用二分法求方程的近似值
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高一数学必修一第三章第二节用二分法求方程的近似解公开课一等奖优秀课件
所以，原方程的近似解可取为1.437 5.
反思与感悟
用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取， 符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断， 以决定是停止计算还是继续计算.
3 • 题型探究
跟踪训练1 用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零 点.(精确度0.01)
0.261 0 0.103 3 0.027 3 －0.010 0
由于1.265 625－1.257 812 5＝0.007 812 5<0.01， 所以 1.265 625 是函数的零点的近似值，即3 2的近似值是 1.265 625.
反思与感悟
“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点 附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点.
2＋4 f(2)·f(4)<0，取区间(2,4)的中点 x1＝ 2 ＝3，计算得 f(2)·f(x1)<0，则此
时零点 x0 所在的区间是( B )
A.(2,4) C.(3,4)
B.(2,3) D.无法确定
规律与方法
1.二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间 的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度， 用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
二分法的概念： 对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数y＝f(x)，通过不断 地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二 ， 使 区 间 的 两 个 端 点 逐步逼近零，点进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求 方程的近似解 .
2 • 问题导学
反思与感悟
用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取， 符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断， 以决定是停止计算还是继续计算.
3 • 题型探究
跟踪训练1 用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零 点.(精确度0.01)
0.261 0 0.103 3 0.027 3 －0.010 0
由于1.265 625－1.257 812 5＝0.007 812 5<0.01， 所以 1.265 625 是函数的零点的近似值，即3 2的近似值是 1.265 625.
反思与感悟
“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点 附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点.
2＋4 f(2)·f(4)<0，取区间(2,4)的中点 x1＝ 2 ＝3，计算得 f(2)·f(x1)<0，则此
时零点 x0 所在的区间是( B )
A.(2,4) C.(3,4)
B.(2,3) D.无法确定
规律与方法
1.二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间 的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度， 用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
二分法的概念： 对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数y＝f(x)，通过不断 地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二 ， 使 区 间 的 两 个 端 点 逐步逼近零，点进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求 方程的近似解 .
2 • 问题导学
高一数学 3.1.2 用二分法求方程的近似解 3课件 新人教A版必修1
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第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 第11次
左端点
0 0 0.5 0.5 0.625 0.6875 0.71875 0.734 375 0.742 1875 0.742 1875 0.742 1875
右端点
2 1 1 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.746 093 75 0.744 140 675
值α满足|a-α|<ε或|b-α|<ε，所以只需取零点近似解x0=a或(b).
（2）若在区间［an,bn］上，|an-bn|<2ε，取零点近似解x0=
，
则|x0-a|< |an-bn|<ε.
返回
［1.437 5,1.463 125］
x7 1.4453125
f(x7)>0
［1.437 5,1.445 312 5］
返回
∵1.445 312 5-1.437
1.4375 1.4453125
5=02.007 812 5<0.01,
∴
【 确评定≈近1似.析要44解使】为.函区此数间类的长问一度题个 小的，求否解则，会首增先加是运大算致次区数间和的
元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，
猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际
上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设
计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
价格区间［500,1 000］的中点750,如果主持人说低了，就
再取［750,1 000］的中点875；否则取另一个区间
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学点一 用二分法求零点的近似值 求函数f(x)=x3-3的一个正零点（精确到0.01）.
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 第11次
左端点
0 0 0.5 0.5 0.625 0.6875 0.71875 0.734 375 0.742 1875 0.742 1875 0.742 1875
右端点
2 1 1 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.746 093 75 0.744 140 675
值α满足|a-α|<ε或|b-α|<ε，所以只需取零点近似解x0=a或(b).
（2）若在区间［an,bn］上，|an-bn|<2ε，取零点近似解x0=
，
则|x0-a|< |an-bn|<ε.
