第二章 随机过程的基本概念
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信息论与随机过程
其中 Y , Z 是相互独立旳随机变量，且 EY EZ 0 ，
DY DZ 2 ，求 {X (t),t 0} 旳均值函数 mX (t) 和协
方差函数 BX (s,t) 。
解：由数学期望旳性质，有
EX (t) E[Y cos(t) Z sin(t)] cos(t)EY sin(t)EZ 0
2．按过程旳概率构造分类
概率 构造 分类
独立随机过程 独立增量随机过程 马尔可夫过程 平稳随机过程
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第二节 随机过程旳分布及其数字特征
一、随机过程旳分布函数
一维 设{ X (t) ，t T }是一个随机过程，
分布 对于固定的t1 T ， X (t1) 是一个随机变量，
函数 其分布函数为
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F (t1；x1 ) P{X (t1 ) x1} ，t1 T
称为随机过程 X (t) 的均值函数
或称为数学期望
阐明 m(t) 是 X (t) 的所有样本函数在时刻 t 的函数值的平均
它表示随机过程 X (t) 在时刻 t 的摆动中心
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2．方差函数
随机过程{ X (t) ，t T }的二阶中心矩
D(t) D[ X (t)] E[(X (t) m(t))2 ]
X (t1) 和 X (t2 ) 的二阶原点混合矩
R(t1,t2 ) E[X (t1)X (t2 )]
称为随机过程 X (t) 的自相关函数，
简称有关函数
注 当 m(t) 0 时，有
R(t1,t2 ) = B(t1, t2 )
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6．相互关函数
设 X (t) 和Y (t) 是两个随机过程 对任意t1, t2 T 则
称 F (t1；x1 ) 为随机过程 X (t) 的一维分布函数。
DY DZ 2 ，求 {X (t),t 0} 旳均值函数 mX (t) 和协
方差函数 BX (s,t) 。
解：由数学期望旳性质，有
EX (t) E[Y cos(t) Z sin(t)] cos(t)EY sin(t)EZ 0
2．按过程旳概率构造分类
概率 构造 分类
独立随机过程 独立增量随机过程 马尔可夫过程 平稳随机过程
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第二节 随机过程旳分布及其数字特征
一、随机过程旳分布函数
一维 设{ X (t) ，t T }是一个随机过程，
分布 对于固定的t1 T ， X (t1) 是一个随机变量，
函数 其分布函数为
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F (t1；x1 ) P{X (t1 ) x1} ，t1 T
称为随机过程 X (t) 的均值函数
或称为数学期望
阐明 m(t) 是 X (t) 的所有样本函数在时刻 t 的函数值的平均
它表示随机过程 X (t) 在时刻 t 的摆动中心
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2．方差函数
随机过程{ X (t) ，t T }的二阶中心矩
D(t) D[ X (t)] E[(X (t) m(t))2 ]
X (t1) 和 X (t2 ) 的二阶原点混合矩
R(t1,t2 ) E[X (t1)X (t2 )]
称为随机过程 X (t) 的自相关函数，
简称有关函数
注 当 m(t) 0 时，有
R(t1,t2 ) = B(t1, t2 )
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6．相互关函数
设 X (t) 和Y (t) 是两个随机过程 对任意t1, t2 T 则
称 F (t1；x1 ) 为随机过程 X (t) 的一维分布函数。
随机过程课程第二章 随机过程的基本概念
第二章 随机过程的基本概念
第一节 随机过程的定义及其分类 第二节 随机过程的分布及其数字特征 第三节 复随机过程 第四节 几种重要的随机过程简介
第一节 随机过程的定义及其分类
一、直观背景及例
例1 电话站在时刻t时以前接到的呼叫次数 一般情况下它是一个随机变数X ，并且依赖 时间t，即随机变数X（t），t[0，24]。
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（4）平稳随机过程
平稳过程的统计特性与马氏过程不同，它不 随时间的推移而变化，过程的“过去”可以对 “未来”有不可忽视的影响。
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第二节 随机过程的分布及其数字特征
一、随机过程的分布函数
设{ X (t) ，t T }是一个随机过程，
一维
分布 对于固定的t1 T ，X (t1) 是一个随机变量，
