1.5 行列式的性质
线性代数行列式的性质与计算
线性代数行列式的性质与计算线性代数中的行列式是一种非常重要的数学工具，它在各个领域的数学和物理问题中都具有广泛的应用和重要性。
行列式是一个数，它与矩阵的元素有关，在许多情况下可以通过一些算法进行计算。
一、行列式的性质1.行列式有可加性：若A为n阶方阵，有两列完全相同，则行列式的值为0；若A为n阶方阵，交换两列，行列式的值变号。
2.行列式有因子约束：若A的其中一行或其中一列的元素是两个数之和，则A的行列式等于这两个数的和的行列式之和。
3.行列式有数乘的性质：若将A的其中一行或其中一列的元素都乘以k，则A的行列式等于k乘以这个行列式。
4.行列式对其中一行与另一行的代换变号，对其中一列与另一列的代换变号，换行、换列对行列式无影响。
5.方阵A与其转置矩阵A'行列式相等，即，A，=，A'。
6.若A为可逆的方阵，则，A，≠0；若A的其中一行全为0，则，A，=0。
二、行列式的计算1.二阶行列式的计算：设A为二阶方阵。
2.三阶行列式的计算：设A为三阶方阵a11a12a1A=，a21a22a23a31a32a33.高阶行列式的计算：a)拉普拉斯展开法：以行或列为基准进行展开，逐步减小行列式的阶数，直至计算到二阶行列式。
b)三角形矩阵法：若A为上（下）三角矩阵，则A的行列式等于对角元素的乘积。
c)伴随矩阵法：设A为n阶方阵，A的伴随矩阵的转置矩阵为A*，则，A，=，A*，=A*A^-1d)特征值法：设A的特征值为λ1,λ2,…,λn，则，A，=λ1λ2…λn.e)克拉默法则：若Ax=b为线性方程组，其中A为n阶方阵，且，A，≠0，则方程组有唯一解x=A^-1b.总之，行列式作为一种数学工具，在线性代数中具有重要的地位和作用。
它不仅可以帮助我们判断矩阵的可逆性，还可以求解线性方程组、计算矩阵的秩、判断矩阵的相似性等。
行列式的性质和计算方法可以帮助我们更好地理解和应用线性代数的相关知识。
§1.5 行列式的性质
§1.5 行列式的性质行列式是矩阵最为基础的性质之一，它具有众多的特性、定理和性质。
行列式在线性代数、微积分、算法设计、物理、统计学等众多学科中都有着广泛的应用。
了解行列式的性质可以帮助我们更好地掌握矩阵的相关知识，在各个领域更为灵活地应用数学知识。
行列式的性质包括：1. 矩阵中任意两行（列）交换，行列式的值变号，即 $det(A) = - det(A^T)$，其中$A^T$ 表示 $A$ 的转置矩阵。
2. 矩阵中某一行（列）加上另一行（列）的若干倍，行列式的值不变。
3. 矩阵中某一行（列）乘以一个非零常数 $k$，行列式的值乘以 $k$。
5. 对于$n$阶矩阵，行列式可以按任意一行（列）展开，展开后的行列式值等于该行列式中所有元素的代数余子式乘以对应元素的余子式。
6. 若矩阵中有两行（列）的对应元素成比例，则该矩阵的行列式为 $0$。
7. 若矩阵 $A$ 是可逆的，则其行列式值不为 $0$，并且$det(A^{-1})=\dfrac{1}{det(A)}$。
8. 对于矩阵 $A$ 和 $B$，$det(AB)=det(A)det(B)$，其中 $A$ 和 $B$ 的阶数应当相同。
9. 对于 $n$ 级单位矩阵 $I_n$，其行列式的值为 $1$。
这些性质并不是行列式的全部，但是是最基本的性质。
它们在计算行列式的各种方法和技巧中发挥了重要的作用。
掌握这些性质可以使我们更加熟练地应用行列式进行矩阵运算和分析问题。
接下来，我们将对一些常用的性质和定理进行详细的讲解。
对于$n$级方阵$A$，若将它的任意两行交换，则其行列式$det(A)$的值变号。
这意味着行列式具有交换性和反对称性。
对于$n$级矩阵$A$，如将它的第$i$行与第$j$行交换，则有：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\... & ... & ... & ... \\a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in} \\... & ... & ... & ... \\a_{j1} & a_{j2} & ... & a_{jn} \\... & ... & ... & ... \\a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}\end{vmatrix} = -\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\a_{j1} & a_{j2} & ... & a_{jn} \\... & ... & ... & ... \\a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in} \\... & ... & ... & ... \\a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in} \\... & ... & ... & ... \\a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}\end{vmatrix}$$使用这一方法可以将行列式划分成多个简单的子项，方便进行计算。
