2012届高考调研数学(文)一轮复习课件解三角形：正、余弦定理应用举例)
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高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第6节正弦定理和余弦定理课件
(2)在△ABC 中，若 b2＋c2＞a2，则△ABC 为锐角三角形．( )
(3)在△ABC 中，若 A＝60°，a＝4 3，b＝4 2，则 B＝45°或 135°.( )
(4)在△ABC
中，sina
A＝sin
a＋b－c A＋sin B－sin
C.(
)
[解析] (1)正确．A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. (2)错误．由 cos A＝b2＋2cb2c－a2＞0 知，A 为锐角，但△ABC 不一定是锐角三 角形． (3)错误．由 b＜a 知，B＜A. (4)正确．利用 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，可知结论正确． [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
[变式训练 1] (1)已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边， 且
(b－c)(sin B＋sin C)＝(a－ 3c)sin A，则角 B 的大小为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
(2)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos A＝45，cos C＝153，
2．(教材改编)在△ABC 中，若 sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC 的形状是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
C [由正弦定理，得2aR＝sin A，2bR＝sin B，2cR＝sin C，代入得到 a2＋b2＜
c2，由余弦定理得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＜0，所以 C 为钝角，所以该三角形为钝角
(1)S＝12a·ha(ha 表示边 a 上的高)；
(2)S＝12absin
1
高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第7节正弦定理余弦定理应用举例课件理
2．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面 上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30° 角，则两条船相距________m.
10 3 [如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，
ON＝AOtan 30°＝ 33×30＝10 3(m)， 在△MON中，由余弦定理得， MN＝ 900＋300－2×30×10 3× 23＝ 300 ＝10 3(m)．]
A．100 2 m C．200 3 m
B．400 m D．500 m
D [设塔高为x m，则由已知可得 BC＝x m，BD＝ 3x m， 由余弦定理可得 BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos ∠BCD， 即3x2＝x2＋5002＋500x，解得x＝500(m)．]
5．如图所示，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸 边另选定一点C，测得AC＝50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的 距离为( )
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β
＝180°.
()
(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，π2.
()
(3)方位角的大小范围是[0,2π)，方向角的大小范围一般是0，π2.(
C．5 2 n mile
D．5 6 n mile
D [如图，在△ABC中， AB＝10，∠A＝60°， ∠B＝75°，∠C＝45°， ∴sinBC60°＝sin1045°， ∴BC＝5 6.]
3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A
高考数学一轮总复习第四章三角函数与解三角形 6正弦定理余弦定理课件
变式2 （2022年全国乙卷）记的内角,,的对边分别为,, ，已知 .
（1）证明： .
（2）若,，求 的周长.
解：（1）证明：因为 ，所以 .所以 .所以,即,所以 .（2）因为,所以由（1）得 .由余弦定理，得 ，则，所以 .故 ，所以.所以的周长为 .
考点二 判断三角形的形状
例3 对于 ，有如下命题：①若，则 为等腰三角形；②若，则 为直角三角形；③若，则 为钝角三角形.其中所有正确命题的序号是____.
A. B. C. D.
√
解：对于A，由正弦定理，有，原式仅当 时成立,故A错误.对于B，因为，故，原式仅当 时成立,故B错误.对于C，，由余弦定理 ,得,原式仅当 时成立,故C错误.对于D，由正弦定理,可得，即 ，故D正确.故选D.
2.在中，角,,的对边分别为,,，已知，， ，则角 ( )
第四章 三角函数与解三角形
4.6 正弦定理、余弦定理
掌握余弦定理、正弦定理，并能用它们解决简单的实际问题.
