MATLAB 与差分
matlab差分法求解微分方程
一、概述微分方程是自然科学和工程技术中常见的数学模型，它描述了连续系统的变化规律。
在实际应用中，求解微分方程是一项重要且复杂的工作。
而matlab是一种常用的科学计算软件，它提供了丰富的数学函数和工具，能够辅助工程师和科学家在求解微分方程方面取得良好的效果。
二、matlab差分法求解微分方程的基本原理差分法是一种常见的数值求解微分方程的方法。
它基于微分的定义，将微分方程中的微分运算用差分逼近来进行计算。
在matlab中，可以利用内置的数学函数和工具，通过差分法求解微分方程，得到数值解或者近似解。
三、matlab中使用差分法求解常微分方程的步骤1. 确定微分方程的类型和边界条件需要明确所要求解的微分方程是什么类型的，以及其所对应的边界条件是什么。
这对于后续的数值求解过程非常重要。
在matlab中，可以利用符号变量和函数来表示微分方程和边界条件。
2. 将微分方程离散化接下来，需要将微分方程进行离散化处理，将微分方程中的微分运算用差分逼近来进行计算。
这一步需要根据微分方程的具体形式和求解精度选择合适的差分方法，常见的有前向差分、后向差分和中心差分等方法。
3. 构建代数方程组将离散化后的微分方程转化为代数方程组。
这一步需要根据微分方程的离散化表达式和边界条件，利用matlab的矩阵和向量运算功能，构建代数方程组。
4. 求解代数方程组利用matlab的求解函数，求解构建得到的代数方程组，得到微分方程的数值解或者近似解。
在求解过程中，需要注意数值稳定性和收敛性，以及选择合适的数值积分方法和迭代算法。
四、实例：使用matlab差分法求解一阶常微分方程为了更好地理解matlab中使用差分法求解微分方程的过程，以下将通过一个具体的实例来演示。
假设要求解如下的一阶常微分方程：dy/dx = -2x + 1, y(0) = 11. 确定微分方程的类型和边界条件根据给定的方程，可以确定它是一阶常微分方程，且给定了初始条件y(0) = 1。
matlab差分运算
matlab差分运算
在MATLAB中，可以使用diff函数执行差分运算。
该函数接
受一个向量作为输入，并返回一个新的向量，其中包含相邻元素之间的差值。
例如，假设我们有一个向量x，我们想要计算它的差分。
我们
可以使用以下代码：
x = [1 3 5 7 9];
dx = diff(x);
这将产生一个新的向量dx，其中包含x中每个相邻元素之间
的差值。
在这种情况下，dx将是[2 2 2 2]。
还可以通过指定diff函数的第二个参数来执行高阶差分运算。
例如，如果我们想计算x的二次差分，我们可以使用以下代码：
d2x = diff(x,2);
这将产生一个新的向量d2x，其中包含x中每个相邻元素的二
次差值。
在这种情况下，d2x将是[0 0 0]。
需要注意的是，当使用diff函数时，输出向量的长度比输入向量的长度少1。
因此，在使用差分结果时需要小心。
Matlab中的差分方程求解
Matlab中的差分方程求解差分方程是微分方程的离散形式，常常在计算机科学、物理学、经济学等领域中广泛应用。
而Matlab作为一种数值计算软件，提供了强大的工具和函数用于差分方程的求解和分析。
本文将介绍Matlab中差分方程求解的基本方法和常见应用。
一、差分方程的基本概念差分方程是一种通过递归关系描述变量之间关系的数学表达式。
与微分方程不同，差分方程是以离散时间点为基础的，适用于描述离散系统的动态行为。
一般来说，差分方程可以分为线性差分方程和非线性差分方程两类。
线性差分方程的一般形式为：y[n] = a*y[n-1] + b*y[n-2] + ... + c*x[n]，其中y[n]为方程的解，x[n]为给定的输入，a、b、c为系数。
而非线性差分方程则没有这种简单的表达形式，通常需要通过迭代或数值方法求解。
二、在Matlab中，可以利用函数和工具箱来求解差分方程。
下面将介绍几种常见的求解方法。
1. 符号计算方法Matlab的符号计算工具箱提供了一系列用于求解差分方程的函数，例如dsolve()函数。
这些函数可以根据给定的差分方程自动进行符号运算，得到方程的解析解。
符号计算方法适用于简单的线性差分方程，对于复杂的非线性差分方程则很难求解。
