利用构造函数解决高考导数大题
构造函数法解决导数问题(原卷版)--2024新高考数学导数微专题训练
专题26构造函数法解决导数问题一、多选题1．函数()ln 1xx kf x e x+=--在()0,∞+上有唯一零点0x ，则（）A ．001x x e=B ．0112x <<C ．1k =D ．1k >2．已知函数()y f x =在R 上可导且()01f =，其导函数()f x '满足[](1)()()0x f x f x '+->，对于函数()()xf xg x e =，下列结论正确的是（）A ．函数()g x 在(),1-∞-上为增函数B ．1x =-是函数()g x 的极小值点C ．函数()g x 必有2个零点D ．2()(2)e ef e e f >3．设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a =--(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（）A ．12B ．2C ．2e D ．4．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()()2f x xf x f x x '≤<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（）A ．(2)(1)2f f >B ．(2)(1)2f f <C ．(2)1(1)42f f <+D ．(2)1(1)42f f +<5．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，导函数为()'f x ，()()'ln xf x f x x x -=，且11f e e⎛⎫=⎪⎝⎭，则（）A ．1'0f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()f x 在1=x e处取得极大值C ．()011f <<D ．()f x 在()0,∞+单调递增6．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2ln h x e x =（e 为自然对数的底数），则（）A ．()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-；C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]4,1-；D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =-.7．已知定义在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的函数()f x ，()'f x 是()f x 的导函数，且恒有cos ()sin ()0xf x xf x '+<成立，则()A ．64f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 63f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 64f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、单选题8．已知数列{}n a 满足11a =，()1ln 1n n a a +=+.若11n n a a λ++≥恒成立，则实数λ的最大值是（）(选项中e 为自然对数的底数，大约为2.71828)A ．21e -B ．2e 1-C D ．e9．已知函数[](),1,2,xae f x x x=∈且[]()()12121212,1,2,1f x f x x x x x x x -∀∈≠<-，恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．24,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．24,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],0-∞D ．[)0+，∞10．已知()21ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()12122f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是（）A ．(]0,1B ．()1,+∞C ．()0,1D ．[)1,+∞11．已知()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，且0x >时()()20xf x f x '+>，又()10f -=，则()0f x <的解集为（）A ．()(),11,-∞-+∞UB ．()()1,00,1-UC ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃12．已知偶函数()y f x =对于任意的[0,)2x π∈满足'()cos ()sin 0f x x f x x +>（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式中成立的是（）A ()()34f ππ-<B ．()(34f ππ-<-C ．(0)(4f π>-D ．()(63f ππ<13．已知奇函数() f x 的导函数为()f x '，当0x ≠时，()()0xf x f x '+>，若()()11,,1a f b ef e c f ee ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a cb <<D ．c a b<<14．设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，若()()'2f x f x +<，()02021f =，则不等式()22019x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（）A ．()0+∞，B ．()2019+∞，C ．()0-∞，D ．()()02019-∞+∞ ，，15．若曲线21:C y x =与曲线2:(0)xe C y a a=>存在公切线，则实数a 的取值范围（）A ．(0,1)B ．21,4e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,24e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭16．丹麦数学家琴生(Jensen )是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数()f x 在(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(),a b 上的导函数为()f x ''，若在(),a b 上()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在(),a b 上为“凸函数”.已知()2ln xf x e x x px =--在()1,4上为“凸函数”，则实数p 的取值范围是（）A ．1,22e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．[)1,e -+∞C ．41,28e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．(),e +∞17．已知函数()f x 的定义域为R ，()f x '为()f x 的导函数.若()()1f x f x '-<，且()01f =，则不等式()12xf x e +≥的解集为（）A ．(],0-∞B ．[)1,-+∞C ．[)0,+∞D ．(],1-∞-18．函数()y f x =，x ∈R ，()12021f =，对任意的x ∈R ，都有()2'30f x x ->成立，则不等式()32020f x x <+的解集为（）A ．(),1-∞-B ．()1,1-C ．()1,+∞D ．(),1-∞19．已知函数()(1)f x lnx a x =-+，若不等式2()1f x ax b ≤+-对于任意的非负实数a 都成立，求实数b 的取值范围为（）A ．(-∞，0]B ．(-∞，1]C ．[0，)+∞D ．[1，)+∞20．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若∀x ∈R ，都有2f (x )＋xf ′(x )＜2，则使x 2f (x )－f (1)＜x 2－1成立的实数x 的取值范围是（）A ．{x |x ≠±1}B ．(－1，0)∪(0，1)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)21．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的R x ∈，有()()2cos f x f x x +-=，且在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，则不等式()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥-⎪⎝⎭的解集是（）A ．,4π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭22．设()'f x 是函数()f x 的导函数，若对任意实数x ，都有[]()()()0x f x f x f x '-+>，且(1)2020f e =，则不等式()20200x xf x e -≥的解集为（）A ．[1,)+∞B ．(,1]-∞C ．(0，2020]D ．(1，2020]23．已知()f x 是可导的函数，且()()f x f x '<，对于x ∈R 恒成立，则下列不等关系正确的是（）A ．()()10f ef >，()()202020200f ef <B ．()()10f ef >，()()211f e f >-C ．()()10f ef <，()()211f e f <-D ．()()10f ef >，()()202020200f e f >24．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，e 为自然对数的底数，对x R ∀∈均有()()()'f x xf x xf x +>成立，且()22=f e ，则不等式()2xxf x e >的解集是（）A ．(),e -∞B ．(),e +∞C ．(),2-∞D ．()2,+¥25．函数()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，其导函数()f x '，且满足()()20xf x f x '+>，则不等式()()()202020202222020x f x f x ++<+的解集为（）A ．{}2018x x <-B ．{}20202018x x -<<-C ．{}2018x x >-D ．{}20200x x -<<26．已知函数f (x )的定义域为R ，f (-1)=3，对任意x ∈R ，f ′(x )>3，则f (x )>3x +6的解集为（）A ．(-1，+∞)B ．(-1，1)C ．(-∞，-1)D ．(-∞，+∞)27．奇函数()f x 定义域为()(),00,ππ-⋃，其导函数是()'f x .当0x π<<时，有()()'sin cos 0f x x f x x -<，则关于x 的不等式()sin 4f x x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．ππ4（）B ．ππππ44（，，）-⋃C ．ππ0044-⋃（）（，）D ．ππ0π44-⋃（，）（，）28．若对任意的1x ，[)22,0x ∈-，12x x <，122112x x x e x e a x x -<-恒成立，则a 的最小值为（）A ．23e -B ．22e -C ．21e -D ．1e-29．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其导函数记为()f x '，当0x >时，()()f x f x x'<恒成立，若()20f =，则不等式()01f x x >-的解集为（）A ．()()2,01,2-UB ．()()2,00,1-⋃C ．()()1,2,2⋃-∞-D ．()()2,02,-+∞ 30．已知a 、b R ∈，函数()()3210f x ax bx x a =+++<恰有两个零点，则+a b 的取值范围（）A ．(),0-∞B ．(),1-∞-C ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭31．定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x '+<，则下列不等式一定成立的是（）A ．(3)2(2)2ef f e +<+B ．(3)2(2)2ef f e +>+C ．(3)2(2)2f e ef +<+D ．(3)2(2)2f e ef +>+32．已知函数()3x f x e ax =+-，其中a R ∈，若对于任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x <，都有()21x f x ()()1212x f x a x x -<-成立，则a 的取值范围是（）A ．[3,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,3]-∞D ．(,2]-∞33．设()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x '为其导函数，()20f =，当0x >时，有()()'>xf x f x 恒成立，则不等式()0xf x <的解集为（）A ．()2,2-B ．()(),20,2-∞-C ．()()2,00,2-D ．()()2,02,-+∞ 三、解答题34．已知函数()()ln af x x a R x=-∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若1x ，2x 是方程()2f x =的两个不同实根，证明：1232x x e +>.35．已知函数()()()ln 1,f x a x bx a b R =+-∈在点()()1,1f 处的切线方程为212ln 20x y ++-=.（1）求实数a ，b 的值﹔（2）若函数()2()()12t g x f x x t =+≥，试讨论函数()g x 的零点个数.36．已知实数0a >，函数()22ln f x a x x x=++，()0,10x ∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x =是函数()f x 的极值点，曲线()y f x =在点()()11,P x f x ､()()22,Q x f x (12x x <)处的切线分别为1l ､2l ，且1l ､2l 在y 轴上的截距分别为1b ､2b .若12//l l ，求12b b -的取值范围.37．设函数()2ln af x x x=+，()323g x x x =--.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）如果对于任意的12123x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，，都有()()112x f x g x ≥成立，试求a 的取值范围.38．已知函数()xf x e ax =-，()1lng x x x =+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若当0x >时，方程()()f x g x =有实数解，求实数a 的取值范围.39．给出如下两个命题：命题:[0,1]p x ∃∈，1426(5)0x x a a a +⋅-⋅+-=；命题:q 已知函数8()|ln |1a g x x x -=++，且对任意1x ，2(0,1]x ∈，12x x ≠，都有2121()()1g x g x x x -<--.（1）若命题p ⌝为假，求实数a 的取值范围.（2）若命题p q ∧为假，p q ∨为真，求实数a 的取值范围.40．已知函数()212ln 2f x x ax x =-+，a ∈R .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x 、()212x x x <，求()()212f x f x -的取值范围.41．已知函数22()(, 2.718)xx a f x a R e e-+=∈= .（1）求()f x 的单调区间.（2）若()f x 在区间21,1a e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭上不单调，证明：1111a a a +>-+.42．已知函数1()ln f x a x x x=-+，其中0a >.（1）若()f x 在(2,)+∞上存在极值点，求a 的取值范围；（2）设()10,1x ∈，2(1,)x ∈+∞，若()()21f x f x -存在最大值，记为()M a ，则当1a e e≤+时，()M a 是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由43．已知函数()ln 2f x x kx =++.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()2x e g x x ax =-+，当1k =-且202e a <≤，求证：()()g xf x >.44．已知函数()e xf x x =.（1）求函数()f x 的最小值；（2）若()0,x ∀∈+∞，()32f x x ax x >-++恒成立，求实数a 的取值范围.45．已知函数()f x 满足:①定义为R ；②2()2()9xx f x f x e e+-=+-.（1）求()f x 的解析式；（2）若12,[1,1]x x ∀∈-；均有()()21122(2)61x a x x f x -+-+-成立，求a 的取值范围；（3）设2(),(0)()21,(0)f x xg x x x x >⎧=⎨--+≤⎩，试求方程[()]10g g x -=的解.。
