2022年全国各省中考数学真题分类解析相似
专题01 实数-2022年中考数学真题分项汇编(全国通用)(解析版)
专题01 实数一．选择题1．（2022·四川成都）37-的相反数是（ ） A ．37 B ．37- C ．73- D ．73【答案】A【分析】直接根据相反数的求法求解即可．【详解】解：任意一个实数a 的相反数为-a 由 −37 的相反数是37；故选A ． 【点睛】本题主要考查相反数，熟练掌握求一个数的相反数是解题的关键．2．（2022·湖南邵阳）－2022的绝对值是（ ）A ．12022B ．12022-C ．－2022D ．2022【答案】D【分析】直接利用绝对值定义判断即可．【详解】解：-2022的绝对值是2022，故选：D ．【点睛】本题考查了绝对值的定义，明确负数的绝对值等于它的相反数是解题关键． 3．（2022·安徽）下列为负数的是（ ）A．2-B C ．0 D ．5-【答案】D【分析】根据正负数的意义分析即可；【详解】解：A 、2-=2是正数，故该选项不符合题意；BC 、0不是负数，故该选项不符合题意；D 、-5＜0是负数，故该选项符合题意．故选D.【点睛】本题考查正负数的概念和意义，熟练掌握绝对值、算术平方根和正负数的意义是解决本题的关键．4．（2022·江西）实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A ．a b >B ．a b =C ．a b <D ．a b =- 【答案】C【分析】根据数轴上点的特点，进行判断即可．【详解】ABC.根据数轴上点a 、b 的位置可知，0a ＜，0b ＞，∴a b ＜，故AB 错误，C 正确；根据数轴上点a 、b 的位置可知，a b -＜，故D 错误．故选：C ．【点睛】本题主要考查了数轴上点的特点，熟练掌握数轴上点表示的数，越向右越大，是解题的关键．5．（2022·江苏苏州）下列实数中，比3大的数是（ ）A ．5B ．1C ．0D ．－2【答案】A【分析】根据有理数的大小比较法则比较即可．【详解】解：因为－2＜0＜1＜3＜5，所以比3大的数是5，故选：A ．【点睛】本题考查了有理数的大小比较法则，能熟记有理数的大小比较法则的内容是解此题的关键． 6．（2022·山东泰安）计算()162⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭的结果是（ ） A ．-3B ．3C ．-12D ．12【答案】B【分析】直接计算即可得到答案． 【详解】()162⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=162⨯=3故选：B ． 【点睛】本题考查有理数的乘法，解题的关键是熟练掌握有理数乘法的知识．7．（2022·湖南娄底）截至2022年6月2日，世界第四大水电站——云南昭通溪洛渡水电站累计生产清洁电能突破5000亿千瓦时，相当于替代标准煤约1.52亿吨，减排二氧化碳约4.16亿．5000亿用科学计数法表示为（ ）A ．105010⨯B ．11510⨯C ．120.510⨯D ．12510⨯【答案】B 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 为整数，先将5000亿转化成数字，然后按要求表示即可．【详解】解：5000亿=500000000000，根据科学记数法要求500000000000的5后面有11个0，从而用科学记数法表示为11510⨯，故选：B ．【点睛】本题考查科学记数法，按照定义，确定a 与n 的值是解决问题的关键．8．（2022·湖南娄底）在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（ ）A ．1335天B ．516天C ．435天D ．54天【答案】B 【分析】根据题意以及图形分析，根据满七进一，即可求解．【详解】解：绳结表示的数为0233573737175214937516⨯+⨯+⨯+⨯=++⨯+=故选B【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解“满七进一”是解题的关键．9．（2022·湖南湘潭）如图，点A 、B 表示的实数互为相反数，则点B 表示的实数是（ ）A ．2B ．－2C ．12D ．12- 【答案】A 【分析】根据互为相反数的两个数的和为0即可求解．【详解】解：因为数轴上两点A ，B 表示的数互为相反数，点A 表示的数是-2，所以点B 表示的数是2，故选：A ．【点睛】此题考查了相反数的性质，数轴上两点间的距离，解题的关键是利用数形结合思想解答．10．（2022·云南）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10∴记作+10∴，则零下10∴可记作（ ）A ．10∴B ．0∴C ．-10 ∴D ．-20∴【答案】C【分析】零上温度记为正，则零下温度就记为负，则可得出结论．【详解】解：若零上10C ︒记作10C +︒，则零下10C ︒可记作：10C -︒．故选：C ．【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．11．（2022·四川南充）下列计算结果为5的是（ ）A ．(5)-+B ．(5)+-C ．(5)--D ．|5|--【答案】C 【分析】根据去括号法则及绝对值化简依次计算判断即可．【详解】解：A 、-（+5）=-5，不符合题意；B 、+（-5）=-5，不符合题意；C 、-(-5)=5，符合题意；D 、55--=-，不符合题意；故选：C ．【点睛】题目主要考查去括号法则及化简绝对值，熟练掌握去括号法则是解题关键． 12．（2022·江苏宿迁）-2的绝对值是（ ）A ．2B ．12C ．12-D ．2- 【答案】A【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可．【详解】在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2，故选：A ．13．（2022·山东泰安）5-的倒数是（ ）A ．15B ．15-C ．5D ．5-【答案】A【详解】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用1除以这个数．所以结合绝对值的意义，得5-的倒数为1115==55÷--．故选A ． 14．（2022·天津）计算(3)(2)-+-的结果等于（ ）A ．5-B ．1-C ．5D ．1【答案】A【分析】直接计算得到答案．【详解】(3)(2)-+-=32--=5-故选：A ．【点睛】本题考查有理数的运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算知识．15．（2022·湖南邵阳）5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为1210a ⨯，则a 的值是（ ） A ．0.11B ．1.1C ．11D ．11000 【答案】B【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，整数位数减1即可．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解：因为1亿=108，所以11000亿用科学记数法表示为1.1×104×108=1.1×1012．故选：B．【点睛】此题考查了科学记数法表示绝对值大于1的数．解题的关键是关键知道1亿=108，要正确确定a的值以及n的值．16．（2022·浙江杭州）圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为－6∴，最高气温为2∴，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为（）A．－8∴B．－4∴C．4∴D．8∴【答案】D【分析】这天的温差就是最高气温减去最低气温的差，由此列式得出答案即可．【详解】解：这天最高温度与最低温度的温差为2-（-6）=8．故选：D．【点睛】本题主要考查有理数的减法法则，关键是根据减去一个数等于加上这个数的相反数解答．17．（2022·浙江杭州）国家统计局网站公布我国2021年年末总人口约1412600000人，数据1412600000用科学记数法可以表示为（）A．814.12610⨯B．91.412610⨯C．81.412610⨯D．100.1412610⨯【答案】B【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．【详解】解：1412600000=91.412610⨯．故选：B．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．18．（2022·江苏连云港）－3的倒数是（）A．3B．－3C．13D．13-【答案】D【分析】根据倒数的定义，即可计算出结果．【详解】解：－3的倒数是13-；故选：D【点睛】本题考查了倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数．19．（2022·四川自贡）下列运算正确的是（ ）A ．()212-=-B ．1= C ．632a a a ÷= D ．0102022⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 【答案】B【分析】根据乘方运算，平方差公式，同底数幂的除法法则，零指数幂的运算法则进行运算即可．【详解】A.()211-=，故A 错误；B.221=-=，故B 正确； C.633a a a ÷=，故C 错误；D.0112022⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故D 错误．故选：B ． 【点睛】本题主要考查了整式的运算和实数的运算，熟练掌握平方差公式，同底数幂的除法法则，零指数幂的运算法则，是解题的关键．20．（2022·浙江宁波）2022-的相反数是（ ）A ．2022B ．2022-C ．12022-D ．12022【答案】A【分析】根据相反数的意义即只有符号不同的两个数互为相反数，即可解答．【详解】解：﹣2022的相反数是2022，故选：A ．【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．21．（2022·四川达州）下列四个数中，最小的数是（ ）A ．0B ．-2C ．1D 【答案】B【分析】根据实数的大小比较即可求解．【详解】解：∴201-<<<∴最小的数是2-，故选B ．【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握实数的大小比较是解题的关键．22．（2022·的值在（ ）A ．4和5之间B ．3和4之间C ．2和3之间D ．1和2之间 【答案】C【分析】根据无理数的估算方法估算即可．【详解】23<故选：C ．【点睛】本题主要考查了无理数的估算能力，要求掌握无理数的基本估算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．23．（2022·山东滨州）下列计算结果，正确的是（ ）A ．352()a a =B =C 2=D ．1cos302︒= 【答案】C【分析】据幂的乘方、算术平方根的计算、立方根的化简和特殊角的三角函数值逐一进行计算即可．【详解】解：A 、23236()a a a ⨯==，该选项错误；B =C 2==，该选项正确；D 、cos30=°，该选项错误；故选：C ． 【点睛】本题考查了幂的乘方、算术平方根的计算、立方根的化简和特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．24．（2022·四川泸州）=（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．2 【答案】A【分析】根据算术平方根的定义可求．【详解】解：=-2，故选A ．【点睛】本题考查了算术平方根的定义，要注意正确区分平方根与算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．25．（2022· ）A ．±2B ．－2C ．4D ．2 【答案】D【分析】先计算（-2）2=4，再求算术平方根即可．2==，故选：D ． 【点睛】本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．26．（2022·浙江金华）在12,2-中，是无理数的是（ ） A．2-B ．12CD ．2【答案】C 【分析】根据无理数的定义判断即可；【详解】解：∴-2，12，2 C ．【点睛】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，如开方开不尽的数的方根、π．27．（2022·湖南株洲）在0、13、－1这四个数中，最小的数是（ ）A ．0B ．13C ．－1D 【答案】C 【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．1013>>>-，∴在0、13、－11．故选C ． 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法．解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．28．（2022·四川眉山）截至2021年12月31日，全国共有共青团组织约367.7万个．将367.7万用科学记数法表示为（ ）A ．23.67710⨯B ．53.67710⨯C ．63.67710⨯D ．70.367710⨯【答案】C【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解：367.7万=3677000=63.67710⨯；选：C【点睛】此题考查了科学记数法．解题的关键是掌握科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．29．（2022·四川泸州）与2 ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【分析】估算无理数的大小即可得出答案．【详解】解：∴12.25＜15＜16，∴3.54，∴5.5＜6，∴最接近的整数是6，故选：C ．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．二．填空题30．（2022·江苏宿迁）2022年5月，国家林业和草原局湿地管理司在第二季度侧行发布会上表示，到“十四五”末，我国力争将湿地保护率提高到55%，其中修复红树林146200亩，请将146200用科学记数法表示是____．【答案】51.46210⨯【分析】科学记数法就是把绝对值大于1的数表示成10(01,)n a a n ⨯≤＜是整数的形式，其中n 就等于原数的位数减1．【详解】解：5146200 1.46210=⨯．故答案为：51.46210⨯．【点睛】本题主要考查了科学记数法，牢记科学记数法的定义并准确求出10n a ⨯中的n 是做出本题的关键．31．（2022·=_________；()22-=_________．【答案】 2 4【分析】根据算术平方根的性质，乘方的运算法则，即可求解．2=；()224-=．故答案为：2，4【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，乘方运算，熟练掌握算术平方根的性质，乘方的运算法则是解题的关键．32．（2022·湖南株洲）计算：3+（﹣2）＝_____．【答案】1【分析】根据有理数的加法法则计算即可．【详解】3+(﹣2)＝+(3﹣2)＝1，故答案为1【点睛】本题主要考查了有理数的加法，熟练掌握法则是解答本题的关键．33．（2022·江苏扬州）扬州市某天的最高气温是6∴，最低气温是－2∴，那么当天的日温差是__．【答案】8∴．【详解】用最高温度减去最低温度即可得当天的日温差：6－(－2)＝6＋2＝8∴．34．（2022·k ≥的最大整数k 是_______．【答案】3 【分析】先判断3114,从而可得答案． 【详解】解：91116, 3114, ∴k 的最大整数k 是3．故答案为：3．【点睛】本题考查的是无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键． 35．（2022·陕西）实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则a ______b -．（填“>”“=”或“<”）【答案】<【分析】根据在数轴上右边的数据大于左边的数据即可得出答案．【详解】解：如图所示：-4＜b ＜-3，1＜a ＜2，∴34b <-<，∴a b <- ．故答案为：＜．【点睛】此题主要考查了实数与数轴，正确掌握数轴上数据大小关系是解题关键．36．（2022·陕西）计算：3______．【答案】2-，再计算3-5即可得到答案．【详解】解：3352-=-．故答案为：-2．是解答本题的关键．37．（2022·江苏连云港）写出一个在1到3之间的无理数：_________．(答案不唯一)【分析】由于12=1，32=9，所以只需写出被开方数在1和9之间的，且不是完全平方数的数即可求解．【详解】解：1和3(答案不唯一)．【点睛】本题主要考查常见无理数的定义和性质，解题关键是估算无理数的整数部分和小数部分．38．（2022·浙江宁波）写出一个大于2的无理数_____．【分析】首先2【详解】解：∴大于2的无理数须使被开方数大于4．【点睛】本题考查无理数定义及比较大小．熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 39．（2022·重庆）计算：()043π-+-=_________．【答案】5【分析】根据绝对值和零指数幂进行计算即可． 【详解】解：()043415π-+-=+=，故答案为：5．【点睛】本题考查了绝对值和零指数幂的计算，熟练掌握定义是解题的关键．40．（2022·四川南充）比较大小：22-_______________03．（选填＞，＝，＜）【答案】< 【分析】先计算2124-=，031=，然后比较大小即可． 【详解】解：2124-=，031=，∵114<，∴2023-<，故答案为：<． 【点睛】本题主要考查有理数的大小比较，负整数指数幂的运算，零次幂的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．41．（2022·四川泸州）若2(a 2)b 30-++=，则ab =________．【答案】6- 【分析】由2(2)30a b -++=可得20a -=，30b +=，进而可求出a 和b 的值. 【详解】∵2(a 2)b 30-++=，∴20a -=，30b +=，∴a =2，3b =-，∴236ab =⨯-=-.故答案为-6.【点睛】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零.，初中范围内的非负数有：绝对值，算术平方根和偶次方.42．（2022·湖南湘潭）四个数－1，0，12_________．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．【详解】解：－1，0，12【点睛】此题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，解题的关键是知道初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，π3但却是无限不循环的小数，如0．1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0．2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等．三．解答题43．（2022·新疆）计算：20(2)|(3-+【分析】分别计算有理数的乘方、绝对值、二次根式及零指数幂，再进行加减即可．【详解】解：原式451=++=【点睛】本题考查有理数的乘方，绝对值和二次根式的化简及零指数幂的性质，属于基础题，正确运算是解题的关键．要熟练掌握：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1a ．44．（2022·四川泸州）计算：0112452-++︒--． 【答案】2【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数、绝对值的性质化简即可．【详解】原式=11122+=2． 【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．45．（2022·01(2022)2--+． 【答案】52【分析】根据求一个数的算术平方根、零指数和负整数指数幂的运算法则进行运算，即可求得．01(2022)2--+1312=-+ 52=． 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根、零指数和负整数指数幂的运算法则，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．46．（2022·湖南邵阳）计算：201(2)2sin 602π-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭︒． 【答案】5【分析】先计算零指数幂、负指数幂、锐角三角函数值，再计算二次根式的乘法和加减法．【详解】解：201(2)2sin 602π-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭︒=1+4- 【点睛】此题考查了零指数幂、负指数幂、锐角三角函数值，解题的关键是熟练掌握零指数幂、负指数幂、锐角三角函数值的计算法则．47．（2022·陕西）计算：015(3)|7⎛⎫⨯-+- ⎪⎝⎭．【答案】16-【分析】先算绝对值、算术平方根，零指数幂，再算乘法和加减法，即可求解．【详解】解：015(3)|7⎛⎫⨯-+- ⎪⎝⎭151=-+16=-+ 【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握零指数幂和运算法则是解题的关键．48．（2022·江苏宿迁）计算：112-⎛⎫ ⎪⎝⎭4sin 60°． 【答案】2【分析】先计算负整数指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，再计算乘法，再合并即可．【详解】解：11124sin 602 342 2=+2= 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的运算，负整数指数幂的含义，二次根式的化简，掌握“运算基础运算”是解本题的关键．49．（2022·湖南株洲）计算：()202212sin30-︒．【答案】3【分析】分别计算负数的偶次幂、二次根式、特殊角的正弦值，再进行加减即可．【详解】解：()2022112sin 3013213132-︒=+-⨯=+-=． 【点睛】本题考查负数的偶次幂、二次根式化简以及特殊角的三角函数值，属于基础题，正确计算是解题的关键．50．（2022·四川眉山）计算：021(3)24--π--+． 【答案】7【分析】利用零指数幂的运算法则，绝对值的意义，二次根式的化简及负整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解：原式111644=-++7= 【点睛】本题考查零指数幂的运算法则，绝对值的意义，二次根式的化简及负整数指数幂的运算法则，熟练掌握实数的运算法则是解答此类问题的关键．51．（2022·江苏连云港）计算：01(10)20222⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭． 【答案】2【分析】根据有理数的乘法，二次根式的性质，零指数的计算法则求解即可．【详解】解：原式541=-+=2．【点睛】本题主要考查了有理数的乘法，二次根式的性质，零指数，熟知相关计算法则是解题的关键．52．（2022·浙江金华）计算：0(2022)2tan 45|2|--︒+-【答案】4【分析】根据零指数幂，正切三角函数值，绝对值的化简，算术平方根的定义计算求值即可；【详解】解：原式12123=-⨯++1223=-++4=；【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是解题关键．53．（2022·()()023.143tan 6012π---︒++-． 【答案】14【分析】根据二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则分别化简后再进行实数的加减法运算．023.143tan 601())2(π---︒++-1114=-+14=． 【点睛】此题考查实数的运算法则，正确掌握二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则是解题的关键．54．（2022·浙江杭州）计算：()32623⎛⎫-⨯-- ⎪⎝⎭■．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．(1)如果被污染的数字是12，请计算()3216232⎛⎫-⨯-- ⎪⎝⎭．(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字．【答案】(1)-9(2)3【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可；（2）设被污染的数字为x ，由题意，得()326263x ⎛⎫-⨯--= ⎪⎝⎭，解方程即可； (1)解：()()32116268326⎛⎫-⨯--=-⨯- ⎪⎝⎭189=--=-； (2)设被污染的数字为x ，由题意，得()326263x ⎛⎫-⨯--= ⎪⎝⎭，解得3x =， 所以被污染的数字是3．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，掌握相关运算法则和步骤是接替的关键．。
