§14.1.2勾股定理的“无字证明”
2020八年级数学上册 第14章 勾股定理 14.1 勾股定理 14.1.1 直角三角形的三边关系(第2课时)教案
1.让学生体会数形结合的思想，通过探究图形的构成，亲身验证勾股定理的正确性，学生的动手、动脑能力得到了加强．图3、图4都能够证明勾股定理，并且这两个图形的证明方法类似，因此师生共同来完成一个即可，剩下的一个由学生独立证明，目的是学以致用，以实践操作强化对知识的理解.
2.等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，则面积为().
A.30cm2B．130cm2C．120cm2D．60cm2
3.下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积
图14－1－
图14－1－
4.如图14－1－，受台风麦莎影响，一棵高18m的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高.
图14－1－
问题：你能利用美国总统伽菲德所拼的图形验证勾股定理吗？
【探究3】探究只有直角三角形才满足a2＋b2＝c2.
我们已经验证了直角三角形满足的关系，那么锐角三角形和钝角三角形也满足这个关系吗？观察图6，判断图中三角形的三边长是否满足a2＋b2＝c2.
图14－1－
问题1：利用数格子的方法计算图中正方形的面积分别是多少？
图14－1－
图14－1－
变式：我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？
1.让学生体能灵活运用勾股定理结合方程，求直角三角形的边长，目的是学以致用.
2.应用勾股定理
活动
一：
创设
情境
导入
新课
伽菲尔德是美国第二十任总统，同样他也是一名卓越的数学家，1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了对勾股定理的证明，他的方法直Байду номын сангаас、简捷、易懂、明了，人们为了纪念他就把这一证法称为“总统”证法.
八年级数学 第14章 勾股定理14.1 勾股定理 2直角三角形的判定 数学
是否等于最大边的平方。如果是那么哪一个角是直角
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B′
全等
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A
A′
5
4
4
C
3
B
在 Rt△A′B′C′中根据(gēnjù)
勾股定理有
C′ 3
B′
A B 2A C 2B C 2 BC 3, AC 4
AB2 32 42 52
AB 5
ABC≌ ABC
C C 90
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逆定理 勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)的逆命题
如果三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。且边C所 对的角为直角。
பைடு நூலகம்勾股定理
互逆命定题理
(dìnglǐ)
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜
边为c，那么 a2 + b2 = c2
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定理(dìnglǐ)与逆定理(dìnglǐ)
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。
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勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)的逆命题
如果三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)
互逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，
证明勾股定理的4种方法
证明勾股定理的4种方法证明勾股定理的4种方法勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。
以下是小编整理的证明勾股定理的4种方法，仅供参考，大家一起来看看吧。
证明勾股定理的4种方法勾股定理是一个基本的几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。
“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。
当整数a,b,c满足a^2;+b^2;=c^2;这个条件时，(a,b,c)叫做勾股数组。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a^2;+b^2;=c^2;。
在中国数学史中同样源远流长，是中算的重中之重。
《周髀算经》中已有“勾三股四弦五”的记述，赵爽的《周髀算经》中将勾股定理表述为“勾股各自乘，并之，为弦实。
开方除之，即弦。
”勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
下面我们一起来欣赏其中一些证明方法：方法一：赵爽“弦图”三国时期吴国数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，创制了一幅“勾股圆方图”，也称为“弦图”，这是我国对勾股定理最早的证明。
2002年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，标志着中国古代数学成就。
方法二：刘徽“青朱出入图”约公元263年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时，用“出入相补法”证明了勾股定理。
方法三：欧几里得“公理化证明”希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《几何原本》给出一个公理化的证明。
勾股定理的几种证明方法
勾股定理的几种证明方法利用相似三角形证明有许多勾股定理的证明方式，都是基于相似三角形中两边长的比例。
设ABC为一直角三角形, 直角于角C（看附图）. 从点C画上三角形的高，并将此高与AB的交叉点称之为H。
此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因为在两个三角形中都有一个直角（这又是由于“高”的定义），而两个三角形都有A这个共同角，由此可知第三只角都是相等的。
同样道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。
这些相似关系衍生出以下的比率关系：因为BC=a,AC=b,AB=c所以a/c=HB/a and b/c=AH/b可以写成a*a=c*HB and b*b=C*AH综合这两个方程式，我们得到a*a+b*b=c*HB+C*AH=C*(HB+AH)=c*c换句话说:a*a+b*b=c*c[*]----为乘号欧几里得的证法在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。
设△ABC 为一直角三角形，其中A为直角。
从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。
