【配套K12】2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：10-1算法初步 Word版含解析-

合集下载

2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练

课时跟踪训练(一)[基础巩固]一、选择题1．(2019·北京卷)若集合A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |x <－1或x >3}，则A ∩B ＝( )A ．{x |－2<x <－1}B ．{x |－2<x <3}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |1<x <3}[解析] 由集合交集的定义可得A ∩B ＝{x |－2<x <－1}，故选A. [答案] A2．(2019·天津卷)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{x ∈R |－1≤x ≤5}[解析] A ∪B ＝{1,2,4,6}，(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}，故选项B 符合． [答案] B3．(2019·西安八校联考)已知集合M ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2x ≥1，N ＝{y |y ＝1－x 2}，则M ∩N ＝( )A ．(－∞，2]B ．(0,1]C ．[0,1]D ．(0,2][解析] 由2x ≥1得x －2x ≤0，解得0<x ≤2，则M ＝{x |0<x ≤2}；函数y ＝1－x 2的值域是(－∞，1]，则N ＝{y |y ≤1}，因此M ∩N ＝{x |0<x ≤1}＝(0,1]，选B.[答案] B4．(2018·广东省惠州高三调研)已知全集U ＝R ，集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{x ∈R |x ≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{0,1,2}B ．{0,1}C ．{1,2}D ．{1}[解析] 因为A ∩B ＝{2,3,4,5}，而题图中阴影部分为A ∩(∁U B )，所以阴影部分所表示的集合为{1}．故选D.[答案] D5．(2019·广州市高三综合测试)若集合M ＝{x ||x | ≤1}，N ＝{y |y ＝x 2，|x |≤1}，则( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅[解析] M ＝{x ||x |≤1}＝[－1,1]，N ＝{y |y ＝x 2，|x |≤1}＝[0,1]，所以N ⊆M ，故选C.[答案] C6．(2019·山西大学附中模拟)给出下列四个结论：①{0}是空集；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③集合A ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}中有两个元素；④集合B ＝{x ∈Q ⎪⎪⎪⎭⎬⎫6x ∈N 是有限集．其中正确结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 对于①，{0}中含有元素0，不是空集，故①错误；对于②，比如0∈N ，－0∈N ，故②错误；对于③，集合A ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}中有一个元素，故③错误；对于④，当x ∈Q 且6x ∈N 时，6x可以取无数个值，所以集合B ＝{x ∈Q ⎪⎪⎪⎭⎬⎫6x ∈N 是无限集，故④错误．综上可知，正确结论的个数是0.故选A.[答案] A 二、填空题7．(2019·江苏卷)已知集合A ＝{1,2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________．[解析] 因为a 2＋3≥3，所以由A ∩B ＝{1}得a ＝1，即实数a 的值为1.[答案] 18．(2019·山西大学附中模拟)已知全集U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|,2}，∁U A ＝{5}，则实数a ＝________.[解析] 由题意知，a 2＋2a －3＝5，解得a ＝－4或a ＝2.当a ＝－4时，|2a －1|＝9，而9∉U ，所以a ＝－4不满足题意，舍去；当a ＝2时，|2a －1|＝3,3∈U ，满足题意．故实数a 的值为2.[答案] 29．(2018·江苏扬州质检)已知集合M ＝{x |－1<x <1}，N ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x x －1≤0，则M ∩N ＝________.[解析]由N中不等式变形得x(x－1)≤0，且x－1≠0，解得0≤x<1，即N＝{x|0≤x<1}，又因为M＝{x|－1<x<1}，所以M∩N＝{x|0≤x<1}．[答案]{x|0≤x<1}10．(2019·湖北百所重点校联考)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，y＝4x2－1}，则A∩B的元素个数是________．[解析]集合A是以原点为圆心，半径等于1的圆周上的点的集合，集合B是抛物线y＝4x2－1上的点的集合，观察图象可知，抛物线与圆有3个交点，因此A∩B中含有3个元素．[答案] 3[能力提升]11．(2019·江西九江三模)已知集合A＝{x|x2≤1}，B＝{x|x<a}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)[解析]因为A∪B＝B，所以A⊆B.又因为A＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x<a}，所以a>1.故选C.[答案] C12．(2019·江西鹰潭二模)已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2,3}，集合B ＝{x |y ＝4－x 2}，则A ∩B 等于( )A ．[－2,2]B ．{－1,0,1}C ．{－2，－1,0,1,2}D ．{0,1,2,3}[解析] 由B 中y ＝4－x 2，得4－x 2≥0，解得－2≤x ≤2，即B ＝[－2,2]．