高等代数北大版教(学)案-第6章线性空间

第六章 线性空间

§1 集合映射

一 授课容:§1 集合映射

二 教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和号

与乘积号的定义.

三 教学重点:集合映射的有关定义. 四 教学难点:集合映射的有关定义. 五 教学过程:

1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义:(集合的交、并、差) 设S 是集合,A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集,记作B A ⋂；把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集,记做B A ⋃；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集,记做B A \.

定义:(集合的映射) 设A 、B 为集合.如果存在法则f ,使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素(记做)(a f ),则称f 是A 到B 的一个映射,记为

).(,:a f a B A f →

如果B b a f ∈=)(,则b 称为a 在f 下的像,a 称为b 在f 下的原像.A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像,记做)(A f ,即

{}A a a f A f ∈=|)()(.

若,'A a a ∈≠∀都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射.若 ,B b ∈∀都存在

A a ∈,使得b a f =)(,则称f 为满射.如果f 既是单射又是满射,则称f 为双射,或称一一对应.

2.求和号与求积号 (1)求和号与乘积号的定义

为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号. 设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21 ,我们使用如下记号:

∑==+++n i i n a a a a 1

21 , ∏==n

i i n a a a a 1

21 .

当然也可以写成

∑≤≤=

+++n

i i

n a

a a a 121 , ∏≤≤=

n

i i

n a

a a a 121 .

(2)求和号的性质 容易证明,

∑∑===n i n i i i a a 1

1

λλ,∑∑∑===+=+n i n i n i i i i i b a b a 1

1

1

)(,∑∑∑∑=====n i m j n

i ij m j ij a a 111

1.

事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状:

nm

n n m m a a a a a a a a a

21

2222111211

分别先按行和列求和,再求总和即可.

§2 线性空间的定义与简单性质

一 授课容：§2 线性空间的定义与简单性质

二 教学目的：通过本节的学习,掌握线性空间的定义与简单性质. 三 教学重点：线性空间的定义与简单性质. 四 教学难点：线性空间的定义与简单性质. 五 教学过程：

1.线性空间的定义

(1)定义4.1(线性空间) 设V 是一个非空集合,且V 上有一个二元运算“+”()V V V ⨯→,又设K 为数域,V 中的元素与K 中的元素有运算数量

乘法“•”()K V V ⨯→,且“+”与“•”满足如下性质: 1、 加法交换律 ,V αβ∀∈,有αββα+=+；

2、 加法结合律 ,,V αβγ∀∈,有()()αβγαβγ++=++；

3、 存在“零元”,即存在0V ∈,使得,0V ααα∀∈+=；

4、 存在负元,即V α∀∈,存在V β∈,使得0αβ+=；

5、 “1律” 1αα•=；

6、 数乘结合律 ,,k l K V α∀∈∈,都有()()()kl k l l k ααα==；

7、 分配律 ,,k l K V α∀∈∈,都有()k l k l ααα+=+；

8、 分配律 ,,k K V αβ∀∈∈,都有()k k k αβαβ+=+,

则称V 为K 上的一个线性空间,我们把线性空间中的元素称为向量.注意:线性空间依赖于“+”和“•”的定义,不光与集合V 有关.

(2)零向量和负向量的唯一性,向量减法的定义,线性空间的加法和数乘运算与通常数的加、乘法类似的性质

命题4.1 零元素唯一,任意元素的负元素唯一.

证明:设0与0'均是零元素,则由零元素的性质,有00'00'=+=；

V α∀∈,设,'ββ都是α的负向量,则

0(')'()0βββαββαβββ=+=++=++=+=,

于是命题得证.由于负向量唯一,我们用α-代表α的负向量.

定义4.2(减法) 我们定义二元运算减法“-”如下:

αβ-定义为()αβ+-.

命题4.2 线性空间中的加法和数乘满足如下性质:

1、 加法满足消去律 αγβγαβ+=+⇒=；

2、 可移项 αβγαγβ+=⇒=-；

3、 可以消因子 k αβ=且0k ≠,则1

k

αβ=

； 4、 00,α•= 00,k •= (1)αα-=-. (3)线性空间的例子

例4.1令V 表示在(,)a b 上可微的函数所构成的集合,令K =,V 中加

法的定义就是函数的加法,关于K 的数乘就是实数遇函数的乘法,V 构成K 上的线性空间.

4.1.2线性空间中线性组合和线性表出的定义,向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述,向量组的秩,向量组的线性等价；极大线性无关组.

定义4.3(线性组合) 给定V 一个向量组12,,,s ααα,又给定数域Ks

个数12,,,s k k k ,称1122s s k k k ααα++

+为向量组12,,

,s ααα的一个线性

组合.

定义4.4(线性表出) 给定V 一个向量组12,,,s ααα,设β是V 的一个

向量,如果存在Ks 个数12,,,s k k k ,使得1122s s k k k βααα=++

+,则称向

量β可以被向量组12,,

,s ααα线性表出.

定义 4.5(向量组的线性相关与线性无关) 给定V 一个向量组

12,,,s ααα,如果对V 某一个向量β,存在数域K 不全为零的数12,,

,s k k k ,

使得11220s s k k k ααα+++=,则称向量组12,,,s ααα线性相关；若由方

程11220s s k k k ααα++

+=必定推出120s k k k ==

==,则称向量组

12,,,s ααα线性无关.

命题4.3 设12,,s V ααα∈,则下述两条等价:

1)12,,

s ααα线性相关；

2)某个i α可被其余向量线性表示. 证明同向量空间.

定义4.6(线性等价) 给定V 两个向量组

12,,,r ααα (Ⅰ), 12,,

,s βββ (Ⅱ),

如果(Ⅰ)中任一向量都能被(Ⅱ)线性表示,反过来,(Ⅱ)中任一向量都能被(Ⅰ)线性表示,则称两向量组线性等价.

定义4.7(极大线性无关部分组) 给定V 一个向量组12,,

,s ααα,如果