2. 数值迭代方法对于非线性差分方程，常常采用数值迭代的方法来求解。
Matlab提供了多种迭代函数，例如fsolve()函数和fminsearch()函数。
这些函数可以根据给定的差分方程和初始值，通过迭代计算得到方程的数值解。
数值迭代方法适用于各种类型的差分方程，但需要注意选择合适的初始值和迭代算法以确保收敛。
3. 差分方程求解函数除了符号计算和数值迭代方法，Matlab还提供了一些专门用于求解差分方程的函数，例如ode23()函数和ode45()函数。
这些函数可以根据给定的差分方程和初始条件，通过数值方法求解方程的数值解。
相比于数值迭代方法，差分方程求解函数更加高效和稳定，适用于大规模的复杂差分方程。
差分方程的解法分析及MATLAB实现
差分方程的解法分析及MATLAB实现差分方程是描述离散时序系统行为的数学工具。
在离散时间点上，系统的行为由差分方程给出，这是一个递归方程，其中当前时间点的状态取决于之前的状态和其他外部因素。
解差分方程的方法可以分为两类：直接解法和转化为代数方程的解法。
直接解法通过求解差分方程的递归形式来得到解析或数值解。
转化为代数方程的解法则将差分方程转化为代数方程进行求解。
一、直接解法的步骤如下：1.将差分方程表示为递归形式，即将当前时间点的状态表示为之前时间点的状态和其他外部因素的函数。
2.根据初始条件，确定初始时间点的状态。
3.根据递归形式，计算出后续时间点的状态。
以下是一个简单的差分方程的例子：y(n)=2y(n-1)+1，其中n为时间点。
按照上述步骤求解该差分方程：1.将差分方程表示为递归形式：y(n)=2y(n-1)+12.根据初始条件，假设y(0)=1，确定初始时间点的状态。
3.根据递归形式，计算出后续时间点的状态：y(1)=2y(0)+1=2*1+1=3y(2)=2y(1)+1=2*3+1=7y(3)=2y(2)+1=2*7+1=15...依此类推计算出所有时间点的状态。
二、转化为代数方程的解法的步骤如下：1.假设差分方程的解具有指数形式，即y=r^n，其中r为待定参数。
2.将差分方程代入上述假设中，得到r的方程。
3.解得r的值后，再根据初始条件求解出常数值。
4.得到差分方程的解析解。
以下是一个复杂一些的差分方程的例子：y(n)=2y(n-1)+3y(n-2)，其中y(0)=1，y(1)=2按照上述步骤求解该差分方程：1.假设差分方程的解具有指数形式：y=r^n。
2.代入差分方程得到：r^n=2r^(n-1)+3r^(n-2)。
3.整理得到：r^2-2r-3=0。
4.解得r的值为：r1=-1，r2=35.根据初始条件求解出常数值：y(0)=c1+c2=1，y(1)=c1-c2=2、解得c1=1.5，c2=-0.56.得到差分方程的解析解：y(n)=1.5*(-1)^n+-0.5*3^n。
matlab 体积积分 数值差分
Matlab是一种非常强大的科研计算工具，在科学计算、数据处理、图形绘制等方面有着广泛的应用。
其中，体积积分和数值差分作为其中常见的计算方法，在工程和科学领域中也有着重要的意义。
1. Matlab中的体积积分体积积分是微积分中的一个重要概念，它在描述物体的体积、密度、质量等方面有着广泛的应用。
在Matlab中，我们可以利用符号计算工具箱来进行体积积分的求解，也可以利用数值计算工具箱来进行数值积分的近似计算。
对于简单的几何体，例如立方体、球体等，我们可以通过符号计算精确求解其体积积分；而对于复杂的形状，例如曲线旋转体、不规则物体等，我们则需要借助数值计算方法进行近似求解。
2. Matlab中的数值差分数值差分是一种常见的数值计算方法，它在数值微分、数值积分、微分方程求解等领域有着广泛的应用。
在Matlab中，我们可以利用数值计算工具箱中的函数来进行数值差分的计算，例如diff函数可以用来计算函数的差分、gradient函数可以用来计算多变量函数的梯度等。
通过数值差分，我们可以将连续的函数或数据离散化，从而方便进行计算和分析。
3. 综合应用：体积积分与数值差分在实际的工程和科学计算中，体积积分和数值差分常常是同时应用的。
在流体力学中，我们需要对流体的体积、质量等进行计算，这就涉及到了体积积分；而在数值模拟中，我们通常需要对偏微分方程进行离散化求解，这就涉及到了数值差分。
