014届高三调研考试】与圆221x y +=及圆228120x y x +-+=都相外切的圆的圆心在（）A.一个椭圆上B.一支双曲线上C.一条抛物线上D.一个圆上3.【广东省百所高中2014届高三11月联考】设1F 、2F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线某条渐过线M 、N 两点，且满足120MAN ∠= ，则该双曲线的离心率为（）C.23D.3三．拔高题组1.【广东省仲元中学、中山一中、南海中学、潮阳一中、宝安中学、普宁二中2014届高三第一次联考】已知椭圆C 的中心在原点O ，离心率2e =，右焦点为)F .（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的上顶点为A ，在椭圆C 上是否存在点P ，使得向量OP OA + 与FA共线？若存在，求直线AP的方程；若不存在，简要说明理由.2.【广东省增城市2014届高三调研考试】已知点()()1,0,1,0,A B -直线AM 、BM 相交于点M ，且2MA MB k k ⨯=-.（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过定点()0,1作直线PQ 与曲线C 交于P 、Q 两点，且2PQ =，求直线PQ 的方程.3.【广东省惠州市2014届高三第二次调研考试】已知左焦点为(1,0)F -的椭圆过点(1,3E ．过点(1,1)P 分别作斜率为12,k k 的椭圆的动弦,AB CD ，设,M N 分别为线段,AB CD 的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为线段AB 的中点，求1k ；（3）若121k k +=，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．4.【广东省执信中学2014届高三上学期期中考试】已知点(0,)2p F （0,p p >是常数），且动点P 到x 轴的距离比到点F 的距离小2p . （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）（i ）已知点()2,2M ，若曲线E 上存在不同两点A 、B 满足AM BM +=0，求实数p 的取值范围；（ii ）当2p =时，抛物线L 上是否存在异于A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线，若存在，求出点C 的坐标，若不存在，请说明理由．5.【广东省深圳市宝安区2014届高三调研考试】已知点(0,1),F 直线:1,l y P =-为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅ .（1）求动点P 的轨迹方程；（2）,A B 是轨迹M 上异于坐标原点O 的不同两点，轨迹M 在点,A B 处的切线分别为12,l l ，且12l l ⊥，12,l l 相交于点D ，求点D 的纵坐标.7.【广东省广州市海珠区2014届高三上学期综合测试二】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为e =，直线y x =+C 的短半轴长为半径的圆O 相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）如下图，A 、B 、D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，求证：2m k -为定值.。

全国高考数学试题分类汇编(圆锥曲线部分)

全国高考数学试题分类汇编——圆锥曲线第一部分：选择题。

1． (全国卷Ⅰ文第6题) 已知双曲线)0( 1222>=-a y a x 的一条准线为23=x ：则该双曲线的离心率为（）（A ）23（B ）23 （C ）26 （D ）332 2 (全国卷Ⅰ理第6题) 已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合：则该双曲线的离心率为（）（A ）23 （B ）23 （C ）26 （D ）332 3. （全国卷II 文第5题）抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4：则点A 与抛物线焦点的距离为( )(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 54.(全国卷II 文第6题) 双曲线22149x y-=的渐近线方程是 ( )(A) 23y x =± (B) 49y x =± (C) 32y x =± (D) 94y x =±5. (全国卷II 理第6题) 已知双曲线22163x y -=的焦点为1F 、2F ：点M 在双曲线上且1MF x ⊥轴：则1F 到直线2F M 的距离为 ( )(A)(B)(C)65(D)566. (全国卷III 理第9题：文第9题) 已知双曲线2212yx-=的焦点为F 1、F 2：点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为（）（A ）43 （B ）53（C（D7. (全国卷III 理第10题：文第10题) 设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2：过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ：若△F 1PF 2为等腰直角三角形：则椭圆的离心率是（）（A（B（C）2 （D18. （辽宁卷第11题）已知双曲线的中心在原点：离心率为3.若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合：则该双曲线与抛物线x y 42=的交点到原点的距离是（）A ．23+6B ．21C ．21218+D ．219.（江苏卷第6题）抛物线y=42x 上的一点M 到焦点的距离为1：则点M 的纵坐标是 ( ) ( A )1617 ( B ) 1615 ( C ) 87 ( D ) 0 10. （江苏卷第11题）点P(-3,1)在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的光线,经直线y =－2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为 ( ) ( A )33 ( B ) 31 ( C ) 22 ( D ) 2111. （广东卷第5题）若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12：则m= ( )（Ｂ）32 （Ｃ）83 （Ｄ）2312. （重庆卷理第9题：文第9题）若动点(x ,y )在曲线14222=+by x (b >0)上变化：则x 2+2y 的最大值为 ( )(A) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2)40(442b bb b ：(B) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2)20(442b bb b ：(C) 442+b ： (D) 2b 。