F (t1,t2；x1, x2 ) =
x1
x2
f (t1, t2；y1, y2 )dy1dy2
则称 f (t1,t2；x1, x2 ) 为 X (t) 的二维概率密度
n维
n 维随机向量（X (t1 ) ，X (t2 ) ，…， X (tn ) ）
分布 函数
联合分布函数
F (t1,t2 , ,tn；x1, x2 , , xn )
分布函数
FXY (t1, ,tn ；t1, ,tm ；x1, , xn ； y1, , ym ）
P{X (t1) x1, , X (tn ) xn；Y（t1） y1, ,Y（tm ） ym }
称为随机过程和的n + m维联合分布函数
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相互 设 X (t) 和Y (t) ，t1,t2 , ,tn ，t1,t2 , ,tm T
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2．方差函数
随机过程{ X (t) ，t T }的二阶中心矩
第一节 随机过程的定义及其分类 第二节 随机过程的分布及其数字特征 第三节 复随机过程 第四节 几种重要的随机过程简介
第一节 随机过程的定义及其分类
一、直观背景及例
例1 电话站在时刻t时以前接到的呼叫次数 一般情况下它是一个随机变数X ，并且依赖 时间t，即随机变数X（t），t[0，24]。
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（4）平稳随机过程
平稳过程的统计特性与马氏过程不同，它不 随时间的推移而变化，过程的“过去”可以对 “未来”有不可忽视的影响。
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第二节 随机过程的分布及其数字特征
一、随机过程的分布函数
设{ X (t) ，t T }是一个随机过程，
一维
分布 对于固定的t1 T ，X (t1) 是一个随机变量，
F (t1,t2；x1, x2 ) =
x1
x2
f (t1, t2；y1, y2 )dy1dy2
则称 f (t1,t2；x1, x2 ) 为 X (t) 的二维概率密度
n维
n 维随机向量（X (t1 ) ，X (t2 ) ，…， X (tn ) ）
分布 函数
联合分布函数
F (t1,t2 , ,tn；x1, x2 , , xn )
分布函数
FXY (t1, ,tn ；t1, ,tm ；x1, , xn ； y1, , ym ）
P{X (t1) x1, , X (tn ) xn；Y（t1） y1, ,Y（tm ） ym }
称为随机过程和的n + m维联合分布函数
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相互 设 X (t) 和Y (t) ，t1,t2 , ,tn ，t1,t2 , ,tm T
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2．方差函数
随机过程{ X (t) ，t T }的二阶中心矩
第2章随机过程的基本概念
称为过程的n 维分布函数.记
F ?? { F ?t1 , t2 ,? , tn ; x 1 , x 2 ,? , x n ?:
ti ? T , x i ? Ri , i ? 1,2, ? , n , n ? 0} 称F为XT 的有限维分布函数族. 定义3 过程 { X(t), t的? nT维} 特征函数定义为
φ?t1 , t2 ,? , tn;?1 ,θ 2 ,? ,θ n ?
? E{e i[θ 1 X (t1 )? ? } ?θ n X (tn )]
称 {φ(t1, t2 ,? , tn;θ 1 ,θ 2 ,? ,θ n ) : t1 , t2 ,? , tn ? T, n ? 1}
为XT 的有限维特征函数族. 特征函数和分布函数是相互唯一确定.
定义2 过程 { X(t),对t ?任T给} 的
t1 , t2 ,? , tn ? T ,
随机向量
?X (t1 ), X (t2 ),? , X (tn )?
的联合分布函数
F (t1 , t2 ,? , tn; x1 , x2 ,? , xn ) ?
P{ X (t1 ) ? x1 , X (t2 ) ? x2 ,? , X (tn ) ? xn }
X(t1,ω)
X(t2,ω)
t1
t2
X(t,ω1) X(t,ω2) X(t,ω3) tn
定义 对每一固定 ω?，Ω称 { X(t, ? ), t的? 一T}个样本函数.
X是t ?随ω?机过程
也称轨道, 路径,现实.
Ex.5 利用抛硬币的试验定义一个随机过程，
X(t)
?
?cos? t, ?
?2t
出现正面； 出现反面. t ? R.
过程识别
F ?? { F ?t1 , t2 ,? , tn ; x 1 , x 2 ,? , x n ?:
ti ? T , x i ? Ri , i ? 1,2, ? , n , n ? 0} 称F为XT 的有限维分布函数族. 定义3 过程 { X(t), t的? nT维} 特征函数定义为
φ?t1 , t2 ,? , tn;?1 ,θ 2 ,? ,θ n ?