熟练掌握Matlab中的体积积分和数值差分方法，对于工程师和科研人员来说是非常重要的。
4. 个人观点和总结通过学习和使用Matlab中的体积积分和数值差分方法，我深切体会到这两种方法在工程和科学计算中的重要性和实用性。
通过体积积分，我们可以精确地描述物体的体积和质量特性；而通过数值差分，我们可以将连续的函数或数据进行离散化处理，方便进行计算和分析。
这两种方法的综合应用为工程和科学研究提供了强大的数值计算工具，也为我带来了全新的认识和理解。
matlab差分法对控制微分方程进行求解
matlab差分法对控制微分方程进行求解MATLAB是一个非常强大的数学计算软件，它提供了许多有效的算法，包括差分法。
差分法是一种数值方法，适用于解决控制微分方程。
本文将对MATLAB差分法进行介绍和应用。
首先，让我们来看一个简单的例子。
假设我们有一个简单的控制微分方程：y'(t) = A*y(t) + B*u(t)其中y(t)是系统输出，u(t)是系统输入，A、B是常数。
我们的目标是找到y(t)的解析解。
MATLAB提供了许多数值方法来解决控制微分方程，其中差分法是其中之一。
差分法的思想是将微分方程转化为离散方程，然后用数值方法求解离散方程。
要使用差分法求解这个方程，我们需要将y(t)和u(t)用离散函数表示。
我们可以使用Matlab中的离散函数来达到这个目的。
在本例中，我们可以使用Matlab中的ode45函数来求解此微分方程。
步骤1：定义tspan和y0。
tspan定义需要求解的时间范围，y0指定初始条件（在t=0时y的值）。
tspan = [0 10];y0 = 1;步骤2：定义控制输入函数u(t)。
在本例中，我们将u(t)定义为一个简单的阶跃函数。
u = @(t)heaviside(t-1);步骤3：定义微分方程。
我们将微分方程表示为一个匿名函数。
A = -1;B = 1;f = @(t,y)A*y + B*u(t);步骤4：求解微分方程。
使用ode45函数求解微分方程。
该函数将返回一个向量（y）和一个包含时间点的向量。
[t,y] = ode45(f,tspan,y0);步骤5：绘图。
绘制y随时间变化的图。
plot(t,y);上述步骤将输出y随时间变化的图表。
通过对u(t)和y(t)进行手动计算，可以验证MATLAB所得的解析解的正确性。
MATLAB差分法是解决控制微分方程的强大工具，能够在较短时间内生成准确的解析解。
无论是在科学研究还是工程领域，Matlab差分法都是一个非常有用的工具。
matlab差分法解微分方程
matlab差分法解微分方程在MATLAB中，差分法是一种常用的数值方法，用于解决微分方程。
差分法的基本思想是将微分方程中的导数用离散的差分近似表示，然后通过迭代计算得到方程的数值解。
下面我将从多个角度来解释如何使用差分法在MATLAB中解微分方程。
1. 离散化，首先，我们需要将微分方程离散化，将自变量和因变量分成若干个离散的点。
例如，可以选择一个均匀的网格，将自变量的取值离散化为一系列的点。
这样，微分方程中的导数可以用差分近似来表示。
2. 差分近似，使用差分近似来代替微分方程中的导数。
最常见的差分近似方法是中心差分法。
对于一阶导数，可以使用中心差分公式，f'(x) ≈ (f(x+h) f(x-h)) / (2h)，其中h是离散化步长。
对于二阶导数，可以使用中心差分公式，f''(x) ≈ (f(x+h) 2f(x) + f(x-h)) / (h^2)。
根据微分方程的类型和边界条件，选择适当的差分近似方法。
3. 矩阵表示，将差分近似后的微分方程转化为矩阵形式。
通过将微分方程中的各项离散化，可以得到一个线性方程组。
这个方程组可以用矩阵表示，其中未知量是离散化后的因变量。
4. 数值求解，使用MATLAB中的线性代数求解函数，例如backslash运算符（\）或者LU分解等，求解得到线性方程组的数值解。
这个数值解就是微分方程的近似解。
需要注意的是，差分法是一种数值方法，所得到的解是近似解，精确度受离散化步长的影响。
通常情况下，可以通过减小离散化步长来提高数值解的精确度。
