2022-2023学年初二数学第二学期培优专题15 中点四边形

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题15 中点四边形【例题讲解】问题背景：△ABC 和△CDE 均为等边三角形，且边长分别为a ，b ，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，点F ，G ，H ，I分别为AB ，BE ，ED ，AD 的中点，连接FG ，GH ，HI ，IF 猜想证明：(1)如图①，判断四边形FGHI 是什么特殊四边形，并说明理由．(2)当a ＝6，b ＝2时，求四边形FGHI 的周长．拓展延伸：(3)如图②，当四边形FGHI 是正方形时，连接AE ，BD 相交于点N ，点N ，H 恰好在FC 上．求证：△ABN 和△DEN 均为等腰直角三角形．解：（1）解：四边形FGHI 是菱形.理由：如图①，连接AE ,BD ， ∵△ABC 和△CDE 均为等边三角形，∴AC ＝BC ,EC ＝DC ，在△AEC 和△BDC 中，AC BCACE BCD EC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEC ≌△BDC (SAS)，∴AE ＝BD ，∵点F ，G ，H ，I 分别为AB ，BE ，ED ，AD 的中点，FG ＝12AE ＝IH .FI ＝12BD ＝CH .∴FG ＝GH ＝IH ＝FI .∴四边形FGHI 是菱形；（2）解：如图②，过点D 作DM ⊥EC 于点M ，∵△CDE 为等边三角形， ∴MC ＝12EC ＝12×2＝1，∠C ＝60°，∴BM ＝BC －MC ＝6－1＝5， 在Rt △DMC 中，DM ＝2222213DC CM -=-=，在Rt △BDM 中，BD ＝()22225327BM DM +=+=，∴GH ＝12BD ＝7，由(1)知四边形FGHI 是菱形，∴.四边形FGHI 的周长为4GH ＝47.（3）解：∵点F 为AB 的中点，△ABC 和△CDE 均为等边三角形， ∴直线CF 为△ABC 和△CDE 的对称轴.∴AN ＝BN ，DN ＝EN ， ∵点F ，G ，H ，I 分别为AB ，BE ，ED ，AD 的中点，∴FG ∥AE ，IH ∥AE ，FI ∥BD ，GH ∥BD .∴.FG ∥AEIH ，FI ∥BD ∥GH ， ∵四边形FGHI 是正方形，∴∠FNA ＝∠FHI ＝45°，∠FNB ＝∠FHG ＝45°∴.∠ANB ＝∠FNA +∠FNB ＝90°，∠DNE ＝90°.∴△ABN 和△DEN 均为等腰直角三角形.【综合演练】1．四边形ABCD ，点M 、N 、P 、Q 分别是边AB 、BC 、CD 、AD 的中点．(1)如图1，顺次连结M 、N 、P 、Q 得到四边形ANPQ ，试猜想四边形MNPQ 的形状并证明；(2)如图2，若∠B ＝∠C ，AB ＝CD ，顺次连结M 、N 、P 、Q 得到四边形MNPQ ，试猜想四边形MNPQ 的形状并证明；(3)如图3，若∠BCD ＝90°，BC ＝8，CD ＝6，AB ＝3，设线段CQ 的长度为m ，则m 的取值范围是______．2．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点称为和美四边形中心． （1）写出一种你学过的和美四边形________；（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是________ A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．无法确定（3）如图1，点O 是和美四边形ABCD 的中心，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点，连接OE OF OG OH 、、、，记四边形AEOH BEOF CGOF DHOG 、、、的面积为1234S S S S 、、、，用等式表示1234S S S S 、、、的数量关系（无需说明理由）（4）如图2，四边形ABCD 是和美四边形，若3,2,4AB BC CD ===，求AD 的长．3．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：中点四边形EFGH 是平行四边形；（2）如图2，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足P A =PB ，PC =PD ，∠APB =∠CPD ，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想．4．定义：对角线相等且所夹锐角为60°的四边形叫“60°等角线四边形”． 如图1，四边形ABCD 为“60°等角线四边形”，即AC ＝BD ，∠AOB ＝60°．判定探究：(1)下列语句能判断四边形是“60°等角线四边形”的是 ．（填序号） ①对角线所夹锐角为60°的平行四边形； ②对角线所夹锐角为60°的矩形；③对角线所夹锐角为60°，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形．