因为A ＝{－2，－1,0,1,2,3}，所以A ∩B ＝{－2，－1,0,1,2}，故选C.[答案] C13．已知集合M ＝{x |ax －1＝0，x ∈Z }是集合N ＝{y ∈Z ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y －2y ≤0的真子集，则实数a 的取值有( )A ．0个B ．1个C ．3个D ．无数个[解析] 先求集合N ，由y －2y ≤0，解得0<y ≤2，又y ∈Z ，故N ＝{1,2}．方程ax －1＝0，当a ＝0时，方程无解，此时M ＝∅，满足题意；当a ≠0时，x ＝1a ，因为M N ，故1a ＝1或1a ＝2，解得a ＝1或a ＝12.故实数a 的取值有3个．应选C. [答案] C14．设集合A ＝[－1,2)，B ＝{x |x 2－ax －1≤0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,1)B ．[－1,2)C ．[0,3)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32 [解析] 设f (x )＝x 2－ax －1，由题意得f (x )≤0的解集为A 的子集．若B ＝∅，则Δ＝(－a )2－4×(－1)＝a 2＋4<0，显然无解；若B ≠∅，则根据二次函数的图象可得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≥0，f (2)>0，－1<a 2<2，Δ＝a 2＋4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(－1)2－a ×(－1)－1≥0，22－2a －1>0，－2<a <4，解得0≤a <32.综上可知，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32.故选D.[答案] D15．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围． [解] 由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}， B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎨⎧m －2＝0，m ＋2≥3.∴m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}，∵A ⊆∁R B ， ∴m －2>3或m ＋2<－1，即m >5或m <－3.[延伸拓展]1．(2019·江西临川一中期中)已知集合A ＝{2,0,1,4}，B ＝{k |k ∈R ，k 2－2∈A ，k －2∉A }，则集合B 中所有的元素之和为( )A ．2B ．－2C ．0D. 2[解析] 若k 2－2＝2，则k ＝2或k ＝－2，当k ＝2时，k －2＝0，不满足条件，当k ＝－2时，k －2＝－4，满足条件；若k 2－2＝0，则k ＝±2，显然满足条件；若k 2－2＝1，则k ＝±3，显然满足条件；若k 2－2＝4，得k ＝±6，显然满足条件．所以集合B 中的元素为－2，±2，±3，±6，所以集合B 中的元素之和为－2，故选B.[答案] B2．设A 、B 是两个非空数集，定义运算A ×B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x ，x >0}，则A ×B ＝( )A ．[0,1]∪(2，＋∞)B ．[0,1)∪[2，＋∞)C ．[0,1]D ．[0,2][解析] 由题意得A ＝{x |2x －x 2≥0}＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y >1}，所以A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝(1,2]，所以A ×B ＝[0,1]∪(2，＋∞)．故选A.[答案] A课时跟踪训练(二)[基础巩固]一、选择题1．(2019·安徽马鞍山模拟)命题“若△ABC有一内角为π3，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题()A．与原命题同为假命题B．与原命题的否命题同为假命题C．与原命题的逆否命题同为假命题D．与原命题同为真命题[解析]原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角成等差数列，则△ABC有一内角为π3”，它是真命题．故选D.[答案] D2．(2019·河北唐山二模)已知a，b为实数，则“a3<b3”是“2a<2b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[解析]由于函数y＝x3，y＝2x在R上单调递增，所以a3<b3⇔a<b ⇔2a<2b，即“a3<b3”是“2a<2b”的充要条件．故选C.[答案] C3．(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]由题意得，直线a和直线b相交⇒平面α和平面β相交，反之，由“平面α和平面β相交”不能推出“直线a和直线b相交”，故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件，故选A.[答案] A4．(2015·安徽卷)设p：1<x<2，q：2x>1，则p是q成立的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]q：2x>1⇔x>0，且(1,2)(0，＋∞)，所以p是q的充分不必要条件．故选A.[答案] A5．已知p：(a－1)2≤1，q：∀x∈R，ax2－ax＋1≥0，则p是q 成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]由(a－1)2≤1解得0≤a≤2，∴p：0≤a≤2.当a＝0时，ax2－ax＋1≥0对∀x∈R恒成立；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝a 2－4a ≤0得0<a ≤4， ∴q ：0≤a ≤4.∴p 是q 成立的充分不必要条件．故选A. [答案] A6．(2018·昆明三中、玉溪一中统考)已知条件p ：|x －4|≤6；条件q ：(x －1)2－m 2≤0(m >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是( )A ．