三湘名校教育联盟2020届高三第二次大联考理科数学试卷(word版,含解析)

三湘名校教育联盟·2020届高三第二次大联考

理科数学

一、选择题:本题共12小题，每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A 2

2

*

{2,1,0,1},{|,},B x x a a =--=≤∈N ，若A ?B,则a 的最小值为 A.1

B.2

C.3

D.4

2.设i 是虚数单位，5,32,ai

a

i a i

+∈=-+R 则a= A. -2

B. -1

C.1

D.2

3.已知函数32,0(),log ,0

x x f x x x ?≤=?>?则3

(())3f f =

2

.

2

A

1

.2

B

3.log 2C - 3.log 2D

4.已知向量(3,2),(5,AB AC ==-u u u r u u u r

1),则向量AB 与BC uuu r 的夹角为 A.45°

B.60°

C.90°

D.120°

5.α,β表示两个不同的平面,m 为平面α内的一条直线,则//αβ”是“//m β”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取

一，余米一斗五升。问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=15，则输入的k 的值为。

A.45

B.60

C.75

D.100

7.

要得到函数2sin 2y x x =-

的图像，只需把函数sin 22y x x =的图像

A.向左平移

2π

个单位

B.向左平移

712

π

个单位 C.向右平移

12

π

单位 D.向右平移

3

π

个单位 8.阅读名著,品味人生,是中华民族的优良传统.2020年寒假期间,学生李华计划每周一至周五的每天阅读一个小时中国四大名著:《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》,其中每天阅读一种,每周每种至少阅读一次,则每周不同的阅读计划共有

A.120种

B.240种

C.480种

D.600种

9.已知a,b,c 分别为△ABC 内角A,B,C 的对边,a= 1,4csinA-3cosC,△ABC 的面积为

3

,2

,则

c= A

B.4

C.5

D 10.定义在R 上的奇函数f(x)满足f(-3-x)+ f(x-3)=0.若f(1)=1,f(2)=-2,则f(1)+f(2)+ f(3) +…+ f(2020)=

A. -1

B.0

C.1

D.2

11.已知12F F 分别为双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左、右焦点,过1F 的直线l 交C 于A ，B 两点,O 为坐标

原点,若122,||||OA BF AF BF ⊥=,则C 的离心率为

A.2

B

C

D 12.已知A,B 是函数2,0

()ln ,0

x x a x f x x x a x ?++≤=?->?图像上不同的两点,若曲线y= f(x)在点A 、B 处的切线重合,则实数a

的最小值是

A. -1

1.2

B -

1.

2

C D.1

二、填空题:本题共4小题，每小题分,共20分。

13.已知x,y 满足约束条件0122x x y x y ≥??

+≥??+≤?,则z=3x+2y 的最小值为____.

14.若椭圆22

2:

11

x y C m m +=-的一个焦点坐标为(0,1),则C 的长轴长为______ 15.已知函数

()sin(2)6f x x π=-,若方程3

()5

f x =的解为1212,(0),x x x x π<<<则12x x +=______，

12sin()x x -=______.(本题第一空2分,第二空3分)

16.在四棱锥P-ABCD 中,PAB

是边长为,ABCD 为矩形

若四棱锥P-ABCD 的顶点均在球O 的球面上,则球O 的表面积为____

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。

(一)必考题:共60分。

17. (12分)

已知各项均为正数的数列{}n a的前n项和为,n S且n S是n a与

1

n

a

的等差中项.

(1)证明:2

{}

n

S为等差数列,并求

n

S；

(2)设

1

1

n

n n

b

S S

+

=

+

，数列{}n b的前n项和为.n T,求满足5

n

T≥的最小正整数n的值.

18. (12分)

如图,三棱柱111

ABC A B C

-中,△ABC与

1

A BC

?均为等腰直角三角形,

1

90

BAC BA C?

∠=∠=,侧面

11

BAA B是菱形.

(1)证明:平面ABC ⊥平面

1

A BC；

(2)求二面角

1

A BC C

--的余弦值.