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［1.437 5,1.463 125］
x7 1.4453125
f(x7)>0
［1.437 5,1.445 312 5］
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∵1.445 312 5-1.437
1.4375 1.4453125
5=02.007 812 5<0.01,
∴
【 确评定≈近1似.析要44解使】为.函区此数间类的长问一度题个 小的，求否解则，会首增先加是运大算致次区数间和的
元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，
猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际
上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设
计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
价格区间［500,1 000］的中点750,如果主持人说低了，就
再取［750,1 000］的中点875；否则取另一个区间
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学点一 用二分法求零点的近似值 求函数f(x)=x3-3的一个正零点（精确到0.01）.
二分法 ppt
概念拓展
挖掘内涵
如图，哪些零点近似值能用二分法求解？
y
x1
a
0
x2
x3
x4
b
x
注意：二分法仅对函数的变号零点适用，对函数的
不变号零点不适用.
巩固提高
1.下列函数的图像中，其中不能用二分法求解其零点的 是（
y x
C
）
y x
0
y x
y
0
0
0
x
A
B
c
Байду номын сангаас
D
2.方程 x3 − 2x − 5 = 0在区间[ 2,3]内有实根，取中点x0 = 2.5, 那么下一个 有根区间是（2，2.5） .
知识延拓
精确度的解释：
精确度为ε，是指在计算过程中零点落在期间( a, b) 上，若 区间的长度： − b < ε , 则认为已达到了所给的精确度，可以 a 停止计算.
f (x) = ln x + 2x −6
2.5
2
2.5625 2.625 2.75
3
方程 f ( x) = 0有实根
求 ln x + 2 x − 6 = 0的根
函数y = f ( x)有零点. 求函数f ( x) = ln x + 2x − 6的零点.
2 .课本P88 例1：求函数 f ( x ) = ln x + 2 x − 6的零点的个数. 零点存在性定理：
如果函数y = f ( x)在区间[ a, b] 上的图像是连续不断的一条曲线，
x = 2.5625或2.5
2.5 2 2.562 5 2.65 2.75 3
f (x) = ln x + 2x −6
利用二分法求方程的近似解高中数学北师大版2019必修第一册
函数值同号,所以不能用二分法求其零点,故选C.
(2)由f(2)·f(4)<0,f(4)·f(3) >0知f(2)·f(3) <0.
故函数零点所在的区间是(2,3).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
用二分法求方程的近似解
例2求方程lg x-2-x+1=0的近似解(精确度为0.1).
分析先确定f(x)=lg x-2-x+1的零点所在的大致区间,再用二分法求解.
258111216232729355153697577
如果随机给出一个不大于100的自然数x,要让计算机查找x是否在
上面这列数中,设计怎样的查找方法,才能保证不管给出的是什么
数,都能在指定的步骤内查到结果呢?
如果让计算机将x逐一与图中的数去比较,那么在有些情况下,只要
比较1次就可以了(例如x=1),但在有些情况下,却要比较15次才能完
和大规模的互动体验结合起来,充分激发了观众的参与热情.每位
选手只要在规定时间内猜出的某商品价格在主持人展示的区间内,
就可以把它拿走.当选手说出一个价格不在规定区间内时,主持人
会提示“高了”或“低了”.
如果选手想用尽可能少的次数猜对价格,应该采用什么样的猜价
方法呢?
激趣诱思
知识点拨
二分法
1.定义:对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b].若函数y=f(x)的图象是一条
3
解:设 x= 2,则 x3-2=0.令 f(x)=x3-2,
3
则函数 f(x)零点的近似值就是 2的近似值.
以下用二分法求其零点的近似值.
由于f(1)=-1<0,f(2)=6>0,故可以取区间[1,2]为计算的初始区间.用
(2)由f(2)·f(4)<0,f(4)·f(3) >0知f(2)·f(3) <0.
故函数零点所在的区间是(2,3).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
用二分法求方程的近似解
例2求方程lg x-2-x+1=0的近似解(精确度为0.1).
分析先确定f(x)=lg x-2-x+1的零点所在的大致区间,再用二分法求解.