此外，对于某些特殊类型的微分方程，可能需要采用更高级的差分方法，如龙格-库塔法（Runge-Kutta method）或有限元方法（Finite Element Method）等。
综上所述，差分法是一种常用的数值方法，可以在MATLAB中用于解决微分方程。
通过离散化、差分近似、矩阵表示和数值求解等步骤，可以得到微分方程的数值解。
matlab差分法求解传热微分方程
matlab差分法求解传热微分方程matlab差分法求解传热微分方程是一种利用有限差分法对传热微分方程进行数值求解的方法。
有限差分法是一种广泛应用于偏微分方程求解的数值方法，它将连续的空间和时间离散化，通过离散的节点上的值来逼近连续的解。
1.matlab差分法求解传热微分方程求解步骤与规则：在使用matlab差分法求解传热微分方程时，通常遵循以下步骤和规则：（1）确定问题的物理模型：首先明确传热问题的类型，如稳态或非稳态传热，以及问题的边界条件和初始条件。
（2）离散化：将求解域划分为离散的网格节点，用于表示空间坐标。
同时，根据时间步长对时间进行离散化。
（3）建立差分方程：根据离散化的空间和时间，将传热微分方程转化为差分方程。
这通常包括对空间导数和时间导数的差分处理。
（4）选择适当的差分格式：根据问题的稳定性要求，选择合适的差分格式。
常见的有限差分格式有向前差分、向后差分、中心差分等。
（5）编写matlab程序：根据所选的差分格式和差分方程，编写matlab 程序进行求解。
程序中需要包含迭代算法，如三角剖分法、平方根法等，以收敛解为最终结果。
（6）验证和分析：通过与理论解或实验数据进行对比，验证求解结果的正确性和稳定性。
此外，分析结果以了解传热过程的规律和特点。
2.matlab差分法求解传热微分方程使用场景：matlab差分法求解传热微分方程在以下场景中具有广泛应用：（1）建筑节能分析：通过求解建筑墙体内部的温度场，评估建筑物的保温性能，为建筑设计提供依据。
（2）电子散热设计：分析电子设备内部的传热过程，优化散热结构，提高设备的工作效率和可靠性。
（3）能源工程：研究能源转换和传输过程中的热损失，为提高能源利用效率提供理论支持。
（4）材料科学：研究材料的热传导性能，为新材料的开发和应用提供参考。
（5）生物医学：分析生物组织内的传热过程，辅助诊断和治疗相关疾病。
总之，matlab差分法在求解传热微分方程方面具有较高的准确性和灵活性，为各种传热问题的分析和解决提供了有力工具。
matlab用差分求导数代码
MATLAB（矩阵实验室）是一种强大的数学计算和编程软件，常用于科学、工程和技术领域。
在MATLAB中，可以使用差分的方法来求解导数，这在数值计算中非常常见。
本文将介绍如何使用MATLAB编写差分求导数的代码。
一、差分求导数的原理差分求导数是一种数值求导的方法，它通过对函数在不同点上的取值进行离散化处理，从而得到函数在某一点上的导数近似值。
常见的差分求导数方法包括前向差分、后向差分和中心差分。
在MATLAB中，可以利用这些方法来求解函数的导数。
二、MATLAB中的差分求导数代码1.前向差分前向差分是一种简单的求导数方法，它利用函数在某一点和该点附近的取值来近似求解导数。
在MATLAB中，可以使用以下代码来实现前向差分求导数：```matlabfunction df = forward_diff(f, x, h)df = (f(x + h) - f(x)) / h;end```其中，f为要求导的函数，x为求导点的横坐标，h为步长，df为导数的近似值。
2.后向差分后向差分与前向差分类似，不同之处在于后向差分利用的是函数在求导点之前的取值。
在MATLAB中，可以使用以下代码来实现后向差分求导数：```matlabfunction df = backward_diff(f, x, h)df = (f(x) - f(x - h)) / h;end```3.中心差分中心差分是一种更精确的求导数方法，它利用函数在求导点两侧的取值来进行近似计算。
在MATLAB中，可以使用以下代码来实现中心差分求导数：```matlabfunction df = central_diff(f, x, h)df = (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h);end```三、代码示例下面以求解函数y=x^2在x=2处的导数为例，示范如何使用MATLAB中的差分求导数代码。