[21，＋∞)B ．[9，＋∞)C ．[19，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析] 条件p ：－2≤x ≤10，条件q ：1－m ≤x ≤m ＋1，又因为p 是q 的充分不必要条件，所以有⎩⎨⎧1－m ≤－21＋m >10或⎩⎨⎧1－m <－21＋m ≥10解得m ≥9.故选B.[答案] B 二、填空题7．(2019·北京卷)能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a >b >c ，则a ＋b >c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________．[解析] 要使该命题为假命题，只需证a >b >c 时，a ＋b ≤c (a ，b ，c ∈R )为真命题，所以c <b <a <0.不妨取a ＝－2，b ＝－3，c ＝－4(不唯一)，经检验，符合题意．[答案] －2，－3，－4(答案不唯一)8．(2019·湖北百校联考)命题“若x≥1，则x2－4x＋2≥－1”的否命题为____________________．[解析]由否命题的定义可知，命题“若x≥1，则x2－4x＋2≥－1”的否命题为“若x<1，则x2－4x＋2<－1”．[答案]若x<1，则x2－4x＋2<－19．(2018·河北保定期中)已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：x>a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是________．[解析]p：由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1.由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．又q：x>a，故a≥1.[答案][1，＋∞)10．(2019·山东威海教学质量检测)下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．其中真命题的序号是________．[解析]①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的两个三角形全等”，显然该命题为假命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题为“若ab≠0，则a≠0”，而由ab≠0可得a，b都不为零，故a≠0，所以②是真命题；③因为原命题“正三角形的三个角均为60°是真命题，故其逆否命题也是真命题．故填②③.[答案]②③[能力提升]11．(2019·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题 p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z －2； p 4：若复数z ∈R ，则z －∈R . 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4[解析] 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．p 1：1z ＝1a ＋b i ＝a a 2＋b 2－b a 2＋b 2i ∈R ，则b ＝0，∴z ∈R ，是真命题；p 2：z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ，则2ab ＝0，所以a ＝0或b ＝0.所以z 为实数或纯虚数，是假命题；p 3：设z 1＝－2＋i ，z 2＝2＋i ，则z 1z 2∈R ，但z 1≠z －2，是假命题； p 4：z ∈R ，所以b ＝0，∴z －∈R ，是真命题．故选B. [答案] B12．(2019·河北衡水中学第三次调研)△ABC 中，“角A ，B ，C 成等差数列”是“sin C ＝(3cos A ＋sin A )cos B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由角A ，B ，C 成等差数列，得B ＝π3；由sin C ＝(3cos A＋sin A )cos B ，得sin(A ＋B )＝(3cos A ＋sin A )cos B ，化简得cos A sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝0，所以A ＝π2或B ＝π3，所以“角A ，B ，C 成等差数列”是“sin C ＝(3cos A ＋sin A )cos B ”的充分不必要条件，故选A.[答案] A13．(2019·吉林长春一模)设a ，b 都是非零向量，则使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．|a |＝|b|且a ∥bB ．a ＝－bC ．a ∥bD ．a ＝2b[解析] 对于A ，当a ∥b 且|a |＝|b |时，可能有a ＝－b ，此时a |a |≠b|b |；对于B ，当a ＝－b 时，a |a |≠b |b |；对于C ，当a ∥b 时，a |a |与b|b |可能不相等；对于D ，当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b |b |.综上所述，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是a ＝2b ，选D.[答案] D14．(2019·贵州贵阳月考)以下四个命题中，真命题的个数是( )①“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题；②存在正实数a ，b ，使得lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ；③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”；④在△ABC 中，A <B 是sin A <sin B 的充分不必要条件．A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] ①中，令a ＝2，b ＝－3，则a ＋b <2，故逆命题是假命题；②中，令a ＝b ＝2，lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b 成立，故命题②是真命题；③中，根据命题否定的规则，可以判定命题③是真命题；④中，在△ABC 中，A <B ⇔sin A <sin B ，是充要条件，故命题④是假命题．