高考数学总复习 第3章 第8节 正弦定理和余弦定理应用举例课件 新人教A版
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【高中数学】余弦定理、正弦定理(3)课件 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
由正弦定理，得AC＝
sin30∘
sin45∘
＝20 2.
60° 60°
45°30°
40
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos ∠BCA＝(20 2)2＋
(40 2)2－2×40 2 ×20 2 cos 60°＝2400，
∴AB＝20 6 ，故A，B两点之间的距离为20 6 m.
跟踪训练
4．某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距
20( 3 ＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时
10 2海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北
方向刮过且 3＋1小时后开始持续影响基地2小时．求台风移动的方向．
在△ABC中，由余弦定理得
sin30∘
，
新知探究
1．基线的概念与选择原则
(1)定义
线段
在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的_______叫做基线．
(2)性质
基线长度
在测量过程中，应根据实际需要选取合适的_________，使测量具有
高
较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越_______．
2．实际测量中的有关名称、术语
5．一船以每小时15 km的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在
北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东
30 2
15°，这时船与灯塔的距离为________km.
如图所示，AC＝15×4＝60.
∠BAC＝30°，∠B＝45°，
在△ABC中，
∴BC＝30 2.
60
sin45∘
=
方法总结
测量距离的基本类型及方案
sin30∘
sin45∘
＝20 2.
60° 60°
45°30°
40
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos ∠BCA＝(20 2)2＋
(40 2)2－2×40 2 ×20 2 cos 60°＝2400，
∴AB＝20 6 ，故A，B两点之间的距离为20 6 m.
跟踪训练
4．某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距
20( 3 ＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时
10 2海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北
方向刮过且 3＋1小时后开始持续影响基地2小时．求台风移动的方向．
在△ABC中，由余弦定理得
sin30∘
，
新知探究
1．基线的概念与选择原则
(1)定义
线段
在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的_______叫做基线．
(2)性质
基线长度
在测量过程中，应根据实际需要选取合适的_________，使测量具有
高
较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越_______．
2．实际测量中的有关名称、术语
5．一船以每小时15 km的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在
北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东
30 2
15°，这时船与灯塔的距离为________km.
如图所示，AC＝15×4＝60.
∠BAC＝30°，∠B＝45°，
在△ABC中，
∴BC＝30 2.
60
sin45∘
=
方法总结
测量距离的基本类型及方案
正弦定理和余弦定理ppt课件
总结词
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
2024版高考数学总复习：正弦定理余弦定理及应用课件
4
2
.化简得BC2 ＋
1
3．若△ABC的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为 ，则△ABC
3
外接圆的半径为_________．
(1)A＋B＋C＝π.
(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(4)sin (A＋B)＝sin C；cos (A＋B)＝－cos C；tan (A＋B)＝－tan C；
sin
+
+
＝cos ；cos
＝sin .
2
2
2
2
(5)tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.
余弦值．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．
(1)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．
( √ )
++
(2)在△ABC中，
＝
.
sin sin +sin +sin
( √ )
(3)在△ABC中，“a2 ＋b2>c2”是“△ABC为锐角三角形”的必要不
＝0，
则cos A＝0或sin B＝sin
π
A，所以A＝ 或B＝A.
2
1
2
3
4
5
3．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin
1
A．
5
C．
B
1
A＝ ，则sin
3
B＝(
)
5
B．
9
5
3
D．1
3
5
【课件】正余弦定理的应用举例课件 2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
已知两角的用正弦定理求解.
请你设计一个方案，测量比萨斜塔的高度.
数学 准确作图 实际
模型
问题
实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等
实际问题，解决这类问题，通常需要借助经纬仪以
及卷尺等测量角和距离的工具进行测量.
➢ 具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设
计恰当的测量方案.下面我们通过几道例题来说明这种情况.
a
C
周练3第8题：D为三等分点
2
2
2
BA BC 2BA BC 4BD ,
即c 2 a 2 2ac cos120 4,
2
2
c a ac 4,
2
3( a c )
2
(a c) 4 3ac 4
4
( a c ) 2 16 , a c 4.