258111216232729355153697577
如果随机给出一个不大于100的自然数x,要让计算机查找x是否在
上面这列数中,设计怎样的查找方法,才能保证不管给出的是什么
数,都能在指定的步骤内查到结果呢?
如果让计算机将x逐一与图中的数去比较,那么在有些情况下,只要
比较1次就可以了(例如x=1),但在有些情况下,却要比较15次才能完
和大规模的互动体验结合起来,充分激发了观众的参与热情.每位
选手只要在规定时间内猜出的某商品价格在主持人展示的区间内,
就可以把它拿走.当选手说出一个价格不在规定区间内时,主持人
会提示“高了”或“低了”.
如果选手想用尽可能少的次数猜对价格,应该采用什么样的猜价
方法呢?
激趣诱思
知识点拨
二分法
1.定义:对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b].若函数y=f(x)的图象是一条
3
解:设 x= 2,则 x3-2=0.令 f(x)=x3-2,
3
则函数 f(x)零点的近似值就是 2的近似值.
以下用二分法求其零点的近似值.
由于f(1)=-1<0,f(2)=6>0,故可以取区间[1,2]为计算的初始区间.用
二分法
二分法求近似值
思考有12个大小相同的小球，其中
有11个小球质量相等，另有一个小 球稍重，用天平最少称几次就可以
找出这个稍重的球？
问题（2）转化为 求函数f(x)＝lnx+2x－6零点的近似值？ 第一步：确定零点所在大致区间 转化为方程lnx+2x－6=0
lnx=-2x+6
2 3
h(x)＝lnx
g(x)＝-2x+6
f(2)＝ln2－2<0; f(3)＝ln3>0
第二步：计算函数
（2，3）内的零点近似值。
区间（a，b） 中点值m
(精确到0.1)
（2，3） （Βιβλιοθήκη .5，3） （2.5，2.75）f ( x ) lnx 2x 6
在区间
(精确度为0.01)
f（m）的近 似值 | a - b|
2.5 2.75 2.625
用二分法求 方程的近似解
函数零点的近似值
问题：
请同学们观察下面的两个方程，说一说你会 用什么方法来求解方程.
(1) x x 6 0
2
(2)ln x 2 x 6 0
对于方程（1），可以利用一元二次方程的十 字相乘解得两个根-3和2，但对于(2)的方程，我们 却没有方法来求解.
-0.084 0.512 0.215
1 0.5 0.25
（2.5，2.625）
（2.5，2.562 5） （2.531 25，2.562 5） （2.531 25，2.546 875）
2.562 5
2.531 25 2.546 875 2.539 062 5
0.066
-0.009 0.029 0.01
间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到 零点近似值的方法叫做二分法。
二分法
过程与方法
• 1.了解数学上的逼近思想，极限思想； • 2.体验二分法的算法思想，锻炼自主探究的能力，为学习算法做准备。
情感与价值观
• 1.通过数学家的史料来提升数学素养，并增强学习数学的兴趣； • 2.体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一； • 3.通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体 到一般的认知过程。
函数零点近似解
这种方法以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定函数零点 所在区间的依据，从求函数零点的近似解这个侧面来体现方程与函数的 关系，而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，这 是中学阶段授课的第一个算法。
3.“二分法”的重要性 它既是本册书的重点内容，又是对函数知识的拓展；既体现了函数在 解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结 合思想、二分法的算法思想打下了基础，因此该方法具有极大的重要 性。
二、学情分析
学生“已知”：已经学习了函数，理解函数零点与方程根的关系，初 步掌握了函数与方程的转化思想，比较熟悉求二次函数的零点； 学生“未知”：对于高次方程的对应函数零点的寻求会有困难，另外 算法程序方程式化和求近似解对他们来说是一个全新的问题。
三、教学目标
知识与技能
• 1.通过具体事例理解二分法的算法； • 2.借助科学计算器，掌握运用二分法求满足一定精确度要求的函数零 点近似解的步骤。
x
x
y
1 0.5
f ( x) 2 3 x 7
x
1.375
1 1.25 1.5 2
0
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
x
y
1 0.5
f ( x) 2 3 x 7
x
• 1.了解数学上的逼近思想，极限思想； • 2.体验二分法的算法思想，锻炼自主探究的能力，为学习算法做准备。
情感与价值观
