轴对称性问题
轴对称性问题
1. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是点E ，F ，连接EF ，交AD 于点G ，求证：AD ⊥EF ．
2如图，在Rt △ABC 中，∠C=900，∠B=300
，BC=，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE ⊥BC 交AB 边于点E ，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为等腰三角形时，BD 的长为 。 F D C E
A
B
3如图，△ABC 中，已知∠BAC=45°，AD ⊥BC 于D ，BD=2，DC=3，求AD 的长。
4如图，已知⊙O 的直径CD 为4，弧AC 的度数为120°，弧BC 的度数为30°，在直径CD 上作出点P ，使BP+AP 的值最小，若BP+AP 的值最小，则BP+AP 的最小值为 。
5如图，已知直线a ∥b ∥c ，且a 与b 之间的距离为3，且b 与c 之间的距离为1，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线c 的距离为3，
AB=a 上找一点M ，在直线c 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB=【 】
A ．12
B ．10
C ．8
D ．6
6已知抛物线：
的顶点在坐标轴上． （1）求的值；
（2）时，抛物线向下平移个单位后与抛物线：
关于轴对称，且过点，求的函数关系式；
（3）时，抛物线的顶点为，且过点．问在直线 上是否存在一点使得△的周长最小，如果存在，求出点的坐标， 如果不存在，请说明理由．
7将矩形OABC 置于平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0，4），点C 的坐标为（m ，0）（m ＞0），点D （m ，1）在BC 上，将矩形OABC 沿AD 折叠压平，使点B 落在坐标平面内，设点B 的对应点为点E ，当△ADE 是等腰直角三角形时，m= ，点E 的坐标为 ；
Q QPM Q 1-=x ()0,1y P M C 03<<-m 1C ()3,n 1C y c bx ax y ++=21C ()0>n n C 0>m m ()112++-=x m x y C
8如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，2
3
），且与y轴交于点C
（0，2
），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）。
（1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；
（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP 的最小值，若不存在，请说明理由。
（3）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点Q，使︳AQ-C Q︱的值最大？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由。
轴对称图形知识点归纳
轴对称知识梳理 一、基本概念 1.轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 2.线段的垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 3.轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换. 4.等腰三角形 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 5.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 二、主要性质 1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 2.线段垂直平分钱的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 3.（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，-y）. （2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（-x，y）. 4.等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合. （3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴. （4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等. （5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。 （6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边. 5.等边三角形的性质 （1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. （2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴. （3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合. 三、有关判定 1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）. 3.三个角都相等的三角形是等边三角形. 4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
新北师大版七年级数学下线段、角的轴对称性练习及答案
