导数选择题之构造函数法解不等式地一类题

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导数之构造函数解函数值不等式问题教师版

导数之构造函数解函数值不等式问题教师版1．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()2f x f x '+>，()05f =，则不等式()3e 2xf x -->的解集为__________. 【答案】{}0x x >构造函数()()e 2e x xg x f x =-，则该函数的定义域为R ，且()()0023g f =-=，所以，()()()e 20x g x f x f x ''=+->⎡⎤⎣⎦，则函数()g x 在R 上为增函数，由()3e 2x f x -->可得()e 2e 3x xf x ->，即()()0g x g >，解得0x >.因此，不等式()3e 2x f x -->的解集为{}0x x >.2．已知()'f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x ≥时，()1f x '>，则不等式(2)(21)3f x f x x +--≥-的解集为___________．【答案】(],3-∞解：令()()g x f x x =-，因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()()()g x f x x f x x f x x g x -=---=-+=--=-⎡⎤⎣⎦，即函数()g x 为奇函数，因为当0x ≥时，()1f x '>，所以当0x ≥时，()()''10g x f x =->，即函数()()g x f x x =-在区间[)0,∞+上单调递增，因为函数()g x 为奇函数，所以函数()()g x f x x =-在R 上单调递增，所以(2)(21)3f x f x x +--≥-等价于()()(2)2(21)21f x x f x x +-+≥---，即()()221g x g x +≥-，所以221x x +≥-，解得3x ≤.3．已知函数2()ln f x a x x =+，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()12122f x f x x x ->-，则实数a 的最小值为______．【答案】解：设12x x >，则对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()12122f x f x x x ->-等价于()()()12122f x f x x x ->-，即()()112222f x x f x x ->-，令2()()2ln 2g x f x x x a x x =-=+-，则()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以()220ag x x x'=+-≥在(0,)+∞上恒成立，即222a x x ≥-+在(0,)+∞上恒成立，所以()2max22a x x≥-+，又()22max1112222222x x ⎛⎫-+=-⨯+⨯= ⎪⎝⎭，所以12a ≥，所以实数a 的最小值为12.4．定义在(,0)-∞的可导函数()f x ，其导数为()'f x 且3()()0f x xf x '+<，则不等式3(2022)(2022)8(2)0x f x f +++-<的解集为__________．【答案】(2024,2022)--【解析】【分析】构造函数()()3g x x f x =，则所要求解的不等式可化为()()20222g x g +<-，利用题设条件判断()g x 的单调性即可求解【详解】构造函数 ()()3g x x f x =()()()()23g x x f x xf x +'='当0x <时,()()30f x xf x '+<,20x >()0g x '∴<()g x ∴在(),0∞-上单调递减；()()()()32022(2022)2022,282g x x f x g f +=++-=--∴由不等式()()3(2022)2022820x f x f +++-< 得()()3(2022)202282x f x f ++<--()()20222g x g ∴+<-20222x ∴+>-且20220x +< 20242022x ∴-<<-;∴ 原不等式的解集为 ()2024,2022--.5．已知()f x 是R 上的奇函数，()g x 是在R 上无零点的偶函数，()20f =，当0x >时，()()()()0f x g x f x g x ''-<，则使得()()lg 0lg f x g x <的解集是________ 【答案】11(100,)100⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭,【解析】【分析】构造函数()()()f x h x g x =，求出()h x 的单调性及奇偶性，由()()lg (lg )0lg f x h x g x =<得到不等式，解不等式即可.【详解】令()()()f x h x g x =，则()()()()[]2()()f x g x f x g x h x g x ''-'=，当0x >时，()0h x '<，故()h x 在()0,∞+上单调递减，又()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，故()h x 是奇函数，()h x 在(),0∞-上单调递减，又()20,(0)0f f ==，可得(2)0,(2)0,(0)0h h h =-==，故()h x 在()2,0,(2,)-+∞上小于0，由()()lg (lg )0lg f x h x g x =<，得2lg 0-<<x 或lg 2x >，解得11100<<x 或100x >.故答案为：11(100,)100⎛⎫⋃+∞⎪⎝⎭,. 6．已知定义在R 上的函数()f x ，()f x '为其导函数，满足①()()2f x f x x =--，①当0x ≥时，()210f x x '++≥.若不等式()()221331f x x x f x +++>+有实数解，则其解集为________.【答案】{|x 23x <-或0x >}【详解】设2()()g x f x x x =++，则()()210g x f x x ''=++≥，在0x ≥时成立，所以()g x 在[0,)+∞上是增函数，又由()()2f x f x x =--，得222()()()2()()g x f x x x f x x x x f x x x g x -=-+-=++-=++=， ()g x 偶函数， 22(21)(21)(21)(21)(21)462g x f x x x f x x x +=+++++=++++22(1)(1)(1)1(1)32g x f x x x f x x x +=+++++=++++，不等式()()221331f x x x f x +++>+变形为：22(21)462(1)32f x x x f x x x ++++>++++，即(21)(1)g x g x +>+，所以(21)(1)g x g x +>+，所以211x x +>+，22(21)(1)x x +>+，2320x x +>，23x <-或0x >．故答案为：{|x 23x <-或0x >}．7．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()0xf x f x '-<，且()22f =，则()e e 0x xf -≥的解集是______．【答案】(],ln 2∞-【详解】令()()f xg x x=，则()()()2f x x f x g x x -=''，因为定义在()0,∞+上的可导函数()f x 满足()()0xf x f x '-<，所以()()2()0'-'=<f x x f x g x x 在()0,∞+上恒成立，所以函数()()=f x g x x 在()0,∞+上单调递减；又()22f =，所以()()2212f g ==，由()e e 0xxf -≥得()e 1e x xf ≥，所以()()e12xg g ≥=故e2x≤，则ln 2x ≤，所以()e e 0x xf -≥的解集是(],ln 2∞-8．函数()f x 的定义域为R ，()15f =，若对任意的x ∈R ，都有()23x f x '<成立，则不等式()34f x x <+的解集为___________.【答案】()1,+∞【详解】解：任意的x ∈R ，都有()23x f x '<，即()203f x x -<'要解()34f x x <+，()15f =∴设3()()4h x f x x =--，则2()()30h x f x x ''=-<，()h x ∴在R 上单调递减，又()()311140h f =--=而()()33()4014f x x f x x h ⇔--<=<+，即()()1h x h <1x ∴>，即原不等式的解集为()1,+∞；故答案为：()1,+∞．9．已知函数()f x 的定义域为R ，图象关于原点对称，其导函数为()f x '，若当0x >时()()ln 0x x f x f x +⋅'<，则不等式()()44xf x f x ⋅>的解集为______．【答案】()(),10,1-∞-⋃【解析】【分析】依据函数单调性和奇偶性把抽象不等式转化为整式不等式去求解即可. 【详解】当0x >时，()()()()()ln 0ln 0ln 0f x f x x x f x x f x x f x x'''+⋅<⇔+⋅<⇔⋅<⎡⎤⎣⎦，故函数()()ln g x x f x =⋅在()0,∞+上单调递减，易知()10g =，故当()0,1x ∈时，()0g x >，()0f x <，当()1,x ∈+∞时，()0g x <，()0f x <；而()()()44440x xf x f x f x ⎡⎤⋅>⇔⋅->⎣⎦，而()()44xh x f x ⎡⎤=⋅-⎣⎦为奇函数，则当0x >时，当()440x f x ⎡⎤⋅->⎣⎦的解为01x <<，故当x ∈R 时，()440xf x ⎡⎤⋅->⎣⎦的解为1x <-或01x <<，故不等式()()44x f x f x ⋅>的解集为()(),10,1-∞-⋃．故答案为：()(),10,1-∞-⋃10．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为fx ，若对任意实数x ，都有()()f x f x '>，且()02022f =，则不等式()2022e 0xf x -<的解集为______．【答案】{}0x x <【解析】【分析】构造()()ex f x g x =，利用导数及已知条件易证()g x 在R 上的递增，再由不等式等价于()(0)g x g <，根据单调性即得解集.【详解】由题设，令()()e x f x g x =，则()()()0exf x f xg x '-'=>，所以()g x 在定义域上递增，又()2022e 0xf x -<等价于0()(0)()(0)e ex f x f g x g =<=，所以，由单调性知不等式解集为{|0}x x <.故答案为：{|0}x x <.11．已知奇函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数为()'f x ，当02x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x 的不等式()2cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭的解集为________________ .【答案】,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】构造函数()()cos f x g x x =，,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.证明出()g x 为奇函数且为减函数.吧()2cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭可化为()4cos cos 4f f x x ππ⎛⎫⎪⎝⎭<，即可解出.【详解】记函数()()cos f x g x x =，,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. ()()cos()f x g x x --=-.因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()cos()cos f x f x g x g x x x--==-=--，所以()g x 为奇函数.则2()cos ()sin ()cos f x x f x xg x x'+'=.当02x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<，所以()0g x '<，所以()g x 为减函数.又()g x 为奇函数，所以()g x 的图像关于原点对称，所以，在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上()g x 为减函数.关于x 的不等式()2cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭可化为()4cos cos 4f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，即()()4g x g π<，所以42x ππ<<.12．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()()0xf x f x '->，且()20f -=，则不等式()0f x x>的解集是___________.【答案】(2,0)(2,)-+∞设()()''2()()()f x xf x f x g x g x x x-=⇒=，因为当0x >时，()()0xf x f x '->，所以当0x >时，'()0,()g x g x >单调递增，因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以当0x ≠时，()()()()f x f x g x g x x x--==-=--，所以函数()g x 是奇函数，故当0x <时，函数()g x 也是增函数，因为()20f -=，所以()20f =，所以()20g -=，()20g =，当0x >时，由()0(2)2g x g x >=⇒>，当0x <时，由()0(2)220g x g x x >=-⇒>-⇒-<<，故答案为：(2,0)(2,)-+∞。