综上，真命题的个数为2.故选C.[答案] C15．设p ：|4x －3|≤1；q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．[解] 设A ＝{x ||4x －3|≤1}， B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}，易知A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．由綈p 是綈q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即AB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ＋1≥1，所求实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.[延伸拓展](2019·湖北荆、荆、襄、宜四地七校联盟联考)已知函数f (x )＝ax 2－4ax －ln x ，则f (x )在(1,3)上不单调的一个充分不必要条件是( )A ．a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，16 B ．a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞C ．a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，16D ．a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ [解析] f ′(x )＝2ax －4a －1x ，f (x )在(1,3)上不单调，则f ′(x )＝2ax －4a －1x ＝0在(1,3)上有解．此方程可化为2ax 2－4ax －1＝0，设其解为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2，因此方程的两解不可能都大于1，所以其在(1,3)中只有一解，其充要条件是(2a －4a －1)·(18a －12a －1)<0，解得a <－12或a >16.因此选项D 是满足要求的一个充分不必要条件．故选D.[答案] D课时跟踪训练(三)[基础巩固]一、选择题1．下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，x 2≥0 B ．∀x ∈R,2x －1>0C ．∃x ∈R ，lg x <1D ．∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＝2[解析] 对于D 选项，sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤ 2，故D 错，易得A 、B 、C 正确．[答案] D2．命题“∃x 0∈N ，x 20＋2x 0≥3”的否定为( )A．∃x0∈N，x20＋2x0≤3B．∀x∈N，x2＋2x≤3C．∃x0∈N，x20＋2x0<3D．∀x∈N，x2＋2x<3[解析]命题“∃x0∈N，x20＋2x0≥3”的否定为“∀x∈N，x2＋2x<3”．故选D.[答案] D3．(2019·云南玉溪一中第四次月考)已知命题p：在△ABC中，“C>B”是“sin C>sin B”的充分不必要条件；命题q：“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是()A．p真q假B．p假q真C．p∨q为假D．p∧q为真[解析]在△ABC中，若C>B，根据大角对大边，可得c>b，再由正弦定理边角互化，可得sin C>sin B，反之也成立．所以在△ABC 中，C>B是sin C>sin B的充要条件，故命题p是假命题．由a>b，当c＝0时，ac2>bc2不一定成立，但若ac2>bc2成立，则a>b成立，所以a>b是ac2>bc2的必要不充分条件，故命题q是假命题．所以p∨q为假．故选C.[答案] C4．若命题“∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，则实数k的取值范围是()A．(－4,0)B．(－4,0]C ．(－∞，－4]∪(0，＋∞)D ．(－∞，－4)∪[0，＋∞)[解析] 命题：“∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题．当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0，且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0.综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]．[答案] B5．(2018·河北衡水中学调研)已知命题p ：方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根；命题q ：函数f (x )＝x ＋4x 的最小值为4.给出下列命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨(綈q )．则其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由于Δ＝4a 2＋4>0，所以方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根，即命题p 是真命题；当x <0时，f (x )＝x ＋4x 的值为负值，故命题q 为假命题，所以p ∨q ，p ∧(綈q )，綈p ∨(綈q )是真命题，故选C.[答案] C6．(2019·安徽蚌埠质检)给出以下命题：①∀a ∈R ，函数y ＝x 3＋ax 2＋1不是偶函数；②∃a ∈R ，函数y ＝ax 2－x ＋1是奇函数；③∀m >0，函数g (x )＝mx |x |在R 上单调递增；④∃m >0，函数g (x )＝mx 2＋2x －1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减．其中正确命题的序号是( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④[解析] 显然，命题①为真，命题②为假．