2022年全国各省中考数学真题分类解析无理数和二次根式
（2022•福建中考）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（）A．−√2B．√2C．√5D．π【解析】选B．根据题意可得，1＜P＜2，∵1＜√2＜2，∴这个无理数是√2．（2022•荆州中考）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图，其中有一对互为相反数，它们是（）A．a与d B．b与d C．c与d D．a与c【解析】选C．∵c＜0，d＞0，|c|＝|d|，∴c，d互为相反数.（2022•永州中考）如图，数轴上点E对应的实数是（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【解析】选A．数轴上点E对应的实数是﹣2.1（2022•雅安中考）使√x−2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．【解析】选B．∵√x−2有意义，∴x﹣2≥0，∴x≥2.（2022•大庆中考）实数c，d在数轴上的对应点如图所示，则下列式子正确的是（）A．c＞d B．|c|＞|d|C．﹣c＜d D．c+d＜0【解析】选C．由题意得：c＜0，d＞0且|c|＜|d|，A.c＜d，故A不符合题意；B.|c|＜|d|，故B不符合题意；C.﹣c＜d，故C符合题意；D.c+d＞0，故D不符合题意.2（2022•吉林中考）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a，b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定【解析】选B．∵b＞0，a＜0，∴a＜b.（2022•遂宁中考）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|−√(b−1)2+√(a−b)2= 2 ．【解析】由数轴可得，﹣1＜a＜0，1＜b＜2，∴a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴|a+1|−√(b−1)2+√(a−b)2＝a+1﹣（b﹣1）+（b﹣a）＝a+1﹣b+1+b﹣a＝2.答案：2。
2022年中考数学真题分项汇编(全国通用) ：视图与投影、尺规作图、命题与定理(解析版)
专题16 视图与投影、尺规作图、命题与定理一．选择题1．（2022·山东临沂）如图所示的三棱柱的展开图不可能．．．是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】三棱柱的表面展开图的特点，由三个长方形的侧面和上下两个三角形的底面组成．从而可得答案.【详解】解：选项A、B、C均可能是该三棱柱展开图，不符合题意，而选项D中的两个底面会重叠，不可能是它的表面展开图，符合题意，故选：D．【点睛】考查了几何体的展开图，动手折叠一下，有助于空间想象力的培养．2．（2022·江苏常州）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（）A．垂线段最短B．两点确定一条直线C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】A【分析】根据垂线段最短解答即可．【详解】解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短，故选：A．【点睛】本题考查垂线段最短，熟知垂线段最短是解答的关键．3．（2022·广西贵港）下列命题为真命题的是（）A a=B．同位角相等C．三角形的内心到三边的距离相等D．正多边形都是中心对称图形【答案】C【分析】根据判断命题真假的方法即可求解．【详解】解：当0a<a-，故A为假命题，故A选项错误；当两直线平行时，同位角才相等，故B为假命题，故B选项错误；三角形的内心为三角形内切圆的圆心，故到三边的距离相等，故C为真命题，故C选项正确；三角形不是中心对称图形，故D为假命题，故D选项错误，故选：C．【点睛】本题考查了真假命题的判断，熟练掌握其判断方法是解题的关键．4．（2022·湖南邵阳）下列四个图形中，圆柱体的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据俯视图是从上面看到的视图进而得出答案即可．【详解】解：竖直放置的圆柱体，从上面看是圆，所以俯视图是圆．故选∶D．【点睛】此题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是熟练掌握圆柱体的三视图．5．（2022·湖北鄂州）如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体组成，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据从正面看到的图形是主视图，即可得．【详解】解：从前面看，第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层左边1个小正方形，故选A．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是掌握从正面看到的图形是主视图．6．（2022·辽宁锦州）下列命题不正确．．．的是（）A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行B．负数的立方根是负数C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．五边形的外角和是360︒【答案】C【分析】由平行线公理、立方根的定义、菱形的判定定理、多边形的外角和，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：A、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；故A正确；B、负数的立方根是负数；故B正确；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；D、五边形的外角和是360︒，故D正确；故选：C【点睛】本题考查了判断命题的真假，以及考查了平行线公理、立方根的定义、菱形的判定定理、多边形的外角和，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断．7．（2022·内蒙古通辽）下列命题：①()3235m n m n⋅=；②数据1，3，3，5的方差为2；③因式分解()()3x x x x x-=+-；④平分弦的直径垂直于弦；则1 422x．其≥中假命题的个数是（）A．1B．3C．2D．4【答案】C【分析】根据积的乘方，方差的计算，多项的因式分解，垂径定理的推论，二次根式有意义的条件，逐项判断即可求解．【详解】解：①()3362m n m n ⋅=，故原命题是假命题； ②数据1，3，3，5的平均数为()1133534+++= ，所以方差为()()()()222211333335324⎡⎤-+-+-+-=⎣⎦，是真命题； ③()()()324422x x x x x x x -=-=+-，是真命题；④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题是假命题；10x -≥，即1≥x ，是真命题；∴假命题的个数是2．故选：C【点睛】本题主要考查了积的乘方，方差的计算，多项的因式分解，垂径定理的推论，二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识点是解题的关键．8．（2022·山东威海）过直线l 外一点P 作直线l 的垂线PQ ．下列尺规作图错误的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据线段垂直平分线的逆定理及两点确定一条直线一一判断即可．【详解】A 、如图，连接AP 、AQ 、BP 、BQ ，AP=BP，AQ=BQ，∴点P在线段AB的垂直平分线上，点Q在线段AB的垂直平分线上，∴直线PQ垂直平分线线段AB，即直线l垂直平分线线段PQ，本选项不符合题意；B、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，AP= AQ，BP =BQ，∴点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上，∴直线AB垂直平分线线段PQ，即直线l垂直平分线线段PQ，本选项不符合题意；C、C项无法判定直线PQ垂直直线l，本选项符合题意；D、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，AP= AQ，BP =BQ，∴点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上，∴直线AB垂直平分线线段PQ，即直线l垂直平分线线段PQ，本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段垂直平分线的逆定理及两点确定一条直线等知识，读懂图像信息是解题的关键，属于中考常考题型．9．（2022·湖南长沙）如图，在ABC中，按以下步骤作图：①分别过点A 、B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧交于P 、Q 两点； ②作直线PQ 交AB 于点D ；③以点D 为圆心，AD 长为半径画弧交PQ 于点M 、连接AM 、BM ．若AB =AM 的长为（ ）A ．4B ．2 CD【答案】B 【分析】根据作图可知PM 垂直平分AB ，12DM AB =，ABM 是等腰直角三角形，据此即可求解．【详解】解：由作图可得PM 垂直平分AB ，12AD DM AB ===则ADM 是等腰直角三角形∴由勾股定理得：2AM =故选：B ．【点睛】本题考查了作垂线，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握基本作图理解题意是解题的关键．11．（2022·贵州毕节）在ABC 中，用尺规作图，分别以点A 和C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ．作直线MN 交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接AE ．则下列结论不一定正确的是（ ）A ．AB AE =B ．AD CD =C ．AE CE =D ．ADE CDE ∠=∠【答案】A【分析】根据作图可知AM =CM ，AN =CN ，所以MN 是AC 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，且平分此点到线段两端构成的夹角，分别对各选项进行判断．【详解】由题意得，MN 垂直平分线段AC ，∴AD CD =，AE CE =，ADE CDE ∠=∠所以B 、C 、D 正确，因为点B 的位置不确定，所以不能确定AB =AE ，故选 A【点睛】本题考查了线段垂直平分线，熟练掌握线段垂直平分线的作图方法和性质是解题的关键． 10．（2022·四川广安）下列说法正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形．B ．相似三角形的面积的比等于相似比．C ．方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小．D ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行．【答案】C【分析】根据矩形的判定，相似三角形的性质，方差的意义，平行公理逐项分析判断即可求解．【详解】解：A. 对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项不正确，不符合题意；B. 相似三角形的面积的比等于相似比的平方，故该选项不正确，不符合题意；C. 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，故该选项正确，符合题意；D. 同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不正确，不符合题意； 故选C【点睛】本题考查了矩形的判定，相似三角形的性质，方差的意义，平行公理，掌握相关知识是解题的关键．12．（2022·山东烟台）如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．【详解】解：从左边看，可得如下图形：故选：A．【点睛】本题考查三视图、熟练掌握三视图的定义是解决问题的关键．13．（2022·山东聊城）如图，该几何图形是沿着圆锥体的轴切割后得到的“半个”圆锥体，它的左视图是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据左视图的定义及画法即可判定．【详解】解：从左边看该几何体是一个斜边在左侧的直角三角形，故选：B．【点睛】本题考查画简单几何的三视图，熟练掌握和运用简单几何三视图的画法是解决本题的关键．14．（2022·内蒙古赤峰）下面几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】俯视图是从物体的上面看得到的视图．【详解】圆台的俯视图是一个同心圆环．故选：B．【点睛】本题考查几何体的三视图，主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认知能力．15．（2022·黑龙江）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（）A．7B．8C．9D．10【答案】B【分析】这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由左视图可得第二层小正方体的最多个数，再相加即可．【详解】由俯视图可知最底层有5个小正方体，由左视图可知这个几何体有两层，其中第二层最多有3个，+=个．那么搭成这个几何体所需小正方体最多有538故选：B．【点睛】本题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．16．（2022·广西贵港）一个圆锥如右图所示放置，对于它的三视图，下列说法正确的是（）A．主视图与俯视图相同B．主视图与左视图相同C．左视图与俯视图相同D．三个视图完全相同【答案】B【分析】根据三视图的定义即可求解．【详解】解：主视图为等腰三角形，左视图为等腰三角形，俯视图为有圆心的圆，故主视图和左视图相同，主视图俯视图和左视图与俯视图都不相同，故选：B．【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握三视图的定义，会看得出三视图是解题的关键．17．（2022·山东青岛）如图①．用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据几何体的俯视图是从上面看进行判断解答即可．【详解】解：由图可知，该“堑堵”的俯视图是，故选：C．【点睛】本题考查几何体的俯视图，理解俯视图的概念是解答的关键．18．（2022·辽宁）如图所示的几何体是由4个完全相同的小正方体搭成的，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据几何体的三视图可直接进行排除选项．【详解】解：由题意得：该几何体的主视图为；故选C．【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．19．（2022·辽宁营口）如图是由五个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可．【详解】解：从左边看，有两列，从左到右第一列是两个正方形，第二列底层是一个正方形．故选：B．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的定义．20．（2022·广西玉林）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是()A．B．C．D．【答案】B【分析】根据几何体的三视图可进行求解．【详解】解：由题意可知该几何体的主视图为；故选B．【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．21．（2022·四川广安）如图所示，几何体的左视图是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图判断即可．【详解】解：几何体的左视图是故选：B．【点睛】本题考查了几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图．掌握以上知识是解题的关键．22．（2022·内蒙古呼和浩特）图中几何体的三视图是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据图示确定几何体的三视图即可得到答案．【详解】由几何体可知，该几何体的三视图为故选C【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的视图方位及画法是解题的关键，注意实际存在又没有被其他棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示．23．（2022·贵州遵义）如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据左视图的意义和画法可以得出答案．【详解】解：∵该几何体为放倒的三棱柱，∴根据左视图的画法，从左往右看，看到的是一个直角在左边的直角三角形，故选：A．【点睛】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解答本题的关键．从正面、上面和左面三个不同的方向看一个物体，并描绘出所看到的三个图形，即几何体的三视图．24．（2022·黑龙江哈尔滨）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【详解】解：从左边看下面一层是两个小正方形，上面一层左边一个小正方形，故选：D．【点睛】本题主要考查左视图，掌握三视图是解题的关键．25．（2022·吉林）吉林松花石有“石中之宝”的美誉，用它制作的砚台叫松花砚，能与中国四大名砚媲美．下图是一款松花砚的示意图，其俯视图为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图）即可得．【详解】解：其俯视图是由两个同心圆（不含圆心）组成，即为，故选：C．【点睛】本题考查了俯视图，熟记定义是解题关键．26．（2022·江苏泰州）如图为一个几何体的表面展开图，则该几何体是()A．三棱锥B．四棱锥C．四棱柱D．圆锥【答案】B【分析】底面为四边形，侧面为三角形可以折叠成四棱锥．【详解】解：由图可知，底面为四边形，侧面为三角形，∴该几何体是四棱锥，故选：B．【点睛】本题主要考查的是几何体的展开图，熟记常见立体图形的展开图特征是解题的关键．27．（2022·贵州贵阳）如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据圆锥体的立体图形判断即可．【详解】用平行底面的平面截圆锥体，截面是圆形，故选：B．【点睛】本题考查了截面图形的判断，具有一定的空间想象力是解答本题的关键．28．（2022·江苏常州）下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据题意，注意其按圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，分析得到图形的性质，易得答案．【详解】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；又有母线垂直于上下底面，故可得是矩形．故选：D．【点睛】本题考查的是圆柱的展开图，解题的关键是需要对圆柱有充分的理解；难度不大．29．（2022·四川内江）如图是正方体的表面展开图，则与“话”字相对的字是（）A．跟B．党C．走D．听【答案】C【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“话”与“走”是对面，故答案为：C．【点睛】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提．30．（2022·北京）下面几何体中，是圆锥的为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】观察所给几何体，可以直接得出答案．【详解】解：A选项为圆柱，不合题意；B选项为圆锥，符合题意；C选项为三棱柱，不合题意；D选项为球，不合题意；故选B．【点睛】本题考查常见几何体的识别，熟练掌握常见几何体的特征是解题的关键．圆锥面和一个截它的平面，组成的空间几何图形叫圆锥．31．（2022·广西）下列几何体中，主视图为矩形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据常见几何体的主视图，依次判断即可．【详解】A．该三棱锥的主视图为中间有条线段的三角形，故不符合题意；B．该圆锥的主视图为三角形，故不符合题意；C．该圆柱的主视图为矩形，故符合题意；D．该圆台的主视图为梯形，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查常见几何体的三视图，掌握常见几何体的三视图是解答本题的关键．32．（2022·湖北恩施）下图是一个正方体纸盒的展开图，将其折叠成一个正方体后，有“振”字一面的相对面上的字是（）A．“恩”B．“乡”C．“村”D．“兴”【答案】D【分析】根据正方体的平面展开图的特点即可得．【详解】解：由正方体的平面展开图的特点得：“恩”字与“乡”字在相对面上，“施”字与“村”字在相对面上，“振”字与“兴”字在相对面上，故选：D．【点睛】本题考查了正方体的平面展开图，熟练掌握正方体的平面展开图的特点是解题关键．33．（2022·四川广元）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A．长方体B．圆柱C．圆锥D．三棱柱【答案】B【分析】根据几何体的展开图可直接进行排除选项．【详解】解：由图形可得该几何体是圆柱；故选B．【点睛】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．34．（2022·湖北武汉）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据从正面所看得到的图形为主视图，据此解答即可．【详解】解：从正面可发现有两层，底层三个正方形，上层的左边是一个正方形．故选：A．【点睛】本题主要考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图成为解答本题的关键．35．（2022·四川凉山）如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据主视图的定义（从正面观察物体所得到的视图叫主视图）即可得．【详解】解：这个几何体的主视图是故选：C．【点睛】本题考查了主视图，熟记定义是解题关键．36．（2022·四川泸州）如图是一个由6个大小相同的正方体组成的几何体，它的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据俯视图是从上面看到的图形即可判定．【详解】解：由俯视图的定义可知：从上往下观察发现∶故选C．【点睛】本题考查三视图，解题的关键是熟练掌握俯视图是从物体上面看所得到的图形．37．（2022·浙江湖州）如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】主视图就是从主视方向看到的正面的图形，也可以理解为该物体的正投影，据此求解即可．【详解】解：观察该几何体发现：从正面看到的应该是三个正方形，上面左边1个，下面2个，【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是了解主视图的定义，属于基础题，难度不大．38．（2022·四川眉山）下列立体图形中，俯视图是三角形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．【详解】解：A、圆锥体的俯视图是圆，故此选项不合题意；B、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意；C、球的俯视图是圆，故此选项不合题意；D、圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意；故选：B．【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．39．（2022·浙江台州）如图是由四个相同的正方体搭成的立体图形，其主视图是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】找到几何体的正面看所得到的图形即可．【详解】解：从几何体的正面看可得如下图形，故选：A．【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图是从正面所看到的图形．40．（2022·黑龙江绥化）下列命题中是假命题的是（）A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半【答案】B【分析】利用三角形的中位线定理、邻补角性质、切线长定理以及直角三角形斜边上的中线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；B. 