函数与导数中的不等式证明之“构造函数法”

函数与导数中的不等式证明之“构造函数法”新课标下，对数学的基本知识，思想方法，解题技巧的考察仍是高考的重要内容。

在我们的函数解答题中，通常会涉及到用导数研究函数的性质，以及导数与不等式，方程，数列的交汇问题。

这部分题目能够很好的反映学生的分析问题，解决问题的能力，巧妙构造函数，结合函数的单调性是解决这类题目的一种重要方法。

标签：函数导数；构造思想；不等式下面借助于教学过程中的几个例子，通过构造函数的方法来解决这类不等式的证明问题。

例1.已知m∈R函数f（x）=mx--lnx，g（x）=+lnx（1）若y=f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调递增函数，求实数m的取值范围（2）证明：+++…+0）若斜率为k的直线与y=f’（x）曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，求证：x10），k==要证x11，lnt>0故考虑证lnt1）则g’（t）=1->0故g（t）在（1，∞）上是增函数所以当t>1时，g（t）=t-1-lnt>g（1）=0，即lnt0，（t>1）h（t）在（1，∞）上是增函数，∴当t>1时，h（t）=tlnt-（t-1）>h（1）=0，即t-10则f（x）在（0，1]上为单调递增函数，从而f（x）>f（0）=0即x>ln（1+x），（019时，不等式91时，令x=，则x>1，故f（）=+ln=-+ln>0∴ln>∴+++…+=+++…+>++++++…+>+（+）+（+++）+…（+…+）>++…+=+9>9故不等式成立。

例4.设函数f（x）=mlnx，h（x）=x-a（1）当m=2时，若函数k（x）=h（x）-f（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；（2）证明：当n≥2，n∈N*时，loge2+loge3+loge4+…+logen>解析（1）函数k（x）=h（x）-f（x）在[1，3]上恰有两个不同零点等价于方程x-2lnx=a，在[1，3]上恰有两个相异实根令g（x）=x-2lnx，则g’（x）=1-，当x∈[1，2），g’（x）0故g（x）min=g（2）=2-2ln2，又g（1）=1，g（3）=3-2ln3，g（3）-g（1）=lng（3），由题意只需g（2）=>=-，（n≥2）∴loge2+loge3+loge4+…+logen=++…+>1-+-+…+（-）=1+--=即得证。

导数选择压轴题之【构造函数】

导数小题——构造函数解不等式当有题目有下列表格左栏中的条件时，那么构造相应的右侧的函数，利用新函数的单调性、奇偶性来解决题目中的问题。

例1 已知定义在实数集R 上的函数f(x)满足f (1)=2，且f(x)的导数f′(x)在R 上恒有f ′(x )<1 (x ∈R)，则不等式f (x )<x +1的解集为（）A.(1,+∞)B.(−∞,−1)C.(−1,1)D.(−∞,−1)∪(1,+∞)例2 已知定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，且f (1)=0，当x <0时，f ′(x )+f (x )x>0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是例3 ()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()()0f x xf x '+<，且()40f −=，则不等式()0xf x >的解集为．例4 已知()f x 是定义在(),−∞+∞上的函数，导函数()f x '满足()()f x f x '<对于R x ∈恒成立，则（）A ．()()220f e f >，()()201420140f e f >B ．()()220f e f <，()()201420140f e f >C ．()()220f e f >，()()201420140f e f <D ．()()220f e f <，()()201420140f e f <例5 已知函数()y f x =对于任意,22x ππ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式不成立的是（）A ．34f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 34f ππ⎛⎫⎛⎫−<− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()04f π⎛⎫< ⎪⎝⎭D ．()023f fπ⎛⎫< ⎪⎝⎭例6 α，,22ππβ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0ααββ−>，则下列结论正确的是（）A ．αβ>B ．22αβ>C ．αβ<D ．0αβ+>例7 设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()10f =，当0x <时，有()()0xf x f x '−>恒成立，则不等式()0f x >的解集为．例8 已知偶函数()f x （0x ≠）的导函数为()f x '，且满足()10f −=，当0x >时，()()2f x xf x '>，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是．例9 设()f x 是定义在R 上的奇函数，在(),0−∞上有()()2220xf x f x '+<，且()20f −=，则不等式()20xf x <的解集为例10若定义在R 上的函数()f x 满足()()20f x f x '−>，()01f =，则不等式()2x f x e >的解集为．例11已知函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，若()f x 满足：()()()10x f x f x '−−>⎡⎤⎣⎦，()()222xf x f x e−−=，则下列判断一定正确的是（）A ．()()10f f C ．()()330f e f >D ．()()440f e f < 答案：例1：A例2：(−1,0)∪(0,1)例3：(−∞,−4)∪(0,4) 例4：D 例5：A例6：A例7：(−∞,−1)∪(1,+∞) 例8：(−1,1) 例9：(−2,2)例10：(0,+∞)例11：C。