```matlab定义函数f = (x) x^2;求解导数x = 2; 求导点h = 0.001; 步长前向差分df_forward = forward_diff(f, x, h);disp(['前向差分求导结果：', num2str(df_forward)]);后向差分df_backward = backward_diff(f, x, h);disp(['后向差分求导结果：', num2str(df_backward)]);中心差分df_central = central_diff(f, x, h);disp(['中心差分求导结果：', num2str(df_central)]);```四、总结通过本文的介绍，我们了解了在MATLAB中如何使用差分的方法来求解函数的导数，并给出了前向差分、后向差分和中心差分的代码示例。
matlab中差分函数
matlab中差分函数
Matlab是一种多用途的数值计算软件，有一些工具可以用来分析、求解和可视化不同类型的数值问题。
Matlab中包含了大量内置函数，
其中就包括微分和差分函数。
Matlab提供的微分和差分函数可以用来
对函数进行导数和差分运算，方便和快速地获得所需的结果。
Matlab中的差分函数主要包括diff，gradient两个函数。
diff
函数用于求取矩阵中任意维数的梯度。
diff函数的形式如下：
[Y,n]=diff(X,dim)
其中函数输入X为一维或者多维数组，dim参数指定求取梯度的维度，当dim=1时，表示对矩阵沿着第一维度求取梯度，当dim=2时，
表示对矩阵沿着第二维度求取梯度。
另外，diff函数还支持输出多项式系数，可以实现一般形式的一
阶和二阶差分运算，其形式如下：
[Y,n]=diff(X,k)
函数输入X为一维数组，k指定求取梯度的维度，当k=1时，表示
输出一阶差分，当k=2时，表示输出二阶差分。
另外，Matlab中还提
供gradient函数，它可以用来求解函数或者矩阵的梯度，函数的形式
如下：
[dx,dy]=gradient(F)
其中F为函数，[dx,dy]的结果分别表示函数的x轴和y轴的梯度，因此gradient函数可以用来求解曲面的法矢，也可以用来计算某个点
的梯度，从而求解全局的极值点。
总之，Matlab中的差分函数可以用来求取函数及矩阵的梯度，它
们可以帮助我们快速获取相应的结果，促进我们求解数值问题的工作
效率。
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直接输入x（:,1）的值即可
x(:,1)=[600,0,0]; round(x'); plot(k,x),grid
600
500
400
300
200
100
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
• 在command窗口里调 用sqh函数
k=(0:20)'; y1=sqh(20,0.0194); y2=sqh(20,-0.0324); y3=sqh(20,-0.0382); round([y1',y2',y3'])
function x=fhsqh(n,r,b) a=1+r; X=100; For k=1:n X(k+1)=a*x(k)+b; end 对于不同的b，可用同样的方法进行观察;
function x=sqh(n,r) a=1+r; x=100; for k=1:n x(k+1)=a*x(k); end
利用plot 绘图观察数 量变化趋势 • plot(k,y1,k,y2,k,y3) 在同一坐标系下画图 plot(k,y1,':') plot(k,y2,'--') plot(k,y3,'r') 用gtext(‘r=0.0194’), gtext(‘r=-0.0324’), gtext(‘r=-0.0382’) 考虑人工饲养因素，可建立n,r,b 在图上做标记。 的函数:
用Matlab求解差分方程问题一阶线性常系数差来自方程线性常系数差分方程组
差分方程是在离散时段上描述现实世界中变 化过程的数学模型.