行列式的性质与运算法则
行列式的性质与运算法则行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算中起着至关重要的作用。
行列式的性质和运算法则是我们学习和应用行列式的基础，本文将围绕这一主题展开阐述。
一、行列式的定义和基本性质行列式是一个数，它是一个方阵中元素的一种特殊组合。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或|A|，其中n表示方阵的阶数。
行列式具有以下基本性质：1. 方阵A的行列式等于其转置矩阵A^T的行列式，即det(A) = det(A^T)。
2. 对调方阵A的两行（或两列），其行列式的值不变，即行列式具有行对换性质。
3. 如果方阵A的某一行（或某一列）的元素全为0，则行列式的值为0。
4. 行列式的值与方阵的行列式的值成正比，即如果一个方阵的某一行（或某一列）的元素都乘以一个常数k，那么行列式的值也将乘以k。
二、行列式的运算法则行列式的运算法则包括加法法则、数乘法则、乘法法则和转置法则。
1. 加法法则对于两个n阶方阵A和B，它们的行列式之和等于行列式分别取和的结果，即det(A + B) = det(A) + det(B)。
2. 数乘法则对于一个n阶方阵A和一个数k，方阵A的行列式乘以k等于行列式乘以k的结果，即det(kA) = k^n * det(A)。
3. 乘法法则对于两个n阶方阵A和B，它们的乘积的行列式等于行列式分别取乘积的结果，即det(AB) = det(A) * det(B)。
4. 转置法则对于一个n阶方阵A，它的转置矩阵A^T的行列式等于原方阵A的行列式，即det(A^T) = det(A)。
三、行列式的应用行列式的应用广泛，它在线性代数、微积分、几何学等领域都有重要的应用。
1. 判断方阵的可逆性一个n阶方阵A可逆的充要条件是其行列式不等于0，即det(A) ≠ 0。
利用这一性质，我们可以通过计算方阵的行列式来判断其可逆性。
2. 求解线性方程组对于一个n元线性方程组，我们可以将其系数矩阵表示为一个方阵A，并将常数项表示为一个列向量b。
行列式的性质与计算方法
行列式的性质与计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，是矩阵的一个标量。
它可以用来描述线性方程组的解的情况，也可以用来判断矩阵是否可逆等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质和计算方法。
一、行列式的性质1. 行列式与转置矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列调换，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。
如果行列式的元素都是实数，那么它的值不会受转置操作的影响，即$\left|A\right|=\left|A^{T}\right|$2. 行列式的行列互换行列式的行列互换是指将行列式的任意两行或两列互换位置，得到的新行列式称为原行列式的行列互换。
行列互换会改变行列式的符号，即$\left|A\right|=-\left|A_{i j}\right| \text { , } i \neq j$其中$A_{i j}$表示将矩阵$A$的第$i$行和第$j$列删除后得到的$(n-1)\times(n-1)$矩阵的行列式。
3. 行列式的元素线性组合如果一个行列式的某一列（或某一行）减去另一列（或行）的$k$倍，得到的新行列式的值等于原行列式的值乘以$k$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}}+k a_{j} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}}& {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} &{a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{j}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots}& {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|$4. 