(2)性质探究：以AC 为边，向下构造等边三角形△ACE ，连接BE ，如图2，请直接写出AB ＋CD 与AC 的大小关系；(3)请判断AD＋BC与3AC的大小关系，并说明理由；(4)学习应用：若“60°等角线四边形”的对角线长为4，则该四边形周长的最小值为．5．在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动,将边长为2的正方形ABCD与边长为22的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上.连接DG,BE,易得DG=BE且DG⊥BE（不需要说明理由）(1)如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，旋转角为α（30︒﹤α﹤180︒）①连接DG,BE,求证：DG=BE且DG⊥BE；②在旋转过程中，如图3，连接BG,GE,ED,DB,求出四边形BGED面积的最大值.(2)如图4，分别取BG,GE,ED,DB的中点M,N,P,Q,连接MN,NP,PQ,QM,则四边形MNPQ的形状为，四边形MNPQ面积的最大值是,6．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC．结合小敏的思路作答：（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由，参考小敏思考问题的方法解决一下问题；（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．7．如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，并说明理由；问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并并说明理由．8．综合与探究：如图1，四边形ABDC中，E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．(1)猜想四边形EFGH 的形状是________（直接回答，不必说明理由）．(2)如图2，P 在四边形ABDC 内一点，使PC PA =，PD PB =，APC BPD ∠=∠，其他条件不变，试探究四边形EFGH 的形状，并说明理由．(3)在（2）的条件下，6PA =，23PB =，60APC BPD ∠=∠=︒，90CPD ∠=︒，求四边形EFGH 的面积． 9．我们定义：有一组邻角相等且对角线相等的凸四边形叫做“邻对等四边形”． 概念理解(1)下列四边形中属于邻对等四边形的有 （只填序号）； ①顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形； ②顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形； ③顺次连接矩形各边中点所得的四边形； ④顺次连接菱形各边中点所得的四边形； 性质探究(2)如图1，在邻对等四边形ABCD 中，∠ABC =∠DCB ，AC=DB ，AB ＞CD ，求证：∠BAC 与∠CDB 互补； 拓展应用(3)如图2，在四边形ABCD 中，∠BCD =2∠B ，AC=BC =5，AB =6，CD =4．在BC 的延长线上是否存在一点E ，使得四边形ABED 为邻对等四边形？如果存在，求出DE 的长；如果不存在，说明理由．10．【再现】如图①，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，可以得到：DE ∥BC ，且DE =12BC ．（不需要证明）【探究】如图②，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，判断四边形EFGH 的形状，并加以证明．【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：．（只添加一个条件）（2）如图③，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD 相交于点O．若AO=OC，四边形ABCD面积为5，则阴影部分图形的面积和为．11．已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”，不需要证明）（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和BF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．答案与解析【例题讲解】问题背景：△ABC 和△CDE 均为等边三角形，且边长分别为a ，b ，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，点F ，G ，H ，I分别为AB ，BE ，ED ，AD 的中点，连接FG ，GH ，HI ，IF 猜想证明：(1)如图①，判断四边形FGHI 是什么特殊四边形，并说明理由．