定理解决.
注意点
(1)选定或构造的三角形，要确定及确定在哪一个三角形中求解.
(2)当角边对应，且角的条件较多时，一般用正弦定理；
当角的条件较少，且角边不对应时，一般用余弦定理.
【应用2】测量高度问题
类型一：可到达高度BC
问题4 如图，设计一种测量方法，测量旗杆的高度.
C
解：如图，在△ABC中，测得
5 2
9
a c
a c
a c
(当且仅当c 2a 3时等号成立)
解三角形中的角平分线问题
[变式]△ABC中, ABC 120, AC边上的中线为BD 1,
则a c的最大值为_________. 切入点：构造关于a,c的定值式
考查：基本不等式
B
c
A
bD
请你设计一个方案，测量比萨斜塔的高度.
数学 准确作图 实际
模型
问题
实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等
实际问题，解决这类问题，通常需要借助经纬仪以
及卷尺等测量角和距离的工具进行测量.
➢ 具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设
计恰当的测量方案.下面我们通过几道例题来说明这种情况.
a
C
周练3第8题：D为三等分点
2
2
2
BA BC 2BA BC 4BD ,
即c 2 a 2 2ac cos120 4,
2
2
c a ac 4,
2
3( a c )
2
(a c) 4 3ac 4
4
( a c ) 2 16 , a c 4.
定理解决.
注意点
(1)选定或构造的三角形，要确定及确定在哪一个三角形中求解.
(2)当角边对应，且角的条件较多时，一般用正弦定理；
当角的条件较少，且角边不对应时，一般用余弦定理.
【应用2】测量高度问题
类型一：可到达高度BC
问题4 如图，设计一种测量方法，测量旗杆的高度.
C
解：如图，在△ABC中，测得
5 2
9
a c
a c
a c
(当且仅当c 2a 3时等号成立)
解三角形中的角平分线问题
[变式]△ABC中, ABC 120, AC边上的中线为BD 1,
则a c的最大值为_________. 切入点：构造关于a,c的定值式
考查：基本不等式
B
c
A
bD
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第三章三角函数、解三角形3_8正弦定理和余弦定理的应用课件文新人教A版
第八节 正弦定理和余弦定理的应用
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教材回顾 考点突破
最新考纲
考情考向分析
1.本节复习时，应联系生活实例，体 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解
会建模，掌握运用正弦定理、余弦定 决一些简单的三角形度量问题．
理解决实际问题的基本方法． 2．能够运用正弦定理、余弦定理等
2．加强解三角形及解三角形的实际 知识和方法解决一些与测量和几何计
△ABC 的面积公式可表示为( )
A．S＝12absin A
B.S＝12bccos A
C．S＝12a2sinsAinsiBn C
D.S＝12a2sinsBinsiAn C
答案：D
2．(必修 5·习题 1.2A 组改编)在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角 分别是 30°，60°，如图所示，则塔高 CB 为( )
向角、方位角)与三角形内角的关系．
跟踪训练 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处 有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相 距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ 的值为________．
解析：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，
A.4030 m 200
C. 3 3 m
B.4030 3 m 200
D. 3 m
答案：A
3．(必修 5·习题 1.2A 组改编)如图所示，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝ 105°后，就可以计算出 A，B 两点的距离为________m.