线段、角的轴对称性 [趣题导学] 如图1.4-1，初二（1）班与初二（2）班这两个班的学生分别在M、N两处参加劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM=PN，你能找出符合条件的点P，并简要说明理由吗？ 图1.4-1 图1.4-2 解答：P点如图1.4-2所示，作∠BAC的角平分线AD，作线段MN的垂直平分线EF，AD 与EF交于点P，因为AD平分∠BAC，所以点P到两条道路AB、AC的距离相等，又因为点P在线段MN的中垂线上，所以PM=PN。 [双基锤炼] 一、选择题 1、下列图形中，不是轴对称图形的是（） A. 两条相交直线 B. 线段 C.有公共端点的两条相等线段 D.有公共端点的两条不相等线段 2、到三角形的三个顶点距离相等的点是（） A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 3、有下列图形：（1）两个点；（2）一条线段；（3）一个角；（4）一个长方形；（5）两条相交直线；（6）两条平行线。其中轴对称图形共有（） A、3个 B、4个 C、5个 D、6个 4、已知：在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线上，DE⊥AB，F为AC上一点，且∠DFA=1000，则（） A.DE>DF B.DE 轴对称图形 教学目标：1、结合欣赏民间艺术的剪纸图案，以及服饰、工艺品与建筑等图案，感知现实世界中普遍存在的对称现象。 2、通过折纸、剪纸、画图、图形分类等操作活动，体会对称图形的 特征，能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形。 教学重点：结合欣赏民间艺术的剪纸图案，以及服饰、工艺品与建筑等图案，感知现实世界中普遍存在的对称现象。 教学难点：通过折纸、剪纸、画图、图形分类等操作活动，体会对称图形的特征，能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形。 教学用具：电脑课件，彩色图片，彩色卡片，衣服和瓶子的图片。 教材分析：本课是学生学习空间与图形知识的基础，这部分内容对于帮助学生建立空间观念，培养学生的空间想像力有着重要的作用。对称是现实世界中普遍存在的一种现象，这一课时的内容是认识对称图形，让学生通过观察、探索、动手操作，了解“对称”“对称轴”等概念，并且初步体会对称图形的性质。教学设计： 一、创设情境 师：同学们，你们看看画片上画的是什么？（天安门、蝴蝶、蜻 蜓、树叶） 师：你们看这些图形漂亮吗？在生活中有很多这样的图形，今天，我们来研究这些图形有什么特点。 二、引导探索 1、剪一剪 师：请同学们看这个图形只画了一半，如果它的另一半也完全相同，你们猜猜这是什么？（瓶子）这个呢？（衣服）请你设法把这个瓶子剪下来。 （操作时，有的学生画出瓶子的另一半，再沿着外轮廓剪下来，但还是不太像瓶子；有的学生先对折，再沿着外轮廓剪，打开后，就是一个瓶子。先在小组内交流，再在全班交流。） 师：说一说你是怎样剪的，你喜欢哪种方法，用你喜欢的方法把衣服剪下来。 师：刚才你们剪瓶子、衣服时，发现这些图形有什么共同的地方？（小组讨论，全班交流。） 师：谁能解释一下什么叫“两边完全重合”。 师：像这样队长后完全重合的图形，我们叫它轴对称图形，这条折痕叫做对称轴。（板书课题：轴对称图形。） 师：这节课一开始我们看到的图片，天安门、蝴 蝶、蜻蜓、树叶是不是轴对称图形，你是怎样判断的？对称轴在哪里？ 【本讲教育信息】 一、教学内容： 1. 基本概念：轴对称、轴对称图形，线段的垂直平分线。 2. 轴对称的性质。 3. 线段的垂直平分线的性质及判定 4. 尺规作图：轴对称图形的作法；作线段的垂直平分线 5. 关于坐标轴对称的点的坐标特点。 二、知识要点： 1. 基本概念 （1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 （2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 （3）轴对称和轴对称图形的区别和联系： 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 （4）线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 2. 轴对称的性质： （1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 （2）关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形。 轴对称图形的性质：（轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。） 3. 线段的垂直平分线的性质及判定 （1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 如图①，若PC是线段AB的垂直平分线（AC＝BC，PC⊥AB），则PA＝PB （2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 如图②，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 4. 尺规作图 （1）如何作轴对称图形 几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。所以作轴对称图形的关键是作点关于直线的对称点 （2）作线段的垂直平分线 ①分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于C、D两点， ②作直线CD。 CD就是线段AB的垂直平分线。 5. 关于坐标轴对称的点的坐标特点 第二章线段、角的轴对称性 一．选择题（共10小题） 1．（2016湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（） A．8 B．6 C．4 D．2 2．（2016淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分 别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（） A．15 B．30 C．45 D．60 3．（2016德州）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（） A．65°B．60°C．55°D．45° 4．如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（） A．2 B．2C．4 D．4 5．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连接CD． 