(2)当a ＝6，b ＝2时，求四边形FGHI 的周长．拓展延伸：(3)如图②，当四边形FGHI 是正方形时，连接AE ，BD 相交于点N ，点N ，H 恰好在FC 上．求证：△ABN 和△DEN 均为等腰直角三角形．解：（1）解：四边形FGHI 是菱形.理由：如图①，连接AE ,BD ， ∵△ABC 和△CDE 均为等边三角形，∴AC ＝BC ,EC ＝DC ，在△AEC 和△BDC 中，AC BCACE BCD EC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEC ≌△BDC (SAS)，∴AE ＝BD ，∵点F ，G ，H ，I 分别为AB ，BE ，ED ，AD 的中点，FG ＝12AE ＝IH .FI ＝12BD ＝CH .∴FG ＝GH ＝IH ＝FI .∴四边形FGHI 是菱形；（2）解：如图②，过点D 作DM ⊥EC 于点M ，∵△CDE 为等边三角形， ∴MC ＝12EC ＝12×2＝1，∠C ＝60°，∴BM ＝BC －MC ＝6－1＝5， 在Rt △DMC 中，DM ＝2222213DC CM -=-=，在Rt △BDM 中，BD ＝()22225327BM DM +=+=，∴GH ＝12BD ＝7，由(1)知四边形FGHI 是菱形，∴.四边形FGHI 的周长为4GH ＝47.（3）解：∵点F为AB的中点，△ABC和△CDE均为等边三角形，∴直线CF为△ABC和△CDE的对称轴.∴AN＝BN，DN＝EN，∵点F，G，H，I分别为AB，BE，ED，AD的中点，∴FG∥AE，IH∥AE，FI∥BD，GH∥BD.∴.FG∥AEIH，FI∥BD∥GH，∵四边形FGHI是正方形，∴∠FNA＝∠FHI＝45°，∠FNB＝∠FHG＝45°∴.∠ANB＝∠FNA+∠FNB＝90°，∠DNE＝90°.∴△ABN和△DEN均为等腰直角三角形.【综合演练】1．四边形ABCD，点M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、AD的中点．(1)如图1，顺次连结M、N、P、Q得到四边形ANPQ，试猜想四边形MNPQ的形状并证明；(2)如图2，若∠B＝∠C，AB＝CD，顺次连结M、N、P、Q得到四边形MNPQ，试猜想四边形MNPQ的形状并证明；(3)如图3，若∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，AB＝3，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是______．【答案】(1)四边形MNPQ为平行四边形，理由见解析(2)四边形MNPQ为菱形，理由见解析(3)72≤m≤132【分析】（1）连结BD ，根据三角形中位线的性质可得MQ ∥BD ，MQ ＝12BD ，PN ∥BD ，PN ＝12BD ，进而可得MQ ∥PN ，MQ ＝PN ，根据平行四边形的判定定理即可求解；（2）连结BD 、AC ，同理可得四边形MNPQ 为平行四边形证明△ABC ≌△DCB （SAS ）得出AC ＝BD ，根据中位线的性质，即可得出MQ ＝MN ，根据平菱形的判定定理即可求解；（3）连结BD ，取BD 的中点P ，连接QP 、CP ，得出PQ 是△ABD 的中位线，根据三角形三边关系即可求解． （1）解：四边形MNPQ 为平行四边形，连结BD∵点M 、N 、P 、Q 分别是边AB 、BC 、CD 、AD 的中点. ∴MQ ∥BD ，MQ ＝12BD ，PN ∥BD ，PN ＝12BD ∴MQ ∥PN ，MQ ＝PN∴四边形MNPQ 为平行四边形． （2）四边形MNPQ 为菱形，连结BD 、AC∵点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点. ∴MN ＝12AC 在△ABC 与△DCB 中AB CD ABC DCB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△DCB （SAS ） ∴AC ＝BD∵点M 、N 、P 、Q 分别是边AB 、BC 、CD 、AD 的中点.∴MQ ∥BD ，MQ ＝12BD ，PN ∥BD ，PN ＝12BD ∴MQ ∥MN ，MQ ＝PN ∵四边形MNPQ 为平行四边形 ∴平行四边形MNPQ 是菱形． （3）解：如图，连结BD ，取BD 的中点P ，连接QP 、CP ，在Rt △BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝8，CD ＝6，∴BD ＝10， ∵点P 是BD 的中点，∴CP ＝BP ＝CP ＝12BD ＝5， ∵点Q 是AD 的中点，点P 是BD 的中点， ∴PQ 是△ABD 的中位线， ∴PQ ＝12AB ＝32，在△CPQ 中，CP ﹣PQ ＜CQ ＜CP +PQ ，∴72＜m ＜132， ∵点C 、点Q 是定点，点P 是动点，∴当点C 、P 、Q 三点共线，且点Q 在线段CP 上时，m 取得最小值72，当点C 、P 、Q 三点共线，且点Q 在射线CP 上时，m 取得最大值132， 综上，m 的取值范围为：72≤m ≤132．