∠CBD＝45°，∠CDB＝90°＋θ，
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考情考向分析
1.本节复习时，应联系生活实例，体 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解
会建模，掌握运用正弦定理、余弦定 决一些简单的三角形度量问题．
理解决实际问题的基本方法． 2．能够运用正弦定理、余弦定理等
2．加强解三角形及解三角形的实际 知识和方法解决一些与测量和几何计
△ABC 的面积公式可表示为( )
A．S＝12absin A
B.S＝12bccos A
C．S＝12a2sinsAinsiBn C
D.S＝12a2sinsBinsiAn C
答案：D
2．(必修 5·习题 1.2A 组改编)在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角 分别是 30°，60°，如图所示，则塔高 CB 为( )
向角、方位角)与三角形内角的关系．
跟踪训练 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处 有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相 距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ 的值为________．
解析：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，
A.4030 m 200
C. 3 3 m
B.4030 3 m 200
D. 3 m
答案：A
3．(必修 5·习题 1.2A 组改编)如图所示，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝ 105°后，就可以计算出 A，B 两点的距离为________m.
∠CBD＝45°，∠CDB＝90°＋θ，
高中数学人教新课标A版：正弦定理和余弦定理 课件
答案：2 3
三、“基本思想”很重要
1．(转化与化归)在△ABC 中，若 sin 2A＝sin 2C，则△ABC 的形状是 ( )
A．等边三角形
B．等腰三角形ຫໍສະໝຸດ C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
解析：因为 sin 2A＝sin 2C⇒sin 2A＝sin(π－2C)，
所以 A＝C 或 A＋C＝π2.当 A＝C 时，三角形为等腰三角形；当 A＋C＝π2时， 三角形为直角三角形．
内容
a sin
A＝
b sin B
＝sinc C＝2R
a2＝ b2＋c2－2bccos A ； b2＝ c2＋a2－2cacos B ； c2＝ a2＋b2－2abcos C
续表
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
c＝2Rsin C； 变形 (2)a∶b∶c＝ sin A∶sin B∶sin C ；
a＋b＋c (3)sin A＋sin B＋sin C
＝sina A＝2R
b2＋c2－a2 cos A＝ 2bc ；
c2＋a2－b2 cos B＝ 2ac ；
a2＋b2－c2 cos C＝ 2ab
2．三角形常用面积公式
(1)S＝12a·ha(ha 表示边 a 上的高)；
(2)S＝12absin C＝
在△ABC 中，若sina A＝cobs B，则角 B 为
A．π6
B．π4
C．π3
D．π2
答案：B
()
3．(好题分享——新人教 A 版必修第二册 P48T3 改编)
在△ABC 中，已知 AC＝ 3，AB＝3，A＝30°，则 BC＝
A．4
B．2
()
C．3 答案：D
高考数学一轮复习 第3章 第8节 正弦定理、余弦定理的应用举例课件 新人教A版
精选ppt
11
4．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分 别为30°，60°，则塔高为________米．
【解析】 如图所示，山的高度 MN＝
200 米，塔高为 AB，CN＝MB＝2030，
AC＝NC3 ＝ 230·03＝2030.所以塔高 AB＝
200－2030＝4030(米)．
【答案】
抓
住
挖
１
掘
个
１
基
大
础
技
知
法
识
点
第八节 正弦定理、余弦定理的应用举例
掌
握
课
３
堂
个
限
核
时
心
检
考
测
向
精选ppt
1
[考情展望] 以实际问题为背景，考查利用正、余弦定理等 知识和方法解决一些与测量(高度、距离)有关的实际问题．
精选ppt
2
实际问题中的有关概念 1．仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线_上__方__的角叫仰 角，在水平线_下__方___的角叫俯角(如图 3－8－1①)．
精选ppt
4
4．视角 观测点与观测目标两端点的连线所成的夹角叫做视角(如图 3－8－2)．
图 3－8－2
精选ppt
5
解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，
