2020年湖北省荆州市中考数学试题及答案

荆州市2020年初中学业水平考试数学试题

一、选择题

1.有理数2-的相反数是（ ） A. 2

B.

12

C. 2-

D. 12

-

2.下列四个几何体中，俯视图与其他三个不同的是（ ）

A. B. C. D.

3.在平面直角坐标系中，一次函数1y x =+的图象是（ ）

A. B. C. D.

4.将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若30CAB ?∠=，则ACB ∠的度数是（ ）

A. 45?

B. 55?

C. 65?

D. 75?

5.八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x 千米/小时，则所列方程正确的是（ ） A.

10x -102x

=20 B.

102x -10x

=20 C.

10x -102x =13

D.

102x -10x =13

6.若x 为实数，在

)

1x 的“

”中添上一种运算符号（在＋，－，×，÷中选择）后，其运算的结果

是有理数，则x 不可能的是（ ）

A.

1

B.

1

C.

D. 17.如图，点E 在菱形ABCD AB 边上，点F 在BC 边的延长线上，连接CE ，DF ，对于下列条件：①BE CF =；①,CE AB DF BC ⊥⊥；①CE DF =；①BCE CDF ∠=∠，只选其中一个添加，不能确定BCE CDF ???的是（ ）

A. ①

B. ①

C. ①

D. ①

8.如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB 的斜边OA 在第一象限，并与x 轴的正半轴夹角为30度，C 为OA 的中点，BC=1，则A 点的坐标为（ ）

A.

B.

)

C. ()2,1

D. (

9.定义新运算a b *，对于任意实数a ，b 满足()()1a b a b a b *=+--，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如43(43)(43)1716*=+--=-=，若x k x *=（k 为实数） 是关于x 的方程，则它的根的情况是（ ） A. 有一个实根

B. 有两个不相等的实数根

C. 有两个相等的实数根

D. 没有实数根

10.如图，在66? 正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A ，B ，C 均在网格交点上，⊙O 是ABC 的外接圆，则cos BAC ∠的值是（ ）

的

C.

12

二、填空题

11.若()1

12020,,32a b c π-??=-=-=- ???

，则a ，b ，c 的大小关系是_______．（用<号连接） 12.若单项式32m x y 与3m n xy +

值是_______________．

13.已知：ABC ，求作ABC 的外接圆，作法：①分别作线段BC ，AC 的垂直平分线EF 和MN ，它们交于点O ；②以点O 为圆心，OB 的长为半径画弧，如图⊙O 即为所求，以上作图用到的数学依据是___________________．

14.若标有A ，B ，C 的三只灯笼按图示悬挂，每次摘取一只（摘B 先摘C ），直到摘完，则最后一只摘到B 的概率是___________．

的

15.“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步，已知此步道外形近似于如图所示的Rt ABC ?，其中90?∠=C ，AB 与BC 间另有步道DE 相连，D 地在AB 的正中位置，E 地与C 地相距1km ，若3

tan ,454

ABC DEB ?∠=

∠=，小张某天沿A C E B D A →→→→→路线跑一圈，则他跑了_______km ．

16.我们约定：(),,a b c 为函数2y ax bx c =++的关联数，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”，若关联数为(),2,2m m --的函数图象与x 轴有两个整交点（m 为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为____________．

三、解答题

17.先化简，再求值2211121a a a a -??-÷ ?++??：其中a 是不等式组22213a a a a -≥-??

-<+?①②

最小整数解；

18.阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x 的值．

问题：解方程2250x x ++=（提示：可以用换元法解方程），

()0t t =≥，则有222x x t +=， 原方程可化为：2450t t +-=， 续解：

19.如图，将ABC 绕点B 顺时针旋转60度得到DBE ?，点C 的对应点E 恰好落在AB 的延长线上，连接AD ．

（1）求证：//BC AD ；

（2）若AB=4，BC=1，求A ，C 两点旋转所经过的路径长之和．

的

20.6月26日是“国际禁毒日”某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动，为了解竞赛情况，从两个年级各抽取10名学生的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，85，90，85，90，85，100；八年级：85，85，95，80，95，90，90，90，100，90； 整理数据：

分析数据：

根据以上信息回答下列问题：

（1）请直接写出表格中a b c d ,,,

的值 （2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？说明理由；

（3）该校七八年级共600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”估计这两个年级共多少名学生达到“优秀”？

21.九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图像和性质后，进一步研究了函数2

y x

的图像与性质，

其探究过程如下：

（1）绘制函数图像，如图1

①列表；下表是x 与y 的几组对应值，其中______m =；

②描点：根据表中各组对应值(x ，y)在平面直角坐标系中描出了各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图像，请你把图像补充完整；

