九年级数学用一元二次方程解决问题练习题2
九年级数学上册1.4用解决问题专项练习二等积变形面积问题新版苏科版043.doc
第一章第4节用一元二次方程解决问题专项练习二二、等积变形、面积问题2：1．某家庭农场要建一个长方形的养兔场，兔场的两边靠墙（两堵墙互相垂直，长度不限），另两边用木栏围成，木栏总长20米．（1）兔场的面积能达到100平方米吗？请你给出设计方案；（2）兔场的面积能达到110平方米吗？如能，请给出设计方案，若不能说明理．2．张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？3．如图，学校打算用16 m 的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（如下图），面积是30 m2．求生物园的长和宽．4．现有一块长20cm，宽10cm的长方形铁皮，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一个底面积为56cm2的无盖长方体盒子，求出剪去的小正方形的边长？5．校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少米？6．要对一块长60米，宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化、设计方案如图所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的14，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽．7．如图，在矩形ABCD中，BC=24cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm，（1）当x为何值时，点P、N重合；（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．8．如图，要建一个面积为150 m2的矩形养鸡场，为了节约材料，养鸡场的一边沿用原来的一堵墙，墙长为a m，其余三边用竹篱笆围成，已知竹篱笆的长为35 m.(1)如果a＝40，那么养鸡场的长和宽各为多少米？(2)如果a是一个可以变化的量，那么墙的长度a对所建的养鸡场有怎样的影响？9．如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边．如图②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米．求花边的宽10．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=6m，AC=8m，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC，BC 方向向点C匀速运动，已知点P移动的速度是20cm/s，点Q移动的速度是10cm/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的58？11．做一个底面积为24 cm2，长，宽，高的比为4∶2∶1的长方体．求：(1)这个长方体的长、宽、高分别是多少？(2)长方体的表面积是多少？12．把一边长为36cm的正方形硬纸板进行适当的剪裁，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．①要使折成的长方体盒子的底面积为676cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，若折成的一个长方体盒子的表面积为880cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）13．在一块长，宽为的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．（）小芳说，‘我的设计方案如图所示，平行于荒地的四边建造矩形的花园，花园四周小路的宽度均相同’，你能帮小芳算出小路的宽度吗？请利用方程的方法计算出小路的宽度．（）小华说，‘我的设计方案是建造一个中心对称的四边形的花园，并且这个四边形的四个顶点分别在矩形荒地的四条边上’，请你按小华的思路，分别设计符合条件的一个菱形和一个矩形，在图和图中画出相应的草图，说明所画图形的特征，并简述所画图形符合要求的理由．14．用如图所示矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形(阴影部分)．并制成一个长方体纸盒。
九年级数学上册一元二次方程的实际应用同步练习及答案
一元二次方程的实际应用——典型题专项训练知识点 1 用一元二次方程解决几何图形问题1．某中学准备建一个面积为375 m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10 m．设游泳池的长为x m，则可列方程为( )A．x(x－10)＝375 B．x(x＋10)＝375C．2x(2x－10)＝375 D．2x(2x＋10)＝3752．如图2－6－1所示，某小区计划在一块长20 m，宽15 m的矩形荒地上建造一个花园(图中阴影部分)，使得花园所占面积为荒地面积的一半，其中每个角上的扇形都相同，则每个扇形的半径x是多少？(精确到0.1 m)图2－6－1知识点 2 用一元二次方程解决动态几何图形问题3．如图2－6－2，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，BC＝6 cm，动点P，Q 分别从点A，C出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时点Q以2 cm/s的速度向点D移动．当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动．经过多长时间，P，Q两点之间的距离是10 cm?图2－6－24．教材习题2.9第2题变式题如图2－6－3所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm, 点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1 cm/s.当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动．经过几秒后，△PCQ的面积为Rt△ACB面积的四分之一？图2－6－35．如图2－6－4所示，一根木棍OE垂直平分柱子AB，AB＝200 cm，OE＝260 cm，一只老鼠C由柱子底端点A以2 cm/s的速度向顶端点B爬行，同时，另一只老鼠D由点O以3 cm/s的速度沿木棍OE爬行，当老鼠C在线段OA上时，是否存在某一时刻，使两只老鼠与点O组成的三角形的面积为1800 cm2？若存在，求出爬行的时间；若不存在，请说明理由．图2－6－46．如图2－6－5，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A沿边AB向点B 以1 cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，经过x s 后△PDQ的面积等于28 cm2，则x的值为( )A．1或4 B．1或6C．2或4 D．2或62－6－52－6－67．如图2－6－6，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝12 cm，点D从点A开始沿AB 边以2 cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC，则点D出发________时，四边形DFCE的面积为20 cm2.8．某单位准备将院内一块长30 m、宽20 m的长方形空地建成一个矩形花园．要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图2－6－7所示．要使种植花草的面积为532 m2，那么小道进出口的宽度应为多少？