高中物理 模块要点回眸7 圆周运动的周期性造成多解 新人教版必修2.doc

第7点 圆周运动的周期性造成多解
匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同的运动，其中一个做匀速圆周运动，另
一个做其他形式的运动.因匀速圆周运动具有周期性，使得在一个周期中发生的事件在其他
周期同样可能发生，这就要求我们在解决此类问题时，必须考虑多解的可能性. 一般处理这类问题时，
要把一个物体的运动时间t，与圆周运动的周期T建立起联系，才会较快地解决问题.

对点例题 如图1所示，小球Q在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，当Q球转到图示位
置时，O点正上方有另一小球P在距圆周最高点h处开始自由下落，要使两球在圆周最高点
相碰，则Q球的角速度ω应满足什么条件？

图1
解题指导 设P球自由下落到圆周最高点的时间为t，由自由落体运动规律可得
1
2
gt2＝h
，

解得t＝ 2hg.
经过时间t，Q球由图示位置转至最高点，才能与P球在圆周最高点相碰，其做匀速圆周运
动，设周期为T，有

t＝(4n＋1)T4(n
＝0,1,2,3…)

两式联立再由T＝2πω得，
(4n＋1)π2ω＝2hg.
所以ω＝π2(4n＋1)g2h(n＝0,1,2,3…).
答案 π2(4n＋1)g2h(n＝0,1,2,3…)
1.(多选) 如图2所示，半径为R的水平圆盘中心轴正上方a处有一小球，圆盘以角速度
ω
做匀速转动，现将小球水平抛出，此时圆盘半径Ob恰好转到如图所示与初速度方向平行的
位置，要使小球与圆盘只碰一次，且落点为b，重力加速度为g，小球抛出点a距圆盘的高
度h和小球的初速度v0可能的取值为( )

A.h＝gπ2ω2，v0＝Rω2π
B.h＝8π2gω2，v0＝Rω4π
C.h＝2gπ2ω2，v0＝Rω6π
D.h＝32π2gω2，v0＝Rω8π
答案 BD
解析 因圆盘转动具有周期性，则当小球落到b点时，圆盘转过的角度θ＝2πk(k＝

1,2,3，…)，由ω＝θt，可得圆盘的角速度ω＝2πkt(k＝1,2,3，…)，因小球做平抛运动，

则小球下落高度h＝12gt2＝2π2gk2ω2(k＝1,2,3，…)，初速
度v0＝Rt＝Rω2πk(k＝1,2,3，…)，将k的取值代入可知，当k取2和4时，B、D项正确.
2. 如图3所示，B物体放在光滑的水平地面上，在水平恒力F的作用下由静止开始向右运
动，B物体质量为m，同时A物体从图中位置开始在竖直面内由M点开始逆时针做半径为r、
角速度为ω的匀速圆周运动.求力F为多大时可使A、B两物体在某些时刻的速度相同.

图3
答案 2mrω24n＋3π(n＝0,1,2…)
解析 因为物体B在力F的作用下沿水平地面向右做匀加速直线运动，速度方向水平向右，
要使A与B速度相同，则只有当A运动到圆轨道的最低点时，才有可能.
设A、B运动时间t后两者速度相同(大小相等，方向相同).
对A物体有：

t＝34T＋nT＝n＋342πω(n＝0,1,2…)，vA＝rω
.

对B物体有：F＝ma，a＝Fm，vB＝at＝Fmt.
令vB＝vA，
得Fmn＋342πω＝ωr.

解得F＝2mrω24n＋3π(n＝0,1,2…).