? E{e i[θ 1 X (t1 )? ? } ?θ n X (tn )]
称 {φ(t1, t2 ,? , tn;θ 1 ,θ 2 ,? ,θ n ) : t1 , t2 ,? , tn ? T, n ? 1}
为XT 的有限维特征函数族. 特征函数和分布函数是相互唯一确定.
定义2 过程 { X(t),对t ?任T给} 的
t1 , t2 ,? , tn ? T ,
随机向量
?X (t1 ), X (t2 ),? , X (tn )?
的联合分布函数
F (t1 , t2 ,? , tn; x1 , x2 ,? , xn ) ?
P{ X (t1 ) ? x1 , X (t2 ) ? x2 ,? , X (tn ) ? xn }
X(t1,ω)
X(t2,ω)
t1
t2
X(t,ω1) X(t,ω2) X(t,ω3) tn
定义 对每一固定 ω?，Ω称 { X(t, ? ), t的? 一T}个样本函数.
X是t ?随ω?机过程
也称轨道, 路径,现实.
Ex.5 利用抛硬币的试验定义一个随机过程，
X(t)
?
?cos? t, ?
?2t
出现正面； 出现反面. t ? R.
过程识别
随机过程讲义（第二章）（PDF）
第二章 随机过程的一般概念2.1 随机过程的基本概念和例子定义2.1.1：设(P ,,F )Ω为概率空间，T 是某参数集，若对每一个，是该概率空间上的随机变量，则称为随机过程(Stochastic Process)。
T t ∈),(w t X ),w t (X 随机过程就是定义在同一概率空间上的一族随机变量。
随机过程可以看成定义在),(w t X Ω×T 上的二元函数，固定Ω∈0w ，即对于一个特定的随机试验，称为样本路径(Sample Path)，或实现(realization)，这是通常所观测到的过程；另一方面，固定，是一个随机变量，按某个概率分布随机取值。
),(0w t X T t ∈0),(0w t X抽象一点：令，即∏∈=Tt T R R T R 中的元素为),(T t x X t t ∈=,为其Borel域(插乘)(T R B σ域)，随机过程实质上是()F ,Ω到())(,T T R R B 上的一个可测映射，在())(,T TR RB 上诱导出一个概率测度：T P ()B X P B P R B T T T ∈=∈∀)(),(B 。
一般代表的是时间。
根据参数集T 的性质，随机过程可以分为两大类： t 1)为可数集，如T {}L ,2,1,0=T 或{}L L ,1,0,1,−=T ，称为离散参数随机过程，也称为随机序列；2)为不可数集，如T {}0≥=t t T 或{}∞<<∞−=t t T ，称为连续参数随机过程。
随机过程的取值称为过程所处的状态(State)，所有状态的全体称为状态空间(State Space)。
通常以表示随机过程的状态空间。
根据状态空间的特征，一般把随机过程分为两大类：T t t X ∈),(S 1) 离散状态，即取一些离散的值； )(t X 2)连续状态，即的取值范围是连续的。
)(t X离散参数离散状态随机过程： Markov 链 连续参数离散状态随机过程： Poisson 过程 离散参数连续状态随机过程： *Markov 序列连续参数连续状态随机过程： Gauss 过程，Brown 运动例2.1.1：一醉汉在路上行走，以的概率向前迈一步，以q 的概率向后迈一步，以p r 的概率在原地不动，1=++r q p ，选定某个初始时刻，若以记它在时刻的位置，则就是直线上的随机游动(Random Walk)。
第二章 随机过程
T /2
（2-2-7）
16
如果平稳过程使下式成立
a = a
σ
2
=σ
2
（2-2-8）
R (τ ) = R (τ )
称该平稳过程ξ(t)具有各态历经性。 称该平稳过程 具有各态历经性。 具有各态历经性 意义：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的 意义：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的 实现 所有可能状态。 所有可能状态。 具有各态历经性随机过程一定是平稳过程， 具有各态历经性随机过程一定是平稳过程，反之不 一定成立。 一定成立。 求解各种统计平均时（实际中很难获得大量样本）， 求解各种统计平均时（实际中很难获得大量样本）， 无需作无限多次考察，只要获得一次考察， 无需作无限多次考察，只要获得一次考察，用一次 实现的时间平均值代替过程的统计平均即可。 实现的时间平均值代替过程的统计平均即可。