(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)图2－6－79．如图2－6－8所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止．(1)几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2?(2)几秒后，PQ的长度等于5 cm?(3)△PBQ的面积能否等于7 cm2?图2－6－810．如图2－6－9，已知一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心2010海里的圆形区域(包括边界)都属台风区．当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向的B处，且AB＝100海里，若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求经过多长时间轮船最初遇到台风；若不会，请说明理由．图2－6－91．A2．解：根据题意，得4×14πx2＝12×20×15，解得x1≈6.9，x2≈－6.9(舍去)．答：每个扇形的半径x大约是6.9 m.3．解：设经过x s，P，Q两点之间的距离是10 cm，根据题意，得62＋(16－5x)2＝102，整理，得25x2－160x＋192＝0，解得x1＝1.6，x2＝4.8.答：经过1.6 s或4.8 s，P，Q两点之间的距离是10 cm.4．解：设经过x s后，△PCQ的面积为Rt△ACB面积的四分之一．根据题意，得12(6－x)(8－x)＝12×6×8×14，化简，得x2－14x＋36＝0，解得x1＝7＋13(舍去)，x2＝7－13.所以经过(7－13)s后，△PCQ的面积为Rt△ACB面积的四分之一．5．解：存在．因为OE垂直平分AB，AB＝200 cm，所以OA＝100 cm.当老鼠C在OA上运动时，设两只老鼠同时爬行x s时，两只老鼠与点O组成的△COD 的面积为1800 cm2，则AC＝2x cm，OC＝(100－2x)cm，OD＝3x cm.由S△OCD＝12OC·OD，得12(100－2x)·3x＝1800.整理，得x2－50x＋600＝0.解得x1＝20，x2＝30.当x＝20时，2x＝40<100；当x＝30时，2x＝60<100，所以x＝20和x＝30均符合题意．所以当两只老鼠同时爬行20 s或30 s时，它们与点O组成的△COD的面积为1800 cm2.6．C [解析] ∵S矩形ABCD－S△APD－S△BPQ－S△CDQ＝S△PDQ，∴12×6－12×12x－12×2x(6－x)－12×6×(12－2x)＝28，化简、整理，得x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4.7．1 s或5 s [解析] 设点D出发x s时，四边形DFCE的面积为20 cm2，由题意，得12×12×12－12×4x2－12×(12－2x)2＝20，化简、整理得x2－6x＋5＝0，解得x1＝1，x2＝5.8．解：设小道进出口的宽度应为x m，根据题意，得(30－2x)(20－x)＝532.整理，得x2－35x＋34＝0.解得x1＝1，x2＝34.∵34>30，∴不合题意，舍去，∴x＝1.答：小道进出口的宽度应为1 m.9．解：(1)设x s后，△PBQ的面积等于4 cm2.此时AP＝x cm，BP＝(5－x)cm，BQ＝2x cm.由S△PBQ＝12BP·BQ＝4，得12(5－x)·2x＝4.整理，得x2－5x＋4＝0.解得x1＝1，x2＝4.当x＝4时，2x＝8>7，说明此时点Q越过点C，不符合要求，舍去，∴1 s后，△PBQ的面积等于4 cm2.(2)设y s后PQ的长度等于5 cm，此时AP＝y cm，BP＝(5－y)cm，BQ＝2y cm.由BP2＋BQ2＝52，得(5－y)2＋(2y)2＝52.整理，得y2－2y＝0.解得y1＝0(不合题意，舍去)，y2＝2.∴2 s后，PQ的长度等于5 cm.(3)假设△PBQ的面积能等于7 cm2，此时点P，Q的运动时间为z s，则12(5－z)·2z＝7，整理，得z2－5z＋7＝0.∵(－5)2－4×7＝－3<0，∴方程没有实数根，∴△PBQ的面积不可能等于7 cm2.10．解：假设轮船途中会遇到台风，且经过t h最初遇到，此时轮船位于C处，台风中心移到E处，连接CE，则AC＝20t，AE＝AB－BE＝100－40t.∵AC2＋AE2＝EC2，∴(20t)2＋(100－40t)2＝(2010)2，400t2＋10000－8000t＋1600t2＝4000，t2－4t＋3＝0，(t－1)(t－3)＝0，解得t1＝1，t2＝3(不合题意，舍去)．答：若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会遇到台风，经过1 h轮船最初遇到台风．。
北师大版数学初三上册利用一元二次方程解决几何问题同步课时练习题及解析
北师大版数学初三上册22.6.1 利用一元二次方程解决几何问题同步课时练习题1. 用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一边长为x米，则依照题意可列出关于x的方程为( ) A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝62. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为( )A．(x＋1)(x＋2)＝18 B．x2－3x＋16＝0C．(x－1)(x－2)＝18 D．x2＋3x＋16＝03. 如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C沿CB的方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，现在△MNB的面积恰好为24 cm2，由题意可列方程( ) A．2x·x＝24 B．(10－2x)(8－x)＝24C．(10－x)(8－2x)＝24 D．(10－2x)(8－x)＝484. 小明把一张边长为10 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子(如图)．假如那个无盖的长方体底面积为81 cm2，那么剪去的正方形边长为( )A．2 cm B．1 cm C．0.5 cm D．0.5 cm或9.5 cm5. 一块矩形菜地的面积是120 cm2，假如它的长减少2 cm，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是____cm.6. 已知小明与小亮两人在同一地点，若小明向北直走160 m，再向东直走80 m，可到购物中心，则小亮向西直走____m后，他与购物中心的距离为340 m.7. 现有一块长80 cm，宽60 cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形，做成一个底面积为1 500 cm2的无盖的长方体盒子，依照题意列方程，化简可得______________________________．8. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P 从A点开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC 边向点C以2 cm/s的速度移动，则点P，Q分别从点A，B同时动身，通过_______秒钟，使△PBQ的面积等于8 cm2.9. 已知菱形的周长为40，两对角线之比为3∶4，则两对角线的长分别为________________．10. 如图，用两段等长的铁丝恰好能够分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x2＋17)cm，正六边形的边长为(x2＋2x)c m(其中x>0)．求这两段铁丝的总长．11. 为响应市委市政府提出的建设“绿色都市”的号召，我市某单位预备将院内一块长30 m，宽20 m的长方形空地，建成一个矩形花园．