如果两个角互为邻补角，那么这两个角不一定相等，故此选项是假命题，符合题意；C. 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，是真命题，故此选项不符合题意；D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；故选：B【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的中位线定理、邻补角性质、切线长定理以及直角三角形斜边上的中线的性质．41．（2022·广西河池）下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是()A．B．C．D．【答案】D【分析】找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可．【详解】解：A.三棱柱的俯视图与主视图和左视图都不同，故此选项错误；B.圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，故此选项错误；C.圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，故此选项错误；D.球的三视图完全相同，都是圆，故此选项正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．42.（2022·辽宁锦州）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【详解】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体是圆锥．故选：C ．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体． 43．（2022·内蒙古呼和浩特）以下命题：①面包店某种面包售价a 元/个，因原材料涨价，面包价格上涨10%，会员优惠从打八五折调整为打九折，则会员购买一个面包比涨价前多花了0.14a 元；②等边三角形ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AC 边上一点，若AD AE =，则3∠=∠BAD EDC ；③两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；④一列自然数0，1，2，3，55，依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数，则原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大．其中真命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据全等三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识逐项判断即可，【详解】解：①项，会员原来购买一个面包需要0.85a 元，现在需要a ×(1+10%)×0.9=0.99a ，则会员购买一个面包比涨价前多花了0.99a -0.85a =0.14a 元，故①项正确；②项，如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，∠C+∠EDC=∠AED，又∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC=∠C+∠EDC+∠EDC，∴∠BAD=∠EDC+∠EDC=2∠EDC，故②项错误；③项，如图，△ABC和△DEF，AB=DE，AC=DF，AM是△ABC的BC边上的中线，DN是△DEF的边EF上的中线，AM=DN，即有△ABC≌△DEF，理由如下：延长AM至G点，使得AM=GM，连接GC，延长DN至H点，使得DN=NH，连接HF，∵AM是中线，∴BM=MC，∵AM=MG，∠AMB=∠GMC，∴△AMB≌△GMC，∴AB=GC，同理可证DE=HF，∵AM=DN，∴AG=2AM=2DN=DH，∵AB =DE ，∴GC =HF ，∴结合AC =DF 可得△ACG ≌△DFH ，∴∠GAC =∠HDF ，同理可证∠GAB =∠HDE ，∴∠BAC =∠GAB +∠GAC =∠HDF +∠HDE =∠EDF ，∵AB =DE ，AC =DF ，∴△ABC ≌△DEF ，故③正确；④设原数为x ，则新数为21100x ，设原数与新数之差为y ， 即21100y x x =-，变形为：21(50)25100y x =--+， 将x 等于0、1、2、3、55分别代入可知，y 随着x 的增大而增大，故④正确；即正确的有三个，故选：C ，【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．44．（2022·吉林长春）如图，在ABC 中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）A ．AF BF =B ．12AE AC = C ．90DBF DFB ∠+∠=︒D ．BAF EBC ∠=∠【答案】B 【分析】根据尺规作图痕迹，可得DF 垂直平分AB ，BE 是ABC ∠的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可．【详解】根据尺规作图痕迹，可得DF 垂直平分AB ，BE 是ABC ∠的角平分线，,90,AF BF BDF ABF CBE ∴=∠=︒∠=∠，。
2022中考数学试题分类汇编考点36相似三角形含解析20220714471
2022中考数学试题分类汇编：考点36 相似三角形一．选择题〔共28小题〕1．〔2022•重庆〕制作一块3m×2m长方形广告牌的本钱是120元，在每平方米制作本钱相同的情况下，假设将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的本钱是〔〕A．360元B．720元C．1080元D．2160元【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的本钱，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．【解答】解：3m×2m=6m2，∴长方形广告牌的本钱是120÷6=20元/m2，将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么面积扩大为原来的9倍，∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，∴扩大后长方形广告牌的本钱是54×20=1080m2，应选：C．2．〔2022•玉林〕两三角形的相似比是2：3，那么其面积之比是〔〕A．：B．2：3 C．4：9 D．8：27【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵两三角形的相似比是2：3，∴其面积之比是4：9，应选：C．3．〔2022•重庆〕要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，那么它的最长边为〔〕A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得．【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm，根据题意，得： =，解得：x=4.5，即另一个三角形的最长边长为4.5cm，应选：C．4．〔2022•内江〕△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，那么△ABC与△A1B1C1的面积比为〔〕A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出即可．【解答】解：△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，那么△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9，应选：D．5．〔2022•铜仁市〕△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，那么△DEF的面积为〔〕A．32 B．8 C．4 D．16【分析】由△ABC∽△DEF，相似比为2，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得△ABC与△DEF的面积比为4，又由△ABC的面积为16，即可求得△DEF的面积．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2，∴△ABC与△DEF的面积比为4，∵△ABC的面积为16，∴△DEF的面积为：16×=4．应选：C．6．〔2022•重庆〕△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，那么△ABC与△DEF的面积比为〔〕A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，应选：A．7．〔2022•临安区〕如图，小正方形的边长均为1，那么以下图中的三角形〔阴影局部〕与△ABC相似的是〔〕A．B．C．D．【分析】根据正方形的性质求出∠ACB，根据相似三角形的判定定理判断即可．【解答】解：由正方形的性质可知，∠ACB=180°﹣45°=135°，A、C、D图形中的钝角都不等于135°，由勾股定理得，BC=，AC=2，对应的图形B中的边长分别为1和，∵=，∴图B中的三角形〔阴影局部〕与△ABC相似，应选：B．8．〔2022•广东〕在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，那么△ADE与△ABC的面积之比为〔〕A．B．C．D．【分析】由点D、E分别为边AB、AC的中点，可得出DE为△ABC的中位线，进而可得出DE ∥BC及△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比．【解答】解：∵点D、E分别为边AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=〔〕2=．应选：C．9．〔2022•自贡〕如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，假设△ADE的面积为4，那么△ABC的面积为〔〕A．8 B．12 C．14 D．16【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∵=，∴=，∵△ADE的面积为4，∴△ABC的面积为：16，应选：D．10．〔2022•崇明县一模〕如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，那么△DEF的面积与△BAF的面积之比为〔〕A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：16．应选：B．11．〔2022•随州〕如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两局部，那么的值为〔〕A．1 B．C． 1 D．【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质结合S△ADE=S四边形BCED，可得出=，结合BD=AB﹣AD即可求出的值，此题得解．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴〔〕2=．∵S△ADE=S四边形BCED，∴=，∴===﹣1．应选：C．12．〔2022•哈尔滨〕如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE ∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，那么以下结论一定正确的选项是〔〕A． = B． = C． = D． =【分析】由GE∥BD、GF∥AC可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA，根据相似三角形的性质即可找出==，此题得解．【解答】解：∵GE∥BD，GF∥AC，∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA，∴=， =，∴==．应选：D．13．〔2022•遵义〕如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．假设DE=3，那么AD的长为〔〕A．5 B．4 C．3 D．2【分析】先求出AC，进而判断出△ADF∽△CAB，即可设DF=x，AD=x，利用勾股定理求出BD，再判断出△DEF∽△DBA，得出比例式建立方程即可得出结论．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AB=5，BC=10，∴AC=5过点D作DF⊥AC于F，∴∠AFD=∠CBA，∵AD∥BC，∴∠DAF=∠ACB，∴△ADF∽△CAB，∴，∴，设DF=x，那么AD=x，在Rt△ABD中，BD==，∵∠DEF=∠DBA，∠DFE=∠DAB=90°，∴△DEF∽△DBA，∴，∴，∴x=2，∴AD=x=2，应选：D．14．〔2022•扬州〕如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于以下结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的选项是〔〕A．①②③B．①C．①② D．②③【分析】〔1〕由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；〔2〕通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可；〔3〕2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．【解答】解：由：AC=AB，AD=AE∴∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正确∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴∴MP•MD=MA•ME所以②正确∵∠BEA=∠CDA∠PME=∠AMD∴P、E、D、A四点共圆∴∠APD=∠EAD=90°∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP•CM∵AC=AB∴2CB2=CP•CM所以③正确应选：A．15．〔2022•贵港〕如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，假设S四边形BCFE=16，那么S△ABC=〔〕A．16 B．18 C．20 D．24【分析】由EF∥BC，可证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出那么S△ABC的值．【解答】解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AB=3AE，∴AE：AB=1：3，∴S△AEF：S△ABC=1：9，设S△AEF=x，∵S四边形BCFE=16，∴=，解得：x=2，∴S△ABC=18，应选：B．16．〔2022•孝感〕如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE ⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H．那么以下结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=〔﹣1〕EF．其中正确结论的个数为〔〕A．5 B．4 C．3 D．2【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFP和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此可判断；③证△ADF≌△BAH即可判断；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB即可得证；⑤设PF=x，那么AF=2x、AP==x，设EF=a，由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x，根据△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x，据此得出EH=a，证△PAF∽△EAH得=，从而得出a与x的关系即可判断．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°，∴∠ADC=15°，故①正确；∵AE⊥BD，即∠AED=90°，∴∠DAE=45°，∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°，∴∠AGF=75°，由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误；记AH与CD的交点为P，由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°，那么∠BAH=∠ADC=15°，在△ADF和△BAH中，∵，∴△ADF≌△BAH〔ASA〕，∴DF=AH，故③正确；∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB，∴△AFG∽△CBG，故④正确；在Rt△APF中，设PF=x，那么AF=2x、AP==x，∵△ADF≌△BAH，∴BH=AF=2x，△ABE中，∵∠AEB=90°、∠ABE=45°，∴BE=AE=AF+EF=a+2x，∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a，∵∠APF=∠AEH=90°，∠FAP=∠HAE，∴△PAF∽△EAH，∴=，即=，整理，得：2x2=〔﹣1〕ax，由x≠0得2x=〔﹣1〕a，即AF=〔﹣1〕EF，故⑤正确；应选：B．17．〔2022•泸州〕如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，假设AE=3ED，DF=CF，那么的值是〔〕A．B．C．D．【分析】如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．设DE=a，那么AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；【解答】解：如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ANFD是解析式，∵AE=3DE，设DE=a，那么AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=a，∴FM=a，∴===，应选：C．18．〔2022•临安区〕如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，假设AD=4，DB=2，那么DE：BC的值为〔〕A．B．C．D．【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例解那么可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴===．应选：A．19．〔2022•恩施州〕如下图，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．FG=2，那么线段AE的长度为〔〕A．6 B．8 C．10 D．12【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴==2，∴AF=2GF=4，∴AG=6．∵CG∥AB，AB=2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE=2AG=12．应选：D．20．〔2022•杭州〕如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2〔〕A．假设2AD＞AB，那么3S1＞2S2B．假设2AD＞AB，那么3S1＜2S2C．假设2AD＜AB，那么3S1＞2S2D．假设2AD＜AB，那么3S1＜2S2【分析】根据题意判定△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵如图，在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=〔〕2，∴假设2AD＞AB，即＞时，＞，此时3S1＞S2+S△BDE，而S2+S△BDE＜2S2．但是不能确定3S1与2S2的大小，应选项A不符合题意，选项B不符合题意．假设2AD＜AB，即＜时，＜，此时3S1＜S2+S△BDE＜2S2，应选项C不符合题意，选项D符合题意．应选：D．21．〔2022•永州〕如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，那么边AC的长为〔〕A．2 B．4 C．6 D．8【分析】只要证明△ADC∽△ACB，可得=，即AC2=AD•AB，由此即可解决问题；【解答】解：∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴=，∴AC2=AD•AB=2×8=16，∵AC＞0，∴AC=4，应选：B．22．〔2022•香坊区〕如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、AC、BC上的点，假设DE∥BC，EF∥AB，那么以下比例式一定成立的是〔〕A． = B． = C． = D． =【分析】用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定即可得出结论．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵EF∥AB，∴，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形BDEF是平行四边形，∴DE=BF，EF=BD，∴，，，，∴正确，应选：C．23．〔2022•荆门〕如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，那么S△EFG：S△ABG=〔〕A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1【分析】利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∵DE=EF=FC，∴EF：AB=1：3，∴△EFG∽△BAG，∴=〔〕2=，应选：C．24．〔2022•达州〕如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=AC．连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，那么的值为〔〕A．B．C．D．1【分析】首先证明AG：AB=CH：BC=1：3，推出GH∥AC，推出△BGH∽△BAC，可得==〔〕2=〔〕2=， =，由此即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC，DC=AB，∵AC=CA，∴△ADC≌△CBA，∴S△ADC=S△ABC，∵AE=CF=AC，AG∥CD，CH∥AD，∴AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF=1：3，∴AG：AB=CH：BC=1：3，∴GH∥AC，∴△BGH∽△BAC，∴==〔〕2=〔〕2=，∵=，∴=×=，应选：C．25．〔2022•南充〕如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连结AP，过点B作BE ⊥AP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CH⊥BE于点G，交AB于点H，连接HF．以下结论正确的选项是〔〕A．CE=B．EF=C．cos∠CEP=D．HF2=EF•CF【分析】首先证明BH=AH，推出EG=BG，推出CE=CB，再证明△CEH≌△CBH，Rt△HFE≌Rt△HFA，利用全等三角形的性质即可一一判断．【解答】解：连接EH．∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AB═BC=AD=2，CD∥AB，∵BE⊥AP，CH⊥BE，∴CH∥PA，∴四边形CPAH是平行四边形，∴CP=AH，∵CP=PD=1，∴AH=PC=1，∴AH=BH，在Rt△ABE中，∵AH=HB，∴EH=HB，∵HC⊥BE，∴BG=EG，∴CB=CE=2，应选项A错误，∵CH=CH，CB=CE，HB=HE，∴△ABC≌△CEH，∴∠CBH=∠CEH=90°，∵HF=HF，HE=HA，∴Rt△HFE≌Rt△HFA，∴AF=EF，设EF=AF=x，在Rt△CDF中，有22+〔2﹣x〕2=〔2+x〕2，∴x=，∴EF=，故B错误，∵PA∥CH，∴∠CEP=∠ECH=∠BCH，∴cos∠CEP=cos∠BCH==，故C错误．∵HF=，EF=，FC=∴HF2=EF•FC，故D正确，应选：D．26．〔2022•临沂〕如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．标杆BE高 1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．