满足上式则称ξ(t)为广义平稳随机过程或宽平稳随机过 满足上式则称 为广义平稳随机过程或宽平稳随机过 程。 严平稳随机过程（狭义平稳随机过程） 严平稳随机过程（狭义平稳随机过程）只要 Eξ2(t) 均方值有界，它必定是广义平稳随机过程。 均方值有界，它必定是广义平稳随机过程。 反之不一定成立。 反之不一定成立。
C (t1 , t 2 ) = E {[ξ (t1 ) − a (t1 ) ][ξ (t 2 ) − a (t 2 ) ]} =
∞ ∞ −∞ −∞
∫ ∫ [x
1
− a (t1 ) ][ x 2 − a (t 2 ) ] f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) dx1 x 2
（2-1-5） 2-1-5
互相关函数（针对两个随机过程） 互相关函数（针对两个随机过程）
Cξ ,η (t1 , t2 ) = E {[ξ (t1 ) − a (t1 ) ][η (t2 ) − a (t2 ) ]}
第二章 随机过程的基本概念_2.3 2.4
相关时间 0 小：随机过程随时间变化快 相关时间 0 大：随机过程随时间变化慢
4 2 0 -2 -4 10 5 0 -5 -10
0
50
100
0
50
100
0 1
2015/5/12
0 100
14
两个不同相关时间随机过程的样本函数
2.3.4 循环平稳的概念
广义循环平稳：
如果随机过程X(t)的均值和自相关函数满足下列关系
2T
0
(1
2T
2 )[ RX ( ) mX ]d 0
平稳随机过程X(t)具有相关函数遍历性的充要条件
1 lim T T
2T
0
(1
2T
2 )[ R ( ) RX ( )]d 0
(t ) X (t ) X (t )
2015/5/12 22
第二章随机过程的基本概念
mX mX
其中
RX ( ) RX ( )
RX ( )
1 lim T 2T
T T
x(t
) x(t )dt
则X(t)为遍历(各态历经)过程。
2015/5/12 19
2.3.5 随机过程的各态历经性
X (t ) X (t )
t
t
(a)
(b)
各态历经过程与非各态历经过程示意图 各态历经过程的一个样本函数经历了随机过程 所有可能的状态
如果
f XY ( x1 ,..., xN , t1 ,..., t N , y1 ,..., yM , t '1 ,..., t 'M ) f X ( x1 ,..., xN , t1 ,..., t N ) fY ( y1 ,..., yM , t '1 ,..., t 'M )
4 2 0 -2 -4 10 5 0 -5 -10
0
50
100
0
50
100
0 1
2015/5/12
0 100
14
两个不同相关时间随机过程的样本函数
2.3.4 循环平稳的概念
广义循环平稳：
如果随机过程X(t)的均值和自相关函数满足下列关系
2T
0
(1
2T
2 )[ RX ( ) mX ]d 0
平稳随机过程X(t)具有相关函数遍历性的充要条件
1 lim T T
2T
0
(1
2T
2 )[ R ( ) RX ( )]d 0
(t ) X (t ) X (t )
2015/5/12 22
第二章随机过程的基本概念
mX mX
其中
RX ( ) RX ( )
RX ( )
1 lim T 2T
T T
x(t
) x(t )dt
则X(t)为遍历(各态历经)过程。
2015/5/12 19
2.3.5 随机过程的各态历经性
X (t ) X (t )
t
t
(a)
(b)
各态历经过程与非各态历经过程示意图 各态历经过程的一个样本函数经历了随机过程 所有可能的状态
如果
f XY ( x1 ,..., xN , t1 ,..., t N , y1 ,..., yM , t '1 ,..., t 'M ) f X ( x1 ,..., xN , t1 ,..., t N ) fY ( y1 ,..., yM , t '1 ,..., t 'M )
随机过程 第2章
随机变量 随机变量族
e → x(e) (e, t) → xt(e)=x(e, t)
x=xt(ei)
x
e1 e2 e3
e
概率空间和随机对象
样本空间
概率空间
随机变量
随机向量
随机过程
2.1 随机过程的基本概念
定义：设(Ω, ö,P)为概率空间，T是参数集。 若对任意 t ∈T ，有随机变量X(t, e)与之 对应，则称随机变量族{X(t, e)， t ∈T } 是(Ω, ö,P)上的随机过程，简记为 {X(t)，t ∈T }或{Xt，t ∈T }。 ★ X(t)的所有可能的取值的集合称为状态空 间或相空间，记为I。