【点评】本题考查了中点四边形，菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，三角形三边关系，三角形中位线的性质，掌握以上知识是解题的关键．2．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点称为和美四边形中心． （1）写出一种你学过的和美四边形________；（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是________ A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．无法确定（3）如图1，点O 是和美四边形ABCD 的中心，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点，连接OE OF OG OH 、、、，记四边形AEOH BEOF CGOF DHOG 、、、的面积为1234S S S S 、、、，用等式表示1234S S S S 、、、的数量关系（无需说明理由）（4）如图2，四边形ABCD 是和美四边形，若3,2,4AB BC CD ===，求AD 的长．【答案】（1）正方形；（2）A ；（3）S 1+S 3＝S 2+S 4；（4）21 【分析】（1）根据正方形的对角线互相垂直解答； （2）根据矩形的判定定理解答；（3）根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答； （4）根据和美四边形的定义、勾股定理计算即可． 【解答】解：（1）正方形是学过的和美四边形， 故答案为：正方形；（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是矩形， 故选：A ．（3）由和美四边形的定义可知，AC ⊥BD ， 则∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝∠DOA ＝90°，又E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点， ∴△AOE 的面积＝△BOE 的面积， △BOF 的面积＝△COF 的面积， △COG 的面积＝△DOG 的面积， △DOH 的面积＝△AOH 的面积，∴S 1+S 3＝△AOE 的面积+△COF 的面积+△COG 的面积+△AOH 的面积＝S 2+S 4；（4）如图2，连接AC 、BD 交于点O ，则AC ⊥BD ，∵在Rt △AOB 中，AO 2＝AB 2-BO 2，Rt △DOC 中，DO 2＝DC 2-CO 2，AB ＝3，BC ＝2，CD ＝4，∴可得AD2＝AO2+DO2＝AB2-BO2+DC2-CO2＝AB2+DC2-BC2＝32+42-22＝21，即可得AD=21．【点评】本题考查的是和美四边形的定义、矩形的判定、勾股定理的应用，正确理解和美四边形的定义、掌握矩形的判定定理是解题的关键．3．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足P A=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．【答案】(1)证明见解析；(2)菱形，证明见解析.【分析】（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH=FG即可．（2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再证明EF=FG即可．【解答】（1）如图1中，连接BD．∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH∥BD，EH12=BD．∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG12=BD，∴EH∥FG，EH=GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形．（2）四边形EFGH是菱形．理由如下：如图2中，连接AC，BD．∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD．在△APC和△BPD中，AP PBAPC BPDPC PD∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△APC≌△BPD，∴AC=BD．∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF12=AC，FG12=BD．∵AC=BD，∴EF=FG．∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．4．定义：对角线相等且所夹锐角为60°的四边形叫“60°等角线四边形”．如图1，四边形ABCD为“60°等角线四边形”，即AC＝BD，∠AOB＝60°．