19. （12分）

某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100 人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率。

(1)估计这100人体重数据的平均值μ和样本方差2

σ(结果取整数,同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) (2)从全校学生中随机抽取3名学生,记X 为体重在[55,65)的人数,求X 的分布列和数学期望;

(3)由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重Y 近似服从正态分布2

(,).N μσ若P(μ-2σ≤Y<μ+ 2σ)>0.9544,则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.

20. (12分)

在平面直角坐标系xOy 中,M 为直线y=x-2上一动点,过点M 作抛物线2

:C x y =的两条切线MA,MB,切点分别为A,B,N 为AB 的中点.

(1)证明:MN ⊥x 轴;

(2)直线AB 是否恒过一定点?若是,求出这个定点的坐标;若不是,请说明理由.

21. (12分) 已知函数

1

()ln .f x a x x

=+

(1)讨论f(x)的零点个数;

(2)证明:当02

e

a <≤时,1().2x e f x ->

(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分) 在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为4cos 2sin x y α

α

=??

=? (α为参数),将曲线C.上各点纵坐标伸长到原来的2倍(横

坐标不变),得到曲线1,C 以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为

4cos 3sin 250.ρθρθ+-=

(1)写出1C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程;

(2)曲线1C 上是否存在不同的两点12(4,),(4,)M N θθ)(以上两点坐标均为极坐标1,02,θπ≤<202)θπ≤<,使点M 、N 到l 的距离都为3?若存在,求出12||θθ-的值;若不存在,请说明理由.

23.[选修4-5:不等式选讲](10分) 已知a,b 均为正数,且ab=1.证明:

11)a b

+

2 f (

3 5

4 ＋ ) ＋ (22

(1)(1)2)8.b a a b

+++… 理科数学参考答案

一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案

B

C

A

C

A

B

A

B

D

C

D

B

1．B 解析：由题意可得 B ＝[－a ，a ]，∵a ∈N *，∴a 的最小值为 2.

2．C 解析：5＋a i ＝(3－2i)(a ＋i)＝3a ＋2＋(3－2a )i ，∴5＝3a ＋2 且 a ＝3－2a ，解得 a ＝1. 3．A 解析： 3)＝log 3＝－1，f (－1)＝2－1＝ 2

，故选 A.

3 3 2 → → → 2 2 2 → → → →

4．C 解析：∵BC ＝AC －AB ＝(2，－3)，∴AB ·BC ＝6－6＝0，∴AB 与BC 的夹角为 90°. 5．A 解析：当α∥β时，有 m ∥β；当 m ∥β时，不一定有α∥β，故选 A.

6．B 解析：n ＝1，S ＝k ；n ＝2，S ＝k ﹣ ＝

n ＝3，S ＝ ﹣ ＝ ； ； n ＝4，S ＝ ﹣ ＝ 退 ；

出循环，由题意可得 ＝15，解得 k ＝60．

7．A 解析：把 y ＝sin2x － 3cos2x ＝2sin(2x －

π

)＝2cos(2x －5π)的图像向左平移π

个单位，得到 y 3 6 2

＝2cos(2(x π)－5π ＝2cos(2x π

)＝ 3cos2x －sin2x ，故选 A . 2

6 6

8．B 解析：由题意 5 天中，有 2 天阅读同一名著，故每周不同的阅读计划共有 C 2A 4

＝240 种．

9.D 解 析 ： ∵ a ＝ 1 ， 4csinA=3cos C ， ∴ 4csinA=3acos C ， ∴ 4sinCsinA=3sinAcos C ， ∴

tanC= 3 , s inC = 3 , c os C = 4 , ∴ 3

4 5 5 2

3 ＝ ab sin C ＝

10

ab ， 解得 b ＝ 5 ， 由余弦定理可得 c ＝

= 3 ．

10．C 解析：由已知得 f (－x )＝－f (x )，f (－3－x )＋f (x －3)＝0，∴f (x －3)＝f (x ＋3)，∴f (x )＝f (x ＋6)， 即 f (x )的周期为 6.∵f (1)＝1，f (2)＝－2，f (0)＝0，∴f (3)＝f (－3)＝－f (3)＝0，f (4)＝f (－2)＝－f (2)＝2， f (5)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，f (6)＝0，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0，且 2020＝6×336＋4，∴f (1) ＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1.