由此可将随机过程分为以下四类：
a. 离散参数离散型随机过程； b. 离散参数连续型随机过程； c. 连续参数离散型随机过程； d. 连续参数连续型随机过程。
2. 以随机过程的统计特征或概率特 征分类：
a. 独立增量过程； b. Markov过程； c. d. e. f. g. 二阶矩过程； 平稳过程； 鞅； 更新过程； Poission过程；
称之为随机过程X(t) 的二维概率密度。
2.3 随机过程的分布律
随机过程的二维分布函数比一维分布函数包含了随 机过程变化规律更多的信息，但它仍不能完整地反 映出随机过程的全部特性及变化规律。用同样的方 法，我们可以引入随机过程 X(t) 的 n 维分布函数和 n 维概率密度。
FX ( x1 , x2 , , xn ; t1 , t2 , tn )
• 又如移动某基站每天的通话次数，X 显然不 能确定，即为随机变量，进一步分析知这 个 X 还和时间 t 有关，即 X(t)，所以 X(t) 也构成一个过程，即随机过程；类似地， 气温、气压、商店每天的顾客流量等都构 成一个随机过程。
随机过程第二章
例2.8利用掷一枚硬币的试验定义一个随机过程 2.8
cosπt,出现正面 X (t) = 2t, 出现反面
0 ≤ t < +∞
已知出现正面与反面的概率相等. ⑴ 求X(t)的一维分布函数F(1/2; x),F(1; x). F(1/2; ),F(1; ). ⑵ 求X(t) 的二维分布函数F(1/2,1; x1,x2).
A, 例2.5 设 S.P.X (t) = A+ Bt，其中 B 相互独 S 立同服从正态分布 (0,1) ，求.P.X (t) 的一 N 维和二维分布．
例2.6 设 其中
S.P.X (t) = Acos t, t ∈ R ，
A是 r.v. ， 而且具有概率分布
A P 1 1/3 2 1/3 3 1/3
由于初位相的随机性， 由于初位相的随机性，在某时刻t = t0 , X (t0 )是一 个随机变量． 个随机变量． 若要观察任一时刻 描述. 变量 X (t ) 描述
t
的波形， 的波形，则需要用一族随机
为随机过程． 则称 { X (t ), t ∈ [0, +∞)}为随机过程．
例2 .4样本曲线与状态 样本曲线与状态 X(t) = Acos(ωt + Φ)
2.1： 热噪声电压） 例2.1：（热噪声电压）电子元件或器件由于内部微观粒子
（如电子）的随机热骚动所引起的端电压称为热噪声电压， 如电子）的随机热骚动所引起的端电压称为热噪声电压， 时刻的值是随机变量， 它在任一确定 t 时刻的值是随机变量，记为 V (t ) ． 不同时刻对应着不同的随机变量，当时间在某区间， 不同时刻对应着不同的随机变量，当时间在某区间，譬如 [0, +∞)上推移时，热噪声电压表现为一簇随机变量．在无 上推移时，热噪声电压表现为一簇随机变量． 线电通讯技术中，接收机在接收信号时， 线电通讯技术中，接收机在接收信号时，机内的热噪声电 压要对信号产生持续的干扰，为消除这种干扰（假设没有 压要对信号产生持续的干扰，为消除这种干扰（ 其它干扰因素）， ），就必须考虑热噪声电压随时间变化的过 其它干扰因素），就必须考虑热噪声电压随时间变化的过 为此， 程.为此，我们通过某种装置对电阻两端的热噪声电压进
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2007年10月
Байду номын сангаас
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
例、设随机相位信号
X (n) cos(n /10 )
其中 {0, / 2} ，且取值概率各为1/2, 求 n1 0 ， n2 10 时的一维和二维概率分布。 解、
1
x1 (n) cos(n /10)
xi (n, i ) A cos(0n i )
随机相位信号
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
5 0 -5 5 0 -5 5 0 -5 5 0 -5 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200
(t1 , t2 ,
xn )
E{exp[ j (u1 X (t1 ) u2 X (t2 )
exp[ j (u1 X (t1 ) u2 X (t2 ) dF (t1 , t2 , tn ; x1 , x2 ,
ui R, ti T , i 1, 2, 为随机过程{ X (t ),t T }的n维特征函数.