若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（） A．90°B．95°C．100°D．105° 6．如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的垂直平分线，射线m平分∠ABC，l与m相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP等于（） A．24°B．30°C．32°D．42° 7．如图，△ABC中，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，已知AC=5cm，△ADC 的周长为17cm，则BC的长为（） A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm 8．三角形ABC的三条内角平分线为AE、BF、CG，下面的说法中正确的个数有（） ①△ABC的内角平分线上的点到三边距离相等 ②三角形的三条内角平分线交于一点 ③三角形的内角平分线位于三角形的内部 ④三角形的任一内角平分线将三角形分成面积相等的两部分． A．1个B．2个C．3个D．4个 9．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（） A．11 B．5.5 C．7 D． 10．如图所示，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，PA=6，则点P到点C的距离为PC满足（） A．PC＜6 B．PC=6 C．PC＞6 D．以上都不对 二．填空题（共6小题） 11．（2016西宁）如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD=______． 12．（2016遵义）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD=_____ _度． 2.4 线段、角的轴对称性（4） 教学目标: 1．能利用所学知识提出问题并能解决实际问题； 2．能利用角平分线性质定理和逆定理证明相关结论，做到每一步有根有据； 3．经历探索角的轴对称应用的过程，在解决问题的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性． 教学重点: 综合运用角平分线的性质定理和逆定理解决问题． 教学难点: 学会证明点在角平分线上． 教学过程: 开场白 同学们，上节课我们知道了“角平分线上的点到角两边距离相等”，而且“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”．这两个定理能用来解决什么问题呢？ 例2 已知：△ABC的两内角∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点P．求证：点P在∠A的角平分线上． 分析：要证明点P在∠A的角平分线上，根据角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上，只要点P到∠A两边的距离相等，所以过点P做两边的垂线段PD、PE，证出PD＝PE，而要证PD＝PE，因为点P是∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，根据角平分线的性质，点P到∠ABC、∠ACB两边的距离都相等，所以只要做出BC边上的垂线段PF，就可得PD＝PF，PE＝PF，从而PD＝PE，所以得证． 通过解决上述问题，你发现三角形的三个内角的角平分线有什么位置关系？ 例3 已知：如图2-28，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF AC，垂足为E、F．求证：AD垂直平分EF． 分析：要证AD垂直平分EF， 只要证：，． 已知∠BAD＝∠CAD，DE⊥AB，DF AC， 只要证， 只要证． …… 指导学生完成练习． 解完题后，说说你的发现，提出你的问题． 练习：课本P56练习． 学生发现：三角形两外角的角平分线与第三个角的角平分线所在的直线相交于一点；可能提出“三角形三个外角的角平分线所在直线是否相交于一点的问题”． 布置作业 课本P58-59习题2.4，分析第9、10、11题的思路，任选2题写出过程． 图形的对称性复习 一、题型特点 1、涉及主要知识点 涉及到的几何变换：轴对称、中心对称。 轴对称基本知识点： 1）主要概念 (1) 轴对称：两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说这两个图 形成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段 叫做对称线段． (2) 轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重 合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． （3）两者的区别是：轴对称图形是一个具有特殊性质的图形，而轴对称是说两个图形之间的位置关系． 2）主要性质 轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那以对应线段相等，对应角相 等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分． 3) 简单的轴对称图形： 线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正多边形及圆等都是常见的轴对称图形 ①线段：有两条对称轴：线段所在直线和线段中垂线． ②角：有一条对称轴：该角的平分线所在的直线 ③等腰(非等边）三角形是轴对称图形：有一条对称轴，底边中垂线． 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴．等腰三角形的两个底角相等． ④等边三角形是轴对称图形：有三条对称轴：每条边的中垂线 中心对称基本知识点 1）主要概念 （1）中心对称图形定义：在平面内，一个图形绕某个点旋转180○，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心． （2）中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转 180○，如果它能够与另一个图形 完全重合，那么就说这两个图形关于这个点是对称的，这个点叫做对称中心． 