自动控制原理第三章3_劳斯公式

6 一行可同乘以或同除以某正数
7 第一列出现零元素时，
用正无穷小量ε代替。
劳斯判据
系统稳定的必要条件: 特征方程各项系数
均大于零!
有正有负一定不稳定! 缺项一定不稳定!
稳定吗？
系统稳定的充分条件:
劳斯表第一列元素不变号!
若变号系统不稳定!
变号的次数为特征根在s右半平面的个数!
劳斯判据例子
[例]：特征方程为：a3s3 a2s2 a1s a0 0 ，试判断稳定性。
例如: 1 (s2 4)(s2 25)(s 2) s5 2s4 24s3 48s2 25s 50 2 (s2 4)
[处理办法]：可将不为零的最后一行的系数组成辅助方程，对 此辅助方程式对s求导所得方程的系数代替全零的行。大小相等， 位置径向相反的根可以通过求解辅助方程得到。辅助方程应为 偶次数的。
[解]：劳斯阵为：s3 a3
a1
s 2 a2
a0
s1 a2a1 a3a0 0 a2
s0 a0
0
稳定的充要条件为：
❖ a3, a2 , a1, a0 均大于零
❖且a1a2 a3a0 0
劳斯判据特殊情况
特殊情况下劳斯阵列的列写及结论：
用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；
劳斯阵第一列所有系数均不为零，但也不全为正数，则系统不 稳定。表示s右半平面上有极点，极点个数等于劳斯阵列第一列 系数符号改变的次数。
劳斯表出现Βιβλιοθήκη Baidu行
设系统特征方程为： ① 有大小相等符号相反的
s4+5s3+7s2+5s+6=0
特征根时会出现零行
劳 s4 1 7 6
② 由零行的上一行构成 辅助方程:
s3 51 51
斯 s2 61 61
s2+1=0
对其求导得零行系数: 2s1
表 s1 02
继续计算劳斯表
s0 1
劳斯表出现零行
1 2
出劳系斯 现统表零一何行定时怎不会么出办稳现?定零行?
第一列全大于零,所以系统稳定
③ 解辅助错方啦程得!!对! 称根:
s1,2=±j
由综合除法可得另两
3 如何求对称的根?
个根为s3,4= -2,-3
劳斯判据特殊情况
[例]： s6 2s5 8s4 12s3 20s2 16s 16 0
系统的稳定性和代数稳定判据
稳定的充要条件和属性
一、稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件
稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首要条 件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因 素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条 件的改变等。如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下 偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因此，如何分 析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论 的基本任务之一。
[例]：系统的特征方程为： s5 2s4 s3 3s2 4s 5 0
s5 1
1
s4 2
3
s 3 0.5 1.5
s2 9
5
s1 32 0
9
s0 5
0
4
5
0 -1 3 0（ 2）
0
0
1
0
0（
9 32
）
0
劳斯阵第一列有负数， 系统是不稳定的。其 符号变化两次，表示 有两个极点在s的右半 平面。
稳定的基本概念： 设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离
开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它 能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统 。 否则为不稳定的系统。
稳定的充要条件和属性
线性系统稳定的充要条件： 系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具
劳
s5 2 s4 1
4 2
57
6
((61-1(064－)-/614=))//-228==1 2
77 劳斯表特点
斯 s3 0ε --88
1 右移一位降两阶
表
ε s2 2ε +8 7ε
s1 -8(2 +8) -7ε 2
2 行列式第一列不动 3 次对角线减主对角线 4 每两行个数相等
s0 7ε
5 分母总是上一行第一个元素
如果特征方程中有一对共轭虚根，它的对应于等幅的周期 振荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。
从控制工程的角度认为临界稳定状态和随遇平衡状态属于
不稳定。
I m S平面
稳临 定界
不 稳
Re
区稳 定
定区
充要条件说明
注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结
构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极
点有关，与零点无关。
对于一阶系统，a1s
系统是稳定的。
a0
0,
s
a0 a1
,
只要
a0 , a1 都大于零，
对于二阶系统，a2s2 a1s a0 0, s1,2 a1
a12 4a2a0 2a2
只有 a0 , a1, a2 都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为负）
对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下 描述的代数稳定性判据。
s1 2 2 0 0 2 2
s0
1
00
令 0则 2 2 故
第一列不全为正，系统不稳
定，s右半平面有两个极点。
2
2,
2
2
1
劳斯判据特殊情况
劳斯阵某行系数全为零的情况。表明特征方程具有大小相等 而位置径向相反的根。至少要下述几种情况之一出现，如：大 小相等，符号相反的一对实根，或一对共轭虚根，或对称于虚 轴的两对共轭复根。
有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面 的左半部。
充要条件说明
如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随时 间单调增长；
如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项 是发散的周期振荡。
上述两种情况下系统是不稳定的。
如果特征方程中有一个零根，它所对应于一个常数项，系 统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态；
劳斯判据特殊情况
劳斯阵某一行第一项系数为零，而其余系数不全为零。
[处理办法]：用很小的正数 代替零的那一项，然后据此计算出 劳斯阵列中的其他项。若第一次零（即 ）与其上项或下项的
符号相反，计作一次符号变化。
[例]：s4 2s3 s2 2s 1 0
s4 1 1 1
s3 2 2 0
s2 0( ) 1 0
劳斯判据
二、 劳斯稳定性判据
设线性系统的特征方程为 ansn an1sn1 a1s a0 0 则该 系统稳定的充要条件为： 特征方程的全部系数为正值； 由特征方程系数组成的劳斯阵的第一列也为正。
设系统特征方程为： 劳斯表介绍
s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0
s6 1 3