此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。
在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。
（SAS 定理）三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。
任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。
任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。
证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。
其证明如下：设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。
其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
画出过点A之BD、CE的平行线。
此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。
分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。
∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。
勾股定理的六种证明方法
勾股定理的证明方法【证法1】（传说中毕达哥拉斯的证明）图1 图2如图所示，作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即abc ab b a 214214222⨯+=⨯++， 整理得 222c b a =+.【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图2所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2. 四边形ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+. 【证法3】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. EFGH是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴ ()22214c a b ab =-+⨯.∴ 222c b a =+.图4【证法4】（Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. 则 ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c . ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()221b a +.∴ ()222121221c ab b a +⨯=+∴ 222c b a =+. 【证法5】（马永庆证明方法1）对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°得图5，该图是旋转90°得到的，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形ABFE 面积相等，而四边形ABFE 面积等于Rt ⊿BAE 和Rt ⊿BFE 的面积之和，所以：S 正方形ACFD =S ⊿BAE +S ⊿BFE即：()()a b a b 21c 21b 22-++=. 整理：()()a b a b c 2b 22-++=∴a 2+b 2=c 2.图5 图6 【证法6】（马永庆证明方法2）对任意的符合条件的两个全等的Rt ⊿BEA 和Rt ⊿ACD 拼成图6(此图也可以看成Rt ⊿BEA 绕其直角顶点顺时针旋转90°，再向下平移得到)。
八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理14.1.2直角三角形的判定教案华东师大版
14．1.2 直角三角形的判定1．理解勾股定理的逆定理的证明方法．2．能用勾股定理的逆定理判别一个三角形是直角三角形．重点用勾股定理的逆定理判别一个三角形是直角三角形．难点勾股定理逆定理的证明．一、创设情境实验观察实验方法:用一根打上13个等距离结的细绳子，让同学操作，把钉子钉在第一个结上，再钉在第4个结上,再钉在第8个结上,最后将第十三个结与第一个结钉在一起，然后用角尺量出最大角的度数(90°），可以发现这个三角形是直角三角形．显示投影片1二、探究新知教师活动：古埃及人曾经用过这种方法来得到直角，这个三角形三边长分别为多少？（3，4，5)．这三边满足了怎样的条件呢?（32＋42＋52）,是不是只有三边长为3,4,5的三角形才能构成直角三角形呢？请同学们动手画一画,如果三角形的三边分别为2.5 cm，6 cm，6.5 cm，满足关系式“2.52＋62＝6。
52",画出的三角形是直角三角形吗?换成三边分别为5 cm，12 cm,13 cm或8 cm,15 cm，17 cm呢？学生活动：动手画图,体验发现，得到猜想．教师活动：操作投影仪，提出探究的问题，引导学生思考，然后再提问个别学生．学生活动：拿出事先准备好的纸片、剪刀，实验、领会、感悟：(1）它们完全重合;（2)理由：在△A′B′C′中，A′B′2＝B′C2＋A′C′2＝a2＋b2，因为a2＋b2＝c2,因此，A′B′＝c。
在△ABC和△A′B′C′中，BC＝a ＝B′C′，AC＝b＝A′C′，AB＝c＝A′B′,推出△ABC≌△A′B′C′，所以∠C＝∠C′＝90°，可见△ABC是直角三角形．教师归纳：如果一个三角形的三边长a，b,c有关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角是直角．教学说明：采用实验、观察、比较的教学方法，突破难点．出示习题：(投影显示)1．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（)A．5，6，7B．10,8，4C．7，25,24 D．9，17,152．以下列各组正数为边长，能组成直角三角形的是() A．a－1，2a，a＋1 B．a－1，2a，a＋1C．a－1，错误!，a＋1 D．a－1，错误!，a＋1答案：1.C2。
勾股定理ppt课件
B 图2-1
C A
B
正方形B的面积是 9 个单位面积。 正方形C的面积是
图2-2
18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积） 你是怎样得到上面的结
果的？与同伴交流交流。
C A
S正方形c
B C
图2-1
A
413318 2
B
（单位面积）
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
分“割”成若干个直 角边为整数的三角形
(1)若a=3, b=4,求c的长(2)若a=5, c =12,求b的长
(3)若a:b=3:4,c=15,求a,b的长
练习 (1)在直角△ABC中，∠A=90° a=5，b=4，则求c的值？
(2) 在直角△ABC中，∠B=90°， ①a=3， b=4，则求c的值？ ②c =24，b=25，则求a的值？
x622232 42
2.求下列直角三角形中未知边的长:
比
5
一
比8
17
看
x
16
x 12
看
x
谁
20
算
得
快 方法小结: 可用勾股定理建立方程.