要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地点种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532 m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)12. 如图，两艘船同时从A点动身，一艘船以15海里/时的速度向东北方向航行，另一艘船以20海里/时的速度向东南方向航行，那么几小时后两船正好相距100海里？13. 如图，要建筑一个四边形花圃ABCD，要求AD边靠墙，CD⊥AD，AD∥BC，AB∶CD＝5∶4，且三边的总长为20 m．设AB的长为5x m.(1)要求AD的长；(用含字母x的式子表示)(2)若该花圃的面积为50 m2，且周长不大于30 m，求AB的长．14. 要在一块长52 m，宽48 m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路，下面分别是小亮和小颖的设计方案．小亮设计的方案如图①所示，甬路宽度均为x m，剩余的四块绿地面积共2300 m2.小颖设计的方案如图②所示，BC＝HE＝x，AB∥CD，HG∥EF，AB ⊥EF，∠1＝60°.(1)求小亮设计方案中甬路的宽度x；(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积．(友情提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中的x取值相同)15. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池(如图所示)．由于地势限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过1 6米．假如池的外围墙的建筑单价为每米400元，中间两条隔墙的建筑单价为每米300元，池底的建筑单价为每平方米80元(墙的厚度忽略不计)．当三级污水处理池的总造价为47 200元时，求池长x.16. 小明和同桌小聪在课后复习时，对练习册“目标与评定”中的一道摸索题，进行了认真地探究．【摸索题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，假如梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B 将向外移动多少米？(1)请你将小明对“摸索题”的解答补充完整：解：设点B将向外移动x米，即BB1＝x，则A1B1＝2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2＋A1C2＝A1B12，得方程___________________，解方程，得x1＝____，x2＝_________ _____，∴点B将向外移动____米．(2)解完“摸索题”后，小聪提出了如下两个问题：【问题一】在“摸索题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？什么缘故？【问题二】在“摸索题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？什么缘故？请你解答小聪提出的这两个问题．参考答案：1---4 BCDC5. 126. 2207. x2－70x ＋825＝08. 2或49. 12和1610. 解：∵用两段等长的铁丝恰好能够分别围成一个正五边形和一个正六边形，∴5(x2＋17)＝6(x2＋2x)，整理，得x2＋12x －85＝0，(x ＋6)2＝121，解得x1＝5，x2＝－17(不合题意，舍去).5×(52＋17)×2＝420(c m)．答：这两段铁丝的总长为420 cm11. 解：设小道进出口的宽度为x 米，依题意得(30－2x)(20－x)＝532.整理，得x2－35x ＋34＝0.解得x1＝1，x2＝34.∴34＞30(不合题意，舍去)，∴x ＝1.答：小道进出口的宽度应为1米12. 解：设x 小时后两船相距100海里，依照题意，得(15x)2＋(20x)2＝1002，解得x1＝4，x2＝－4(舍去)．答：4小时后两船相距100海里13. (1)作BH ⊥AD 于点H ，则AH ＝3x ，由BC ＝DH ＝20－9x 得AD ＝20－6x(2)由2(20－9x)＋3x ＋9x ≤30得x ≥53，由12[(20－9x)＋(20－6x)]×4x ＝50得3x2－8x ＋5＝0，∴x1＝53，x2＝1(舍去)，∴5x ＝253.答：AB 的长为253m14. (1)依照小亮的设计方案列方程得(52－x)(48－x)＝2 300，解得x1＝2，x2＝98(舍去)，∴小亮设计方案中甬路的宽度为2 m(2)易证四边形ADCB 为平行四边形，由(1)得x ＝2，∴BC ＝HE ＝2＝A D ，过点A 作AI ⊥CD 于点I ，则ID ＝12AD ＝1，∴AI ＝3，∴小颖设计方案中四块绿地的总面积＝52×48－52×2－48×2＋(3)2＝2 299(m2)15. (2x ＋200x ×2)·400＋200x ×2×300＋200×80＝47 200，整理得x2－39x ＋350＝0，解得x1＝25(舍去)，x2＝1416. (1) (x ＋0.7)2＋22＝2.52 0.8 －2.2(舍去) 0.8（2） 【问题一】可不能是0.9米．若AA1＝BB1＝0.9，则A1C ＝2.4－0.9＝1.5，B1C ＝0.7＋0.9＝1.6, 1.52＋1.62＝4.81，2.52＝6.25，∵A1C2＋B1C2≠A1B12，∴该题的答案可不能是0.9米 【问题二】有可能．设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，则有(x＋0.7)2＋(2.4－x) 2＝2.52，解得x＝1.7或x＝0(舍去)．∴当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等。
苏科版九年级数学上册1-2一元二次方程的解法 同步练习题【含答案】
两边开平方，得 ．
所以 ， ．
19．(1) x1=5, x2=﹣15;(2) x1=3+ ，x2=﹣2+
（1）（x+2）2+6（x+2）﹣91=0；
设y=x+2，则原方程可变形为：
y2+6y﹣91=0，
解得：y1=7，y2=﹣13，
当y1=7时，x+2=7，
x1=5；
当y2=﹣13时，x+2=﹣13，
A．x＝2B．x＝0C．x1＝﹣2，x2＝0D．x1＝2，x2＝0
二、填空题
9．若 ，则代数式 的值为_____
10．已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，那么x2+3x＝．
11．等腰△ABC中，AC＝8，AB、BC的长是关于x的方程x2﹣9x+m＝0的两根，则m的值是．
12．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根x1和x2，且x12﹣2x1+2x2＝x1x2，则k的值是．
1.2一元二次方程的解法
一、单选题
1．用配方法解方程 时，应在方程两边同时加上( )
A．3B．9C．6D．36
2．已知 ，则 的值是（）
A．3或 B． 或2C．3D．
3． 的根是（）
A． B． 或 C． D． 或
4．如果关于x的方程 只有一个实数根，那么方程 的根的情况是（）
A．没有实数根B．有两个不相等的实数根
x= ，
x1= ，x2= ；
（4）（x+1）2=2x+2，
（x+1）2﹣2（x+1）=0，
专题02一元二次方程及其解法(二)(原卷版)-2021—2022学年九年级数学上学期
