最新人教版九年级数学上册212降次--解一元二次方程(第六课时)
人教版九年级数学上册21.2.1 降次——解一元二次方程(配方1)教学课件
根据一桶油漆可刷的面积列出方程：
10 ·6x2=1500
由此可得：x2=25
根据平方根的意义，得 x＝±5 即 即x1＝5，x2＝－5
可以验证 5 和 － 是方程的两根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱 长为 5 dm． 5
对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方 程(2x－1)2＝5及方程x2＋6x＋9＝4?
解：⑴2y2＝8 y2＝4 y＝±2
∴y1＝2，y2＝－2
⑶(2 x－1)2＋4＝0 (2 x－1)2＝－4<0 ∴原方程无解
⑵2(x－8)2＝50 ⑷4x2－4x＋1＝0
⑵2(x－8)2＝50 (x－8)2＝25 x－8＝±5
x－8＝5或x－8＝－5 ∴x1＝13，x2＝－3 ⑷4x2－4x＋1＝0
方程可以化成(x＋ 3 )2＝4，进行降次，得
到 x＋3＝
±2
，方程的根为x1＝ － ，x2＝ －5
1
归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为
两个一元一次方程．即x 2 p 或 (mxn)2p(p0) ，
如果方程能化成或的形式，那么可得x p mxn p
或
．
自学检测
解下列方程： ⑴2y2＝8 ⑶(2 x－1)2＋4＝0
方程(2x－1)2＝5左边是一个整式的平方，右边 是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形 为 2x1 5 ，即将方程变为 2x1 5 和
2x1 5 两个一元一次方程，从而得到方程
(2x－1)2＝5的两个解为x1＝1 2 5 ，x2 ＝
1 5 2
。
方程x2＋6x＋9＝4的左边是完全平方式，这个
(2 x－1)2＝0 2 x－1＝0
21.2.1 解一元二次方程(直接开平方法)
3．如果方程能化为x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，
p 或mx＋n＝_____ p ． 那么x＝_____
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C １．方程x2－16=0的根为 ( Ａ.x=4 Ｃ . x =± 4 Ｂ. Ｄ. x=16
1.理解一元二次方程“降次”的转化思想． 2.配方法．
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1．若x2＝a(a≥0)，则x就叫做a的平方根，记为x＝___( aa≥0)，
由平方根的意义降次来解一元二次方程的方法叫做直接开平方 法． 2．直接开平方，把一元二次方程“降次”转化为 ________________________. 两个一元一次方程
1.本课中的一元二次方程如何“降次”的？ 运用平方根知识将形如 x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p （p≥0）的一元二次方程降次，转化为两个一元一次方 程 2.能化为（x+m）2=n（n≥0）的形式的方程需要具备什 么特点？ 左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的 一元二次方程可化为（x+m）2=n（n≥0）
2
(2)y2+2y+1＝3.
2 (y 1) 3 解：
y1 3 y1 1 3 y2 1 3
x1 0, x2 6
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6．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一 次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另 一个一元一次方程是( D ) A．x－6＝－4 C．x＋6＝4 B． x－ 6＝ 4 D．x＋6＝－4
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y 5 2
1．若3(x＋1)2－48＝0，则x的值等于(Ｂ ) A．±4 C．－3或5 B．3或－5 D． 3 或 5
推荐-九年级数学上册人教版21.2解一元二次方程(配方法)ppt课件
例1：解下列方程
⑴ x28x10
⑵ 2x213x
⑶ 3x26x40
解：（1）移项，得
x28x1
配方
x 2 8 x 4 2 1 4 2
由此可得
x42 15
x4 15
x141,5 x2415
（2）移项，得
2x23x1
二次项系数化为1，得
配方
x2 3 x 1
谢谢！
We are so hungry.How can we get to Italian restaurant?W e are in front of the cinema. Let’s go straight and turn left at the bookstore. Follow me. 加热高锰酸钾制取氧气的装置 适合用双氧水在二氧化锰作催化剂 条件下制取氧气吗？为什么？
据此可得出气体的发生装置与哪些 因素有关？如何选择发生装置？如何 选择收集装置？ Na2CO3 +2HCl == 2NaCl +H2O + CO2
B、 CaCO3+H2SO4 == CaSO4 +H2O +CO2
C、 CaCO3+2HCl== CaCl2+H2O+CO2硫化氢(H2S)是一 种密度 比空气 大且溶 于水的 气体, 实验室常用块状固体硫化亚铁(FeS) 与稀硫 酸反应 制取硫 化氢,实 验室制 取硫化 氢的发 生装置 是
