自动控制原理第三章3_劳斯公式
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自动控制原理(胡寿松) 第三章
C(s)Ts11R(s)Ts11s13 s13sT2Ts2sT12/T
c(t)1t2 T t T 2(1 e tT) 2
t 0
当 时 间 t→∞ 时 ， 系 统 输
出信号与输入信号之差
将趋于无穷大。说明对
于一阶系统是不能跟踪
单位抛物线函数输入信
号的。
第二十一页，共108页。
21
4. 单位脉冲响应
1 1 1T T
C(s)Ts1R(s)Ts1s2
s2
s s1/T
c (t) (t T ) T e tT t 0
1t
e ss tl i [tm c(t) ]tl i [tm (t T T eT)] T
第二十页，共108页。
20
3. 单位抛物线响应
单 位 抛 物 线 信 号 R(s)1 s3
理想脉冲函数的拉普拉斯变换为
L[(t)] 1
第七页，共108页。
7
5. 正弦函数
r(t)Asint
正弦函数的拉普拉斯变换为
L[Asint]s2A 2
第八页，共108页。
8
3.1.2 动态过程与稳态过程
1. 动态过程：又称为过渡过程或瞬态过程，是指系统在典型输入信 号作用下，系统输出量从初始状态到接近最终状态的响应过程。 动态过程表现为衰减、发散或等幅振荡形式。一个实际运行的 控制系统，其动态过程必须是衰减的，换句话说，系统必须是 稳定的。动态过程的其他信息用动态性能描述。
① 微分方程：
d2c(t)2
d2t
ndd (tc )tn 2c(t)n 2r(t)
② 传递函数：
(s)C R((ss))s22n 2 nsn 2
ξ称为阻尼比(相对阻尼系数)，ωn为无阻尼自振角频率(固有频率)，它 们是二阶系统的特征参数。
c(t)1t2 T t T 2(1 e tT) 2
t 0
当 时 间 t→∞ 时 ， 系 统 输
出信号与输入信号之差
将趋于无穷大。说明对
于一阶系统是不能跟踪
单位抛物线函数输入信
号的。
第二十一页，共108页。
21
4. 单位脉冲响应
1 1 1T T
C(s)Ts1R(s)Ts1s2
s2
s s1/T
c (t) (t T ) T e tT t 0
1t
e ss tl i [tm c(t) ]tl i [tm (t T T eT)] T
第二十页，共108页。
20
3. 单位抛物线响应
单 位 抛 物 线 信 号 R(s)1 s3
理想脉冲函数的拉普拉斯变换为
L[(t)] 1
第七页，共108页。
7
5. 正弦函数
r(t)Asint
正弦函数的拉普拉斯变换为
L[Asint]s2A 2
第八页，共108页。
8
3.1.2 动态过程与稳态过程
1. 动态过程：又称为过渡过程或瞬态过程，是指系统在典型输入信 号作用下，系统输出量从初始状态到接近最终状态的响应过程。 动态过程表现为衰减、发散或等幅振荡形式。一个实际运行的 控制系统，其动态过程必须是衰减的，换句话说，系统必须是 稳定的。动态过程的其他信息用动态性能描述。
① 微分方程：
d2c(t)2
d2t
ndd (tc )tn 2c(t)n 2r(t)
② 传递函数：
(s)C R((ss))s22n 2 nsn 2
ξ称为阻尼比(相对阻尼系数)，ωn为无阻尼自振角频率(固有频率)，它 们是二阶系统的特征参数。
自动控制原理 第三章(二,三)
非单位反馈系统图 非单位反馈系统图偏差 e(t) ： e(t)= r(t)-b(t)，其确定 ， 的关系为 的关系为： E ( s ) 终值定理 1
R( s )
=
lim f (t ) = lim sF ( s ) t → ∞ s → H(s) 0
1 + G( s ) H ( s )
稳态误差的一般计算式
k =1
r
+ ∑Ck e−ζ kωnkt sin( ωnk 1 − ζ 2 × t)
(t ≥ 0)
由此可见， 由此可见 ， 高阶系统的时域响应是由稳态值和一些 惯性环节及振荡环节的瞬态响应分量所组成。 惯性环节及振荡环节的瞬态响应分量所组成。
C(s) =
C(t) = Α0 + ∑Αi e Α q Α
k nk
各瞬态分量在过渡过程中所起作用的大小， 各瞬态分量在过渡过程中所起作用的大小，将取 决于它们的指数 P 、 ζ kωnk的值和相应项的系 i 的大小。如果系统所有极点都分布在S 数 Αi 、 Bk 、 Ck 的大小。如果系统所有极点都分布在S 平面的左半部分，即所有极点均具有负实部，那么， 平面的左半部分，即所有极点均具有负实部，那么， 趋于无穷大时，式中的指数项都趋于零， 当t趋于无穷大时，式中的指数项都趋于零，系统的响 应达到稳态值。 应达到稳态值。 由式可以看出，在瞬态过程中， 由式可以看出，在瞬态过程中，某衰减项的指 的值越大，则该项衰减越快，反之亦然。 数 P 或 ζ kωnk的值越大，则该项衰减越快，反之亦然。 i 就是系统的极点到虚轴的距离，因此， 而 P 和 ζ kωnk就是系统的极点到虚轴的距离，因此， i 如果分布在S平面左半部分的极点离虚轴越远， 如果分布在S平面左半部分的极点离虚轴越远，则它对 应的分量衰减越快。显然， 应的分量衰减越快。显然，对系统过渡过程影响最大 的，是那些离虚轴最近的极点。 是那些离虚轴最近的极点。
