全国竞赛试题分析及解题方法
2023全国研究生数学建模竞赛c题
2023全国研究生数学建模竞赛c题数学建模竞赛是评价学生综合能力的一项重要考试，对于参赛选手来说，掌握解题方法和技巧是至关重要的。
本文将针对2023全国研究生数学建模竞赛C题展开讨论，并提供一种解题思路。
一、题目概述2023全国研究生数学建模竞赛C题要求分析某种数值方法的稳定性和精度，并用该方法解决一个具体的数学问题。
二、问题分析1. 熟悉题目要求：仔细阅读C题的题目要求，了解何种数值方法需要分析稳定性和精度，以及需要解决的具体数学问题。
2. 提取关键信息：从题目中提取关键信息，如给定的条件、计算目标等。
理清楚问题的思路和步骤，明确需要采用的数值方法。
三、解题思路1. 稳定性分析：a. 理论基础：回顾该数值方法的稳定性理论，了解计算过程中的误差来源以及如何通过该方法来减小误差。
b. 条件分析：根据题目给定条件，对数值方法的稳定性进行分析。
考虑可能的误差传播和积累情况，以及对结果的影响。
c. 稳定性评估：根据上述分析，评估该数值方法在给定条件下的稳定性。
可以采用数值计算方法，如误差分析、收敛性分析等进行定量评估。
2. 精度分析：a. 精度要求：根据题目要求，确定所需计算结果的精度。
结合数学模型和计算方法，估计求解过程中所需的计算位数。
b. 误差分析：对数值方法的误差来源进行分析，特别是截断误差和舍入误差。
推导数值方法的误差公式，并对误差进行定量估计。
c. 精度评估：结合误差分析，评估该数值方法的精度是否满足题目要求。
可以通过减小误差的手段来提高方法的精度。
3. 具体问题求解：a. 数学模型：将具体数学问题抽象为数学模型，明确需要求解的目标和约束条件。
b. 求解方法：根据题目要求和已分析的数值方法稳定性和精度，选择合适的数值求解方法。
可以利用已有的数学软件或编程语言进行实现。
c. 结果验证：对求解结果进行合理性验证。
可以与已知结果进行比较，或通过数值实验进行验证。
四、总结在2023全国研究生数学建模竞赛C题中，我们需要分析某种数值方法的稳定性和精度，并用该方法解决一个具体的数学问题。
从一道题看奥赛所涉及的解题方法和技巧
从一道题看奥赛所涉及的解题方法和技巧题：设湖岸MN 是一条直线，有一小船自岸边的A 点沿与湖岸成α＝15°角的方向匀速向湖中驶去，有一个人自A 点同时出发，，他先沿岸走一段再入水中游泳去追小船.已知人在岸上走的速度为v1 =4m/s ，在水中游泳的速度为v2＝2m/s ，试求小船的速度至多为多大时，这人才能追上小船？方法1：微元法如图，设人在D 点入水并在B 点刚好能追上小船，这表明：此时人追上小船所用时间最少，对应的小船速度最大.D 点两侧各有入水点C 和E ，使得在该处入水追船所用时间相等.现设C 、E 是D 点两侧附近无限靠近D 点的两点，并设分别从C 、E 点入水追小船所用总时间相等.现在BC 段截取BF=BE ，那么∠BFE ＝90°.由于从C 、E 点入水追小船所用总时间相等，所以，人在CE 段走与在CF 段游泳所用时间相等.于是因为C 、E 两点无限靠近D 点，所以∠BDN ＝θ＝60°，作BK ⊥BD 交MN 于K ，于是DK=2BD.又因为v1=2v2,则人游DK 段与走DK 段所用时间相等.所以人自出发经D 点再到B 点与人由A 点一直走到K 点所用时间相同，并都等于小船从A 到B 所用的最少时间.即有 在⊿ABK 中，用正弦定理可得： 那么方法2：类比法设想MN 为甲和乙两种介质的分界面，光在甲中的速度为v1，在乙中的速度为v2，据费马原理可知，B →D →A 是光从B 传到A 费时最少的路径，而β是临界角. 这可类比本题人从A 经D 到B 的追船情况.由此得： 下面解法与方法1相同.最后可得： 21v CF v CE =21cos ==CE CF θ︒=60θ1max v AK v AB =21135sin 30sin =︒︒=AK AB )/(2222211max s m v v v ===︒==30arcsin 12v v β)/(22max s m v =方法3：图解法如图，设人开始运动就一直游泳，那么他能到达的区域是以A 为圆心、以v2t 为半径的半圆中的任何一点，若他一直沿湖岸走，那么他在t 时间内可以到达AK ＝v1t 中的任何一点，若他先沿岸走一段再入水追船，那么他可以在t 时间内到达图中⊿AEF 中的任何一点.所以，他若能追上船，船也必须在t 时间内到达这区域.由于题设小船沿α角的方向运动，所以沿此方向的直线与EK 线的交点B 是船以最大速度运动且又能被人追上的地点.在Rt ⊿AEK 中，因为AK=2AE ，所以∠AKE ＝30°，于是，∠ABK ＝180 °－15 °－ 30°＝135°在⊿ABK 中,据正弦定理得： 而所以：方法4：矢量图解法设人先沿岸走一段，再入水追船，以船为参考系，由于人和船是同时由A 点出发的，则人在沿岸走时，船看到人正在由船所在位置逐渐“离去”，离去的相对速度u 1为：要人能追上船，即人能回到船上，则其返回的相对速度u 2必须沿u 1的反方向，返回的相对速度u 2为： 作图：（1）以MN 线上的A 点为起点作矢量v 1得K 点；（2）以A 点为圆心，以v2的大小为半径作圆;（3）作直线AC ，使它与MN 线的夹角为α＝15°；设K 点与圆上的任一点E 的连线与AC线的交点为B ，则AB 表示船速，BK 表示人相对船的“离开”速度u 1，而BE 表示人相对船的“返回”速度u 2.显然，当KE 与圆相切时，AB 线最长，表示船速最大，由此有作图步骤:（4）作KE 与圆相切于E 点，并与AC 相交于B 点.由于AK=AE ，所以，∠AKF ＝30°，∠ABE ＝45°.因而⊿ABE 为等腰直角三角形，那21135sin 30sin =︒︒=AK AB 1max 1max v v t v t v AK AB ==)/(2222211max s m v v v ===v v u -=11vv u -=22方法5：等效法设人在B 点追上船，则人到达B 点可能有很多途径，如A →C →B ，A →D →B,A →E →B 等,这些途径中耗时最少的途径对应着允许的最大船速，作∠NAP ＝30°，并分别作CK,DH,EF 垂直AP ，其中设BDH 为直线，又设想MN 线下方也变成湖水区域，则因为AC=2CK,所以人由K 点游泳到C 点所用时间与人在岸上走由A 点到C 点所用时间是相等的.故人按题设情况经路径A →C →B 所用时间与假想人全部在水中游泳游过路径K →C →B 所用时间相等，同理，人按题设情况经路径A →D →B所用时间与假想人全部在水中游泳游过路径H→D →B 所用时间相等，人按题设情况经路径A→E →B 所用时间与假想人全部在水中游泳游过路径F →E →B 所用时间相等，显然，在这些途径中，因为HDB 是直线，因此所用时间最少.由以上分析可知，人沿等效途径HDB 游泳就费时最少地刚好追上船，这对应着最大船速，设为vmax ，则有因为⊿AHB 是等腰直角三角形，所以故得方法6：极值法（利用三角函数）如图，设人沿岸走到D 点时，船航行到C 点，此时人入水游泳就刚好能在B 点追上船. 在⊿ACD 中应用正弦定理得又设此时船速为v ，人由A 点走到D 点耗时为t ，则 由以上两式得 又在⊿CDB 中应用正弦定理得设人游过DB 段所用时间为t ’,则 由以上两式得由（1）、（2）式，并注意v 1=2v 2，可得 又由于，要v 尽可能大，即需AC/AD 尽可能大，而θ越大，则AC 越大，由于 )/(2222max s m v v ==2max v BH v AB =BHAB 2=)/(2222max s m v v ==AC AD =--)sin()sin(αθθπvtAC t v AD ==,1BC BD =--)sin(sin βθπθt v CB t v BD '='=,2)2()sin(sin 2v v =+βθθ)1()sin(sin 1v v =-αθθ)3()sin(2)sin(αθβθ-=+1v v AD AC =α为恒量，则θ越大，则θ－α也越大，且（θ－α）为锐角，则sin （θ－α）随（θ－α）增大而增大，故得sin （θ－α）最大时，θ最大，由（3）式可见，当sin （θ＋β）＝1时，sin （θ－α）有最大值为1/2，此时对应的θ值为450，此时得β=450，于是⊿CDB 是等腰直角三角形，则有所以： 方法7：极值法（利用一元二次函数判别式）如图，设船出发后经时间t 被人追上.则船的位移为s=v t ，又设人在岸上走用时为kt （0<k<1)，位移为s1=k v 1t,人在湖中游用时为(1－k)t （0<k<1)，位移为s2=(1-k)v 2t.那么，据余弦定理有：把s 、s1、s2的表达式及v 1、v 2的值代入并整理可得于是有要这方程有实数解，其判别式⊿应满足：由此可解得：或由本题的物理情景可知只能取： 方法8：极值法（利用一元二次函数判别式）如图，设人在岸上D 处入水追船，运动方向与湖岸成θ角,并在B 点处追上船，这人由A →D →B 用时为t .则 上式表明：t 与θ有关，且在d 、L 、v 1、v 2一定时，由θ决定,研究函数 两边平方得： 整理后得：此方程有实数解的条件是：判别式⊿≧0，即有由此解得：所以： 由（3）、（4）式得： 这表明当θ＝60°时，函数y 有最小值，由（1）式知此时t 有最小值,对应的船速有最大值.)/(2222max s m v v ==αcos 2121222ss s s s -+=︒-+=-15cos 816)1(4222kv v k k 2213432230cos 115cos +=+=︒+=︒0)4(]8)26(2[1222=-+-+-v k v k 0)4(48]8)26(2[22≥---+=∆v v 22≤v )13(22+≥v )/(22max s m v =θθsin cot 21v d v d L t +-=)1()sin cos sin 1(121d v v v L θθθ-+=)2(sin cos sin 112θθθv v y -=θθθ2222122221212sin cos cos 2v v v v v v y +-=)3()cos 1(cos cos 2222212222121θθθ-+-=v v v v v v 0)1(cos 2cos )(222212122222212=-+-+v y v v v v v v y θθ0)1()(442222122222122221≥-+-v y v v v v y v v 222122212v v v v y -≥)4(222122212min v v v v y -=21cos 12==v v θ︒=60θ)315(cot )3132(15cot 1121min+︒=-+︒=v d v v v d t )315(cot 15sin sin 1min min max+︒︒===v t d t AB v θ。