那么建筑物CD的高是〔〕A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m【分析】先证明∴△ABE∽△ACD，那么利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质求出CD即可．【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴=，即=，∴CD=10.5〔米〕．应选：B．27．〔2022•长春〕?孙子算经?是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸〔提示：1丈=10尺，1尺=10寸〕，那么竹竿的长为〔〕A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．【解答】解：设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，∴，解得x=45〔尺〕．应选：B．28．〔2022•绍兴〕学校门口的栏杆如下图，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，AB ⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，那么栏杆C端应下降的垂直距离CD为〔〕A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m【分析】由∠ABO=∠CDO=90°、∠AOB=∠COD知△ABO∽△CDO，据此得=，将数据代入即可得．【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABO=∠CDO=90°，又∵∠AOB=∠COD，∴△ABO∽△CDO，那么=，∵AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，∴=，解得：CD=0.4，应选：C．二．填空题〔共7小题〕29．〔2022•邵阳〕如下图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD 于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形：△ADF∽△ECF ．【分析】利用平行四边形的性质得到AD∥CE，那么根据相似三角形的判定方法可判断△ADF ∽△ECF．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥CE，∴△ADF∽△ECF．故答案为△ADF∽△ECF．30．〔2022•北京〕如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，假设AB=4，AD=3，那么CF的长为．【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD，进而可得出∠FAE=∠FCD，结合∠AFE=∠CFD〔对顶角相等〕可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出==2，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合CF=•AC，即可求出CF的长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，∴∠FAE=∠FCD，又∵∠AFE=∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴==2．∵AC==5，∴CF=•AC=×5=．故答案为：．31．〔2022•包头〕如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，连接DF．假设S△AEF=1，那么S△ADF的值为．【分析】由3AE=2EB可设AE=2a、BE=3a，根据EF∥BC得=〔〕2=，结合S△AEF=1知S△ADC=S△ABC=，再由==知=，继而根据S△ADF=S△ADC可得答案．【解答】解：∵3AE=2EB，∴可设AE=2a、BE=3a，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴=〔〕2=〔〕2=，∵S△AEF=1，∴S△ABC=，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ADC=S△ABC=，∵EF∥BC，∴===，∴==，∴S△ADF=S△ADC=×=，故答案为：．32．〔2022•资阳〕：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么四边形BCED的面积为9 ．【分析】设四边形BCED的面积为x，那么S△ADE=12﹣x，由题意知DE∥BC且DE=BC，从而得=〔〕2，据此建立关于x的方程，解之可得．【解答】解：设四边形BCED的面积为x，那么S△ADE=12﹣x，∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，且DE=BC，∴△ADE∽△ABC，那么=〔〕2，即=，解得：x=9，即四边形BCED的面积为9，故答案为：9．33．〔2022•泰安〕?九章算术?是中国传统数学最重要的著作，在“勾股〞章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？〞用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步〔“步〞是古代的长度单位〕的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木〔即点D在直线AC上〕？请你计算KC的长为步．【分析】证明△CDK∽△DAH，利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质可求出CK的长．【解答】解：DH=100，DK=100，AH=15，∵AH∥DK，∴∠CDK=∠A，而∠CKD=∠AHD，∴△CDK∽△DAH，∴=，即=，∴CK=．答：KC的长为步．故答案为．34．〔2022•岳阳〕?九章算术?是我国古代数学名著，书中有以下问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？〞其意思为：“今有直角三角形，勾〔短直角边〕长为5步，股〔长直角边〕长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？〞该问题的答案是步．【分析】如图1，根据正方形的性质得：DE∥BC，那么△ADE∽△ACB，列比例式可得结论；如图2，同理可得正方形的边长，比拟可得最大值．【解答】解：如图1，∵四边形CDEF是正方形，∴CD=ED，DE∥CF，设ED=x，那么CD=x，AD=12﹣x，∵DE∥CF，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∴，∴，x=，如图2，四边形DGFE是正方形，过C作CP⊥AB于P，交DG于Q，设ED=x，S△ABC=AC•BC=AB•CP，12×5=13CP，CP=，同理得：△CDG∽△CAB，∴，∴，x=，∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是〔步〕，故答案为：．35．〔2022•吉林〕如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB= 100 m．【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．【解答】解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，∴△ABD∽△ECD，∴，，解得：AB=〔米〕．故答案为：100．三．解答题〔共15小题〕36．〔2022•张家界〕如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为上一个动点〔不与A，B重合〕，射线PM与⊙O交于点N〔不与M重合〕〔1〕当M在什么位置时，△MAB的面积最大，并求岀这个最大值；〔2〕求证：△PAN∽△PMB．【分析】〔1〕当M在弧AB中点时，三角形MAB面积最大，此时OM与AB垂直，求出此时三角形面积最大值即可；〔2〕由同弧所对的圆周角相等及公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证．【解答】解：〔1〕当点M在的中点处时，△MAB面积最大，此时OM⊥AB，∵OM=AB=×4=2，∴S△ABM=AB•OM=×4×2=4；〔2〕∵∠PMB=∠PAN，∠P=∠P，∴△PAN∽△PMB．37．〔2022•株洲〕如图，在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM=AN．〔1〕求证：Rt△ABM≌Rt△AND；〔2〕线段MN与线段AD相交于T，假设AT=，求tan∠ABM的值．【分析】〔1〕利用HL证明即可；〔2〕想方法证明△DNT∽△AMT，可得由AT=，推出，在Rt△ABM中，tan∠ABM=．【解答】解：〔1〕∵AD=AB，AM=AN，∠AMB=∠AND=90°∴Rt△ABM≌Rt△AND〔HL〕．〔2〕由Rt△ABM≌Rt△AND易得：∠DAN=∠BAM，DN=BM∵∠BAM+∠DAM=90°；∠DAN+∠ADN=90°∴∠DAM=∠AND∴ND∥AM∴△DNT∽△AMT∴∵AT=，∴∵Rt△ABM∴tan∠ABM=．38．〔2022•大庆〕如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点〔不与O，B重合〕，作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．〔1〕求证：AC平分∠FAB；〔2〕求证：BC2=CE•CP；〔3〕当AB=4且=时，求劣弧的长度．【分析】〔1〕根据等角的余角相等证明即可；〔2〕只要证明△CBE∽△CPB，可得=解决问题；〔3〕作BM⊥PF于M．那么CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性质求出BM，求出tan∠BCM的值即可解决问题；【解答】〔1〕证明：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，∵∠BCP=∠BCE，∴∠ACF=∠ACE，即AC平分∠FAB．〔2〕证明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP=∠CEB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，∴∠BCE=∠BCP，∵CD是直径，∴∠CBD=∠CBP=90°，∴△CBE∽△CPB，∴=，∴BC2=CE•CP；〔3〕解：作BM⊥PF于M．那么CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，∵∠MCB+∠P=90°，∠P+∠PBM=90°，∴∠MCB=∠PBM，∵CD是直径，BM⊥PC，∴∠CMB=∠BMP=90°，∴△BMC∽△PMB，∴=，∴BM2=CM•PM=3a2，∴BM=a，∴tan∠BCM==，∴∠BCM=30°，∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∠BOD=120°∴的长==π．39．〔2022•江西〕如图，在△ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出∠D=∠CBD，求出BC=CD=4，证△AEB∽△CED，得出比例式，求出AE=2CE，即可得出答案．【解答】解：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠D=∠ABD，∴∠D=∠CBD，∴BC=CD，∵BC=4，∴CD=4，∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴=，∴=，∵AC=6=AE+CE，∴AE=4．40．〔2022•上海〕：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．〔1〕求证：EF=AE﹣BE；〔2〕联结BF，如课=．求证：EF=EP．【分析】〔1〕利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，那么可判断△ABE≌△DAF，那么BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；〔2〕利用=和AF=BE得到=，那么可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP．【解答】证明：〔1〕∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA=∠AFD=90°，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF，∴BE=AF，∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE；〔2〕如图，∵=，而AF=BE，∴=，∴=，∴Rt△BEF∽Rt△DFA，而∠1=∠3，∴∠4=∠1，∵∠5=∠1，∴∠4=∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．41．〔2022•东营〕如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．〔1〕求证：∠CAD=∠BDC；〔2〕假设BD=AD，AC=3，求CD的长．【分析】〔1〕连接OD，由OB=OD可得出∠OBD=∠ODB，根据切线的性质及直径所对的圆周角等于180°，利用等角的余角相等，即可证出∠CAD=∠BDC；〔2〕由∠C=∠C、∠CAD=∠CDB可得出△CDB∽△CAD，根据相似三角形的性质结合BD=AD、AC=3，即可求出CD的长．【解答】〔1〕证明：连接OD，如下图．∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．∵CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，∴∠ODB+∠BDC=90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠OBD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BDC．〔2〕解：∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB，∴△CDB∽△CAD，∴=．∵BD=AD，∴=，∴=，又∵AC=3，∴CD=2．42．〔2022•南京〕如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．〔1〕求证：△AFG∽△DFC；〔2〕假设正方形ABCD的边长为4，AE=1，求⊙O的半径．【分析】〔1〕欲证明△AFG∽△DFC，只要证明∠FAG=∠FDC，∠AGF=∠FCD；〔2〕首先证明CG是直径，求出CG即可解决问题；【解答】〔1〕证明：在正方形ABCD中，∠ADC=90°，∴∠CDF+∠ADF=90°，∵AF⊥DE，∴∠AFD=90°，∴∠DAF+∠ADF=90°，∴∠DAF=∠CDF，∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，∴∠FCD+∠DGF=180°，∵∠FGA+∠DGF=180°，∴∠FGA=∠FCD，∴△AFG∽△DFC．〔2〕解：如图，连接CG．∵∠EAD=∠AFD=90°，∠EDA=∠ADF，∴△EDA∽△ADF，∴=，即=，∵△AFG∽△DFC，∴=，∴=，在正方形ABCD中，DA=DC，∴AG=EA=1，DG=DA﹣AG=4﹣1=3，∴CG==5，∵∠CDG=90°，∴CG是⊙O的直径，∴⊙O的半径为．43．〔2022•滨州〕如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证：〔1〕直线DC是⊙O的切线；〔2〕AC2=2AD•AO．【分析】〔1〕连接OC，由OA=OC、AC平分∠DAB知∠OAC=∠OCA=∠DAC，据此知OC∥AD，根据AD⊥DC即可得证；〔2〕连接BC，证△DAC∽△CAB即可得．【解答】解：〔1〕如图，连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠OAC=∠DAC，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，又∵AD⊥CD，∴OC⊥DC，∴DC是⊙O的切线；〔2〕连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴AB=2AO，∠ACB=90°，∵AD⊥DC，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴=，即AC2=AB•AD，∵AB=2AO，∴AC2=2AD•AO．44．〔2022•十堰〕如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．〔1〕求证：FG是⊙O的切线；〔2〕假设tanC=2，求的值．【分析】〔1〕欲证明FG是⊙O的切线，只要证明OD⊥FG；〔2〕由△GDB∽△GAD，设BG=a．可得===，推出DG=2a，AG=4a，由此即可解决问题；【解答】〔1〕证明：连接AD、OD．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AC=AB，∴CD=BD，∵OA=OB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴FG是⊙O的切线．〔2〕解：∵tanC==2，BD=CD，∴BD：AD=1：2，∵∠GDB+∠ODB=90°，∠ADO+∠ODB=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠GDB=∠GAD，∵∠G=∠G，∴△GDB∽△GAD，设BG=a．∴===，∴DG=2a，AG=4a，∴BG：GA=1：4．45．〔2022•杭州〕如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．〔1〕求证：△BDE∽△CAD．〔2〕假设AB=13，BC=10，求线段DE的长．【分析】〔1〕想方法证明∠B=∠C，∠DEB=∠ADC=90°即可解决问题；〔2〕利用面积法：•AD•BD=•AB•DE求解即可；【解答】解：〔1〕∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠B=∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB=∠ADC，∴△BDE∽△CAD．〔2〕∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD===12，∵•AD•BD=•AB•DE，∴DE=．46．〔2022•烟台〕如图，D，E分别为△ABC的边AB，BC上两点，点A，C，E在⊙D上，点B，D在⊙E上．F为上一点，连接FE并延长交AC的延长线于点N，交AB于点M．〔1〕假设∠EBD为α，请将∠CAD用含α的代数式表示；〔2〕假设EM=MB，请说明当∠CAD为多少度时，直线EF为⊙D的切线；〔3〕在〔2〕的条件下，假设AD=，求的值．【分析】〔1〕根据同圆的半径相等和等边对等角得：∠EDB=∠EBD=α，∠CAD=∠ACD，∠DCE=∠DEC=2α，再根据三角形内角和定理可得结论；〔2〕设∠MBE=x，同理得：∠EMB=∠MBE=x，根据切线的性质知：∠DEF=90°，所以∠CED+∠MEB=90°，同理根据三角形内角和定理可得∠CAD=45°；〔3〕由〔2〕得：∠CAD=45°；根据〔1〕的结论计算∠MBE=30°，证明△CDE是等边三角形，得CD=CE=DE=EF=AD=，求EM=1，MF=EF﹣EM=﹣1，根据三角形内角和及等腰三角形的判定得：EN=CE=，代入化简可得结论．【解答】解：〔1〕连接CD、DE，⊙E中，∵ED=EB，∴∠EDB=∠EBD=α，∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2α，⊙D中，∵DC=DE=AD，∴∠CAD=∠ACD，∠DCE=∠DE C=2α，△ACB中，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°，∴∠CAD==；〔2〕设∠MBE=x，∵EM=MB，∴∠EMB=∠MBE=x，当EF为⊙D的切线时，∠DEF=90°，∴∠CED+∠MEB=90°，∴∠CED=∠DCE=90°﹣x，△ACB中，同理得，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°，∴2∠CAD=180°﹣90∴=90∴，∴∠CAD=45°；〔3〕由〔2〕得：∠CAD=45°；由〔1〕得：∠CAD=；∴∠MBE=30°，∴∠CED=2∠MBE=60°，∵CD=DE，∴△CDE是等边三角形，∴CD=CE=DE=EF=AD=，Rt△DEM中，∠EDM=30°，DE=，∴EM=1，MF=EF﹣EM=﹣1，△ACB中，∠NCB=45°+30°=75°，△CNE中，∠CEN=∠BEF=30°，∴∠CNE=75°，∴∠CNE=∠NCB=75°，∴EN=CE=，∴===2+．47．〔2022•陕西〕周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC=1m，DE=1.5m，BD=8.5m．测量示意图如下图．请根据相关测量信息，求河宽AB．【分析】由BC∥DE，可得=，构建方程即可解决问题．【解答】解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴=，∴=，∴AB=17〔m〕，经检验：AB=17是分式方程的解，答：河宽AB的长为17米．48．〔2022•济宁〕如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．〔1〕猜测DG与CF的数量关系，并证明你的结论；〔2〕过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，假设正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．【分析】〔1〕结论：CF=2DG．只要证明△DEG∽△CDF即可；〔2〕作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK；【解答】解：〔1〕结论：CF=2DG．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，∵DE=AE，∴AD=CD=2DE，∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴==，∴CF=2DG．〔2〕作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，DH==，∴EH=2DH=2，∴HM==2，∴DM=CN=NK==1，在Rt△DCK中，DK===2，∴△PCD的周长的最小值为10+2．49．〔2022•聊城〕如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF．〔1〕求证：AE=BF．〔2〕假设正方形边长是5，BE=2，求AF的长．【分析】〔1〕根据ASA证明△ABE≌△BCF，可得结论；〔2〕根据〔1〕得：△ABE≌△BCF，那么CF=BE=2，最后利用勾股定理可得AF的长．【解答】〔1〕证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BHE=90°，∴∠AEB+∠EBH=90°，∴∠BAE=∠EBH，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF〔ASA〕，∴AE=BF；〔2〕解：∵AB=BC=5，由〔1〕得：△ABE≌△BCF，∴CF=BE=2，∴DF=5﹣2=3，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=5，∠ADF=90°，由勾股定理得：AF====．50．〔2022•乌鲁木齐〕如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B．〔1〕求证：直线BC是⊙O的切线；〔2〕假设AC=2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．【分析】〔1〕根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得OD∥AC，证明OD⊥CB，可得结论；〔2〕在Rt△ACD中，设CD=a，那么AC=2a，AD=a，证明△ACD∽△ADE，表示a=，由平行线分线段成比例定理得：，代入可得结论．【解答】〔1〕证明：连接OD，∵AG是∠HAF的平分线，∴∠CAD=∠BAD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∵∠ACD=90°，∴∠ODB=∠ACD=90°，即OD⊥CB，∵D在⊙O上，∴直线BC是⊙O的切线；〔4分〕〔2〕解：在Rt△ACD中，设CD=a，那么AC=2a，AD=a，连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°，由∠CAD=∠BAD，∠ACD=∠ADE=90°，∴△ACD∽△ADE，∴，即，∴a=，由〔1〕知：OD∥AC，∴，即，∵a=，解得BD=r．〔10分〕。