2021—2022学年九年级数学上学期重难点题型专项提优02 一元二次方程及其解法（二）【例题精讲】一、一元二次方程根与系数的关系例1．已知关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若方程的两个不相等的实数根是a ，b ，求111ab a -++的值．例2．已知α，β是方程2201710x x ++=的两个根，则22(12019)(12019)ααββ++++的值为 A ．1B ．2C ．3D ．4 例3．阅读材料：已知方程210p p --=，210q q --=且1pq ≠，求1pq q+的值． 解：由210p p --=，及210q q --=，可知0p ≠，0q ≠．又1pq ≠，1p q∴≠． 210q q --=可变形为211()()10q q --=．根据210p p --=和211()()10q q--=的特征．p ∴、1q是方程210x x --=的两个不相等的实数根，则11p q +=，即11pq q+=． 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：22510m m --=，21520n n+-=且m n ≠，求 （1）mn 的值； （2）2211m n +．变式训练：1．已知2210a a --=，2210b b +-=，且1ab ≠，则1ab b b++的值为 ． 2．已知关于x 的一元二次方程22(1)0x x m -++=．（1）m 为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若该方程有两根为1x ，2x ，且2123x x +=，求m 的值．二、与一元二次方程有关的新定义问题例1．对于实数m ，n ，先定义一种新运算“⊗”如下：22,,,m m n m n m n n m n m n ⎧++⊗=⎨++<⎩当时当时，若(2)10x ⊗-=，则实数x 等于 A ．3B ．4-C ．8D ．3或8例2．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的个数有 ①方程220x x --=是倍根方程；②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程，则22450m mn n ++=；③若p 、q 满足2pq =，则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程；④若方程20ax bx c ++=是倍根方程，则必有229b ac =． A ．1B ．2C ．3D ．4例3．转化是数学解题的一种极其重要的数学思想，实质是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，把复杂的问题转化为简单的问题．例如，解方程42340x x --=时，我们就可以通过换元法，设2x y =，将原方程转化为2340y y --=，解方程得到11y =-，24y =，因为20x y =，所以1y =-舍去，所以得到24x =，所以12x =，22x =-．请参考例题解法，解方程：2320x x +=．例4．阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程21x =-时，突发奇想：21x =-在实数范围内无解，如果存在一个数i ，使21i =-，那么当21x =-时，有x i =±，从而x i =±是方程21x =-的两个根． 据此可知：（1）i 可以运算，例如：321i i i i i ==-⨯=-，则4i = ，2011i = ，2012i = ； （2）方程2220x x -+=的两根为 （根用i 表示）．例5．将关于x 的一元二次方程20x px q -+=变形为2x px q =-，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的；例如32()x x x x px q =⋅=-=，该方程变形为2x px q -=-，也可以实现“降次”目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式，请利用“降次法”解决下列问题：已知：2210x x --=，且0x >，求4323x x x --的值．变式训练：1．阅读材料：解方程222(1)3(1)0x x ---=．我们可以将21x -视为一个整体，采用“换元法”求解，具体解法：设21x y -=，原方程化为230y y -=①解得10y =，23y =．当0y =时，210x -=．1x ∴=±，当3y =时，213x -=，2x ∴=±，∴原方程的解为11x =，21x =-，32x =，42x =-．请利用换元法解出方程220x -=的根．2．材料一：对称美不仅仅是图形之美，代数式中也有对称的结构之美，对称不仅仅给我们以美的体验，还能帮助我们解决问题．如：2310x x -+=中，因为左边代数式中三项系数依次为：1，3-，1，是呈对称结构的，于是我们可将它变形为130x x -+=，进而可以变形为13x x +=，以此为条件便可以得到22211()27x x x x+=+-=． 材料二：你知道我们为什么要因式分解吗？原因有二：一是化简，如220x x --=(x =-2)(1)x +中，我们通过因式分解将左边的二次式变成了两个一次式的乘积，次数降低了，式子也变简单了；二是增加了信息量，如220x x --=中，x 的取值信息不太明确，但是(2)(1)0x x -+=中，我们可以很快得到，2x =或者1x =-．利用上述材料解决下列问题： （1）材料一中，2310x x -+=到13x x+=的变形成立的前提条件是 ． （2）为解系数对称的方程4310x x x --+=，陈功同学结合材料将它变形为1(2)x x +- 1(1)0x x++=，显然110x x ++≠，则只能是120x x+-=，进而解得121x x ==，请将从4310x x x --+=到11(2)(1)0x x x x+-++=的变形过程补充完整． （3）运用材料一、材料二以及第（2）问的解题经验，解方程：432223x x x +-26x +⨯26+ 0=．【针对练习】1．若关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值为 A ．1-B ．0C ．1D ．22．下列一元二次方程中，没有实数根的是 A ．220x x -=B ．2210x x -+=C ．2210x x --=D ．2210x x -+=3．关于x 的方程220x mx n ++=的两个根是2-和1，则m n 的值为 A ．8-B ．8C ．16D ．16-4．已知实数x 满足222(21)4(21)50x x x x -++-+-=，那么221x x -+的值为 A ．5-或1B ．1-或5C ．1D ．55．如果1x ，2x 是两个不相等实数，且满足21121x x -=，22221x x -=，那么2212x x +等于A ．2B ．2-C ．1-D ．66．若关于x 的一元二次方程220x kx --=的一个根为1x =，则k = ． 7．若实数a ，b 满足()(221)1a b a b ++-=，则a b += ．8．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x 的一元二次方程220x x -=与2310x x m ++-=为“友好方程”，则m 的值 ． 9．若关于x 的一元二次方程2220(0)x x m m m +--=>，当1m =、2、3、2020时，相应的一元二次方程的两个根分别记为1α、1β，2α、2β，…，2020α、2020β，则11221111αβαβ+++2020202011αβ+++的值为 ．10．已知关于x 的一元二次方程：21(21)4()02x k x k -++-=．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰ABC ∆的一边长4a =，另两边长b 、c ，恰好是这个方程的两个实数根，求ABC ∆的周长． （3）若方程的两个实数根之差等于3，求k 的值．11．已知关于x 的一元二次方程2(12)20kx k x k +-+-=．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2）当k 取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式322017αββ+++的值．12．