化学竞赛试题命题思想、解题思路与试题分析
化学竞赛试题命题思想、解题思路与试题分析全国化学竞赛的根本出发点是推动中学素质教育。
试题的基本命题思想主要是考察能力的试题。
“能力”的内涵很丰富,跟“智力”不太好分清。
有人认为智力包括观察力、记忆力、思维力和想象力四个主要表现形式。
有人认为智力可分成音乐智力、言语智力、逻辑-数学智力、身体运动智力、空间感受智力、人际交流智力、个人内在智力七种。
又有人将思维力分为逻辑能力与非逻辑能力。
逻辑能力包括判断、推理、比较、分类、综合、归纳、演绎等,非逻辑能力包括想象、联想、直觉、灵感、逆向思维、侧向思维、发散思维、集中思维、创造性思维等等。
化学竞赛属于智力竞赛,但不可能测试所有智力,也与电视台上的智力竞赛不同,主要不是测试应试者对知识记忆得多不多,牢不牢,遇到他人发问时从大脑中提取已有知识得快不快,而是考察应试者的观察力、思维力、想象力和创造力。
其策略是尽可能令应试者身处陌生情景,利用原有的知识基础,提取、加工、理解新情景显现的信息,提出解决问题的方案、战略和策略,形成知识、发展知识,达到考察应试者学、识、才三者统一的水平。
“学”不仅包括对前人知识的掌握,还包括个人的经验;“识”是见识、洞察力、是看清和把握方向,进行判断和抉择;“才”是才能,是能力,包括认识能力和实践能力两个方面,特别是在认识和实践中的创造力。
我们化学竞赛的试题还强调考察应试者具有的对化学学科特有的分子三维立体结构的空间想象能力或者说空间感受能力,考察化学实验能力和科学表述能力(包括运用文字、图象、符号、公式等的能力)等;竞赛试题还要求应试者关注化学知识的前沿发展,化学发展与技术进展及其他学科发展的关系和科学与社会发展——人类进步、经济发展、生活质量提高、环境改善的关系以及社会舆论中与化学有关的热点问题的认识、态度、判断能力、价值取向等。
竞赛重点考察应试者如下思维品质:敏锐性、精确性和深刻性。
竞赛中应试人的心态也是测试的重要内容,要检测应试人的自信心、应变能力、勇于提出假定、勇于修正错误、百折不挠等心理品质。
全国大学生数学竞赛题的分析
全国大学生数学竞赛题的分析随着数学素养的日益提高，越来越多的大学生愿意参加各类数学竞赛。
全国大学生数学竞赛作为具有较高难度和水平的比赛，对参赛者的数学能力提出了较高的要求。
本文将对全国大学生数学竞赛题进行分析，探讨其特点和解题技巧。
一、选择题在全国大学生数学竞赛中，选择题是必不可少的一部分。
选择题通常包括数学思维能力和计算能力的考察。
这类题目中，解答者需要根据题目中给出的条件，进行简洁而准确的计算和推理。
以确保正确地选择出正确答案。
解答这类选择题的关键在于准确理解题意，逐一排除错误选项，仔细比较其他选项，找到正确答案。
有时，可以通过列出方程或者推导出中间结论的方式来缩小可能答案的范围，提高解题效率。
二、填空题填空题是全国大学生数学竞赛中较为常见的题型。
这类题目往往涉及各个数学领域的基本概念和定理，并要求解答者具备一定的计算和推导能力。
解答填空题需要对题目要求有着清晰的认识，并熟练掌握相关的数学知识和方法。
在解答时，需要将题目中给出的条件运用到实际计算中，从而找到合适的数值或者符号填入空格中。
对于一些较为复杂的填空题，可以尝试使用递推或者归纳的思维方式，从已知条件出发，逐步推导出结果。
同时，在计算过程中要注意细节和精确度，以免出现计算错误导致答案偏差。
三、证明题证明题是全国大学生数学竞赛中较为重要且难度较高的题型。
这类题目往往要求解答者具备较强的数学推理和证明能力。
在解答过程中，解答者需要充分运用各种数学定理和方法，逻辑严密地推导出结论，并给出正确的证明。
解答证明题的关键在于正确把握证明的逻辑结构和步骤。
在开始解答之前，需要对题目要求有着清晰的认识，并在脑海中构建出解题的思路和框架。
同时，在证明的过程中，需要详细列出每一步的推理和推导过程，确保推理的合理性和严密性。
四、应用题应用题是全国大学生数学竞赛中与实际问题相关的题目。
这类题目往往要求解答者结合具体的数学知识和方法，分析和解决实际问题。
在解答过程中，解答者需要能够准确地理解问题，并灵活运用各种数学概念和模型进行分析。
2024全国初中数学重点高中自招竞赛试题精选精编(解析版)
专题分式学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1(2024·全国·八年级竞赛)如图，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、AC 上的点，且AE 、BF 、CD 相交于点G ，如果AG GE +BG GF +CG GD =2014，那么AG GE ⋅BG GF ⋅CGGD的值为．【答案】2016【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，分式化简求值，解题的关键是设S △ABG =a ，S △ACG =b ，S △BCG =c ，得出AG GE =a +b c ，BG GF =a +c b ，CG DG =b +c a ，根据AG GE +BG GF +CG GD=2014，得出a +b c +a +cb +b +c a =2014，将a +b c ⋅a +c b ⋅b +c a 化简为a +b c +a +c b +a +b c +2即可得出答案．【详解】解：设S △ABG =a ，S △ACG =b ，S △BCG =c ，则AG GE=S △ABG S △BEG =S △ACG S △CEG =S △ABG +S △ACG S △BEG +S △CEG =S △ABG +S △ACG S △BCG =a +bc ，同理可得：BG GF =a +c b ，CG DG=b +ca ，∵AG GE +BG GF +CG GD =2014，∴a +b c +a +c b +b +c a =2014，∴AG GE ⋅BG GF ⋅CG GD =a +b c ⋅a +c b⋅b +c a =a +b a +c b +c abc=a 2b +a 2c +abc +ac 2+ab 2+abc +b 2c +bc 2abc=a +b c +a +c b +a +b c +2=2014+2=2016．故答案为：2016．2(2024·全国·八年级竞赛)设a 、b 、c 是互不相等的实数，且a +4b=b +4c =c +4a ，则abc =．【答案】±8【分析】本题考查分式的化简求值，由a +4b =b +4c 可得bc =4b -c a -b ，同理可得ac =4c -a b -c，ab =4a -bc -a，由此三式相乘即可解答．【详解】解：∵a +4b=b +4c =c +4a ，∴a -b =4c -4b =4b -c bc ，b -c =4a -4c =4c -a ac ，c -a =4b -4a =4a -b ab ，∴bc =4b -c a -b ，ac =4c -a b -c，ab =4a -bc -a ，∴a 2b 2c 2=4(b -c )a -b ⋅4(c -a )b -c.4(a -b )c -a =64，∴abc =±8．故答案为：±8．3(2024·全国·八年级竞赛)已知6x 3+2x 2-8x -1x 2-1 x 2-2 =Ax +B x 2-1+Cx +Dx 2-2其中A 、B 、C 、D 为常数，则A ⋅B ⋅C ⋅D =．【答案】-24【分析】此题主要考查了分式的加减运算，先对Ax +B x 2-1+Cx +D x 2-2进行计算，然后根据题意列出关于A 、B 、C 、D 的方程组即可解决问题，解题的关键是熟练掌握分式的运算及法则的应用．【详解】解：6x 3+2x 2-8x -1x 2-1 x 2-2 =A +C x 3+B +D x 2-2A +C x -2B +D x 2-1 x 2-2 Ax +B x 2-1+Cx +Dx 2-2=Ax +B x 2-2 x 2-1 x 2-2 +Cx +D x 2-1 x 2-1 x 2-2=A +C x 3+B +D x 2-2A +C x -2B +Dx 2-1 x 2-2，∵6x 3+2x 2-8x -1x 2-1 x 2-2 =Ax +B x 2-1+Cx +D x 2-2，∴A +C =6，B +D =2，2A +C =8，2B +D =1，解得A =2，B =-1，C =4，D =3，∴A ⋅B ⋅C ⋅D =2×-1 ×4×3=-24，故答案为：-24．4(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x ，y 满足条件1x -1y =2x +y ，则代数式y 2x -x2y=．【答案】1【分析】本题主要考查代数式求值，先将1x -1y =2x +y 变形为2xy =y -x y +x ，再把y 2x -x2y变形为y -x y +x2xy，然后代入计算即可．【详解】解：∵1x -1y =2x +y，∴2xy =y -x y +x ，∴y 2x -x 2y=y2-x2 2xy=y-xy+x2xy=y-xy+xy-xy+x=1，故答案为：1．5(2024·全国·七年级竞赛)已知实数a、b、c满足等式a2013=b2014=c2015，且2a+b-c=8050，则a-b+12c+1=．【答案】2014【分析】本题考查了分式的化简求值，代数式求值；解题的关键是令a2013=b2014=c2015=k求出a、b、c的值．令a2013=b2014=c2015=k，求得a=2013k，b=2014k，c=2015k，结合题意求出a、b、c的值，代入即可求解．【详解】解：设a2013=b2014=c2015=k，故a=2013k，b=2014k，c=2015k，则2a+b-c=2×2013k+2014k-2015k，即2×2013k+2014k-2015k=8050，解得：k=2；∴a=4026，b=4028，c=4030，∴a-b+12c+1=4026-4028+12×4030+1=2014．