自动控制原理及应用课件(第三章)
即 s1,2=- n 临界阻尼情况的单位阶跃响应为
C(s) n2 1 (s n )2 s
设部分分式为
C(s) A1 A2 A3
s s n (s n )2
式中，待定系数分别为A1=1，A2=-1，A3=-n
于是有
C(s) 1 1 n s s n (s n )2
取C(s)的拉普拉斯逆变换，则有
R(s) A0 s2
3．抛物线信号 抛物线信号的数学表达式为
0
r(t)
1 2
A0t
2
(t 0) (t ≥ 0)
式中，A0为常数。
当A0=1时，称为单位抛物线信 号，也称为单位加速度信号。
抛物线信号如图所示，它表示
随时间以等加速度增长的信号。
图3-3 抛物线信号
抛物线信号在零初始条件下的拉普拉斯变换为
R(s) A0 s3
4．脉冲信号 脉冲信号是一个脉宽极短的信号，其数学表达式为
0 t < 0；t >
r
(t
)
A0
0<t <
脉冲信号如图3-4（a）所示，
当A0=1时，若令脉宽 →0，则
称为单位理想脉冲函数，记作
(t)，单位脉冲函数如图3-4（
b）所示， (t)函数满足
(t)
0
(t 0) (t 0)
闭环传递函数为 系统特征根为
(s) n2 s2 n2
s1,2 jn
无阻尼情况的单位阶跃响应为
C(s) n2 1 1 s s2 n2 s s s2 n2
取C(s)的拉普拉斯逆变换，则有
c(t) 1 cosnt (t ≥ 0)
系统阶跃响应曲线为等幅振荡，超调量为100％，振荡频率为 自然振荡角频率 n 。由于曲线不收敛，系统处于临界稳定状 态。
自动控制理论第三章第03节分析PPT课件
2012年3月
-9 页/85
机电汽车工程学院
2．＞1（过阻尼）
2
2
2
G ( s ) s 2 2n n s n 2 ( s n ) 2 n (2 1 )n 2 ( s s 1 ) n s (s 2 )
系统闭环极点为： s 1 , 2 n n 2 1 2 1 n
Ri(t)
Ldi(t) dt
uc
ur
ur
i(t) C
uc
uc
1 C
i(t)dt
系统的微分方程为：
LC dd2u 2tcRC ddcutucur
对上式两边做拉氏变换： ( L2 C R s 1 C ) U c ( s ) s U r ( s )
1
G(s)U Ucr((ss))LC 21 sRC 1ss2R Ls C1 L LC
22 1 2 1
2012年3月
-10 页/ 85 1 21e(机2电1 汽)车nt工程学t院0
h (t) c (t) 1
1
1 e (2 1 ) n t
22 1 2 1
响应曲线：
h(t)
1
1 e(21)nt t0
21
>> 1时的近似处理：此时
2 1 2 1
可近似地等效为具有时间常数为 ( 21)n
的传递函数。其实所有的二阶系统的传递函数均可表示为：
G (s)U U c r((s s))s22n n 2 sn2
两系统之间的区别在于， n的两参数的不同。但分母中s
的最高阶次均为2。
典型二阶系统的方框图：
R(s) +
n2
C(s)
ss 2n
典型二阶系统的特征方程为：
朱玉华自动控制原理第3章 时域分析3-1,2,3
1
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
s4 3s3 s2 3s 1 0 s3 3 3
试判别该系统的稳定性。 s2 0 1
当 0时,3 3 0,
s1 3 3 0
s0
1
有2个特征根在s平面第右3章边控. 制系系统统的是时域不分析稳定的
10 0 0
(2) 劳斯表中某一行的元素全为零。
——这时系统在s平面上存在一些大小相等符号相反的
61
s0 6
劳斯表中第一列元素大于零，所以该系统是稳定的。 这时，系统所有的特征根均处于s平面的左半平面。
第3章 控制系统的时域分析
课程回顾(1)
1、 稳态性能指标 2、 动态性能指标
ess
lim[r(t)
t
cr (t)]
(1)延迟时间td (2)上升时间tr
(3)峰值时间tp
(4)调整时间ts
负可化为全为正） （2）劳斯表中第一列所有元素均大于零。
第3章 控制系统的时域分析
例3-1 已知三阶系统特征方程为 a0s3 a1s2 a2s a3 0
试写出系统稳定的充要条件
解：列写劳斯表 s3
a0
a2
0
s2
a1
a3
0
s1 a1a2 a0a3 0
a1
s0
a3
0
故得出三阶系统稳定的充要条件为：
0
9
s0 5
s1 32
0
s0 5
所得结论不变
第3章 控制系统的时域分析
2、劳斯稳定判据的特殊情况