（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质：①_______________；②_______________； （3）①观察发现：如图2，若直线y=2交函数2

y x

=的图像于A ，B 两点，连接OA ，过点B 作BC//OA 交x 轴于点C ，则________OABC S =；

①探究思考：将①的直线y=2改为直线y=a(a>0)，其他条件不变，则________OABC S =； ①类比猜想：若直线y=a(a>0)交函数(0)k

y k x

=>图像于A ，B 两点，连接OA ，过点B 作BC//OA 交x

轴于C ，则________OABC S =；

的

22.如图矩形ABCD 中，AB=20，点E 是BC 上一点，将ABE △沿着AE 折叠，点B 刚好落在CD 边上的点G 处，点F 在DG 上，将ADF 沿着AF 折叠，点D 刚好落在AG 上点H 处，此时:2:3GFH

AFH S S =△．

（1）求证：EGC GFH △△

（2）求AD 的长； （3）求tan GFH

∠值．

23.为了抗击新冠疫情，我市甲乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨，这批防疫物资将运往A 地240吨，B 地260吨，运费如下：（单位：吨）

（1）求甲乙两厂各生产了这批防疫多少吨？

的

（2）设这批物资从乙厂运往A 地x 吨，全部运往A ，B 两地的总运费为y 元，求y 与x 之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；

（3）当每吨运费降低m 元，（0m 15<≤且m 为整数），按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元，求m 的最小值．

24.如图1，在平面直角坐标系中，()()2,1,3,1A B ---，以O 为圆心，OA 的长为半径的半圆O 交AO 的延长线于C ，连接AB ，BC ，过O 作ED//BC 分别交AB 和半圆O 于E ，D ，连接OB ，CD ． （1）求证：BC 是半圆O 的切线；

（2）试判断四边形OBCD 的形状，并说明理由；

（3）如图2，若抛物线经过点D ，且顶点为E ，求此抛物线的解析式；点P 是此抛物线对称轴上的一动点，以E ，D ，P 为顶点的三角形与OAB ?相似，问抛物线上是否存在点Q ，使得EPQ OAB S S ??=，若存在，请直接写出Q 点的横坐标；若不存在，说明理由．

参考答案

一、选择题

1-5 AADDC 6-10 CCBBB

二、填空题

11.【答案】b a c << 12.【答案】2

13.线段的垂直平分线的性质． 14.【答案】

23

15.【答案】24

16.【答案】()1,0或()2,0或()0,2

三、解答题

17.先化简，再求值2211121a a a a -??

-÷ ?++??：其中a 是不等式组22213a a a a -≥-??-<+?

①②的最小整数解；

解：原式=21(1)(1)(1)a a a a a -+?+-1

a a

+=， 解不等式组22213a a a a -≥-??

-<+?①

②

，

解不等式①得：2a ≥， 解不等式②得：4a <， ∴不等式组的解集为24a ≤<， ∴a 的最小值为2 ∴原式=

213

22

+=． 18.【详解】续解：()2

29t +=，

23t ∴+=±，

解得1

1t =，25t =-（不合题意，舍去），

1t ∴=，

221x x +=，2

(1)2x ∴+=，

1211x x ∴=-=-

经检验都是方程的解．

19.（1）证明：由旋转性质得：,60ABC DBE ABD CBE ????∠=∠=

,AB BD ABD ∴=∴?是等边三角形

所以60DAB ?∠=

,CBE DAB ∴∠=∠

∴//BC AD ；

（2）依题意得：AB=BD=4，BC=BE=1， 所以A ，C 两点经过的路径长之和为

6046015

1801803

πππ??+=． 20.解：（1）1012412a =----=，

七年级成绩按从小到大顺序排列为80，85，85，85，90，90，90，95，95，100， ∴中位数9090

902

b +=

=， 80185290495210019010

c ?+?+?+?+?==，

八年级成绩90出现次数最多，因此众数90d =， ∴2,90,90,90a b c d ====；

（2）七八年级成绩的众数和中位数相同，但是八年级的平均成绩比七年级的高，且从方差看，八年级的成绩更稳定，综上八年级成绩较好．

（3）七年级抽取的10人中，不低于90分的有6人， 八年级抽取的10人中，不低于90分的有7人，

67

60039020

+?