判定探究：(1)下列语句能判断四边形是“60°等角线四边形”的是．（填序号）①对角线所夹锐角为60°的平行四边形；②对角线所夹锐角为60°的矩形；③对角线所夹锐角为60°，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形．(2)性质探究：以AC为边，向下构造等边三角形△ACE，连接BE，如图2，请直接写出AB＋CD与AC的大小关系；(3)请判断AD＋BC3的大小关系，并说明理由；(4)学习应用：若“60°等角线四边形”的对角线长为4，则该四边形周长的最小值为．对角线所夹锐角为△∠=AOB∥DB EC=DB AC∴=DB EC∴四边形ABE中，+即AB CD(3)如图，过C60,90EAC ACF ∠=︒∠=︒30F ∴∠=︒2AF AC AC BD ∴==+3CF AC ∴=3AF AC ∴>,AD AO OD BC BO OC >+>+AD BD AC BD ∴+>+3AC BD AF AC +=> 3AD BD AC ∴+>；(4)若“60°等角线四边形”的对角线长为4，则4AC = 由（2）（3）可得AB CD AC +≥，3AD BD AC +> ()()31431434AB CD AD BC AC ∴+++≥+=+=+．∴该四边形周长的最小值为434+．【点评】本题考查了四边形综合问题，新定义问题，含30度角的直角三角形的性质，平行四边的性质与判定，中点四边形性质，掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键．5．在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动,将边长为2的正方形ABCD 与边长为2AEFG 按图1位置放置，AD 与AE 在同一直线上，AB 与AG 在同一直线上.连接DG ,BE,易得DG=BE 且DG ⊥BE （不需要说明理由）(1)如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，旋转角为α（30︒﹤α﹤180︒）①连接DG,BE,求证：DG=BE且DG⊥BE；②在旋转过程中，如图3，连接BG,GE,ED,DB,求出四边形BGED面积的最大值.(2)如图4，分别取BG,GE,ED,DB的中点M,N,P,Q,连接MN,NP,PQ,QM,则四边形MNPQ的形状为，四边形MNPQ面积的最大值是,【答案】(1)①证明见解析;②四边形BGED面积的最大值为6+42;（2）正方形,3+22.【分析】（1）①由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS得到三角形ADG与三角形ABE全等，利用全等三角形对应角相等得DG=BE，∠AGD=∠AEB，如图所示，EB交AG于点H，利用等角的余角相等得到∠GMH =90°，利用垂直的定义即可得DG⊥BE；②根据①可知旋转过程中，DG=BE且DG⊥BE；当BE取得最大值，即点A,B,E在同一条直线上时，四边形BGED面积有最大值.(2)根据中点四边形的性质可知四边形MNPQ是正方形，边长的最大值为112, 2BE=+四边形MNPQ面积的最大值是：()21232 2.+=+【解答】(1) ①∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，∴AD=AB,∠DAB=∠GAE=90，AG=AE，∠DAB+∠GAB =∠GAB +∠GAE ∠DAG =∠BAE 在△ADG 和△ABE 中，AD AB DAG BAE AG AE ，=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADG ≌△ABE (SAS )， ∴∠AGD =∠AEB ，DG =BE, 如图所示，EB 交AG 于点H ，在△AEH 中,∠AEH +∠AHE =90， ∠AEH =∠BHG , ∴∠AGD +∠BHG =90，在△HGM 中, ∠AGD +∠BHG +∠GMH =180， ∴∠GMH =90， 则DG ⊥BE ；②根据①可知旋转过程中，DG=BE 且DG ⊥BE ；当BE 取得最大值，即点A,B,E 在同一条直线上时，四边形BGED 面积有最大值. 此时：DG=BE 222,AB AE =+=+ 四边形BGED 面积()21122264 2.22BE DG =⋅=+=+(2)连接BE,DG ，根据中位线的性质可得1,2MN PQ BE == 1,2MQ NP DG ==////MN BE PQ ,////MQ DG PN ,,DG BE DG BE =⊥；,MN PQ MQ NP === ,MN MQ ⊥四边形MNPQ 是正方形，边长的最大值为112,2BE =+四边形MNPQ 面积的最大值是：()21232 2.+=+故答案为正方形,3+22.【点评】考查正方形的性质，中位线的性质，全等三角形的判定与性质等，综合性比较强，难度较大. 6．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD 的四边中点E ，F ，G ，H 依次连接起来得到的四边形EFGH 是平行四边形吗？ 