行列式的行列成比例如果一个行列式的某两行或某两列成比例，那么该行列式的值为$0$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {k a_{i 1}} & {k a_{i 2}} & {\cdots} & {k a_{i n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\{a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} & {a_{j}}\end{array}\right|=0$其中$\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)$和$\left(a_{j 1},a_{j 2}, \cdots, a_{j n}\right)$是比例行列式的两行，$k$是一个非零实数。
行列式的性质及求解方法
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
行列式及其性质
行列式及其性质行列式是线性代数中的重要概念，它是一个正方形矩阵所具有的一个标量值。
在实际应用中，行列式有着广泛的用途，可以用来求解线性方程组、判断矩阵的可逆性以及描述线性变换的性质等。
本文将从定义、性质和应用等方面进行论述，以帮助读者更好地理解行列式及其相关概念。
一、行列式的定义行列式的定义涉及到矩阵元素的排列和正负号的组合。
对于一个n阶方阵A = [a_ij]，其中a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素，则A的行列式记作|A|或det(A)，即：|A| = a_11 * a_22 * ... * a_nn - a_11 * a_23 * ... * a_n(n-1) + a_12 *a_23 * ... * a_n(n-1) - ... + (-1)^(n-1) * a_1n * a_2(n-1) * ... * a_nn二、行列式的性质1. 行列式的性质1：行列式与转置若A是一个n阶方阵，则有det(A) = det(A^T)，即行列式与其转置矩阵的行列式相等。
2. 行列式的性质2：行列式的倍数若将矩阵A的某一行（列）的元素都乘以同一个数k，得到矩阵B，则有det(B) = k * det(A)。
3. 行列式的性质3：交换行（列）若交换矩阵A的两行（列），得到矩阵B，则有det(B) = -det(A)。
4. 行列式的性质4：行列式的线性性质对于矩阵A的两行（列），如果将其中一行（列）的元素乘以一个数k后，加到另一行（列）对应位置上，则行列式的值不变。
5. 行列式的性质5：行列式的性质与矩阵的性质之间的关系如果矩阵A中存在一行（列）全为0，则行列式det(A) = 0；如果矩阵A的某一行（列）成比例，则行列式det(A) = 0。
三、行列式的应用1. 行列式在线性方程组求解中的应用行列式可以用来判断线性方程组的解的唯一性以及是否有解。
对于一个n阶齐次线性方程组，如果其系数矩阵的行列式不为零，则该方程组只有零解；如果行列式为零，则该方程组有非零解。
线性代数第一章§1.4-1.6,习题
互换 i, j (i < j)两行得到
a11 a j1 D1 ai1 an1
a1 p a jp aip anp
a1n a jn ain ann
b11 bi1 b j1 bn1
b1 p bip b jp bnp
r4 – 3r1
1 1 2 3 0 0 1 0 0 2 0 4 0 2 1 5
r2 r3
1 0
1 2
2 0
3 4
0 0 1 0 0 2 1 5
1 0 0 0 1 2 0 0 2 0 1 1 3 4 0 1
r4 + r2
r 4 + r3
1 1 2 3 0 2 0 4 2 0 0 1 0 0 0 0 1
n
更一般的有
1 0 Dn 1 0 0 an
（形如
1 0 0 0
1 0
1 a1 0 0 0
a0 1 1 1 1
(a1a2 an 0)
a2 0 0
an 1
，称为箭形（或爪形）行列式）
另外还有
§1.6 行列式按行(列)展开
一、余子式与代数余子式
定义：
0 b11 b1n bn1 bnn ,
a11 a1k b11 b1n D1 , D2 , a k 1 a kk bn1 bnn 证明: D = D1D2.
证明: 对D1作行运算 ri + t rj , 把D1化为下三角形 行列式: p 0
11
D1 p11 pkk ; pk 1 pkk
则D = D1D2.