模拟自然界实际的随机过程 。
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
0
50
100
150
200
伪随机序列
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
伪随机序列应用举例
GPS系统中的码分多址（CDMA）
GPS卫星
0
GPS接收机
伪随机码自相关函数
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
x 1 (n)
0
-1 0 20 40 60
1
x 2 (n)
x2 (n) cos(n /10 / 2)
0
-1 0 20 40 60
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
第二章 随机过程的基本概念
2.1 随机过程的基本概念及定义
自然界变化的过程可以分为确知性过程和随机过程两大类
自 然 界 变 化 过 程
确知 过程
每次观测所得结果都相同，都是时间t的一个确定
的函数，具有确定的变化规律。
•当t可变，ω固定时， X(t) 是一个确定的时间函数；
•当t可变，ω可变时， X(t) 是一个随机过程；
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
例、 设随机振幅信号
X (t ) Y cos0t
其中0 是常数，Y是均值为零，方差为1的正态随机变量，
求 t 0,
连续参数
参数集T的是一个不可列集T {t | t 0}
状态 分类
离散状态
取值是离散的
X (t )
连续状态 取值是连续的
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
状态 连续型随机过程 连续随机序列 连续 连续
时刻 连续 离散
离散型随机过程
离散随机序列
离散
离散
连续
离散
称具有这种特性的随机过程为贝努利型随机过程。
注
如果固定观测时刻t，则它的试验结果是属于两个 样本点（0，1）所组成的样本空间
如果在二个不同时刻 t1 ， t 2 观测试验结果
则样本空间出现的值为（0,0）,（0,1）,（1,0）,（1,1）
则{ x1 , x 2 }是一个二维随机变量
2007年10月
fX x, 2 ( x) 0
X 2 0 0
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
2.2 随机过程的分类和举例 1、按参数集和状态分类 离散参数 参数 分类 参数集T的是一个可列集T={0，1，2，…}
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
贝努利过程 设每隔单位时间掷一次硬币，观察它出现 的结果。如果出现正面，记其结果为1；如果 出现反面，记其结果为0。一直抛掷下去，便 可得到一无穷序列
{ xn；n 1 ， 2， ；xn 1或0 }
因为每次抛掷的结果是一个随机变量（1或0）， 所以无穷次抛掷的结果是一随机变量的无穷序列， 称为随机序列，也可称为随机过程。 每次抛掷的结果与先后各次抛掷的结果是相互独 立的，并且出现1或0的概率与抛掷的时间n无关。
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
设
P{ xn 1 }= p （第 n 次抛掷出现正面的概率） P{ xn 0 }= q = 1p （第 n 次抛掷出现反面的概率）
其中 P{ xn 1 } = p 与 n 无关，
且 x i 、 xk ( i k 时)是相互独立的随机变量。
1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80
X (n) A cos(0n )
设{ X (t ),t T }是随机过程，则当t固定时，X (t ) 定 义 是一个随机变量，称之为{ X (t ),t T }在t时刻的状 2 态。随机变量X (t )(t固定,t T )所有可能的取值构成 的集合，称为随机过程的状态空间，记为S。
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
接收机噪声
2007年10月
t1
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
电话站在时刻t时以前接到的呼叫次数
一般情况下它是一个随机变量X ，并且依赖 时间t，即随机变量X（t），t[0，24]。
研究某一商品的销售量 一般情况下它是一个随机变量X ，并且依赖 时间t，即随机变量X（t），t=1，2，… 随机过程 表示依赖于一个变动参量的一族随机变量。它 虽然不能用一个确定的函数来描述，但也是有 规律的。
2 , 时的概率密度。 3 0 2 0
解、 由X(0)=Y可知 f X ( x,0)
1 2
e
x2 2
2 1 X 3 2Y 0
由上可得：
2 f X ( x, ) f Y ( y) J 3 0
y 2 x
J 2
2 2 2 x 2 f X ( x, ) e 3 0
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
•按概率分布分类
高斯随机过程
瑞利随机过程 对数正态随机过程
•按统计特性分类
平稳随机过程 非平稳随机过程
•按样本函数形式分类
确定随机过程 不确定随机过程
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
在实际中还有一类过程，它是按照确定的数学公式产生的时 间序列，它是一个确定性的时间序列，但它的变化过程表现出随 机序列的特征，我们把它称为伪随机序列，伪随机序列可以用来
随机 过程
每次观测所得结果都不同，都是时间t的不同函数，观 测前又不能预知观测结果，没有确定的变化规律。
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
实际过程
正弦信号
调制信号