• 1.通过数学家的史料来提升数学素养，并增强学习数学的兴趣； • 2.体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一； • 3.通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体 到一般的认知过程。
函数零点近似解
这种方法以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定函数零点 所在区间的依据，从求函数零点的近似解这个侧面来体现方程与函数的 关系，而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，这 是中学阶段授课的第一个算法。
3.“二分法”的重要性 它既是本册书的重点内容，又是对函数知识的拓展；既体现了函数在 解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结 合思想、二分法的算法思想打下了基础，因此该方法具有极大的重要 性。
二、学情分析
学生“已知”：已经学习了函数，理解函数零点与方程根的关系，初 步掌握了函数与方程的转化思想，比较熟悉求二次函数的零点； 学生“未知”：对于高次方程的对应函数零点的寻求会有困难，另外 算法程序方程式化和求近似解对他们来说是一个全新的问题。
三、教学目标
知识与技能
• 1.通过具体事例理解二分法的算法； • 2.借助科学计算器，掌握运用二分法求满足一定精确度要求的函数零 点近似解的步骤。
x
x
y
1 0.5
f ( x) 2 3 x 7
x
1.375
1 1.25 1.5 2
0
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
x
y
1 0.5
f ( x) 2 3 x 7
x
【参考教案2】《用二分法求方程的近似解》(数学人教必修一)
《用二分法求方程的近似解》教材分析本节是人教A版《普通高中标准试验教科书·数学1（必修）》第三章“函数的应用”中第一节“函数与方程”的第二节课内容，是在学习了集合与函数概念、基本初等函数后，研究函数与方程关系的内容。
本节课的教学内容是：结合函数大致图象，能够借助计算器用二分法求出相应方程的近似解，理解二分法的思想及了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
本节内容是新教材中新增的内容。
在初中，学生学习了简单的一元一次方程和一元二次方程等简单方程的求根问题，但是实际问题中，有具体求根公式的方程是很少的。
对于这类方程，我们只能根据根的存在性定理判断根的存在，在利用二分法可以求出方程给定精确度的近似解。
经过本节内容的学习，将使学生更加深入理解函数与方程的数学思想。
教学目标【知识与能力目标】通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，会用二分法求解具体方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用，体会程序化解决问题的思想．【过程与方法】借助计算器求二分法求方程的近似解，让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用，并为下一步学习算法做准备．【情感、态度与价值观】通过探究体验、展示、交流养成良好的学习品质，增强合作意识。
通过体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．教学重难点【教学重点】过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．【教学难点】恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．课前准备多媒体课件、教具等．教学过程一、问题引入实际问题：某个雷电交加的夜晚，医院的医生正在抢救一个危重病人，忽然电停了。
据了解原因是供电站到医院的某处线路出现了故障，维修工，如何迅速查出故障所在? (线路长10km ，每50m 一棵电线杆）如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多。
利用二分法求方程的近似解
1．(1)下列函数中，能用二分法求零点的为( )
A
B
C
D
(2)用二分法求函数 f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是
() ①f(x)在区间[a，b]是连续不断的；②f(a)·f(b)＜0；③f(a)·f(b)＞0；
④f(a)·f(b)≥0.
A．①②
B．①③
C．①④
D．①②③
(1)B (2)A [(1)函数图像连续不断，函数零点附近的函数值异 号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图像，只有 B 选项符合．
A．1.25
B．1.375
C．1.406 25
D．1.5
C [根据题意知函数的零点在 1.406 25 至 1.437 5 之间，又|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25<0.1，故方程的一个近似解为 1.406 25，故选 C.]