行列式的性质与计算
行列式的性质与计算行列式是线性代数中的基本概念之一，它是一个非常重要的工具，在数学和许多其他领域中都有广泛的应用。
行列式的性质和计算是学习线性代数的基础之一。
一、行列式的定义行列式是由n个数字aij(i=1,2,n;j=1,2,n)组成的矩形表格，通常用大写字母D表示。
这些数字按照一定的规则排列，形成一个n阶方阵。
行列式D的值是一个与方阵有关的唯一的数，它反映了方阵线性变换的性质。
二、行列式的性质1.行列式的行和列具有相同的地位，因此行列式的性质可以按照行或列来描述。
2.交换两行或两列的位置，行列式的值不变。
即，如果i≠j，那么Dij=Dji。
3.行列式的某一行或某一列中所有元素的公因子可以提取出来，提取后剩余的元素按照原来的相对位置排列组成的行列式与原来的行列式相等。
即，如果k为常数，那么Dk=kD。
4.行列式中两行或两列对应元素相同，行列式的值为零。
即，如果i=j，那么Dij=0。
5.行列式可以按照某一行或某一列展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。
6.行列式可以按照主对角线进行展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。
7.行列式可以按照某一行或某一列进行递推展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。
8.行列式可以按照某一行或某一列进行递归展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。
三、行列式的计算行列式的计算是线性代数中的基本技能之一，也是解决许多问题的关键步骤。
下面介绍几种常见的计算方法：1.利用定义计算根据行列式的定义，我们可以直接计算行列式的值。
对于n阶方阵A，其行列式的定义为D=a11A11+a12A12+.+anAn，其中Aii是元素aij的代数余子式。
利用这个公式，我们可以直接计算任意一个n阶方阵的行列式。
2.利用性质计算利用行列式的性质，我们可以简化行列式的计算。
例如，根据行列式的交换律，我们可以将两行或两列交换位置；根据行列式的倍数律，我们可以将一行或一列乘以一个常数；根据行列式的零律，我们可以将一行或一列中所有元素设置为零；根据行列式的展开律，我们可以将行列式按照某一行或某一列展开等等。
行列式第1章1.3
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
性质2 互换行列式的两行（列）, 行列式变号.
ri rj ( ci c j ).
证明
为排列 p1 pi p j pn 的逆序数
ri rj
D1 1 a1 p1 a jp j aipi anpn
设行列式 D ( 1) a1 p1 aipi a jp j anpn
请问若给行列式的每一个元素都乘 以同一数ｋ，等于用 乘以此行 列式.
推论 行列式的某一行（列）中所 有元素的公因子可以提到行列式符 1 号的外面． r ( 1 c ).
k
i
k
i
推论 行列式中如果有一行（列） 元素等于零，则此行列式的值为 零．
性质4 若行列式中有两行（列）元 素成比例，则此行列式的值等于零.
a2 n a nn
a1 n a2n a nn
a1 n
a1i i a2 i an
a11 a 21 D a n1
则行列式等于下列两个行列式之和：
a1 n a11 a2n a 21 a nn a n1
性质6 把行列式的某一列（行）的各 元素乘以同一数然后加到另一列(行) 对应的元素上去，行列式不变．
(a1i ka1 j ) a1 j
简例
1.
1 0 1 0 0 2 0 2 3 0 3 0 0 4 0 4
2.
1 a 0 0 1 1 a b 0 0 1 1 b c 0 0 1 1 c
3.
ab ac bd cd bf cf
a1 b1 a1 b2
ef
b11 b1n
1-5行列式的性质
a1 k
cn1 cnk
D1 det(a ij )
bn1 bnn
, D2 det(bij )
bi r1 ri 1 ai i 1, 2, , n
di c1 ci 1 ai i 1, 2, , n
dn an
bi 对于情况： r1 ri 1 ai
a0 d1 b1 b2 bn
i 1, 2, , n
bi d i a0 i 1 ai d1 d2 dn
二、应用举例
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj 把行列式化为
上三角形行列式，从而算得行列 4
1 3 0 5 4
2 7 4 7 10
3 9 2 14 10
1 3 5 1 6 2
1 3
1 3 0 5 4
2 7 4 7 10
i 2,, n
an
an
b Dn 0
1 0
1 0
n
0 a2
an
n 1 1 其中 b 1 a1 a1 a1 1 i 2 ai i 1 ai
n 1 于是 Dn ba2 an a1a2 an 1 i 1 ai
验证：我们以4阶行列式为例.