高考数学导数专项练习之构造函数解不等式

专题9：构造函数解不等式1．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是( ) A ．(-∞，1)(1--⋃，0) B ．(0，1)(1⋃，)+∞C ．(-∞，1)(0-⋃，1)D ．(1-，0)(1⋃，)+∞【解析】由题意设()()f x g x x =，则2()()()xf x f x g x x '-'= 当0x >时，有()()0xf x f x '->，∴当0x >时，()0g x '>，∴函数()()f x g x x=在(0,)+∞上为增函数，函数()f x 是奇函数，()()g x g x ∴-=，∴函数()g x 为定义域上的偶函数，()g x 在(,0)-∞上递减，由(1)0f -=得，(1)0g -=，不等式()0()0f x x g x >⇔>，∴0()(1)x g x g >⎧⎨>⎩或0()(1)x g x g <⎧⎨<-⎩，即有1x >或10x -<<，∴使得()0f x >成立的x 的取值范围是：(1-，0)(1⋃，)+∞，故选：D ．2．函数()f x 的定义域是R ，(0)2f =，对任意x R ∈，()()1f x f x '+<，则不等式()1x x e f x e >+的解集为( )A ．{|0}x x >B ．{|0}x x <C ．{|1x x <-，或1}x >D ．{|1x x <-，或01}x <<【解析】令()()1x x g x e f x e =--，则()()()[()()1]x x x x g x e f x e f x e e f x f x '=+'-=+'-，()()1f x f x +'<， ()()10f x f x ∴+'-<，()0g x ∴'<，即()g x 在R 上单调递减，又(0)2f =，00(0)(0)12110g e f e ∴=--=--=，故当0x <时，()(0)g x g >，即()10x x e f x e -->，整理得()1x x e f x e >+，()1x x e f x e ∴>+的解集为(,0)-∞．故选：B ．3．已知定义在R 上的函数()f x 满足f （2）1=，且()f x 的导函数()1f x x '>-，则不等式21()12f x x x <-+的解集为( )A ．{|22}x x -<C ．{|2}x x <D ．{|2x x <-或2}x >【解析】令21()()2g x f x x x =-+，对()g x 求导，得()()1g x f x x '='-+，()1f x x '>-，()0g x ∴'>，即()g x 在R 上为增函数．不等式21()12f x x x <-+可化为21()12f x x x -+<，即()g x g <（2），由()g x 单调递增得2x <，所以不等式的解集为{|2}x x <．故选：C ．4．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且(2)f x +为偶函数，f （4）1=，则不等式()x f x e <的解集为( ) A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．4(,)e -∞D ．4(e ，)+∞【解析】设()()()()()()()2x xx e f x f x f x h x h x e e '-='=则，()()f x f x '<，()0h x ∴'<．所以函数()h x 是R 上的减函数，函数(2)f x +是偶函数，∴函数(2)(2)f x f x -+=+， ∴函数关于2x =对称，(0)f f∴=（4）1=，原不等式等价为()1h x <，∴不等式()x f x e <等价()1()(0)h x h x h <⇔<，()(0)1x f x f e e <=．()h x 在R 上单调递减， 0x ∴>．故选：B ．5．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数()f x '，满足()()f x f x '<，且(2)(2)f x f x +=-，f（4）1=，则不等式()x f x e <的解集为( )A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．(4,)+∞D ．(2,)-+∞【解析】可设函数()()x f x g x e=， ()()()xf x f xg x e'-'=，由()()f x f x '<，可得()0g x '<，即有()g x 在R 上递减，(2)(2)f x f x +=-，f（4）1=，可得(0)f f =（4）1=，0(0)(0)1f g e ==，由()x f x e <即为()1xf x e <，可得()(0)g x g <，由()g x 在R 上递减，可得0x >．则所求不等式的解集为(0,)+∞．故选：A ．6．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x +'>，(0)4f =，则不等式3()1(xf x e e >+为自然对数的底数）的解集为( )A ．(0,)+∞B ．(-∞，0)(3⋃，)+∞C ．(-∞，0)(0⋃，)+∞D ．(3,)+∞【解析】不等式3()1xf x e >+可化为 ()30x x e f x e -->；令()()3x x F x e f x e =--，则()()()x x x F x e f x e f x e '=+'-(()()1)x e f x f x =+'-；()()1f x f x +'>， (()()1)0x e f x f x ∴+'->；故()()3x x F x e f x e =--在R 上是增函数，又(0)14130F =⨯--=；故当0x >时，()(0)0F x F >=；故()30x x e f x e -->的解集为(0,)+∞；即不等式3()1(xf x e e >+为自然对数的底数）的解集为(0,)+∞；故选：A ．7．已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()(4)f x f x =-，且当2x ≠时其导函数()f x '满足()2()xf x f x '>'若24a <<则( ) A ．(2)a f f <（3）2(log )f a <B ．2(log )(3)(2)a f a f f f<<<（3）(2)a f <C ．f （3）2()(2)a f log a f <<D ．2(log )(2)a a f f f<<（3）【解析】函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()(4)f x f x =-，()f x ∴关于直线2x =对称；又当2x ≠时其导函数()f x '满足()2()()(2)0xf x f x f x x '>'⇔'->，∴当2x >时，()0f x '>，()f x 在(2,)+∞上的单调递增；同理可得，当2x <时，()f x 在(,2)-∞单调递减；24a <<，21log 2a ∴<<，224log 3a ∴<-<，又4216a <<，22(log )(4log )f a f a =-，()f x 在(2,)+∞上的单调递增；2(log )f a f∴<（3）(2)a f <．故选：B ．8．已知函数()y f x =对于任意的(,)22x ππ∈-满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式不成立的是( ) A()()34f ππ，()0g x ∴'>，即函数()g x 在(2x π∈-，)2π单调递增，则②()()34g g ππ-<-，即()()34cos()cos()34f f ππππ--<--，∴()()312f f ππ--<())()34f ππ-<-，故B 正确； ②(0)()4g g π<，即()(0)4cos0cos 4f f ππ<，(0)()4f π∴<，故②正确；②(0)()3g g π<，即()(0)3cos0cos 3f f ππ<， (0)2()3f f π∴<，故②正确；由排除法，故选：A ．9．已知函数()y f x =对于任意的(2x π∈-，)2π满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是( ) A ．2()(0)3f f π->B．(0)()4f π>C ．(1)f f ->（1）D ．f （1）(0)cos1f >【解析】函数()y f x =对于任意的(2x π∈-，)2π满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>∴令()()cos f x h x x=，则2()cos ()sin ()0(cos )f x x f x x h x x '+'=>，()h x ∴在(2π∈-，)2π上单调递增，h （1）(0)h >，即(1)(0)cos1cos0f f >，cos10∴> f∴（1）(0)cos1f >，故D 正确同理可检验A ，B ，C 三个选项是错误的故选：D ． 10．函数()f x 的导函数为()f x '，对x R ∀∈，都有2()()f x f x '>成立，若(4)2f ln =，则不等式2()x f x e >的解是( )A ．1x >B ．01x <<C ．4x ln >D ．04x ln <<【解析】x R ∀∈，都有2()()f x f x '>成立，1()()02f x f x ∴'->，于是有2()()0x f x e '>，令2()()x f x g x e=，则有()g x 在R 上单调递增，不等式2()x f x e >，()1g x ∴>， (4)2f ln =， (4)1g ln ∴=，4x ln ∴>，故选：C ．11．函数()f x 的导函数()f x '，对x R ∀∈，都有()()f x f x '>成立，若f （2）2e =，则不等式()x f x e >的解是() A ．(2,)+∞ B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(0,2)ln【解析】x R ∀∈，都有()()f x f x '>成立，()()0f x f x ∴'->，于是有(())0x f x e'>，令()()x f x g x e=，则有()g x 在R 上单调递增，不等式()x f x e >，()1g x ∴>， f（2）2e =，g ∴（2）2(2)1f e ==， 2x ∴>，故选：A ． 12．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且f（2）0=，当0x >时，有2()()0xf x f x x '-<恒成立，则不等式()0xf x >的解集是( )A ．(2-，0)(2⋃，)+∞B ．(2-，0)(0⋃，2)C ．(-∞，2)(0-⋃，2)D ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞【解析】()f x 是R 上的奇函数，则()f x x为偶函数；2()()()()f x xf x f x x x '-'=； 0x >时，2()()0xf x f x x '-<恒成立； 0x ∴>时，()()0f x x'<恒成立； ∴()f x x在(0,)+∞上单调递减，在(,0)-∞上单调递增；由()0xf x >得：()0f x x>； f（2）0=，(2)0f ∴-=；∴②0x >时，()(2)2f x f x >；02x ∴<<；②0x <时，()(2)2f x f x ->-； 20x ∴-<<；综上得，不等式()0xf x >的解集为(2-，0)(0⋃，2)．故选：B ．13．已知一函数满足0x >时，有2()()2g x g x x x'=>，则下列结论一定成立的是( ) A ．(2)2g g -（1）3B ．(2)2g g -（1）2 C ．(2)2g g-（1）4<D ．(2)2g g -（1）4【解析】0x >时，有2()()2g x g x x x'=>， 32()3g x x c ∴=+， 33223x x c ∴>+， 343c x ∴<， 0x >，0c ∴ g ∴（2）163c =+，g （1）23c =+， ∴16(2)832232cg c+==+， ∴(2)2g g -（1）62232c ==- 故选：B ．14．定义在区间(0,)+∞上的函数()f x 使不等式2()()3()f x xf x f x <'<恒成立，其中()f x '为()f x 的导数，则( ) A ．(2)816(1)f f << B ．(2)48(1)f f <<C ．(2)34(1)f f << D ．(2)23(1)f f << 【解析】令3()()f x g x x=，则3264()3()()3()()f x x x f x xf x f x g x x x '-'-'==，()3()xf x f x '<，即()3()0xf x f x '-<， ()0g x ∴'<在(0,)+∞恒成立，即有()g x 在(0,)+∞递减，可得 g （2）g <（1），即(2)(1)81f f <，由2()3()f x f x <，可得()0f x >，则(2)8(1)f f <；令2()()f x h x x =，243()2()()2()()f x x xf x xf x f x h x x x '-'-'==， ()2()xf x f x '>，即()2()0xf x f x '->， ()0h x ∴'>在(0,)+∞恒成立，即有()h x 在(0,)+∞递增，可得 h （2）h >（1），即(2)4f f >（1），则(2)4(1)f f >．