周期性脉冲信号
雷达接收机的噪声
鸟叫声
爆破信号
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
F (ti1 , ti2 ,
tin ; xi1 , xi2 ,
相容性
设m n,则 F (t1 , t2 , , tm ; x1 , x2 , F (t1 , t2 ,
2007年10月
, xm ) , tn ; x1, x2 , , xm , , , )
, tm , tm1 ,
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
对于每一个 0 ， X (t ) 是一个确定的样本函数，
它反映了 X (t ) 的变化“过程” 。
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
随机过程X(t,ω)四种不同情况下的意义：
•当t固定，ω固定时，X(t) 是一个确定值； •当t固定，ω可变时， X(t) 是一个随机变量；
说明1
参数集T在实际问题中，常常指的是时间参 数，但有时也用其它物理量作为参数集。
说明2 因为
随机过程{ X (t ) ， t T }是一个二元函数
对于每一个固定的时刻 t 0 T ，X (t0 ) 是一个随机变量，
并称作随机过程 X (t ) 在 t t 0 时的一个状态，
它反映了 X (t ) 的“随机”性；
随机过程n维特征函数的定义
设{ X (t ),t T }是一随机过程，对于任意固定的 t1 , t2 , tn T，X (t1 ), X (t2 ), tn ; x1 , x2 ,
, X (tn )是n个随机变量，称 un X (tn ))]} un X (tn ))] xn ) , n, j 1
2007年10月
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1、随机过程的定义
定义1 设（, F , P）为一概率空间，T 是一个实的参数集，
定义在和T 上的二元函数X (，t )，如果对于任意固定 的t T，X ( ,t )是（, F , P）上的随机变量，则称： { X ( ,t ), , t T } 为该概率空间上的随机过程，简记为{ X (t ),t T }。
Байду номын сангаас
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例、设随机相位信号
X (n) cos(n /10 )
其中 {0, / 2} ，且取值概率各为1/2, 求 n1 0 ， n2 10 时的一维和二维概率分布。 解、
1
x1 (n) cos(n /10)
xi (n, i ) A cos(0n i )
随机相位信号
2007年10月
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5 0 -5 5 0 -5 5 0 -5 5 0 -5 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200
(t1 , t2 ,
xn )
E{exp[ j (u1 X (t1 ) u2 X (t2 )
exp[ j (u1 X (t1 ) u2 X (t2 ) dF (t1 , t2 , tn ; x1 , x2 ,
ui R, ti T , i 1, 2, 为随机过程{ X (t ),t T }的n维特征函数.
模拟自然界实际的随机过程 。
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
0
50
100
150
200
伪随机序列
2007年10月
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伪随机序列应用举例
GPS系统中的码分多址（CDMA）
GPS卫星
0
GPS接收机
伪随机码自相关函数
2007年10月
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x 1 (n)
0
-1 0 20 40 60
1
x 2 (n)
x2 (n) cos(n /10 / 2)
0
-1 0 20 40 60
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
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第二章 随机过程的基本概念
2.1 随机过程的基本概念及定义
自然界变化的过程可以分为确知性过程和随机过程两大类
自 然 界 变 化 过 程
确知 过程
每次观测所得结果都相同，都是时间t的一个确定
的函数，具有确定的变化规律。
•当t可变，ω固定时， X(t) 是一个确定的时间函数；
•当t可变，ω可变时， X(t) 是一个随机过程；
2007年10月
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例、 设随机振幅信号
X (t ) Y cos0t
其中0 是常数，Y是均值为零，方差为1的正态随机变量，
求 t 0,
连续参数
参数集T的是一个不可列集T {t | t 0}
状态 分类
离散状态
取值是离散的
X (t )
连续状态 取值是连续的
2007年10月
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状态 连续型随机过程 连续随机序列 连续 连续
时刻 连续 离散
离散型随机过程
离散随机序列
离散
离散
连续
离散
称具有这种特性的随机过程为贝努利型随机过程。
注
如果固定观测时刻t，则它的试验结果是属于两个 样本点（0，1）所组成的样本空间
如果在二个不同时刻 t1 ， t 2 观测试验结果
则样本空间出现的值为（0,0）,（0,1）,（1,0）,（1,1）
则{ x1 , x 2 }是一个二维随机变量
2007年10月
fX x, 2 ( x) 0
X 2 0 0