11．D 解析：取 AB 中点 E ，连接 EF 2 ，则由已知可得 BF 1 ⊥ EF 2 , F 1 A = AE = EB ，设 F 1 A = x ， 则由双曲线的定义可得 AF 2 = 2a + x , BF 1 - BF 2 = 3x - 2a - x = 2a ,∴ x = 2a ,∴ E F 2 = 2 3a ，由勾股

1+ 25 - 2 ?1? 5? 4

5

c

=. 定理可得(4a)2+(23a)2=(2c)2,∴c2=7a2,

a

e=

3 3 1 12．B 解析：当 x ≤0 时，f ′(x )＝2x ＋1，当 x ＞0 时，f ′(x )＝ln x ＋1，设 A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))， x ≤0＜x .当 x ≤0 时，曲线 y ＝f (x )在点 A (x ，f (x ))处的切线方程为 y －(x 2＋x ＋a )＝(2x ＋1)(x －x )，

1

2

1

1

1

1

1

1

1

当 x 2＞0 时，曲线 y ＝f (x )在点 B (x 2，f (x 2))处的切线方程为 y －x 2ln x 2＋a ＝(ln x 2＋1)(x －x 2)．两直线重合

的充要条件是 ln x ＋1＝2x ＋1①，－x －a ＝a －x 2②，由①②得 a ＝1(x 2－e 2x 1)，x ≤0.令 g (x )＝1

(x 2－

2 1 2 1 1 1

2 2

e 2x )(x ≤0)，则 g ′(x )＝x －e 2x ，g ″(x )＝1－2e 2x ，由 g ″(x )＝0 得 x

1ln 1 x ＝1 1时，g ′(x )有最大 ＝ ，则当 ln 2 2 2 2

值为 g ′(1ln 1)＝1l 1－1<0，∴g (x )在(－∞，0]上单调递减，∴g (x )≥g (0)＝－1

，即实数 a 的最小值是 n

2 2 2 2 2 2 1

－ 2

二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）

13. 2

14. 2 15.

2π －4 3 5

16.28π

13．2 解析：作出可行域知 z = 3x + 2 y 在点（0,2）处取得最大值 2.

14． 2 解析：由已知可得 m 2－m －1＝1，解得 m ＝2 或 m ＝－1(舍去)，∴长轴长为 2 . 15．

2π －4 解析：∵0＜x ＜π，∴2x －

π∈(－π，11π)，∵方程 f (x )＝3

的解为 x 1，x 2(0＜x 1＜x 2

3

5

2x 1－π＋2x 2－π π

6 6 6

5 2π 2π 2π ＜π)，∴ 6

6 ＝ 2

，解得 x 1＋x 2＝ 2 3 ，∴x 2＝ 3 －x 1，∴sin(x 1－x 2)＝sin(2x 1－ )＝－ 3 cos(2x 1－π)．∵x 1

)

6 3 3 3 π 4 4

6 6 2 6

＝ 得 cos(2x 1－ 5 6 )＝ ，∴sin(x 1－x 2)＝－ . 5

5 16．28π 解析：如图，取 AB ，CD 的中点 E ，F ，连接 PE ，EF ，PF ，取 EF 的中点 H ，PE 的三等分点 G ，使 PG ＝2GE ，则 H ，G 分别为四边形 ABCD 与△PAB 的中心，过 H 作平面 ABCD 的垂线与过 G 作平面 PAB 的垂线交于 O ，则 O 为球 心，由已知 PF ＝ 19，EG ＝EH ＝1，∴cos ∠PEF

PE 2＋EF 2－PF 2

＝ ＝－ ，∴

2PE ·EF

2 ∠PEF ＝120°，GH ＝OH ＝OG ＝ 3，AH ＝2，R ＝OA ＝ 7，S ＝4πR 2＝28π.