已知关于x 的一元二次方程2260(x x k k --=为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设1x ，2x 为方程的两个实数根，且12214x x +=，试求出方程的两个实数根和k 的值．13．阅读下面的例题：解方程2||20m m --=的过程如下：（1）当0m 时，原方程化为220m m --=，解得：12m =，21m =-（舍去）．（2）当0m <时，原方程可化为220m m +-=，解得：12m =-，21m =（舍去）．原方程的解：12m =，22m =-．请参照例题解方程：2|1|10m m ---=．14．如果关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程20x x +=的两个根是10x =，21x =-，则方程20x x +=是“邻根方程”．（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①260x x --=；②2210x -+=．（2）已知关于x 的方程2(1)0(x m x m m ---=是常数）是“邻根方程”，求m 的值；（3）若关于x 的方程210(ax bx a ++=、b 是常数，0)a >是“邻根方程”，令28t a b =-，问：存在多少组a 、b 的值使得t 为正整数？请说明理由．。
人教版九年级数学 第21章《一元二次方程》实际应用之提分专项解答题必练题型 (二)
第21章《一元二次方程》实际应用之提分专项解答题必练题型（二）1．一家水果店以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出260斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？2．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发那么几秒后，PQ的长度等于cm？（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．3．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？4．物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月月平均增长率不变．（1）求二、三这两个月的月平均增长率；（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？5．宜春三中学校团委爱心社组织学生为高三学生进行献爱心活动，学生踊跃捐款．初三年级第一天收到捐款1000元，第三天收到1210元．（1）求这两天收到捐款的平均增长率．（2）按照（1）中的增长速度，第四天初三年级能收到多少捐款？6．如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横彩条、一竖彩条，横、竖彩条的宽度比为1：3．如果要使彩条所占面积是图案面积的19%，求竖彩条的宽度．7．一次篮球联赛，每两个队之间都要进行一场比赛，总共要比赛36场，你能计算出有多少个队参加比赛吗？8．某地有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？9．如图，用长6m的铝合金条制成“日“字形窗框，请问宽和高各是多少时，窗户的透光面积为1.5m2（铝合金条的宽度不计）？10．永定土楼是世界文化遗产“福建土楼”的组成部分，是闽西的旅游胜地．“永定土楼”模型深受游客喜爱．图中折线（AB∥CD∥x轴）反映了某种规格土楼模型的单价y（元）与购买数量x（个）之间的函数关系．（1）求当10≤x≤20时，y与x的函数关系式；（2）已知某旅游团购买该种规格的土楼模型总金额为2625元，问该旅游团共购买这种土楼模型多少个？（总金额＝数量×单价）参考答案1．解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20＝100+200x （斤）；（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）＝300，解得：x1＝，x2＝1，当x＝时，销售量是100+200×＝200＜260；当x＝1时，销售量是100+200＝300（斤）．∵每天至少售出260斤，∴x＝1．答：水果店需将每斤的售价降低1元．2．（1）设x秒后，PQ＝2BP＝5﹣x BQ＝2x∵BP2+BQ2＝PQ2∴（5﹣x）2+（2x）2＝（2）2解得：x1＝3，x2＝﹣1（舍去）∴3秒后，PQ的长度等于2；（2）△PQB的面积不能等于7cm2，原因如下：设t秒后，PB＝5﹣t QB＝2t又∵S△PQB＝×BP×QB＝7×（5﹣t）×2t＝7∴t2﹣5t+7＝0△＝52﹣4×1×7＝25﹣28＝﹣3＜0∴方程没有实数根∴△PQB的面积不能等于7cm2．3．解：如图，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB．∴S△PQB＝•PB•QE．设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．根据题意，•（6﹣t）•t＝4．t2﹣6t+8＝0．t 1＝2，t2＝4．当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．当点Q到达C点时，S△PQB＝××（6﹣t）＝4∴t＝答：经过2秒或秒后△PBQ的面积等于4cm2．4．解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：256（1+x）2＝400，解得：x1＝，x2＝﹣（不合题意舍去）．答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；（2）设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：（40﹣25﹣m）（400+5m）＝4250，解得：m1＝5，m2＝﹣70（不合题意舍去）．答：当商品降价5元时，商品获利4250元．5．解：（1）捐款增长率为x，根据题意得：1000（1+x）2＝1210，解得：x 1＝0.1，x 2＝﹣2.1（舍去）．则x ＝0.1＝10%．答：捐款的增长率为10%．（2）根据题意得：1210×（1+10%）＝1331（元）．答：第四天该校能收到的捐款是1331元．6．解：设横彩条的宽度是xcm ，竖彩条的宽度是3xcm ，则（30﹣3x ）（20﹣2x ）＝20×30×（1﹣19%），解得x 1＝1，x 2＝19（舍去）．所以3x ＝3．答：竖彩条的宽度是3cm ．7．解：设有x 个队参加比赛，每个队都要比赛（x ﹣1）次，但两队只比赛一次．则：，解得x 1＝9，x 2＝﹣8（舍去）．答：有9个队参加比赛．8．解：设每轮传染中平均每个人传染了x 人，依题意得1+x +x （1+x ）＝121，∴x ＝10或x ＝﹣12（不合题意，舍去）．所以，每轮传染中平均一个人传染了10个人．9．解：设宽为xm ，则高为m ，由题意得：x ×＝1.5，解得：x 1＝x 2＝1，高是＝1.5（米）．答：宽为1米，高为1.5米．10．解：（1）当10≤x ≤20时，设y ＝kx +b （k ≠0）（11分）依题意，得（3分）解得（5分） ∴当10≤x ≤20时，y ＝﹣5x +250；（6分）（2）∵10×200＜2625＜20×150∴10＜x ＜20（8分）依题意，得xy ＝x （﹣5x +250）＝2625（10分） 即x 2﹣50x +525＝0解得x 1＝15，x 2＝35（舍去）∴只取x ＝15．（12分）答：该旅游团共购买这种土楼模型15个．（13分）。
九年级数学上册第二章一元二次方程6应用一元二次方程课时2应用一元二次方程(二)作业课件(新版)北师大
3. [2022包头青山区模拟]某商店将进价为每件8元的商品按每件10元售出,每天可售出 200件,如果这种商品每件的售价每提高0.5元,其销售量就减少10件. (1)应将每件的售价定为多少元,才能使每天的利润为640元? (2)店主想要获得每天800元的利润,小红同学认为不可能.你同意小红同学的说法吗?请 说明理由.