小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC ．结合小敏的思路作答：（1）若只改变图1中四边形ABCD 的形状（如图2），则四边形EFGH 还是平行四边形吗？说明理由，参考小敏思考问题的方法解决一下问题；（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC ，BD ．①当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是菱形，写出结论并证明； ②当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是矩形，直接写出结论．【答案】（1）是平行四边形，理由见解析；（2）①AC=BD；证明见解析；②AC⊥BD．【分析】（1）如图2，连接AC，根据三角形中位线的性质及平行四边形判定定理即可得到结论；（2）①由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=12BD，HG=12AC，于是得到当AC=BD时，FG=HG，即可得到结论；②若四边形EFGH是矩形，则∠HGF=90°，即GH⊥GF，又GH∥AC，GF∥BD，则AC⊥BD．【解答】解：（1）是平行四边形．理由如下：如图2，连接AC，∵E是AB的中点，F是BC的中点，∴EF∥AC，EF=12AC，同理HG∥AC，HG=12AC，∴EF∥HG，EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）①AC=BD．理由如下：由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=12BD，HG=12AC，∴当AC=BD时，FG=HG，∴平行四边形EFGH是菱形；②当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形．理由如下：同（1）得：四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，GH∥AC，∴GH⊥BD，∵GF∥BD，∴GH⊥GF，∴∠HGF=90°，∴四边形EFGH为矩形．【点评】此题主要考查了中点四边形，熟练掌握三角形中位线定理及平行四边形、菱形及矩形的判定是解题的关键．7．如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，并说明理由；问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并并说明理由．【答案】(1) △OMN为等腰三角形，理由见解析；（2）△AGD是直角三角形，理由见解析．【解答】试题分析：（1）作出两条中位线，根据中位线定理，找到相等的同位角和线段，进而判断出三角形的形状．（2）利用平行线和中位线定理，可以证得三角形△FAG是等边三角形，再进一步确定∠FGD=∠FDG=30°，进而求出∠AGD=90°，故△AGD的形状可证．试题解析：：（1）取AC中点P，连接PF，PE，可知PE=2AB ， PE ∥AB ，∴∠PEF=∠ANF ，同理PF=2CD ， PF ∥CD ，∴∠PFE=∠CME ，又PE=PF ，∴∠PFE=∠PEF ，∴∠OMN=∠ONM ，∴△OMN 为等腰三角形．（2）判断出△AGD 是直角三角形．证明：如图连接BD ，取BD 的中点H ，连接HF 、HE ，∵F 是AD 的中点，∴HF ∥AB ，HF=12AB ，同理，HE ∥CD ，HE=12CD ，∵AB=CD∴HF=HE ，∵∠EFC=60°，∴∠HEF=60°，∴∠HEF=∠HFE=60°，∴△EHF 是等边三角形，∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°，∴△AGF 是等边三角形．∵AF=FD ，∴GF=FD ，∴∠FGD=∠FDG=30°∴∠AGD=90°即△AGD 是直角三角形．考点：1．三角形中位线定理；2．角平分线的性质；3．等腰三角形的判定；4．勾股定理的逆定理． 8．综合与探究：如图1，四边形ABDC 中，E 、F 、G 、H 分别是AC 、AB 、BD 、CD 的中点，顺次连接E 、F 、G 、H ．(1)猜想四边形EFGH 的形状是________（直接回答，不必说明理由）．(2)如图2，P 在四边形ABDC 内一点，使PC PA =，PD PB =，APC BPD ∠=∠，其他条件不变，试探究四边形EFGH 的形状，并说明理由．(3)在（2）的条件下，6PA =，23PB =60APC BPD ∠=∠=︒，90CPD ∠=︒，求四边形EFGH 的面积． 【答案】(1)平行四边形(2)菱形，见解析(3)2132【分析】(1)连接AD ，利用三角形中位线定理，证明EH =FG ，且EH ∥FG 即可得证．(2)连接AD ，BC ，证明()SAS ≅△△APD CPB ，得到AD =CB ，结合三角形中位线定理，得到四边形EFGH 的四边相等，即可得到菱形EFGH ．