例1：污水处理厂每天可将处理池的污水浓度降低一 个固定比例q，问多长时间才能将污水浓度降低一半？ 记第k天的污水浓度为ck,则第k+1天的污水浓度为 ck+1=(1-q)ck, k=0,1,2,·· · · 从k=0开始递推n次得
注：如果第k+1时段变量Xk+1不仅取决于第k时 段变量Xk，而且与以前时段变量有关，就要用高阶 差分方程来描述，但方法与前面的分析相同。
一阶线性常系数差分方程的解、平衡点及其稳定性
xk+1 = axk + b
• 自然环境下,b=0 • 人工孵化条件下 xk = ak x0 + b(1+ a + + ak-1 )
1、 试建立一个关于变量n ，r的函数，描绘沙丘 鹤的数量变化情况。 2、人工孵化是挽救濒危物种的措施之一，如果每 年孵化5只鹤放入保护区，观察在中等自然条件下 沙丘鹤的数量如何变化 Xk+1=aXk +5 ,a=1+r 如果我们想考察每年孵化多少只比较合适，可以令 Xk+1=aXk +b ,a=1+r
function x=czqc(n) A=[0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6]; x(:,1)=[200,200,200]'; for k=1:n x(:,k+1)=A*x(:,k); end
作图观察数量变化趋势
300
• • • • •
k=0:10; plot(k,x) ，grid gtext('x1(k)'), gtext('x2(k)'), gtext('x3(k)')
0.1 • A 0.3 0.6 0.7 B C
假设在 每个租 赁期开 始能把 汽车都 租出去， 并都在 租赁期 末归还
• A
0.2
B
0.1
C
0.6 C
• A
B 0.1
0.3
模型及其求解
• 记第k个租赁期末公司在ABC市的汽车数量 分别为x1(k),x2(k),x3(k)（也是第k+1个租赁 期开始各个城市租出去的汽车数量），很 容易写出第k+1个租赁期末公司在ABC市的 汽车数量为(k=0,1,2,3·) · ·
x1 (k 1) 0.6 x1 (k ) 0.2 x2 (k ) 0.1x3 ( k ) x2 (k 1) 0.3 x1 (k ) 0.7 x2 (k ) 0.3 x3 (k ) x (k 1) 0.1x (k ) 0.1x ( k ) 0.6 x ( k ) 1 2 3 3
模型建立
记第k年沙丘鹤的数量为xk,年均增长率为r， 则第k+1年鹤的数量为 •xk+1=(1+r)xk k=0,1,2·· ·· ··
已知x0=100, 在较好，中等和较差的自然 环境下 r=0.0194, -0.0324,和-0.0382 我们利用 Matlab编程，递推20年后观察沙丘鹤的数量变 化情况：
280 260 240 220 200 180 160 140 120
x2(k)
x1(k)
x3(k) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
结果分析: 1 可以看到时间充分长以后3个城市汽车数 量趋于180，300，120 2 可以考察这个结果与初始条件是否有关 若最开始600辆汽车都在A市，可以看到 变化时间充分长以后，各城市汽车数量 趋于稳定，与初始值无关
xk = ak x0
1-a = a x0 + b 1-a
k
k
令xk=xk+1=x得差分方程的平衡点 k→∞时，xk→x,称平衡点是稳定的
b x= 1-a
线性常系数差分方程组
汽车租赁公司的运营问题： 一家汽车租赁公司在3个相邻的城市运营，为方 便顾客起见公司承诺，在一个城市租赁的汽车可以在 任意一个城市归还。根据经验估计和市场调查，一个 租赁期内： A 市租赁的汽车在A,B,C市归还的比例分别为 0.6,0.3,0.1; B 市租赁的汽车归还比例0.2,0.7,0.1; C 市租赁的归还比例分别为0.1,0.3,0.6。 若公司开业时将600辆汽车平均分配到3个城市， 建立运营过程中汽车数量在3个城市间转移的模型， 并讨论时间充分长以后的变化趋势。
用matlab编程，计算x(k),观察n年以后的3个城市 的汽车数量变化情况
x1 ( k 1) 0.6 x2 ( k 1) 0.3 x ( k 1) 0.1 3
0.2 0.7 0.1
0.1 x1 ( k ) 0.3 x2 ( k ) 0.6 x3 ( k )
cn (1 q) c0
n
以cn=c0/2代入即求解。
一阶线性常系数差分方程
• 濒危物种的自然演变和人工孵化问题：
沙丘鹤属于濒危物种，它在较好自然环境下 ，年均增长率仅为1.94%，而在中等和较差环境下 年均增长率分别为 -3.24% 和 -3.82%，如果在某 自然保护区内开始有100只鹤，建立描述其数量变 化规律的模型，并作数值计算。
• 用矩阵表示
x1 (k 1) 0.6 0.2 0.1 x1 ( k ) x2 (k 1) 0.3 0.7 0.3 x2 ( k ) x (k 1) 0.1 0.1 0.6 x ( k ) 3 3