一元二次方程的解法 （配方法）
22.2.1 配方法
填一填
方程 x26x92可以化成 __x__3_2___2_ ,
进行降次，得_x__3_____2 ,方程的根为
人教版数学九年级上册解一元二次方程(直接开平方法)公开课PPT课件
左边为完全平方式 所以可以直接化 为平方形式．利用 直接开平方法来解
一元二次方程．
右边是大于0的数所以方 程有个不同的的实数解
直接开平方得： x 3 2 x3 2
x3 2
x1 3 2 x2 3 2
【例2】 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2
3．如果方程能化为x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式， 那么x＝____p_或mx＋n＝____p_．
１．方程x2－16=0的根为( C )．
Ａ.x=4
Ｂ. x=16
Ｃ. x=±4
Ｄ. x=±8
2．方程x2＋m＝0有实数根的条件是( Ｄ )．
Ａ.m＞0 B．m≥0 C．m＜0 D．m≤0 3．方程5y2－3=y2＋3的实数根的个数是( Ｃ )．
3．某企业 2011 年向全国上缴利税 400 万元，2013 年增加到
484 万元，则该企业两年上缴的利税平均每年增长的百分率为( B )
A．5% B．10% C．15% D．20%
4．用直接开平方法解下列方程： (1)1x 2－9＝0；
3
解：x1＝3，x2＝－3
(2)4(x －2)2－3＝0；
配方法
直接开平方法
1.理解一元二次方程“降次”的转化思想． 2.根据平方根的意义解形如x2=p（p≥0）的一元二次方 程，然后迁移到解（mx+n）2=p（p≥0）型的一元二次方 程3..通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发 学生的学习热情．
运用开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程；领会 降次──转化的数学思想．
提高到14.4 m2，求每年人均住房面积增长率． 解析：此题为
人教版九年级上册数学解一元二次方程——因式分解法课件
a=0，或b=0．
问题4．方程x(10-4.9x)=0能否用“如果ab=0，那么a=0，或b=0”
的结论求解呢？
三、合作探究，形成知识
解:∵x(10-4.9x)=0
∴ x=0,或10-4.9x=0
解得: ∴ x1=0,或x2=
.
≈2.04.
五、练习巩固，能力提高
（1）3(x-2)-x(x-2)=0；
解：因式分解，得(x-2)(3-x)=0．
于是得
x-2=0，或3-x=0，
x1=2，x2=3
五、练习巩固，能力提高
（2）(3x＋2)2＝4(x－3)2
解：原方程可化为 (3x＋2)2－[2(x－3)]2＝0
因式分解，得[(3x+2)+2(x－3)][(3x+2)－2(x－3)] ＝0
思考：这种解法是如何使二次方程降为一次的？
三、合作探究，形成知识
归纳总结
先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的
情势，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
．
四、例题分析，深化提高
例 用因式分解法解下列方程：
（1） （
x x 2） x 2 0
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.3 因式分解法
一、学习目标
1．探索利因式分解法解一元二次方程的一般步骤．
2．能够利用因式分解法解一元二次方程．
二、创设情景，提出问题
二、创设情景，提出问题
问题1．根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m /s的
速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面高度（单位：m）为
22.2.1 降次--解一元二次方程(配方法)
课题
22.2 降次—解一元二次方程（配方法）
课时
第1课时
课 型
新授
主备人
王金涛
学习目标
1、理解配方法的意义，知道用配方法解一元二次方程的一般步骤。
2、会用配方法解一元二次方程。
学习重点
会用配方法解一元二次方程。
学习难点
如何配方？
学习过程
一、复习
、你的收获？2、还有哪些注意的地方？
六、达标
学生感悟
(教师修订)
年级：九年级学科：数学命题人：王金涛审核人：叶书生
东 辛 店 中 学 验 标 题
（满分：50+10时间：10分钟 成绩：）
必做题：（共5题，每题10分）
1、填空：
（1） （2）
2、要使方程 左边配成完全平方式，在方程两边应该都加上（ ）
（2）填空：
① ②
（3）在解方程 时，共几步？哪几步？
（4）什么叫配方法？请在课本中画出。
四、师生互动，探究新知
1、以小组为单位交流讨论在自学过程和思考题中的疑惑问题（3分钟）。
2、小组内不明白的问题，把问题写在后黑板相应的位置。
3、师生共同解决疑惑问题。
4、解方程：
（1） （2）
5、练习：课本第34页，练习中的第2题中的（2）、（4）、（6）
（2）解下列方程
① ② ③
（3）要使一块长方形场地的长比宽多6m，并且面积为16 ，场地的长和宽应各是多少？
二、把学习目标读两遍
三、自学指导
1、自学内容：课本32页至33页例1之上。
2、自学时间：5分钟
3、自学方法：请同学认真自学课本，不明白的地方请画出，可交流讨论也可问老师，然后完成下列思考题。
人教版初中数学九年级上册《解一元二次方程—因式分解法》课件
（5）3x(2x 1) 4x 2 （6）（x - 4）2 （5- 2x)2
解：化为一般式为
6x2 － x －2 = 0.