故答案为：2014．6(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x、y、z满足下列等式：xyx+y =1b-1，yzy+z=1b，xzx+z=1b+1，那么代数式xyzxy+xz+yz的值为．【答案】1 6【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分数的混合运算法则是解题的关键．根据分式的性质将分式适当变形后进行计算即可．【详解】由题意知xy、yz、xz都不为零，∴x+yxy=b-1 y+zyz=bx+zxz=b+1，即1x+1y=3 1y+1z=4 1x+1z=5，∴1x +1y +1z =6，即xy +yz +xz xyz =6，∴xyz xy +xz +yz =16．故答案为：16．7(2024·全国·八年级竞赛)已知三个数x ，y ，z 满足xy x +y =2015，yz y +z =43，zx z +x =-43，则xyzxy +yz +zx 的值为．【答案】4030【分析】本题考查分式的化简求值，灵活运用分式的运算法则是解答的关键．将所有分式的分子和分母颠倒位置，然后利用分式的混合运算法则化简求解即可．【详解】解：将所有分式的分子和分母颠倒位置，则由xy x +y =2015得x +y xy =1x +1y =120151 ，由yz y +z =43得y +z yz =1y +1z =342 ，由zx z +x =-43得x +z xz =1x +1z =-343 ，三式相加得21x +1y +1z=12015，则1x +1y +1z =xy +yz +zx xyz =12⋅12015=14030，∴xyzxy +yz +zx=4030．8(2024·全国·八年级竞赛)如图，将一张矩形卡片按图1所示的方式分成四块后，恰好能拼成图2所示的矩形，若S ①:S ③=1:5，则a :b =．【答案】2∶3【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用，求比值，解题的关键是理解题意，根据S ①:S ③=1:5，得出S 矩形ABFE :S 矩形EFCD =1:5，求出AE ED=15，设AE =x ，则ED =5x ，得出a +b x +5x =b ⋅5x +5x ，求出3a =2b ，即可求出结果．【详解】解：如图所示，∵S ①:S ③=1:5，∴S 矩形ABFE :S 矩形EFCD =1:5，∴a +b ⋅AE a +b ⋅ED=15，∴AE ED=15，设AE =x ，则ED =5x ，∴a +b x +5x =b ⋅5x +5x ，整理得：3a =2b ，∴a :b =2:3．故答案为：2:3．9(2024·全国·八年级竞赛)对于正数x ，规定f x =x x +1，例如f 1 =11+1=12,f 2 =22+1=23,f 12 =1212+1=13，则f 12017 +f 12016 +⋯+f 12 +f 1 +f 2 +⋯+f 2016 +f 2017 =．【答案】40332【分析】本题考查代数式求值，分式的加法以及数字类规律探究，理解新定义函数的意义，掌握数字所呈现的规律是解决问题的关键．利用加法结合律以及探究所得规律得出答案．【详解】解：∵f x =xx +1，∴f x +f 1x =x x +1+1x1x+1=x x +1+1x +1=1，∴f 12017+f 12016 +⋯+f 12 +f 1 +f 2 +⋯+f 2016 +f 2017 =f 12017 +f 2017 +f 12016 +f 2016 +⋯+f 12 +f 2+f 1 =2016+11+1=40332．故答案为：40332．10(2024·全国·八年级竞赛)若x 为正数，且x -1x =3，则x x 2-x +1=．【答案】13+112【分析】先求出x 2+1x 2=11，再求出x +1x =13，最后整体代入x x 2-x +1=1x -1+1x进求解即可，此题考查了分式的运算和二次根式的运算，熟练掌握运算法则和灵活变形是解题的关键．【详解】解：∵x 为正数，且x -1x=3，∴x -1x 2=9，x +1x >0，即x 2+1x 2=11，∴x +1x 2=x 2+1x 2+2=13，∴x +1x =13，∴x x 2-x +1=1x -1+1x =113-1=13+112，故答案为：13+11211(2024·全国·八年级竞赛)已知x =2y +33y -2，则3x -2 3y -2 的值为．【答案】13【分析】本题考查了分式的混合运算，多项式乘以多项式，根据x 的值和题中式子即可求解，根据解题的关键是明确它们各自的计算方法．【详解】解：∵x =2y +33y -2，∴3x -2=6y +93y -2-2=6y +9-6y +43y -2=133y -2，∴3x -2 3y -2 =133y -2×3y -2 =13，故答案为：13．12(2024·全国·八年级竞赛)比较大小：22000+122001+1-22001+122002+10(填“>”、“=”或“<”)．【答案】>【分析】本题考查了实数的比较大小，异分母分式的运算．熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键．设a =22000，根据22000+122001+1-22001+122002+1=a +12a +1-2a +14a +1=a 8a 2+6a +1>0作答即可．【详解】解：设a =22000，∴22000+122001+1-22001+122002+1=a +12a +1-2a +14a +1=a 8a 2+6a +1>0，故答案为：>．13(2024·全国·八年级竞赛)已知11的小数部分为a ．则a 2-6a +9a 2+7a +12÷a -3a +4-aa +3=．【答案】-31111/-31111【分析】本题考查了分式的混合运算，无理数的估算，分母有理化，先根据分式的运算法则把所给代数式化简，再求出a 的值，然后代入化简后的结果计算即可．【详解】解：a 2-6a +9a 2+7a +12÷a -3a +4-aa +3=a -3 2a +3 a +4 ×a +4a -3-a a +3=a -3a +3-a a +3=-3a +3，∵3<11<4，∴11的整数部分3，∴a =11-3．∴-3a +3=-31111．故答案为：-31111．14(2024·全国·八年级竞赛)函数y =x -4-2-x -3x -5的自变量x 的取值范围是．【答案】x ≥3且x ≠4且x ≠5【分析】本题考查确定函数自变量取值范围．熟练掌握负整指数幂有意义的条件，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．根据题意得不等式组x -3≥0x -4≠0，x -5≠0求解即可．【详解】解：根据题意，得x -3≥0x -4≠0，x -5≠0∴x ≥3且x ≠4且x ≠5．故答案为：x ≥3且x ≠4且x ≠5．15(2024·全国·八年级竞赛)如果对于分式3x 2+4x +m，存在两个数使分式没有意义，则m 的取值范围是．【答案】m <4【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、一元二次方程根的判别式等知识点，理解分式有意义的条件是解题的关键．由存在两个数使分式没有意义，则对于x 2+4x +m =0的判别式Δ>0，据此列不等式求解即可．【详解】解：∵分式3x 2+4x +m，存在两个数使分式没有意义，∴x 2+4x +m =0有两个解，∴Δ=42-4m >0，解得：m <4，∴当m <4时，存在两个实数使原式没有意义．故答案为m <4．二、单选题16(2024·全国·九年级竞赛)要使式子x +6x有意义，则x 的取值范围是()A.x ≥-6B.x ≠0C.x >6D.x ≥-6且x ≠0【答案】D【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．熟练掌握概念是解题的关键．分子上的二次根式要有意义，根号里面的式子为非负数，且分母不为零，分别求解满足条件的x 值．【详解】∵式子x +6x有意义，∴x +6≥0，x ≠0，∴x ≥-6且x ≠0．故选：D ．17(2024·全国·八年级竞赛)已知1x +1y =2，则2x +3xy +2y 3x -2xy +3y的值为()A.74B.72C.5D.12【答案】A【分析】本题考查分式的化简求值，根据1x +1y =2得x +y =2xy ，再将2x +3xy +2y 3x -2xy +3y的分子分母变形为含xy 的式子，即可解题．【详解】解：由1x +1y=2得x +y =2xy ，则2x +3xy +2y 3x -2xy +3y =2x +y +3xy 3x +y -2xy =7xy 4xy =74．故选：A ．18(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x ，y 满足x +y =2，xy =-5，则xy +y x 的值为( )．A.65B.-145C.-65D.-45【答案】B【分析】本题考查了分式的化简求值，配方法，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．先将xy +y x通分，然后将分子配方，并将分式化简成只含x +y ，xy 的代数式，最后将x +y ，xy 的值代入并计算即得答案．【详解】xy +y x =x 2+y 2xy=x 2+2xy +y 2-2xy xy=(x +y )2xy -2，当x +y =2，xy =-5时，原式=22-5-2=-145．故选B．19(2024·全国·八年级竞赛)若分式x-1x -2的值为正数，则x的取值范围是()A.1<x<2或x<-2B.x<-2或x>2C.-2<x<1或x>2D.-2<x<2【答案】C【分析】根据题意列出不等式组，解不等式组则可．此题考查分式的值，解不等式组，解题关键在于根据题意列出不等式组．【详解】解：∵分式x-1x -2的值为正数，∴x -2>0x-1>0或x -2<0x-1<0，解得：-2<x<1或x>2.