【教材梳理】
1.正弦定理、余弦定理 在中，若角,,所对的边分别是,,，为 外接圆的半径，则
类别
正弦定理
余弦定理
文字语言
在一个三角形中，各边和它所对角的_______的比相等
考点四 与三角形面积有关的问题
例5 （2023年全国甲卷）记的内角,,的对边分别为,,，已知
（1）求 ；
（2）若，求 的面积．
解：（1）因为 ，所以，解得 ．（2）由正弦定理,可得 ，即 ，即 .因为，所以 .又 ，所以 .故的面积为 ．
【点拨】三角形面积计算问题要选用恰当公式，其中 等公式比较常用,可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化.
A. B. C. D.
（1）证明： .
（2）若,，求 的周长.
解：（1）证明：因为 ，所以 .所以 .所以,即,所以 .（2）因为,所以由（1）得 .由余弦定理，得 ，则，所以 .故 ，所以.所以的周长为 .
考点二 判断三角形的形状
例3 对于 ，有如下命题：①若，则 为等腰三角形；②若，则 为直角三角形；③若，则 为钝角三角形.其中所有正确命题的序号是____.
A. B. C. D.
√
解：对于A，由正弦定理，有，原式仅当 时成立,故A错误.对于B，因为，故，原式仅当 时成立,故B错误.对于C，，由余弦定理 ,得,原式仅当 时成立,故C错误.对于D，由正弦定理,可得，即 ，故D正确.故选D.
2.在中，角,,的对边分别为,,，已知，， ，则角 ( )
第四章 三角函数与解三角形
4.6 正弦定理、余弦定理
掌握余弦定理、正弦定理，并能用它们解决简单的实际问题.
【教材梳理】
1.正弦定理、余弦定理 在中，若角,,所对的边分别是,,，为 外接圆的半径，则
类别
正弦定理
余弦定理
文字语言
在一个三角形中，各边和它所对角的_______的比相等
考点四 与三角形面积有关的问题
例5 （2023年全国甲卷）记的内角,,的对边分别为,,，已知
（1）求 ；
（2）若，求 的面积．
解：（1）因为 ，所以，解得 ．（2）由正弦定理,可得 ，即 ，即 .因为，所以 .又 ，所以 .故的面积为 ．
【点拨】三角形面积计算问题要选用恰当公式，其中 等公式比较常用,可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化.
A. B. C. D.
高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.7 正弦定理和余弦定理课件 文
第三章
三角函数、解三角形
第七节 正弦定理和余弦定理
考纲下载 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形 度量问题.
请注意
正弦定理和余弦定理是每年高考的必考内容，其考查题 型为选择题、填空题和解答题都有，选择、填空题主要考 查利用正弦定理和余弦定理解三角形以及三角形面积公式 的应用.解答题常与三角恒等变换结合，属解答题中的中档 题，在新课标中显得尤其重要.
A．3 2 1
B. 3 2 1
C. 3 2 1
D．2 3 1
解析：由题意知A＝2π，B＝π3，C＝π6. 由正弦定理知a b c＝sinA sinB sinC＝2
3 1，
故选D.
答案：D
(2)(2015·广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，若a＝ 3，sinB＝12，C＝6π，则b＝________.
bc
b2＋c2－a2 a2＋c2－b2
2R 2R sinA B C
2bc
2ac
a2＋b2－c2 2ab
【调研1】 (1)(2015·北京卷)在△ABC中，a＝4，b＝5，c
＝6，则ssiinn2CA＝________.
【解析】 在△ABC中，由余弦定理的推论可得cosA＝
b2＋c2－a2 2bc
＝
解析：在△ABC中，由sinB＝
1 2
，可得B＝
π 6
或B＝
5π 6
，结
合C＝π6可知B＝6π，从而A＝23π，利用正弦定理sianA＝sibnB，可
得b＝1.
答案：1
突破考点 02
利用正、余弦定理判断三角形的形状
（题点多变型——一题多变）
三角形中常见的结论 (1)A＋B＋C＝π. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三 边．
三角函数、解三角形
第七节 正弦定理和余弦定理
考纲下载 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形 度量问题.