即有(2)48(1)f f <<．故选：B ．15．已知函数()f x 的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，图象关于y 轴对称，且当0x <时，()()f x f x x '>恒成立，设1a >，则4(1)1af a a ++，，4(1)()1aa f a ++的大小关系为( )A ．4(1)4(1)()11af a a a f a a +>>+++ B ．4(1)4(1)()11af a a a f a a +<<+++ C ．4(1)4(1)()11af a aa f a a +>>+++D ．4(1)4(1)()11af a aa f a a +<<+++ 【解析】当0x <时，()()f x f x x'>恒成立， ()()xf x f x ∴'<，令()()f x g x x=， 2()()()xf x f x g x x'-∴'=， ()0g x ∴'<，()g x ∴在(,0)-∞上单调递减， ()()f x f x -=， ()()g x g x ∴-=-，()g x ∴为奇函数，在(0,)+∞上单调递减．比较4(1)1af a a ++，，4(1)()1aa f a ++的大小， ∴4(1)4(1)1af a ag a a +=++，4ag =，44(1)()4()11a a a f ag a a +=++， 1a >，211)0a ∴+-=>，1a ∴+>411aa a +>+，且41a a <+411aa a ∴+>+， 4(1)()1ag a g g a ∴+<<+， 44(1)44()1aag a ag ag a ∴+<<+，即4(1)4(1)()11af a aa f a a +<<+++．故选：B ．16．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若(0,)x ∀∈+∞，都有()2()xf x f x '<成立，则( ) A ．23f f >B ．2f （1）3f <C ．43f f<（2） D ．4f （1）f>（2）【解析】令2()()f x g x x =，则3()2()()xf x f x g x x'-'=，()2()xf x f x '<， (0,)x ∴∀∈+∞， ()0g x ∴'<恒成立()g x ∴是在(0,)+∞单调递减，g ∴（1）g >（2），即4f （1）f >（2）故选：D ．17．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()2()f x xf x f x x '<<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是( ) A ．(2)132f f +<（1）(2)2f <B ．(2)142f f +<（1）(2)2f <C ．3(2)8f f <（1）(2)132f <+ D ．(2)142f f +<（1）3(2)8f <【解析】设2()()f x x g x x -=，()()f x h x x=，(0,)x ∈+∞，则243[()1]2[()]()2()()f x x x f x x xf x f x xg x x x '---'-+'==， 2()()()xf x f x h x x '-'=，因为()()2()f x xf x f x x '<<-对(0,)x ∈+∞恒成立，所以()0g x '<，()0h x '>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减，()h x 在(0,)+∞上单调递增，则g （1）g >（2），h （1）h <（2），即22(1)1(2)212f f -->，(1)(2)12f f <，即(2)142f f+<（1）(2)2f <，故选：B ．18．若146()7a -=，157()6b =，27log 8c =，定义在R 上的奇函数()f x 满足：对任意的1x ，2[0x ∈，)+∞且12x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-，则f （a ），f （b ），f（c ）的大小顺序为( )A ．f （b ）f <（a ）f <（c ）B ．f （c ）f >（b ）f >（a ）C ．f （c ）f >（a ）f >（b ）D ．f （b ）f >（c ）f >（a ）【解析】根据题意，函数()f x 满足：对任意的1x ，2[0x ∈，)+∞且12x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-，则()f x 在[0，)+∞上为减函数，又由()f x 为定义在R 上的奇函数，则函数()f x 在(-∞，0]上为减函数，则函数()f x 在R 上为减函数，27log 08c =<，14467()()76a -==，而157()6b =，则0a b >>，故f （c ）f >（b ）f >（a ）．故选：B ．19．设定义在R 上的奇函数()f x 满足，对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x ≠，都有2121()()1f x f x x x -<-，且f（3）3=，则不等式()1f x x>的解集为( )A ．(3-，0)(0⋃，3)B ．(-∞，3)(0-⋃，3)C ．(-∞，3)(3-⋃，)+∞D ．(3-，0)(3⋃，)+∞【解析】设21x x >，且1x ，2(0,)x ∈+∞，由题意2121()()1f x f x x x -<-，可得函数()()F x f x x =-在(0,)+∞单调性递减，f（3）3=，可得F （3）0=，那么不等式()1f x x>，即求()0F x x >的解集， ()f x 是R 上的奇函数，()()(())()F x f x x f x x F x ∴-=-+=--=-， (3)0F ∴-=，当30x -<<时，()0F x <，可得()0F x x>成立；当03x <<时，()0F x >，可得()0F x x>成立；综上可得不等式()1f x x>的解集为(3-，0)(0⋃，3)．故选：A ．20．设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有3()()0f x xf x +'>，则不等式3(2015)(2015)27(3)0x f x f +++->的解集是 (2018,2015)--．【解析】根据题意，令3()()g x x f x =，其导函数为232()3()()[3()()]g x x f x x f x x f x xf x '=+'=+'，(,0)x ∈-∞时，3()()0f x xf x +'>， ()0g x ∴>，()g x ∴在(,0)-∞上单调递增；又不等式3(2015)(2015)27(3)0x f x f +++->可化为33(2015)(2015)(3)(3)x f x f ++>--，即(2015)(3)g x g +>-，020153x ∴>+>-；解得20152018x ->>-，∴该不等式的解集是为(2018,2015)--．故答案为：(2018,2015)--．21．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，x R ∀∈，有2()()f x f x x -+=，在(0,)+∞上()f x x'<，若(4)()84f m f m m ---，则实数m 的取值范围是 [2，)+∞ ．【解析】令21()()2g x f x x =-，2211()()()()022g x g x f x x f x x -+=--+-=，∴函数()g x 为奇函数．(0,)x ∈+∞时，()()0g x f x x '='-<，故函数()g x 在(0,)+∞上是减函数，故函数()g x 在(,0)-∞上也是减函数，由(0)0f =，可得()g x 在R 上是减函数，2211(4)()(4)(4)()(4)()848422f m f m g m m g m m g m g m m m ∴--=-+---=--+--，(4)()g m g m ∴-，4m m ∴-，解得：2m ，故答案为：[2，)+∞22．已知定义在R 上函数()f x 满足f （2）1=，且()f x 的导函数()2f x '<-，则不等式()52f lnx lnx >-的解集为 2(0,)e ．【解析】设t lnx =，则不等式()52f lnx lnx >-等价为()52f t t >-，设()()25g x f x x =+-，则()()2g x f x '='+，()f x 的导函数()2f x '<-，()()20g x f x ∴'='+<，此时函数单调递减， f（2）1=，g ∴（2）f=（2）45550+-=-=，则当02x <<时，()g x g >（2）0=，即()0g x >，则此时()()250g x f x x =+->，即不等式()25f x x >-+的解为2x <，即()52f t t >-的解为2t <，由2lnx <，解得20x e <<，即不等式()52f lnx lnx >-的解集为2(0,)e ，故答案为：2(0,)e ． 23．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+<，(0)4f =，则不等式[()1]3(x e f x e ->为自然对数的底数）的解集为 (,0)-∞ ．【解析】设()()x x g x e f x e =-，()x R ∈，则()()()[()()1]x x x x g x e f x e f x e e f x f x '=+'-=+'-，()()1f x f x +'<， ()()10f x f x ∴+'-<，()0g x ∴'<，()y g x ∴=在定义域上单调递减， ()3x x e f x e >+，()3g x ∴>，又00(0)(0)413g e f e ==-=-=，()(0)g x g ∴<，0x ∴<故答案为：(,0)-∞．24．定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x >-'，(0)0f =，()f x '是()f x 的导函数，则不等式()1x x e f x e >-（其中e 为自然对数的底数）的解集为(0,)+∞．【解析】设()()x x g x e f x e =-，()x R ∈；则()()()[()()1]x x x x g x e f x e f x e e f x f x '=+'-=+'-；()1()f x f x '>-； ()()10f x f x ∴+'->； ()0g x ∴'>；()y g x ∴=在定义域上单调递增； ()1x x e f x e >-；()1g x ∴>-；又00(0)(0)1g e f e =-=-；()(0)g x g ∴>；0x ∴>；∴不等式的解集为(0,)+∞．故答案为：(0,)+∞．25．函数()f x ，()(()0)g x g x ≠分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()f x g x f x g x '<'，(3)0f -=，则不等式()0()f xg x <的解集为 (3-，0)(3⋃，)+∞．【解析】②令()()()f x F xg x =．当0x <时，()()()()f x g x f x g x '<'，∴2()()()()()0()f xg x f x g x F x g x '''-=<，∴函数()F x 在0x <时单调递减；(3)0f -=，(3)0F ∴-=． ()0F x ∴<的解集为(3,0)-．②()f x ，()(()0)g x g x ≠分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，()()()()()()f x f x F x F xg x g x -∴-==-=--， ()F x ∴是R 上的奇函数，∴当0x >时，()0F x <的解集为(3,)+∞．综上可得：不等式()0()f xg x <的解集为(3-，0)(3⋃，)+∞．故答案为：(3-，0)(3⋃，)+∞． 26．设()f x 是定义在R上的奇函数，且(1)0f -=，若不等式112212()()0x f x x f x x x -<-对区间(,0)-∞内任意两个不相等的实数1x ，2x 都成立，则不等式(2)0xf x <解集是 1(2-，0)(0⋃，1)2．【解析】112212()()0x f x x f x x x -<-对区间(,0)-∞内任意两个不相等的实数1x ，2x 都成立，∴函数()()g x xf x =在(,0)-∞上单调递减，又()f x 为奇函数，()()g x xf x ∴=为偶函数，()g x 在(0,)+∞上单调递增，且(1)g g -=（1）0=，作出()g x 的草图如图所示：(2)0xf x <即2(2)0xf x <，(2)0g x <，由图象得，120x -<<或021x <<，解得102x -<<或102x <<，∴不等式(2)0xf x <解集是1(2-，0)(0⋃，1)2，故答案为：1(2-，0)(0⋃，1)2．。