故选：C．20(2024·全国·七年级竞赛)灰太狼在跑一段山路时，上山速度是80米/分，到达山顶后再下山，下山的速度是上山速度的3倍，如果上、下山的路程相同，那么灰太狼跑这段山路的平均速度是()A.160米/分B.140米/分C.60米/分D.120米/分【答案】D【分析】本题考查了分式乘除的应用，整式加减的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键，设上坡的路程为S，则上、下坡的总路程为2S，可逐步求得上下坡的总时间，最后利用平均速度等于上、下坡的总路程除以总时间，计算即得答案．【详解】设上坡的路程为S，则上、下坡的总路程为2S，上坡时间为S80，下坡时间为S80×3=S240，总时间为S80+S240=S60，所以平均速度为2S÷S60=120(米/分)．故选D．21(2024·全国·八年级竞赛)若xx2+x+1=15，则x2x4+x2+1=()A.5B.115C.4 D.14【答案】B【分析】本题考查分式的化简求值和完全平方公式，根据xx2+x+1=15得出x+1x=4，再将x2x4+x2+1变形为1x+1x2-1，将x+1x=4整体代入求值即可．【详解】解：∵xx2+x+1=1x+1x+1=15，∴x+1x=4，∴x2x4+x2+1=1x2+1x2+1=1x+1x2-1=142-1=115，故选B．22(2024·全国·八年级竞赛)若x2-3x+1=0，则x2x4+x2+1的值是( )．A.8B.110C.18D.14【答案】C【分析】本题考查了分式的混合运算，完全平方公式变形求值，换元法，由x2-3x+1=0得到x2+1x2=7，设x2x4+x2+1=A，得到1A=x2+1x2+1，代入即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键．【详解】解：由x2-3x+1=0知x≠0，∴x+1x=3，∴x2+1x2=7，设x2x4+x2+1=A，则1A=x2+1x2+1=8，∴A=18，即x2x4+x2+1=18，故选：C．三、解答题23(2024·全国·九年级竞赛)若x-3x-2=13+2+1，求1-1x-2÷x-4+1x-2的值．【答案】3+2【分析】本题考查了分式的化简求值，涉及整体代入法；先化简分式，再由x-3x-2=13+2+1，得到x-2 x-3=3+2+1，变形为1+1x-3=3+2+1，即可求得1x-3的值．关键是由已知变形求得1x-3．【详解】解：1-1 x-2÷x-4+1x-2=x-3 x-2÷x2-6x+9x-2=x-3 x-2·x-2 x-3 2=1x-3；∵x-3 x-2=13+2+1，∴x-2x-3=3+2+1，∴1+1x-3=3+2+1，∴1x-3=3+2，即原式=3+2．24(2024·全国·九年级竞赛)已知实数a 满足a 2+2a -2016=0，求a 2-2a +1a 2+5a +4×a +4a 2-1-1a +1的值．【答案】-22017．【分析】此题考查了分式的化简求值，先把要求的式子进行计算，先进行因式分解，再把除法转化成乘法，然后进行约分，得到一个最简分式，最后把a 2+2a -2016=0进行配方，得到a +1 2=2017的值，再把它整体代入即可求出答案，解题的关键是熟练掌握分式化简的步骤．【详解】解：由a 2+2a -2016=0可得(a +1)2=2017，a 2-2a +1a 2+5a +4×a +4a 2-1-1a +1=(a -1)2a +1 a +4 ×a +4a -1 a +1-1a +1，=a -1(a +1)2-1a +1，=-2(a +1)2，=-22017．25(2024·全国·八年级竞赛)先化简，再求值：x 2-1x 2+x÷x +1x -2 ，其中x =2．【答案】1x -1，2+1【分析】本题考查了分式的混合运算以及分母有理化，解答时，先进行分式运算，再代入求值即可．【详解】解：x 2-1x 2+x÷x +1x -2 =x -1 x +1 x x +1 ÷x 2+1-2x x =x +1 x -1x x +1÷x -12x =x +1 x -1 x x +1 ⋅x x -1 2=1x -1，当x =2时，原式=12-1=2+1．26(2024·全国·八年级竞赛)如图1，有一个高为hcm 的瓶子，瓶中水面的高度为acm ，盖好瓶盖后倒置，这时瓶中水面的高度为bcm ，如图2，用代数式表示瓶中水的体积与瓶子容积之比；当a =9,b =15,h =21时，求出这个比值．【答案】a a +h -b ，35【分析】此题考查圆柱体体积的应用，解题的关键是理解掌握“转化”的思想方法在推导过程中的应用．根据“瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积”，即可列式；瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积，即底面积×9+底面积×21-15 ，也就是底面积×15；水的体积为底面积×9，即可得到答案．【详解】解：瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积，设瓶子的底面积为S ，即Sa +S h -b ；水的体积为Sa ，∴瓶中水的体积与瓶子容积之比为Sa Sa +S h -b=aa +h -b ，∵瓶子的容积=底面积×9+底面积×21-15 =底面积×15，水的体积=底面积×9，∴瓶中水的体积：瓶子容积=(底面积×9)：(底面积×15)=35，答：这个比值是35．27(2024·全国·八年级竞赛)(1)求证：1+1n 2+1(n +1)2=1+1n 2+n2；(2)计算：1+112+122+1+122+132+⋯+1+120162+120172．【答案】(1)证明见解析(2)201620162017【分析】本题主要考查了分式的化简求值，数字规律的运算；对于(1)，先将等式左边通分，再根据完全平方公式整理可得答案；对于(2)，先根据(1)整理得1+1n 2+1n +1 2=1+1n n +1 =1+1n -1n +1，再计算加减即可得出答案．【详解】(1)解：1+1n 2+1n +12=n 2n +1 2+n +1 2+n 2n 2n +1 2=n 2n +1 2+2n n +1 +1n 2n +1 2=n n +1 +1n n +12=1+1n 2+n2；(2)由(1)可知1+1n 2+1n +1 2=1+1n n +1=1+1n -1n +1，则原式=1+11-12+1+12-13+1+13-14+⋯+1+12016-12017=1×2016+1-12017=201620162017．28(2024·全国·八年级竞赛)(1)计算24×13-4×18×(2015-2016)0；(2)先化简，再求值：x 2-y 2x 2-2xy +y 2+xy -x÷y 2x 2-xy，其中x 、y 满足x +1+(y -3)2=0．【答案】(1)2(2)化简得：x y ；原式=33【分析】本题考查有理数的运算和分式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算和正确化简分式是解题的关键，(1)根据二次根式的运算法则和零指数幂即可得到结果；(2)直接利用括号里面因式分解进行化简，再利用分式乘除运算法则化简，再根据二次根式、绝对值的性质得出x 、y 的值，进行代入求出答案．【详解】解：(1)原式=26×33-4×24×1=22-2=2；(2)原式=x -y x +y x -y2+x y -x ×x x -y y 2=x +y x -y -xx -y×x x -y y 2=yx -y ×x x -y y 2=x y．∵x +1+(y -3)2=0，∴x -1=0，y -3=0，∴x =1，y =3，故原式=x y =13=33．29(2024·全国·七年级竞赛)已知a 、b 、c 均为大于1的正整数，且1a <1b <1c ,1a +1b +1c -1abc为正整数．求a +b +c 的值．【答案】10【分析】本题考查异分母分式的加减，先得出1<1a +1b+1c <3c ，求出c =2，进而得出a =4或5，当a =4,b =3,c =2时，1a +1b +1c -1abc =2524(舍)．当a =5,b =3,c =2时，1a +1b +1c -1abc=1，进而可得出答案．【详解】解：因为1a +1b +1c -1abc 为正整数，且a 、b 、c 为大于1的正整数，1a <1b <1c ，所以1<1a +1b+1c <3c ，得1<c <3，所以c =2，∴1a +1b >1-1c =12，得12<1a +1b <2b ，所以c <b <4,∴b =3．∴1a >1-1b -1c =16，得b <a <6，所以a =4或5，当a =4,b =3,c =2时，1a +1b +1c -1abc =2524(舍)．当a =5,b =3,c =2时，1a +1b+1c -1abc=1，所以a +b +c =5+3+2=10．30(2024·全国·八年级竞赛)如果a 、b 、c 是不同的实数，且a 3+3a +15=b 3+3b +15=c 3+3c +15=0，求1a +1b+1c 的值．【答案】-15【分析】本题考查分式的求值，根据a 3+3a +15=b 3+3b +15=c 3+3c +15=0，得到a 、b 、c 都是方程x 3+3x +15=0的根，进而得到x 3+3x +15=x -a x -b x -c ，推出abc =-15，ab +bc +ac =3，即可得出1a +1b+1c 的值．解题的关键是得到x 3+3x +15=x -a x -b x -c ．【详解】解：1a +1b +1c =ac +bc +acabc，∵a 、b 、c 是不同的实数，且a 3+3a +15=b 3+3b +15=c 3+3c +15=0，∴a 、b 、c 都是方程x 3+3x +15=0的根．∴x 3+3x +15=x -a x -b x -c ，∴abc =-15，ab +bc +ac =3．∴1a +1b+1c =3-15=-15．31(2024·全国·八年级竞赛)求值：12+13+14+15+1⋯+12007+11+11+13+14+15+1⋯+【答案】1【分析】本题考查了繁分式的计算，设1+13+14+1⋯+12007=x ，变形计算即可．