3

.

n n +1 + n

= n + 1 - n 2 n n

a 1

三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）

17. 解析：（1）由题意可得 2S = a +

1

，当 n = 1 时， 2S = a + 1

，∴ a 2 = 1， a = 1，

n

n

n

1

1

1 1

1

当 n ≥ 2 时，

a = S - S

，则

2S = S - S + 1

，整理可得 S 2

- S

2 = 1 ,

n

n

n -1

n

n

n -1

S n - S n -1

n

n -1

∴{S 2} 是首项为

1，公差为 1 的等差数列，

∴ S

2 = S 2 + (n -1) = n ， S =?6 分 n

1 n

（2）由（1）可得b n =

，

∴T n = - 1 + 3 - 2 + + n - n -1 + n + 1 - = n + 1 -1 ≥ 5 ，解得 n ≥ 35 ，

∴最小正整数 n 的值为 35 ---------------------- 12 分

18. 解析：(1)取

BC 中点 O ，连接 AO ，A 1O ， 由已知可得 AO ⊥BC ，A 1O ⊥BC ，AO ＝A 1O ＝1

BC ＝OB ，

2

∵侧面 B AA 1B 1 是菱形，∴AB ＝AA 1，△AOA 1≌△AOB ，∠AOB ＝∠AOA 1＝90° A 1O ⊥AO ，

∵AO ∩BC ＝O ，∴A 1O ⊥平面 ABC ，∴平面 ABC ⊥平面 A 1BC .(5 分)

(2)设 B C ＝2，则 A O ＝A 1O ＝BO ＝OC ＝1，建立如图所示空间直角坐标系 O -xyz

→ →

则 A (1，0，0)，A 1(0，0，1)，B (0，1，0)，C (0，－1，0)，AA 1＝CC 1＝(－1，

0，1)，C 1(－1，－1，1)， → ＝(－1，－2，1)， →

＝(1，－1，0)，

BC 1 BA 设平面 ABC 1 的法向量为 m ＝(x ，y ，z )， －x －2y ＋z ＝0

x －y ＝0

，令 x ＝1 得 m ＝(1，1，3)． 同理可求得平面 B CC 1 的法向量 n ＝(1，0，1)，∴cos＝

4

＝2 22

.(12 分)

11× 2 11

19．解析：(1)μ＝(47.5＋72.5)×0.004×5＋(52.5＋67.5)×0.026×5＋(57.5＋62.5)×0.07×5＝60；

σ2 ＝[(60 － 47.5)2 ＋(72.5 － 60)2]×0.02 ＋[(60 － 52.5)2 ＋(67.5－ 60)2]× 0.13 ＋[(60 － 57.5)2 ＋(62.5 －

60)2]×0.35≈25.(4 分)

(2) 由已知可得从全校学生中随机抽取 1 人，体重在[55，65)的概率为 0.7，

随机抽取 3 人，相当于 3 次独立重复实验，随机变量 X 服从二项分布 B (3，0.7)，

a

1 (

) 1 2 1

则 P (X ＝0)＝C 0·0.70·0.33＝0.027，P (X ＝1)＝C 1·0.7·0.32＝0.189，

3 3

P (X ＝2)＝C 2·0.72·0.3＝0.441，P (X ＝3)＝C 3·0.73·0.30＝0.343，

3

3

所以 X 的分布列为：

数学期望 EX ＝3×0.7＝(3) 由题意知 Y 服从正态分布 N (60，25)，

则 P (μ－2σ≤Y ＜μ＋2σ)＝P (50≤Y ＜70)＝0.96＞0.9544， 所以可以认为该校学生的体重是正常的．(12 分)

20．解析：(1)设切点 A (x 1，x 2)，B (x 2，x 2)，y ′＝2x ，

∴切线 MA 的斜率为 2x 1，切线 MA ：y －x 2＝2x 1(x －x 1)，

设 M (t ，t －2)，则有 t －2－x 2＝2x (t －x )，化简得 x 2－2tx ＋t －2＝0，

1

1

1

1

1

同理可得 x 2－2tx ＋t －2＝0.