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1 2007-2014年广东高考试题分类汇编（13）圆锥曲线三、解答题： 18．（2007年高考）

在平面直角坐标系xOy，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C与直线yx相切于坐标原点O．椭

圆22219xya与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．（1）求圆C的方程；（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长，若存在，

请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设圆C的圆心为(,)mn ，

则 222mnn ，解得22mn， ∴所求的圆的方程为 22(2)(2)8xy． (2) 由已知可得210a，5a，

椭圆的方程为 221259xy，右焦点为(4,0)F；若存在，则F在OQ的中垂线上，又O、Q在圆C上，所以O、Q关于直线CF对称；直线CF的方程为12(2)3yx，即340xy，

设(,)Qxy，则1()1334022yxxy，解得45125xy， ∴存在，Q的坐标为412(,)55． 2

2．（2008年高考）设0b，椭圆方程为222212xybb，抛物线方程为28()xyb．如图所示，过点(02)Fb，作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右

焦点1F．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设AB，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得ABP△为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

xOA

【解析】（1）由28()xyb，得218yxb，当2yb得4x，∴G点的坐标为(4,2)b， 1'4yx，4'|1xy，过点G的切线方程为(2)4ybx即2yxb，

令0y，得2xb，∴1F点的坐标为(2,0)b，由椭圆方程得1F点的坐标为(,0)b，∴2bb，即1b，

即椭圆和抛物线的方程分别为2212xy和28(1)xy；（2）过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P， ∴以PAB为直角的RtABP只有一个，同理以PBA为直角的RtABP只有一个．

若以APB为直角，设P点坐标为21(,1)8xx，

A、B两点的坐标分别为(2,0)和(2,0)，

222421152(1)108644PAPBxxxx．

关于2x的二次方程有一大于零的解，∴x有两解，即以APB为直角的RtABP有两个， 3

因此抛物线上存在四个点使得ABP为直角三角形． 3．（2009年高考）已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，两个焦点分别为1F和2F，椭圆G上一点到1F和2F的距离之和为12．圆kC：2224210()xykyykR的圆心为点kA．

（1）求椭圆G的方程；（2）求12kAFF面积；（3）问是否存在圆kC包围椭圆G？请说明理由．

【解析】（1）设椭圆G的方程为：22221xyab （0ab）半焦距为c,

则21232aca , 解得633ac , ∴22236279bac ∴所求椭圆G的方程为：221369xy. (2 )点kA的坐标为,2k 12121126326322KAFFSFFV （3）若0k，由2260120215120kk可知点6,0（）在圆kC外，

若0k，由22(6)0120215120kk可知点6,0（）在圆kC外； 不论k为何值圆kC都不能包围椭圆G. 4

4．（2010年高考）已知曲线2nCynx：，点(,)(0,0)nnnnnPxyxy是曲线nC上的点（1,2n,…）. （1）试写出曲线nC在点nP处的切线nl的方程，并求出nl与y轴的交点nQ的坐标；（2）若原点(0,0)O到nl的距离与线段nnPQ的长度之比取得最大值，试求试点nP的坐标(,nnxy)；（3）设m与k为两个给定的不同的正整数，nx与ny是满足（2）中条件的点nP的坐标，