【详解】解：设1+13+14+1⋯+12007=x ，则原式=11+x +11+1x=11+x +x x +1=1+x1+x =1．32(2024·全国·八年级竞赛)设a ，b ，c 都是实数，若(a -2b +c )2+(a -2c +b )2+(b -2a +c )2=(a -b)2+(b-c)2+(c-a)2，求分式2ab2+7(2ab+6)2bc2+7(bc+3)的值．【答案】2【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的性质．设a-b=x,b-c=y,c-a =z，得出x2+y2+z2-2xy-2yz-2zx=0①，x+y+z2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx=0②，由①+②得x2+y2+z2=0，求出x=y=z=0，则a=b=c，代入进行变形求值即可．【详解】解：设a-b=x,b-c=y,c-a=z，由已知得：(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2=x2+y2+z2，故x2+y2+z2-2xy-2yz-2zx=0，①又x+y+z=a-b+b-c+c-a=0，故x+y+z2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx=0，②①+②得x2+y2+z2=0，故x=y=z=0，则a=b=c，∴原式=22a3+7a2+32a3+7a2+3=2．。
全国大学生数学建模竞赛A题解析
三、解题思路（续）
（4）对于实际储油罐，建立罐体变位后罐内储油量
V与油位高度h及纵向倾斜角度 和 横向偏转角度 之间 的关系模型，即 V。F(,,h)
由于本问较复杂，需要分情况建立模型，可以先考 虑只发生纵向变位的情况。
三、解题思路（续）
球冠Ⅰ的体积表达式为：
其中
三、解题思路（续）
球冠III的体积表达式为：
atabnhaaltanz a2z2a2arcsinaz2a2dz, 0hLltan
V( ,h) atabn
haltan haLltanz
a2z2a2arcsinaz2a2dz,
(Ll)tanh2altan
LabaahLltanz a2z2a2arcsinaz2a2dz, 0hLltan
180
190
200
L 19265.60 21941.18 24674.88 27450.77 30253.25 33066.99 35876.76 38667.27 41423.11 44128.48
h 210
220
230
240
250
260
270
280
290
3400
L 46767.21 49322.44 51776.40 54109.93 56302.12 58329.27 60163.39 61768.90 63093.63 64026.17
ax
h
三、解题思路（续）
利用积分可以计算出油位高度为h时实验罐的截面 面积，于是得到油位高度与储油量的计算公式：
V (H ) 2 a b b a (h b )2 b h h 2 a b a rc s in h b b L
其中a，b，L分别是实验罐截面椭圆的长半轴、短半轴 和罐体长度，h为油位高度。
解答数学竞赛题的几种常见方法
解答数学竞赛题的几种常见方法黎仕鹏一、循常规思路出奇制胜例1：若1=abc ，则111++++++++c ca cb bc b a ab a =？分析：分式的加减运算的基本方法是通分，找出公分母．循这种常规思路，结合对称式的特点和条件，可以把第二、三个分式的分母变成与第一个分式的分母一样，把第二个分式的分子分母同乘以a ，第三个分式的分子分母同乘以ab ，即可见答案为1．同类题型练习：已知1=ab ，b a m +++=1111， bb a a n +++=11， 试讨论m 、n 的大小关系.略解:∵0)1)(1(221111=++-=+-++-=-b a abb b a a n m ， ∴n m =. 例2：已知等腰三角形ABC 中，2==AC AB ，在底边BC 上有100个点i P （1=i ，2、3…100），连结i AP ，记i i i i CP BP AP m ⋅+=2，则=+++10021m m m对于等腰三角形，底边上的高是常见的辅助线，带故作高AD ，则222i i DP AD AP +=， ))((i i i i DP CD DP BD CP BP +-=⋅22iDP CD -=，4222==+=AC CD AD m i ，可见答案为400．例3：如图，点B 、C 是线段AD 的三等分点，点P 是以BC 为直径的圆O 上一点，则DPC APB ∠⋅∠tan tan 的值是分析：在直角三角形中才能求出角的正切值，基于这样的思路，可考虑构筑直角三角形．过点B 作PB 的垂线交PA 于E ,则PB BEAPB =∠tan ，过点C 作PC 的垂线交PD 于F ,则PC CF DPC =∠tan ，于是DPC APB ∠⋅∠tan tan 41=⋅=PB CF PC BE ．例4：如图，延长圆O 的弦AB 和直径DE 交于圆外一点C ，若OA BC =，则AOD ∠∶C ∠=在圆中，半径是最常用是元素，连结OB 就可以搭起AOD ∠到C ∠的桥梁，利用三角形的外角性质，容易得出结果为3∶1．字母代表数是最简单和最有用的数学方法，要在解题练习过程中领会其要领．例5：甲、乙两人到商场购买商品，已知两人购买商品的件数相同，每件商品的单价只有8元和9元两种，若两人购买商品一共用了172元求其中单价为9元的商品有几件？解：设每人都购买了n 件商品，其中单价为8元的有x 件，单价为9元的有y 件，则⎩⎨⎧=+=+172982y x n y x 解得 ⎩⎨⎧-=-=n y n x 1617217218 ∵0,0≥≥y x ∴⎩⎨⎧≥-≥-016172017218n n 解得 4310959≤≤n 从而得121016172=⨯-=y ， 故单价为9元的有12件. 例6：一列客车始终作匀速运动, 它通过长为450米的桥时, 从车头上桥到车尾下桥共用33秒; 它穿过长760米隧道时, 整个车身都在隧道里的时间为22秒. 在客车的对面开来一列长度为a 米, 速度为每秒v 米的货车, 两车交错, 从车头相遇到车尾相离共用t 秒. (1) 写出用a 、v 表示t 的函数解析式;(2) 若货车的速度不低于每秒12米, 且不到15米, 其长度为324米, 求两车交错所用时间的取值范围.解：（1）设客车的速度为每秒x 米，客车的长度为y 米，则 ⎩⎨⎧=-=+x y x y 2276033450 解得⎩⎨⎧==27622y x 所以，22276++=v a t （v ＞0，a ＞0）（2）当324=a ，12≤v ≤15时，由（1）得22600+=v t又因为34≤v +22 ≤37 所以，37600＜22600+v ≤17300故t 的取值范围为37600＜22600+v ≤17300．此题有多个未知数,引入多个字母表示,其数量关系就容易显示出来． 例7：设1x , 2x 是关于x 的一元二次方程22=++a ax x 的两个实数根， 求)2)(21221x x x x --（的最大值.分析：求最大（小）值，按现在我们掌握的方法是根据二次函数式求解，因此，解题的思路是把式子向二次函数形式方向变形．解：由4)2()2(422+-=--=∆a a a ＞0知，a 为任意实数，a x x -=+21，221-=a x x ， )2)(21221x x x x --（212221522x x x x +--=212219)(2x x x x ++-=)2(922-+-=a a 8634922-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a ，当49=a 时，)2)(21221x x x x --（取最大值864-. 二、在等式变形中，特别注意22b a +，b a +和ab 三者之间的关系：ab b a b a 2)(222-+=+，ab b a b a 2)(222+-=+，[])()(412222b a b a ab --+=例1：设m 是不小于－1的实数，使得关于x 的方程033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x .（1）若62221=+x x , 求m 的值；（2）求22212111x mx x mx -+-的最大值 解：)1(4)33(4)2(422--=+---=∆m m m m ＞0， 解得m ＜1，又－1≤m ＜1， (1)2122122212)(x x x x x x -+=+101022+-=m m ＝6， 解得2175±=m , 由－1≤m ＜1，所以2175-=m , (2) 22212111x mx x mx -+-[])1)(1()1()1(21122221x x x x x x m ---+-=[]1)()(212121212221++-+-+=x x x x x x x x x x m ＝[]1)42()33()42)(33()10102(222+-++--+-++-m m m m m m m m m )13(2)1()13)(1(222+-=-+--=m m m m m m m m ＝252322-⎪⎭⎫ ⎝⎛-m ,因为－1≤m ＜1，所以当1-=m 时，22212111x mx x mx -+-有最大值，最大值为10. 三、11=⋅-x x 的神奇功效1、已知51=+-xx ，则=+-22x x ？2、已知012=--x x ，求441xx +的值. 由012=--x x 得，,112=-xx ∴11=-x x ，两边平方得7144=+x x . 3、若712=+-x x x ，求1242++x x x 的值.解法一（倒数法）：由条件知0≠x ，7112=+-x x x ， 即781=+x x ， 491511111222224=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++x x x x x x x , 1242++x x x ＝1549.解法二：1242++x x x 15494915111122==++=x x .4、已知11=-a a ，求代数式a a+1值. 