2）主要性质 学案1.4 线段、角的轴对称性 知识与基础 1、在下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A 、一条线段 B 、两条相交直线 C 、有公共端点的两条相等的线段 D 、有公共端点的两条不相等的线段 2、有下列图形：（1）两个点；（2）一条线段；（3）一个角；（4）一个长方形；（5）两条相交直线；（6）两条平行线。其中轴对称图形共有（ ） A 、3个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 3、如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，若∠1＝20o，则∠3＝______o；若PD ＝1cm ，则PE ＝_________cm. A A D C D P O E B B E C 4、如图，在△ABC 中， AB 的垂直平分线DE 交 BC 于点E ，交AB 于点D ，△ACE 的周长为11cm ，AB ＝4cm ，则△ABC 的周长为__________cm. 5、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°,BD 平分∠ABC CD ：AD ＝2：3，则点D 到AB 的距离为A D C P A B 6、如图，直线交于点O ，点P 关于l 1、l 2的对称点分别为P 、P 。 （1）若l 1、l 2相交所成的锐角∠AOB ＝60°，则∠P 1OP 2＝_________； （2）若OP ＝3，P 1P 2＝5，则△P 1OP 2的周长为_________。 7、如图，在△ABC 中，AD 是边BC 的垂直平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。 （1）AD 是∠BAC 的角平分线吗？为什么？ （2）写出图中所有的相等线段，并说明理由。 应用与拓展 8、如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 互相垂直 平分，交点为O ，写出图中所有相等的线段和相等的角，A O C 并说明理由。 B 9、“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路l 1、l 2和两个城镇A 、B （如 1 2 3 初中数学《线段、角的轴对称性》教案 教学课题：§1.4线段、角的轴对称性(一) 教学时间（日期、课时）： 教材分析： 学情分析： 教学目标： 1.经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念； 2 .探索并掌握线段的垂直平分线的性质； 3.了解线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合； 4 在“操作---探究----归纳----说理”的过程中学会有条理地思考和表达，提高演绎推理能力。 探索并掌握线段的垂直平分线的性质 线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合 教学准备 《数学学与练》 集体备课意见和主要参考资料 页边批注 加注名人名言 苏州市第二十六中学备课纸第页 教学过程 一．新课导入 问题1：线段是轴对称图形吗？为什么？ 探索活动： 活动一对折线段 问题1：按要求对折线段后，你发现折痕与线段有什么关系？ 问题2：按要求第二次对折线段后，你发现折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系？ 二．新课讲授 结论：1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴； 2.线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等(投影) 例题：例1P21(投影) 这是一道文字描述的几何说理题，对大多数同学来说容易理解，但不易叙述，因此要做一定的分析，如：你能读懂题目吗？题中已知哪些条件？要说明怎样一个结论？题中的已知条件和要说明的结论能画出图形来表示吗？根据图形你能说明道理吗？ 活动二用圆规找点 问题1：你能用圆规找出一点Q，使AQ＝BQ吗？说出你的方法并画出图形（保留作图痕迹），还能找出符合上述条件的点M吗？ 问题2：观察点Q、M，与直线l有什么关系？符合上述条件的点你能找出多少个？它们在哪里？ 结论：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 活动三用直尺和圆规作线段的垂直平分线 1.按课本上的方法在书上作出线段的垂直平分线； 2.同位可画出不同位置的线段，相互作出线段的垂直平分线 加注名人名言 5.1 轴对称现象 【主要问题】：什么是轴对称图形？什么是成轴对称图形？ 1、全等图形是指： . 2、如图(1)，AC 平分∠DAE ，且AD = AE ，B 为AC 上一点，求证：△CBD ≌△CBE. 3、如图(2)， AO 平分∠EAD 和∠EOD.求证：① △AOE ≌△AOD ；②EB=DC 共同点 不同点 轴对称图形 两个图形成轴对称 注意：对于平面图形，当把直线（对称轴）两旁的部分看成一个图形时，它便是 图形。 当把直线（对称轴）两旁的部分看成两个图形时，它便是两个图形成 ， 两者并非能够严格的区分. 巩固练习： 5、下列平面图形中，不是轴对称图形的是： （ ）. 6、（1）请完成下表： 图形 …… 名称 对称轴条数 （2）请你就正n 边形的对称轴条数做一个猜想 5.2 探索轴对称的性质 轴对称图形和两个图形成轴对称有哪些性质？ 1、判断题： （1）轴对称图形只有一条对称轴（ ） （2）轴对称图形的对称轴是一条线段（ ） 图(2) 4 32 1E D C B A 图（1） （3）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形（ ） （4）轴对称图形指两个图形（ ） 2．下面图形是轴对称图形的有（ ） A ．角 B ．线段 C ．太极图 E ．等腰三角形 D ．香港特别行政区区旗上的紫荆花 F ．五角星 3、 4、如图（4）是轴对称图形，则相等的线段 有 ，相等的角是 5．轴对称图形沿对称轴对折后，对称轴两旁的部分( ) A ．