理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的
模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单
位问题、近似计算的要求等．
正弦定理与余弦定理的应用(优秀课件)
正弦定理是三角形中一个基本的数学定理，用于描述三角形各边与其对应角的正弦值之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应的角的正弦值的比等于三角形的外接圆直径与另一条边 与其对应的角的正弦值的比。数学公式表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R，其中a、b、c分别代表 三角形的三边，A、B、C分别代表与边a、b、c相对的角，R代表三角形的外接圆半径。
三角函数值的计算
总结词
利用正弦定理和余弦定理解三 角形，进而计算三角函数值。
详细描述
通过已知的边长和角度，利用 正弦定理和余弦定理解三角形 ，进而计算三角函数值。
总结词
利用正弦定理和余弦定理解决 三角形中的角度问题。
详细描述
通过已知的边长和角度，利用 正弦定理和余弦定理解三角形 ，进而解决三角形中的角度问
总结词
利用正弦定理和余弦定理解决经济学中的供需关系和价格波动问题，如预测商品价格、 分析供需平衡等。
详细描述
在经济学中，供需关系决定了商品的价格。通过正弦定理和余弦定理，我们可以分析供 需双方的周期性变化，预测商品价格的波动趋势，为企业制定生产和销售策略提供依据。
05
正弦定理与余弦定理的综 合应用
详细描述
利用正弦定理和余弦定理，可以 推导出海伦公式，从而方便地计 算出三角形的面积。
三角形形状的判断
总结词
通过比较三角形的边长和角度，可以利用正弦定理和余弦定理来判断三角形的 形状。
详细描述
根据正弦定理和余弦定理的性质，可以判断出三角形是否为等腰三角形、直角 三角形或等边三角形等。
03
正弦定理与余弦定理在三 角函数问题中的应用
THANKS
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详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应的角的正弦值的比等于三角形的外接圆直径与另一条边 与其对应的角的正弦值的比。数学公式表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R，其中a、b、c分别代表 三角形的三边，A、B、C分别代表与边a、b、c相对的角，R代表三角形的外接圆半径。
三角函数值的计算
总结词
利用正弦定理和余弦定理解三 角形，进而计算三角函数值。
详细描述
通过已知的边长和角度，利用 正弦定理和余弦定理解三角形 ，进而计算三角函数值。
总结词
利用正弦定理和余弦定理解决 三角形中的角度问题。
详细描述
通过已知的边长和角度，利用 正弦定理和余弦定理解三角形 ，进而解决三角形中的角度问
总结词
利用正弦定理和余弦定理解决经济学中的供需关系和价格波动问题，如预测商品价格、 分析供需平衡等。
详细描述
在经济学中，供需关系决定了商品的价格。通过正弦定理和余弦定理，我们可以分析供 需双方的周期性变化，预测商品价格的波动趋势，为企业制定生产和销售策略提供依据。
05
正弦定理与余弦定理的综 合应用
详细描述
利用正弦定理和余弦定理，可以 推导出海伦公式，从而方便地计 算出三角形的面积。
三角形形状的判断
总结词
通过比较三角形的边长和角度，可以利用正弦定理和余弦定理来判断三角形的 形状。
详细描述
根据正弦定理和余弦定理的性质，可以判断出三角形是否为等腰三角形、直角 三角形或等边三角形等。
03
正弦定理与余弦定理在三 角函数问题中的应用
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A．北偏东10°
B．北偏西10°
C．南偏东10°
D．南偏西10°
解析：灯塔A、B的相对位置如图所示， 由已知得∠ACB＝80°， ∠CAB＝∠CBA＝50°， 则α＝60°－50°＝10°. 答案：B
3. 如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下 列四组数据，不能确定A、B间距离的是( )
如图，南山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架了一 条索道AC，小李在山脚B处看索道，发现张角∠ABC＝ 120°，从B处攀登400米到达D处，回头看索道，发现张角 ∠ADC＝160°，从D处再攀登800米到达C处，问索道AC 长多少？(精确到米，使用计算器计算)
【
思
路
点
拨
】
△ADB中用 正弦定理
解析：如图所示，在△ABC 中， ∠ACB＝180°－(75°＋60°)＝45°. 根据正弦定理，得 AC＝AsBisninCB＝2ssiinn4650°° ＝ 6(千米)．
答案： 6ຫໍສະໝຸດ 5. 如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸 的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则这条河的宽度为______m.