知识点1 平均变化率问题
4. [2021东营中考]“杂交水稻之父” —袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶 段实现了水稻亩产量700公斤的目标,第三阶段实现了水稻亩产量1 008公斤的目标. (1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同,求亩产量的平均增长率; (2)按照(1)中亩产量增长率,科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1 200公斤,请通过 计算说明他们的目标能否实现.
课时2 应用一元二次方程(二)
知识点1 平均变化率问题
1. [2021湘潭中考]为执行国家药品降价政策,给人民群众带来实惠,某药品经过两次降 价,每瓶零售价由100元降为64元,求平均每次降价的百分率.设平均每次降价的百分率 为x,可列方程得 ( ) A.100(1-x)2=64 B.100(1+x)2=64 C.100(1-2x)=64 D.100(1+2x)=64
D答.3案4 395+36 833+36 833(1+x)=40 454
知识点1 平均变化率问题
3. [2022武汉江夏区期末]某种产品预计两年内成本将下降36%,则年平均下降率
为
.
答案
3. 20% 设成本为1,年平均下降率为x,依题意列方程,(1-x)2=1-36%,解得 x1=0.2=20%,x2=1.8(舍去).
答案
知识点2 销售问题
2020九年级数学上册第1章1.4用一元二次方程解决问题第2课时市场营销问题同步练习
第1章一元二次方程1.4 第2课时市场营销问题知识点市场营销问题1．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，则每盆应多植多少株？设每盆应多植x株，则可以列出的方程是( )A．(x＋3)(4－0.5x)＝15B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15C．(x＋4)(3－0.5x)＝15D．(x＋1)(4－0.5x)＝152．某商店以每件16元的价格购进一批商品，物价局限定，每件商品的利润不得超过30%.若每件商品售价定为x元，则可卖出(170－5x)件，商店预期要盈利280元，那么每件商品的售价应定为( )A．20元 B．20.8元C．20元或30元 D．30元3．某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件，如果每件涨价1元，那么每星期少卖出10件．设每件涨价x元，则每星期的销量为__________件，此时，每件商品的利润为__________元．若使每星期的利润为1560元，则可得方程为________________________．4．小丽为校合唱队购买某种服装时，商场经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，那么单价为80元/件；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元/件．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元，则她购买了多少件这种服装？5．[2017·菏泽] 列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，则每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，则这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获得20000元的利润？6．某核桃专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克．若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元．(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？7．天山旅行社为吸引顾客组团去具有特殊地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准：图1－4－6某单位组织员工去具有特殊地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给天山旅行社旅游费用27000元，则该单位这次共有多少名员工去具有特殊地貌特征的黄果树风景区旅游？8．某汽车销售公司5月份销售某型号汽车．当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元．根据市场调查，月销售量不会突破30台．(1)设当月该型号汽车的销售量为x辆(x≤30，且x正为整数)，实际进价为y万元/辆，求y与x之间的函数表达式；(2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润为45万元，那么该月需要售出多少辆汽车？(注：销售利润＝销售价－进价)9．某运动器材公司推出一款篮球，销售单价定为40元/个，在该篮球试销期间，为了鼓励消费者购买，公司推出了团购业务：一次购买这种篮球不超过10个时，每个按40元销售；若一次购买这种篮球超过10个，则每多购买一个，每个篮球的销售单价均降低0.5元，但团购数量不得超过40个．(1)当一次购买这种篮球40个时，销售单价为每个________元；当一次购买这种篮球________个时，销售单价恰好为每个35元．(2)某校一次购买这种篮球共付款900元，则该校购买了这种篮球多少个？10．学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到下表所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数．详解详析1．A2．A [解析] 设每件商品的售价应定为x 元，则利润为(x －16)元． 由题意，得(170－5x)(x －16)＝280， 解得x 1＝20，x 2＝30.∵每件商品的利润不得超过30%， ∴x ＝30不合题意，舍去．故选A .3．(150－10x) (10＋x) (150－10x)(10＋x)＝15604．[解析] 根据“一次性购买多于10件，每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元”表示出每件服装的单价，进而列方程求解即可．解：因为购买10件服装的总钱数为10×80＝800(元)＜1200元，所以小丽购买件数超过了10件．设小丽购买了x 件这种服装．根据题意，得 [80－2(x －10)]x ＝1200，解得x 1＝20，x 2＝30.当x ＝20时，80－2×(20－10)＝60>50，符合题意；当x ＝30时，80－2×(30－10)＝40＜50，不合题意，舍去． 答：她购买了20件这种服装． 5．解：设销售单价为x 元．根据题意，得(x －360)[160＋2(480－x)]＝20000，整理，得x 2－920x ＋211600＝0， 解得x 1＝x 2＝460.答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获得20000元的利润．6．解：(1)设每千克核桃应降价x 元．根据题意，得(60－x －40)(100＋x2×20)＝2240.解得x 1＝4，x 2＝6.答：每千克核桃应降价4元或6元． (2)为让利于顾客，每千克核桃应降价6元，即每千克核桃的售价为54元，54÷60＝0.9. 答：该店应按原售价的九折出售．7．解：设该单位这次共有x 名员工去具有特殊地貌特征的黄果树风景区旅游． 因为1000×25＝25000(元)<27000元， 所以员工人数一定超过25人．可列方程[1000－20×(x－25)]x ＝27000.整理，得x 2－75x ＋1350＝0， 解得x 1＝45，x 2＝30.当x 1＝45时，1000－20×(x－25)＝600<700，不符合题意，舍去； 当x 2＝30时，1000－20×(x－25)＝900>700，符合题意．答：该单位这次共有30名员工去具有特殊地貌特征的黄果树风景区旅游． 8．解：(1)①当0≤x≤5且x 为整数时，y ＝30；②当5＜x≤30且x 为整数时，y ＝30－0.1×(x－5)＝－0.1x ＋30.5. 故y 与x 之间的函数表达式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧30（0≤x≤5且x 为整数）；－0.1x ＋30.5（5＜x≤30且x 为整数）. (2)若该月销售量低于5辆，则销售利润为(32－30)×5＝10(万元)＜45万元，因此销售量要多于5辆．设该月售出x(x>5)辆汽车，则由题意，得x[32－(－0.1x＋30.5)]＝45，解得x1＝15，x2＝－30(舍去)．答：该月需要售出15辆汽车．9． (1)25 20(2)设该校购买这种篮球x个．因为10×40＝400(元)＜900元，所以x＞10.根据题意，得[40－0.5×(x－10)]x＝900，解得x1＝30，x2＝60(舍去)．答：该校购买了这种篮球30个．10．解：∵30×40＝1200(元)＜1400元，∴奖品数超过了30件．设奖品数为x件，则每件奖品的价格为[40－(x－30)×0.5]元．根据题意，得x[40－(x－30)×0.5]＝1400，解得x1＝40，x2＝70.∵单价不得低于30元，∴x＝70不符合题意，舍去．答：王老师购买该奖品的件数为40件．。