完全重合 B ．不完全重合 C ．两者都有 6. 如图(5)，△ABC 与△A ′B ′C ′关于直线对称， 则∠B 的度数为 。 7、如图（6），△ABC 与△DEF 关于直线l 成轴对称 ①请写出其中相等的线段； ②如果△ABC 的面积为6cm,且DE=3cm ，求△ABC 中AB 边上的高h 。 5.3 简单的轴对称图形（1）（P121-122页） 评价： 【学习目标】：1、经历探索等腰三角形的轴对称性的过程，进一步理解轴对称的性质，发展空间观念； 2、探索并了解等腰三角形的轴对称性及其相关性质； 【主要问题】：等腰三角形有哪些性质？等边三角形有哪些性质？ 一、基础知识回顾 1、下列图形不一定是轴对称图形的是（ ）A 、圆 B 、长方形 C 、线段 D 、三角形 2、以下结论正确的是（ ）． A ．两个全等的图形一定成轴对称 B ．两个全等的图形一定是轴对称图形 C ．两个成轴对称的图形一定全等 D 3、轴对称图形对应点连线被 ，对应角对应线段都 ．图（4） 图（5） A B C F D E l 3.2 圆的轴对称性(2) 教学目标 1.使学生掌握垂径定理及其推论，并会用垂径定理及其推论解决有关证明、计算和 作图问题； 2.使学生了解垂径定理及其推论在实际中的应用，培养学生把实际问题转化为数学 问题的能力和计算能力，结合应用问题向学生进行爱国主义教育. 教学重点和难点 垂径定理的两个推论是重点；由定理推出推论1是难点. 教学方法：类比启发 教学辅助：投影片 教学过程： 一、从学生原有的认知结构提出问题 1.画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论.(由学生叙述) 2.教师引导学生写出垂径定理的下述形式： 题设结论 指出：垂径定理是由两个条件推出三个结论，即由①②推出③④⑤. 提问：如果把题设和结论中的5条适当互换，情况又会怎样呢?引出垂径定理推论的课题 二、运用逆向思维方法探讨垂径定理的推论 1.引导学生观察图形，选①③为题设，可得： 由于一个圆的任意两条直径总是互相平分的，但是它们不一定是互相垂直的，所以要使上面的题设能够推出上面的结论，还必须加上“弦AB不是直径”这一条件. 已知：如图3-15，在⊙O中，直径CD与弦AB(不是直径)相交于E，且E是AB的中点. 求证：CD⊥AB，. 分析：要证明CD⊥AB，即证OE⊥AB，而E是AB的中点，即证OE为AB的中垂线.由等腰三角形的性质可证之.利用垂径定理可知AC＝BC，AD＝BD. 证明：连结OA，OB，则OA＝OB，△AOB为等腰三角形. 因为E是AB中点，所以OE⊥AB，即CD⊥AB， 又因为CD是直径，所以 2.(1)引导学生继续观察、思考，若选②③为题设，可得： (2)若选①④为题设，可得： 3.根据上面具体的分析，在感性认识的基础上，引导学生用文字叙述其中最常用的三 推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； (3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧. 4.垂径定理的推论2. 在图3-15的基础上，再加一条与弦AB平行的弦EF，请同学们观察、猜想，会有什么结论出现：(图7-37) 学生答 接着引导学生证明上述猜想成立.(重点分析思考过程，然后学生口述，教师板书.) 证明：因为EF∥AB，所以直径CD也垂直于弦EF， 函数的对称性 一、有关对称性的常用结论 （一）函数图象自身的对称关系 1、轴对称 (1))(x f -=)(x f ?函数)(x f y =图象关于y 轴对称； (2) 函数)(x f y =图象关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+?()(2)f x f a x =- ?()(2)f x f a x -=+； （3）若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的图象关于直线2 b a x += 对称。 2、中心对称 （1）)(x f -=－)(x f ?函数)(x f y =图象关于原点对称；. （2）函数)(x f y =图象关于(,0)a 对称?)()(x a f x a f --=+?()(2)f x f a x =-- ?)2()(x a f x f +=-； （3）函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心对称?b x a f x a f 2)()(=++- ?b x f x a f 2)()2(=+- （4）若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件c x b f x a f =-++)()(（c b a ,,为常数），则函 数)(x f y =的图象关于点)2 ,2(c b a + 对称。 （二）两个函数图象之间的对称关系 1.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f y -=的图象关于直线2a b x -= 对称。 推论1：函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线0=x 对称。 推论2：函数)(a x f y -=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。 2.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f c y --=的图象关于点)2,2( c a b -对称。 推论：函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=图象关于点)0,2(a b -对称。 （一）选择题 1. 已知定义域为R 的函数)(x f 在） ，（∞+8上为减函数，且函数)8(+=x f y 为偶函数，则（ ） A ．)7()6(f f > B.)9()6(f f > C.)9()7(f f > D.)10()7(f f > 专题复习图形变换中的轴对称变换 左权二中徐旭芳 学生起点分析 学生的知识技能基础：学生在生活中已经对轴对称现象不陌生了，在本章前面两节课中，认识了轴对称的现象，加强了对图形的理解和认识，初步探索并了解了概念，为接下来的学习奠定了基础。 