(1) 劳斯表中某一行的第一个元素（系数）为零，而该 行其它元不为零。
——计算下一行第一个元素时将出现无穷大，以至劳斯 表的计算无法进行。
自动控制原理第3章总结
一阶系统特点：
1. 响应曲线在[0，） 的时间区间中始终不会超过其稳态值，把这样的响
应称为非周期响应。无振荡 2.一阶系统的单位阶跃响应是一条初始值为0，以指数规律上升到终值1的
曲线。 3. ※实验中求取时间常数的方法--输出响应为0.632时对应的时间。 4.一阶系统可以跟踪单位阶跃信号，因为无稳态误差。
Td
n
2 1 2
ln( 1 )
p
2 (ln 1 )2
p
ts
3.5
n
ts
4.4
n
2.2 1 2
N
, 0.02
1.75 1 2
N
, 0.05
3-3 二阶系统的时域分析
3.3.4 二阶系统的动态性能指标 总结：
c(t) 1
1
1 2
ent
sin(dt ), t
0
c(t)
% e 1 2 100%
n s1j
j
j n 1 2
s1
0
s2
s1,2 j n (d) 0
0
j n 1 2
n
s2
s1,2 n j n 1 2
(e) 1 0
j
s1
s2
0
s1,2 n n 2 1 (c) 1
j
s1
s2
0
s1,2 n n 2 1
(f ) 1
3-3 二阶系统的时域分析来自s2 2n s n2 R C
2L
3-3 二阶系统的时域分析
3.3.1 二阶系统的数学模型
标准化二阶系统的结构图为：
R(s)
+﹣
n2
C(s)
s(s+2ξn)
n2
自动控制原理第三章
ωn2 1 2 1 e ξ ω t sin(ω n 1 ξ d t + β ) 2 2 S ( S 2 + 2ξω n S + ω n ) 1 ξd
d n
ωn ωn 1 1 2 2 e ξ d ω nt sin ω n 1 ξ d t Z S + 2ξ d ω n S + ω n 2 Z 1ξ 2 d
2 '
Td ωn ξ = 2
'
Td ωn ξd = ξ + ξ = ξ + 2
'
令
1 z= Td
ωn 2 ( S + z ) = 2 z ( S 2 + 2ξ d ωn S + ωn )
结论 1可通过适当选择微分时间常数
Td
，改变 ξ d 阻尼的大小
2比例－微分控制可以不改变自然频率ω n ，但可增大系统的阻尼比 1 z= 3由于PD控制相当于给系统增加了一个闭环零点， Td 故比例－微分控制的二阶系统称为有零点的二阶系统。
2
1 ) Td
ω n (Td S + 1) G (s) = 2 = 2 φ ( s) = 2 2 2 2 1 + G ( s ) S + 2ξω n S + Td ω n S + ω n S + (2ξω n + Td ω n ) S + ω n
2
Td ω n ( S +21 ) TdTd ωn = 2ξ ωn
当输入为单位阶跃函数时
ωn 1 S+Z C ( s ) = φ ( s) R( s ) = 2 2 Z S S + 2ξω n S + ω n
自动控制原理第三章习题参考答案
入分别为r(t)=2t和r(t)=2+2t+t2时，系统的稳态误差。
（1）G(s)
100
(0.1s 1)(s 5)
特征方程：1+G(s)=0 0.1s2+1.5s+105=0
解：
Kv
lim sG(s) 0 s0
S2 0.1 105
r(t) 2t ess
2 Kv
r(t) 2 2t t 2
-
-
10
C(s)
s(s 1)
2s
（1）取τ1=0， τ2=0.1，计算测速反馈系统的超调量、调 节时间和速度误差。
（2）取τ1=0.1， τ2=0，计算比例微分校正系统的超调量、
调节时间和速度误差。
解（1）开环传递函数
G(s)
s2
10
(1 10 2 )s
10 s2 2s
n 10 3.162 2 1 0.316
S1 1.5 S0 105
系统稳定
Kp
lim G(s)
s0
20
Kv 0
ess
2 1 Kp
2 Kv
2 Ka
Ka
lim
s0
s 2G(s)
0
3-15已知单位反馈系统的开环传递函数如各题所示，求输 入分别为r(t)=2t和r(t)=2+2t+t2时，系统的稳态误差。
（3）G(s) 10（2s 1)
3-6 已知控制系统的阶跃响应为：
h(t) 1 0.2e60t 1.2e10t
试确定系统的阻尼比ξ和自然频率ωn 解：对h(t)求导，得系统的单位脉冲响应为：
y(t) h’(t) 12e60t 12e10t 12（e10t - e ） 60t
自动控制原理 第三章第3
n
等效阻尼系数
(s)
C(S) R(S)
S2
n2 2nS
n2
注意：比例-微分（PD）控制是二阶系统增加了一个闭 环零点，前面给出的动态性能指标计算指标不再适用。
7
Amplitude
K A 1500时
n 86.2rad / s 0.2 % 52.7%
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