2021年九年级数学中考复习——方程专题：一元二次方程实际应用(二)
2021年九年级数学中考复习——方程专题：一元二次方程实际应用（二）1．某商场销售一款消毒用湿巾，这款消毒用湿巾的成本价为每包6元，当销售单价定为10元时，每天可售出80包，根据市场行情，现决定降价销售，市场调研反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20包，为使每天这种消毒湿巾的利润达到360元，商场应把这种消毒湿巾降价多少元？12．某商场某型号的计算机2018年销售量为2880台，2020年受疫情影响，年销售量下降为2000台，求销售量的年平均下降率．若每件商品降价2元，则平均每天盈利多少元？（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天的盈利为320元？5．深圳市某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利为81元，平均每天可售出20件．（1）求平均每次降价的百分率；（2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？6．为满足市场需求，某工厂决定从2月份起扩大产能，其中2020年1～4月份的产量统计如图所示．求从2月份到4月份的月平均增长率．7．某旅游园区对团队入园购票规定：如团队人数不超过a人，那么这个团队需交200元入园费；若团队人数超过a人，则这个团队除了需交200元入园费外，超过部分游客还要按每人元交入园费．下表是两个旅游团队人数和入园缴费情况：旅游团队名称团队人数（人）入园费用（元）旅游团队180350旅游团队245200根据表格的数据，求某旅游园区对团队入园购票规定的a人是多少？8．某商家将进货单价40元的商品按50元出售，能卖出500件，已知这种商品每涨价0.4元，就会少销售4件．商家为了赚得8000元的利润，每件售价应定为多少？9．如图，要设计一个长为15cm，宽为10cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为5：4，若使所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？10．某汽车4S店销售某种型号的汽车，每辆进货价为15万元，该店经过一段时间的调研发现：当销售价为25万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低1万元时，平均每周能多售出2辆．该4S店要想平均每周的销售利润为96万元，并且使成本尽可能的低，则每辆汽车的定价应为多少万元？参考答案1．解：设这种消毒湿巾降价x元，依题意得：（10﹣x﹣6）（80+×20）＝360．解得x1＝x2＝1．答：商场应把这种消毒湿巾降价1元．2．解：设销售量的年平均下降率为x，依题意可列：2880（1﹣x）2＝2000，解得：x1≈0.2＝20%．x2≈1.8（舍去）．答：销售量的年平均下降率为20%．3．解：设围成的矩形场地一边长为xm，则相邻的另一边长为（20﹣x）m，依题意得：x（20﹣x）＝75，整理得：x2﹣20x+75＝0，解得：x1＝5，x2＝15，当x＝5时，20﹣x＝15；当x＝15时，20﹣x＝5．∴能围成一个面积为75m2的矩形场地，矩形场地相邻的两边长度分别为15m和5m．不能围成一个面积为101m2的矩形场地，理由如下：设围成的矩形场地一边长为ym，则相邻的另一边长为（20﹣y）m，依题意得：y（20﹣y）＝101，整理得：y2﹣20y+101＝0，∵△＝（﹣20）2﹣4×1×101＝﹣4＜0，∴不能围成一个面积为101m2的矩形场地．4．解：（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价2元，则平均每天可多售出2×2＝4（件），即平均每天销售数量12+4＝16（件），利润为：18×16＝288．（2）设每件商品降价x元时，该商品每天的销售利润为320元，由题意得：（20﹣x）（12+2x）＝320，整理得：x2﹣14x+40＝0，∴（x﹣4）（x﹣10）＝0，∴x1＝4，x2＝10，∵每件盈利不少于15元，∴x2＝10应舍去．答：每件商品降价4元时，该商品每天的销售利润为320元．5．解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：100（1﹣a）2＝81，解得：a＝1.9（舍）或a＝0.1＝10%，答：每次下降的百分率为10%；（2）设每件应降价x元，根据题意，得（81﹣x）（20+2x）＝2940，解得：x1＝60，x2＝11，∵尽快减少库存，∴x＝60，答：若商场每天要盈利2940元，每件应降价60元．6．解：设2月份到4月份的月平均增长率为x，根据题意可得方程：150（1+x）2＝384，解方程，得x1＝0.6，x2＝﹣2.6（不合题意，舍去）．答：从2月份到4月份的月平均增长率为60%．7．解：由旅游团队2得：a≥45，由旅游团队1得：（80﹣a）+200＝350，解得：a1＝50，a2＝30（不合题意，舍去），答：某旅游园区对团队入园购票规定的a人是50人．8．解：设售价应定为x元/个，则每个的销售利润为（x﹣40）元，能卖出500﹣×4＝（1000﹣10x）件，依题意，得：（x﹣40）（1000﹣10x）＝8000，整理得：x2﹣140x+4800＝0，解得：x1＝60，x2＝80．答：售价应定为60元/个或80元/个．9．解：设每个横彩条的宽度为5xcm，则每个竖彩条的宽度为4xcm，依题意得：（15﹣2×5x）（10﹣2×4x）＝15×10×（1﹣），整理得：8x2﹣22x+5＝0，解得：x1＝，x2＝，当x＝时，10﹣2×4x＝﹣10＜0，不合题意，舍去；当x＝时，10﹣2×4x＝8＞0，符合题意，∴5x＝，4x＝1．答：每个横彩条的宽度为cm，每个竖彩条的宽度为1cm．10．解：设每辆汽车的定价应为x元，则每辆的销售利润为（x﹣15）万元，平均每周的销售量为8+2（25﹣x）＝（58﹣2x）辆，依题意得：（x﹣15）（58﹣2x）＝96，整理得：x2﹣44x+483＝0，解得：x1＝21，x2＝23．又∵为使成本尽可能的低，∴x＝23．答：每辆汽车的定价应为23万元．。
《用一元二次方程解决问题(2)》参考课件
学习目标：
会根据具体问题中的数量关系列出一元二次 方程解决有关实际问题中的利润问题，能检验所 得的结果是否符合实际意义。
一、预习尝试：
某商场从厂家以每件80元的价格购进一批衬衫, 若每件的售价为120元，则可卖出200件， 商若场每全件卖部衬一售衫件出售衬这价衫批 降的衬1利元衫润，，是则则多每总少件利？衬润衫是的多利少润？为多少？ 若每件衬衫售价降2元，则每件衬衫的利润为多少？ 若每件衬衫售价降3元，则每件衬衫的利润为多少？
(2)根据:“如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游 费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元”
a.设的x人,比30人多了多少人？（x－30）人 b.降了多少元? 10(x-30)元 c.实际人均费用是多少? [800－10(x－30)]元 5.本题实际意义是:人均旅游费用不得低于500元.