2022年全国各省中考数学真题分类解析相交与平行
1901
（2022•随州中考）如图，直线 l1∥l2，直线 l 与 l1，l2 相交，若图中∠1＝60°，则∠2 为（
A．30° B．40° C．50° D．60°
）
【解析】选 D.∵l1∥l2，∴∠1＝∠2，∵∠1＝60°，∴∠2＝60°.
B、∠1 和∠3 是同位角，故 B 正确；C、∠2 和∠3 是内错角，故 C 错误；D、∠3 和∠4 是邻补角，故 D 错误．
1901
（2022•毕节中考）如图，m∥n，其中∠1＝40°，则∠2 的度数为（
）
A．130° B．140° C．150° D．160°
【解析】选 B．如图，
∵m∥n，∠1＝40°，∴∠3＝∠1＝40°，
∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠1＝50°，
1901
（2022•泸州中考）如图，直线 a∥b，直线 c 分别交 a，b 于点 A，C，点 B 在直线 b 上，AB⊥AC，若∠1＝130°，
则∠2 的度数是（
A．30°
）
B．40°
C．50°
D．70°
【解析】选 B．如图所示，
∵直线 a∥b，∴∠1＝∠DAC，
1901
（2022•雅安中考）如图，已知直线 a∥b，直线 c 与 a，b 分别交于点 A，B，若∠1＝120°，则∠2＝（
A．60° B．120° C．30° D．15°
【解析】选 A．∵∠1＝120°，∴它的对顶角是 120°，∵a∥b，∴∠2＝60°．
1901
（2022•北部湾中考）如图，直线 a∥b，∠1＝55°，则∠2 的度数是（
2022年全国各省中考数学真题分类解析阅读理解问题
答案：（0， ），y ；
（2）∵a ，∴ 4，
∴准线为：y＝﹣4，∴点P的纵坐标为：2，∴ 2，
∴x＝±4，∴P（4，2）或（﹣4，2）；
（3）如图，
作AG⊥l于G，作BK⊥l于K，
∴AG＝AF＝4，BK＝BF，FH ，
∵BK∥FH∥AG，∴△CBK∽△CFH，△CBK∽△CAG，
故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；故②正确；
③在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变z，m，n的符号，加括号后只有加减两种运算，
∴2×2×2＝8种，所有可能的加括号的方法最多能得到8种不同的结果．
4901
（2022•娄底中考）若10x＝N，则称x是以10为底N的对数．记作：x＝lgN．
例如：抛物线y x2，其焦点坐标为F（0， ），准线方程为l：y ．其中MF＝MN，FH＝2OH＝1．
【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：（0， ），y ．
【技能训练】
（2）如图2所示，已知抛物线y x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
【能力提升】
（3）如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
②c＝3，d＝6或c＝6，d＝3，此时M＝4536或4563．
4903
（2022•鄂州中考）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0， ）的距离MF，始终等于它到定直线l：y 的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y 叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF ．
2022年全国各省中考数学真题分类解析一元二次方程
（2022•泰州中考）如图，在长为50m 、宽为38m 的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m 2，道路的宽应为多少？【解析】设路宽应为x 米根据等量关系列方程得：（50﹣2x ）（38﹣2x ）＝1260，解得：x ＝4或40，40不合题意，舍去，所以x ＝4.答：道路的宽应为4米．（2022·牡丹江中考）如图，直线MN 与x 轴，y 轴分别相交于A ，C 两点，分别过A ，C 两点作x 轴，y 轴的垂线相交于B 点，且OA ，OC （OA ＞OC ）的长分别是一元二次方程x 2﹣14x +48＝0的两个实数根．（1）求C 点坐标；（2）求直线MN 的解析式；（3）在直线MN 上存在点P ，使以点P ，B ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P 点的坐标．【解析】（1）解方程x 2﹣14x +48＝0得x 1＝6，x 2＝8．∵OA ，OC （OA ＞OC ）的长分别是一元二次方程x 2﹣14x +48＝0的两个实数根，∴OC ＝6，OA ＝8．∴C （0，6）；（2）设直线MN 的解析式是y ＝kx +b （k ≠0）．由（1）知，OA ＝8，则A （8，0）．∵点A 、C 都在直线MN 上，∴{8k +b =0b =6，解得，{k =−34b =6，∴直线MN 的解析式为y =−34x +6； （3）∵A （8，0），C （0，6），∴根据题意知B （8，6）．∵点P 在直线MN ：y =−34x +6上，∴设P （a ，−34a +6）当以点P ，B ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论： ①当PC ＝PB 时，点P 是线段BC 的中垂线与直线MN 的交点，则P 1（4，3）； ②当PC ＝BC 时，a 2+（−34a +6﹣6）2＝64，解得，a =±325，则P 2（−325，545），P 3（325，65）； ③当PB ＝BC 时，（a ﹣8）2+（34a ﹣6+6）2＝64，解得，a =25625，则−34a +6=−4225，∴P 4（25625，−4225）． 综上所述，符合条件的点P 有：P 1（4，3），P 2（−325，545），P 3（325，65），P 4（25625，−4225）．。
2022年全国各省中考数学真题分类解析反比例函数
（2022•怀化中考）如图，直线AB 交x 轴于点C ，交反比例函数y =a−1x（a ＞1）的图象于A 、B 两点，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为点D ，若S △BCD ＝5，则a 的值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【解析】选D ．设点B 的坐标为（a ，a−1a），∵S △BCD ＝5，且a ＞1，∴12×a ×a−1a =5，解得：a ＝11， 经检验，a ＝11是原分式方程的解.（2022•扬州中考）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y 与该校参加竞赛人数x 的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁（2022•德阳中考）一次函数y＝ax+1与反比例函数y=−ax在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．【解析】选B．分两种情况：（1）当a＞0，时，一次函数y＝ax+1的图象过第一、二、三象限，反比例函数y=−ax图象在第二、四象限，无选项符合；（2）当a＜0，时，一次函数y＝ax+1的图象过第一、二、四象限，反比例函数y=−ax图象在第一、三象限，故B选项正确．1501（2022•宿迁中考）如图，点A在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，则线段OB长的最小值是（）A．1 B．√2 C．2√2 D．4【解析】选C．∵三角形OAB是等腰直角三角形，∴当OB最小时，OA最小，设A点坐标为（a，2a ），∴OA=√a2+4a2，∵(a−2a )2≥0，即：a2+4a2−4≥0，∴a2+4a2≥4，∴当a2=4a2时，OA有最小值，解得a1=√2，a2=−√2（舍去），∴A点坐标为（√2，√2），∴OA＝2，∵三角形OAB是等腰直角三角形，OB为斜边，∴OB=√2OA＝2√2．（2022•十堰中考）如图，正方形ABCD 的顶点分别在反比例函数y =k 1x（k 1＞0）和y =k2x（k 2＞0）的图象上．若BD ∥y 轴，点D 的横坐标为3，则k 1+k 2＝（ ）A ．36B ．18C ．12D ．9【解析】选B ．连接AC 交BD 于E ，延长BD 交x 轴于F ，连接OD 、OB ，如图：∵四边形ABCD 是正方形，∴AE ＝BE ＝CE ＝DE ， 设AE ＝BE ＝CE ＝DE ＝m ，D （3，a ），∵BD ∥y 轴，∴B （3，a +2m ），A （3+m ，a +m ）， ∵A ，B 都在反比例函数y =k 1x（k 1＞0）的图象上，∴k 1＝3（a +2m ）＝（3+m ）（a +m ）， ∵m ≠0，∴m ＝3﹣a ，∴B （3，6﹣a ）， ∵B （3，6﹣a ）在反比例函数y =k 1x（k 1＞0）的图象上，D （3，a ）在y =k 2x（k 2＞0）的图象上，∴k 1＝3（6﹣a ）＝18﹣3a ，k 2＝3a ， ∴k 1+k 2＝18﹣3a +3a ＝18.（2022•娄底中考）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点P （m ，1）、Q （1，m ）（m ＞0且m ≠1），过点P 、Q 的直线与两坐标轴相交于A 、B 两点，连接OP 、OQ ，则下列结论中成立的有（ ）①点P 、Q 在反比例函数y =mx 的图象上； ②△AOB 为等腰直角三角形； ③0°＜∠POQ ＜90°；④∠POQ 的值随m 的增大而增大．A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③【解析】选D ．∵点P （m ，1）、Q （1，m ）（m ＞0且m ≠1），则m •1＝1•m ＝m ， ∴点P 、Q 在反比例函数y =m x 的图象上，故①正确；设直线PQ 为y ＝kx +b ，则{mk +b =1k +b =m ，解得{k =−1b =m +1，∴直线PQ 为y ＝﹣x +m +1，当y ＝0时，x ＝m +1；当x ＝0时，y ＝m +1，∴A （m +1，0），B （0，m +1），∴OA ＝OB ， ∵∠AOB ＝90°，∴△AOB 为等腰直角三角形，故②正确；∵点P （m ，1）、Q （1，m ）（m ＞0且m ≠1），∴P 、Q 都在第一象限，∴0°＜∠POQ ＜90°，故③正确； ∵直线OP 为y =1m x ，直线OQ 为y ＝mx ，∴当0＜m ＜1时，∠POQ 的值随m 的增大而减小，当m ＞1时，∠POQ 的值随m 的增大而增大，故④错误.（2022•邵阳中考）如图是反比例函数y =1x的图象，点A （x ，y ）是反比例函数图象上任意一点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接OA ，则△AOB 的面积是（ ）A ．1B ．12C ．2D ．32【解析】选B ．∵A （x ，y ）， ∴OB ＝x ，AB ＝y ，（2022•贺州中考）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则y＝﹣kx+b与y=bx的图象为（）A．B．C．D．【解析】选A．根据一次函数y＝kx+b的图象位置，可判断k＞0、b＞0．所以﹣k＜0．再根据一次函数和反比例函数的图像和性质．（2022•龙东中考）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OBAD 的顶点B 在反比例函数y =3x的图象上，顶点A 在反比例函数y =k x的图象上，顶点D 在x 轴的负半轴上．若平行四边形OBAD 的面积是5，则k 的值是（ ）A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣2 【解析】选D ．设B （a ，3a ），∵四边形OBAD 是平行四边形，∴AB ∥DO ，∴A （ak3，3a），∴AB ＝a −ak3，∵平行四边形OBAD 的面积是5，∴3a（a −ak3）＝5，解得k ＝﹣2.（2022•内江中考）如图，在平面直角坐标系中，点M 为x 轴正半轴上一点，过点M 的直线l ∥y 轴，且直线l 分别与反比例函数y =8x和y =k x的图象交于P 、Q 两点．若S △POQ ＝15，则k 的值为（ ）A ．38B ．22C ．﹣7D ．﹣22【解析】选D ．设点P （a ，b ），Q （a ，ka ），则OM ＝a ，PM ＝b ，MQ =−ka ，∴PQ ＝PM +MQ ＝b −ka．（2022•桂林中考）如图，点A 在反比例函数y =kx的图象上，且点A 的横坐标为a （a ＜0），AB ⊥y 轴于点B ，若△AOB 的面积是3，则k 的值是 ﹣6 ．【解析】设点A 的坐标为（a ，ka），∵△AOB 的面积是3，∴−a⋅ka2=3，解得k ＝﹣6，答案：﹣6．（2022•玉林中考）如图，点A 在双曲线y =kx（k ＞0，x ＞0）上，点B 在直线l ：y ＝mx ﹣2b （m ＞0，b ＞0）上，A 与B 关于x 轴对称，直线l 与y 轴交于点C ，当四边形AOCB 是菱形时，有以下结论： ①A （b ，√3b ）；②当b ＝2时，k ＝4√3 ；③m =√33；④S 四边形AOCB ＝2b 2； 则所有正确结论的序号是 ①②③ ．【解析】如图，①y＝mx﹣2b中，当x＝0时，y＝﹣2b，∴C（0，﹣2b），∴OC＝2b，∵四边形AOCB是菱形，∴AB＝OC＝OA＝2b，∵A与B关于x轴对称，∴AB⊥OD，AD＝BD＝b，∴OD=√(2b)2−b2=√3b，∴A（√3b，b）；故①正确；②当b＝2时，点A的坐标为（2√3，2），∴k＝2√3×2＝4√3，故②正确；③∵A（√3b，b），A与B关于x轴对称，∴B（√3b，﹣b），∵点B在直线y＝mx﹣2b上，∴√3bm﹣2b＝﹣b，∴m=√33，故③正确；④菱形AOCB的面积＝AB•OD＝2b•√3b＝2√3b2，故④不正确；所以本题结论正确的有：①②③.答案：①②③．（2022·安徽中考）如图，▱OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y=1x 的图象经过点C，y=kx（k≠0）的图象经过点B．若OC＝AC，则k＝ 3 ．【解析】由题知，反比例函数y=1x的图象经过点C，设C点坐标为（a，1a），作CH⊥OA于H，过A点作AG⊥BC于G，∵四边形OABC是平行四边形，OC＝AC，∴OH＝AH，CG＝BG，四边形HAGC是矩形，∴OH＝CG＝BG＝a，即B（3a，1a），∵y=kx（k≠0）的图象经过点B，∴k＝3a•1a=3，答案：3．（2022•江西中考）已知点A在反比例函数y=12（x＞0）的图象上，点B在x轴正半轴上，若△OAB为等腰三x角形，且腰长为5，则AB的长为5或2√5或√10．【解析】当AO＝AB时，AB＝5；当AB＝BO时，AB＝5；当OA＝OB时，设A（a，12）（a＞0），B（5，0），a∵OA＝5，)2=5，∴√a2+(12a解得：a1＝3，a2＝4，∴A（3，4）或（4，3），∴AB=√(3−5)2+42=2√5或AB=√(4−5)2+32=√10；综上所述，AB的长为5或2√5或√10．答案：5或2√5或√10．（2022•绍兴中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y=k（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是 6 ．x【解析】过点F作FG⊥x轴，DQ⊥x轴，FH⊥y轴，根据题意可知，AC＝OE＝BD，设AC＝OE＝BD＝a，∴四边形ACEO的面积为4a，∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，∴FG为△EDQ的中位线，∴FG =12DQ ＝2，EG =12EQ =32，∴四边形HFGO 的面积为2（a +32）， ∴k ＝4a ＝2（a +32），解得：a =32，∴k ＝6． 答案：6．（2022•舟山中考）如图，在直角坐标系中，△ABC 的顶点C 与原点O 重合，点A 在反比例函数y =kx （k ＞0，x ＞0）的图象上，点B 的坐标为（4，3），AB 与y 轴平行，若AB ＝BC ，则k ＝ 32 ．【解析】∵点B 的坐标为（4，3），C （0，0），∴BC =√42+32=5，∴AB ＝BC ＝5， ∵AB 与y 轴平行，∴A （4，8），把A （4，8）代入y =kx 得：8=k4，解得k ＝32. 答案：32．（2022•株洲中考）如图所示，矩形ABCD 顶点A 、D 在y 轴上，顶点C 在第一象限，x 轴为该矩形的一条对称轴，且矩形ABCD 的面积为6．若反比例函数y =kx的图象经过点C ，则k 的值为 3 ．【解析】设BC 交x 轴于E ，如图：∵x 轴为矩形ABCD 的一条对称轴，且矩形ABCD 的面积为6， ∴四边形DOEC 是矩形，且矩形DOEC 面积是3， 设C （m ，n ），则OE ＝m ，CE ＝n ， ∵矩形DOEC 面积是3， ∴mn ＝3，∵C 在反比例函数y =kx的图象上，∴n =km，即k ＝mn ，（2022•凉山州中考）如图，点A在反比例函数y=k x（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB 的面积为3，则k＝6．【解析】由题知，△OAB的面积为3，点A在反比例函数y=k x（x＞0）的图象上，∴12OB•AB＝3，即OB•AB＝6，∴k＝6，答案：6（2022•湖州中考）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO＝3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y=1x，则图象经过点D的反比例函数的解析式是y=−3x．【解析】如图，过点C作CT⊥y轴于点T，过点D作DH⊥CT交CT的延长线于点H．∵tan∠ABO=AOOB=3，∴可以假设OB＝a，OA＝3a，∵四边形ABCD是正方形，（2022•宁波中考）如图，四边形OABC 为矩形，点A 在第二象限，点A 关于OB 的对称点为点D ，点B ，D都在函数y =6√2x（x ＞0）的图象上，BE ⊥x 轴于点E ．若DC 的延长线交x 轴于点F ，当矩形OABC 的面积为9√2时，EFOE的值为12，点F 的坐标为 （3√32，0） ．【解析】如图，作DG ⊥x 轴于G ，连接OD ，设BC 和OD 交于I ， 设点B （b ，6√2b ），D （a ，6√2a），【解析】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图，∵△OMN是边长为10的等边三角形，∴OM＝ON＝MN＝10，∠MON＝∠M＝∠MNO＝60°，设OC＝b，则BC=√3b，OB＝2b，∴BM＝OM﹣OB＝10﹣2b，B（b，√3b），∵∠M＝60°，AB⊥OM，∴AM＝2BM＝20﹣2b，∴AN＝MN﹣AM＝10﹣（20﹣2b）＝2b﹣10，∵∠AND＝60°，∴DN=12AN=b﹣5，AD=√32AN=√3b﹣5√3，∴OD＝ON﹣DN＝15﹣b，∴A（15﹣b，√3b﹣5√3），∵A、B两点都在反比例函数数y=kx（x＞0）的图象上，∴k＝（15﹣b）（√3b﹣5√3）＝b•√3b，解得b＝3或5，当b＝5时，OB＝2b＝10，此时B与M重合，不符题意，舍去，∴b＝3，∴k＝b•√3b＝9√3.答案：9√3．（2022•广元中考）如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数y=kx的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是﹣4 ．【解析】过B作BD⊥OA于D，∵点B 在反比例函数y =kx 的图象上，∴设B （﹣m ，n ），点B 在第二象限内，∵△OAB 的面积为6，∴OA =12n，∴A （−12n，0），∵点C 是AB 的中点，∴C （−mn+122n，n2），∵点C 在反比例函数y =kx 的图象上，∴−mn+122n•n 2=−mn ，∴﹣mn ＝﹣4，∴k ＝﹣4.答案：﹣4．（2022•山西中考）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p （Pa ）是它的受力面积S （m 2）的反比例函数，其函数图象如图所示．当S ＝0.25m 2时，该物体承受的压强p 的值为 400 Pa ．【解析】设p =kS ，∵函数图象经过（0.1，1000），∴k ＝100，∴p =100S，当S ＝0.25m 2时，物体所受的压强p =1000.25=400（Pa ）. 答案：400（2022•随州中考）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝x +1与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数y =kx 的图象在第一象限交于点C ，若AB ＝BC ，则k 的值为 2 ．【解析】过点C 作CH ⊥x 轴于点H ．（2022•乐山中考）如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y=kx（k＞0）上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE=32，则k＝ 3 ．【解析】设BC与x轴交于点E，连接DE、OD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴S△ODE＝S△EBC，S△ADE＝S△ABC，∴S△OAD＝S△ABE=3 2，∴k＝3，答案：3．（2022•毕节中考）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A ，B 分别在x 轴、y 轴上，对角线交于点E ，反比例函数y =kx （x ＞0，k ＞0）的图象经过点C ，E ．若点A （3，0），则k 的值是 4 ．【解析】设C （m ，km ），∵四边形ABCD 是正方形，∴点E 为AC 的中点，∴E （m+32，k 2m），∵点E 在反比例函数y =kx上，∴m+32×k 2m=k ，∴m ＝1，作CH ⊥y 轴于H ，∴CH ＝1，∵四边形ABCD 是正方形，∴BA ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠OBA ＝∠HCB ， ∵∠AOB ＝∠BHC ，∴△AOB ≌△BHC （AAS ）， ∴BH ＝OA ＝3，OB ＝CH ＝1，∴C （1，4），∴k ＝4，（2022•黔东南州中考）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，直角顶点A在y轴上，双曲线y=kx（k≠0）经过AC边的中点D，若BC＝2√2，则k＝−32．【解析】如图，过点A作AE⊥BC于E，∵等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，∴CE＝BE，∴AE=12BC=√2，∴A（0，√2），C（−√2，2√2），∵D是AC的中点，∴D（−√22，3√22），∴k=−√22×3√22=−32．答案：−3 2．（2022•齐齐哈尔中考）如图，点A是反比例函数y=kx（x＜0）图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k＝﹣4．【解析】连接OA，如图所示：∵AB⊥y轴，∴AB∥OC，∵D是AB的中点，∴S△ABC＝2S△ADO，（2022•鄂州中考）如图，已知直线y＝2x与双曲线y=kx（k为大于零的常数，且x＞0）交于点A，若OA=√5，则k的值为2．【解析】设A（x，y），∵点A在直线y＝2x上，且OA=√5，∴A点坐标为（1，2），∵点A在双曲线y=kx（x＞0）上，∴2＝k，答案：2．（2022•威海中考）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．若反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点C，则k的值为24．【解析】作CE⊥OB于E，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠OBA+∠CBE＝90°，∵∠OBA+∠OAB＝90°，∴∠OAB＝∠CBE，∵∠AOB＝∠CEB，∴△AOB≌△BEC（AAS），∴OA＝BE，OB＝CE，∵点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．∴OA＝2，OB＝4，∴BE＝2，CE＝4，∴C（4，6），∵反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点C，∴k＝4×6＝24，答案：24．（2022•梧州中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2=mx的图象交于点A（﹣2，2），B（n，﹣1）．当y1＜y2时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞4．【解析】∵反比例函数y2=mx的图象经过点A（﹣2，2），B（n，﹣1），∴﹣1×n＝（﹣2）×2，∴n＝4．∴B（4，﹣1）．由图象可知：第二象限中点A的右侧部分和第四象限中点B的部分满足y1＜y2，∴当y1＜y2时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞4．