实变函数题库集答案

实变函数试题库及参考答案 本科 一、题 1．设,AB为集合，则\ABBAB（用描述集合间关系的符号填写）

2．设A是B的子集，则AB （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E中聚点都属于E，则称E是闭集 4．有限个开集的交是开集

5．设1E、2E是可测集，则12mEE12mEmE（用描述集合间关系的符号填写）

6．设nE是可数集，则*mE=0 7．设fx是定义在可测集E上的实函数，如果1a，Exfxa是可测集，则称fx在E上可测 8．可测函数列的上极限也是可测函数 9．设nfxfx，ngxgx，则nnfxgxfxgx

10．设fx在E上L可积，则fx在E上可积 11．设,AB为集合，则\BAAA（用描述集合间关系的符号填写） 12．设211,2,Akk，则A=a（其中a表示自然数集N的基数） 13．设nE，如果E中没有不属于E，则称E是闭集 14．任意个开集的并是开集 15．设1E、2E是可测集，且12EE，则1mE2mE

16．设E中只有孤立点，则*mE=0 17．设fx是定义在可测集E上的实函数，如果1a，Exfxa是可测，则称fx在E上可测 18．可测函数列的下极限也是可测函数 19．设nfxfx，ngxgx，则nnfxgxfxgx

20．设nx是E上的单调增收敛于fx的非负简单函数列，则EfxdxlimnEnxdx 21．设,AB为集合，则\ABBB 22．设A为有理数集，则A=a（其中a表示自然数集N的基数） 23．设nE，如果E中的每个点都是内点，则称E是开集 24．有限个闭集的交是闭集 25．设nE，则*mE0

26．设E是n中的区间，则*mE=E的体积 27．设fx是定义在可测集E上的实函数，如果1a，Exfxa是可测集，则称fx在E上可测 28．可测函数列的极限也是可测函数 29．设nfxfx，ngxgx..ae，则nfxgx

30．设nfx是E上的非负可测函数列，且单调增收敛于fx，由勒维定理，有 Efxdx

limnEnfxdx



31．设,AB为集合，则\BABA=AB 32．设A为无理数集，则A=c（其中c表示自然数集0,1的基数） 33．设nE，如果E中没有不是内点的点，则称E是开集 34．任意个闭集的交是闭集 35．设nE，称E是可测集，如果nT，**mTmTE*cmTE

36．设E是外测度为零的集合，且FE，则*mF=0 37．设fx是定义在可测集E上的实函数，如果1a，Exafxb是可测，（ab）则称fx在E上可测 38．可测函数列的上确界也是可测函数

39．设nfxfx，ngxgx..ae，则nnfxgxfxgx

40．设nfxfx，那么由黎斯定理，nfx有子列knfx，使knfxfx..ae于E 41.设,AB为两个集合,则__cABAB.（等于） 42.设nER,如果E满足EE(其中E表示E的导集),则E是闭. 43.若开区间(,)为直线上开集G的一个构成区间,则(,)满(i)(a,b)G (ii),aGbG 44.设A为无限集.则A的基数__Aa(其中a表示自然数集N的基数) 答案： 45.设12,EE为可测集, 2mE,则1212(\)__mEEmEmE. 答案： 46.设()fx是定义在可测集E上的实函数,若对任意实数a,都有[()]Exfxa是可测集E上的可测函数. 47.设0x是E(R)的内点,则*__0mE. 答案 48.设()nfx为可测集E上的可测函数列,且()(),nfxfxxE,则由____黎斯__定理可知得,存在()nfx的子列()knfx,使得.()()()kaenfxfxxE.