3．方向角 相对于某一正方向的水平角(如图③) (1)北偏东α°即由指北方向顺时针 旋转α°到达目标方向． (2)北偏西α°即由指北方向逆时针 旋转α°到达目标方向． (3)南偏西等其他方向角类似．
4．坡度与坡比
坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡 角)．
坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比)．
→
求AD
→
△ADC中用 余弦定理
→ 求AC
【自主解答】在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°. ∵∠ADC＝160°， ∴∠ADB＝20°， ∴∠DAB＝40°.
∵sin∠BDDAB＝sin∠ADABD， ∴si4n0400°＝sinA1D20°， ∴AD≈538.9. 在△ADC 中，DC＝800，∠ADC＝160°， ∴AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC ＝538.92＋8002－2×538.9×800·cos 160° ≈1 740 653.8， ∴AC≈1 319. ∴索道AC长为1 319米．
A．α，a，b B．α，β，a C．a，b，γ D．α，β，b 解析：选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.
选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似． 答案：A
4．(2011上海高考)在相距2千米的A，B两点处测量目标 C， 若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离 是________千米．
三、实际问题中的常用角
1．仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线 在水平线 的角叫俯角(如图①)．
的角叫仰角，
上方
下方
2．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位 角为α(如图②)．
仰角、俯角、方位角有什么区别？
提示：三者的参照不同，仰角与俯角是相对于水平线而言的， 而方位角是相对于正北方向而言的．
应用定理
一般解法
由余弦定理求出角A、B；再 余弦定理 利用A＋B＋C＝180°，求出
角C.
由正弦定理求出角B；由A＋B 正弦定理 ＋C＝180°，求出角C；再利 余弦定理 用正弦定理或余弦定理求c.
可有两解，一解或无解
二、用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型
测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海 问题、物理问题等．
1．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角 是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC等于( )
A．10°
B．50°
C．120°
D．130°
解析：由已知∠BAD＝60°，
∠CAD＝70°，
∴∠BAC＝60°＋70°＝130°.
答案：D
2．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察 站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯 塔B的( )
解析：如图，在△ABC中， 过C作CD⊥AB于D点， 则CD为所求宽度， 在△ABC中， ∵∠CAB＝30°，∠CBA＝75°， ∴∠ACB＝75°， ∴AC＝AB＝120 m. 在Rt△ACD中， CD＝ACsin∠CAD＝120 sin 30°＝60(m)， 因此这条河宽为60 m. 答案：60
1.解决该类问题的一般步骤 (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图； (2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量
集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型 ；
(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得 数学模型的解；
(4)检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实 际问题的解．
一般解法
由A＋B＋C＝180°，求角A；由 正弦定理 正弦定理求出b与c.
在有解时只有一解
由余弦定理求第三边c；由正弦 余弦定理 定理求出小边所对的角；再由A 正弦定理 ＋B＋C＝180°求出另一角．在
有解时只有一解
已知条件
三边(a，b，c)
在有解时只有 一解两边和其 中一边的对角 (如a，b，A)
【活学活用】 1. 某炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位 于 地 面 点 C 和 D 处 ， 已 知 CD ＝ 6 km ， ∠ACD ＝ 45° ， ∠ADC＝75°，目标出现于地面点B处时，测得∠BCD＝ 30°，∠BDC＝15°，如图，求炮兵阵地到目标的距离．
2．解斜三角形应用题常有以下几种情形
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个 三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之．
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形 或多个三角形，这时需按顺序逐步在几个三角形中求出问 题的解．
(3)实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题 目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理．
第八节 正弦定理和余弦定理应用举例
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量 和几何计算有关的实际问题．
一、解斜三角形的常见类型及解法
在三角形的六个元素中要已知三个(除三角外)才能求解，常 见类型及其解法如表所示.
已知条件 一边和两角 (如a，B，C)
两边和夹角 (如a，b，C)
应用定理