运用构造函数法解答导数问题的步骤
导数问题的难度较大，对同学们的数学抽象思维能力和运算能力有着较高的要求.导数与函数之间的联系紧密，所以在解答导数问题时，通常要根据已知条件来构造合适的函数模型，利用函数的图象、性质来求得问题的答案.这就是构造函数法.运用构造函数法解答导数问题的步骤为：1.仔细研究题目中给出的关系式的结构特征；2.灵活运用幂函数的求导公式(x n)′=nx n-1、指数函数的求导公式(a x)′=a x ln a（特例(e x)′=e x，(e nx)′=ne nx(n∈N*,n≥2)）、对数函数的求导公式(log a x)′=1x ln a（特例(ln x)′=1x）、三角函数的求导公式(sin x)′=cos x,(cos x)′=-sin x等，对已知关系式中的部分式子进行求导或积分；3.根据导数的运算法则(u±v)′=u′±v′，(uv)′=u′v+uv′，(u v)′=u′v-uv′v2将目标式或已知关系式进行变形，并将变形、化简后的式子构造成新函数模型；4.根据导函数与函数的单调性之间的关系判断出函数的单调性；5.根据函数的单调性求函数的极值，比较函数式的大小.把导数问题转化为函数问题来求解，可以达到化繁为简、化难为易的目的.例1.已知函数f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数，且xf′(x)+3f(x)>0，那么不等式(x+2021)3f(x+2021)+27f(-3)>0的解集是（）.A.(-2024,+∞)B.(-2022,-2021)C.(-∞,-2022)D.(-2024,-2021)解：在不等式xf′(x)+3f(x)>0的两边同乘以x2，可得x3f′(x)+3x2f(x)>0，即x3f′(x)+(x3)′f(x)>0，得(x3f(x))′>0.设函数g(x)=x3f(x)，则g′(x)>0，所以g(x)在(-∞,0)上单调递增.而(x+2021)3f(x+2021)+27f(-3)>0可变形为(x+2021)3f(x+2021)>(-3)3f(-3)，即g(x+2021)>g(-3).可得-3<x+2021<0，解得-2024<x<-2021.故选D.先根据指数函数的求导公式(x3)′=3x2以及导数的运算法则(uv)′=u′v+uv′将xf′(x)+3f(x)>0变形，即可化简不等式；再构造出函数g(x)=x3+f(x)，探讨其单调性，便可根据函数的单调性求得问题的答案.例2.已知函数f(x)是R上的可导函数，且(x-1)⋅(f′(x)-f(x))>0，f(2-x)=f(x)e2-2x，那么一定正确的是（）.A.f(1)<f(0)B.f(2)>ef(0)C.f(3)>e3f(0)D.f(4)<e4f(0)解：将不等式(x-1)(f′(x)-f(x))>0变形，可得(x-1)∙e x f′(x)-(e x)′f(x)(e x)2>0，即(x-1)∙(f(x)e x)′>0，设函数g(x)=f(x)e x，易知：当x>1时，g′(x)>0；当x<1时，g′(x)<0，所以函数g(x)在(-∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增.将f(2-x)=f(x)e2-2x变形，可得f(2-x)e2-x=f(x)e x，即g(2-x)=g(x)，所以函数g(x)的图象关于直线x=1对称.根据函数g(x)的单调性、对称性可得g(0)=g(2)<g(3)，即f(0)e0<f(3)e3，因此e3f(0)<f(3).故选C.我们以指数函数的求导公式(a x)′=a x ln a为切入点，根据导数的运算法则(u v)′=u′v-uv′v2，构造商式函数g(x)=f(x)e x，即可根据其单调性和对称性求得问题的答案.备考指南54例3.已知函数f (x )是定义在(1,+∞)上的可导函数，对∀x ∈(1,+∞)均有f '(x )ln x >1+ln x xf (x )恒成立，则（）.A.12f (2)>3f (4)>f (8)B.3f (4)>12f (2)>f (8)C.f (8)>3f (4)>12f (2)D.f (8)>12f (2)>3f (4)解：在f ′(x )ln x >1+ln x xf (x )的两边同乘以x ，移项可得f ′(x )x ln x -(1+ln x )f (x )>0，再变形得f ′(x )ln x -(x ln x )′f (x )(x ln x )2>0，得(f (x )x ln x )′>0，显然该不等式对∀x ∈(1,+∞)恒成立.设函数g (x )=f (x )x ln x，则g ′(x )>0，所以函数g (x )在(1,+∞)上单调递增.所以g (2)<g (4)<g (8)，即f (2)2ln 2<f (4)4ln 4<f (8)8ln 8，变形得f (2)2ln 2<f (4)8ln 2<f (8)24ln 2，可得f (8)>3f (4)>12f (2).故选C.根据已知条件和对数函数的求导公式(log a x )′=1x ln a，得到(x ln x )′=1+ln x ，便可根据导数的运算法则(uv )′=u ′v +uv ′和(u v )′=u ′v -uv ′v 2，将不等式进行变形、化简，进而构造出函数g (x )=f (x )x ln x，利用函数的单调性即可解题.例4.已知函数f (x )是定义在(-π2,π2)上的可导函数，且f ′(x )cos x +f (x )sin x >0恒成立，那么下列不等式不成立的是（）.A.2f (π3)<f (π4)B.2f (-π3)<f (-π4)C.f (0)<2f (π4) D.f (0)<2f (π3)解：将f ′(x )cos x +f (x )sin x >0变形，得f ′(x )cos x -f (x )(cos x )′(cos x )2>0，即(f (x )cos x )′>0，设g (x )=f (x )cos x，得g ′(x )>0，所以函数g (2)在(-π2,π2)上单调递增.因为-π2<-π3<-π4<0<π4<π3<π2，所以f (-π3)cos(-π3)<f (-π4)cos(-π4)<f (0)cos 0<f (π4)cos π4<f (π3)cos π3，化简得2f (-π3)<2f (-π4)<f (0)<2f (-π4)<2f (π3)，所以A 选项不正确.故本题选A.由f ′(x )cos x +f (x )sin x >0的结构特征，可联想到三角函数的求导公式(cos x )′=-sin x 以及导数的运算法则(uv )′=u ′v +uv ′，将不等式进行变形、化简，便可构造出新函数g (x )=f (x )cos x.例5.设定义在R 上的函数f (x )是连续可导函数，对任意的x ∈R 都有f (x )+f (-x )=2x 2.当x ∈(0,+∞)时，f ′(x )<2x .若不等式f (2-a )-f (a )≥4-4a 成立，则实数a 的取值范围是（）.A.(0,1]B.[1,2)C.(-∞,1]D.[1,+∞)解：当x ∈(0,+∞)时，根据不等式f ′(x )<2x ，可得f ′(x )-2x <0，再变形得f ′(x )-(x 2)′<0，即(f (x )-x 2)′<0.设函数g (x )=f (x )-x 2，则g ′(x )<0，所以函数g (x )在(0,+∞)上单调递减.因为对任意的x ∈R 都有f (x )+f (-x )=2x 2，所以g (x )+g (-x )=f (x )-x 2+f (-x )-(-x )2=0，所以函数g (x )是R 上的奇函数.因为f (x )是连续函数，所以函数g (x )在R 上单调递减.不等式f (2-a )-f (a )≥4-4a 可变形为f (2-a )-(2-a )2≥f (a )-a 2，即g (2-a )≥g (a ).由函数g (x )的单调性可知2-a ≤a ，解得a ≥1.故选D.根据已知条件f ′(x )<2x ，可知需要利用指数函数的求导公式(x 2)′=2x 以及导数的运算法则(u ±v )′=u ′±v ′，将不等式变形并化简，进而构造函数g (x )=f (x )-x 2，分析其函数的单调性、奇偶性，即可解题.对于本题，还可以将f (x )+f (-x )=2x 2变形为f (x )-x 2+f (-x )-(-x )2=0，再根据f (x )-x 2与f (-x )-(-x )2的结构特征构造函数g (x )=f (x )-x 2.导数问题侧重于考查一些常见的求导公式与导数的四则运算法则(u ±v )′=u ′±v ′，(uv )′=u ′v +uv ′，(u v )′=u ′v -uv ′v2的灵活应用.导数问题较为复杂，同学们不仅要灵活运用导数和函数知识，还需培养数学抽象、逻辑推理以及数学运算能力，才能轻松解题.（作者单位：甘肃省河州中学教育集团附属中学）备考指南55。
聚焦构造函数解决导数问题的常见题型
由 ① + ② ,得 (
y1 + y2 )(
y + y0 )-
2
x-x0 -2
=0。
p(
p)
30
令 y+y0 =0,
x-x0 -2
p =0,得 到 定 点
题速度和准确度。
(
责任编辑
徐利杰)
定点坐标,
是通法;
解法 2 利 用 抛 物 线 上 两 点
,
B(
x1 ,
C(
x2 ,
y1 )
y2 )连 线 的 斜 率 公 式 k =
2
p ,
以及两条直线垂直斜率乘积为 -1 求
y1 +y2
解;
解法 3 利 用 抛 物 线 上 两 点 连 线 的 斜 率 公
式求解。 给 出 一 般 情 况 下 的 解 法,同 学 们 以
x)
x)
>
2
π
f
(
x)
2
6
f
,
所以
2 2s
i
nx,
>2 2=
=
s
i
nx
1
π
s
i
n
2
6
即 g(
x )>g
π
π
π
, <x <
。故 不 等 式
6
2
6
x)
>2 2s
i
nx 的解集为
f(
π π
, 。
6 2
点评:
若f
'(
x)
t
a
nx +f (
2022年高考数学基础题型+重难题型突破类型六导数中函数的构造问题(解析版)
类型六导数中函数的构造问题【典例1】(1)f(x)是定义在R 上的偶函数，当x<0时，f(x)＋xf ′(x)<0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为________________． 【答案】 (－∞，－4)∪(0,4)【解析】 构造F(x)＝xf(x)，则F ′(x)＝f(x)＋xf ′(x)，当x<0时，f(x)＋xf ′(x)<0，可以推出当x<0时，F ′(x)<0，F(x)在(－∞，0)上单调递减，∵f(x)为偶函数，∴F(x)＝xf(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递减．根据f(－4)＝0可得F(－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知xf(x)>0的解集为(－∞，－4)∪(0,4)．(2)已知偶函数f(x)(x ≠0)的导函数为f ′(x)，且满足f(－1)＝0，当x>0时，2f(x)>xf ′(x)，则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是________________． 【答案】 (－1,0)∪(0,1) 【解析】 构造F(x)＝fx x2，则F ′(x)＝f ′x ·x －2f xx3，当x>0时，xf ′(x)－2f(x)<0，可以推出当x>0时，F ′(x)<0，F(x)在(0，＋∞)上单调递减，∵f(x)为偶函数，∴F(x)＝f xx2为偶函数， ∴F(x)在(－∞，0)上单调递增．根据f(－1)＝0可得F(－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知f(x)>0的解集为(－1,0)∪(0,1)．【典例2】 (1)定义在R 上的函数f(x)满足f ′(x)>f(x)恒成立，若x 1<x 2，则1e xf(x 2)与2e x f(x 1)的大小关系为( )A ．1e x f(x 2)>2e xf(x 1) B ．1e x f(x 2)< 2e x f(x 1) C ．1e xf(x 2)＝2e xf(x 1)D ．1e x f(x 2)与2e xf(x 1)的大小关系不确定 【答案】 A 【解析】 设g(x)＝fxex， 则g ′(x)＝f ′x e x－f x e xe x 2＝f ′x －fxex .由题意得g ′(x)>0，所以g(x)在R 上单调递增， 当x 1<x 2时，g(x 1)<g(x 2)，即()11e x f x <()22e x f x ， 所以1e xf(x 2)> 2e xf(x 1)．(2)已知定义在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数f(x)，f ′(x)是它的导函数，且恒有f(x)<f ′(x)tan x 成立，则( )A.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3B ．f(1)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6sin 1 C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 【答案】 D【解析】 构造函数g(x)＝f xsin x， 则g ′(x)＝f ′x sin x －f xcos xsin 2x，由已知可得，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，g ′(x)>0，g(x)为增函数，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6sin π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3sinπ3， ∴3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<f⎝ ⎛⎭⎪⎫π3. 【方法总结】 (1)构造函数xf(x)，fxx：当条件中含“＋”时优先考虑xf(x)；当条件中含“－”时优先考虑fx x. (2)构造函数fxxn：条件中含“xf ′(x)－nf(x)”的形式； 构造函数xf(nx)：条件中含“nxf ′(nx)＋f(nx)”的形式． (3)构造函数fxex：条件中含“f ′(x)－f(x)”的形式． (4)构造函数f xsin x ：条件中含“f ′(x)sin x －f(x)cos x ”的形式．【典例3】若函数21()ln 2f x x x bx =+-存在单调递减区间,则实数b 的取值范围为 。
2024年高考数学一轮复习大题专练07导数构造函数证明不等式1