请注意
正弦定理和余弦定理是每年高考的必考内容，其考查题 型为选择题、填空题和解答题都有，选择、填空题主要考 查利用正弦定理和余弦定理解三角形以及三角形面积公式 的应用.解答题常与三角恒等变换结合，属解答题中的中档 题，在新课标中显得尤其重要.
A．3 2 1
B. 3 2 1
C. 3 2 1
D．2 3 1
解析：由题意知A＝2π，B＝π3，C＝π6. 由正弦定理知a b c＝sinA sinB sinC＝2
3 1，
故选D.
答案：D
(2)(2015·广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，若a＝ 3，sinB＝12，C＝6π，则b＝________.
bc
b2＋c2－a2 a2＋c2－b2
2R 2R sinA B C
2bc
2ac
a2＋b2－c2 2ab
【调研1】 (1)(2015·北京卷)在△ABC中，a＝4，b＝5，c
＝6，则ssiinn2CA＝________.
【解析】 在△ABC中，由余弦定理的推论可得cosA＝
b2＋c2－a2 2bc
＝
解析：在△ABC中，由sinB＝
1 2
，可得B＝
π 6
或B＝
5π 6
，结
合C＝π6可知B＝6π，从而A＝23π，利用正弦定理sianA＝sibnB，可
得b＝1.
答案：1
突破考点 02
利用正、余弦定理判断三角形的形状
（题点多变型——一题多变）
三角形中常见的结论 (1)A＋B＋C＝π. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三 边．
高考总复习一轮数学精品课件 第五章 三角函数 第七节 正弦定理和余弦定理及其应用
(1)在△ABC中,一定有a+b+c=sin A+sin B+sin C.( × )
(2)在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则必有A=B.( × )
(3)在△ABC中,若a2+b2<c2,则△ABC是钝角三角形.(
√
)
2.已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,面积为
3.(2023 全国乙,文 4)记△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 acos Bbcos A=c,且
π
C= ,则
5
B=(
π
A.
10
π
B.
5
3π
C.
10
2π
D.
5
答案 C
)
解析由acos B-bcos A=c及正弦定理,得sin Acos B-sin Bcos A=sin C,
(1)若式子中含有正弦的齐次式,优先考虑正弦定理“角化边”;
(2)若式子中含有a,b,c的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角”;
(3)若式子中含有余弦的齐次式,优先考虑余弦定理“角化边”;
(4)含有面积公式的问题,要考虑结合余弦定理求解;
(5)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到三角形的内角和定理.
又因为sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,
sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,
所以sin Bcos C+cos Bsin C-sin Acos C-cos Asin C=sin Ccos B-sin Ccos A,整
理得sin Bcos C-sin Acos C=0,因此(sin B-sin A)cos C=0,所以sin B=sin A或
(2)在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则必有A=B.( × )
(3)在△ABC中,若a2+b2<c2,则△ABC是钝角三角形.(
√
)
2.已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,面积为
3.(2023 全国乙,文 4)记△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 acos Bbcos A=c,且
π
C= ,则
5
B=(
π
A.
10
π
B.
5
3π
C.
10
2π
D.
5
答案 C
)
解析由acos B-bcos A=c及正弦定理,得sin Acos B-sin Bcos A=sin C,
(1)若式子中含有正弦的齐次式,优先考虑正弦定理“角化边”;
(2)若式子中含有a,b,c的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角”;
(3)若式子中含有余弦的齐次式,优先考虑余弦定理“角化边”;
(4)含有面积公式的问题,要考虑结合余弦定理求解;
(5)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到三角形的内角和定理.
又因为sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,
sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,
所以sin Bcos C+cos Bsin C-sin Acos C-cos Asin C=sin Ccos B-sin Ccos A,整
理得sin Bcos C-sin Acos C=0,因此(sin B-sin A)cos C=0,所以sin B=sin A或
2012届高考数学文科一轮复习精选课件(新人教A版)：3.7 正弦定理、余弦定理及应用
考点1
正弦定理的应用
［2010年高考湖北卷］在△ABC中，a=15,b=10,A=60°
则cosB=(
A.