高考数学构造函数试题(含答案)

构造函数一、考点一f(x)与f′(x)共存的不等式问题例题1.(1)定义在R上的函数f(x)，满足f(1)=1，且对任意x∈R都有f′(x)<12，则不等式f xlg>lg x+12的解集为(0,10).(2)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，若当x<0时，f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0，且g(-3) =0，则不等式f(x)g(x)<0的解集为(-∞，-3)∪(0,3)．【解析】(1)由题意构造函数g(x)=f(x)-12x，则g′(x)=f′(x)-12<0，所以g(x)在定义域内是减函数．因为f(1)=1，所以g(1)=f(1)-12=12，由f(lg x)>lg x+12，得f(lg x)-12lg x>12.即g(lg x)=f(lg x)-12lg x>12=g(1)，所以lg x<1，解得0<x<10.所以原不等式的解集为(0,10)．(2)借助导数的运算法则，f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0⇔[f(x)g(x)]′>0，所以函数y=f(x)g(x)在(-∞，0)上单调递增．又由题意知函数y=f(x)g(x)为奇函数，所以其图象关于原点对称，且过点(-3,0)，(3,0)．数形结合可求得不等式f(x)g(x)<0的解集为(-∞，-3)∪(0,3)．【答案】(1)(0,10)；(2)(-∞，-3)∪(0,3)[解题技法](1)对于不等式f′(x)+g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)=f(x)+g(x)．(2)对于不等式f′(x)-g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)=f(x)-g(x)．特别地，对于不等式f′(x)>k(或<k)(k≠0)，构造函数F(x)=f(x)-kx.(3)对于不等式f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)=f(x)g(x)．(4)对于不等式f′(x)g(x)-f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)=f xg x(g(x)≠0)．例题2.(1)设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(-1)=0,当x>0时，xf′(x)-f(x)<0，则使得f(x) >0成立的x的取值范围是(A)A.-∞,-1∪(0,1) B.(-1,0)∪1,+∞C.-∞,-1∪(-1,0) D.(0,1)∪1,+∞(2)设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)+xf′(x)>x2，则下列不等式在R上恒成立的是(A)A.f(x)>0B.f(x)<0C.f(x)>xD.f(x)<x【解析】(1)令g(x)=f xx，则g′(x)=xf′x -f xx2.由题意知，当x>0时，g′(x)<0，∴g(x)在(0，+∞)上是减函数．∵f(x)是奇函数，f(-1)=0，∴f(1)=-f(-1)=0，∴g(1)=f(1)=0，∴当x∈(0,1)时，g(x)>0，从而f(x)>0；当x ∈(1，+∞)时，g (x )<0，从而f (x )<0.又∵f (x )是奇函数，∴当x ∈(-∞，-1)时，f (x )>0；当x ∈(-1,0)时，f (x )<0.综上，所求x 的取值范围是(-∞，-1)∪(0,1)．(2)令g (x )=x 2f (x )-14x 4，则g ′(x )=2xf (x )+x 2f ′(x )-x 3=x [2f (x )+xf ′(x )-x 2]．g 0 =0.当x >0时，g ′(x )>0，∴g (x )>g (0)，即x 2f (x )-14x 4>0，从而f (x )>14x 2>0；当x <0时，g ′(x )<0，∴g (x )>g (0)，即x 2f (x )-14x 4>0，从而f (x )>14x 2>0；当x =0时，由题意可得2f (0)>0，∴f (0)>0.综上可知，f (x )>0.【答案】(1)A ；(2)A[解题技法](1)对于xf ′(x )+nf (x )>0型，构造F (x )=x n f (x )，则F ′(x )=x n -1[xf ′(x )+nf (x )](注意对x n -1的符号进行讨论)，特别地，当n =1时，xf ′(x )+f (x )>0，构造F (x )=xf (x )，则F ′(x )=xf ′(x )+f (x )>0.(2)对于xf ′(x )-nf (x )>0(x ≠0)型，构造F (x )=f x x n ，则F ′(x )=xf ′x -nf xx n ＋1(注意对x n +1的符号进行讨论)，特别地，当n =1时，xf ′(x )-f (x )>0，构造F (x )=f x x ，则F ′(x )=xf ′x -f xx 2>0例题3.(1)已知f (x )为R 上的可导函数，且∀x ∈R ，均有f (x )>f ′(x )，则有(D )A.e 2019f (-2019)<f (0)，f (2019)>e 2019f (0)B.e 2019f (-2019)<f (0)，f (2019)<e 2019f (0)C.e 2019f (-2019)>f (0)，f (2019)>e 2019f (0)D.e 2019f (-2019)>f (0)，f (2019)<e 2019f (0)(2)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )+2f ′(x )>0恒成立，且f (2)=1e(e 为自然对数的底数)，则不等式e x f (x )-e x2>0的解集为(2，+∞)．【解析】(1)构造函数h (x )=f x e x ，则h ′(x )=f ′x -f xe x<0，即h (x )在R 上单调递减，故h (-2019)>h (0)，即f -2019 e －2019>f 0e⇒e 2019f (-2019)>f (0)；同理，h (2019)<h (0)，即f (2019)<e 2019f (0)，故选D .(2)由f (x )+2f ′(x )>0得212f x +f ′x>0，可构造函数h (x )=e x2f (x )，则h ′(x )=12e x2[f (x )+2f ′(x )]>0，所以函数h (x )=e x2f (x )在R 上单调递增，且h (2)=ef (2)=1.不等式e x f (x )-e x2>0等价于e x2f (x )>1，即h (x )>h (2)⇒x >2，所以不等式e xf (x )-e x2>0的解集为(2，+∞)．【答案】(1)D ；(2)(2，+∞)[解题技法](1)对于不等式f 'x +f x >0(或<0)，构造函数F (x )=e x f (x )(2)对于不等式f 'x -f x >0(或<0)，构造函数F (x )=f (x )e x(3)对于不等式nf 'x +f x >0(或<0)，构造函数F (x )=e xn f (x )(4)对于不等式nf'x -f x >0(或<0)，构造函数F(x)=f x e x n(5)对于不等式f'x +nf x >0(或<0)，构造函数F(x)=e nx f(x)(6)对于不等式f'x -nf x >0(或<0)，构造函数F(x)=f x e nx1.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的x>0都有2f(x)+xf′(x)>0成立，则(A) A.4f(-2)<9f(3) B.4f(-2)>9f(3) C.2f(3)>3f(-2) D.3f(-3)<2f(-2)【答案】A【解析】根据题意，令g(x)=x2f(x)，其导函数g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)，又对任意的x>0都有2f(x)+ xf′(x)>0成立，则当x>0时，有g′(x)=x[2f(x)+xf′(x)]>0恒成立，即函数g(x)在(0，+∞)上为增函数，又由函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(-x)=f(x)，则有g(-x)=(-x)2f(-x)=x2f(x)=g (x)，即函数g(x)也为偶函数，则有g(-2)=g(2)，且g(2)<g(3)，则有g(-2)<g(3)，即有4f(-2)<9f(3)．2.f(x)在0,+∞上的导函数为f′(x)，xf′(x)>2f(x)，则下列不等式成立的是(A) A.20182f(2019)>20192f(2018) B.20182f(2019)<20192f(2018)C.2018f(2019)>2019f(2018)D.2018f(2019)<2019f(2018)【答案】A【解析】令g(x)=f xx2，x∈(0，+∞)，则g′(x)=x2f′x -2xf xx4=xf′x -2f xx3>0，则g(x)在(0，+∞)上为增函数，即f201920192>f201820182，∴20182f(2019)>20192f(2018)。

(完整word版)导数选择题之构造函数法解不等式地一类题

导数选择题之构造函数法解不等式的一类题一、单选题1．定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集为A．B．C．D．2．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．3．定义在上的偶函数的导函数，若对任意的正实数，都有恒成立，则使成立的实数的取值范围为（）A．B．C．D．4．已知函数定义在数集上的偶函数，当时恒有，且，则不等式的解集为( )A．B．C．D．5．定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．6．设定义在上的函数满足任意都有，且时，有，则的大小关系是（）A．B．C．D．7．已知偶函数满足，且，则的解集为A．B．C．D．8．定义在R上的函数满足：是的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为( )A．B．C．D．9．已知定义在上的函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．10．定义在上的函数f(x)满足，则不等式的解集为A．B．C．D．11．已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数．若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．12．已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，且对于∀x∈R，均有f(x)>f′(x)，则有（）A．e2017f(－2017)<f(0)，f(2017)>e2017f(0) B．e2017f(－2017)<f(0)，f(2017)<e2017f(0)C．e2017f(－2017)>f(0)，f(2017)>e2017f(0) D．e2017f(－2017)>f(0)，f(2017)<e2017f(0)13．已知可导函数的定义域为，其导函数满足,则不等式的解集为A．B．C．D．14．函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（）A．B．C．D．15．已知函数的导数是，若，都有成立，则( )A．B．C．D．16．已知函数满足条件：当时，，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．17．定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立.则有（）A．B．C．D．18．已知函数是偶函数，，且当时其导函数满足，若，则（）A．B．C．D．19．设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案1．B【解析】【分析】构造函数，则得的单调性，再根据为奇函数得，转化不等式为，最后根据单调性性质解不等式.【详解】构造函数，则，所以在上单独递减，因为为奇函数，所以.因此不等式等价于，即，选B.【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等2．A【解析】分析：构造函数，首先判断函数的奇偶性，利用可判断时函数的单调性，结合函数图象列不等式组可得结果.详解：设，则的导数为，因为时，，即成立，所以当时，恒大于零，当时，函数为增函数，又，函数为定义域上的偶函数，当时，函数为减函数，又函数的图象性质类似如图，数形结合可得，不等式，或，可得或，使得成立的的取值范围是，故选A.点睛：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题. 联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.3．A【解析】【详解】分析：构造新函数，利用导数确定它的单调性，从而可得题中不等式的解．详解：设，则，由已知当时，，∴在上是减函数，又∵是偶函数，∴也是偶函数，，不等式即为，即，∴，∴，即．故选A．点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，然后解函数不等式．解题关键是构造新函数．新函数的结构可结合已知导数的不等式和待解的不等式的形式构造．如，，，等等．4．B【解析】分析：设，结合求导法则，以及题中的条件，可以断定函数在相应区间上的单调性，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可.详解：设，所以，因为当时，有恒成立，所以当时，所以在上递增，因为，所以，所以是奇函数，所以在上递增，因为，所以，当时，等价于，所以，所以，当时，等价于，所以，所以，所以原不等式的解集为，故选B.点睛：该题考查的是有关函数的问题，结合题中所给的条件，结合商函数求导法则构造新函数，结合函数的单调性与导数的符号的关系，得到相应的结果，在求时的情况的时候，可以直接根据函数是偶函数求得结果.5．B【解析】分析：根据题意，设，对其求导分析可得在区间上递减，利用的值可得的值，进而将原不等式转化为，结合函数的单调性、定义域，分析可得答案.详解：根据题意，设，则，又由函数定义在上，且有，则，则在区间上递减，若，则，，则，即不等式的解集为.故选：B.点睛：本题考查函数的导数与函数的单调性之间的关系，关键是构造函数，并分析其单调性.6．C【解析】根据题意，函数满足任意都有，则有，则是周期为的函数，则有，设，则导数为，又由时，，则有，则有，则函数在上为减函数，则有，即，又由，则有，变形可得，故选C.【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 7．C【解析】【分析】构造函数，由可得在递增，结合奇偶性转化原不等式为从而可得结果.【详解】由得，令，，时，递增，又时，不等式等价于是偶函数，也是偶函数，可得或，所以的解集为或，故选C.【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.8．B【解析】【分析】构造函数，，研究的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【详解】设，，则则，在定义域内单调递增，，，则不等式的解集为故选【点睛】本题主要考查了函数单调性，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键。