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生通过想象，再动手操作验证自己的想象，解决了一些简单的现实问题，感受到了充分观察、操作的必要性和作用，获得了一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 一、教学任务分析 教科书基于学生对轴对称图形的认识，提出了本课的具体学习任务，认识等腰三角形和等边三角形的轴对称性及其有关性质。本节课的教学目标是： 1. 经历探索简单图形轴对称的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念。 2. 探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质。 3. 通过学生的操作与思考，使学生掌握等腰三角形和等边三角形的轴对称性及其有关性质，从而发展空间观念。 二、教学设计分析 按照学生的认识规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采用以实验发现法为主，直观演示法为辅。教学中，精心设计了一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情境，诱导学生思考、操作，教师适时地演示，并用电教媒体化静为动，激发学生探求知识的欲望，逐步推导归纳得出结论，使学生始终处于自主探索、合作交流的积极状态，从而培养学生的思维能力。 本节课设计了如下教学环节： 第一环节知识回顾 内容：观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形, 能找出对称轴吗？ 怀文中学2011---2012学年度第一学期教学设计 初 二 数 学（1.4线段、角的轴对称性1） 主备：陈秀珍 审核：曼玉 日期：2012-8-31 学习目标： 1．经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念； 2．探索并掌握线段的垂直平分线的性质； 3．了解线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合； 4．在“操作---探究----归纳----说理”的过程中学会有条理地思考和表达，提高演绎推理能力． 教学重点：探索并掌握线段的垂直平分线的性质． 教学难点：线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合． 教学过程： 一．自主学习（导学部分） 1．按要求对折线段后，你发现折痕与线段有什么关系？ 按要求第二次对折线段后，你发现折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系？ 线段是轴对称图形吗？为什么？ 2．例1你能读懂题目吗？题中已知哪些条件？要说明怎样一个结论？ 题中的已知条件和要说明的结论能画出图形来表示吗？根据图形你能说明道理吗？ 二．合作、探究、展示 活动一 对折线段 问题1：按要求对折线段后，你发现折痕与线段有什么关系？ 问题2：按要求第二次对折线段后，你发现折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系？ 结论：1＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 例题：P18 例1 这是一道文字描述的几何说理题，对大多数同学来说容易理解，但不易叙述，因此要作一定的 分析， 活动二 用圆规找点 问题1：你能用圆规找出一点Q ，使AQ ＝BQ 吗？说出你的方法并画出图形（保留作图痕迹）， 还能找出符合上述条件的点M 吗？ 问题2：观察点Q 、M ，与直线l 有什么关系？符合上述条件的点你能找出多少个？它们在哪里？ 结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 活动三 用直尺和圆规作线段的垂直平分线 1.按课本上19页的方法在书上作出线段的垂直平分线； 2.同理可画出不同位置的线段，相互作出线段的垂直平分线 结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3.如图在直线MN 上求作一点P ，使PA ＝PB ． 4.已知：如图，AB ＝AC ＝12 cm ，AB 的垂直平分线分别交AC 、AB 于D 、E ，△ABD 的周长等于29 cm ，求DC 的长． 三．巩固练 1．到三角形的三个顶点距离相等的点是 （ ） A ．三条角平分线的交点 B ．三条中线的交点 C ．三条高的交点 D ．三条边的垂直平分线的交点 2．如图，△ABC 中，D E 垂直平分AC ，与AC 交于 E ，与BC 交于D ，∠C ＝15°，∠BAD ＝60°，则△ABC 是 __________三角形． 3．如图，△ABC 中，AB 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D 、E ，AC 的垂直平分线分别交AC 、 BC 于点F 、G ，若BC ＝25cm ，求△AEG 的周长． 4．在下图中分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连结C 、D 交OA 于M ，交OB 于N ， 若CD ＝5厘米，求ΔPMN 的周长． 5．滨海政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区 A 、B 、C 之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何 处，才能使得它到三个小区的距离相等. 四．课堂小结 五．布置作业 六．预习指导 教学反思： · B O A C B A N M B D C 第二章 2.4 线段、角的轴对称性 一．选择题（共10小题） 1．（2016?湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（） A．8 B．6 C．4 D．2 2．（2016?淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧， 分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（） A．15 B．30 C．45 D．60 3．（2016?德州）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大 于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD 的度数为（） A．