一轮大题专练7—导数（构造函数证明不等式1）1．已知函数()f x alnx x =+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，证明：()x xf x e <． 解：（1）()f x alnx x =+，(0,)x ∈+∞． ()1af x x'=+， 0a 时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递增．0a <时，令()0f x '=，解得0x a =->，函数()f x 在(0,)x a ∈-上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增．（2）证明：当1a =时，要证明：()xxf x e <，即证明21xlnx e x x+<， 令()1lnxg x x=+，21()lnx g x x -'=， 令()0g x '>，解得0x e <<；令()0g x '<，解得e x <． ∴函数()g x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减．x e ∴=时，函数()g x 取得极大值即最大值，g （e ）11e=+． 令2()xe h x x =，3(2)()xx e h x x -'=，令()0h x '<，解得02x <<；令()0h x '>，解得2x <． ∴函数()h x 在(0,)e 上单调递减，在(2,)+∞上单调递增．x e ∴=时，函数()h x 取得极小值即最小值，h （2）24e =．221251(1)1044 2.5e e ⋅-+>-->． ()()max min g x h x ∴<，即21xlnx e x x+<，也即()x xf x e <． 2．已知函数()f x x alnx =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若关于x 的方程0x alnx -=有两个不相等的实数根，记较小的实数根为0x ，求证：0(1)a x a ->．（Ⅰ）解：由()f x x alnx =-，可得()1a f x x'=-， 则f '（1）1a =-，又f （1）1=，所以曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为1(1)(1)y a x -=--， 即(1)y a x a =-+．（Ⅱ）解：()f x x alnx =-的定义域为(0,)+∞，()1a x af x x x-'=-=， 当0a 时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '>，可得x a >，令()0f x '<，可得0x a <<， 所以()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增．（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当0a >时，()0f x x alnx =-=才有两个不相等的实根，且00x >， 则要证0(1)a x a ->，即证011a a x ->，即证0111a x ->， 而000x alnx -=，则000(1x a x lnx =≠，否则方程不成立）， 所以即证00011lnx x x ->，化简得0010x lnx -->， 令000()1g x x lnx =--，则000011()1x g x x x -'=-=， 当001x <<时，0()0g x '<，0()g x 单调递减， 当01x >时，0()0g x '>，0()g x 单调递增， 所以0()g x g （1）0=，而01x ≠， 所以0()0g x >，所以0(1)a x a ->，得证．3．已知函数()f x alnx x =+，函数2()x g x e bx =+，（1）记2()()h x f x x =+，试讨论函数()h x 的单调性，并求出函数()h x 的极值点；（2）若已知曲线()y f x =和曲线()y g x =在1x =处的切线都过点(0,1)．求证：当0x >时，()()(1)1xf x g x e x +--．解：（1）2()h x alnx x x =++，22()(0)x x ah x x x++'=>， 记2()2(0)x x x a x ϕ=++>，当0a 时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞单调递增，无极值点，当0a <时，△180a =->，()x ϕ有异号的两根10)x =<，20)x =>，x ∴∈，()0x ϕ<，()0h x '<，()h x 在单调递减，x ∈，)+∞，()0x ϕ>，()0h x '>，()h x 在，)+∞单调递减，()h x ∴有极小值点x =； （2）证明：()(0)x af x x x+'=>，()2x g x e bx '=+，f ∴'（1）1a =+，()f x 在1x =处的切线方程为1(1)(1)y a x -=+-，过点(0,1)得：1a =-，g '（1）2e b =+，()g x 在1x =处的切线方程为(2)(1)y e b e b x --=+-，过点(0,1)得：1b =-， ()f x lnx x ∴=-+，2()x g x e x =-，要证：()()(1)1xf x g x e x +--，即证：(1)10x e xlnx e x ----， 即证：1(1)0x e lnx e x x---，构造函数1()(1)x e K x lnx e x x =---，则2(1)(1)()x x e K x x --'=，0x >时，10x e ->，(0,1)x ∴∈时，()0K x '<，()K x 在(0,1)单调递减， (1,)x ∴∈+∞时，()0K x '>，()K x 在(1,)+∞单调递增，()K x K ∴（1）0=，故原不等式成立．4．已知函数()()f x ax lnx a R =+∈在1x =处取得极值．（Ⅰ）若对(0,)x ∀∈+∞，()1f x bx -恒成立，求实数b 的取值范围； （Ⅱ）设()()(2)x g x f x x e =+-，记函数()y g x =在1[4，1]上的最大值为m ，证明：(4)(3)0m m ++<．（Ⅰ）解：()()f x ax lnx a R =+∈，则1()f x a x'=+， 又()f x 在1x =处取得极值，则有f '（1）10a =+=，解得1a =-， 此时1()1f x x'=-，当01x <<时，()0f x '>，则()f x 单调递增， 当1x >时，()0f x '<，则()f x 单调递减， 所以()f x 确实在1x =处取得极值， 故1a =-，设()(1)1h x lnx b x =+--，则()1f x bx -在(0,)+∞上恒成立，即()0h x 在(0,)+∞上恒成立， 因为1()1h x b x'=+-， 当10b -，即1b 时，()0h x >在(0,)+∞上恒成立，不符合题意； 当1b <时，令()0h x '=，解得11x b=-， 当101x b<<-时，()0h x '>，则()h x 单调递增， 当11x b>-时，()0h x '<，则()h x 单调递减， 所以当11x b =-时，()h x 取得最大值111()1(1)2111b h ln ln b b b b-=+-=------， 要使得()0h x 在(0,)+∞上恒成立， 则有(1)20ln b ---，解得21b e --，综上所述，实数b 的取值范围为(-∞，21]e --；（Ⅱ）证明：要证(4)(3)0m m ++<，即证明43m -<<-即可， 因为()()(2)(2)x x g x f x x e lnx x x e =+-=-+-， 则111()1(2)(1)()(1)x x x x x g x e x e e x e x x x x-'=-++-=+-=--， 因为1[4x ∈，1]时，10x -恒成立，设1()x M x e x=-，1[4x ∈，1]，则()M x 为单调递增函数，又113205112035()0,()0201153M e M e =-<=->，则存在0113(,)205x ∈，使得0()0M x =，即001x e x =，则当01[,)4x x ∈时，()0M x <，(1)0x -<，则()0g x '>，故()g x 单调递增，当0[x x ∈，1]时，()0M x ，(1)0x -且不同时为0，则()0g x '，故()g x 单调递减，所以()g x 在1[4，1]上的最大值为0000000000()(2)2x x x m g x lnx x x e lnx x x e e ==-+-=-+-，又001x e x =，则00021m lnx x x =-+-，0113(,)205x ∈，设2()1k x lnx x x =-+-，113(,)205x ∈， 则212()10k x x x'=-+>对于113(,)205x ∈恒成立， 故()k x 在113(,)205x ∈上单调递增 故1111114011940()()1420202011202011k x k ln ln >=-+-=+->-， 333103()()1 2.933355535k x k ln ln <=-+-≈-<-，于是43m -<<-， 故(4)(3)0m m ++<．5．已知函数()x f x e x a =--，对于x R ∀∈，()0f x 恒成立． （1）求实数a 的取值范围；（2）证明：当[0,]4x π∈时，cos tan x x x e +．解：（1）由0x e x a --恒成立，得x a e x -对x R ∀∈恒成立， 令()x g x e x =-，()1x g x e '=-， 当0x >，()0g x '>，()g x 单调递增，当0x <，()0g x '<，()g x 单调减，()(0)1min g x g ==， 故所求实数a 的取值范围为(-∞，1]； （2）证明：由（1）得1x e x +．欲证cos tan x x x e +，只需证cos tan 1x x x ++即可， 令()cos tan 1h x x x x =+--，222221sin (sin cos )sin (sin sin 1)()sin 1cos cos cos x x x x x x h x x x x x-+-'=-+-==，令2()sin sin 1F x x x =+-，则易知()F x 在[0,]4π单调递增，且(0)0F <，()04F π>，故存在0(0,)4x π∈，使得0()0F x =；当[0x ∈，0)x 时，()0F x <，()0h x '，()h x 单调递减，当0(,]4x x π∈时，()0F x >，()0h x '>，()h x 单调递增，又(0)0h =，()044h ππ<，()(0)0max h x h ==，故当[0,]4x π∈时，cos tan x x x e +．6．已知函数()x f x e =，()1g x ax =+． （Ⅰ）已知()()f x g x 恒成立，求a 的值；（Ⅱ）若(0,1)x ∈211x x+-<． 解：（1）已知()()f x g x 恒成立，即()()0f x g x -恒成立， 令()()()1x h x f x g x e ax =-=--，则有()x h x e a '=-，当0a 时，则恒有()0h x '>，此时函数()h x 单调递增，并且当x →-∞时，()h x →-∞，不满足题意；0a ∴>，此时令()0h x x lna '=⇒=；()0h x x lna '∴>⇒>；()0h x x lna '<⇒<，即函数()h x 在(,)lna -∞上单调递减，在(,)lna +∞上单调递增，()()1min h x h lna a alna ∴==--，若要满足题意，则需使10a alna --，恒成立， 令F （a ）1(0)a alna a =-->，则有F '（a ）lna =，由此可得，当01a <<时，F '（a ）0<；当1a >时，F '（a ）0>．F ∴（a ）min F =（1）0=，即得F （a ）0， 1a ∴=．（2）令()1((0,1))x G x e x x =--∈，则有()10x G x e '=->恒成立，故可得()G x 在(0,1)上单调递增，即有()(0)0G x G >=恒成立，故有101x x e x e x -->⇔>+在(0,1)上恒成立； 根据题意，要证2111()lnx x f x x-+-<，即证明1111lnx x x x -+-<+，即证2111x lnx x x x x+-++-<+， 即证2110lnx x x-++>， 令21()H x lnx x x x =-++，则有22111()2(1)2H x x x x x x x'=--=--，(0,1)x ∈，10x ∴-<，20x -<，()0H x '∴<在(0,1)上恒成立，即得函数()H x 在(0,1)上单调递减， ()H x H ∴>（1）10=>，由此得证当(0,1)x ∈时，原不等式成立．7．已知函数()(1)f x x lnx =-，()f x '的反函数为()h x （其中()f x '为()f x 的导函数，20.69)ln ≈． （1）判断函数2()()32g x f x x x '=+-+在(0,)+∞上零点的个数；（2）当(0,1)x ∈31x x >--． 解：（1）由题意得22()()3232g x f x x x lnx x x ='+-+=+-+， 则(21)(1)()x x g x x--'=，由()0g x '=得12x =或1x =， 由()0g x '>，得102x <<或1x >， 由()0g x '<，得112x <<， 当x 在(0,)+∞上变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：根据上表知13()2024g x g ln ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭极大值，()g x g =极小值（1）0=，121()220416g ln =-<， 根据零点的存在性定理，函数()g x 在1(0,)2上存在唯一零点，又因为g （1）0=，所以根据()g x 的单调性可知，函数2()()32g x f x x x ='+-+在(0,)+∞上零点的个数为2． （2）证明：因为()f x lnx '=，其反函数为()x h x e =， 所以不等式为33(1)1(1)(1)x xx lnx x x x lnx x x e e->--⇔->--， 当(0,1)x ∈时，()0f x '<， 所以()f x 在(0,1)上单调递减，所以()f x f >（1）1=-， 设函数3()(1)x G x x x e =--， 则32()(32)x G x x x x e '=+--，设函数32()32p x x x x =+--，则2()361p x x x '=+-， 所以()p x '在(0,1)上单调递增， 因为(0)p p '⋅'（1）80=-<， 所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0p x '=，所以函数()p x 在0(0,)x 上单调递减，在0(x ，1)上单调递增， 当0(0,)x x ∈时，0()(0)2p x p <=-， 当0(x x ∈，1)时，0()0p x <，p （1）0>， 所以存在1(0,1)x ∈，使得1()0G x '=， 所以当1(0,)x x ∈时，()0G x '<， 当1(x x ∈，1)时，()0G x '>，所以函数()G x 在1(0,)x 上单调递减，在1(x ，1)上单调递增， 因为(0)1G =-，G （1）e =-， 所以当(0,1)x ∈时，()(0)1G x G <=-， 所以3(1)(1)x x lnx x x e ->--， 所以3()1()f x x xg x >--．。
专题26 构造函数法解决导数问题(解析版)