！
１、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相
对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长
为
( C)
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
３ ４
２、湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直
≈4.96（米）
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
做一做：
A
625
P
勾股定理的证明(6种)
勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）毕达格拉斯证法做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即abc ab b a 214214222⨯+=⨯++， 整理得 222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF .∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2.∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA .∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB .∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴ ()22214c a b ab =-+⨯.∴ 222c b a =+. 【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC .∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()221b a +. ∴ ()222121221c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法5】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++, ∴ 222c b a =+. 【证法6】。
勾股定理的“无字证明”学案的
勾股定理的“无字证明”学案一、学习内容：P64页课题学习二、学习目标：1、会利用图形的移、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，即利用数形结合的方法来验证勾股定理。
2、通过以形证数的方法体会“数形结合”和“几何变换”的数学思想方法。
三、学习过程与指导：(一)回忆：勾股定理的内容：(二)导入新课：怎样用几何图形证明勾股定理表达式呢？(三)自学课本P64页课题学习自学指导：1、什么叫“无字证明”？2、搜集课本和其他有关书籍中，利用有趣图形证明勾股定理的实例。
四、检测：结合以下图形，说明证明勾股定理的方法，写出证明过程。
1、证明：2、证明：3、证明：4、证明：五、讨论：1、无字证明的思想方法；2、P58页做一做的拼图方法。
六、教师讲解：1、质疑：针对测中的疑难问题讲解；2、无字证明的实质：七、悟：1、根据下图提示，写出勾股定理无字证明：2、结合以下图形写出无字证明表达式：15.2 图形的旋转一、学习目标：1、理解什么是图形的旋转，明确决定图形旋转后位置的要素。
2、通过观察、实验能准确辩认旋转后图形与原图形的对应元素的位置及大小关系。
3、结合生活实际，体会数学的美学价值。
二、学习重点与难点：1、重点：决定图形旋转的因素，及旋转图形之间的对应关系。
2、难点：对旋转中心在图形外的某个点的旋转图形的认识。
三、学习过程与指导：(一)自学课本P72—P74自学指导：1、什么是图形的旋转？你能用自己的话说明吗？2、决定图形的旋转的要素有哪些？因此描述图形旋转时必须要交待什么？3、思考P73中的相关问题。
4、图2.4与图2.5的旋转中心有何不同？(二)检测：1、P74页练习2、32、填空：⑴图形的旋转是由_________、_________和_________决定的。
⑵如图，△ABC与△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB和∠E都是直我，若△ABC经旋转后能与△BDE重合，那么旋转中心是点________，旋转了_______度。
【勾股定理证明】
【勾股定理证明】勾股定理的16种证明方法勾股定理的证明是论证数学的发端，它是历史上第一个把形与数联系起来的定理，即第一个把几何与代数联系起来的定理，也是数学家认为探索外星文明与外星人沟通的最好“语言”。
勾股定理导致希伯索斯无理数的发现，引发了第一次数学危机，加深了人们对数的理解，促进了数学的进步发展。
勾股定理是历史上第一个给出不定方程的解答，从而促使费尔玛大定理的提出，这是一只下金蛋的鹅，数学家们经过350年的历程才获得解决，这期间给整个数学界带来了巨大的财富。
我国古代数学家对勾股定理的证明，极富创意，即使在理论方面也占一席之地。
以赵爽的“弦图”作为2002年在中国召开世界数学家大会的会徽，可知“弦图”已作为了我国古代数学成就的代表。
而在西方，欧几里得在证明勾股定理的同时结合图形分析，以演绎推理的方法获得了一系列的定理和推论，为几何公理体系的完善和发展写下了新的篇章。
中国的数学文化传统体现了重视应用、数形结合、以计算为主的务实精神。
因为毕达哥拉斯定理是在没有研究的情况下描述的，所以在中国古代从未超越直观经验和具体操作，发展成为一个完整的演绎体系。
而是作为一种技能传播应用，只走了一条解决实际问题的模式化道路。
证明勾股定理的方法有上百种。
下面是16种证明勾股定理的基本方法，有兴趣的同学可以研究一下。
勾股定理，又称毕氏定理，是三角形中最基本的定理之一，它描述了直角三角形斜边与两条直角边的关系。
其表述为：直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和，即$a^2+b^2=c^2$，其中$c$为斜边，$a$和$b$为直角边。
勾股定理的证明方法有很多种，下面介绍16种。
1. 几何证明法：欧几里得证明法欧几里得是古希腊的数学家，他在《几何原本》中提出了勾股定理的证明方法。
他的证明方法基于相似三角形和三角形面积的计算公式。
首先，画出一个直角三角形，将它的直角边分别称为$a$和$b$，斜边称为$c$。
然后，以$c$为直径画一个圆，将圆心记为$o$，圆上任意一点记为$d$。
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引入
S大正方形=(a+b)2 S大正方形=c2 +4ab
Байду номын сангаас
(a+b)2 =c2 +4ab，即a2+b2 =c2
注意：这种根据图形可以极其简单地直观推 论或验证数学规律和公式的方法，简称为 “无字证明”．
探究
S大正方形=c2 S大正方形= (b－a)2+4ab
2
c2 = (b－a)2 +4ab，即a2+b2 =c2
自主探索
你还有其他的证明 方法吗？
探究
美国总统詹姆士•阿•加菲尔德的证法
探究
约公元 263 年，三国时代魏国的数学家刘徽为 古籍《九章算术》作注释时，用“出入相补法” 证明了勾股定理．证明时不需用任何数学符号和 文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理 便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得 出，被称为最美的“无字证明”法．