利用导数构造函数解决不等式问题小专题训练(含详细解答)

利用导数构造函数解决不等式问题1．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且对任意x ∈R 都有()2f x '>，(1)3f =，则不等式()210f x x -->的解集为（）A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(0,)+∞D ．(,0)-∞2．函数()f x 的定义域为R ，()22018f -=，对任意的x ∈R ，都有()2f x x '<成立，则不等式()22014f x x <+的解集为（）A ．()2,-+∞B ．()2,2-C ．(),2-∞D ．R3．设()f x 是定义在()0,∞+上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x +<'，对任意正数,a b ，若a b <，则必有( )A ．()()af b bf a 0，xf′(x)－f(x)<0，则对任意正数a ，b ，当a>b 时，下列不等式一定成立的是( )A ．af(b)<bf(a)B ．bf(a)<af(b)C ．af(a)<bf(b)D ．af(b)<af(a)5．已知()f x 为定义在R 上的可导函数，()f x '为其导函数，且(('))f x f x <恒成立，其中e 是自然对数的底，则（） A ．(2019) (2020)f e f 6．已知1201x x ，则（）A ．1221ln ln x x x x > B ．1221ln ln x x x x < C ．2112ln ln x x x x > D ．2112ln ln x x x x < 7．函数()f x 的导数为()'f x ，对任意的正数x 都有()()2'f x xf x >成立，则（） A ．()()9243f f > B ．()()9243f f <C ．()()9243f f =D ．()92f 与()43f 的大小不确定8．若ln22a =，ln33b =，ln66c =，则（） A ．a b c <x 时，有2()()0xf x f x x'-<恒成立，则不等式2()0x f x >的解集是（）A ．(2,0)-∪(2,)+∞B ．(,2)-∞-∪(0,2)C ．(,2)-∞-∪(2,)+∞D ．(2,0)-∪(0,2)参考答案1．B 【分析】先构造函数()()21g x f x x =--，求导得到()g x 在R 上单调递增，根据函数的单调性可求得不等式的解集. 【详解】构造函数()()21g x f x x =--， (1)3f =， (1)(1)210g f x ∴=--=.又任意x ∈R 都有()2f x '>.∴()()20g x f x '='->在R 上恒成立. ∴()g x 在R 上单调递增.∴当()(1)g x g >时，有1x >，即()210f x x -->的解集为{}|1x x >. 【点睛】本题主要考查利用函数的单调性解不等式，根据题目条件构造一个新函数是解决本题的关键. 2．A 【解析】分析：根据题意，构造函数()()22014g x f x x =--，对其求导可得函数()g x 在R 上单调递减，由()22018f -=可得()()()222220140g f -=----=，进而可以将不等式变形为()()2g x g <-，结合函数的单调性分析可得答案. 详解：根据题意，构造函数()()22014g x f x x =--，则()()20g x f x x '-'=<，∴函数()g x 在R 上单调递减，又()22018f -=∴()()()222220140g f -=----=∴不等式()22014f x x <+可化为()()2g x g <-，∴2x >-，即不等式()22014f x x <+的解集为()2,-+∞.故选A.点睛：可以从所证不等式的结构和特点出发，结合已有的知识利用转化与化归思想，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，其一般步骤是：构造可导函数→研究单调性或最值→得出不等关系→整理得出结论． 3．A 【分析】先构造函数,再由导数与原函数的单调性的关系解决. 【详解】()f x 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数,且满足()()0xf x f x +<', ∴令()()g x xf x =,则()()()0g x xf x f x ''=+<,()g x ∴在(0,)+∞上单调递减或为常函数又0a b <<,且()f x 非负，于是有：()()0af a bf b >≥ ①22110a b>> ②②两式相乘得：()()()()0f a f b af b bf a ab>≥⇒<所以A 选项是正确的. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,着重考查构造函数的思想与观察分析问题的能力,属于中档题. 4．D 【分析】根据题意构造函数g (x )＝()f x x，求导可得到函数的单调性，进而得到g （a ）<g(b). 【详解】令g (x )＝()f x x ，∴g ′(x )＝()()()'20f x xf x f x x x ⎡⎤-⎥⎦'=<⎢⎣，∴函数g (x )在定义域内单调递减，∵a >b >0，∴g （a ）<g(b)，即()()f a f b ab<，进而可得bf(a)<af(b)．故答案为D. 【点睛】本题考查函数的单调性的应用，对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集． 5．B 【分析】构造新函数()()x x f F x e=，通过导数研究该函数的单调性，利用单调性比较大小，可得结果. 【详解】令()()x x f F x e =，则()()('')xf x F x ef x =- 由(('))f x f x <，所以()'0F x >故函数()F x 为R 上的单调递增，所以()()20202019F F > 故20202019(2020)(2019)f ef e > 即(2019)(2020)ef f < 故选：B 【点睛】本题主要考查利用函数单调性比较式子大小，难点在于构造函数()()x x f F x e=，属中档题. 6．D 【分析】构造函数()ln f x x x =，利用导数说明其单调性，即可判断AB ；设()ln xg x x=，利用导数研究其单调性，即可得解；【详解】解：设()ln f x x x =，则()'ln 1f x x =+，由()'0f x >，得1x e>，所以函数()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；由()'0f x <，得10x e <<，函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故函数()f x 在()0,1上不单调，所以()1f x 与()2f x 的大小无法确定，从而排除A ，B ；设()ln x g x x=，则()21ln 'xg x x -=，由()'0g x >，得0x e <<，即函数()f x 在()0,e 上单调递增，故函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()12g x g x <，即1212ln ln x x x x <，所以2112ln ln x x x x <.故选：D 【点睛】本题考查构造函数判断函数的单调性，利用函数的单调性比较函数值的大小，属于中档题. 7．A 【分析】构造函数2()()f x g x x=，求出()0g x '<，得到()g x 在0,上单调递减，由(2)(3)g g >即可得到答案. 【详解】由()()2'f x xf x >，得()()'20xf x f x -<，设2()()f x g x x =，则()()243()2()2()x f x xf x xf x f x g x x x ''--'==，因为x 是正数，所以30x >，又()()'20xf x f x -<，所以()0g x '<，所以()g x 在0,上单调递减，所以(2)(3)g g >，即22(2)(3)23f f >，即9(2)4(3)f f >. 故选：A 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，并利用函数的单调性解不等式，注意构造函数的应用，考查学生的分析转化能力，属于中档题. 8．C 【分析】设ln ()xf x x=，则21ln ()x f x x -'=，所以()f x 在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，又有ln 4ln 242=，由此即可得到本题答案. 【详解】设ln ()xf x x=，则21ln ()x f x x -'=，所以()f x 在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减；即有(6)(4)(3)f f f <<，所以ln6ln4ln2ln36423<=<，故c a b <<. 故选：C 【点睛】本题主要考查利用函数的单调性比较大小. 9．B 【解析】试题分析：因为当0>x 时，有2()()0xf x f x x '-<恒成立，所以'()0f x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭恒成立，所以()f x x在(0,)+∞内单调递减．因为0)2(=f ,所以在(0,2)内恒有()0f x >；在(2,)+∞内恒有()0f x <．又因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以在(,2)-∞-内恒有()0f x >；在(2,0)-内恒有()0f x <．又因为不等式2()0x f x >的解集，即不等式()0f x >的解集，由上分析可得，其解集为(,2)-∞-∪(0,2)，故应选B ．考点：1、函数的基本性质；2、导数在研究函数的单调性中的应用．【思路点睛】本题主要考查了函数的基本性质和导数在研究函数的单调性中的应用，属中档题．其解题的一般思路为：首先根据商函数求导法则可知2()()0xf x f x x'-<化为'()0f x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭；然后利用导数的正负性可判断函数()f x x 在(0,)+∞内的单调性；再由0)2(=f 可得函数)(x f 在(0,)+∞内的正负性；最后结合奇函数的图像特征可得，函数)(x f 在(,0)-∞内的正负性，即可得出所求的解集．。