专题26 构造函数法解决导数问题一、多选题 1．函数()ln 1xx kf x e x+=--在()0,∞+上有唯一零点0x ，则（ ） A ．001x x e=B ．0112x <<C ．1k =D ．1k >【答案】ABC 【分析】由()0f x =，可得出()ln xxk xe xe=-，令()xu x xe =，0x >，利用导数得出函数()u x 在()0,∞+上为增函数，再令()ln g t t t =-，其中0t >，利用导数分析函数()g t 在()0,∞+上的单调性，可求得1k =，可判断ACD 选项的正误，再结合函数()u x 的单调性可判断B 选项的正误. 【详解】由()0f x =，可得()ln 0xxe x x k -+-=，即()ln xxk xe xe=-，令()xu x xe =，其中0x >，则()()10xu x x e '=+>，所以，函数()xu x xe =在区间()0,∞+上单调递增，则()()00u x u >=，令()ln g t t t =-，其中0t >，()111t g t t t'-=-=. 当01t <<时，()0g t '<，此时函数()g t 单调递减； 当1t >时，()0g t '>，此时函数()g t 单调递增. 所以，()()min 11g t g ==.若函数()f x 在()0,∞+上有唯一零点0x ，则1k =. 所以，()0001x u x x e==，由于函数()u x 在()0,∞+上单调递增，1122u ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()11u e =>，即()()0112u u x u ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，0112x ∴<<，所以，ABC 选项正确，D 选项错误. 故选：ABC.【点睛】利用导数求解函数的零点个数问题，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程（或不等式）组求解，实现形与数的和谐统一.2．已知函数()y f x =在R 上可导且()01f =，其导函数()f x '满足[](1)()()0x f x f x '+->，对于函数()()x f x g x e=，下列结论正确的是（ ） A ．函数()g x 在(),1-∞-上为增函数 B ．1x =-是函数()g x 的极小值点 C ．函数()g x 必有2个零点 D ．2()(2)e e f e e f >【答案】BD 【分析】对函数()g x 求导，求出单调区间和极值，可判断选项A ，B ；根据极小值的大小可得函数的零点个数，判断选项C ；利用()g x 在()1,-+∞上为增函数，比较()2g 与()g e 的大小关系，判断出选项D ． 【详解】函数()()x f x g x e =，则()()()xf x f xg x e '-'=，当1x >-时，()()0f x f x '->，故()g x 在()1,-+∞上为增函数，A 错误；当1x <-时，()()0f x f x '-<，故()g x 在(),1-∞-单调递减，故1x =-是函数g (x )的极小值点，B 正确； 若()10g -<，则()y g x =有两个零点， 若()10g -=，则()y g x =有一个零点，若()10g ->，则()y g x =没有零点，故C 错误；()g x 在()1,-+∞上为增函数，则()()2g g e <，即()()22ef f e e e<，化简得2()(2)ee f e e f >，D 正确； 故选：BD 【点睛】本题考查导数在单调性中的应用，考查函数的极值，考查函数的零点问题，考查利用单调性比较大小，属于中档题．3．设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a =-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（ ）A ．12B C ．2e D【答案】BCD 【分析】先构造函数，判断函数的奇偶性，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数零点的性质建立不等式关系进行求解即可． 【详解】 解：令函数21()()2T x f x x =-，因为2()()f x f x x -+=，22211()()()()()()()022T x T x f x x f x x f x f x x ∴+-=-+---=+--=，()T x ∴为奇函数，当0x 时，()()0T x f x x '='-<， ()T x ∴在(],0-∞上单调递减， ()T x ∴在R 上单调递减．存在0{|()(1)}x x T x T x ∈-，∴得00()(1)T x T x -，001x x -，即012x ，()x g x e a =-；1()2x， 0x 为函数()y g x =的一个零点；当12x时，()0x g x e '=-， ∴函数()g x 在12x 时单调递减，由选项知0a >，取12x =<，又0g ee ⎛-=> ⎝，∴要使()g x 在12x时有一个零点，只需使102g a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 解得ea，a ∴的取值范围为2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭， 故选：BCD ． 【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件构造函数，研究函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，属于中档题．4．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()()2f x xf x f x x '≤<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（ ）A ．(2)(1)2f f > B ．(2)(1)2f f <C ．(2)1(1)42f f <+D ．(2)1(1)42f f +<【答案】BD 【分析】 先设2()()f x xg x x -=，()()f x h x x=，()0,x ∈+∞，对函数求导，根据题中条件，分别判断设()g x 和()h x 的单调性，进而可得出结果. 【详解】 设2()()f x xg x x -=，()()f x h x x=，()0,x ∈+∞， 则[][]243()12()()2()()f x x x f x x xf x f x x g x x x '---'-+'==，2()()()xf x f x h x x '-'=. 因为()()2()f x xf x f x x '<<-对()0,x ∈+∞恒成立，所以()0g x '<，()0h x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，()h x 在()0,∞+上单调递增， 则()()12g g >，()()12h h <， 即22(1)1(2)212f f -->，(1)(2)12f f <即(2)1(2)(1)422f f f +<<.【点睛】本题主要考查导数的方法判定函数单调性，并根据单调性比较大小，属于常考题型.5．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，导函数为()'f x ，()()'ln xf x f x x x -=，且11f e e⎛⎫=⎪⎝⎭，则（ ） A ．1'0f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()f x 在1=x e处取得极大值 C ．()011f << D ．()f x 在()0,∞+单调递增【答案】ACD 【分析】根据题意可设()21ln 2f x x x bx =+，根据11f e e⎛⎫= ⎪⎝⎭求b ，再求()f x '判断单调性求极值即可. 【详解】∵函数()f x 的定义域为()0,∞+，导函数为()'f x ，()()'ln xf x f x x x -=即满足()()2'ln xf x f x xx x-=∵()()()2'f x xf x f x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭∵()ln f x xx x '⎛⎫=⎪⎝⎭∵可设()21ln 2f x x b x =+（b 为常数） ∵()21ln 2f x x x bx =+ ∵211111ln 2b f e e e e e ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭，解得12b = ∵()211ln 22f x x x x =+ ∵()112f =，满足()011f <<∵()()22111ln ln =ln 10222f x x x x '=+++≥，且仅有1'0f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭∵B 错误，A 、D 正确 故选：ACD 【点睛】本题主要考查函数的概念和性质，以及利用导数判断函数的单调性和极值点，属于中档题.6．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2ln h x e x =（e 为自然对数的底数），则（ ） A ．()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增； B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-； C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]4,1-；D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =-. 【答案】ABD 【分析】令()()()m x f x g x =-，利用导数可确定()m x 单调性，得到A 正确；设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，根据隔离直线定义可得不等式组22010x kx b kx bx ⎧--≥⎨+-≤⎩对任意(),0x ∈-∞恒成立；分别在0k =和k 0<两种情况下讨论b 满足的条件，进而求得,k b 的范围，得到B 正确，C 错误；根据隔离直线过()f x 和()h x 的公共点，可假设隔离直线为y kx e =-；分别讨论0k =、k 0<和0k >时，是否满足()()e 0f x kx x ≥->恒成立，从而确定k =再令()()e G x h x =--，利用导数可证得()0G x ≥恒成立，由此可确定隔离直线，则D 正确.对于A ，()()()21m x f x g x x x=-=-，()212m x x x '∴=+，()3321221m x x x ⎛⎫''=-=- ⎪⎝⎭，当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x ''>，()m x '∴单调递增， ()2233220m x m ⎛'∴>=+=-+= ⎝，()m x ∴在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增，A 正确；对于,B C ，设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，则21x kx bkx b x⎧≥+⎪⎨≤+⎪⎩对任意(),0x ∈-∞恒成立，即22010x kx b kx bx ⎧--≥⎨+-≤⎩对任意(),0x ∈-∞恒成立.由210kx bx +-≤对任意(),0x ∈-∞恒成立得：0k ≤. ∵若0k =，则有0b =符合题意；∵若k 0<则有20x kx b --≥对任意(),0x ∈-∞恒成立，2y x kx b =--的对称轴为02kx =<，2140k b ∆+∴=≤，0b ∴≤； 又21y kx bx =+-的对称轴为02b x k=-≤，2240b k ∴∆=+≤； 即2244k b b k⎧≤-⎨≤-⎩，421664k b k ∴≤≤-，40k ∴-≤<； 同理可得：421664b k b ≤≤-，40b ∴-≤<；综上所述：40k -≤≤，40b -≤≤，B 正确，C 错误； 对于D ，函数()f x 和()h x的图象在x =∴若存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点.设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为(y e k x -=，即y kx e =-， 则()()e 0f x kx x ≥->恒成立，若0k =，则()2e 00x x -≥>不恒成立.若k 0<，令()()20u x x kx e x =-+>，对称轴为02kx =< ()2u x x kx e ∴=-+在(上单调递增，又0ue e =-=，故k 0<时，()()e 0f x kx x ≥->不恒成立.若0k >，()u x 对称轴为02kx =>， 若()0u x ≥恒成立，则()(22340k e k ∆=-=-≤，解得：k =.此时直线方程为：y e =-， 下面证明()h x e ≤-，令()()2ln G x e h x e e x =--=--，则()x G x x'=，当x =()0G x '=；当0x <<()0G x '<；当x >()0G x '>；∴当x =()G x 取到极小值，也是最小值，即()min 0G x G==，()()0G x e h x ∴=--≥，即()h x e ≤-，∴函数()f x 和()h x存在唯一的隔离直线y e =-，D 正确.故选：ABD . 【点睛】本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解隔离直线的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题；难点在于能够对直线斜率范围进行准确的分类讨论，属于难题. 7．已知定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()f x ，()'f x 是()f x 的导函数，且恒有cos ()sin ()0xf x xf x '+<成立，则( )A．64f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B63f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C．63f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D64ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】CD 【分析】根据题意，令()()cos f x g x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，对其求导分析可得()0g x '<，即函数()g x 为减函数，结合选项分析可得答案． 【详解】解：根据题意，令()()cos f x g x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则其导数2()cos sin ()()f x x x f x g x cos x '+'=， 又由(0,)2x π∈，且恒有cos ()sin ()0x f x x f x '+<，则有()0g x '<，即函数()g x 为减函数，又由63ππ<，则有()()63g g ππ>，即()()63cos cos 63f f ππππ>，分析可得()()63f ππ；又由64ππ<，则有()()64g g ππ>，即()()64cos cos 64f f ππππ>()()64ππ>．故选：CD ． 【点睛】本题考查函数的单调性与函数导数的关系，注意构造函数()()cos f x g x x=，并借助导数分析其单调性，属于中档题．二、单选题8．已知数列{}n a 满足11a =，()1ln 1n n a a +=+.若11n n a a λ++≥恒成立，则实数λ的最大值是（ ）(选项中e 为自然对数的底数，大约为2.71828)A ．21e -B ．2e 1- CD ．e【答案】D 【分析】先由已知判断出1n n a a +≤，再根据11n n a a λ++≥得到11ln(11)n n a a λ++≤++，构造函数()ln tf t t=，利用单调性求出最小值大于0，从而得到答案. 【详解】由()1ln 1n n a a +=+得()111ln 1n n n n a a a a +++-=-+， 设()ln(1),1f x x x x =-+>-，()1xf x x '=+，()f x 在(1,0)-单调递减，在(0,+∞）单调递增， 故min ()(0)0f x f ==，则10n n a a +->， 所以1n n a a +≤， 1n a ≥，由11n n a a λ++≥得111ln(1)n n a a λ++++≥易得11ln(11)n n a a λ++≤++，记110n t a ++=>，所以111ln(1ln )n n a t a t ++=++，记()ln t f t t=，()2ln 1()ln t f t t -'=，当ln 10t ->即()0f t '>得t e >时()f t 单调递增，当ln 10t -<即()0f t '<得0t e <<时()f t 单调递减， 所以min ()()f t f e e ==，得e λ≤， 故选：D. 【点睛】本题考查了数列和导数的综合应用，考查学生的推理能力，计算能力，构造函数解题是关键.9．已知函数[](),1,2,xae f x x x=∈且[]()()12121212,1,2,1f x f x x x x x x x -∀∈≠<-，恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．24,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．24,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],0-∞D ．[)0+，∞ 【答案】A 【分析】根据条件变形可知()()F x f x x =-在区间[]1,2上单调递减，转化()0F x '≤恒成立，即可求解. 