解：由a a a a a ,1,,011知＞+= 全是正数, 所以541122=+⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a a a故 51=+a a.四、巧妙利用数学概念会出现意想不到的效果例1：满足1-=+ab b a 的非负整数对),(b a 的个数有____对.解：∵01≥-=-ab b a ，1≤ab ，而a 、b 都为非负整数，故a 、b 取值为0和1，经检验知，(0，1)(1，0)，（1，1）共3对满足条件.绝对值是最简单的数学概念，一个数的绝对值是非负数，利用这一概念得到1≤ab 是答题的突破口．例2：若q p ,为质数，且2975=+q p ，求22q p +的值.解：若q p ,都为奇质数，则q p 75+是偶数，若q p ,都为偶质数2，则q p 75+≠29，所以q p ,中必有一个为偶质数2，另一个为奇质数，若2=p ，则q 不是整数，故只有2=q ，此时3=p ，22q p +＝13.例3：实数y x b a ,,,满足5,2=+=+=+by ax y x b a , 求()()2222yx ab xy b a +++的值解：2=+=+y x b a , 4))((=+++=++bx ay by ax y x b a5=+by ax , 1-=+bx ay ，()()=+++2222y x ab xy b a 5))((-=++by ax bx ay条件2=+=+y x b a 是三个等式，这里巧妙地用其两个等量得出4))((=++y x b a ，从而使题目的条件进一步扩大，例4、已知实数b a ≠, 且满足()()()()221313,1331+-=++-=+b b a a ,则baaa b b+值为( ) (A) 23 (B) -23 (C) -2 (D) –13 解：b a ,是关于x 的方程03)1(3)1(2=-+++x x ，即0152=++x x ，1,5=-=+ab b a ，故b a ,均为负数，b a aa b b +ab b a ab a b --=232)(222-=-+-=+-=ababb a ab abb a ．例5、设实数s 、t 分别满足0199192=++s s , 019992=++t t ，并且1≠st ,求ts st 14++的值. 解：第一个等式可化为 01919912=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛s s , 又019992=++t t ，t s ≠1,∴s 1和t 是一元二次方程019992=++x x 的两个不相同的实数根，于是有， 991-=+t s ，191=⋅t s 即s st 991-=+, s t 19=,∴51949914-=+-=++ss s t s st五、消元法是竞赛题常用的方法例1、放有小球的1993个盒子从左到右排成一行，如果最左面的盒子有7个小球，且每四个相邻的盒子里共有30个小球，求最右面的盒子里有多少个小球？解：设从左到右小盒里的球数为7，2a ，3a ，4a ，… 1993a ∵307432=+++a a a ，305432=+++a a a a ，∴75=a 同理得===17139a a a …＝14+k a ＝…＝1993a ＝7例2：实数1x ，2x ，3x ，4x ，5x 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++52154154354324321321a x x x a xx x a x x x a x x x a x x x 其中1a ，2a ，3a ，4a ，5a 是实常数，且54321a a a a a >>>>，试确定1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的大小顺序．思路：对于方程组怎样消元，可根据题目条件的特点找出方向．解：在给定的方程组中的方程按顺序两两相减得2141a a x x -=-，5252a a x x -=-，4313a a x x -=-，5424a a x x -=-∵54321a a a a a >>>>， ∴ 41x x >，52x x >，13x x >，24x x >， ∴52413x x x x x >>>>消元法在很多方面有重要的作用2、某次竞赛共有15个题，下表是对于做对n 0(=n ，1， 215）个题的人数的统计:若又知其中做对4个题和4个题以上的学生每个人平均做对6个题，做对10个题和10个题以下的学生每人平均做对4个题，问这个表至少统计了多少人.解：由表中可知，做对0个题到3个题的总人数为7＋8＋10＋21＝46人；做对题目总数为7×0＋8×1＋2×10＋3×21＝91题；做对12个题到15个题的总人数为15＋6＋3＋1＝25人；做对题目总数为15×12＋6×13＋3×14＋1×15＝315题；设做对0个题到15个题的人数分别为15210,,,,x x x x ，则有6155415541554=++++++x x x x x x ， 41020101010210=+++++++x x x x x x x即 )(6155415541554x x x x x x +++=+++)(410010101010x x x x x x +++=+++ 两式相减得 )32()151211(321151211x x x x x x ++-+++ ＝ )(4)(610101554x x x x x x +++-+++＝)(2)(4)(610543210151211x x x x x x x x x x ++++++-+++＝)(2)(4)(415432101511x x x x x x x x ++++++-++ ＝)(2)(6)(415132101511x x x x x x x x ++++++-++ ＝)(2)(6)(441513210151211x x x x x x x x x ++++++-+++＝)(2466254415111x x x +++⨯-⨯+ 又913203210=+++x x x x ， 3151514131215141312=+++x x x x ，故 ∑+-+=-+1511111227610049131511i x x x ，111515.3200x x i +=∑（11x ＞0）， 当011=x 时，统计的总人数为最少，最少200人．六、数形结合是解决函数问题的有力武器例1：若abc ≠0，且p bac a c b c b a =+=+=+, 则直线p px y +=一定通过（ ） （A ）第一，二象限 （B ）第二，三象限 （C ）第三，四象限 （D ）第一，四象限 解：由pb a c pa c b pc b a =+=+=+,,, 三式相加得)()(2c b a p c b a ++=++，所以2=p , 或0=++c b a ；当2=p 时，直线22+=x y 通过第一，二，三象限；当0=++c b a 时，1-=p , 直线1--=x y 通过第二，三，四象限；可见，直线一定通过二，三象限.例2：一个一次函数的图象与直线49545+=x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A,B ，并且过点），（251--，则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有多少个？解：设这个一次函数为b x y +=45, 因为直线过点），（251--，所以495-=b , 可求得A （19，0）B （0，495-），由4)19(5-=x y 知，19-x 能被4整除. 又因为x 是整数，且0≤x ≤19，所以取x ＝3，7，11，15，19时，y 是整数．因此在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有5个.例3：若函数kx y =（k ＞0）与函数xy 1=的图象相交于A 、C 两点，AB 垂直x 轴于B ，则ΔABC 的面积为（ ）(A) 1 (B) 2 (C) k (D) 2k解：设),(y x A ，则1=xy ，ABO ∆的面积为2121=xy ，又CB O ∆与ABO ∆同底等高，故ABC ∆=2ABO ∆=1．例4：一条抛物线c bx ax y ++=2的顶点为(4,-11), 且与X 轴的两个交点的横坐标为一正一负, 则c b a ,,中为正数的( )(A) 只有a (B) 只有b (C) 只有c (D) 只有a 和b解：由于抛物线顶点为(4,-11), 与X 轴有两个交点，知a ＞0， 设抛物线与X 轴的两个交点坐标为1x ，2x ，则acx x =⋅21＜0，所以c ＜0，又由对称轴4=x ，得ab2-＞0，知b ＜0，可见只有a ＞0. 七、等底等高的两个三角形面积相等是竞赛题的热点 例1：E 是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，若BEG ∆的面积为1，则平行四边形ABCD 的面积是略解：由条件得21==AD EB GA EG，∴31=EA EG ， ∴31=∆∆ABE BEG S S ，∴3=∆A B E S ，∴．平行四边形ABCD 的面积124==∆ABE S S例2：如图，四边形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，1=FC DF ，2=EBCE，若ADF ∆的面积为m ，四边形AECF 的面积为n (m n >),则四边形ABCD 面积是略解：连AC ，则m S S ADF AFC ==∆∆， m n S ACE -=∆，)(2121m n S S ACE AEB -==∆∆， 四边形ABCD 面积是m n m n n m 2123)(21+=-++例3：设H 是等腰三角形ABC 的重心，在底边BC 不变的情况下，让顶点A 至底边BC 的距离变小，这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小？变大？还是不变？略解：不妨设A ∠是锐角，连结AH 并延长交BC 于点D ，延长BH 、CH ，分别交AC ，AB 于点E 、F ， ∵AHE BHD ∠=∠，∴HAE HBD ∠=∠， ∴BDH Rt ∆ADC Rt ∆，∴HDDCBD AD =， 又BC DC BD 21==，∴241BC DC BD HD AD =⋅=⋅，于是HBC ABC S S ∆∆⋅41612121BC BC HD BC AD =⋅⋅⋅=， ∴当︒≥∠90A 时，上式也成立，故A ∠是不变．例4：（03联赛）设ΔABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且31=AB AD ，若在边AC 上取一点E ，使四边形DECB 的面积为43，则EACE 的值为（ ） (A) 21 (B) 31(C) 41 (D) 51AD E BCDF CE解：连结BE ，41431=-=∆ADE S ，设x AC CE =，则x S ABE -=∆1，4131=-=∆x S ADE，41=x ，31=EA CE ，选B ． 例5： (99竞赛)在ΔABC 中, D 是边BC 上的一点, 已知5=AC ,6=AD ,10=BD , 5=CD , 求ΔABC 的面积。