2

2

∴x 1，x 2 是方程 x 2－2tx ＋t －2＝0 的两根，∴x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝t －2，

∴x N ＝

x 1＋x 2

＝t ＝x M ，∴MN ⊥x 轴．(6 分) 2 (2)∵y N ＝1(x 2＋x 2)＝1

(x 1＋x 2)2－x 1x 2＝2t 2－t ＋2，∴N (t ，2t 2－t ＋2)． 1

2

2 2 ∵k ＝x 2－x 2＝x ＋x ＝2t ，∴直线 AB ：y －(2t 2－t ＋2)＝2t (x －t )，即 y －2＝2t (x －1)，

1

2 AB

1 2

x 1－x

2

2

∴直线 AB 过定点(1

，2)．(12 分)

2

21．解析：(1)f ′(x ) ax －1

＝ ，x ∈(0，＋∞)，

x 2

1 － 1

当 a ＜0 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，f (

当 a ＝0 时，f (x )无零点；

)＝－a ＋e ＞0，f (e e

)＝－1＋e a ＜0，此时 f (x )有 1 个零点； 当 a ＞0 时，由 f ′(x )＜0 得 x ∈(0，1)，由 f ′(x )＞0 得 x ∈(1，＋∞)，∴f (x )在(0，1)单调递减，在 1，＋ a ∞)单调递增，∴f (x )在 x ＝1

处取得最小值 a

a a a

f (1)＝－a ln a ＋a ，

a 若－a ln a ＋a >0，则 a

若－a ln a ＋a ＝0，则 a ＝e ，此时 f (x )有 1 个零点；

若－a ln a ＋a <0，则 a >e ，f (1)>0，求导易得 f ( 1 )>0，此时 f (x )在( 1 ，1 ，(1，1)上各有 1 个零点． a 2 a 2

a a 综上可得 0≤a e 时，f (x )有 2 个零点．(6 分)

a

42

＋3

2

y ＝

＝ ＝ ＋ ＋

(2)令 h (x )＝ax ln x ＋1，则 h ′(x )＝a (1＋ln x )，当 x ＞1时，h ′(x )＞0；当 0＜x ＜1时，h ′(x )<0，∴h (x )≥h (1

)

＝－a ＋1≥1.

e e e

e 2

令 g (x ) 1x e 1－x ，则 g ′(x ) 1e 1－x

(1－x )，

＝ ＝ 2 2

当 0＜x ＜1 时，g ′(x )＞0，当 x ＞1 时，g ′(x )＜0，∴g (x )≤g (1) 1

2

1 1 e 1－x

e 1－x

∴h (x )>g (x )，ax ln x ＋1> 2

x e 1－x

，∴a ln x ＋ > x 2 ，即 f (x )> 2

.(12 分)

22．解析：(1)曲线 C 的普通方程为x 2 ＋ 2

1，纵坐标伸长到原来的 2 倍 ＝

16 4 得到曲线 C 1 的直角坐标方程为 x 2＋y 2＝16，其极坐标方程为ρ＝4. 直线 l 的直角坐标方程为 4x ＋3y －25＝0.(5 分) (2)曲线 C 是以 O 为圆心，4 为半径的圆， 圆心 O 到直线 l 的距离 d ＝

|4×0＋3×0－25|

5.

∴存在这样的点 M ，N ，则 MN ∥l ，且点 O 到直线 MN 的距离|OD |＝2，

∴∠MON ＝2π，∴|θ1－θ2|＝

4π

.(10 分) 3 3

23．解析：(1)∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，即 2(a 2＋b 2)≥(1＋1

)2，当且仅当 a ＝b ＝1 时取等

b a

号，∴ a 2＋b 2≥ 2 1＋1

．(5 分)

( ) 2 a b

(2)（b ＋1）2＋（a ＋1）2 2 2b ＋1＋ 2

2a ＋1＝a 3＋b 3＋2(b ＋a )＋(1＋1)＝(a 3＋b 3)＋2(a 2＋b 2)＋(a a b a a a b b b ab

a b a b b a ，

＋b)≥2 a3b3＋4ab＋2 ab＝8，当且仅当a＝b＝1 时取等号．(10 分)