RS码译码算法对比研究

m 2, 2
(
m q, n
s=
i= 0 j = 0
m i, j
( 13)
( 2) 插值计算 插值运算是根据初始的 n 个点和重度矩阵产 生一个最少权重为 ( 1, k - 1) 的通过每个插值点的 二元插值多项式 P ( x , y) , 其阶数与重度矩阵中的 重度一致[ 7] 。 ( 3) 因式分解 因式分解是在插值多项式中提取所需的信息 多项式 f ( x ) , 即在插值多项式 P ( x, y ) 中找出最高 次数小于 k 的因子 f ( x ) 。 ( 5) 选择正确的码字输出。 由信息多项式得到候选码字, 根据后验概率矩 阵从中选择输出正确的码字。
RS deco ding comparison of har d decision and so ft decision
T ao R ongneng , Jiang T ingt ing ( Inst o f Coding & Info rm T ech. Choo nngqing U niv . o f Posts & T elecomm. Cho ng qing 400065 China)
[ 8]
图 2 K V 代数软判决译码算法流程图
具体步骤如下: ( 1) 计算重度矩阵 考虑理想高斯信道下 , 接收端收到的信道信息 可转换得到两个后验概率 : p ( 0/ y ) = 1/ ( 1 + ex p (- 2y / p ( 1/ y ) = 1/ ( 1 + ex p ( 2y / 而可信度计算如 ( 12) 式:
x = m in ∃
i
x 或 i 是 i+ 1 次迭
i = minD i , 式中 D
代过 程 中 得 到 的
x 中最 低次 数的 33
2009. 9
i
Design & Research ( (
x 的次数。 ( 3) 用搜索解出错误 位置多项式 x 的根 ,
1, 1 2, 1
1, 2 2, 2
1, n- 1
! ! t [ Leabharlann Baidu]
1
RS 码编码原理
众所周知, ( n, k) RS 码有时域编码和频域编码 两种, 其中信息多项式 m( x ) 和剩余多项式 R( x) 分 别表示如下: m x = m 0 + m 1 x + m 2 x + . . . + m k- 1 x r x = Q0 + Q 1 x + . . . + Qn- k- 1 x
n- k- 1 2 k- 1
S x =
i= 0 !
s ix i =
i= 0 j= 1 i i= 0
Y j x ij x i
( 5) ( 6)
x = ( 1) ( 2) S x x =
xi x
t
( 7)
RS 码的编码 过程首先是由生成多项式 g ( x ) 得到系统生成矩阵 G( x ) , 时域编码可由基本的编 码公式 C( x) = m( x) G( x ) 得到码字 , 图 1 为 RS 码 时域编码原理框图。而频域编码相对较复杂, 码字 多项式 C( x) 的 xn- 1 至 x n- k 项的系数对应于序 列的信息位, 而其余位则代表校验位。 m( x ) x
[ 2]
2009. 9 码码字。 C( x ) = m( x ) x n- k + r( x ) ( 4)
图1
RS 码的时域编码结构图
2
BM 译码算法原理
1966 年, Berlekamp 提出了由校正子 S 求错误
位置多项式 ( x ) 的迭代译码算法, 极大地加快了求 ( x ) 的速度 , 实现比较简单 , 且易于用计算机完成 译码 。基于此, M assey 于 1969 年指出迭代译码 算法与序列的最短线性移位寄存器综合之间的关 系 , 并进行了简化的得到 BM 迭代译码算法, 它是 RS 码的硬判决译码算法。 BM 迭代译码算法主要分为 5 个步骤 : ( 1) 由接收到的多项式 R( x) 求 n- k 个伴随式 S j 的值。 ( 2) 求错误位置多项式 ( x ) 。 校正子 S( x ) 及其与 ( x ) 的乘积 ( x) 为:
i, j 2 2
4
仿真与分析
本文给出 ( 15, 7) RS 码的 BM 硬判决译码算 法与 K V 代数 软判决译 码算法的 计算机 仿真分 析。采用的是 BP SK 调制 , 信道为 AWGN 信道。 图 3 是对比 RS 码的 BM 硬判决译码算法与 K V 代数软判决译码算法的性能仿真曲线。随着 EB/ No 的逐渐增大, 代数软判决译码算法比硬判决译码 算法性能有限制的提高 , 在 FER 达到 9 ) 10 级别 时, 软判决译码较硬判决有 1dB 的性能增益。其中,
Q- 1 n- 1 [ 6]
3
代数软判决译码算法
( m 1, n- 1 (
m 1, n m 2, n ∀ m q- 1, n
2003 年 , Ko et t er 和 V ar dy 提出了 RS 的代数 软判决译码算法 & & & K V 算法。他是在 G S 算法 上加上了软信息的计算, 得到一个重度矩阵 , 从而 提高译码的性能。它的译码过程包括以下几个步 骤: 由信道软信息获得重度矩阵 ; 多项式插值算法 ; 多项式因式分解 ; 以及从分解的因式中找到最合适 的信息多项式。图 1 为 K V 代数软判决译码算法 的主要流程:
RS 码译码算法对比研究
陶荣能 , 蒋婷婷 ( 重庆邮电大学编码技术研究所 重庆 400065)
摘 要 : RS 码所具有的高效译码性能 使其被广泛应用 于数据通 信和存 储系统 的差错 控制中。本 文主要 对目前 常用的 RS 码的硬判决译码算法和 K- V 代数 软判决 译码算 法进行 对比研 究。通过对 两种算 法原 理的理 论分 析 , 给出了 R S 码在硬判决与软判决的算法下的计算机仿真。结果表明两种算法均能得到良好的译码效果 , 而软 判决译码 算法较硬判决方式能更有效地带来系统增益。而 软判决 译码算 法可以 通过适当 提高复 杂度来 改善系 统的性能。 关键字 : RS 码 ; 硬判决译码算法 ; 代数 软判决译码算法 中图分类号 : T N 911 文献标识码 : A
* i i i= 1