6 3
)
B. 2 2
3
C.-
6 3
D.- 2 2
3
a b 【分析】利用正弦定理 ,求出sinB，再 sinA sin B 利用sin2B+cos2B=1求出cosB.
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10 sin60 3 【解析】由正弦定理得sinB= 15 3
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考 向 预 测
三角形的内容不仅能考查正、余弦定理的应用，
而且能很好地考查三角变换的技巧，还可与立体几何、 解析几何、向量、实际应用等知识相结合.因此是高考 中常常出现的题型，各种题型都有可能出现.
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a 1.正弦定理: sinA
b sinB
c sinC
2R
其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为 :
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4.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：（1）
已知两角及任一边，求其他边或角；（2）已知两边及一 边的对角，求其他边或角.情况 (2)中结果可能有一解、二 解、无解，应注意区分.余弦定理可解决两类问题:(1)已知 两边及夹角或两边及一边对角的问题 ; (2)已知三边问题.
5.解三角形的类型
∴b2=16-2ac(1- 1 ),∴ac=3. 2 ∴S△ABC = 1 acsinB= 3 3 . 2 4
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考点3
正、余弦定理的综合应用
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且b2+c2a2+bc=0.
△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:
高考数学一轮总复习 专题5 平面向量与解三角形 5.3 正
(2)化边为角:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角
函数间的关系,通过三角恒等变换得出内角的关系,从而判断出三角形
的形状,此时要注意应用“△ABC中,A+B+C=π”这个结论.
方法技巧
方法 有关三角形面积的计算
与三角形面积有关的问题主要有两种:一是求三角形的面积;二是给出
1
三角形的面积,求其他量.解题时主要应用三角形的面积公式S= 2 absin
(1)仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角中,目标视
线在水平视线④ 上方 的叫仰角,目标视线在水平视线⑤ 下方 的
叫俯角(如图(a)所示).
(2)方位角 指从⑥ 某点的正北 方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的 方位角为α(如图(b)所示).
(3)坡角 指坡面与水平面所成的锐二面角. 【知识拓展】 1.三角形中的常用结论 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c. (1)A+B+C=π; (2)在△ABC中,大角对大边,大边对大角,如:a>b⇔A>B⇔sin A>sin B; (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小 于第三边;
A为锐角
A为钝角
图形
关系式 解的个数
a=bsin A 一解
bsin A<a<b 两解
a≥b 一解
a>b 一解
上表中A为锐角时,a<bsin A无解;A为钝角时,a=b,a<b均无解.
(3)已知三边,用余弦定理,有解时,只有一解.
(4)已知两边及夹角,用余弦定理,必有一解.
3.三角形的面积
高考数学（浙江专用）
5.3 正弦、余弦定理及解三角形
高考数学一轮复习 第3章 第8节 正弦定理、余弦定理的应用举例课件 新人教A版
精选ppt
11
4．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分 别为30°，60°，则塔高为________米．
【解析】 如图所示，山的高度 MN＝
200 米，塔高为 AB，CN＝MB＝2030，
AC＝NC3 ＝ 230·03＝2030.所以塔高 AB＝
200－2030＝4030(米)．
【答案】
抓
住
挖
１
掘
个
１
基
大
础
技
知
法
识
点
第八节 正弦定理、余弦定理的应用举例
掌
握
课
３
堂
个
限
核
时
心
检
考
测
向
精选ppt
1
[考情展望] 以实际问题为背景，考查利用正、余弦定理等 知识和方法解决一些与测量(高度、距离)有关的实际问题．
精选ppt
2
实际问题中的有关概念 1．仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线_上__方__的角叫仰 角，在水平线_下__方___的角叫俯角(如图 3－8－1①)．
精选ppt
4
4．视角 观测点与观测目标两端点的连线所成的夹角叫做视角(如图 3－8－2)．
图 3－8－2
精选ppt
5
解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，
理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的
模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单
位问题、近似计算的要求等．
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形-第6讲-正弦定理余弦定理及解三角形理PPT课件
62×322＝12，因为 b＜a，所以 B＜A，所以 B＝30°，C＝180°
－A－B＝105°，sin C＝sin 105°＝sin(45°＋60°)＝
sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝
6＋ 4
2 .