高二数学学科竞赛题型解析与解题技巧
高二数学学科竞赛题型解析与解题技巧在高中数学学科竞赛中，掌握题型解析与解题技巧对于取得好成绩至关重要。
本文从竞赛的角度出发，对高二数学学科竞赛常见的题型进行了解析，并分享了一些解题技巧。
一、选择题选择题在数学竞赛中占据重要地位，因为它考察的是对知识点的掌握和应用能力。
解答选择题时，应注意以下几点。
1. 仔细审题。
选择题通常会给出多个选项，正确答案可能隐藏在错综复杂的选项中。
应仔细阅读题目，理解题意，避免因为粗心而选择错误。
2. 多做练习。
通过多做选择题，可以熟悉不同类型的题目和常见的陷阱选项，提高自己的解题能力。
同时，做完题目后要仔细分析解答过程，找出解题的规律和技巧。
3. 排除法。
当不确定一个选项是否正确时，可以使用排除法。
将明显错误的选项排除，可以提高正确答案的概率。
二、解答题解答题是数学竞赛中较难的题型，常常需要一定的推理和证明能力。
解答题的解题技巧如下。
1. 切忌死记硬背。
解答题不是简单的机械运算，而是应用知识解决问题。
要注重对知识点的理解和掌握，灵活运用。
2. 系统性思考。
在解答题时，要采用系统性思维，构建解题思路和证明过程。
可以使用逻辑推理、归纳法等方法，清晰地展示解题过程。
3. 注意图形和文字的结合。
某些解答题可能会给出图形和文字描述，要善于将二者结合起来进行分析，理解题目的要求和限制条件。
三、证明题证明题是数学竞赛中最具挑战性的题型之一，需要运用严谨的数学推理和逻辑思维。
解答证明题时，可以采用以下方法。
1. 根据已知条件展开证明。
在解答证明题时，可以先根据已知条件进行一定的推导和分析，寻找证明的思路和方向。
2. 使用归纳法或反证法。
归纳法和反证法是数学证明中常用的方法。
根据题目的特点，灵活选择合适的证明方法，推导出结论。
3. 注意严谨性。
在证明过程中，要注意每一步的逻辑严谨性，层层递进，避免出现漏洞或错误。
四、解决难题在数学竞赛中，难题常常是考察学生的思维能力和解题技巧的重要环节。
数学建模全国大赛历年题目分析以及参赛成功方法
数学建模全国大赛历年题目分析以及参赛成功方法建模更是一种精神：数学建模全国大赛历年题目分析以及参赛成功方法数学建模竞赛的赛题分析1. CUMCM历年赛题简析2. “彩票中的数学”问题3. 长江水质的评估、预测与控制问题4. 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制问题5. 其他几个数学建模的问题数学建模竞赛的规模越来越大,水平越来越高；竞赛的水平主要体现在赛题水平；赛题的水平主要体现：（１）综合性、实用性、创新性、即时性等；（２）多种解题方法的创造性、灵活性、开放性等；（３）海量数据的复杂性、数学模型的多样性、求解结果的不唯一性等。
纵览16年的本科组32个题目(专科组13个)，从问题的实际意义、解决问题的方法和题型三个方面作一些简单的分析。
一、CUMCM历年赛题的简析1. CUMCM 的历年赛题浏览：1992年:(Ａ)作物生长的施肥效果问题(北理工：叶其孝）(B)化学试验室的实验数据分解问题（复旦：谭永基）1993年:(Ａ)通讯中非线性交调的频率设计问题（北大:谢衷洁）(Ｂ)足球甲级联赛排名问题（清华：蔡大用）1994年:(Ａ)山区修建公路的设计造价问题（西电大：何大可）(Ｂ)锁具的制造、销售和装箱问题（复旦:谭永基等）1995年:(Ａ)飞机的安全飞行管理调度问题（复旦:谭永基等）(Ｂ)天车与冶炼炉的作业调度问题（浙大:刘祥官等）一、CUMCM历年赛题的简析1. CUMCM 的历年赛题浏览：1996年:(A)最优捕鱼策略问题（北师大：刘来福）(B)节水洗衣机的程序设计问题（重大：付鹂）1997年:(A)零件参数优化设计问题（清华：姜启源）(B)金刚石截断切割问题（复旦：谭永基等）1998年:(A)投资的收益和风险问题（浙大：陈淑平）(B)灾情的巡视路线问题（上海海运学院:丁颂康）1999年:(A)自动化机床控制管理问题（北大：孙山泽）(B)地质堪探钻井布局问题（郑州大学：林诒勋）(C)煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰）一、CUMCM历年赛题的简析1. CUMCM 的历年赛题浏览：2000年:(A)DNA序列的分类问题（北工大：孟大志）(B)钢管的订购和运输问题（武大：费甫生）(C)飞越北极问题（复旦：谭永基）(D)空洞探测问题（东北电力学院：关信）2001年:(A)三维血管的重建问题（浙大：汪国昭）(B)公交车的优化调度问题（清华：谭泽光）(C)基金使用计划问题（东南大学：陈恩水）2002年:(A)汽车车灯的优化设计问题（复旦:谭永基等）(B)彩票中的数学问题（信息工程大学：韩中庚）(D) 球队的赛程安排问题（清华大学：姜启源）一、CUMCM历年赛题的简析1. CUMCM 的历年赛题浏览2003年:(A)SARS的传播问题（集体）(B)露天矿生产的车辆安排问题（吉林大：方沛辰）(D)抢渡长江问题（华中农大：殷建肃）2004年:(A)奥运会临时超市网点设计问题(北工大：孟大志)(B)电力市场的输电阻塞管理问题(浙大:刘康生）(C)酒后开车问题（清华大学：姜启源）(D)公务员的招聘问题（信息工程大学：韩中庚）2005年:(A)长江水质的评价与预测问题（信息工大:韩中庚）(B)DVD在线租赁问题（清华大学：谢金星等）(C) 雨量预报方法的评价问题（复旦：谭永基）一、CUMCM历年赛题的简析1. CUMCM 的历年赛题浏览2006年:(A)出版社的资源管理问题（北工大:孟大志）(B)艾滋病疗法的评价及预测问题（天大：边馥萍）(C)易拉罐形状和尺寸的设计问题（北理工：叶其孝）(D)煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制问题（信息工程大学：韩中庚）2007年:(A)中国人口增长预测问题（清华大学:唐云）(B)“乘公交，看奥运”问题（吉大：方沛辰，国防科大：吴孟达）(C)“手机套餐”优惠几何问题(信息工程大学:韩中庚)(D)体能测试时间的安排问题(首都师大:刘雨林)1. CUMCM 的历年赛题浏览2001年夏令营三个题:(A)三峡工程高坡开挖优化设计(三峡大学:李建林等）(B)城市交通拥阻的分析与治理(北京理工大学:叶其孝）(C)乳房癌的诊断问题（复旦大学:谭永基）2006年夏令营三个题:(A)教材出版业的市场调查、评估和预测方法问题（北工大:孟大志）(B)铁路大提速下的京沪线列车调度问题（信息工程大学:韩中庚）(C)旅游需求的预测预报问题（北京理工：叶其孝）2、从问题的实际意义分析32个问题从实际意义分析大体上可分为：工业、农业、工程设计、交通运输、经济管理、生物医学和社会事业等七个大类。
初中数学竞赛题型及应对技巧总结
初中数学竞赛题型及应对技巧总结随着中国数学教育水平的不断提高，各种数学竞赛如春雨般涌现。
作为主要参赛对象的初中生，也需要了解和掌握不同的数学竞赛题型及相应的应对技巧。
以下是笔者总结的一些有关初中数学竞赛题型及应对技巧的经验分享。
一、填空题填空题是考察考生对知识点掌握情况的一种题型，重点在于考生的算式书写及合理的计算过程。
解决填空题需要注意以下几点：1. 考生需全面了解题目中的知识点，明确解题步骤，避免遗漏或重复。
2. 在写算式过程中，需注意数学符号的使用，如加减乘除符号，括号等。
写算式要书写清晰，方便自己和阅卷老师查看。
3. 正确进行数值计算，特别是涉及到负数、分数和小数等的计算。
计算结果要准确，不要将数字拼错或写错。
二、选择题选择题是最常见的一种数学竞赛题目，也是选手们在考试中遇到的分值比较多的一类。
选择题的解答需要注意以下几点：1. 对选择题中的各个选项进行认真的比较，尤其是最后几个选项，避免因粗心而失分。
2. 需注意题目的条件和问法，认真审题，不要因疏漏而导致答题错误。
3. 注意选择题的时间管理，每道题目应控制在合理的时间范围内，不要忽略时间带来的影响。
三、应用题应用题是数学竞赛中相对较难的一种题型，因为它需要较高的数学知识和较强的思考能力。
应用题的解答需要注意以下几点：1. 全面理解题目的内容，理清每个问题之间的关系，尝试建立思维模型。
2. 分析问题，通过看图，列式、建模等方式进行解题，在解答过程中要注意目标明确，找出关键点。
3. 重点理解题目中的变化性和趋势性，运用数学公式、规律等方法解决问题。
四、证明题证明题是数学竞赛中难度最大的一种题型，在解答证明题时需要注意以下几点：1. 充分利用有关知识，分析问题，构思证明方法，并抓住证明的核心思想。
2. 在证明题中，运用数学推理，注意证明方式、证明步骤，以及证明过程的逻辑性和完整性。
3. 在证明过程中，需要注意书写清晰、理论严谨、语言准确。
总结：初中生应该经常参加各种数学竞赛，在遇到问题时，需要学会分析题目，进行规范化的做题流程，不断总结经验，提高解题能力。
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解 答
11-1 从海底取出的甲烷水合物将融化并放出甲烷 气体. 因为该晶体是分子晶体. 甲烷分子和水分子都 是由有限数目的原子以共价键结合的小分子, 水分 子和甲烷分子之间范德华力, 而水分子之间是范德 华力和氢键.