#
1-
i
x
i
( 9)
迭代条件限制为: ( 3) x % ∃ x
i *
+ r(x)
0 m odg ( x )
求解由式( 2) 和式 ( 3) 构成的方程组 , 求得 nk 个未 知数 Q0 , Q1 , . . . , Q n- k- 1 , 即编 码 后的 校 验 位。最后 , 将生成的校验码追加到信息码后得到编
1, n 2, n
得到错误位置数 , 确定出错误位置。 ( 4) 由错误位置数求得错误值 , 从而得到错误 图案 E ^ x [ 5] 。 ( 5) R x - E ^ x = C ^ x , 完成译码。
#=
∀
q- 1, 1 q, 1
∀
q- 1, n
(
q, n
继而由可信度矩阵和 初始化设定的 复杂度 s 值计算 M 矩阵 。 m 1, 1 m 1, 2 m 2, 1 M= ∀ m q- 1, 1 m q, 1 其中复杂度 s 定义为 :
0
引
言
正随机差错和突发差错 , 尤其是对后者的纠正有很 突出的成效。 1960 年, 麻省理工学院林肯实验室的 I. S. Reed 和 G. Solo mon 提出 RS 码
[ 1]
在各种数字通信系统中, 人们一直寻求高效的 信道纠错 码编码技 术用以提 高系统的 整体性能。 Reed Solo mon 码是 20 世 纪以来信道 纠错码编 码 32
n- k
由于( 7) 式中的 S( x) 没有高于 x 项幂次的项 , x 最高次数不超过 2t, 即得到 ( 8) 式求 则S x 解 ( x ) 的关键方程 : S x x x
t
m odx i+ 1 , i ∀ 2t
( 8)
通过( 8) 式迭代计算得到 ( x) : x = ( a) ∃ ( b) ∃ D
- 5
2009. 9 综上所述 , RS 码是一种具有优良性能的有效 信道纠错码, 而通过选择合适复杂度的代数软判决 译码算法有利于改善系统性能。 参考文献
Abstract : Because of it s gr eat decoding perfo rmance o f error cont ro lling , RS code has been widely used in dat a co mmunications and st or ag e sy st em . In t his paper, t he co mmon used har d decision decoding alg orit hm and alg ebraic sof t decision decoding KV algorit hm w ere discussed com parat iv ely . T hrough t he theoret ical analysis o f bot h algorit hms, w e present t he com put er simulatio n of RS code decoding alg orit hm w it h hard decision and sof t decision. T he result s show t hat bo th alg orit hms ow n go od decoding perf orm ance, w hile the lat er can g et m uch mo re gains. Mo reo ver, w e can im pro ve t he perf ormance of the sy st em by enlarg ing the com plex it y of the sof t decisio n deco ding alg orit hm . KeyWords: RS code; hard decision decoding alg orit hm; alg ebraic sof t decision decoding algo r it hm 技术中应用最为广泛的一种码型, 它能同时用于纠
。由于其优
越的纠错能力 , RS 码被广泛应用于工程实践中 , 如 数据存储系统中的硬磁盘驱动器、 CD、 DVD 等 , 消
设计与研发
费电子系统中的数字电视、 数字音频、 数字图像等 , 以及数字通信系统中如卫星通信、 深空探测、 AT SC 、 DAB 、 DVB 等应用。 研究者在数字通信中都希望使纠错码 的译码 性能尽可能地提高, 同时降低译码算法的计算复杂 度, 且带来较少的译码延时等。然而 , RS 码所具有 的优越性能却是建立在增加译码延时的基础之上 , 鉴于此, 对译码延时进行改进的译码算法将起重要 的作用。例如在需要较高传输实时性的深空通信 中将 RS 码作为外码 , 译码延时能得到很好的改善 , 使得通信的实时性更强, 通信质量更高。 RS 码被提出不久, Berlekamp 和 Massey 提出了 BM 算法 , 它是一种基于快速查找错误位置多项式的 RS 硬判决译码方式 , 它易于实现但译码 性能较 差。由此提出了利用软信息译码的软判决译码算 法, 可以获得较大的系统增益。2003 年 , Koett er 和 Vardy 提出的 K V 算法[ 3] 即一种基于 RS 码的代数 软判决译码算法, 能极大地提高译码性能。 本文研究了 RS 码的硬判决和软判决两种译码 算法的原理及其性能比较。
- 5
))
( 10) ( 11)
))
=
! i ∋ GF 1 2
q
k= 1 m
#p
m
ak i | y j * m+ k
( 12)
式中 a i a i . . . a i 矩阵为: 34
∋ ! i 。由此可 得到可信 度
K V 代数软判决译码采用的复杂度 s= 25。
设计与研发
图 4 是 K V 代数软判决译码在不同复杂度下 的性能仿真曲线。结果表明: 在提高算法复杂度 s 的情况下 , 系统的性 能有了明显的 增益。在 F ER 为 9 ) 10 级别 时 , 复 杂 度 s = 120 较 s = 60 有 0. 48dB 的性 能增 益 , 复 杂 度 s = 60 较 s = 30 有