4．用二分法求 2x＋x＝4 在区间[1,2]内的近似解(精度为 0.2)．参 考数据：
A
B
C
D
[思路探究] 零点附近连续 → 零点左右函数值异号
A [按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且 f(a)·f(b)＜0，才能不 断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零 点．故结合各图像可得选项 B、C、D 满足条件，而选项 A 不满足， 在 A 中，图像经过零点 x0 时，函数值不变号，因此不能用二分法求 解．故选 A.]
3．若函数 f(x)＝x3＋x2－2x－2 的一个正数零点附近的函数值用
二分法计算，其参考数据如下：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260 f(1.437 5) ＝0.162 f(1.406 25) ＝－0.054
二分法
2.546875 2.5390625 2.53515625
0.029 0.010
0.001
(2.53125,2.546875) (2.53125,2.5390625)
二分法：
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的 函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区 间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进 而得到零点近似值的方法叫做二分法。
给定精确度 ，用二分法求函数 f (x)零点近似值的步骤如下 ：
4、判断是否达到精确度 ：即若| a b | , 则得到 零点的近似值 a(或b)；否则重复步骤 2 - 4。
例2、借助于计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7的近似解。（精确度0.1）
练习：教材P91
1、 2
作业：白皮作业本P62
二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：
1、确定区间 [a, b]，验证 f (a) f (b) 0； 2、求区间（ a,b)的中点 c;
3、 计 算 f (c); (1) 若f (c) 0, 则c就 是 函 数 的 零 点 ； （2） 若f (a) f (c) 0, 则 令b c(此 时 零 点 x 0 (a, c)); （3） 若f (b ) f (c) 0, 则 令a c(此 时 零 点 x 0 (c, b ));
3.1.2 用二分法求方程的近似解
学院附中高一数学组
生活中的二分法：
在中央电视台《幸运52》的 节目中，有一个猜商品价格的 环节。李咏给选手出示一件商 品后，由选手猜价格，同时李 咏不断的提示所猜的价格是高 了或者是低了，直到选手猜中 为止。假设让你去猜一件价值 为589元的学习机，要求所猜价 格的误差不超过5元，你能设计 一个方案，尽快地得到这件商 品吗？
优选高中数学人教A版必修用二分法求方程的近似解完整版课件
A．4，4 C．5，4 【答案】 D
B．3，4 D．4，3
题型二 二分法求函数零点的方法步骤
例 2 在用二分法求函数 f(x)零点近似值时，第一次取的区
间是(－2，4)，则第三次所取的区间可能是( )
A．(1，4)
B．(－2，1)
C．(－2，2.5)
D．(－0.5，1)
【答案】 D
思考题 2 用二分法求方程 ex＋x－3＝0 在 x∈[0，1]上的
要点 1 二分法的概念 对于在区间[a，b]上连续不断且__f(_a_)·_f(_b_)<_0__的函数 y＝f(x)， 通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间____一_分__为_二____，使区间 的两个端点___逐_步__逼_近__零__点___，进而得到零点近似值的方法叫做二 分法．
要点 2 如何理解“二分法” 顾名思义，二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断 地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足 够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地 表示真正的零点．
[1.25，1.375]
x3＝1.312 5
f(x3)＝0.163 330 078>0 [1.25，1.312 5]
由上表的计算可知，区间[1.25，1.312 5]的左、右端点保留
两位有效数字所取的近似值都是 1.3，因此 1.3 就是所求函数的一
个精确到 0.1 的正实数零点的近似值．
探究 2 由于用二分法求函数零点的近似值步骤比较繁琐， 因此用列表法往往能比较清晰地表达．事实上，还可用二分法继 续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值．
将①代入上述不等式中，解得 2≤a<52.
方法三(运用求根公式)： 方程 x2－2ax＋4＝0 的两根为 x1，x2＝2a± 42a2－16＝a± a2－4， 且 Δ≥0，得 a≥2 或 a≤－2. 要使两根均大于 1，只需小根 a－ a2－4>1 即可，即 a－ 1> a2－4的两边平方，解得 2≤a<52.