3) 实用中PD控制器组成相对简单，成本低，而测速反馈
组成复杂，成本高。
4) ζd、ζt相等条件下，误差PD控制系统的超调量要大于输
出量速度反馈系统的超调量，这是因为闭环零点有消弱阻尼的 作用而引起的。
16
第四节 高阶系统的时域分析
通常把三阶或三阶以上的系统就称为高阶系统 。
P114 例3-6 设三阶系统闭环传递函数为
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
R(s) +-
5KA
C(s)
S(S 34.5)
在保持大的开环增益下，想 办法增大阻尼比！
Step Response
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
8
Time (sec)
R(s)
+-
1 Td S
d
1 2
Td n
0.7
0.2
1 2
Td
86.2
2 n
S (S 2 n )
一对共轭的复数根s1,2=-0.45±j0.89，和一个实数根s3=1/α。 MATLAB程序
sys1=zpk([ ],[-0.45+0.89*j -0.45-0.89*j -1/2.5], 1/2.5); %α=2.5 sys2=zpk([ ],[-0.45+0.89*j -0.45-0.89*j -1/0.9], 1/0.9); %α=0.9 sys3=zpk([ ],[-0.45+0.89*j -0.45-0.89*j -1/0.5], 1/0.5); %α=0.5 sys4=zpk([ ],[-0.45+0.89*j -0.45-0.89*j -1/0.05], 1/0.05); %α=0.05 step(sys1,’b’,sys2,’g’,sys3,’r’,sys4,’b-’); grid
自动控制原理第三章
令 K a = lim S 2 G ( s ) H ( s ) = lim s →0 s →0
K S v2 (3 70)
(3 69)
K a 静态加速度误差系数
Static acceleration error constant
(3-70)
0 K a = K ∞
ν = 0,1 ν =2 ν ≥3
控制 对象
C(s) (s) G2 (s)
N (s) R(s) E(s) (s) G1 (s) H (s)
控制器
N (s) R(s) E(s) G1(ss) () H (s)
G2 (s)
C(s) G2 (s) (s)
输出对扰动 的传递函数
N(s) C(s)
图3-23 控制系统
G1 (s)
H (s)
G2 ( s ) C (s) = M N (s) = N ( s ) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
！
系统类型(type)与系统的阶数(order)的区别
令
G0 ( s ) H 0 ( s ) = Π (Ts S + 1) Π (T j S + 1)
i =1 j =1
m
n ν
G ( s) H ( s) =
K Π (τ i s + 1) sν
m
Π (T j s + 1) j =1
i =1 n ν
, n≥m
s →0
令
K p = lim H ( s ) R ( s )
s →0
(3 66)
K p : 静态位置误差系数
Static position error constant
由式(3 63)知：
K S v2 (3 70)
(3 69)
K a 静态加速度误差系数
Static acceleration error constant
(3-70)
0 K a = K ∞
ν = 0,1 ν =2 ν ≥3
控制 对象
C(s) (s) G2 (s)
N (s) R(s) E(s) (s) G1 (s) H (s)
控制器
N (s) R(s) E(s) G1(ss) () H (s)
G2 (s)
C(s) G2 (s) (s)
输出对扰动 的传递函数
N(s) C(s)
图3-23 控制系统
G1 (s)
H (s)
G2 ( s ) C (s) = M N (s) = N ( s ) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
！
系统类型(type)与系统的阶数(order)的区别
令
G0 ( s ) H 0 ( s ) = Π (Ts S + 1) Π (T j S + 1)
i =1 j =1
m
n ν
G ( s) H ( s) =
K Π (τ i s + 1) sν
m
Π (T j s + 1) j =1
i =1 n ν
, n≥m
s →0
令
K p = lim H ( s ) R ( s )
s →0
(3 66)
K p : 静态位置误差系数
Static position error constant
由式(3 63)知：