故 c＝assiinnAC＝2
3×
6＋ 4
2
2 ＝
3＋3.
2
法二 在△ABC 中，根据余弦定理可得 a2＝b2＋c2－2bccos A，
，sin
C＝2cR； cos
B＝
c2＋a2－b2 2ac
(3)a∶b∶c＝ sin A∶sin B∶sin C ；
a2＋b2－c2
；
形 (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B， cos C＝ 2ab
asin C＝csin A
2.S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B＝a4bRc＝12(a＋b＋ c)·r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.
3.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线 在水平视线 上方 叫仰角，目标视线在水平视线 下方 叫俯角 (如图1).
(2)方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的 水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2). (3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所 成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等. (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
第6讲 正弦定理、余弦定理及解三角形
考试要求 1.正弦定理、余弦定理，简单的三角形度量问题， B级要求；2.运用定理等知识解决一些与测量和几何计算有关 的实际问题，B级要求.
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课 时 作 业
高三数学（人教版）
课 前 自 助 餐 授 人 以 渔
在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°， 所以利用余弦定理可以求得A、B两点之间的距离为 2 AB＝ AC ＋BC －2AC·BC·cos30°＝ a. 2
2 2
课 时 作 业
高三数学（人教版）
课 前 自 助 餐 授 人 以 渔
题型一 测量距离问题
例1 如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线 CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60 °，试求AB的长． 【解析】 在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC ＝a.① 在△BCD中，由正弦定理可得 asin105° 3＋1 BC＝ ＝ a.② 2 sin45°
A．50 2m C．25 2m B．50 3m 25 2 D. m 2
)
答案
A
解析
AB AC 由正弦定理得 ＝ ， sinB sin∠ACB
2 50× AC·sin∠ACB 2 AB＝ ＝ ＝50 2(m)． sinB 1 2
高三数学（人教版）
课 时 作 业
课 前 自 助 餐 授 人 以 渔
授人以渔
mile的B处有
mile的C处的缉私船奉命 mile/h的速度
mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10n
从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
课 时 作 业
高三数学（人教版）
课 前 自 助 餐 授 人 以 渔
【思路点拨】 本例考查正弦、余弦定量的建模应用．如图所示，注意到最快追
课 时 作 业
高三数学（人教版）
课 前 自 助 餐 授 人 以 渔
课时作业（24）
课 时 作 业
高三数学（人教版）
Байду номын сангаас
2 2 2 2 2
∴AB＝ 5(千米)． 所以两目标A、B之间的距离为 5千米．
课 时 作 业
高三数学（人教版）
课 前 自 助 餐 授 人 以 渔
在△BCD中， ∠CBD＝180°－45°－75°＝60°. 由正弦定理，可得BC＝ 3sin75° 6＋ 2 ＝ . 2 sin60°
在△ABC中，由余弦定理，可得 AB ＝AC ＋BC －2AC·BC·cos∠BCA， 6＋ 2 2 6＋ 2 即AB ＝( 3) ＋( ) －2 3× cos75°＝5， 2 2
课 前 自 助 餐 授 人 以 渔
第2课时
正、余弦定理应用举例
课 时 作 业
高三数学（人教版）
课 前 自 助 餐 授 人 以 渔
考纲下载
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何 计算有关的实际问题.
课 时 作 业
高三数学（人教版）
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请注意!