=（人） 所以两个年级共390名学生达到“优秀”．

21.解：（1）当0x <时，2xy =-，而当0x >时，2xy =，

1m ∴=，

故答案

：1；补全图象如图所示：

（2）根据（1）中的图象可得：①函数的图象关于y 轴对称，①当0x <时，y 随x 的增大而增大，当0x >时，y 随x 的增大而减小； （3）如图，

①由A ，B 两点关于y 轴对称，由题意可得四边形OABC 是平行四边形，且

1

44242

OAM OABC S S k k ?==?

==四边形， ①同①可知：24OABC S k ==四边形， ①22OABC S k k ==四边形， 故答案为：4，4，2k ．

22.（1）证明：因为四边形ABCD 是矩形 所以90B D C ?∠=∠=∠=

90GHF C ?∠=∠=，90,AGE B ∠=∠=? 90EGC HGF ?∠+∠= 90GFH HGF ?∠+∠=

EGC GFH ∴∠=∠

EGC

GFH ∴ (2)解：

:2:3GFH

AFH S

S =△

:2:3GH AH ∴=

20AG GH AH AB =+==

8,12GH AH ∴==

12AD AH ∴==

(3)解：在直角三角形ADG 中，

16DG ===

由折叠对称性知DF HF x ==，

16GF x =-

222GH HF GF += 2228(16)x x ∴+=-

解得：x=6， 所以：HF=6

在直角三角形GHF 中，

84

tan 63

GH GFH HF ∠=

==． 23.解：（1）设这批防疫物资甲厂生产了a 吨，乙厂生产了b 吨；

则5002100a b a b +=??-=?

解得：200300a b =??=?

答：这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨； （2）如图，甲、乙两厂调往,A B 两地的数量如下：

20(240)25(40)1524(300)y x x x x ∴=-+-++-

411000x =-+

24003000400

x x x x ≥??-≥?

?

-≥??-≥? 40240x ∴≤≤

当x=240时运费最小

所以总运费的方案是：甲厂200吨全部运往B 地；乙厂运往A 地240吨，运往B 地60吨． (3)由（2）知：411000500y x m =-+-

当x=240时， 424011000500=10040-500m y m =-?+-最小，

100405005200m ∴-≤ 9.68m ∴≥

所以m 的最小值为10． 24.【详解】（1）如图1，

设AB 与y 轴交于点M ，则AM=2，OM=1，AB=5， 则

OA=OC ==

∵OE ∥BC ，

∴OE 是△ABC 的中位线，

∴AE=

1

2AB=52

，BC=2EO ， ∴点E 的坐标为(12，1-)，ME=1

2

，OM=1，

∴

==，

∴

∵(

2

2

22

225AC BC AB +=+==，

ABC ?∴是直角三角形，

即BC AC ⊥，

所以BC 是半圆的O 的切线； （2）四边形OBCD 是平行四边形， 由图知：

∵OD ∥BC ，

∴四边形OBCD 是平行四边形； （3）①由（2）知：

E 为AB 的中点，过点D 作DN y ⊥轴，则DN//ME ，

∴Rt △ODN ~Rt △OEM ， ∴

ON DN OD

OM ME OE

==，

∴112ON DN ==

∴2ON =，1DN =， ∴点D 的坐标为(1-，2)，

∵抛物线经过点D(1-，2)，且顶点为E(

1

2

，1-)， ∴设此抛物线的解析式为2

1()12

y a x =--，

则2

11122a ???---= ??

? ∴43

a =

，

∴此抛物线的解析式为241

()132

y x =--， 即2442

333

y x x =

--， 如图，设抛物线对称轴交AC 于F ，

由（1）知：∠AOE=∠ACB=90?，∠AEF=90?， ∴∠OEF+∠AEO=90?，∠A+∠AEO=90?， ∴∠OEF=∠A ，

∵以E ，D ，P 为顶点的三角形与OAB ?相似， ∴分△PED ~△OAB 和△DEP ~△OAB 两种情况讨论，

当△PED ~△OAB 时，ED=OE+OD=

22

=

PE ED

OA AB

=2

5=，

∴3

2

PE =

， ∵EPQ OAB S S ??=， 设点Q 到PE 的距离为h ，

∴

11h 22PE AB OM ?=?，即3

h 512=?， ∴10h 3

=，

∴点Q 的横坐标为10123326+=或11017236

-=-；

当△DEP ~△OAB 时，ED=OE+OD=

22

=

PE ED

AB OA

=，即

5PE =

∴152

PE =

， ∵EPQ OAB S S ??=， 设点Q 到PE 的距离为1h ，

∴111h 22PE AB OM ?=?，即15

h 512

=?， ∴2h 3

=，

∴点Q 的横坐标为217326+=或121

236

-=-；

∴符合条件的Q 点的横坐标为236或176-或76或1

6

-．