3.这个问题的等量关系是什么?： 首先知道总费用是28000元 即有等量关系“人均费用×人数=28000元”
4.人数可设未知数x人,人均费用呢? (1)根据:“如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元”
则总费用不超过30×800=24000＜28000;而现用 28000元,所以人数应超过30人
课堂练习:
1、某种服装，每件利润为30元时,平均每 天可销售20件，若每件降价1元，则每天可 多售6件。如果每天要盈利1600元，每件 应降价多少元？
2、某商店经销一批小家电,每个小家电成本 40元,经市场预测,定价为50元时,可销售200 个,定价每增加1元,销售量将减少10个,如果 商店进货后全部销售完,赚了2000元,问该小 家电定价是多少?
解: 设这次旅游可以安排x人参加,根据题意得: [800－10(x－30)]·x = 28000
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第9课时 用一元二次方程解决问题(二)
一、选择题
1. 某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元．设平均每次降价的百分率为x ，则下列方程中，正确的是 ( )
A ．55()21x +=35
B ．35()21x +=55 C. 55()21x -=35 D ．35()21x -=55
2·某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1 000万元，如果平均每月增长率为x ，则由题意列方程为 ( )
A ．200()21x +=1 000
B ．200+200×2x=l 000
C . 200+200×3x=l 000
D ．()()22001111000x x ⎡⎤++++=⎣⎦
3. 某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36％，若每年下降的百分数相同，则这个百分数为 ( )
A ．10％
B ．20％ C. 120％ D ．180％
4．如图，矩形ABCD 的周长是20 cm ，以AB 、CD 为边向外作正方ABEF
和正方形ADGH ．若正方形ABEF N1ADGH 的面积之和为68 cm 2，那么矩
形ABCD 的面积是 ( )
A ．21 cm 2
B ．16 cm 2
C . 24 cm 2
D ．9 cm 2
二、填空题
5. 某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其中第一年培训了20万人次．设每年接受科技培训的人次的平均增长率都为x ，根据题意列出的方程为_______________．
6. 一种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，那么平均每次降价的百分率是_______．
7. 我国城镇居民2004年人均收人为9 422元，2006年为11759元．假设这两年内人均收入平均年增长率相同，则年增长率为_________ (精确到0.1％)．
8. 某石油进1：1国这个月的石油进口量比上个月减少了5％，由于国际油价上涨，这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14％．则这个月的石油价格相对上个月的增长率为_________．
三、解答题
9. 要做一个容积为350 cm 3、高为5 cm 、底面的长比宽多3 cm 的长方体匣子，求底面的长和宽．
10．某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程．原计划每天拆迁1 250 m 2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20％．从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1 440 m 2．
(1)求该工程队第一天拆迁的面积．
(2)若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求这个百 分数．
11．某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A 市在省财政补助的基础上再投入600万元用于“改水工程”,计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元·
(1)求A 市投资“改水工程”的年平均增长率．
(2)从2008年到2010年，A 市三年共投资“改水工程”多少万元?
12．某公司向工商银行贷款30万元，这种贷款要求公司在两年到期时，一次性还清本息，利息是本金的12％．该公司利用这笔贷款经营，两年到期时除还清贷款的本金和利息外，还盈余9.6万元．若经营期间每年的资金比上一年增长的百分数相同，试求这个百分数．
参考答案
1．C 2．D 3．B 4．B
5．20+20(1+x)+20 ()21x +=95
6．10％ 7．11.7％ 8．20 %
9．设底面的宽为x cm ，则长为(x+3)cm ，根据题意列方程得5x(x+3)=350．解得127,10x
x ==- (不合题意，舍去)．即x=7，x+3=3+7=10(cm)．答：底面的长为10 cm 、
宽为7 cm
10．(1)1 250×(1—20％)=1 000(m 2)
(2)设这个百分数是x ，根据题意列方程得1000 ()21x +=1 440．解得120.2, 2.2x x ==-或(不合题意，舍去)．答：这个百分数为20％
11．(1)设A 市投资“改水工程”年平均增长率是x ，则600()2
1x +=1176．解得120.4, 2.4x x ==-或 (不合题意，舍去)．∴A 市投资“改水工程”的年平均增长率为40％
(2)A 市三年共投资“改水工程”2 616万元
12．设这个百分数是x ，由题意列方程得30()2
1x +一30×(1+12％)=9.6．解得120.2, 2.2x x ==- (不合题意，舍去)．即x=20%．答：这个百分数是20％。