因式分解，得 十字相乘法
2x +1
解：变形有
( x －4 ) 2 － ( 5 － 2x )2=0.
因式分解，得
( x － 4 － 5 + 2x )( x － 4 + 5 －2x ) = 0.
例1解下列方程：
1 x x 2 x 2 0;
2 5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
可以试用 多种方法解 本例中的两
个方程 .
解：（1）因式分解，得
(2)移项、合并同类项，得
(x－2)(x＋1)=0.
于是得 x－2＝0或x＋1=0,
x1=2，x2=－1.
可利用了什么公式因式分解？
10x 4.9x2
根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？ （精确到 0.01 s）
提示
设物体经过 x s 落回地面，这时它 离地面的高度为 0 ，即
10x 4.9x2 0
配方法
公式法
10x 4.9x2 0
10x 4.9x2 0
解：x2 100 x 0
49
解：4.9x2 10x 0
3x
-2
( 3x － 9 )( 1 － x ) = 0.
( 3x － 2 )( 2x + 1 ) = 0.
有 3x － 9 = 0 或 1 － x = 0，
有 3x － 2 = 0 或 2x + 1 = 0，
x 2,x1
3
2
x1 = 3 , x2 = 1.
分解因式法解一元二次方程基本步骤是:
人教版九年级数学上册21.2.1 降次——解一元二次方程(配方2)教学课件
自学检测
（2）移项，得：2x2＋6x＝－2
二次项系数化为1，得：x2＋3x＝－1
配方x2＋3x＋（ 3 ）2＝－1＋（ 3 ）2
2
2
+（x＋
3 2
5 ）2＝ 4
由此可得x＋
3 2
＝± 5
2
，即x1＝2 5
－3 2
，x2＝－2 5
－3 2
（3）去括号，整理得：x2＋4x－1＝0 移项，得x2＋4x＝1 配方，得（x＋2）2＝5 x＋2＝± 5 ，即x1＝ 5 －2，x2＝－ 5 －2
x＋3＝±5 （降次）
即 x＋3＝5 或 x＋3＝ －5 解一次方程，得： x1＝ 2 ，x2＝ －
归纳：通过配成完全平方式的形式解一元
二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的 是为了降次，把一元二次方程转化为两个一 元一次方程．
自学指导
自学自2：学解2下：列解方下程列：方程：
((13))((4313xx))2234－＋xx22－＋11＝611x＝65＋x；5＋1；61(＝26)(＝942.()9x4.－(x－1)21－)2－9＝9＝0；0；
2
自学指导
自学1：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为 16 m2，场地的长和宽分别是多少？
设场地的宽为x m，则长为 （x＋6） m，根据矩形面积 为自16学m12：，要得使到一方块程矩x形（场x＋地6）的＝长16比，宽整多理6得m到，x并2＋且6x－16＝0． 探究面：积怎为样16解m方2，程场x2＋地6的x－长1和6宽＝分0？别是多少？
× ×8×6
2
P
C
Q
B
ww w.cz sx.co
即：x2－14x＋24＝0 （x－7）2＝25 x－7＝±5 ∴x1＝12，x2＝2
人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(公式法)PPT课件
21.2.2 解一元二次方程
——公式法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.使学生理解一元二次方程的求根公式的推导过程。
2.引导学生熟记求根公式，并理解公式中的条件。
3.使学生能熟练地运用求根公式解一元二次方程
重点难点
重点：掌握一元二次方程的求根公式，并熟练地运用求根公式求解一元二次方程。
解:(3)移项得， 5x2-4x-1=0
a=5,b=- 4,c=-1
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0
方程有两个不相等的实数根
=
−± 2 −4 4±6
=
2
2×5
1
即x1=1,x2=5
课堂练习
公式法的应用
例：用公式法解下列方程:
(1)x2-4x-7=0;