【详解】 不妨设()()121212,1,f x f x x x x x -<<-可得()()1122.f x x f x x ->-令()(),F x f x x =-则()F x 在区间[]1,2上单调递减， 所以()0F x '≤在区间[]1,2上恒成立，()()2110,x ae x F x x--≤'=当1x =时，,a R ∈当(]1,2x ∈时，()()21xx a g x e x ≤=-， 而()()()222201x x x x g x e x -'-+=<-，所以()g x 在区间[]1,2上单调递减，则()()2min 42g x g e==， 所以24,a e ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题中[]()()12121212,1,2,1f x f x x x x x x x -∀∈≠<-，恒成立，可转化为函数()()F x f x x =-递减是解题的关键，突破此点后，利用导数()0F x '≤在区间[]1,2上恒成立，分离参数就可求解.10．已知()21ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()12122f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(]0,1 B ．()1,+∞C ．()0,1D ．[)1,+∞【答案】D 【分析】 根据条件()()12122f x f x x x ->-可变形为112212()2[()]20f x x f x x x x --->-，构造函数()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>-，利用其为增函数即可求解. 【详解】根据1212()()2f x f x x x ->-可知112212()2[()]20f x x f x x x x --->-， 令()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>- 由112212()2[()]20f x x f x x x x --->-知()g x 为增函数， 所以()()'200,0ag x x x a x=+-≥>>恒成立， 分离参数得()2a x x ≥-，而当0x >时，()2x x -在1x =时有最大值为1， 故1a ≥. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题由条件()()12122f x f x x x ->-恒成立，转化为112212()2[()]20f x x f x x x x --->-恒成立是解题的关键，再根据此式知函数()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>-为增函数,考查了推理分析能力，属于中档题.11．已知()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，且0x >时()()20xf x f x '+>，又()10f -=，则()0f x <的解集为（ ） A ．()(),11,-∞-+∞ B ．()()1,00,1-C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃【答案】D 【分析】根据题意，构造新函数()()2g x x f x =⋅，0x >，通过导数研究函数单调性得出()g x 在()0,∞+上单调递增，再根据函数的奇偶性的定义得出()g x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，最后由()10f -=，得出()10g -=，所以()10g =，从而可求出()0g x <的解集，即()0f x <的解集. 【详解】解：由题可知，当0x >时()()20xf x f x '+>， 令()()2g x x f x =⋅，0x >，则()()()()()2220g x x f x xf x x xf x f x '''=+=+>⎡⎤⎣⎦，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，因为()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，则()()f x f x -=-， 所以()()()()()22g x x f x x f x g x -=-⋅-=-⋅=-， 得()g x 也是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数， 所以()g x 在(),0-∞和()0,∞+上单调递增，又()10f -=，则()()()21110g f -=-⋅-=，所以()10g =，所以可知()0g x <时，解得：1x <-或01x <<， 则()0f x <，即()()20g x f x x=<，即()0g x <， 所以()0g x <的解集为：()(),10,1-∞-⋃， 即()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃. 故选∵D. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的导数的应用，考查利用函数的单调性解不等式和函数的奇偶性的应用，通过构造新函数()()2g x x f x =⋅，0x >是解题的关键.12．已知偶函数()y f x =对于任意的[0,)2x π∈满足'()cos ()sin 0f x x f x x +>（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式中成立的是（ ）A ()()34f ππ-<B ()()34f ππ-<-C ．(0)()4f π>-D ．()()63f ππ<【答案】D 【解析】 试题分析：令,因,故由题设可得,即函数在上单调递增且是偶函数.又因,故,即,所以()3()63f f ππ<,故应选D.考点：导数在研究函数的单调性方面的运用.【易错点晴】本题将导数的知识和函数的单调性及不等式的解法等知识有机地结合起来,综合考查学生的数学思想和数学方法及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时,先将巧妙地构造函数,再运用求导法则求得,故由题设可得,即函数在上单调递增且是偶函数.再运用检验的方法逐一验证四个答案的真伪,从而使得问题获解.13．已知奇函数() f x 的导函数为()f x '，当0x ≠时，()()0xf x f x '+>，若()()11,,1a f b ef e c f ee ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ． a c b << D ．c a b <<【答案】C 【分析】令()()g x xf x =，求导可得()g x 单调递增，再结合奇函数的性质即可得解. 【详解】令()()g x xf x =，则()()()0g x f x xf x ''=+>，所以()g x 单调递增， 因为11e e>>，所以()()11g e g g e ⎛⎫>> ⎪⎝⎭即()()111ef e f f e e ⎛⎫>>⎪⎝⎭， 又() f x 为奇函数，所以()()ef e ef e --=， 所以b c a >>. 故选：C. 【点睛】解决本题的关键是构造合理的新函数，利用导数确定函数的单调性即可得解.14．设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，若()()'2f x f x +<，()02021f =，则不等式()22019x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A ．()0+∞， B ．()2019+∞， C ．()0-∞，D ．()()02019-∞+∞，，【答案】C 【分析】根据条件构造函数()()2xg x e f x =-⎡⎤⎣⎦，分析()g x 的单调性并计算()g 0的值，将()22019x xe f x e >+转化为()2019g x >，由此求解出不等式的解集. 【详解】设()()2xg x e f x =-⎡⎤⎣⎦，所以()()()2xg x e f x f x ''=+-⎡⎤⎣⎦，因为()()'2f x f x +<，所以()()()20xg x e f x f x ''=+-<⎡⎤⎣⎦，所以()g x 在R 上单调递减，且()()()01022019g f =⨯-=， 又因为()22019xxe f x e >+等价于()2019g x >，所以解集为(),0-∞， 故选：C. 【点睛】本题考查根据导函数有关的不等式构造抽象函数求不等式解集问题，解答问题关键是能根据条件构造出合适的抽象函数，难度较难.常见的构造方法：（1）若出现()()f x f x '+形式，可考虑构造()()xg x e f x =；（2）若出现()()f x f x '-，可考虑构造()()x f x g x e=；（3）若出现()()f x xf x +'，可考虑构造()()g x xf x =；（4）若出现()()f x xf x '-，可考虑构造()()f x g x x=. 15．若曲线21:C y x =与曲线2:(0)x e C y a a=>存在公切线，则实数a 的取值范围（ ）A ．(0,1)B ．21,4e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,24e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【分析】分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到22m n =-，则144nn e a-=有解．再利用导数进一步求得a 的取值范围． 【详解】2yx 在点2(,)m m 的切线斜率为2m ，(0)xe y a a=>在点1(,)n n e a 的切线斜率为1n e a ， 如果两个曲线存在公共切线，那么：12nm e a=． 又由斜率公式得到，212nm e a m m n-=-， 由此得到22m n =-， 则144nn e a-=有解，由44y x =-，1xy e a=的图象有公共点即可．当直线44y x =-与曲线1xy e a=相切时，设切点为(,)s t ，则 14s e a =，且144s t s e a=-=，可得4,2t s == 即有切点(2,4)，24e a =，故a 的取值范围是：24ea ．故选:D . 【点睛】本题利用导数研究曲线上某点的切线方程，曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，考查转化思想和运算能力，是中档题．16．丹麦数学家琴生(Jensen )是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数()f x 在(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(),a b 上的导函数为()f x ''，若在(),a b 上()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在(),a b 上为“凸函数”.已知()2ln x f x e x x px =--在()1,4上为“凸函数”，则实数p 的取值范围是（ ）A ．1,22e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．[)1,e -+∞C ．41,28e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．(),e +∞【答案】C 【分析】求函数导数，结合导数不等式进行求解，构造函数，利用函数的单调性研究函数的最值即可． 【详解】()2ln x f x e x x px =--， ()ln 12x f x e x px '∴=---，()12x f x e p x''∴=--，()2ln x f x e x x px =--在()1,4上为“凸函数”，()120x f x e p x ''∴=--<在()1,4上恒成立，即12xp e x >-在()1,4上恒成立，令()1xg x e x=-，()1,4x ∈，()210x g x e x '∴=+>， ()1x g x e x∴=-在()1,4上单调递增，()()4144g x g e ∴<=-，4124p e ∴≥-，即41,28e p ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭.故选：C . 【点睛】本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，构造函数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键．17．已知函数()f x 的定义域为R ，()f x '为()f x 的导函数.若()()1f x f x '-<，且()01f =，则不等式()12xf x e +≥的解集为（ ）A ．(],0-∞B ．[)1,-+∞C ．[)0,+∞D ．(],1-∞-【答案】A 【分析】本题为含导函数的抽象函数的构造问题，由()()1f x f x '-<联想到构造()()1xf x F x e+=，对其求导，从而判断出该函数的单调性.又由()01f =得出()02F =，不等式()12xf x e +≥等价于()12xf x e+≥，将其转化为()()0F x F ≥，利用单调性就可得出不等式的解集. 【详解】 设()()1x f x F x e +=，则()()()1xf x f x F x e'--'=. ∵()()1f x f x '-<，∵()0F x '<，即函数()F x 在定义域R 上单调递减.∵()01f =，∵()02F =， ∵不等式()12xf x e +≥等价于()12xf x e+≥， 即()()0F x F ≥，解得0x ≤. 故不等式的解集为(],0-∞. 故选A. 【点睛】本题考查了含导函数的抽象函数的构造问题，常见的构造法如下： （1）关系式为“加”型，常构造为乘法∵()()0f x f x '+≥，构造()()x F x e f x =，()()()[]xF x e f x f x ''=+，∵()()0xf x f x '+≥，构造()()F x xf x =，()()()F x xf x f x ''=+， ∵()()0xf x nf x '+≥，构造()()nF x x f x =，()()()1[]n F x xxf x nf x -''=+；（2）关系式为“减”型，常构造为除法 ∵()()0f x f x '-≥，构造()()x f x F x e =，()()()x f x f x F x e '-'=， ∵()()0xf x f x '-≥，构造()()f x F x x =，()()()2xf x f x F x x '-'=， ∵()()0xf x nf x '-≥，构造()()n f x F x x =，()()()1n xf x nf x F x x+'-'=. 18．函数()y f x =，x ∈R ，()12021f =，对任意的x ∈R ，都有()2'30f x x ->成立，则不等式()32020f x x <+的解集为（ ）A ．(),1-∞-B ．()1,1-C ．()1,+∞D ．(),1-∞【答案】D 【分析】结合已知条件分析，需要构造函数()()3h x f x x =-,通过条件可得到''2()()30h x f x x =->,()h x 在R 上为增函数，利用单调性比较，即可得出答案． 【详解】设()()3h x f x x =-，则()()''230h x fx x =->，∵()h x 在R 上为增函数，3(1)(1)12020h f =-=，而33()2020()(1)f x x f x x h <+⇔-<，即()()1h x h <，∵1x <.故选：D. 【点睛】本题考查函数单调性的应用之解抽象不等式，构造函数是解决本题的关键，运用导函数提出所构造函数的单调性，属于较难题.19．已知函数()(1)f x lnx a x =-+，若不等式2()1f x ax b ≤+-对于任意的非负实数a 都成立，求实数b 的取值范围为（ ） A ．(-∞，0] B ．(-∞，1] C ．[0，)+∞ D ．[1，)+∞【答案】C 【分析】由已知条件可得2(1)1b lnx ax a x ≥--++对于任意的非负实数a 都成立，令()2()1g a x x a lnx x =-+++-，0a ≥，结合一次函数的单调性，可得1b lnx x ≥+-恒成立，令()1h x lnx x =+-，求得导数和单调性，可得()h x 的最大值，进而得到b 的范围．