答案：﹣2＜x＜0或x＞4．【解析】∵反比例函数y=kx（k＞0）在第一象限的图象上有A（1，6），B（3，b）两点，∴1×6＝3b，∴b＝2，∴B（3，2），设直线AB的解析式为y＝mx+n，{m+n=63m+n=2，解得：{m=−2n=8，∴y＝﹣2x+8，令y＝0，﹣2x+8＝0，解得：x＝4，∴C（4，0），∵AB=√(1−3)2+(6−2)2=2√5，BC=√(3−4)2+(2−0)2=√5，AD•BC＝AB•DO，∴AD•√5=2√5•DO，∴AD＝2DO，∴S1＝2S2，∴S1﹣S2＝S2，∵S1+S2＝S△AOC，∴S1﹣S2＝S2=13S△AOC=13×12×4×6＝4．答案：4．（2022•内江中考）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点P（2，3），与反比例函数y=2x的图象在第一象限交于点Q（m，n）．若一次函数y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是23＜m＜2．【解析】过点P作P A∥x轴，交双曲线与点A，过点P作PB∥y轴，交双曲线与点B，如图，∵P （2，3），反比例函数y =2x ， ∴A （23，3），B （2，1）．∵一次函数y 的值随x 值的增大而增大， ∴点Q （m ，n ）在A ，B 之间， ∴23＜m ＜2．答案：23＜m ＜2．（2022•武威中考）如图，B ，C 是反比例函数y =kx （k ≠0）在第一象限图象上的点，过点B 的直线y ＝x ﹣1与x 轴交于点A ，CD ⊥x 轴，垂足为D ，CD 与AB 交于点E ，OA ＝AD ，CD ＝3．（1）求此反比例函数的表达式； （2）求△BCE 的面积．【解析】（1）当y ＝0时，即x ﹣1＝0，∴x ＝1， 即直线y ＝x ﹣1与x 轴交于点A 的坐标为（1，0）， ∴OA ＝1＝AD ，又∵CD ＝3，∴点C 的坐标为（2，3）， 而点C （2，3）在反比例函数y =kx 的图象上， ∴k ＝2×3＝6，∴反比例函数的图象为y =6x ； （2）方程组{y =x −1y =6x的正数解为{x =3y =2，∴点B 的坐标为（3，2）， 当x ＝2时，y ＝2﹣1＝1，∴点E 的坐标为（2，1），即DE ＝1， ∴EC ＝3﹣1＝2，∴S △BCE =12×2×（3﹣2）＝1.（2022•连云港中考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝ax +b （a ≠0）的图象与反比例函数y =kx （k ≠0）的图象交于P 、Q 两点．点P （﹣4，3），点Q 的纵坐标为﹣2． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）求△POQ 的面积．【解析】（1）将点P （﹣4，3）代入反比例函数y =kx 中，解得：k ＝﹣4×3＝﹣12， ∴反比例函数的表达式为：y =−12x ；当y ＝﹣2时，﹣2=−12x ，∴x ＝6，∴Q （6，﹣2），将点P （﹣4，3）和Q （6，﹣2）代入y ＝ax +b 中得：{−4a +b =36a +b =−2，解得：{a =−12b =1，∴一次函数的表达式为：y =−12x +1；（2）如图，y =−12x +1，当x ＝0时，y ＝1，∴OM ＝1，∴S △POQ ＝S △POM +S △OMQ =12×1×4+12×1×6＝2+3＝5．（2022•江西中考 ）如图，点A （m ，4）在反比例函数y =kx （x ＞0）的图象上，点B 在y 轴上，OB ＝2，将线段AB 向右下方平移，得到线段CD ，此时点C 落在反比例函数的图象上，点D 落在x 轴正半轴上，且OD ＝1． （1）点B 的坐标为 （0，2） ，点D 的坐标为 （1，0） ，点C 的坐标为 （m +1，6） （用含m 的式子表示）；（2）求k 的值和直线AC 的表达式．【解析】（1）由题意得：B （0，2），D （1，0），由平移可知：线段AB 向下平移2个单位，再向右平移1个单位，（2022•遂宁中考）已知一次函数y 1＝ax ﹣1（a 为常数）与x 轴交于点A ，与反比例函数y 2=6x 交于B 、C 两点，B 点的横坐标为﹣2．（1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；（2）求出点C 的坐标，并根据图象写出当y 1＜y 2时对应自变量x 的取值范围； （3）若点B 与点D 关于原点成中心对称，求出△ACD 的面积．【解析】（1）∵B 点的横坐标为﹣2且在反比例函数y 2=6x 的图象上，∴y 2=6−2=−3， ∴点B 的坐标为（﹣2，﹣3），∵点B （﹣2，﹣3）在一次函数y 1＝ax ﹣1的图象上， ∴﹣3＝a ×（﹣2）﹣1，解得a ＝1， ∴一次函数的解析式为y ＝x ﹣1，∵y ＝x ﹣1，∴x ＝0时，y ＝﹣1；x ＝1时，y ＝0； ∴图象过点（0，﹣1），（1，0）， 函数图象如右图所示；（2）{y =x −1y =6x，解得{x =3y =2或{x =−2y =−3，∵一次函数y 1＝ax ﹣1（a 为常数）与反比例函数y 2=6x 交于B 、C 两点，B 点的横坐标为﹣2， ∴点C 的坐标为（3，2），由图象可得，当y 1＜y 2时对应自变量x 的取值范围是x ＜﹣2或0＜x ＜3； （3）∵点B （﹣2，﹣3）与点D 关于原点成中心对称，∴点D （2，3），作DE ⊥x 轴交AC 于点E ， 将x ＝2代入y ＝x ﹣1，得y ＝1， ∴S △ACD ＝S △ADE +S △DEC =(3−1)×(2−1)2+(3−1)×(3−2)2=2，即△ACD 的面积是2．（2022•自贡中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y =nx 的图象相交于A （﹣1，2），B （m ，﹣1）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）过点B 作直线l ∥y 轴，过点A 作AD ⊥l 于点D ，点C 是直线l 上一动点，若DC ＝2DA ，求点C 的坐标．【解析】（1）∵A （﹣1，2）在反比例函数y =nx 的图象上，∴n ＝2×（﹣1）＝﹣2， ∴其函数解析式为y =−2x ；∵B （m ，﹣1）在反比例函数的图象上， ∴﹣m ＝﹣2，∴m ＝2，∴B （2，﹣1）．∵A （﹣1，2），B （2，﹣1）两点在一次函数y ＝kx +b 的图象上， ∴{−k +b =22k +b =−1，解得{k =−1b =1， ∴一次函数的解析式为：y ＝﹣x +1； （2）∵直线l ∥y 轴，AD ⊥l ， ∴AD ＝3，D （2，2）， ∵DC ＝2DA ，∴DC ＝6，∵点C 是直线l 上一动点，∴C （2，8）或（2，﹣4）.【解析】（1）∵点C（2，2）在反比例函数y=kx （k≠0，x＞0）的图象上，∴2=k2，解得k＝4，∵BD＝1．∴点D的纵坐标为1，∵点D在反比例函数y=4x （k≠0，x＞0）的图象上，∴1=4x，解得x＝4，即点D的坐标为（4，1）；（2）∵点C（2，2），点D（4，1），点P在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），∴点P的横坐标x的取值范围是2≤x≤4．（2022•温州中考）已知反比例函数y=kx（k≠0）的图象的一支如图所示，它经过点（3，﹣2）．（1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．（2）求当y≤5，且y≠0时自变量x的取值范围．【解析】（1）把点（3，﹣2）代入y=kx （k≠0），得﹣2=k3，解得：k＝﹣6，∴反比例函数的表达式为y=−6x，补充其函数图像如下：（2）当y＝5时，−6x =5，解得：x=−65，∴当y≤5，且y≠0时，x≤−65或x＞0.（2）根据函数图象，直接写出不等式kx +b ＞4x 的解集；（3）若点C 是点B 关于y 轴的对称点，连接AC ，BC ，求△ABC 的面积．【解析】（1）∵反比例函数y =4x 的图象过点A （1，m ），B （n ，﹣2），∴4m =1，n =4−2， 解得m ＝4，n ＝﹣2，∴A （1，4），B （﹣2，﹣2）， ∵一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象过A 点和B 点， ∴{k +b =4−2k +b =−2，解得{k =2b =2， ∴一次函数的表达式为y ＝2x +2， 描点作图如下：（2）由（1）中的图象可得，不等式kx +b ＞4x 的解集为：﹣2＜x ＜0或x ＞1； （3）由题意作图如下：由图知△ABC 中BC 边上的高为6，BC ＝4，∴S △ABC =12×4×6=12．（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）观察图象，直接写出不等式kx +b ＜4x 的解集；（3）一次函数y ＝kx +b 的图象与x 轴交于点C ，连接OA ，求△OAC 的面积． 【解析】（1）∵（m ，4），（﹣2，n ）在反比例函数y =4x 的图象上， ∴4m ＝﹣2n ＝4，解得m ＝1，n ＝﹣2，∴A （1，4），B （﹣2，﹣2），把（1，4），（﹣2，﹣2）代入y ＝kx +b 中得{k +b =4−2k +b =−2，解得{k =2b =2，∴一次函数解析式为y ＝2x +2．画出函数y ＝2x +2图象如图；（2）由图象可得当0＜x ＜1或x ＜﹣2时，直线y ＝﹣2x +6在反比例函数y =4x 图象下方， ∴kx +b ＜4x 的解集为x ＜﹣2或0＜x ＜1．（3）把y ＝0代入y ＝2x +2得0＝2x +2，解得x ＝﹣1，∴点C 坐标为（﹣1，0），∴S △AOC =12×1×4=2．（2022•株洲中考）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在函数y 1=2x（x ＜0）、y 2=kx （x ＞0，k＞0）的图象上，点C 在第二象限内，AC ⊥x 轴于点P ，BC ⊥y 轴于点Q ，连接AB 、PQ ，已知点A 的纵坐标为﹣2．（1）求点A 的横坐标；（2）记四边形APQB 的面积为S ，若点B 的横坐标为2，试用含k 的代数式表示S ．【解析】（1）∵点A 在函数y 1=2x（x ＜0）的图象上，点A 的纵坐标为﹣2，（2022•泰安中考）如图，点A 在第一象限，AC ⊥x 轴，垂足为C ，OA ＝2√5，tan A =12，反比例函数y =kx 的图象经过OA 的中点B ，与AC 交于点D ． （1）求k 值；（2）求△OBD 的面积．【解析】（1）∵∠ACO ＝90°，tan A =12， ∴AC ＝2OC ， ∵OA ＝2√5，由勾股定理得：（2√5）2＝OC 2+（2OC ）2， ∴OC ＝2，AC ＝4，∴A （2，4）， ∵B 是OA 的中点，∴B （1，2）， ∴k ＝1×2＝2； （2）当x ＝2时，y ＝1， ∴D （2，1），∴AD ＝4﹣1＝3， ∵S △OBD ＝S △OAD ﹣S △ABD =12×3×2−12×3×1＝1.5象限内的反比例函数图象上一点，Q 是平面内一点，当四边形ABPQ 是完美筝形时，求P ，Q 两点的坐标．【解析】（1）∵一次函数y ＝﹣2x +6的图象过点A ， ∴4＝﹣2a +6， ∴a ＝1， ∴点A （1，4），∵反比例函数y =kx的图象过点A （1，4）， ∴k ＝1×4＝4；∴反比例函数的解析式为：y =4x， 联立方程组可得：{y =4x y =−2x +6，解得：{x 1=1y 1=4，{x2=2y 2=2， ∴点B （2，2）；（2）如图，过点A 作AE ⊥y 轴于E ，过点C 作CF ⊥y 轴于F ，∴AE ∥CF ， ∴△AEH ∽△CFH ， ∴AE CF =AH CH =EH FH，当AH CH=12时，则CF ＝2AE ＝2，∴点C （﹣2，﹣2）， ∴BC =√(2+2)2+(2+2)2=4√2，当AH CH=2时，则CF =12AE =12，∴点C （−12，﹣8），∴BC =√(2+12)2+(2+8)2=5√172， 综上所述：BC 的长为4√2或5√172；（3）如图，当∠AQP ＝∠ABP ＝90°时，设直线AB 与y 轴交于点E ，过点B 作BF ⊥y 轴于F ，设BP 与y 轴的交点为N ，连接BQ ，AP 交于点H ，∵直线y ＝﹣2x +6与y 轴交于点E ，∴点E （0，6）， ∵点B （2，2），∴BF ＝OF ＝2，∴EF ＝4， ∵∠ABP ＝90°，∴∠ABF +∠FBN ＝90°＝∠ABF +∠BEF ， ∴∠BEF ＝∠FBN ， 又∵∠EFB ＝∠ABN ＝90°， ∴△EBF ∽△BNF ， ∴BF EF=FN BF，∴FN =2×24=1，∴点N （0，1）， ∴直线BN 的解析式为：y =12x +1，联立方程组得：{y =4x y =12x +1，解得：{x 1=−4y 1=−1，{x2=2y2=2， ∴点P （﹣4，﹣1），∴直线AP 的解析式为：y ＝x +3， ∵AP 垂直平分BQ ，∴设BQ 的解析式为y ＝﹣x +4，∴x +3＝﹣x +4，∴x =12，∴点H （12，72），∵点H 是BQ 的中点，点B （2，2）， ∴点Q （﹣1，5）．的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）∵一次函数y ＝x +1经过点A （m ，2）， ∴m +1＝2，∴m ＝1，∴A （1，2），∵反比例函数y =k x经过点（1，2），∴k ＝2， ∴反比例函数的解析式为y =2x；（2）由题意，得{y =x +1y =2x，解得{x =−2y =−1或{x =1y =2， ∴B （﹣2，﹣1），∵C （0，1），∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC =12×1×2+12×1×1＝1.5；（3）有三种情形，如图所示，满足条件的点P 的坐标为（﹣3，﹣3）或（﹣1，1）或（3，3）．（2022•德阳中考）如图，一次函数y =−32x +1与反比例函数y =kx的图象在第二象限交于点A ，且点A 的横坐标为﹣2．（1）求反比例函数的解析式；（2）点B 的坐标是（﹣3，0），若点P 在y 轴上，且△AOP 的面积与△AOB 的面积相等，求点P 的坐标．【解析】解（1）∵一次函数y =−32x +1与反比例函数y =kx的图象在第二象限交于点A ，点A 的横坐标为﹣2，当x ＝﹣2时，y =−32×（﹣2）+1＝4，∴A （﹣2，4），∴4=k−2，∴k ＝﹣8，（2022•泸州中考）如图，直线y =−32x +b 与反比例函数y =12x的图象相交于点A ，B ，已知点A 的纵坐标为6．（1）求b 的值；（2）若点C 是x 轴上一点，且△ABC 的面积为3，求点C 的坐标．【解析】（1）∵点A 在反比例函数y =12x上，且A 的纵坐标为6， ∴点A （2，6），∵直线y =−32x +b 经过点A ，∴6=−32×2+b ，∴b ＝9；（2）如图，设直线AB 与x 轴的交点为D ，设点C （a ，0），∵直线AB 与x 轴的交点为D ， ∴点D （6，0），由题意可得：{y =−32x +9y =12x ， ∴{x 1=2y1=6，{x2=4y 2=3， ∴点B （4，3），∵S △ACB ＝S △ACD ﹣S △BCD ，2022•南充中考）如图，直线AB 与双曲线交于A （1，6），B （m ，﹣2）两点，直线BO 与双曲线在第一象限交于点C ，连接AC ．（1）求直线AB 与双曲线的解析式． （2）求△ABC 的面积．【解析】（1）设双曲线的解析式为y =k x，∵点A （1，6）在该双曲线上，∴6=k 1，解得k ＝6， ∴y =6x，∵B （m ，﹣2）在双曲线y =6x上， ∴﹣2=6m，解得m ＝﹣3， 设直线AB 的函数解析式为y ＝ax +b ，{a +b =6−3a +b =−2，解得{a =2b =4，即直线AB 的解析式为y ＝2x +4；（2）作BG ∥x 轴，FG ∥y 轴，FG 和BG 交于点G ，作BE ∥y 轴，F A ∥x 轴，BE 和F A 交于点E ，如右图所示， 直线BO 的解析式为y ＝ax ，∵点B （﹣3，﹣2），∴﹣2＝﹣3a ，解得a =23， ∴直线BO 的解析式为y =23x ， {y =23xy =6x，解得{x =3y =2或{x =−3y =−2， ∴点C 的坐标为（3，2），∵点A （1，6），B （﹣3，﹣2），C （3，2）， ∴EB ＝8，BG ＝6，CG ＝4，CF ＝4，AF ＝2，AE ＝4，∴S △ABC ＝S 矩形EBGF ﹣S △AEB ﹣S △BGC ﹣S △AFC ＝8×6−4×82−6×42−4×22＝48﹣16﹣12﹣4＝16．（2022•杭州中考）设函数y 1=k 1x，函数y 2＝k 2x +b （k 1，k 2，b 是常数，k 1≠0，k 2≠0）． （1）若函数y 1和函数y 2的图象交于点A （1，m ），点B （3，1）， ①求函数y 1，y 2的表达式；②当2＜x ＜3时，比较y 1与y 2的大小（直接写出结果）．（2）若点C （2，n ）在函数y 1的图象上，点C 先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D ，点D 恰好落在函数y 1的图象上，求n 的值． 【解析】（1）把点B （3，1）代入y 1=k 1x ，3=k11，解得：k 1＝3， ∴函数y 1的表达式为y 1=3x，把点A （1，m ）代入y 1=3x ，解得m ＝3，把点A （1，3），点B （3，1）代入y 2＝k 2x +b ，{3=k 2+b 1=3k 2+b ，解得{k 2=−1b =4，∴函数y 2的表达式为y 2＝﹣x +4； （2）如图，当2＜x ＜3时，y 1＜y 2；（3）由平移，可得点D 坐标为（﹣2，n ﹣2）， ∴﹣2（n ﹣2）＝2n ，解得：n ＝1， ∴n 的值为1【解析】（1）把A （a ，2）的坐标代入y =23x ，即2=−23a ，解得a ＝﹣3，∴A （﹣3，2），又∵点A （﹣3，2）是反比例函数y =kx的图象上，∴k ＝﹣3×2＝﹣6，∴反比例函数的关系式为y =−6x；（2）∵点P （m ，n ）在该反比例函数图象上，且它到y 轴距离小于3， ∴﹣3＜m ＜0或0＜m ＜3， 当m ＝﹣3时，n =−6−3=2，当m ＝3时，n =−63=2， 由图象可知，若点P （m ，n ）在该反比例函数图象上，且它到y 轴距离小于3，n 的取值范围为n ＞2或n ＜﹣2（2022•黄冈中考）如图，已知一次函数y 1＝kx +b 的图象与函数y 2=mx（x ＞0）的图象交于A （6，−12），B （12，n ）两点，与y 轴交于点C ．将直线AB 沿y 轴向上平移t 个单位长度得到直线DE ，DE 与y 轴交于点F ．（1）求y 1与y 2的解析式；（2）观察图象，直接写出y 1＜y 2时x 的取值范围；（3）连接AD ，CD ，若△ACD 的面积为6，则t 的值为 2 ．【解析】（1）将点A （6，−12）代入y 2=mx 中，∴m ＝﹣3，∴y 2=−3x，∵B （12，n ）在y 2=−3x中，可得n ＝﹣6，∴B （12，﹣6）， 将点A 、B 代入y 1＝kx +b ，∴{12k +b =−66k +b =−12，解得{k =1b =−132，∴y 1＝x −132； （2）∵一次函数与反比例函数交点为A （6，−12），B （12，﹣6），∴12＜x ＜6时，y 1＜y 2；（3）在y 1＝x −132中，令x ＝0，则y =−132，∴C （0，−132），∵直线AB 沿y 轴向上平移t 个单位长度，∴直线DE 的解析式为y ＝x −132+t ，∴F 点坐标为（0，−132+t ），过点F 作GF ⊥AB 交于点G ，连接AF ，直线AB 与x 轴交点为（132，0），与y 轴交点C （0，−132），∴∠OCA ＝45°，∴FG ＝CG ，∵FC ＝t ，∴FG =√22t ， ∵A （6，−12），C （0，−132），∴AC ＝6√2， ∵AB ∥DF ，∴S △ACD ＝S △ACF ，∴12×6√2×√22t ＝6，∴t ＝2. 答案：2．（2022•宜宾中考）如图，一次函数y ＝ax +b 的图象与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，与反比例函数y =kx （x ＞0）的图象交于点C 、D ．若tan ∠BAO ＝2，BC ＝3AC ．（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△OCD 的面积．【解析】（1）在Rt △AOB 中，tan ∠BAO =OBOA =2， ∵A （4，0），∴OA ＝4，OB ＝8，∴B （0，8），∵A ，B 两点在直线y ＝ax +b 上，∴{b =84a +b =0，∴{a =−2b =8，∴直线AB 的解析式为y ＝﹣2x +8， 过点C 作CE ⊥OA 于点E ，∵BC ＝3AC ，∴AB ＝4AC ，∴CE ∥OB ，∴CEOB =ACAB =14，∴CE ＝2，∴C （3，2），∴k ＝3×2＝6，∴反比例函数的解析式为y =6x；（2）由{y =−2x +8y =6x，解得{x =1y =6或{x =2y =3，∴D （1，6），过点D 作DF ⊥y 轴于点F ，∴S △OCD ＝S △AOB ﹣S △BOD ﹣S △COA =12•OA •OB −12•OB •DF −12•OA •CE =12×4×8−12×8×1−12×4×2＝8（2022•广元中考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝x +b 的图象与函数y =kx （x ＞0）的图象相交于点B （1，6），并与x 轴交于点A ．点C 是线段AB 上一点，△OAC 与△OAB 的面积比为2：3．（1）求k 和b 的值；（2）若将△OAC 绕点O 顺时针旋转，使点C 的对应点C ′落在x 轴正半轴上，得到△OA ′C ′，判断点A ′是否在函数y =kx （x ＞0）的图象上，并说明理由．【解析】（1）∵函数y ＝x +b 的图像与函数y =kx （x ＞0）的图像相交于点B （1，6），∴6＝1+b ，6=k1，∴b ＝5，k ＝6；（2）点A ′不在函数y =kx（x ＞0）的图像上，理由如下：过点C 作CM ⊥x 轴于M ，过点B 作BN ⊥x 轴于N ，过A ′作A ′G ⊥x 轴于G ， ∵点B （1，6），∴ON ＝1，BN ＝6， ∵△OAC 与△OAB 的面积比为2：3， ∴S △OACS△OAB=12OA⋅CM 12OA⋅BN =23，∴CM BN =23，∴CM =23BN ＝4，即点C 的纵坐标为4，把y ＝4代入y ＝x +5得：x ＝﹣1，∴C （﹣1，4）， ∴OC ′＝OC =√OM 2+CM 2=√12+42=√17， ∵y ＝x +5中，当y ＝0时，x ＝﹣5，∴OA ＝5， 由旋转的性质得：△OAC ≌△OA ′C ′，∴12OA •CM =12OC •A ′G ，∴A ′G =OA⋅CM OC=5×4√17=20√1717在Rt △A ′OG 中，OG =√OA 2−A ′G 2=√52−(20√1717)2=5√1717， ∴点A ′的坐标为（5√1717，20√1717）， ∵5√1717×20√1717≠6，∴点A ′不在函数y =k x（x ＞0）的图像上．（2022•岳阳中考）如图，反比例函数y =kx （k ≠0）与正比例函数y ＝mx （m ≠0）的图象交于点A （﹣1，2）和点B ，点C 是点A 关于y 轴的对称点，连接AC ，BC ． （1）求该反比例函数的解析式； （2）求△ABC 的面积；（3）请结合函数图象，直接写出不等式k x ＜mx 的解集．【解析】（1）把点A （﹣1，2）代入y =kx（k ≠0）得：2=k −1，∴k ＝﹣2，∴反比例函数的解析式为y =−2x；（2）∵反比例函数y =kx （k ≠0）与正比例函数y ＝mx （m ≠0）的图象交于点A （﹣1，2）和点B ，∴B （1，﹣2），∵点C 是点A 关于y 轴的对称点，∴C （1，2），∴CD ＝2，∴S △ABC =12×2×(2+2)=4；（3）根据图象得：不等式kx＜mx 的解集为x ＜﹣1或0＜x ＜1.【解析】（1）设反比例函数y 2=k x ，把A （2，2）代入，得：2=k 2， 解得：k ＝4， ∴y 2=4x，由{y =xy =4x ，解得：{x 1=2y 1=2，{x 2=−2y 2=−2，∴B （﹣2，﹣2），由图象可知：当y 1＜y 2时，x ＜﹣2或0＜x ＜2；注明：也可以直接利用反比例函数和正比例函数图象的对称性得出点B 的坐标． （2）过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ， ∵A （2，2）， ∴AE ＝OE ＝2，∴△AOE 是等腰直角三角形， ∴∠AOE ＝45°，OA =√2AE ＝2√2， ∵四边形ACBD 是菱形， ∴AB ⊥CD ，OC ＝OD ，∴∠DOF ＝90°﹣∠AOE ＝45°， ∵∠DFO ＝90°，∴△DOF 是等腰直角三角形， ∴DF ＝OF ，∵菱形ACBD 的周长为4√10， ∴AD =√10，在Rt △AOD 中，OD =√AD 2−OA 2=√(√10)2−(2√2)2=√2， ∴DF ＝OF ＝1， ∴D （1，﹣1），由菱形的对称性可得：C （﹣1，1）， 设直线AD 的解析式为y ＝mx +n ， 则{m +n =−12m +n =2，解得：{m =3n =−4， ∴AD 所在直线的解析式为y ＝3x ﹣4；同理可得BC 所在直线的解析式为y ＝3x +4，AC 所在直线的解析式为y =13x +43，BD 所在直线的解析式为y =13x −43．（2022•苏州中考）如图，一次函数y ＝kx +2（k ≠0）的图象与反比例函数y =m x（m ≠0，x ＞0）的图象交于点A （2，n ），与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C （﹣4，0）．