解:(4)移项得， x2-8x+17=0
(4) 程 2 − 2 + = 0 有两个实根，则m的取值范围是
_________ .
解： 2 − 4 = (−2)2 − 4 × 1 × = 4 − 4 ≥ 0
则 ≤ 1
注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等
2 −4
42
将①直接开平方，得
>0
=±
方程有两个不相等的实数根
b b 2 4ac
b b 2 4ac
x1
, x2
;
2a
2a
新知探究
因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值不确定，需分情况讨论：
（2）若b2﹣4ac=0
将①直接开平方，得
人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程2降次——解一元二次方程因式分解法课件
x（10 - 4.9x）= 0
两个因式的积等于零
x = 0 或 10 - 4.9x = 0 至少有一个因式为零
x1=ຫໍສະໝຸດ 0，x2=
100 49
举例讲授
解方程： x（10-4.9x）=0
解：∵x（10-4.9x）=0
∴x=0或10-4.9x=0，
∴x1=0，x2=
100 49
≈2.04
∴可知物体被抛出约2.04s后落回地面。
课堂作业
5.如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆场地， 场地面积扩大了一倍，求小圆形场地的半径.
课堂小结
1.用因式分解法解一元二次方程有哪些优缺点？需注意哪些细 节问题？
2.通过本节课的学习，你还有哪些收获和体会？
课后思考
试比较配方法、公式法和因式 分解法各自的优缺点.
课堂作业
1.用因式分解法解方程，下列方程中正确是（ ）
A
A.（2x-2）（3x-4）=0， ∴2x-2=0或3x-4=0
B.（x+3）（x-1）=1， ∴x+3=0或x-1=1
C.（x+2）（x-3）=6， ∴x+2=3或x-3=2
D. x（x+2）=0，
∴x+2=0
课堂作业
2.当x=
1时或，2代数式x²-3x的值是-2.
即
b b2 4ac 1 13
x
所以x1
1
6
13
2a ，x
2
1 6
6
13
典题精讲
(2)2( 2x 3)2 12
解：原方程可化为
2x
2
3
6
两边开平方，得 2x 3 6
即 2x 3 6 ， 2x 3 6
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22．2降次--解一元二次方程（第六课时）
（习题课）
◆随堂检测
1、关于x的方程0232xax是一元二次方程，则（）
A、0aB、0aC、1aD、
0a
2、用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（）
A、522xxB、5422xxC、542xxD、
522xx
3、方程xxx)1(的根是（）
A、2xB、2xC、0,221xxD、
0,221xx
4、已知25是一元二次方程
2
40xxc
的一个根，则方程的另一个根是______________．
5、用适当的方法解下列方程：
（1）0672xx；（2）)15(3)15(2xx；
（3）0362xx；（4）
2
2510xx
.
◆典例分析
解方程022xx.
分析:本题是含有绝对值的方程,可以转化为一元二次方程求解.转化的方法可以不同,请同学们注意转化
的技巧.
解法一:分类讨论
（1）当0x时，原方程化为022xx，
解得：,21x12x（不合题意，舍去）
（2）当0x时，原方程化为
022xx
解得：21x,12x（不合题意，舍去）
∴原方程的解为2,221xx.
解法二:化归换元
原方程022xx可化为
2
20xx
,
令yx，则
2
20yy
（0y），解得12,y21y（舍去），
当
1
2y
时,2x,∴2x,
∴原方程的解为2,221xx.