【详解】解：不等式2()1f x ax b ≤+-对于任意的非负实数a 都成立，即2(1)1b lnx ax a x ≥--++对于任意的非负实数a 都成立，令()2()1g a x x a lnx x =-+++-，0a ≥，因为2()0x x -+<，所以()g a 在[0，)+∞上递减，所以()(0)1max g a g lnx x ==+-，所以问题转化为1b lnx x ≥+-恒成立， 令()1h x lnx x =+-，则'1()1h x x=-，由'()0h x >，可得01x <<；'()0h x <，可得1x >． 所以()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减．所以()max h x h =（1）0=，所以0b ≥．故选：C ． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，注意构造法的运用，以及导数的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．20．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若∵x ∵R ，都有2f (x )＋xf ′(x )＜2，则使x 2f (x )－f (1)＜x 2－1成立的实数x 的取值范围是（ ） A ．{x |x ≠±1} B ．(－1，0)∵(0，1) C ．(－1，1) D ．(－∞，－1)∵(1，＋∞)【答案】D 【分析】根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出0x <的取值范围． 【详解】解：当0x >时，由2()()20f x xf x +'-<可知：两边同乘以x 得：22()()20xf x x f x x +'-< 设：22()()g x x f x x =-则2()2()()20g x xf x x f x x '=+'-<，恒成立：()g x ∴在(0,)+∞单调递减，由()()21x f x f -21x <-()()2211x f x x f ∴-<-即()()1g x g < 即1x >；当0x <时，函数是偶函数，同理得：1x <-综上可知：实数x 的取值范围为(-∞，1)(1-⋃，)+∞， 故选：D ． 【点睛】主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质，属于中档题．21．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的R x ∈，有()()2cos f x f x x +-=，且在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，则不等式()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥-⎪⎝⎭的解集是（ ） A ．,4π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【分析】构造函数，由已知得出所构造的函数的单调性，再利用其单调性解抽象不等式，可得选项. 【详解】设()()cos F x f x x =-，∵()()2cos f x f x x +-=，即()()cos cos f x x x f x -=--，即()()F x F x =--，故()F x 是奇函数， 由于函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，所以，函数()f x 在R 上连续，则函数()F x 在R 上连续. ∵在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，∵()()sin 0F x f x x ''=+>， 故()F x 在[)0,+∞单调递增，又∵()F x 是奇函数，且()F x 在R 上连续，∵()F x 在R 上单调递增， ∵()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥-⎪⎝⎭， ∵()cos sin cos 222f x x f x x f x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥--=---⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即()2F x F x π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，∵2x x π≥-，故4x π≥，故选：B ． 【点睛】本题考查运用导函数分析函数的单调性，从而求解抽象不等式的问题，构造合适的函数是解决问题的关键，属于较难题.22．设()'f x 是函数()f x 的导函数，若对任意实数x ，都有[]()()()0x f x f x f x '-+>，且(1)2020f e =，则不等式()20200xxf x e -≥的解集为（ ） A ．[1,)+∞ B ．(,1]-∞C ．(0，2020]D ．(1，2020]【答案】A 【分析】 构造函数()()xxf x g x e=，利用导数可得()g x 为单调递增函数，将原不等式化为()(1)g x g ≥，根据单调性可解得结果. 【详解】 构造()()xxf x g x e =， 则[]()2()()()()x xxxf x f x e xf x e g x e '+-'=[]()()()xxf x f x xf x e '+-=[]()()()xx f x f x f x e '-+=0>，所以()g x 为单调递增函数， 又(1)(1)2020f g e ==，所以不等式()20200x xf x e -≥等价于()2020x xf x e≥等价于()(1)g x g ≥，所以1≥x ，故原不等式的解集为[1,)+∞，故选：A ． 【点睛】本题考查了构造函数并利用导数得到函数的单调性，考查了利用单调性解不等式，考查了转化化归思想，属于中档题.23．已知()f x 是可导的函数，且()()f x f x '<，对于x ∈R 恒成立，则下列不等关系正确的是（ ） A ．()()10f ef >，()()202020200f ef < B ．()()10f ef >，()()211f e f >-C ．()()10f ef <，()()211f e f <- D ．()()10f ef >，()()202020200f ef >【答案】C 【分析】构造新函数()()x f x g x e=，求导后易证得()g x 在R 上单调递减，从而有(1)(0)g g <，(2020)(0)g g <，(1)(1)g g <-，故而得解．【详解】 设()()x f x g x e=， 则()()()xf x f xg x e''-=， ()()f x f x '<，()0g x '∴<，即()g x 在R 上单调递减，∴(1)(0)g g <，即0(1)(0)f f e e<， 即(1)e (0)f f <，故选项A 不正确；(2020)(0)g g <，即20200(2020)(0)f f e e<， 即2020(2020)(0)f e f <，故选项D 不正确；(1)(1)g g <-，即1(1)(1)f f e e--<，即2(1)(1)f e f <-． 故选项B 不正确； 故选：C ． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，构造新函数是解题的关键，考查学生的分析能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．24．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，e 为自然对数的底数，对x R ∀∈均有()()()'f x xf x xf x +>成立，且()22=f e ，则不等式()2xxf x e >的解集是（ ）A．(),e -∞ B ．(),e +∞ C ．(),2-∞D ．2,【答案】D 【分析】先构造函数()()xxf x g x e=，再利用导数研究函数单调性，最后根据单调性解不等式. 【详解】 原不等式等价于()2x xf x e >，令()()xxf x g x e=， 则()()()()0xf x xf x xf xg x e'+-'=>恒成立，()g x ∴在R 上是增函数， 又()22f e =，()22g ∴=，∴原不等式为()()2g x g >，解得2x >，故选D . 【点睛】本题考查利用导数解不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.25．函数()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，其导函数()f x '，且满足()()20xf x f x '+>，则不等式()()()202020202222020x f x f x ++<+的解集为（ ）A ．{}2018x x <-B ．{}20202018x x -<<- C ．{}2018x x >- D ．{}20200x x -<<【答案】B 【分析】构造新函数()()2g x x f x =，求导后可证明()g x 在()0,∞+上单调递增，而不等式()()()202020202222020x f x f x ++<+可等价于()()20202+<g x g ，故2020020202x x +>⎧⎨+<⎩，解之即可.【详解】令()()2g x x f x =，则()()()()()222g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤=+='+'⎣'⎦， ∵定义域为()0,∞+，且()()20xf x f x '+>，()0g x '∴>，()g x 在()0,∞+上单调递增，不等式()()()202020202222020x f x f x ++<+等价于()()20202+<g x g ，2020020202x x +>⎧∴⎨+<⎩， 解得20202018-<<-x 故选：B 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、解不等式，构造新函数是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.26．已知函数f (x )的定义域为R ，f (-1)=3，对任意x ∵R ，f ′(x )>3，则f (x )>3x +6的解集为（ ） A ．(-1，+∞) B ．(-1，1)C ．(-∞，-1)D ．(-∞，+∞)【答案】A 【分析】首先设函数()()36g x f x x =--，再利用导数判断函数的单调性，利用单调性和函数的零点解不等式. 【详解】设函数()()36g x f x x =--，()()3g x f x ''=-，()3f x '>，()0g x '∴>，∴函数()g x 是单调递增函数，且()()()113160g f -=--⨯--=，1x ∴>-，()36f x x ∴>+的解集是()1,-+∞.故选：A 【点睛】本题考查导数与函数的单调性，解抽象不等式，重点考查构造函数，推理能力，属于基础题型. 27．奇函数()f x 定义域为()(),00,ππ-⋃，其导函数是()'f x .当0x π<<时，有()()'sin cos 0f x x f x x -<，则关于x 的不等式()sin 4f x x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．ππ4（，） B ．ππππ44（，）（，）-⋃ C ．ππ0044-⋃（，）（，）D ．ππ0π44-⋃（，）（，）【答案】D 【解析】 令()()sin f x F x x =，则2()sin ()cos ()0sin f x x f x x F x x-''=<，函数()()sin f x F x x =是定义域当(0,)π内的单调递减函数，由于关于x 的不等式()sin 4f x x π⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()()4sin sin 4f f x x ππ<，即()()4F x F π<，则4x ππ>>；而当0x π-<<时，0x π<-<，则关于x 的不等式()sin 4f x x π⎛⎫<⎪⎝⎭可化为()()4sin sin 4f f x x ππ<，即()()4sin()sin 4f f x x ππ-<-，也即()()4F x F π-<可得4x π>-，即04x π-<<．所以原不等式的解集(,0)(,)44πππ-，应选答案D ． 点睛：解答本题的关键在于如何将不等式进行等价转化，这不仅需要有一定的知识作支撑，同时还要具有较高思维能力和观察能力．求解时，先通过观察构造函数()()sin f x F x x=，再对其进行求导，运用题设确定其单调递减，然后将原不等式进行等价转化，从而使得问题巧妙获解．28．若对任意的1x ，[)22,0x ∈-，12x x <，122112x x x e x e a x x -<-恒成立，则a 的最小值为（ ） A ．23e-B ．22e-C ．21e-D ．1e- 【答案】A 【分析】将不等式122112x x x e x e a x x -<-转化为121122x x e a e a x x x x +>+，构造函数()x e af x x x=+，只需使()f x 在[)2,0-上递减，则()()210x e x a f x x--'=≤在[)2,0-恒成立，只需()1xe x a -≤恒成立，然后求解a 的取值范围. 【详解】因为12x x <，所以120x x -<，则122112x x x e x e a x x -<-可化为()122112x x x e x e a x x ->-， 整理得122211x x x e ax x e ax +>+，因为120x x >，所以121122x x e a e a x x x x +>+， 令()x e af x x x=+，则函数()f x 在[)2,0-上递减，则()()210x e x af x x--'=≤在[)2,0-上恒成立， 所以()1xex a -≤在[)2,0-上恒成立，令()()1xg x e x =-，则()()10x x x g x e x e xe '=-+=<在[)2,0-上恒成立， 则()()1xg x ex =-在[)2,0-上递减，所以()()232g x g e ≤-=-， 故只需满足：23a e ≥-. 故选：A. 【点睛】本题考查导数与不等式问题，考查构造函数，根据函数的单调性求参数的取值范围，难度较大. 解答时，针对原式进行等价变形是关键.29．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其导函数记为()f x '，当0x >时，()()f x f x x'<恒成立，若()20f =，则不等式()01f x x >-的解集为（ ） A ．()()2,01,2-B ．()()2,00,1-⋃C ．()()1,2,2⋃-∞-D ．()()2,02,-+∞【答案】A 【分析】 构造函数()()f x h x x=，则根据题目条件可知()0h x '<在()0,∞+上成立，则()h x 在()0,∞+上单调递减，又可证得()()f x h x x=为偶函数，所以()h x 在(),0-∞递增. 根据()20f =可得，当20x -<<或2x >时，()0f x <；当2x <-或02x <<时，()0f x >，利用不等式()01f x x >-等价于()100x f x ->⎧⎨>⎩或()100x f x -<⎧⎨<⎩求解. 【详解】 设()()f x h x x =，则()()2()xf x f x h x x'-'=， ∵当0x >时，()()f x f x x'<恒成立，即()()0xf x f x '-<，∵()0h x '<，即()h x 在()0,∞+上单调递减. 又函数()f x 是奇函数，∵()()()()()f x f x f x h x h x x x x---====--， ∵函数()h x 为偶函数，()h x 在(),0-∞上单调递增. ∵()20f =，∵()()()22202f h h -===. ∵当20x -<<或2x >时，()0f x <； 当2x <-或02x <<时，()0f x >.不等式()01f x x >-等价于()100x f x ->⎧⎨>⎩或()100x f x -<⎧⎨<⎩， ∵12x <<或20x -<<. ∵不等式的解集为()()2,01,2-.故选：A. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查根据函数的奇偶性与单调性的综合求解不等式问题，难度一般,解答时，构造新函数是解题的关键.30．已知a 、b R ∈，函数()()3210f x ax bx x a =+++<恰有两个零点，则+a b 的取值范围（ ）A ．(),0-∞B ．