（1）求k 与m 的值；（2）P （a ，0）为x 轴上的一动点，当△APB 的面积为72时，求a 的值．【解析】（1）把C （﹣4，0）代入y ＝kx +2，得k =12，∴y =12x +2，把A （2，n ）代入y =12x +2，得n ＝3，∴A （2，3），把A （2，3）代入y =m x ，得m ＝6，∴k =12，m ＝6；（2）当x ＝0时，y ＝2，∴B （0，2），∵P （a ，0）为x 轴上的动点，∴PC ＝|a +4|，∴S △CBP =12•PC •OB =12×|a +4×2＝|a +4|，S △CAP =12PC •y A =12×|a +4|×3，∵S △CAP ＝S △ABP +S △CBP ，∴32|a +4|=72+|a +4|，（2022•乐山中考）如图，已知直线l ：y ＝x +4与反比例函数y =k x（x ＜0）的图象交于点A （﹣1，n ），直线l ′经过点A ，且与l 关于直线x ＝﹣1对称．（1）求反比例函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积．【解析】∵点A （﹣1，n ）在直线l ：y ＝x +4上，∴n ＝﹣1+4＝3，∴A （﹣1，3），∵点A 在反比例函数y =kx （x ＜0）的图象上，∴k ＝﹣3，∴反比例函数的解析式为y =3x ；（2）易知直线l ：y ＝x +4与x 、y 轴的交点分别为B （﹣4，0），C （0，4），∵直线l ′经过点A ，且与l 关于直线x ＝﹣1对称，∴直线l ′与x 轴的交点为E （2，0），设l ′：y ＝kx +b ，则{3=−k +b 0=2k +b， 解得：{k =−1b =2， ∴l ′：y ＝﹣x +2，∴l ′与y 轴的交点为D （0，2），∴S 阴影部分＝S △BOC ﹣S △ACD =12×4×4−12×2×1＝7．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）设直线AB 交y 轴于点C ，点M ，N 分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM 是平行四边形，求点M 的坐标．【解析】（1）把A （3，1）代入y =m x 得：1=m3，∴m ＝3，∴反比例函数关系式为y =3x ；把B （﹣1，n ）代入y =3x 得： n =3−1=−3，∴B （﹣1，﹣3），将A （3，1），B （﹣1，﹣3）代入y ＝kx +b 得：{3k +b =1−k +b =−3，解得{k =1b =−2， ∴一次函数的关系式为y ＝x ﹣2；答：反比例函数关系式为y =3x ，一次函数的关系式为y ＝x ﹣2；（2）在y ＝x ﹣2中，令x ＝0得y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），设M （m ，3m ），N （n ，n ﹣2），而O （0，0）， ①以CO 、MN 为对角线时，CO 、MN 的中点重合，∴{0+0=m +n −2+0=3m +n −2， 解得{m =√3n =−√3或{m =−√3n =√3， ∴M （√3，√3）或（−√3，−√3）；②以CM 、ON 为对角线，同理可得：{0+m =n +0−2+3m =n −2+0，解得{m =√3n =−√3或{m =−√3n =√3， ∴M （√3，√3）或（−√3，−√3）；③以CN 、OM 为对角线，同理可得：（2022•眉山中考）已知直线y＝x与反比例函数y=kx的图象在第一象限交于点M（2，a）．（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，将直线y＝x向上平移b个单位后与y=kx的图象交于点A（1，m）和点B（n，﹣1），求b的值；（3）在（2）的条件下，设直线AB与x轴、y轴分别交于点C，D，求证：△AOD≌△BOC．【解析】（1）解：∵直线y＝x过点M（2，a），∴a＝2，∴将M（2，2）代入y=kx中，得k＝4，∴反比例函数的解析式为y=4 x；（2）由（1）知，反比例函数的解析式为y=4 x，∵点A（1，m）在y=4x的图象上，∴m＝4，∴A（1，4），由平移得，平移后直线AB的解析式为y＝x+b，将A（1，4）代入y＝x+b中，得b＝3；（3）【解析】：如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过B点作BF⊥x轴于点F．由（1）知，反比例函数的解析式为y=4 x，∵点A（n，﹣1）在y=4x的图象上，（2022•台州中考）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y ＝2．（1）求y关于x的函数解析式．（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．【解析】（1）由题意设：y=k x，把x＝6，y＝2代入，得k＝6×2＝12，∴y关于x的函数解析式为：y=12 x；（2）把y＝3代入y=12x，得，x＝4，∴小孔到蜡烛的距离为4cm（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）（3）线段OA与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连接CD．求证：CD∥AB．【解析】（1）∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点A（2，4），∴k＝2×4＝8，∴反比例函数的解析式为y=8 x；（2）如图，直线m即为所求．（3）∵AC平分∠OAB，∴∠OAC＝∠BAC，∵直线m垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴∠OAC＝∠DCA，∴∠DCA＝∠BAC，∴CD∥AB．【解析】（1）①由图象知：函数有最大值为4，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大（答案不唯一）；答案：函数有最大值为4，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大（答案不唯一）；②假设x 1=−12，则y 1＝1，∵x 1+x 2＝0，∴x 2=12，∴y 2＝﹣8，∴y 1+y 2＝0不一定成立，答案：不一定；（2）①设直线AB 的解析式为y ＝kx +b ，则{−k +b =44k +b =−1，解得{k =−1b =3，∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x +3， 当n ＝3时，直线l 的解析式为y ＝﹣x +3﹣3＝﹣x ，设直线AB 与y 轴交于C ，则S △P AB ＝S △AOB ，∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC =12×OC ×1+12×OC ×4=12×3×5=152，∴△P AB 的面积为152； ②设直线l 与y 轴交于D ，∵l ∥AB ，∴S △P AB ＝S △ABD ，由题意知，CD ＝n ，∴S △ABD ＝S △ACD +S △BCD .=12CD ×5 =52n ．∴△P AB 的面积为5n 2．（1）求m 的值和点D 的坐标；（2）求DF 所在直线的表达式；（3）若该反比例函数图象与直线DF 的另一交点为点G ，求S △EFG ．【解析】（1）过A 点作AH ⊥BO 于H ，∵△ABO 是等腰直角三角形，A （m ，2），∴OH ＝AH ＝2，∴m ＝2，由平移可得D 点纵坐标和A 点纵坐标相同，设D （n ，2），∵D 在y =8x图像上，∴n ＝4，∴D （4，2）．（2）过D 作DM ⊥EF 于M ，∵△DEF 是等腰直角三角形，∴∠DFM ＝45°，∴DM ＝MF ＝2，由D （4，2）得F （6，0），设直线DF 的表达式为：y ＝kx +b ，将F （6，0）和D （4，2）代入得：{2=4k +b 0=6k +b ，解得：{k =−1b =6，∴直线DF 的表达式为y ＝﹣x +6． （3）延长FD 交y =8x 图像于点G ，{y =−x +6y =8x ，解得：{x 1=4y 1=2，{x 2=2y 2=4，∴G （2，4）， 由（1）得EF ＝BO ＝2HO ＝4，∴S △EFG =12EF •G y =12×4×4＝8．。
2022年全国各省中考数学真题分类解析位似
（2022•威海中考）由12个有公共顶点O 的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝…＝
∠LOM ＝30°．若S △AOB ＝1，则图中与△AOB 位似的三角形的面积为（ ）
A ．（43）3
B ．（43）7
C ．（43）6
D ．（3
4）6 【解析】选C ．在Rt △AOB 中，∠AOB ＝30°，
∵cos ∠AOB =
OA OB ， ∴OB =2√3
OA ， 同理，OC =
2√3OB ， ∴OC ＝（
2√3）2OA ， ……
OG ＝（2
√3）6OA ，
由位似图形的概念可知，△GOH 与△AOB 位似，且位似比为（
2√3）6， ∵S △AOB ＝1，
∴S △GOH ＝[（
2√3）6]2＝（43）6． （2022•梧州中考）如图，以点O 为位似中心，作四边形ABCD 的位似图形A ′B ′C ′D ′，已知
OA OA′=1
3，若四边形ABCD 的面积是2，则四边形A ′B ′C ′D ′的面积是（ ）
A ．4
B ．6
C ．16
D ．18
【解析】选D ．∵以点O 为位似中心，作四边形ABCD 的位似图形A ′B ′C ′D ′，
OA OA′=13， ∴
S 四边形ABCD
S 四边形A′B′C′D′=19=2S 四边形A′B′C′D′，则四边形A ′B ′C ′D ′面积为18．
【解析】∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．∴△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，
∵OA：AD＝2：3，∴OA：OD＝2：5，
∴△ABC与△DEF的周长比是2：5．
答案：2：5．。
2022年全国各省中考数学真题分类解析全等三角形
（2022•云南中考）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF．若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE．你认为要添加的那个条件是（）A．OD＝OE B．OE＝OF C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE【解析】选D．∵OB平分∠AOC，∴∠DOE＝∠FOE，又OE＝OE，若∠ODE＝∠OFE，则根据AAS可得△DOE≌△FOE，故选项D符合题意，而增加OD＝OE不能得到△DOE≌△FOE，故选项A不符合题意，增加OE＝OF不能得到△DOE≌△FOE，故选项B不符合题意，增加∠ODE＝∠OED不能得到△DOE≌△FOE，故选项C不符合题意.（2022•金华中考）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【解析】选B．在△AOB和△DOC中，{OA=OD∠ADB=∠DOCOB=OC，∴△AOB≌△DOC（SAS），（2022•扬州中考）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（）A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC【解析】选C．A．利用三角形三边对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；B．利用三角形两边、且夹角对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；C．AB，AC，∠B，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；D．根据∠A，∠B，BC，三角形形状确定，故此选项不合题意（2022•成都中考）如图，在△ABC 和△DEF 中，点A ，E ，B ，D 在同一直线上，AC ∥DF ，AC ＝DF ，只添加一个条件，能判定△ABC ≌△DEF 的是（ ）A ．BC ＝DEB ．AE ＝DBC ．∠A ＝∠DEFD ．∠ABC ＝∠D【解析】选B ．∵AC ∥DF ，∴∠A ＝∠D ，∵AC ＝DF ，∴当添加∠C ＝∠F 时，可根据“ASA ”判定△ABC ≌△DEF ；当添加∠ABC ＝∠DEF 时，可根据“AAS ”判定△ABC ≌△DEF ；当添加AB ＝DE 时，即AE ＝BD ，可根据“SAS ”判定△ABC ≌△DEF ．（2022•黄冈中考）如图，已知AB ∥DE ，AB ＝DE ，请你添加一个条件 ∠A ＝∠D ，使△ABC ≌△DEF ．【解析】添加条件：∠A ＝∠D ．∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠DEC ，在△ABC 和△DEF 中，{∠A =∠DAB =DE ∠B =∠DEC，∴△ABC ≌△DEF （ASA ）.答案：∠A ＝∠D ．（答案不唯一）（2022•龙东中考）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，OA ＝OC ，请你添加一个条件 OB＝OD （答案不唯一） ，使△AOB ≌△COD ．【解析】添加的条件是OB ＝OD ，理由是：在△AOB 和△COD 中，{AO =CO∠AOB =∠COD BO =DO，∴△AOB ≌△COD （SAS ）.答案：OB ＝OD （答案不唯一）．又∠A＝90°，∴∠A＝∠EFB，①∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBE，②又BE＝EB，③∴△BAE≌△EFB（AAS）．同理可得△EDC≌△CFE（AAS），④∴S△BCE＝S△EFB+S△EFC=12S矩形ABFE+12S矩形EFCD=12S矩形ABCD．【解析】由题知，在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB＝90°．又∠A＝90°，∴∠A＝∠EFB，①∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBE，②又BE＝EB，③∴△BAE≌△EFB（AAS）．同理可得△EDC≌△CFE（AAS），④∴S△BCE＝S△EFB+S△EFC=12S矩形ABFE+12S矩形EFCD=12S矩形ABCD，答案：①∠A＝∠EFB，②∠AEB＝∠FBE，③BE＝EB，④△EDC≌△CFE（AAS）．∴① ∠ADC ＝∠F ．∵EF ∥BC ，∴② ∠1＝∠2 ．又∵③ AC ＝AC ，∴△ADC ≌△CFA （AAS ）．同理可得：④ △ADB ≌△BEA （AAS ） ．S △ABC ＝S △ADC +S △ABD =12S 矩形ADCF +12S 矩形AEBD =12S 矩形BCFE =12ah ．【解析】证明：∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°．∵∠F ＝90°，∴∠ADC ＝∠F ，∵EF ∥BC ，∴∠1＝∠2，∵AC ＝AC ，在△ADC 与△CFA 中，{AC =AC∠1=∠2∠ADC =∠F，∴△ADC ≌△CFA （AAS ）．同理可得：④△ADB ≌△BEA （AAS ），∴S △ABC ＝S △ADC +S △ABD =12S 矩形ADCF +12S 矩形AEBD =12S 矩形BCFE =12ah ．答案：①∠ADC ＝∠F ，②∠1＝∠2，③AC ＝AC ，④△ADB ≌△BEA （AAS ）．（2022•宜宾中考）已知：如图，点A 、D 、C 、F 在同一直线上，AB ∥DE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ．求证：AD ＝CF ．（2022•乐山中考）如图，B 是线段AC 的中点，AD ∥BE ，BD ∥CE ．求证：△ABD ≌△BCE ．【解析】∵点B 为线段AC 的中点，∴AB ＝BC ，∵AD ∥BE ，∴∠A ＝∠EBC ，∵BD ∥CE ，∴∠C ＝∠DBA ，在△ABD 与△BCE 中{∠A =∠EBCAB =BC ∠DBA =∠C，∴△ABD ≌△BCE ．（ASA ）（2022•衡阳中考）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是BC 边上的点，且BD ＝CE ．求证：AD ＝AE ．【解析】：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，在△ABD 和△ACE 中，{AB =AC∠B =∠C BD =CE，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴AD ＝AE（2022•陕西中考）如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，CD ＝AB ，DE ∥AB ，∠DCE ＝∠A ．求证：DE ＝BC ．【解析】：∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B ，在△CDE 和△ABC 中，{∠EDC =∠BCD =AB ∠DCE =∠A，（2022•桂林中考）如图，在▱ABCD中，点E和点F是对角线BD上的两点，且BF＝DE．（1）求证：BE＝DF；（2）求证：△ABE≌△CDF．【证明】（1）∵BF＝DE，BF﹣EF＝DE﹣EF，∴BE＝DF；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，且AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，{AB=CD∠ABE=∠CDF BE=DF．∴△ABE≌△CDF（SAS）．（2022•玉林中考）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等式：①AB＝AC；②DB ＝DC；③∠BAD＝∠CAD．若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？解决方案：探究△ABD与△ACD全等．问题解决：（1）当选择①②作为已知条件时，△ABD与△ACD全等吗？全等（填“全等”或“不全等”），理由是三边对应相等的两个三角形全等；（2）当任意选择两个等式作为已知条件时，请用画树状图法或列表法求△ABD≌△ACD的概率．【解析】（1）在△ABD和△ACD中，{AB=ACAD=ADDB=DC，∴△ABD≌△ACD（SSS）．答案：全等，三边对应相等的两个三角形全等；（2）树状图：所有可能出现的结果（①②）（①③）（②①）（②③）（③①）（③②）共有六种等可能的情况，符合条件的有（①②）（①③）（②①）（③①）有四种，令△ABD ≌△ACD 为事件A ，则P （A ）=23．（2022•福建中考）如图，点B ，F ，C ，E 在同一条直线上，BF ＝EC ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E ．求证：∠A ＝∠D ．【证明】∵BF ＝EC ，∴BF +CF ＝EC +CF ，即BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，{AB =DE ∠B =∠E BC =EF，∴△ABC ≌△DEF （SAS ），∴∠A ＝∠D ． （2022•长沙中考）如图，AC 平分∠BAD ，CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，垂足分别为B ，D ．（1）求证：△ABC ≌△ADC ；（2）若AB ＝4，CD ＝3，求四边形ABCD 的面积．【解析】（1）∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC ＝∠DAC ，∵CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，∴∠B ＝90°＝∠D ，在△ABC 和△ADC 中，{∠B =∠D∠BAC =∠DAC AC =AC，∴△ABC ≌△ADC （AAS ）；（2）由（1）知：△ABC ≌△ADC ，∴BC ＝CD ＝3，S △ABC ＝S △ADC ，∴S △ABC =12AB •BC =12×4×3＝6， ∴S △ADC ＝6，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ADC ＝12.答：四边形ABCD 的面积是12．（2022•吉林中考）如图，AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ．求证：BD ＝CD ．【解析】在△ABD 与△ACD 中，{AB =AC∠BAD =∠CAD AD =AD，。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（2022•云南中考）如图，在△ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设△ABC的面积为S1，△EBD的面积为S2，则S2S1=（）A．12B．14C．34D．78【解析】选B．在△ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE=12AC，∴△BED∽△BAC，∵EDAC =12，∴S△BEDS△BAC=14，即S2S1=14.（2022•金华中考）如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，A′E与BC相交于点G，B′A′的延长线过点C．若BFGC =23，则ADAB的值为（）A．2√2B．4√105C．207D．83【解析】选A．连接FG，CA′，过点G作GT⊥AD于点T．设AB＝x，AD＝y．（2022•丽水中考）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C 都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC的长是（）A．23B．1 C．32D．2【解析】选C．过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，则ABBC =ADDE，即3BC=2，解得：BC=32.（2022•绍兴中考）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A ＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（）A．252B．454C．10 D．354【解析】选A．如右图1所示，由已知可得，△DFE∽△ECB，则DFEC =FECB=DEEB，设DF＝x，CE＝y，则xy =97=6+y2+x，解得{x=274y=214，∴DE＝CD+CE＝6+214=454，故选项B不符合题意；EB＝DF+AD=274+2=354，故选项D不符合题意；如图2所示，由已知可得，△DCF∽△FEB，则DCFE =CFEB=DFFB，设FC＝m，FD＝n，则69=mn+2=nm+7，解得{m=8n=10，∴FD＝10，故选项C不符合题意；BF＝FC+BC＝8+6＝14.（2022•重庆中考A卷）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3．若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是（）A．4 B．6 C．9 D．16【解析】选B．∵△ABC与△DEF位似，相似比为2：3．∴C△ABC：C△DEF＝2：3，∵△ABC的周长为4，∴△DEF的周长是6.（2022•重庆中考B卷）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9【解析】选A．∵△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的周长之比是1：2.（2022•凉山州中考）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，若DE ∥BC ，AD DB=23，DE ＝6cm ，则BC 的长为（ ）A ．9cmB ．12cmC ．15cmD ．18cm【解析】选C ．∵AD DB=23，∴AD AB=25，∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴DE BC=AD AB，∴6BC=25，∴BC ＝15（cm ）3701 （2022•广元中考）如图，在△ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∠C ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB交于点D ，再分别以A 、D 为圆心，大于12AD 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则AE 的长度为（ ）A ．52B ．3C ．2√2D ．103【解析】选A ．在Rt △ABC 中，BC ＝6，AC ＝8， ∴AB =√BC 2+AC 2=√62+82=10， ∵BD ＝CB ＝6，∴AD ＝AB ＝BC ＝4，由作图可知EF 垂直平分线段AD ，∴AF ＝DF ＝2， ∵∠A ＝∠A ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，∴△AFE ∽△ACB ， ∴AE AB=AF AC，∴AE 10=28，∴AE =52.