◆课下作业
●拓展提高
1、方程062xx的解是__________________．
2、已知1x是关于x的方程
22
20xaxa
的一个根，则a_______．
3、12、写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：_________________．
4、当代数式532xx的值为7时，代数式2932xx的值为（）
A、4B、2C、-2D、-4
5、已知x是一元二次方程2310xx的实数根，求代数式235(2)362xxxxx的值．
6、阅读材料，解答问题：
材料：为解方程
222(1)5(1)40xx,我们可以视2
(1)x
为一个整体.
然后设
21xy,原方程可化为2
540yy
①.解得121,4yy.
当
1
1y
时，211x,即22x，∴2x.
当
2
4y
时，214x,即25x，∴5x.
∴原方程的解为
1234
2,2,5,5xxxx
.
解答问题：（1）填空：在由原方程得到①的过程中利用_______法，达到了降次的目的，体现了_______
的数学思想.（2）解方程
42
60xx
.
●体验中考
1、（2009年山西）请你写出一个有一根为1的一元二次方程：．
2、（2009年湖北襄樊）如图，在ABCD中，AEBC于E，AEEBECa，且a是一元二次方程
2
230xx
的根，则ABCD的周长为（）
A．422B．1262C．222D．
221262或
3、（2008年，凉山）已知反比例函数abyx，当0x时，y随x的增大而增大，则关于x的方程
2
20axxb
的根的情况是（）
A．有两个正根B．有两个负根
C．有一个正根一个负根D．没有实数根
(提示：本题综合了反比例函数和一元二次方程根与系数的关系两个重要的知识点，请认真思考，细心解
答.)
4、（2008年，齐齐哈尔）三角形的每条边的长都是方程
2
680xx
的根,则三角形的周长是
_________________．
(点拨：本题综合考查了一元二次方程的解法和三角形的有关知识，特别要注意应用三角形任意两边之和
大于第三边这个定理.)
参考答案：
◆随堂检测
1、B.依据一元二次方程的定义可得.
2、C.
3、D.注意不能在等式两边同除以含有未知数的式子.本题用因式分解法好.
4、25依据一元二次方程根与系数的关系可得
2254x∴方程的另一个根是2
25x
.
5、解：（1）用因式分解法解0672xx得:
12
1,6xx
；
A
D
C
E
B
（2）用因式分解法解)15(3)15(2xx得:
12
14
,
55
xx
；
（3）用配方法解0362xx得:
12
36,36xx
；
（4）用公式法解22510xx得:12533533,44xx.
◆课下作业
●拓展提高
1、
12
3,2xx
.选用因式分解法较好.
2、2或1将1x代入方程
2220xaxa得:2
20aa
,
解得
12
2,1aa
.
3、答案不唯一：如
2
230xx
.
4、A.当
2357xx时，即2
32xx
，
∴代数式
22
3923(3)23224xxxx
.故选A.
5、解：∵
2310xx，∴2
31xx
.
化简:
2
2
3539
(2)
3623(2)2
xxx
x
xxxxxx
321
3(2)(3)(3)3(3)
xx
xxxxxx
∵∵∴
2
111
3(3)313xx
，
∴代数式235(2)362xxxxx的值是13．
6、解:（1）换元法,转化.
（2）设
2xy,原方程可化为2
60yy
①.解得123,2yy.
当
1
3y
时，即23x,∴3x.
当
2
2y
时，22x无解.
∴原方程的解为
12
3,3xx
.
●体验中考
1、答案不唯一，如
2
1x
2、A.解析：本题考查平行四边形及一元二次方程的有关知识，∵
a
是一元二次方程
2
230xx
的根，
∴1a，∴AE=EB=EC=1，∴AB=2，BC=2，∴ABCD的周长为422，故选A。
3、C∵abyx，当0x时，y随x的增大而增大，
∴0ab，∴方程
2
20axxb
中△＝440ab，方程有两个不相等的实数根.又依据一元二次方
程根与系数的关系可得120bxxa，∴方程有一个正根一个负根.故选C.
4、6或10或12.解方程
2
680xx
，得14x,22x.∴三角形的每条边的长可以为2、2、2或
2、4、4或4、4、4（2、2、4不能构成三角形，故舍去），∴三角形的周长是6或10或12.