65° B．60° C．55° D．45° 4．如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（） A．2 B．2C．4 D．4 5．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连接CD． 若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（） A．90° B．95° C．100°D．105° 6．如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的垂直平分线，射线m平分∠ABC，l与m相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP等于（） A．24° B．30° C．32° D．42° 7．如图，△ABC中，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，已知AC=5cm，△ADC 的周长为17cm，则BC的长为（） A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm 8．三角形ABC的三条内角平分线为AE、BF、CG，下面的说法中正确的个数有（） ①△ABC的内角平分线上的点到三边距离相等 ②三角形的三条内角平分线交于一点 ③三角形的内角平分线位于三角形的内部 ④三角形的任一内角平分线将三角形分成面积相等的两部分． A．1个B．2个C．3个D．4个 9．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（） A．11 B．5.5 C．7 D．3.5 10．如图所示，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，PA=6，则点P到点C的距离为PC满足（） A．PC＜6 B．PC=6 C．PC＞6 D．以上都不对 二．填空题（共6小题） 11． （2016?西宁）如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD=______． 12．（2016?遵义）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD=_____ _度． 1．4线段、角的轴对称性(1) 【学习目标】： 1.经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念； 2 .探索并掌握线段的垂直平分线的性质. 【重点难点】：线段中垂线的性质和判定 【预习指导】： 自学课本18页到19页，回答下列问题并写下疑惑摘要 问题1：线段是轴对称图形吗？为什么 问题2线段的对称轴是什么？ 问题3已知线段MN=3cm ,直线l是MN的垂直平分线。分别以M,N 为圆心，2cm的长为半径画弧，两弧相交于点G、H，并观察点G,H与直线l有什么关系? 课堂活动 活动一对折线段 问题1：按要求对折线段后，你发现折痕与线段有什么关系？ 问题2：按要求第二次对折线段后，你发现折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系？结论：1＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 例题：P18 例1 这是一道文字描述的几何说理题，对大多数同学来说容易理解，但不易叙述，因此要做一定的分析，如：你能读懂题目吗？题中已知哪些条件？要说明怎样一个结论？题中的已知条件和要说明的结论能画出图形来表示吗？根据图形你能说明道理吗？ 活动二用圆规找点 问题1：你能用圆规找出一点Q，使AQ＝BQ吗？说出你的方法并画出图形（保留作图痕迹），还能找出符合上述条件的点M吗？ 问题2：观察点Q、M，与直线l有什么关系？符合上述条件的点你能找出多少个？它们在哪里？ 结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 活动三用直尺和圆规作线段的垂直平分线 1.按课本上19页的方法在书上作出线段的垂直平分线； 2.同位可画出不同位置的线段，相互作出线段的垂直平分线 结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【典题选讲】： 已知：如图，AB=AC=12 cm，AB的垂直平分线分别交AC、AB于D、E，△ABD的周长等于29 cm，. 求DC的长 【学习体会】： 【课堂练习】： 1、如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若BC=25cm ，求△AEG的周长？ E 圆的对称性 温故知新： 1.已知:如图,点O是∠EPF的平分线的一点,以O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点 A、B和C、D.求证: ∠OBA=∠OCD 1、圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 (2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 (3)圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 (1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 (2)推论： 平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 【例1】如图，AB、AC、BC是⊙O的弦，∠AOC＝∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？ 【例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心， DE的度数． CA为半径的圆交AB于点D，交BC与点E．求⌒ AD、⌒ 【例3】如图，在同圆中，若⌒ AB＝2⌒ CD，则AB与2CD的大小关系是( ) ． A. AB＞2CD B. AB＜2CD C. AB＝2CD D. 