(),1-∞-C ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【分析】利用导数分析函数()y f x =的单调性，可得出该函数的极小值()10f x =，由题意得出()()2111321111321010f x ax bx f x ax bx x ⎧=++=⎪⎨=+++='⎪⎩，进而可得23112111223a x xb x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，可得出32111222a b x x x +=--，令110t x =<，由0a <可得出12t <-，构造函数()32222g t t t t =--，求得函数()y g t =在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上的值域，由此可求得+a b 的取值范围. 【详解】()321f x ax bx x =+++且0a <，()2321f x ax bx '=++，24120b a ∆=->，则方程()0f x '=必有两个不等的实根1x 、2x ，设12x x <， 由韦达定理得1223bx x a+=-，12103x x a=<，则必有120x x <<，且()21113210f x ax bx '=++=，∵ 当1x x <或2x x >时，()0f x '<；当12x x x <<时，()0f x '>.所以，函数()y f x =的单调递增区间为()12,x x ，单调递减区间为()1,x -∞和()2,x +∞. 由于()010f =>，若函数()y f x =有两个零点，则()32111110f x ax bx x =+++=，∵联立∵∵得21132111321010ax bx ax bx x ⎧++=⎨+++=⎩，可得23112111223a x xb x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，所以，32111222a b x x x +=--， 令110t x =<，令()32222g t t t t =--，则()a b g t +=， ()3222210a t t t t =+=+<，解得12t <-，()()()()2264223212311g t t t t t t t '=--=--=+-.当12t <-时，()0g t '>，此时，函数()y g t =单调递增，则()321111122222224a b g t g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=<-=⨯--⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D. 【点睛】本题考查利用三次函数的零点个数求代数式的取值范围，将代数式转化为函数是解答的关键，考查化归与转化思想的应用，属于难题.31．定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x '+<，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．(3)2(2)2ef f e +<+ B ．(3)2(2)2ef f e +>+ C ．(3)2(2)2f e ef +<+ D ．(3)2(2)2f e ef +>+【答案】A 【分析】设()()2xxF x e f x e =-，求导并利用()()2f x f x '+<可得()F x 在R 上单调递减，根据(2)(3)F F >可得结果. 【详解】设()()2x xF x e f x e =-，则[]()()()2()()2x x x xF x e f x e f x e ef x f x '''=+-=+-，因为()()2f x f x '+<，所以()()()20F x e f x f x ''⎡⎤=+-<⎣⎦，所以()F x 在R 上单调递减，则(2)(3)F F >，即2233(2)2(3)2e f e e f e ->-，故(3)2(2)2ef f e +<+． 故选：A. 【点睛】本题考查了构造函数解决导数问题,考查了利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题. 32．已知函数()3x f x e ax =+-，其中a R ∈，若对于任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x <，都有()21x f x ()()1212x f x a x x -<-成立，则a 的取值范围是（ ）A ．[3,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,3]-∞D ．(,2]-∞。
压轴题型02 构造法在函数中的应用(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练
压轴题型02构造法在函数中的应用近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至是无果而终．因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数，本文以近几年的高考题和模考题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结，供大家参考．○热○点○题○型1构造法解决高考函数对称与周期性问题○热○点○题○型2主元构造法○热○点○题○型3分离参数构造法○热○点○题○型4局部构造法○热○点○题○型5换元构造法○热○点○题○型6特征构造法○热○点○题○型7放缩构造法一、单选题1．若正数x满足532-+=，则x的取值范围是（）.x x xA x<B x<<C ．x <D ．x >2．设函数()f x =若曲线sin 22y x =+上存在点0(x ，0)y 使得00(())f f y y =成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[0，21]e e -+B ．[0，21]e e +-C ．[0，21]e e --D ．[0，21]e e ++3．“米”是象形字.数学探究课上，某同学用拋物线1和2构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线1C ，2C 的焦点分别为1F ，2F ，点P 在拋物线1C 上，过点P 作x 轴的平行线交抛物线2C 于点Q ，若124==PF PQ ，则p =（）A ．2B ．3C ．4D ．6树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据.玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现，如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12cm ，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O 上，则球O 的表面积为（）A ．272πcmB ．2162πcmC ．2216πcmD ．2288πcm 【答案】C【分析】根据题意可知正方体的体对角线即是外接球的直径，又因圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，可利用勾股定理得出正方体边长，继而求出球的表面积.【详解】不妨设正方体的边长为2a ，球О的半径为R ，则圆柱的底面半径为a ，因为正方体的体对角线即为球О直径，故223R a =，利用勾股定理得：222263a R a +==，解得18a =，球的表面积为2ππ44318216πS R ==⨯⨯=，故选：C.5．若函数()()有两个零点，则实数的取值范围是（）A ．()1,2B ．()0,2C ．()1,+∞D ．(),2-∞【答案】A【分析】将函数()()ln 2f x x a x a =+-+有两个零点的问题转化为函数ln ,(2)y x y a x a ==--的图象交点个数问题，结合导数的几何意义，数形结合，即可求解.【详解】由()()ln 2f x x a x a =+-+有两个零点，即()ln 20x a x a +-+=有两个正根，即函数ln ,(2)y x y a x a ==--的图象有2个交点，直线(2)y a x a =--可变为(1)20a x x y -++-=，令=1x -，则=2y -，即直线(2)y a x a =--过定点(1,2)P --，当该直线与ln y x =相切时，设切点为00(,)x y ，则1y x'=，则000ln 211x x x +=+，即001ln 10x x -+=，令1g()ln 1,(0)x x x x=-+>，则()g x 在(0,)+∞上单调递增，又(1)0g =，故1g()ln 1,(0)x x x x=-+>有唯一零点1x =，故01x =，即(2)y a x a =--与曲线ln y x =相切时，切点为(1,0)，则切线斜率为1，要使函数ln ,(2)y x y a x a ==--的图象有2个交点，需满足021a <-<，即(1,2)a ∈，故选：A【点睛】方法点睛：根据函数的零点个数求解参数范围，一般方法：（1）转化为函数最值问题，利用导数解决；（2）转化为函数图像的交点问题，数形结合解决问题；（3）参变分离法，结合函数最值或范围解决.6．已知()f x 是定义域为R 的函数，()220f x +为奇函数，()221f x +为偶函数，当10x -≤<时，()f x =()()()60y f x a x a =-+>有5个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．11,73⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,124⎛ ⎝⎭C ．⎝⎭D ．11,62⎛⎫ ⎪⎝⎭当直线()2y a x =-与圆()()22910x y y -+=≥相切时，271aa +()2y a x =-与圆()()22510x y y -+=≥相切时，2311a a =+，解得32124a <<．故选：B ．【点睛】通过函数的奇偶性挖掘周期性与函数图像的对称性，从而能作出整个函数的大致图像，将函数零点转化为方程的根，再转化为两个函数图像交点的横坐标．交点的个数时注意数形结合思想的应用，动中蕴静，变化中抓住不变，抓住临界状态，利用直线与圆相切，借助点到直线的距离公式得到参数的临界值，从而求出参数的取值范围，考生综合分析问题和解决问题的能力要求比较高．二、填空题7．已知函数21()(1)1x f x x x -⎛⎫=> ⎪+⎝⎭，如果不等式1(1)()(x f x m m -->-对11,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数m 的取值范围_______________.5⎛⎫①ln52<；②lnπ>③11<；④3ln2e>其中真命题序号为__________.9．设函数4()log ,0f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的函数()()()()2g 23x fx a f x =-++恰好有四个零点，则实数a 的取值范围是____________.令()f x t =，函数()()()()2g 23x fx a fx =-++恰好有四个零点．则方程()()()2230f x a f x -++=化为()2230t a t -++=，设()2230t a t -++=的两根为12,t t ，因为123t t =，所以两根均大于0，且方程的一根在区间(]0,1内，另一根在区间()2+∞，内．令()()223g t t a t =-++所以()()()()2Δ2120001020a g g g ⎧=+->⎪>⎪⎨≤⎪⎪<⎩，解得：2a ≥，综上：实数a 的取值范围为[)2,.∞+故答案为：[)2,.∞+【点睛】复合函数零点个数问题，要先画出函数图象，然后适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次函数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数.三、解答题10．已知正数a b 、满足1a b +=，求M =的最小值.11．已知函数在处的切线方程为(1).求()f x 的解析式；(2).若对任意的0x >，均有()10f x kx -+≥求实数k 的范围；(3).设12x x ，为两个正数，求证:()()()121212f x f x x x f x x +++>+。
专题06 构造函数法解决导数不等式问题(一)(原卷版)
专题06 构造函数法解决导数不等式问题(一)以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f (x )±g (x )，f (x )g (x )，f (x )g (x )”等特征式、旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题小题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题．导数是函数单调性的延伸，如果把题目中直接给出的增减性换成一个f ′(x )，则单调性就变的相当隐晦了，另外在导数中的抽象函数不等式问题中，我们要研究的往往不是f (x )本身的单调性，而是包含f (x )的一个新函数的单调性，因此构造函数变的相当重要，另外题目中若给出的是f ′(x )的形式，则我们要构造的则是一个包含f (x )的新函数，因为只有这个新函数求导之后才会出现f ′(x )，因此解决导数抽象函数不等式的重中之重是构造函数．构造函数是数学的一种重要思想方法，它体现了数学的发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思想．分析近些年的高考，发现构造函数的思想越来越重要，而且很多都用在压轴题(无论是主观题还是客观题)的解答上．构造函数的主要步骤：(1)分析：分析已知条件，联想函数模型；(2)构造：构造辅助函数，转化问题本质；(3)回归：解析所构函数，回归所求问题．考点一 构造F (x )＝x n f (x )(n ∈Z ，且n ≠0)类型的辅助函数【方法总结】(1)若F (x )＝x n f (x )，则F ′(x )＝nx n －1f (x )＋x n f ′(x )＝x n －1[nf (x )＋xf ′(x )]；(2)若F (x )＝f (x )x n ，则F ′(x )＝f ′(x )x n －nx n －1f (x )x 2n ＝xf ′(x )－nf (x )x n ＋1． 由此得到结论：(1)出现nf (x )＋xf ′(x )形式，构造函数F (x )＝x n f (x )；(2)出现xf ′(x )－nf (x )形式，构造函数F (x )＝f (x )xn ． 【例题选讲】[例1](1)已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )＜－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)>(x －1)f (x 2－1)的解集是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)(2)已知函数f (x )是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且满足xf ′(x )＋2f (x )＞0，则不等式(x ＋2 021)f (x ＋2 021)5＜5f (5)x ＋2 021的解集为( ) A ．{x |x ＞－2 016} B ．{x |x ＜－2 016} C ．{x |－2 016＜x ＜0} D ．{x |－2 021＜x ＜－2 016}(3)(2015·全国Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1，0)D ．(0，1)∪(1，＋∞)(4)设f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ＜0时，f (x )＋xf ′(x )＜0，且f (－4)＝0，则不等式xf (x )＞0的解集为________．(5)已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )＜2f (x )恒成立，则( )A ．4f (1)＜f (2)B ．4f (1)＞f (2)C ．f (1)＜4f (2)D ．f (1)＞4f ′(2)(6)已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，若a ＝f (e )e ，b ＝f (ln 2)ln 2，c ＝f (－3)－3，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．