证明：1(1)(1)2snnnmxkymsks(1,2,)s…．【解析】（1）'2ynx，nl的切线斜率2nnknx，nl的方程为2()nnnyynxxx，当0x时，2nnynxy，(0,)nQy．（2）原点O到nl的距离222||4141nnnnnxydnynx，222||44nnnnnnyPQxyyn，

2231||414816nnnnnnnnnnyydPQnyyyyynynn



11141

8216816nnnyny



，

此时1116,4nnnnyynyn，2211,24nnxxnn，11(,)24nPnn．（3）1(1)|(1)|||2snnnmxkymsks

1|11|1||2snmkmsksn111||||44snmkmsksnn

11|11|||2snmkmsksn11||2|11|snmksnmk









而||||(11)|11||11|(11)mksmkmksmkmkmk ||()||mkmkssmk

，∵11121nnnnn，

∴11(10)(21)(32)(1)2snssns，得证． 5

x y O 2x A

P l M

x y O 2x T

N l H

N H

 H

5．（2011高考）在平面直角坐标系xOy上，直线l：2x交x轴于点A．设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足MPOAOP．（1）当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；

（2）已知(1,1)T，设H是E上动点，求HOHT的最小值，并给出此时点H的坐标；

（3）过点(1,1)T且不平行于y轴的直线1l与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线1l的斜率k的取值范围．

【解析】（1）如图所示，连接OM，则PMOM ∵MPOAOP， ∴动点M满足MPl或M在x的负半轴上，设(,)Mxy，

① 当MPl时，2MPx，22OMxy， 222xxy

，化简得244yx(1)x．

② 当M在x的负半轴上时，0y(1)x，综上所述，点M的轨迹E的方程为244yx(1)x或0y(1)x．

（2）由（1）知M的轨迹是顶点为(1,0)，焦点为原点的抛物线和x的负半轴0y(1)x． ① 若H是抛物线上的动点，过H作HNl于N，由于l是抛物线的准线，根据抛物线的定义有HOHN，

则HOHTHNHT．当,,NHT三点共线时，HNHT有最小值3TN．求得此时H的坐标为3(,1)4． ② 若H是x的负半轴0y(1)x上的动点，显然有3HOHT． 6

x y O T A

1l 1l 1l

综上所述，HOHT的最小值为3，此时点H的坐标为3(,1)4．（3）如图，设抛物线顶点(1,0)A，则直线AT的斜率12ATk，

∵点(1,1)T在抛物线内部， ∴过点T且不平行于,xy轴的直线1l必与抛物线有两个交点，则直线1l与轨迹E的交点个数分以下四种情况讨论： ① 当12k时，直线1l与轨迹E有且只有两个不同的交点， ② 当102k时，直线1l与轨迹E有且只有三个不同的交点， ③ 当0k时，直线1l与轨迹E有且只有一个交点， ④ 当0k时，直线1l与轨迹E有且只有两个不同的交点，综上所述，直线1l的斜率k的取值范围是1(,](0,)2． 7

6．（2012年高考）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22122:1(0)xyCabab的左焦点为1(10)F，，且点(01)P，在1C上．（1）求椭圆1C的方程；（2）设直线l同时与椭圆1C和抛物线22:4Cyx相切，求直线l的方程．【解析】（1）∵椭圆1C的左焦点1(10)F，，∴1c，

∵点(01)P，在1C上，∴2222011ab，∴1b， ∴2222abc， ∴椭圆1C的方程为2212xy．（2）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为ykxm， 2212xyykxm





，消去y并整理得222(12)4220kxkmxm，

∵直线l与椭圆1C相切，∴2222164(12)(22)0kmkm，整理得22210km ① 24yxykxm



，消去y并整理得222(24)0kxkmxm，

∵直线l与抛物线2C相切，∴222(24)40kmkm 整理得1km ②

综合①②，解得222km或222km

∴直线l的方程为222yx或222yx．