11-2 假设甲烷气体体积是折合成标准状况下的数据, 则1m3水合物中有甲烷 164 m3 ÷ 22.4 m3/kmol = 7.32 kmol 假设甲烷水合物固体中的水的密度为1 g/cm3, 则有水 1m3×1000 kg/m3÷18 kg/mol = 55.56 kmol 因此有： CH4 : H2O = 7.32 kmol : 55.6 kmol = 1 : 7.6。
解
答
4-1 NF 3 （1分） 4NH 3 + 3F 2 = NF 3 + 3NH 4F （1分） 4-2 N-F 键的偶极方向与氮原子孤对电子的偶极方向相 反，导致分子偶极矩很小，因此质子化能力远比氨 质子化能力小。 画图说明也可，如：
相关体系 1
2008 年 5 月 12 日，这是个令整个中华民族痛心的日子，汶 川发生了 8 级特大地震，造成了重大伤亡！一时间举国上 下支援震区抗震救灾，消毒防疫成了震后重中之重的工作。 三氯异氰尿酸（ TCCA）就是应用最多的一种消毒剂，在 “非典”期间它也曾经是“消毒明星”。三氯异氰尿酸是 目前国际上所推广的一种高效、低毒、广谱、快速的杀菌 消毒剂，对人畜毫无害处，广泛用于饮用水、游泳池、食 品加工业以及灾害后的大面积灭菌防染。 TCCA的分子结 构和量子化学计算得到的电荷分布如图1所示。
图5－1硼化镁的晶体结构示意图
5－1 由图5－1可确定硼化镁的化学式 为： 。
5－2 在图5－l右边的方框里画出硼化镁的一个 晶胞的透视图，标出该晶胞内面、棱、顶角上 可能存在的所有硼原子和镁原子（镁原子用大 白球，硼原子用小黑球表示）。
第 11 题（ 10 分）研究离子晶体，常考察以一个 离子为中心时，其周围不同距离的离子对它的 吸引或排斥的静电作用力。设氯化钠晶体中钠 离子跟离它最近的氯离子之间的距离为d，以钠 离子为中心，则：
说明: 甲烷水合物的组成可能是6 CH 4· 46 H 2O；以上是最简单 的 参 考 答 案 , 设 密 度 为 1g/cm3 也 可 包 含 甲 烷 , 只 要 答 案 为 CH 4· 6～9 H 2O，均可按满分计。但设密度为0.9g/cm3又包含甲 烷则不能认为是合理的 ( 岂不会漂到海面上来 ? 另外，必须给 出解题时的假设，否则不能得满分。)
11－1 第二层离子有
离为 d，它们是
个，离中心离子的距
离子。
11－2 已知在晶体中Na ＋离子的半径为116pm，Cl－离子 的半径为167pm。求离子占据整个晶体空间的百分数。
11－3 纳米材料的表面原子占总原子数的比例极大，这是 它的许多特殊性质的原因，假设某氯化钠纳米颗粒的大小 和形状恰等于氯化钠晶胞的大小和形状，求这种纳米颗粒 的表面原子占总原子数的百分比。
[3] 26/27=96%
[4] 10倍晶胞的纳米颗粒的离子总数:213=9261 9倍晶胞的纳米颗粒的离子总数:193=6859 10倍晶胞的纳米颗粒的表面离子数: 6959-9261=2402 表面原子数所占比例：2402/9261=26%
例4 2002年全国高中学生化学竞赛（省级赛区）
• 第2题（6分）用地壳中某主要元素生产的多种产 品在现代高科技中占重要位置，足见化学对现代 物质文明的重要作用。例如： 1．计算机的芯片的主要成分是 的主要成分是 ： ；2．光导纤维
6－1 钴原子的平均氧化态为 + 3.65 。 (1分；不写“＋”给0.5分) 6－2 画出CoO2层的结构，用粗线画出两种二维 晶胞。可资参考的范例是：石墨的二维晶胞是 下图中用粗线围拢的平行四边形。
解
答
（画出1种晶胞给6分，画出2种晶胞给9分）
第9题（6分）
钒是我国丰产元素，储量占全球11
3．目前应用最多的太阳能电池的光电转化材料 是 ； 4．用作吸附剂、干燥剂、催化剂或催化剂载体的人 造分子筛大多是一类称为 的化合物； 5．有一大类化合物，结构独特，兼备无机材料和有 机材料双重性能，有耐温、电绝缘性好、难燃、憎 水、耐腐蚀 …… 等特性，广泛用于航空航天、电子 电气、建筑、运输等行业，用于密封、粘合、润滑、 涂层、表面活性、防水、防潮 …… ，已为现代社会 不可替代的新材料。这类材料在分子结构上的特点 是 和 。
例3
2001年全国高中学生化学竞赛（省级赛区）
第 5 题（ 5 分）今年 3 月发现硼化镁在 39K呈超导性， 可能是人类对超导认识的新里程碑。在硼化镁晶体的 理想模型中，镁原子和硼原子是分层排布的，像维夫 饼干，一层镁一层硼地相间，图5－1是该晶体微观空 间中取出的部分原子沿C轴方向的投影，白球是镁原 子投影，黑球是硼原子投影，图中的硼原子和镁原子 投影在同一平面上。
解
• 答案见附图4a 、4b。
Mg Mg Mg Mg Байду номын сангаасg O O
答
O
O
O
Mg
O
11．已经探明，我国南海跟世界上许多海域一 样，海底有极其丰富的甲烷资源。其总量超过 已知蕴藏在我国陆地下的天然气总量的一半。 据报导，这些蕴藏在海底的甲烷是高压下形成 的固体，是外观像冰的甲烷水合物。
11-1．试设想，若把它从海底取出，拿到地面上，它 将有什么变化？为什么？它的晶体是分子晶体、离 子晶体还是原子晶体？你作出判断的根据是什么？ （2分） 11-2．已知每1立方米这种晶体能释放出164立方米的 甲烷气体，试估算晶体中水与甲烷的分子比（不足 的数据由自己假设，只要假设得合理均按正确论）。 （6分）
解
答
dVL＝7.36×103 kg/m3×5.49×10-29m3×6.022×1023 mol-1＝243 g/mol •首先，试题告诉我们钨青铜是钨酸钠用钨还原的产 物，这就告诉我们x一定大于零，小于2。若先假设为 1，又假设Z＝1，则得： •ZM'= M(W)＋3M(O)＋M(Na)＝254.84g/mol •ZM‘与dVL对比, 说明Z＝1的假设是正确的，因x的取 值不会造成成倍的差别。于是就可以用dVL＝ M(NaxWO3)的关系式求出x，得到x＝(243－183.9－ 48.0)/22.99＝0.48
的可能潜在应用是 为：
。
解
答
3 原子晶体 炸药（或高能材料） 高聚氮分解 成N2释放大量能量。（各1分）
第4题（15分）在铜的催化作用下氨和氟反应得 到一种铵盐和一种三角锥体分子 A（键角102o，
偶极矩0.78x10-30 C· m；对比：氨的键角107.3o，
偶极矩4.74x10-30 C· m)； 4-1 写出A的分子式和它的合成反应的化学方 程式。 4-2 A分子质子化放出的热明显小于氨分子质 子化放出的热。为什么？
例2
2000年全国高中学生化学竞赛（初赛）
4. 理想的宏观单一晶体呈规则的多面体外形。多面 体的面叫晶面。今有一枚MgO单晶如附图1所示。它 有 6 个八角形晶面和 8 个正三角形晶面。宏观晶体的 晶面是与微观晶胞中一定取向的截面对应的。已知 MgO 的晶体结构属 NaCl 型。它的单晶的八角形面对 应于它的晶胞的面。请指出排列在正三角形晶面上 的原子（用元素符号表示原子，至少画出6个原子， 并用 直线 把这 些原 子连 起 ， 以显 示它 们的 几何 关 系）。（6分）
％，居第四位。在光纤通讯系统中，光纤将信息导 入离光源 1km 外的用户就需用 5 片钒酸钇晶体（钇 是第39号元素）。我国福州是全球钒酸钇晶体主要 供应地，每年出口几十万片钒酸钇晶体，年创汇近 千万美元（1999年）。钒酸钇是四方晶体，晶胞参 数 a = 712 pm, c = 629 pm,密度d = 4.22 g/cm3，含钒 25％，求钒酸钇的化学式以及在一个晶胞中有几个
11－4 假设某氯化钠颗粒形状为立方体，边长为氯化钠晶 胞边长的10倍，试估算表面原子占总原子数的百分比。
解 答
• [1] 12， 2d ，钠离子 • [2] V晶胞=[2(116pm+167pm)]3=181 106pm3 V离子=4 (4/3)(116pm)3+ 4 (4/3)(167pm)3 =104106 pm3 V离子/ V晶胞=57.5%
全国化学奥赛题型分析及解题方法
赵 波
南京师范大学化学与环境科学学院
奥赛
堆积方式是一个把中学化学和奥赛的晶体结构 内容联系起来的一个桥梁性的理论体系 。
综合提高
实际 应用 基础 知识 实际 应用 相互 联系
历年全国奥赛结构题型分析
例1. 1998年全国高中学生化学竞赛（初赛）
钨酸钠 Na 2WO4 和金属钨在隔绝空气的条件下加热得 到一种具有金属光泽的、深色的、有导电性的固体， 化学式 Na xWO3 ，用 X射线衍射法测得这种固体的立 方晶胞的边长a ＝3.80×10-10m，用比重瓶法测得它的 密度为 d＝7.36g/cm3。已知相对原子质量： W 183.85， Na 22.99 ， O 16.00 ， 阿 伏 加 德 罗 常 数 L ＝ 6.022×1023mol-1 。求这种固体的组成中的 x 值（ 2 位 有效数字），给出计算过程。（12分）
解 答
4－1 写出X、Y的最简式，给出推理过程。
X的最简式；NaBH 8O7 Y的最简式；NaBH 2O4 推理过程： Na 1 B1 14.90/23.0 = 0.648 7.03/10.8 = 0.651 H 8 O 7 5.24/1.008= 5.20 72.83/16.0=4.55 X变成Y是脱水过程。X为NaBH2O4· 3H2O, 则Y中Na 的 质量百分数为23/99.8 = 0.23 （若X是NaBO3· 4H2O， 则Y中Na 的质量分数为23/81.8=0.28 不符合题意。）