不能确定 【例4】如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径． 【例5】如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=10cm，水深GF=1cm，若水面上升1cm（EG=1cm），则此时水面宽AB为多少？ 【例6】有一座弧形的拱桥，桥下水面的宽度AB 为7.2米，拱顶高出水面CD ，长为2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并且高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座弧形拱桥吗？ 课堂练习 1．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝122°，则∠AOC 的度数为( ) A ．122° B ．120° C ．61° D ．58° 2．下列结论中，正确的是( ) A ．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 B ．等弧所对的圆心角相等 C ．相等的圆心角所对的弧相等 D ．长度相等的两条弧是等弧 3．如图，在⊙O 中，若C 是AB ︵的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 等于( ) A ．40° B ．45° C ．50° D ．60° 4．如图，已知BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝ 60°，则∠COD 的度数是________． 5．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠BOC ＝40°，则∠AOE ＝ 5.2 探索轴对称的性质 教学目标： 1．探索轴对称的基本性质，掌握对应点所连的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等的性质。 2．通过本节课的学习，帮助学生更容易地感受到数学与现实生活的联系，体验到数学在解决实际问题中的作用，培养学生实事求是的态度及合作交流的能力。 3．通过环环相扣的、层层深入的问题设置，鼓励学生积极参与，培养学生自主、合作、探究的能力，培养学生学习数学的情趣。 教学重点：1．掌握轴对称的性质。 2．运用轴对称的性质解决实际问题。 教学难点：灵活运用轴对称的性质解决实际问题。 三、教学过程 第一环节复习引入 活动内容： （1）提问：什么样的图形是轴对称图形？怎么判断两个图形成轴对称？ 轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫这个图形的对称轴。 轴对称:对于两个图形，把一个图形沿着某一条直线对折，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形成轴对称。 这条直线是对称轴（幻灯片给出答案）。 （2）观察动画后回答 1、动画（1）中的两个三角形有什么关系？ 2、动画（2）中的三角形是个什么图形？） 活动目的：轴对称图形和两个图形成轴对称是学生比较容易混淆的概念，而本节课是探索轴对称的性质，实际上是以上两者都具备的性质，因此先对轴对称图形和两个图形成轴加强学生的学习目的。 实际教学效果：学生的学习目标得到了明晰，大大提高了课堂效率。 第二环节 探索发现 活动内容：各小组派代表展示自己课前所做的“14”，再结合幻灯片引导学生探索得到本节课的核心内容——轴对称的基本性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等。 活动目的：培养学生的动手能力，数学表达能力，团队合作意识。 实际教学效果：学生在一个开放的环境下展示、讲解亲自获取的数学知识，而且讲解中小组之间互相补充、互相竞争，气氛热烈,使学生们对轴对称的基本性质认识的更为深刻。 第三环节 巩固新知 活动内容： 1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分。 2.图⑴是轴对称图形，根据轴对称图形的性子，你可以得到相等的线段是 ，相等的角是 。 3.两个图形关于某直线对称，对称点一定在（ ） A ．这直线的两旁 B ．这直线的同旁 C ．这直线上 D ．这直线两旁或这直线上 4．轴对称图形沿对称轴对折后，对称轴两旁的部分 ( ) A ．完全重合 B ．不完全重合 C ．两者都有 （1） 轴对称图形基本念 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 【本讲教育信息】 一、教学内容： 1. 基本概念：轴对称、轴对称图形，线段的垂直平分线。 2. 轴对称的性质。 3. 线段的垂直平分线的性质及判定 4. 尺规作图：轴对称图形的作法；作线段的垂直平分线 5. 关于坐标轴对称的点的坐标特点。 二、知识要点： 1. 基本概念 （1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 （2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 （3）轴对称和轴对称图形的区别和联系： 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 （4）线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 2. 轴对称的性质： （1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 （2）关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形。 轴对称图形的性质：（轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。）轴对称图形
轴对称图形基本念
线段、角的轴对称性单元练习1
2.4线段、角的轴对称性(4)
初三数学基本图形的对称性复习
1.4 线段、角的轴对称性 练习(1)
初中数学《线段、角的轴对称性》教案
轴对称图形基本练习
浙教版第三章圆的基本性质教案3.2圆的轴对称性(2)
一、有关对称性的常用结论
图形变换中的轴对称变换
1.4 线段、角的轴对称性(1)教案
线段角的轴对称性单元练习
1.4线段、角的轴对称性(1)
圆的对称性
轴对称性质
轴对称图形基本念