通过三角形解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．近几年高考中， 以三角形为背景进行三角函数的求值、判断三角形的形状和实际应用问题 等类型的题目逐渐增多．如：2010年辽宁卷17题，福建卷18题等.
答案
10 6 3
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解析 ∵∠BOA＝45°，∠A＝180°－75°－45°＝60° x 10 ∴ ＝ ， sin45° sin60° 10 6 ∴x＝ . 3
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3．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸 边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后， 就可以计算出A、B两点的距离为(
(1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下 方的角叫俯角(如图①)．
(2)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α (如②)． (3)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．
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在△BCD中， ∠CBD＝180°－45°－75°＝60°. 3sin75° 6＋ 2 由正弦定理，可得BC＝ ＝ . 2 sin60° 在△ABC中，由余弦定理，可得 AB ＝AC ＋BC －2AC·BC·cos∠BCA， 6＋ 2 2 6＋ 2 即AB ＝( 3) ＋( ) －2 3× cos75°＝5， 2 2
隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边先
3 千米的C、D两点，同时测得∠ACB＝75°，∠
BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D在同 一平面内)，求两目标A、B之间的距离． 【解析】 如图所示，
在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°， ∴∠CAD＝30°， ∴AC＝CD＝ 3.
教材回归
1．在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30 m
至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进10 3 m至D点，测得顶端A的 仰角为4θ.则θ的值为( A．15° C．5° ) B．10° D．20°
答案
A
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探究3 首先应明确方位角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与
所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一 步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、
余弦定理“联袂”使用的优点．
2 2 2 2 2
∴AB＝ 5(千米)． 所以两目标A、B之间的距离为 5千米．
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题型二 例2
测量高度问题
要测底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，
在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，求电视塔的高度． 【解析】 如图设电视塔AB高为x，则在Rt△ABC中，
H h H ＝AD，得 ＋ ＝ ， tanα tanβ tanβ 解得H＝ ＝ ＝124. tanα－tanββ 1.24－1.20 因此，算出的电视塔的高度H是124m. htanα 4×1.24
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题型三
测量角度问题
例3 在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处( 3 －1)n 一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2n 以10 3 n
在△DEF中，由余弦定理得， DE ＋EF －DF 130 ＋150 －10 ×298 16 cos∠DEF＝ ＝ ＝ . 65 2×DE×EF 2×130×150
2 2 2 2 2 2
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本课总结
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2 2
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AC 2 3 2 且sin∠ABC＝ ·sin∠BAC＝ · ＝ . BC 2 6 2 ∴ABC＝45°.∴BC与正北方向垂直． ∵CBD＝90°＋30°＝120°. 在△BCD中，由正弦定理，得 BD·sin∠CBD 10tsin120°° 1 sin∠BCD＝ ＝ ＝ ， CD 2 10 3t ∠BCD＝30°， 即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船．
上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在 △BCD中求∠BCD.
【解析】 设缉私船用t h在D处追上走私船， 则有CD＝10 3t，BD＝10t， 在△△ABC中，∵AB＝ 3－1，AC＝2，∠BAC＝120°， ∴由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC ＝( 3－1) ＋2 －2·( 3－1)·2·cos120°＝6. ∴BC＝ 6，
探究1
这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理
和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问
题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的 三角形及正、余弦定理要恰当．
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思考题1 选取相距
由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，
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BD＝ 3x. 在△BDC中，由余弦定理得， BD ＝BC ＋CD －2BC·CD·cos120°， 即( 3x) ＝x ＋40 －2·x·40·cos120°， 解得x＝40，∴电视塔高为40米．
思考题3
(09· 宁夏海南)如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直
线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深
AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，求∠DEF
的余弦值．
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m)．如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α ，∠ADE ＝β .
该小组已测得一组α ，β 的值，算出了tanα ＝1.24，tanβ ＝1.20，请据 此算出H的值；