(3)连接AD ，BC ，交点为M ，设BC 与EH 的交点为Q ，AD 与EF 的交点为O ，证明()SAS ≅△△APD CPB ，判定四边形EOMQ 是平行四边形，证明∠HEF =60°，连接PG ，过点H 作HN EF ⊥，垂足为N ，求得EH ，HN 的长度即可．（1）平行四边形．理由如下：如图1，连接AD ，∵E 、F 、G 、H 分别是AC 、AB 、BD 、CD 的中点，∴EH ∥AD ，EH=12AD ，FG ∥AD ，FG=12AD ， ∴EH =FG ，且EH ∥FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，故答案为：平行四边形．（2）菱形.理由：如图2，连接AD ，BC .∵APC BPD ∠=∠，∴∠+∠=∠+∠APC CPD BPD CPD ，即APD CPB ∠=∠.又∵PA PC =，PD PB =，∴()SAS ≅△△APD CPB ，∴AD CB =.∵E 、F 、G 、H 分别是AC 、AB 、BD 、CD 的中点，∴EF 、FG 、GH 、EH 分别是ABC 、ABD △、BCD △、ACD 的中位线，∴12EF BC =，12FG AD =，12GH BC =，12EH AD =， ∴EF FG GH EH ===，∴四边形EFGH 是菱形.（3）连接AD ，BC ，交点为M ，设BC 与EH 的交点为Q ，AD 与EF 的交点为O ，∵PD PB =，60∠=︒DPB ，∴DPB 是等边三角形.∵G 是DB 中点，∴PG 平分DPB ∠，30∠=︒DPG ，∴609030180∠=︒+︒+︒=︒APG ，点A 、P 、G 共线.在Rt DPG 中，()()22222333=-=-=PG PD DG ， 在Rt AGD 中，()()2222633221=+=++=AD AG DG ， ∴1212===EF EH AD . ∵APD CPB ≅，∴PAD PCB ∠=∠，∴60∠=∠=︒CMA CPA .∵//EH AD ，//EF CB ，∴四边形EOMQ 是平行四边形，∴60HEF ∠=︒.在Rt △EHN 中，12122==EN EH ，22372=-=HN EH EN ， ∴菱形EFGH 的面积372132122=⨯=⨯=EF HN . 【点评】本题考查了三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质，灵活运用三角形中位线定理是解题的关键．9．我们定义：有一组邻角相等且对角线相等的凸四边形叫做“邻对等四边形”．概念理解(1)下列四边形中属于邻对等四边形的有 （只填序号）；①顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形；②顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形；③顺次连接矩形各边中点所得的四边形；④顺次连接菱形各边中点所得的四边形；性质探究(2)如图1，在邻对等四边形ABCD 中，∠ABC =∠DCB ，AC=DB ，AB ＞CD ，求证：∠BAC 与∠CDB 互补； 拓展应用(3)如图2，在四边形ABCD 中，∠BCD =2∠B ，AC=BC =5，AB =6，CD =4．在BC 的延长线上是否存在一点E ，使得四边形ABED 为邻对等四边形？如果存在，求出DE 的长；如果不存在，说明理由．【答案】（1）④；（2）见解析；（3）存在这样一点E ，使得四边形ABED 为邻对等四边形，DE ＝245【分析】（1）根据中点四边形的特征，结合邻对等四边形的定义求解即可；（2）延长CD 至E ，使CE=BA ，根据“SAS”可证△ABC ≌△ECB ，从而BE=CA ，∠BAC =∠E ．利用等量代换可证BD=BE ，从而∠BDE =∠E ，然后可证明结论成立；（3）在BC 延长线上取一点E ，使得CE =4，连接DE ，四边形ABED 即为邻对等四边形．连接AE ，BD ，由等腰三角形的性质和三角形外角的性质可证∠ABC=∠DEB ，∠ACE=∠BCD ．通过证明CE ≌△BCD ，可证BD=AE ，从而四边形ABED 为邻对等四边形．通过证明△ABC ∽△DEC ，利用相似三角形的性质可求出DE的长.【解答】（1）①顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，平行四边形不具备一组邻角相等且对角线相等，故不是邻对等四边形；②顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，平行四边形不具备一组邻角相等且对角线相等，故不是邻对等四边形；③顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形，菱形不具备一组邻角相等且对角线相等，故不是邻对等四边形；④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，矩形具备一组邻角相等且对角线相等，故是邻对等四边形；故答案为④；（2）∵AB＞CD，故可延长CD至E，使CE=BA，在△ABC与△ECB中，，∴△ABC≌△ECB．