两行相同，其值为零
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a24 a34 k
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a11 a12 a13 a14 k0 0
ka11 ka12 ka13 ka14
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= 1 a1 p1 a2 p2 anpn
t
故
D = DT .
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此凡是 对行成立的性质对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
用符号记： ri r j （表示第 i 行与第 j 行互换）
r1 r3
“row”的第一字母
例4 证明D=D1D2 其中
于是 对D的前k行作运算 rikrj 再对后n列作运算cikcj 把 a11 a1k b11 b1n D1 = D2 = D化为下三角形行列式 ak1 akk bn1 bnn p11 0 0 0 证 对D1 作运算rikrj 把D1 pk1 pkk 0 0 D= 化为下三角形行列式 设为 c11 c1k q11 0 p11 0 cn1 cnk qn1 qnn D1 = = p11 pkk pk1 pkk 故D=p11 pkk q11 qnn=D1D2
kai1 kai 2 L
kain = k ai1
an1 an 2 L
推论1
( k ri , k ci )
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
k ai 1 k ai 2 k ain = k ai 1 ai 2 ain . a n1 an 2 ann an1 an 2 ann
a11 ak1 D= c11 cn1
a1k akk c1k cnk
0 0 b11 bn1
0 0 b1n bnn
对D2作运算cikcj 把D2化为 下三角形行列式 设为
1 3
1 3 0 5 4
2 7 4 7 10
3 9 2 14 10
1 5 1 6 2
3
练习 计算 D = 2 3 4 解
r2 0 0 1 0 2 2 0 4 7 2 1 3 5 14 6
4 4 10 10 2
例如
D=
a 21 a n1
a n 2 (a ni a ) a nn ni a1 n a2n a nn a11 a1i a 21 a i 2 a n1 a1 n a2n
则D等于下列两个行列式之和：
a11 a1i D= a 21 a 2 i a n1 a ni
a11 (a1i ka1 j ) a1 j a1n ci kc j a21 (a2 i ka2 j ) a2 j a2 j anj an1 (ani kanj ) anj
a11 ai1 a j1 a n1
a11
a12 ai 2 a j2 an2
b
c d 其中未写出的元素为0
c
d
根据例4的结果 有 解 把D2n 中的第2n行依 D2n=D2D2(n1) 次与2n1行、、第2行对 =(adbc)D2(n1) 调(作2n2次相邻对换) 再把 以此作递推公式 即得 第2n列依次与2n1列、、 D2n=(adbc)2D2(n2) 第2列对调 得 = =(adbc)n1D2 =(adbc)n
= k = 0. ka i 1 ka i 2 ka in a i 1 a i 2 a in a n1 a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn
性质5
若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.
a11 a12 a 22 ( a1 i a1 i ) a1 n (a 2 i a i ) a 2 n 2
行列式的转置 将行列式D的行变为对应列后得到的行列式称为D的转 置行列式 记为DT [transpose]. 即 a11 a12 … a1n a11 a21 … an1 a21 a22 … a2n a12 a22 … an2 T= D= … … … … 则 D … … … … an1 an2 … ann a1n a2n … ann 显然 如果 b11 b T= 21 D … bn1 b12 b22 … bn2 … … … … b1n b2n … bnn 则bij=aji(i, j=1, 2, , n)
1 1
2 1
3 0
1 3 2
r3 2r1
0
0
0 4 1 0 2 3 5 7 14 6 4 4 10 10 2
1 1 2 1 0 1 3 0 4 5 10 1 2 1 3 2
4
r4 3r1
0
0
0 2 0 2
4 4 10
即 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子 可以提到行列式符号的外面．
推论2（性质4） 行列式中如果有两行（列） 元素成比例，则此行列式为零． 证明 a11
ai1 a12 a1n a i 2 a in a11 ai1 a12 a1n a i 2 a in
证明 互换相同的两行，有 D = D, D = 0.