2025届新高考数学一轮复习精讲精练：构造函数法解决导数不等式问题

典型例题
例题 1．（23-24 高二下·河北石家庄·阶段练习）已知定义在 R 上的函数 f x ，其导函数为 f x ，且 f x f x ，则（）
A． f 2024 f 2023 C． ef 2024 f 2023
B． f 2024 ef 2023 D． f 2024 e2 f 2023
f
1
【答案】BD
【分析】
构造函数 g x f x ，其中 x 0 ，利用导数分析函数 g x 在 0, 上的单调性，结合单
x
调性逐项判断即可.
【详解】构造函数 g x
f x ，其中 x 0 ，则 g x x
xf x f x
x2
0，
所以，函数 g x 在 0, 上为减函数，
e2
C． 4 f 2 9 f 3
B． 9 f 3 f 1
D．
f
e
9
f
3
e2
【答案】D
【分析】
构造函数 g x x2 f x 在 , 0 上单调递增，再根据奇偶性可判断各选项.
【详解】由当 x 0 时， xf x 2 f x 0 ，
得 x2 f x 2xf x 0 ，
f
2024
e2024
g 2023
f 2023
， e2023
则 f 2024 ef 2023 ，故 B 正确.
故选：B.
例题 2．（2024·贵州贵阳·一模）已知定义域为 R 的函数 f x ，其导函数为 f x ，且满足 f x 2 f x 0 ， f 0 1，则（）
A． e2 f 1 1
e e2 f
4，故 C 正确．
方法二：设 f x 1, 又 e2 16 4e2 ，C 正确．

2018届高三构造函数利用导数解不等式(原卷版)

专题一构造函数利用导数解不等式对于已知不等式中既有()f x 又有'()f x ，一般不能直接确定'()f x 的正负，即不能确定()f x 的单调性，这时要求我们构造一个新函数，以便利用已知不等式判断其导数的的正负，常见的构造新函数有1．对于()()x g x f ''>，构造()()()x g x f x h -=更一般地，遇到()()0'≠>a a x f ，即导函数大于某种非零常数(若a =0，则无需构造)，则可构()()axx f x h -=2．对于()()0''>+x g x f ，构造()()()x g x f x h +=3．对于()()0'>+x f x f ，构造()()x f e x h x=4．对于()()x f x f >'[或()()0'>-x f x f ]，构造()()x e x f x h =5．对于()()0'>+x f x xf ，构造()()x xf x h =6．对于()()0'>-x f x xf ，构造()()x x f x h =7．对于()()0'>x f x f ，分类讨论：(1)若()0>x f ，则构造()()x f x h ln =；(2)若()0<x f ，则构造()()[]x f x h -=ln ；例一设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当时,.若，则实数的取值范围是()A. B. C. D.构造函数法，令2()()2F x f x x =-，则1()()402F x f x x ''=-<-<，函数()F x 在(,0)-∞上为减函数，因为2()()()()40F x F x f x f x x -+=-+-=，即()()F x F x -=-，故()F x 为奇函数，于是()F x 在(,)-∞+∞上为减函数，而不等式3(1)()32f m f m m +≤-++可化为(1)()F m F m +≤-，则1m m +≥-，即12m ≥-.选A.例二已知()f x 是定义在区间(0)+∞，上的函数，其导函数为()f x '，且不等式()2()x f x f x '<恒成立，则（）A．4(1)(2)f f <B．4(1)(2)f f >C．(1)4(2)f f <D．(1)4(2)f f '<对点训练1．【2017广东惠州】定义在R 上的函数)(x f y =满足)()3(x f x f =-，0)(')23(<-x f x ，若21x x <，且321>+x x ，则有()（A ）)()(21x f x f >（B ）)()(21x f x f <（C ）)()(21x f x f =（D ）不确定2．【2017沧州】函数()f x 的定义域为R ，(0)2f =，对任意x R ∈，都有()'()1f x f x +>，则不等式()1x xe f x e >+ 的解集为（）A．{|0}x x >B．{|0}x x < C.{|1}x x <-或1x >D．{|1}x x <-或01}x <<3．【2017湖南郴州】已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，若对于任意实数x 有()'()f x f x >，且()1y f x =-为奇函数，则不等式()x f x e <的解集为（）A．(,0)-∞B．(0,)+∞ C.4(,)e -∞D．4(,)e +∞4.定义域为R 的可导函数()x f y =的导函数为()x f '，满足()()x f x f '>，且(),10=f 则不等式()1<x e x f 的解集为（)A.()0,∞-B.()+∞,0C.()2,∞-D.()+∞,25.已知偶函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时有，则不等式的解集为()A. B. C.D ．。

利用导数构造函数解不等式

构造函数解不等式1.(2015全国2理科)．设函数f’(x)是奇函数()()f x x R ∈的导函数，f （-1）=0，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（A ）（B ）（C ）（D ）2若定义在R 上的函数()f x 是奇函数, ()02=f ,当x ＞0时，()()2xx f x f x -'＜0,恒成立，则不等式()x f x 2＞0的解集A ()2,-∞-⋃()+∞,2B ()0,2- ⋃ ()+∞,2C ()2,-∞-⋃()2,0D ．()0,2-⋃()2,03定义在R 上的函数()f x 满足：()()1(0)4f x f x f '+>=，，则不等式()3x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（） A .()0,+∞ B . ()(),03,-∞+∞ C .()(),00,-∞+∞ D .()3,+∞4. 定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)6f =，()f x '是()f x 的导函数，则不等式()5x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞C ．()(),01,-∞+∞D ．()3,+∞5.定义在R 上的函数()f x 满足则不等式（其中e 为自然对数的底数）的解集为6．定义域为R 的可导函数()x f y =的导函数为'()f x ，满足()()x f x f '>，且(),10=f 则不等式()1<x e x f 的解集为 A ．()0,∞- B ．()+∞,0 C ．()2,∞- D ．()+∞,27已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且则不等式的解集为( ) A ．()0,∞- B ．()+∞,0 C ．()2,∞- D ．()+∞,28．定义域为R 的函数满足()12=f ，且的导函数为＞x-1，则不等式()f x ＜1212+-x x 的解集是 A ()2,2- B ()+∞,2 C ()2,∞- D ()2,-∞- ⋃()+∞,29已知是定义域为()0,∞-的可导函数，其导函数为，且()()x f x x f '+3＞0，不等式()()()327201520153-+++f x f x ＞0的解集A ()2015,2018--B ()2015,2016--C ()2016,-∞-D ()2012,-∞-10已知定义域为R 的可导函数，其导函数为，满足，且()2+x f 是偶函数，()14=f ，不等式()f x ＜x e 的解集A ．()+∞,1B ．()+∞,0C ．()+∞,4D ．()+∞-,211已知函数对于任意的x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππ，满足()f x '()x x f x sin cos +＞0，则下列不等式不成立的是 A ⎪⎭⎫ ⎝⎛32πf ＜⎪⎭⎫ ⎝⎛4πf B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πf ＜⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πf C ()0f ＜⎪⎭⎫ ⎝⎛42πf D ()0f ＜⎪⎭⎫ ⎝⎛32πf 12已知()f x ，()()()0≠x g x g 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，，()x f '()x g ＜()()x g x f '， ()03=-f ，则()()x g x f ＜0的解集 A ()3,-∞-⋃()+∞,3 B ()0,3- ⋃()3,0 C ()0,3- ⋃()+∞,3 D ()3,-∞- ⋃()3,013已知可导函数，其导函数为，对任意,R x ∈都有()x f ＜()x f '2成立，若()24ln =f ，则不等式()x f ＞2xe 的解集A x ＞ ln 4B 0＜x ＜ln 4C x ＞1D 0＜x ＜114已知一函数满足x ＞0时有()22x x g ='＞()xx g ，则下列结论一定成立的是A . ()()31g 22≤-gB .()()21g 22≥-g C.()()41g 22≥-g D. ()()1g 22-g ＜4（15）已知定义在R 上的函数)(x f y =满足：函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，且当(,0),()'()0x f x xf x ∈-∞+<('()f x 是函数()f x 的导函数)成立, 若11(sin )(sin )22a f =，(2)(2)b ln f ln =，1212()4c f log =,则,,a b c 的大小关系是( ）A ． a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a c b >>17.（2015福建理科）若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是A.11f k k ⎛⎫<⎪⎝⎭ B.111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ C.1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D. 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭16.设()f x 是定义在R 上的增函数，对于任意的x 都有(1)(1)0f x f x -++=恒成立，若实数,m n 满足22(623)(8)03f m m f n n m ⎧-++-<⎨>⎩，则22m n +的取值范围是________.(13,49)7、已知对于任意实数x ，有()()f x f x -=-，()()g x g x -=且0x >时，()0f x '>，()0g x '>，则0x <时（）A. ()0f x '>，()0g x '>B. ()0f x '>，()0g x '<C. ()0f x '<，()0g x '>D. ()0f x '<，()0g x '<10.设函数31,1,()2, 1.x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()(())2f a f f a =的a 的取值范围是 A. 2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. []0,1 C. 2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. [)1,+∞7、存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（）A. (sin 2)sin f x x =B. 2(sin 2)f x x x =+C. 2(1)1f x x +=+D. 2(2)1f x x x +=+ 15．设函数22,2(),2x a x f x x a x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩，若f （x ）的值域为R ，是实数a 的取值范围是______. 14、若函数()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩ （0a > 且1a ≠ ）的值域是[)4,+∞ ，则实数a 的取值范围是 . （12）对函数()f x ，在使M x f ≥)(成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值叫做函数)(x f 的下确界．现已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足(1)(1)f x f x -=+，当]1,0[∈x 时，23)(2+-=x x f ，则)(x f 的下确界为（）（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-１.（2015全国试卷１）函数()()a ax x e x f x+--=12，若a ＜１，若存在唯一整数0x ，使()0x f ＜０，则a 的取值范围是（）Ａ⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,23e Ｂ ⎪⎭⎫⎢⎣⎡-4,23e Ｃ ⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,23e Ｄ ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23e 12．（2014全国试卷１）函数y=f （x ）的图象与函数y=g （x ）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f （x ）的反函数是（）A ． y=g （x ）B ． y=g （﹣x ）C ． y=﹣g （x ）D ． y=﹣g （﹣x ）12.已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则( ) A. 121()0,()2f x f x >>- B. 121()0,()2f x f x <<- C. 121()0,()2f x f x ><- D. 121()0,()2f x f x <>- 7.已知函数）x f y (=的导函数为)('x f ，且x f x x f sin )3(')(2+=π，则=)3('πf ( ) A ．π463- B ．π263- C ．π463+ D ．π263+9. 定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)6f =，()f x '是()f x 的导函数，则不等式()5x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞C ．()(),01,-∞+∞D ．()3,+∞ 设g （x ）=e x f （x ）-e x ，（x ∈R ），则g ′（x ）=e x f （x ）+e x f ′（x ）-e x =e x [f （x ）+f ′（x ）-1]，∵f'（x ）＞1-f （x ），∴f （x ）+f ′（x ）-1＞0，∴g ′（x ）＞0，∴y=g （x ）在定义域上单调递增，∵e x f （x ）＞e x +5，∴g （x ）＞5，又∵g （0）=e 0f （0）-e 0=6-1=5，∴g （x ）＞g （0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）故选：A．.。