2007年10月
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2.2 随机过程的分类和举例 1、按参数集和状态分类 离散参数 参数 分类 参数集T的是一个可列集T={0，1，2，…}
2007年10月
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贝努利过程 设每隔单位时间掷一次硬币，观察它出现 的结果。如果出现正面，记其结果为1；如果 出现反面，记其结果为0。一直抛掷下去，便 可得到一无穷序列
{ xn；n 1 ， 2， ；xn 1或0 }
因为每次抛掷的结果是一个随机变量（1或0）， 所以无穷次抛掷的结果是一随机变量的无穷序列， 称为随机序列，也可称为随机过程。 每次抛掷的结果与先后各次抛掷的结果是相互独 立的，并且出现1或0的概率与抛掷的时间n无关。
2007年10月
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设
P{ xn 1 }= p （第 n 次抛掷出现正面的概率） P{ xn 0 }= q = 1p （第 n 次抛掷出现反面的概率）
其中 P{ xn 1 } = p 与 n 无关，
且 x i 、 xk ( i k 时)是相互独立的随机变量。
1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80
X (n) A cos(0n )
设{ X (t ),t T }是随机过程，则当t固定时，X (t ) 定 义 是一个随机变量，称之为{ X (t ),t T }在t时刻的状 2 态。随机变量X (t )(t固定,t T )所有可能的取值构成 的集合，称为随机过程的状态空间，记为S。
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接收机噪声
2007年10月
t1
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电话站在时刻t时以前接到的呼叫次数
一般情况下它是一个随机变量X ，并且依赖 时间t，即随机变量X（t），t[0，24]。
研究某一商品的销售量 一般情况下它是一个随机变量X ，并且依赖 时间t，即随机变量X（t），t=1，2，… 随机过程 表示依赖于一个变动参量的一族随机变量。它 虽然不能用一个确定的函数来描述，但也是有 规律的。
2 , 时的概率密度。 3 0 2 0
解、 由X(0)=Y可知 f X ( x,0)
1 2
e
x2 2
2 1 X 3 2Y 0
由上可得：
2 f X ( x, ) f Y ( y) J 3 0
y 2 x
J 2
2 2 2 x 2 f X ( x, ) e 3 0
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•按概率分布分类
高斯随机过程
瑞利随机过程 对数正态随机过程
•按统计特性分类
平稳随机过程 非平稳随机过程
•按样本函数形式分类
确定随机过程 不确定随机过程
2007年10月
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在实际中还有一类过程，它是按照确定的数学公式产生的时 间序列，它是一个确定性的时间序列，但它的变化过程表现出随 机序列的特征，我们把它称为伪随机序列，伪随机序列可以用来
随机 过程
每次观测所得结果都不同，都是时间t的不同函数，观 测前又不能预知观测结果，没有确定的变化规律。
2007年10月
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实际过程
正弦信号
调制信号
周期性脉冲信号
雷达接收机的噪声
鸟叫声
爆破信号
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F (ti1 , ti2 ,
tin ; xi1 , xi2 ,
相容性
设m n,则 F (t1 , t2 , , tm ; x1 , x2 , F (t1 , t2 ,
2007年10月
, xm ) , tn ; x1, x2 , , xm , , , )
, tm , tm1 ,
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对于每一个 0 ， X (t ) 是一个确定的样本函数，
它反映了 X (t ) 的变化“过程” 。
2007年10月
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随机过程X(t,ω)四种不同情况下的意义：
•当t固定，ω固定时，X(t) 是一个确定值； •当t固定，ω可变时， X(t) 是一个随机变量；
说明1
参数集T在实际问题中，常常指的是时间参 数，但有时也用其它物理量作为参数集。
说明2 因为
随机过程{ X (t ) ， t T }是一个二元函数
对于每一个固定的时刻 t 0 T ，X (t0 ) 是一个随机变量，
并称作随机过程 X (t ) 在 t t 0 时的一个状态，
它反映了 X (t ) 的“随机”性；
随机过程n维特征函数的定义
设{ X (t ),t T }是一随机过程，对于任意固定的 t1 , t2 , tn T，X (t1 ), X (t2 ), tn ; x1 , x2 ,
, X (tn )是n个随机变量，称 un X (tn ))]} un X (tn ))] xn ) , n, j 1
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1、随机过程的定义
定义1 设（, F , P）为一概率空间，T 是一个实的参数集，
定义在和T 上的二元函数X (，t )，如果对于任意固定 的t T，X ( ,t )是（, F , P）上的随机变量，则称： { X ( ,t ), , t T } 为该概率空间上的随机过程，简记为{ X (t ),t T }。