（2022•山西中考）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（ ）A ．平移B ．旋转C ．轴对称D ．黄金分割（2022•十堰中考）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC＝OB：OD＝3，且量得CD＝3cm，则零件的厚度x为（）A．0.3cm B．0.5cm C．0.7cm D．1cm【解析】选B．∵OA：OC＝OB：OD＝3，∠COD＝∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD＝3，∵CD＝3cm，∴AB＝9cm，∵某零件的外径为10cm，∴零件的厚度x为：（10﹣9）÷2＝1÷2＝0.5（cm）. （2022•衡阳中考）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，√5≈2.236）（）A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m【解析】选B．设下部的高度为xm，则上部高度是（2﹣x）m，∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，∴2−xx=x2，解得x=√5−1或x=−√5−1（舍去），经检验，x=√5−1是原方程的解，∴x=√5−1≈1.24（2022•湘潭中考）在△ABC中（如图），点D、E分别为AB、AC的中点，则S△ADE：S△ABC＝（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4【解析】选D．在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，（2022•雅安中考）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB 和AC 上的点，DE ∥BC ，若AD BD=21，那么DE BC=（ ）A ．49B ．12C ．13D ．23【解析】选D ．∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE BC=AD AB，∵AD BD=21，∴AD AB=23，∴DE BC=AD AB=23．（2022•贺州中考）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE ＝2，BC ＝5，则S △ADE ：S △ABC 的值是（ ）A ．325B ．425C ．25D ．35【解析】选B ．∵DE ∥BC ，∴S △ADE ∽S △ABC ，∵DE ＝2，BC ＝5，∴S △ADE ：S △ABC 的值为425．（2022•哈尔滨中考）如图，AB ∥CD ，AC ，BD 相交于点E ，AE ＝1，EC ＝2，DE ＝3，则BD 的长为（ ）A ．32B ．4C ．92D ．6【解析】选C ．∵AB ∥CD ，∴△ABE ∽△CDE ，∴AE CE=BE DE，即12=BE 3，∴BE ＝1.5，∴BD ＝BE +DE ＝4.5．（2022•包头中考）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A ，B ，C ，D 四个点均在格点上，AC 与BD 相交于点E ，连接AB ，CD ，则△ABE 与△CDE 的周长比为（ ）A ．1：4B ．4：1C ．1：2D ．2：1【解析】选D ．如图所示，由网格图可知：BF ＝2，AF ＝4，CH ＝2，DH ＝1，∴AB =√AF 2+BF 2=2√5， CD =√CH 2+DH 2=√5． ∵F A ∥CG ，∴∠F AC ＝∠ACG ． 在Rt △ABF 中，tan ∠BAF =BF AF =24=12， 在Rt △CDH 中，tan ∠HCD =HDCH =12， ∴tan ∠BAF ＝tan ∠HCD ，∴∠BAF ＝∠HCD ， ∵∠BAC ＝∠BAF +∠CAF ，∠ACD ＝∠DCH +∠GCA ， ∴∠BAC ＝∠DCA ，∴AB ∥CD ，∴△ABE ∽△CDE ， ∴△ABE 与△CDE 的周长比=AB CD =2√5√5=2． （2022•临沂中考）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD DB=23，若AC ＝6，则EC ＝（ ）A ．65 B ．125C ．185D ．245【解析】选C ． ∵DE ∥BC ，∴AD DB=AE EC=23，∴AC−EC EC=23，∴6−EC EC=23，∴EC =185． （2022•舟山中考）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P 处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A ，B 处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k （N ）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP 扩大到原来的n （n ＞1）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 kn （N ）（用含n ，k 的代数式表示）．【解析】如图，设装有大象的铁笼重力为aN ，将弹簧秤移动到B ′的位置时，弹簧秤的度数为k ′，由题意可得BP•k＝PA•a，B′P•k′＝PA•a，∴BP•k＝B′P•k′，又∵B′P＝nBP，∴k′=BP⋅kB′P =BP⋅knBP=kn.答案 :kn．（2022•宜宾中考）如图，△ABC中，点E、F分别在边AB、AC上，∠1＝∠2．若BC＝4，AF＝2，CF＝3，则EF＝85．【解析】∵∠1＝∠2，∠A＝∠A，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC =AFAC，∵BC＝4，AF＝2，CF＝3，∴EF4=22+3，∴EF=85.答案：85（2022•河北中考）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则（1）AB与CD是否垂直？是（填“是”或“否”）；（2）AE＝4√55．【解析】如图1，在△ACM和△CFD中，{AC=CF=2∠ACM=∠CFD=90°CM=FD=1，∴△ACM≌△CFD（SAS），∴∠CAM＝∠FCD，∵∠CAM+∠CMA＝90°，∴∠FCD+∠CMA＝90°，∴∠CEM＝90°，∴AB⊥CD，答案：是；（2）如图2，在Rt △ABH 中，AB =√AH 2+BH 2=√22+42=2√5， ∵AC ∥BD ，∴∠CAE ＝∠DBE ，∠ACE ＝∠BDE ， ∴△ACE ∽△BDE ，∴AEBE =ACBD =23，∴AE 2√5−AE=23，∴AE =4√55. 答案：4√55． （2022•随州中考）如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝6，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，连接EF ．如图2，将△AEF 绕点A 逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°），使EF ⊥AD ，连接BE 并延长交DF 于点H ．则∠BHD 的度数为 90° ，DH 的长为4√55．【解析】如图，设EF 交AD 于点J ，AD 交BH 于点O ，过点E 作EK ⊥AB 于点K ．∵∠EAF ＝∠BAD ＝90°，∴∠DAF ＝∠BAE ， ∵AFAD =AEAB =12，∴AFAE =ADAB ， ∴△DAF ∽△BAE ，∴∠ADF ＝∠ABE ，∵∠DOH ＝∠AOB ，∴∠DHO ＝∠BAO ＝90°，∴∠BHD ＝90°， ∵AF ＝3，AE ＝4，∠EAF ＝90°，∴EF =√32+42=5， ∵EF ⊥AD ，∴12•AE •AF =12•EF •AJ ，∴AJ =125，∴EJ =√AE 2−AJ 2=√42−(125)2=165，∵EJ ∥AB ，∴OJOA=EJ AB，∴OJOJ+125=1658，∴OJ =85，∴OA ＝AJ +OJ =125+85=4，∴OB =√AB 2+AO 2=√42+82=4√5，OD ＝AD ﹣AO ＝6﹣4＝2， ∵cos ∠ODH ＝cos ∠ABO ，∴DHOD =ABBO ， ∴DH 2=84√5，∴DH =4√55．（2022•娄底中考）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E 是AD 的黄金分割点，即DE ≈0.618AD ．延长HF 与AD 相交于点G ，则EG ≈ 0.618 DE ．（精确到0.001）【解析】∵点E 是AD 的黄金分割点，且DE ≈0.618AD ， ∴DE AD =AE DE≈0.618，由题意得：EG ＝AE ，∴EG DE≈0.618，∴EG ≈0.618DE.答案：0.618（2022•凉山州中考）如图，CD 是平面镜，光线从A 点出发经CD 上点O 反射后照射到B 点，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC ⊥CD 于点C ，BD ⊥CD 于点D ，且AC ＝3，BD ＝6，CD ＝12，则tan α的值为43．【解析】如图，由题意得：OE ⊥CD ，又∵AC ⊥CD ，∴AC ∥OE ，∴∠A ＝α， 同理可得：∠B ＝β， ∵α＝β，∴∠A ＝∠B ，在△AOC 和△BOD 中{∠A =∠B ∠ACO =∠BDO ，∴△AOC ∽△BOD ，∴OC OD=AC BD，∴OC 12−OC=36，解得：OC ＝4，∴tan α＝tan A =OC AC =43， 答案：43（2022•湖州中考）如图，已知在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，AD AB=13．若DE ＝2，则BC 的长是 6 ．【解析】∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB =DE BC ，∵AD AB=13，DE ＝2，∴13=2BC，∴BC ＝6，答案：6（2022•邵阳中考）如图，在△ABC 中，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，请添加一个条件 ∠ADE ＝∠B 或∠AED ＝∠C 或AD AB=AE AC（答案不唯一） ，使△ADE ∽△ABC ．【解析】∵∠A ＝∠A ， ∴当∠ADE ＝∠B 或∠AED ＝∠C 或AD AB=AE AC时，△ADE ∽△ABC ， 答案：∠ADE ＝∠B 或∠AED ＝∠C 或AD AB=AE AC（答案不唯一）（2022•嘉兴中考）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝60°，直尺的一边与BC 重合，另一边分别交AB ，AC 于点D ，E ．点B ，C ，D ，E 处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD 的长为2√33．【解析】由题意得，DE ＝1，BC ＝3， 在Rt △ABC 中，∠A ＝60°， 则AB =BCtanA =3√3=√3， ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴DE BC=AD AB，即13=√3−BD √3，解得：BD =2√33，3（2022•陕西中考）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE•AB．已知AB为2米，则线段BE的长为﹣1+√5米．【解析】∵BE2＝AE•AB，设BE＝x，则AE＝（2﹣x），∵AB＝2，∴x2＝2（2﹣x），即x2+2x﹣4＝0，解得：x1＝﹣1+√5，x2＝﹣1−√5（舍去），∴线段BE的长为（﹣1+√5）米．答案：﹣1+√5（2022•毕节中考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接P A，以P A，PC为邻边作平行四边形P AQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为125．【解析】∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，∴AC=√BC2−AB2=√52−32=4，∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO＝QO，CO＝AO＝2，∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线OP′，∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，5（2022•江西中考）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE．（1）求证：△ABC∽△AEB；（2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACD＝∠BCA，∵∠ACD＝∠ABE，∴∠BCA＝∠ABE，∵∠BAC＝∠EAB，∴△ABC∽△AEB；（2）∵△ABC∽△AEB，∴ABAE =ACAB，∵AB＝6，AC＝4，∴6AE =46，∴AE=364=9．（2022•丽水中考）如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形．（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；（3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．【解析】（1）如图1，CD为所作；（2）如图2；（3）如图3，△EDC为所作．一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD 是△ABC 的角平分线，可证ABAC =BDCD ．小慧的证明思路是：如图2，过点C 作CE ∥AB ，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明AB AC=BD CD．尝试证明：（1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明：ABAC =BDCD ； 应用拓展：（2）如图3，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是边BC 上一点．连接AD ，将△ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处． ①若AC ＝1，AB ＝2，求DE 的长；②若BC ＝m ，∠AED ＝α，求DE 的长（用含m ，α的式子表示）．【解析】（1）∵CE ∥AB ，∴∠E ＝∠EAB ，∠B ＝∠ECB ， ∴△CED ∽△BAD ，∴CE AB=CD BD，∵∠E ＝∠EAB ，∠EAB ＝∠CAD ，∴∠E ＝∠CAD ，∴CE ＝CA ，∴ABAC =BDCD ． （2）①∵将△ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处， ∴∠CAD ＝∠BAD ，CD ＝DE ， 由（1）可知，ABAC =BDCD ，又∵AC ＝1，AB ＝2，∴21=BDCD ，∴BD ＝2CD ，∵∠BAC ＝90°，∴BC =√AC 2+BC 2=√12+22=√5， ∴BD +CD =√5，∴3CD =√5，∴CD =√53；∴DE =√53； ②∵将△ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处， ∴∠CAD ＝∠BAD ，CD ＝DE ，∠C ＝∠AED ＝α， ∴tan ∠C ＝tan α=ABAC ，由（1）可知，ABAC =BDCD ，∴tan α=BDCD ，∴BD ＝CD •tan α， 又∵BC ＝BD +CD ＝m ，∴CD •tan α+CD ＝m ， ∴CD =m1+tanα，∴DE =m1+tanα.（2022•宁波中考） 【基础巩固】（1）如图1，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，BF ＝CF ，AF 交DE 于点G ，求证：DG ＝EG ． 【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，连结CD ，CG ．若CG ⊥DE ，CD ＝6，AE ＝3，求DE BC的值．【拓展提高】（3）如图3，在▱ABCD 中，∠ADC ＝45°，AC 与BD 交于点O ，E 为AO 上一点，EG ∥BD 交AD 于点G ，EF ⊥EG 交BC 于点F ．若∠EGF ＝40°，FG 平分∠EFC ，FG ＝10，求BF 的长．【解析】（1）证明：∵DE ∥BC ， ∴△AGD ∽△AFB ，△AFC ∽△AGE ， ∴DG BF=AG AF，GE FC=AG AF，∴DG BF=GE FC，∵BF ＝CF ，∴DG ＝EG ；（2）∵DG ＝EG ，CG ⊥DE ，∴CE ＝CD ＝6， ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴DE BC=AE AC=33+6=13；（3）延长GE 交AB 于M ，连接MF ，过点M 作MN ⊥BC 于N ， ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴OB ＝OD ，∠ABC ＝∠ADC ＝45°， ∵MG ∥BD ，∴ME ＝GE ， ∵EF ⊥EG ，∴FM ＝FG ＝10， 在Rt △GEF 中，∠EGF ＝40°， ∴∠EFG ＝90°﹣40°＝50°，∵FG 平分∠EFC ，∴∠GFC ＝∠EFG ＝50°， ∵FM ＝FG ，EF ⊥GM ，∴∠MFE ＝∠EFG ＝50°，∴∠MFN ＝30°，∴MN =12MF ＝5，∴NF =√MF 2−MN 2=5√3，∵∠ABC ＝45°，∴BN ＝MN ＝5， ∴BF ＝BN +NF ＝5+5√3．（2022•泰安中考）如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F．（1）若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；（2）找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．【解析】（1）证明：如图，在矩形ABCD中，OD＝OC，AB∥CD，∠BCD＝90°，∴∠2＝∠3＝∠4，∠3+∠5＝90°，∵DE＝BE，∴∠1＝∠2，又∵BE平分∠DBC，∴∠1＝∠6，∴∠3＝∠6，∴∠6+∠5＝90°，∴BF⊥AC；（2）与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF，△EBC，理由如下：由（1）可得∠1＝∠4，BF⊥AC，∴∠AFB＝∠BFC＝90°，∴△ABF∽△BOF，∵∠1＝∠3，∠EFC＝∠BFO，∴△ECF∽△BOF，∵∠1＝∠6，∠CFB＝∠BCD＝90°，∴△EBC∽△OBF；（3）∵△ECF∽△BOF，∴EFOF=CFBF，（2022•常德中考）在四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线AF 交BC 于F ，延长AB 到E 使BE ＝FC ，G 是AF 的中点，GE 交BC 于O ，连接GD ．（1）当四边形ABCD 是矩形时，如图1，求证：①GE ＝GD ；②BO •GD ＝GO •FC ．（2）当四边形ABCD 是平行四边形时，如图2，（1）中的结论都成立．请给出结论②的【解析】．【解析】（1）连接CG ，过点G 作GJ ⊥CD 于点J ．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝∠ABC ＝90°，AD ＝BC ， ∵AF 平分∠BAD ，∴∠BAF ＝∠DAF ＝45°， ∴∠AFB ＝∠BAF ＝45°，∴BA ＝BF ， ∵BE ＝CF ，∴AE ＝AB +BE ＝BF +CF ＝BC ＝AD ， ∵AG ＝AG ，∴△EAG ≌△DAG （SAS ）， ∴EG ＝DG ，∠AEG ＝∠ADG ， ∵AD ∥FC ，AG ＝GF ，∴DJ ＝JC ， ∵GJ ⊥CD ，∴GD ＝GC ，∴∠GDC ＝∠GCD ，∵∠ADC ＝∠BCD ＝90°，∴∠ADG ＝∠GCO ，∴∠OEB ＝∠OCG ， ∵∠BOE ＝∠GOC ，∴△OBE ∽△OGC ，∴BE GC=OB OG，∵GC ＝GD ，BE ＝CF ，∴BO •GD ＝GO •FC ；（2）过点D 作DT ⊥BC 于点T ，连接GT ．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∴∠DAG ＝∠AFB ， ∵AF 平分∠DAB ，∴∠DAG ＝∠BAF ，∴BAF ＝∠AFB ，∴AB ＝BF ，∴AE ＝AB +BE ＝BF +CF ＝BC ＝AD ， ∵AG ＝AG ，∴△EAG ≌△DAG （SAS ），∴∠AEG ＝∠ADG ， ∵AD ∥FT ，AG ＝GF ，∴DJ ＝JT ， ∵GJ ⊥DT ，∴GD ＝GT ，∴∠GDT ＝∠GTD ，∵∠ADT ＝∠BTD ＝90°，∴∠ADG ＝∠GTO ，∴∠OEB ＝∠OTG ， ∵∠BOE ＝∠GOT ，∴△OBE ∽△OGT ，∴BE GT=OB OG，∵GC ＝GD ，BE ＝CF ，∴BO •GD ＝GO •FC ．（2022•陕西中考）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB 的影长OC 为16米，OA 的影长OD 为20米，小明的影长FG 为2.4米，其中O 、C 、D 、F 、G 五点在同一直线上，A 、B 、O 三点在同一直线上，且AO ⊥OD ，EF ⊥FG ．已知小明的身高EF 为1.8米，求旗杆的高AB ．【解析】∵AD ∥EG ， ∴∠ADO ＝∠EGF ， ∵∠AOD ＝∠EFG ＝90°， ∴△AOD ∽△EFG ， ∴AO EF=OD FG，即AO 1.8=202.4，∴AO ＝15，同理得△BOC ∽△AOD ， ∴BO AO=OC OD，即BO 15=1620，（2022•长沙中考）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ，BD 相交于点E ，点F 在边AD 上，连接EF ． （1）求证：△ABE ∽△DCE ；（2）当DĈ=CB ̂，∠DFE ＝2∠CDB 时，则AE BE−DE CE= 0 ；AFAB+FE AD= 1 ；1AB+1AD−1AF= 0 ．（直接将结果填写在相应的横线上）（3）①记四边形ABCD ，△ABE ，△CDE 的面积依次为S ，S 1，S 2，若满足√S =√S 1+√S 2，试判断△ABE ，△CDE 的形状，并说明理由．②当DĈ=CB ̂，AB ＝m ，AD ＝n ，CD ＝p 时，试用含m ，n ，p 的式子表示AE •CE ．【解析】（1）∵AD ̂=AD ̂，∴∠ACD ＝∠ABD ，即∠ABE ＝∠DCE ， 又∵∠DEC ＝∠AEB ，∴△ABE ∽△DCE ； （2）∵△ABE ∽△DCE ，∴AB DC=BE CE=AE DE，∴AE •CE ＝BE •DE ，∴AE BE−DE CE=AE⋅CE−BE⋅DEBE⋅CE=0，∵∠CDB +∠CBD ＝180°﹣∠BCD ＝∠DAB ＝2∠CDB ，又∵∠DFE ＝2∠CDB ，∴∠DFE ＝∠DAB ，∴EF ∥AB ，∴∠FEA ＝∠EAB ， ∵DĈ=CB ̂，∴∠DAC ＝∠BAC ，∴∠F AE ＝∠FEA ，∴F A ＝FE ， ∵EF ∥AB ，∴△DFE ∽△DAB ，∴EF AB=DF AD，∴AF AB +FE AD =EF AB +AF AD =DF AD+AF AD=AD AD=1，∵AF AB+AF AD=AF AB+EF AD=1，∴AFAB+AF AD=1，∴1AB+1AD−1AF=0，答案：0，1，0；（3）①△ABE ，△DCE 都为等腰三角形， 理由：记△ADE 、△EBC 的面积为S 3、S 4， 则S ＝S 1+S ₂+S 3+S 4， ∵S 1S 3=S 4S 2=BE DE，∴S 1S 2＝S 3S 4①，∵√S =√S 1+√S 2，即S ＝S 1+S 2+2√S 1S 2，∴S 3+S 4＝2√S 1S 2②， 由①②可得√S 3√S 4，即（√S 3−√S 4）2＝0，∴S 3＝S 4，∴S △ABE +S △ADE ＝S △ABE +S △EBC ，即S △ABD ＝S △ADC ，∴CD ∥AB ，【解析】（1）∵S △ABC =12BC •h ，S △DBC =12BC •h ′，∴S △ABCS △DBC =ℎℎ′．（2）过点A 作AE ⊥BM ，垂足为E ，过点D 作DF ⊥BM ，垂足为F ，则∠AEM ＝∠DFM ＝90°． ∵AE ∥DF ，∴△AEM ∽△DFM ，∴AEDF =AMDM ，由【探究】（1）可知S △ABCS △DBC =AE DF ，∴S △ABC S △DBC =AM DM ．答案：DF ，△DFM ，AE DF ．（3）作DK ∥AC 交l 2于点K ，∵DK ∥AC ，∴△ACE ∽△DKE ，∵DE ＝1.5，AE ＝5﹣1.5＝3.5，∴AEDE =3.51.5=73， 由【探究】（2）可得S △ABCS △DBC =AE DE =73． 答案：73．。