性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以 同一数 k ,等于用该数 k 乘以此行列式.
即
a12 L L an1 a12 L L an 2 L L L L a1n L L ann a12 L L a12 L ai 2 L L L L L a1n L ain L ann
q11 0 D2 = = q11 qnn qn1 qnn
例5 计算2n阶行列式
a b c d a D2n = (1)2(2n 2) a b c d b
a D2n =
a b c d
1.5
行列式的性质
行列式的计算是一个重要的问题，也 是一个很复杂的问题. n 阶行列式一共 有 n ! 项，计算它就需做 n!(n 1) 个乘法. 当 n 较大时，n ! 是一个相当大的数字. 直接从定义来计算行列式几乎是不可 能的事.因此有必要进一步讨论行列式 的性质.利用这些性质可以化简行列式 的计算.
解
r2 3r1
D
1 1 2 0 0 1 2 0 4 7 3 5
3 1 2 0 2 2 1 14 6
4 4 10 10 2
1 1
2 1
3 0
1 3 2
r3 2r1
0
0
0 4 1 0 2 3 5 7 14 6 4 4 10 10 2
3 1 1 1 例2 计算 D = 1 3 1 1 D= 1 1 3 1 1 1 1 3 3 1 1 1 6 1 1 1 1 3 1 1 c1c2c3c4 6 3 1 1 解 D == D ============== 1 1 3 1 6 1 3 1 1 1 1 3 6 1 1 3 r2r1 1 1 1 1 1 1 1 r3r1 c16 1 3 1 1 0 2 0 ======= 6 ======= ======= 6 ======= 1 1 3 1 0 0 2 r4r1 1 1 1 3 0 0 0 =68=48
1 0 0 2
a b c d a b c d 例3 计算 D = a a b a b c a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
r4r3 r3r2 解 D ======= r2r1 a b c d abc 0 a ab ======= 0 a 2ab 3a2bc 0 a 3ab 6a3bc r4r3 a b c d r3r2 0 a ab abc ======= ======= 0 0 a 2ab 0 0 a 3ab a b c d r4r3 0 a ab abc =a4 ======= ======= 0 0 a 2ab 0 0 a a
1 1
2 1 0 1
3 0 4 5 10 3 0 4 5
2
1 2 1 3 2 1 2 1 3
2
4
r4 3r1
a a nn ni
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变． a11 a1i a1 j a1n 例如 a 21 a 2 i a 2 j a 2 j k
a n1 a ni a nj a nj
因为三角行列式的值等于主对角线上各元素的乘 积,所以对于一个n阶行列式, 通常是利用行列式 的性质,特别是性质6将行列式化为上三角行列式, 从而得行列式的值。
3 1 1 2 例1 计算 D = 5 1 3 4 2 0 1 1 1 5 3 3 1 3 1 2 3 1 1 2 1 5 3 4 5 1 3 4 c1c2 解 D= ======= 0 2 1 1 2 0 1 1 5 1 3 3 1 5 3 3 1 3 1 2 1 3 1 2 r2r1 0 8 4 6 r2r3 0 2 1 1 ======= ======= 0 8 4 6 0 2 1 1 r45r1 0 16 2 7 0 16 2 7 1 3 1 2 5 r 1 3 1 2 r34r2 0 2 1 1 r4 3 0 2 1 1 4 =40 ======= ======= 0 0 8 10 r48r2 0 0 8 10 0 0 10 15 0 0 0 5/2
1 2 0
例如： 若 D = 5
1
则
T
5 1
8 6
3
1
D = 2 3 7 0
8 7 6
性质1 DT = D
证明 令 D = det(aij ) D = det aij 的转置行列式为 DT = det a ji 则
T