a ＜c ＜b D ．c ＜a ＜b【对点训练】1．设函数f (x )是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则不等式(x ＋2 021)2f (x＋2 021)－4f (－2)>0的解集为( )A ．(－∞，－2 021)B ．(－∞，－2 023)C ．(－2 023，0)D ．(－2 021，0)2．设f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－2)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＞0，则使得f (x )＞0成立的x的取值范围是________．3．已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (－1)＝0，当x ＞0时，2f (x )＞xf ′(x )，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是________．4．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (1)＝0，当x ＜0时，有xf ′(x )－f (x )＞0恒成立，则不等式f (x )＞0的解集为________．5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，f (2)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集 是________________．6．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，则不等式f (x )x>0的解集 为( )A ．(－2，0)∪(2，＋∞)B ．(－2，0)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)7．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )－f (x )＜0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )＜bf (a )B ．bf (a )＜af (b )C ．af (a )＜bf (b )D ．bf (b )＜af (a )8．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x ∈R ，都有xf ′(x )<f (x )成立，则( )A ．3f (2)>2f (3)B ．3f (2)＝2f (3)C ．3f (2)<2f (3)D ．3f (2)与2f (3)大小不确定9．定义在区间(0，＋∞)上的函数y ＝f (x )使不等式2f (x )<xf ′(x )<3f (x )恒成立，其中y ＝f ′(x )为y ＝f (x )的导函数，则( )A ．8<f (2)f (1)<16B ．4<f (2)f (1)<8C ．3<f (2)f (1)<4D ．2<f (2)f (1)<3 考点二 构造F (x )＝e nx f (x )(n ∈Z ，且n ≠0)类型的辅助函数【方法总结】(1)若F (x )＝e nx f (x )，则F ′(x )＝n ·e nx f (x )＋e nx f ′(x )＝e nx [f ′(x )＋nf (x )]；(2)若F (x )＝f (x )e nx ，则F ′(x )＝f ′(x )e nx －n e nx f (x )e 2nx ＝f ′(x )－nf (x )e nx． 由此得到结论：(1)出现f ′(x )＋nf (x )形式，构造函数F (x )＝e nx f (x )；(2)出现f ′(x )－nf (x )形式，构造函数F (x )＝f (x )enx ． 【例题选讲】[例1](1)若定义在R 上的函数f (x )满足f ′(x )＋2f (x )>0，且f (0)＝1，则不等式f (x )>1e 2x的解集为 ． (2)定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )>f ′(x )，且f (0)＝1，则不等式f (x )ex <1的解集为________．(3)若定义在R 上的函数f (x )满足f ′(x )－2f (x )＞0，f (0)＝1，则不等式f (x )＞e 2x 的解集为________．(4)设定义域为R 的函数f (x )满足f ′(x )>f (x )，则不等式e x －1f (x )<f (2x －1)的解集为________．(5)定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )>1－f ′(x )，f (0)＝0，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e x f (x )>e x －1(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)(6)定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意x ，有f (x )>f ′(x )，且f (x )＋2 021为奇函数，则不等式f (x )＋2 021e x <0的解集是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫－∞，1eD ．⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ (7)已知定义在R 上的偶函数f (x )(函数f (x )的导函数为f ′(x ))满足f ⎝⎛⎭⎫x －12＋f (x ＋1)＝0，e 3f (2 021)＝1，若f (x )>f ′(－x )，则关于x 的不等式f (x ＋2)>1ex 的解集为( ) A ．(－∞，3) B ．(3，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞)(8)已知函数f (x )是定义在R 上的可导函数，f ′(x )为其导函数，若对于任意实数x ，有f (x )－f ′(x )＞0，则( )A ．e f (2 021)＞f (2 022)B ．e f (2 021)＜f (2 022)C ．e f (2 021)＝f (2 022)D ．e f (2 021)与f (2 022)大小不能确定(9)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 021)>e 2 021f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 021)>e 2 021f (0)C ．f (2)>e 2f (0)，f (2 021)<e 2 021f (0)D ．f (2)<e 2f (0)，f (2 021)<e 2 021f (0)(10)已知函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，若f (x )满足：(x －1)[f ′(x )－f (x )]＞0，f (2－x )＝f (x )·e 2－2x ，则下列判断一定正确的是( )A ．f (1)＜f (0)B ．f (2)＞e 2f (0)C ．f (3)＞e 3f (0)D ．f (4)＜e 4f (0)【对点训练】1．已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )<f (x )，且f (0)＝12，则不等式f (x )－12e x <0的 解集为( )A ．⎝⎛⎭⎫－∞，12B ．(0，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(－∞，0) 2．已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e，对任意实数x ，都有f (x )－f ′(x )>0，则不等式f (x )<e x －2的 解集为( )A ．(－∞，e)B ．(1，＋∞)C ．(1，e)D ．(e ，＋∞)3．已知f ′(x )是定义在R 上的连续函数f (x )的导函数，若f ′(x )－2f (x )＜0，且f (－1)＝0，则f (x )＞0的解集为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，1)C ．(－∞，0)D ．(－1，＋∞)4．已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )>f (x )，且f (x ＋3)为偶函数，f (6)＝1，则不等式f (x )>e x 的解集为( )A ．(－2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)5．已知函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集是( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．|x |x <－1，或x >1|D ．{x |x <－1，或0<x <1}6．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＋1<f ′(x )，f (0)＝2，则不等式f (x )＋1>3e x 的解集为( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0)7．定义在R 上的可导函数f (x )满足f (x )＋f ′(x )<0，则下列各式一定成立的是( )A ．e 2f (2021)<f (2019)B ．e 2f (2021)>f (2019)C ．f (2021)<f (2019)D ．f (2021)>f (2019)8．定义在R 上的函数f (x )满足f ′(x )>f (x )恒成立，若x 1<x 2，则1e x f (x 2)与2e xf (x 1)的大小关系为( )A ．1e x f (x 2)>2e x f (x 1)B ．1e x f (x 2)<2e x f (x 1)C ．1e x f (x 2)＝2e x f (x 1)D ．1e x f (x 2)与2e x f (x 1)的大小关系不确定9．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x ∈R 都有f (x )＞f ′(x )成立，则( )A ．3f (ln2)＜2f (ln3)B ．3f (ln2)＝2f (ln3)C ．3f (ln2)＞2f (ln3)D ．3f (ln2)与2f (ln3)的大小不确定10．已知函数f (x )是定义在R 上的可导函数，且对于∀x ∈R ，均有f (x )>f ′(x )，则有( )A ．e 2022f (－2022)<f (0)，f (2022)>e 2022f (0)B ．e 2022f (－2022)<f (0)，f (2022)<e 2022f (0)C ．e 2022f (－2022)>f (0)，f (2022)>e 2022f (0)D ．e 2022f (－2022)>f (0)，f (2022)<e 2022f (0)考点三 构造F (x )＝f (x )sin x ，F (x )＝f (x )sin x ，F (x )＝f (x ) cos x ，F (x )＝f (x )cos x类型的辅助函数 【方法总结】(1)若F (x )＝f (x )sin x ，则F ′(x )＝f ′(x )sin x ＋f (x )cos x ；(2)若F (x )＝f (x )sin x ，则F ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos x sin 2x； (3)若F (x )＝f (x )cos x ，则F ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )sin x ；(4)若F (x )＝f (x )cos x ，则F ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x． 由此得到结论：(1)出现f ′(x )sin x ＋f (x )cos x 形式，构造函数F (x )＝f (x )sin x ；(2)出现f ′(x )sin x －f (x )cos x sin 2x 形式，构造函数F (x )＝f (x )sin x； (3)出现f ′(x )cos x －f (x )sin x 形式，构造函数F (x )＝f (x )cos x ；(4)出现f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x 形式，构造函数F (x )＝f (x )cos x． 【例题选讲】[例1](1)已知函数f (x )是定义在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的奇函数．当x ∈[0，π2)时，f (x )＋f ′(x )tan x >0，则不等式cos xf (x ＋π2)＋sin xf (－x )>0的解集为( ) A ．⎝⎛⎭⎫π4，π2 B ．⎝⎛⎭⎫－π4，π2 C ．⎝⎛⎭⎫－π4，0 D ．⎝⎛⎭⎫－π2，－π4 (2)对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，不等式f (x )tan x <f ′(x )恒成立，则下列不等式错误的是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫π3>2f ⎝⎛⎭⎫π4 B ．f ⎝⎛⎭⎫π3>2f (1)cos 1 C ．2f (1)cos1>2f ⎝⎛⎭⎫π4 D ．2f ⎝⎛⎭⎫π4<3f ⎝⎛⎭⎫π6 (3)定义在⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数f (x )，函数f ′(x )是它的导函数，且恒有f (x )＜f ′(x )tan x 成立，则( ) A ．3f ⎝⎛⎭⎫π4＞2f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f (1)＜2f ⎝⎛⎭⎫π2sin 1 C ．2f ⎝⎛⎭⎫π6＞f ⎝⎛⎭⎫π4 D ．3f ⎝⎛⎭⎫π6＜f ⎝⎛⎭⎫π3 (4)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式不成立的是( )A ．2 f ⎝⎛⎭⎫π3<f ⎝⎛⎭⎫π4B ．2 f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫－π4C ．f (0)<2 f ⎝⎛⎭⎫π4D ．f (0)<2f ⎝⎛⎭⎫π3 (5)已知定义在⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，且恒有cos xf ′(x )＋sin xf (x )<0成立，则( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫π6＞2f ⎝⎛⎭⎫π4 B ．3f ⎝⎛⎭⎫π6＞f ⎝⎛⎭⎫π3 C ．f ⎝⎛⎭⎫π6＞3f ⎝⎛⎭⎫π3 D ．2f ⎝⎛⎭⎫π6＞3f ⎝⎛⎭⎫π4(6)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2满足f ′(x )·cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x ，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列不等式成立的是( )A ．2f ⎝⎛⎭⎫π3＜f ⎝⎛⎭⎫π4B ．2f ⎝⎛⎭⎫π3＞f ⎝⎛⎭⎫π4C ．2f ⎝⎛⎭⎫π6＞3f ⎝⎛⎭⎫π4D ．2f ⎝⎛⎭⎫π3＞f ⎝⎛⎭⎫π6。
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利用构造函数解决高考导数大题
导数大题是全国各地的高考试卷中必考的一道压轴题，主要考查利用导数讨论原函数的单调性和单调区间，通过讨论将问题转化为最值问题，着重考查学生的分类讨论思想，对分类讨论的原因和讨论流程的要求较高。
解题的关键在于讨论之后如何将问题精准地转化为最值问题，以得到我们所需的式子或结果。
导数问题的难点在于分类讨论和最值转化，通常在进行分类讨论或者转化为函数的最值问题之前，函数形式或者可转化为函数形式的式子比较复杂，因此我们需要进行相应的构造函数工作，把函数形式变得更加简单，其中最重要的就是函数形式转换的工作，本文把利用构造函数解决导数问题这类题型进行了总结，如下:。