49.设()fx为可测集E(nR)上的可测函数,则()fx在E上的L积分值不一定存在且|()|fx在E上不一定L可积. 50.若()fx是[,]ab上的绝对连续函数,则()fx是[,]ab上的有界变差函数. 51．设,AB为集合，则___(\)ABBAA 答案= 52．设nER，如果E满足0EE（其中0E表示E的内部），则E是开集 53．设G为直线上的开集，若开区间(,)ab满足(,)abG且,aGbG，则(,)ab必为G的构成区间 54．设{|2,}Axxnn为自然数，则A的基数=a(其中a表示自然数集N的基数) 55．设,AB为可测集，BA且mB，则__(\)mAmBmAB 答案 = 56．设()fx是可测集E上的可测函数，则对任意实数,()abab，都有[()]Exafxb是可测集 57．若()ER是可数集，则__0mE 答案= 58．设()nfx为可测集E上的可测函数列，()fx为E上的可测函数，如果.()()()aenfxfxxE，则()()nfxfx xE

不一定成立

59． 设()fx为可测集()nER上的非负可测函数，则()fx在E上的L积分值一定存在 60．若()fx是[,]ab上的有界变差函数，则()fx必可表示成两个递增函数的差（或递减函数的差） 多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设0,1E中无理数，则（ ACD ） A E是不可数集 B E是闭集 C E中没有内点 D 1mE

2．设nE是无限集，则（ AB ） A E可以和自身的某个真子集对等

B Ea（a为自然数集的基数）

C E

D *0mE

3．设fx是E上的可测函数，则（ABD ） A 函数fx在E上可测

B fx在E的可测子集上可测

C fx是有界的

D fx是简单函数的极限

4．设fx是,ab上的有界函数，且黎曼可积，则（ABC ） A fx在,ab上可测

B fx在,ab上L可积 C fx在,ab上几乎处处连续

D fx在,ab上几乎处处等于某个连续函数

5．设nE，如果E至少有一个内点，则（ BD ） A *mE可以等于0 B *0mE C E可能是可数集 D E不可能是可数集

6．设nE是无限集，则（ AB ） A E含有可数子集 B E不一定有聚点 C E含有内点 D E是无界的

7．设fx是E上的可测函数，则（ BD ）

A 函数fx在E上可测

B fx是非负简单函数列的极限

C fx是有界的

D fx在E的可测子集上可测

8．设fx是,ab上的连续函数，则（ ABD ） A fx在,ab上可测

B fx在,ab上L可积，且,baabRfxdxLfxdx

C fx在,ab上L可积，但,baabRfxdxLfxdx

D fx在,ab上有界

9．设Dx是狄利克莱函数，即10,100,1xDxx为中有理数为中无理数，则（ BCD ） A Dx几乎处处等于1 B Dx几乎处处等于0

C Dx是非负可测函数 D Dx是L可积函数

10．设nE，*0mE，则（ ABD ） A E是可测集 B E的任何子集是可测集 C E是可数集 D E不一定是可数集

11．设nE，10EcxExxE，则（ AB ）

A 当E是可测集时，Ex是可测函数

B 当Ex是可测函数时，E是可测集

C 当E是不可测集时，Ex可以是可测函数 D 当Ex是不是可测函数时，E不一定是可测集

12．设fx是,ab上的连续函数，则（BD ） A fx在,ab上有界

B fx在,ab上可测

C fx在,ab上L可积

D fx在,ab上不一定L可积

13．设fx在可测集E上L可积，则（AC ） A fx，fx都是E上的非负可积函数

B fx和fx有一个在E上的非负可积

C fx在E上L可积

D fx在E上不一定L可积

14．设nE是可测集，则（ AD ） A cE是可测集 B mE C E的子集是可测集 D E的可数子集是可测集

15．设nfxfx，则（ CD ） A nfx几乎处处收敛于fx

B nfx一致收敛于fx

C nfx有子列nfx，使nfxfx..ae

于E

D nfx可能几乎处处收敛于fx

16．设fx是,ab上有界函数，且L可积，则（BD ） A fx在,ab上黎曼可积

B fx在,ab上可测

C fx在,ab上几乎处处连续

D fx在,ab上不一定连续

17. 设{[0,1]}E中的无理点,则(CD) （A）E是可数集 （B）E是闭集 （C）E中的每个点均是聚点 （D）0mE 18. 若E(R)至少有一个内点，则（BD）