∴BE=CA，∠BAC=∠E．∵AC=DB，∴BD=BE．∴∠BDE=∠E．∴∠CDB+∠BDE=∠CDB+∠E=∠BAC+∠CDB=180°．即∠BAC与∠CDB互补．（3）存在这样一点E，使得四边形ABED为邻对等四边形，如图2，在BC延长线上取一点E，使得CE=4，连接DE，四边形ABED即为邻对等四边形．理由如下：连接AE，BD，∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．∵∠BCD=2∠B，∴∠ABC=∠DEB，∠ACE=∠BCD．在△ACE与△BCD中，，∴△ACE≌△BCD．∴BD=AE，四边形ABED为邻对等四边形．∵∠CBA=∠CAB=∠CDE=∠CED，∴△ABC∽△DEC．∴，∴.【点评】本题考查了信息迁移，中点四边形的特征，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点并理解“邻对等四边形”的含义是解答本题的关键.BC．（不10．【再现】如图①，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，可以得到：DE∥BC，且DE=12需要证明）【探究】如图②，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，判断四边形EFGH 的形状，并加以证明．【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：．（只添加一个条件）（2）如图③，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD 相交于点O．若AO=OC，四边形ABCD面积为5，则阴影部分图形的面积和为．∴14CFGBCDSS∆∆=，∴S△BCD=4S△CFG，同理：S△ABD=4S△AEH，∵四边形ABCD面积为5，∴S△BCD+S△ABD=5，∴S△CFG+S△AEH=54，同理：S△DHG+S△BEF=54，∴S四边形EFGH=S四边形ABCD﹣（S△CFG+S△AEH+S△DHG+S△BEF）=5﹣52=52，设AC与FG，EH相交于M，N，EF与BD相交于P，∵FG∥BD，FG=12BD，∴CM=OM=12OC，同理：AN=ON=12OA，∵OA=OC，∴OM=ON，易知，四边形ENOP，FMOP是平行四边形，∴S阴影=12S四边形EFGH=54．故答案为54．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，解[探究]的关键是判断出HG∥AC，HG=12AC，解[应用的关键是判断出S四边形EFGH=52，是一道基础题目．11．已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD 的中点时，有：①AF =DE ；②AF ⊥DE 成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E 不是边BC 的中点，F 不是边CD 的中点，且CE =DF ，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”，不需要证明）（2）如图2，若点E ，F 分别在CB 的延长线和DC 的延长线上，且CE =DF ，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE 和BF ，若点M ，N ，P ，Q 分别为AE ，EF ，FD ，AD 的中点，请判断四边形MNPQ 是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论． 【答案】（1）成立；（2）成立，理由见试题解析；（3）正方形，证明见试题解析．【分析】（1）因为四边形ABCD 为正方形，CE =DF ，可证△ADF ≌△DCE (SAS )，即可得到AF =DE ，∠DAF =∠CDE ，又因为∠ADG +∠EDC =90°，可推出∠ADG +∠DAF =90°，即有AF ⊥DE ；（2）同理（1）即可证明；（3）设MQ ，DE 分别交AF 于点G ，O ，PQ 交DE 于点H ，因为点M ，N ，P ，Q 分别为AE ，EF ，FD ，AD 的中点，可得MQ =PN =12DE ，PQ =MN =12AF ，MQ DE ，PQ AF ，然后根据AF =DE ，可得四边形MNPQ 是菱形，又因为AF ⊥DE 即可证得四边形MNPQ 是正方形．【解答】（1）上述结论①，②仍然成立，理由是：∵四边形ABCD 为正方形，∴AD =DC ，∠BCD =∠ADC =90°． 在△ADF 和△DCE 中，90DF CE ADF DCE AD DC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△DCE (SAS )，∴AF =DE ，∠DAF =∠CDE ．∵∠ADG +∠EDC =90°，∴∠ADG +∠DAF =90°，∴∠AGD =90°，即AF ⊥DE ；。