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详解：
设，
则的导数为，
因为时，，
即成立，
所以当时，恒大于零，
当时，函数为增函数，
又，
函数为定义域上的偶函数，
当时，函数为减函数，
又
函数的图象性质类似如图，
数形结合可得，不等式，
或，
可得或，
使得成立的的取值范围是，故选A.
点睛：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
14．C
【解析】分析：由题意构造函数求导可知函数是区间上的增函数，把原不等式转化为，结合求得x的范围.
详解：
则函数是区间上的增函数.
由不等式，得
，解得，
又由，得，即
.
故选C.
点睛：该题考查的是有关解不等式的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点应用导数研究函数的单调性，构造新函数，结合题意求得对应的不等式的解集.
【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
详解：根据题意，设，
则，
又由函数定义在上，且有，
则，则在区间上递减，
若，则，
，
则，
即不等式的解集为 .
故选：B.
点睛：本题考查函数的导数与函数的单调性之间的关系，关键是构造函数，并分析其单调性.
6．C
【解析】
根据题意，函数满足任意都有，则有，则是周期为的函数，则有，设，则导数为，又由时，，则有，则有，则函数在上为减函数，则有，即，又由，则有，变形可得，故选C.
12．D
【解析】
【分析】
构造函数，由可得函数在上单调递减，利用单调性可得结果.
【详解】
构造函数，则，
因为，均有，并且，
故函数在上单调递减，，
即，
即，故选D.
【点睛】
利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
当时，等价于，所以，所以，
所以原不等式的解集为，故选B.
点睛：该题考查的是有关函数的问题，结合题中所给的条件，结合商函数求导法则构造新函数，结合函数的单调性与导数的符号的关系，得到相应的结果，在求时的情况的时候，可以直接根据函数是偶函数求得结果.
5．B
【解析】分析：根据题意，设，对其求导分析可得在区间上递减，利用的值可得的值，进而将原不等式转化为，结合函数的单调性、定义域，分析可得答案.
C．e2017f(－2017)>f(0)，f(2017)>e2017f(0) D．e2017f(－2017)>f(0)，f(2017)<e2017f(0)
13．已知可导函数的定义域为，其导函数满足 ,则不等式的解集为
A． B． C． D．
1ห้องสมุดไป่ตู้．函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（）
11．已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数．若，则实数的取值范围为（）
A． B． C． D．
12．已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，且对于∀x∈R，均有f(x)>f′(x)，则有（）
A．e2017f(－2017)<f(0)，f(2017)>e2017f(0) B．e2017f(－2017)<f(0)，f(2017)<e2017f(0)
4．B
【解析】分析：设，结合求导法则，以及题中的条件，可以断定函数在相应区间上的单调性，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可.
详解：设，所以，
因为当时，有恒成立，
所以当时，所以在上递增，
因为，所以，所以是奇函数，
所以在上递增，因为，所以，
当时，等价于，所以，所以，
详解：令，因为，
所以
因此解集为，
选A.
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等
10．C
【解析】
【分析】
构造函数，可得，在上单调递增，原不等式等价于，利用单调性可得结果.
3．A
【解析】
【详解】
分析：构造新函数，利用导数确定它的单调性，从而可得题中不等式的解．
详解：设，则，由已知当时，，∴ 在上是减函数，又∵ 是偶函数，∴ 也是偶函数，，
不等式即为，即，
∴ ，∴ ，即．
故选A．
点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，然后解函数不等式．解题关键是构造新函数．新函数的结构可结合已知导数的不等式和待解的不等式的形式构造．如，，，等等．
A． B．
C． D．
15．已知函数的导数是，若，都有成立，则( )
A． B．
C． D．
16．已知函数满足条件：当时，，则下列不等式正确的是（）
A． B．
C． D．
17．定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立.则有（）
A． B．
C． D．
18．已知函数是偶函数，，且当时其导函数满足，若，则（）
11．D
【解析】
【分析】
根据题意，构造函数，，利用导数研究其单调性，可得在上单调递减，将，，转化为，即，从而可得实数的取值范围.
【详解】
令，，则 .
∵
∴
∴函数在上单调递减
∵ ，
∴ ，即 .
∴ 且，解得 .
∴实数的取值范围为．
故选D．
【点睛】
本题考查利用导数研究不等式问题.利用导数研究不等式恒成立问题或不等式的解集问题，往往要根据已知和所求合理构造函数，再求导进行求解，如本题中的关键是利用“ ”和“ ”的联系构造函数 .
7．C
【解析】
【分析】
构造函数，由可得在递增，结合奇偶性转化原不等式为从而可得结果.
【详解】
由得，
令，
，
时，递增，
又时，
不等式等价于
是偶函数，也是偶函数，
可得或，
所以的解集为或，故选C.
【点睛】
本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
A． B． C． D．
19．设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（）
A． B． C． D．
参考答案
1．B
【解析】【分析】
构造函数，则得的单调性，再根据为奇函数得，转化不等式为，最后根据单调性性质解不等式.
【详解】
构造函数，则，所以在上单独递减，
因为为奇函数，所以 .
因此不等式等价于，即，选B.
【点睛】
利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等
2．A
【解析】分析：构造函数，首先判断函数的奇偶性，利用可判断时函数的单调性，结合函数图象列不等式组可得结果.
【详解】
A． B．
C． D．
8．定义在R上的函数满足：是的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为( )
A． B． C． D．
9．已知定义在上的函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（）
A． B． C． D．
10．定义在上的函数f(x)满足，则不等式的解集为
A． B． C． D．
13．B
【解析】
【分析】
构造函数，将不等式转化为，再根据定义域以及单调性化简求解.
【详解】
令
因为，
所以
因为在单调递减，
所以，选B.
【点睛】
利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等