对于命题③，由于y＝mx |x |＝⎩⎨⎧mx 2，x ≥0，－mx 2，x <0，所以当m >0时，y ＝mx |x |在R 上单调递增，命题为真；对于命题④，若y ＝mx 2＋2x －1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，必有⎩⎪⎨⎪⎧m <0，－1m ≤12，解得m ≤－2，故命题为假．综上可得，正确命题为①③.[答案] A7．(2019·福建福州外国语学校期中)已知定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．∀x ∈R ，f (－x )≠－f (x )C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠－f (x 0)[解析] ∵定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，∴∀x ∈R ，f (－x )＝f (x )为假命题，∴∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)为真命题．故选C.[答案] C 二、填空题8．(2019·安徽合肥一模)命题：∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1<0的否定为____________________．[解析] 写命题的否定时，除结论要否定外，存在量词与全称量词要互换，因此命题：∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1<0的否定为∀x ∈R ，x2－ax ＋1≥0.[答案] ∀x ∈R ，x 2－ax ＋1≥09．已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．[解析] 因为命题p 是假命题，所以綈p 为真命题，即∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12>0恒成立．当a ＝0时，x >－12，不满足题意；当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎨⎧a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－4×12×a <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a >12，所以a >12，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫12，＋∞.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 10．(2018·甘肃兰州一中月考)已知命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为________．[解析] 当命题p 为真命题时，m ＋1≤0，解得m ≤－1.当命题q 为真命题时，Δ＝m 2－4×1×1<0，解得－2<m <2.当命题p ∧q 为真命题时，则有⎩⎨⎧m ≤－1，－2<m <2⇒－2<m ≤－1.所以命题p ∧q 为假命题时，m的取值范围是(－∞，－2]∪(－1，＋∞)．[答案](－∞，－2]∪(－1，＋∞)[能力提升]11．(2019·河北五个一名校联考)命题“∃x0∈R,1<f(x0)≤2”的否定形式是()A．∀x∈R,1<f(x)≤2B．∃x∈R,1<f(x)≤2C．∃x∈R，f(x)≤1或f(x)>2D．∀x∈R，f(x)≤1或f(x)>2[解析]根据特称命题的否定是全称命题可知原命题的否定形式为“∀x∈R，f(x)≤1或f(x)>2”．故选D.[答案] D12．(2019·安徽安庆二模)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋1x0>3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是() A．p∧(綈q) B．(綈p)∧qC．p∧q D．(綈p)∨q[解析]对于命题p，当x0＝4时，x0＋1x0＝174>3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x20成立，故命题q为假命题，所以p∧(綈q)为真命题，故选A.[答案] A13．(2019·湖北黄冈二模)下列四个结论：①若x>0，则x>sin x恒成立；②命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”；③“命题p ∧q 为真”是“命题p ∨q 为真”的充分不必要条件；④命题“∀x ∈R ，x －ln x >0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0<0”．其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 对于①，令y ＝x －sin x ，则y ′＝1－cos x ≥0，则函数y ＝x －sin x 在R 上递增，则当x >0时，x －sin x >0－0＝0，即当x >0时，x >sin x 恒成立，故①正确；对于②，命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”，故②正确；对于③，命题p ∨q 为真即p ，q 中至少有一个为真，p ∧q 为真即p ，q 都为真，可知“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件，故③正确；对于④，命题“∀x ∈R ，x －ln x >0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0≤0”，故④错误．综上，正确结论的个数为3，故选C.[答案] C14．(2019·甘肃高台一中第三次检测)设p ：∃x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，52，使函数g (x )＝log 2(tx 2＋2x －2)有意义．若綈p 为假命题，则实数t 的取值范围为________．[解析] 因为命题綈p 为假命题，所以命题p 为真命题．∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，使函数g (x )＝log 2(tx 2＋2x －2)有意义等价于∃x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，52，使tx 2＋2x －2>0成立，即∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，使t >2x 2－2x 成立．令h (x )＝2x 2－2x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，则∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，使t >2x 2－2x 成立等价于t >h (x )min .因为h (x )＝2x 2－2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122－12，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，所以当1x ＝12，即x ＝2时，h (x )min＝－12，所以t >－12.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞15．已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当a ＝1，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围． [解] (1)∵对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立，∴(2x －2)min ≥m 2－3m ，即m 2－3m ≤－2，解得1≤m ≤2.因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1,2]． (2)∵a ＝1，且存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立， ∴m ≤1.因此，命题q 为真时，m ≤1.∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤2，m >1得1<m ≤2；当p 假q 真时，由⎩⎨⎧m <1或m >2，m ≤1，得m <1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]．[延伸拓展](2019·皖南名校4月联考)设命题p ：函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1,1]上单调递减；命题q ：函数y ＝ln(x 2＋ax ＋1)的值域是R ，如果命题p 或q 是真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，－2]∪[2,3)C ．(2,3]D ．[3，＋∞)[解析] 若p 为真命题，则f ′(x )＝3x 2－a ≤0在区间[－1,1]上恒成立，即a ≥3x 2在区间[－1,1]上恒成立，所以a ≥3；若q 为真命题，则方程x 2＋ax ＋1＝0的判别式Δ＝a 2－4≥0，即a ≥2或a ≤－2.由题意知，p 与q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎨⎧a ≥3，－2<a <2，则a ∈∅；当p假q 真时，⎩⎨⎧a <3，a ≥2或a ≤－2，则a ≤－2或2≤a <3.综上所述，a ∈(－∞，－2]∪[2,3)．故选B.[答案] B课时跟踪训练(四)[基础巩固]一、选择题1．如图，是张大爷晨练时所走的离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )[解析] 据图象可知在第一段时间张大爷离家距离随时间的增加而增加，在第二段时间内，张大爷离家的距离不变，第三段时间内，张大爷离家的距离随时间的增加而减少，最后回到始点位置，对比各选项，只有D 选项符合条件．[答案] D2．已知函数f (x )＝|x －1|，则下列函数中与f (x )相等的函数是( ) A ．g (x )＝|x 2－1||x ＋1|B ．g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2－1||x ＋1|，x ≠－1，2，x ＝－1C ．g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，1－x ，x ≤0D ．g (x )＝x －1[解析] ∵g (x )＝⎩⎨⎧|x 2－1||x ＋1|＝|x －1|，x ≠－1，2，x ＝－1与f (x )的定义域和对应关系完全一致，故选B.[答案] B3．(2018·河南濮阳检测)函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 C ．(－1,0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 [解析]要使函数有意义，需满足⎩⎨⎧1－2x >0，x ＋1≠0，解得x <12且x ≠－1，故函数的定义域为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12. [答案] D4．(2019·山西太原一模)若函数f (x )满足f (1－ln x )＝1x ，则f (2)等于( )A.12 B ．e C.1eD ．－1[解析] 解法一：令1－ln x ＝t ，则x ＝e 1－t，于是f (t )＝1e 1－t ，即f (x )＝1e 1－x ，故f (2)＝e.解法二：由1－ln x ＝2，得x ＝1e ，这时1x ＝11e＝e ，即f (2)＝e.[答案] B5．(2018·四川成都检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (－x )，x >2，ax ＋1，－2≤x ≤2，f (x ＋5)，x <－2，若f (2018)＝0，则a ＝( )A ．0 B.12 C ．－12D ．－2[解析] 由于f (2018)＝f (－2018)＝f (－404×5＋2)＝f (2)＝2a ＋1＝0，故a ＝－12.[答案] C6．已知实数a <0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2a ，x <1，－x ，x ≥1，若f (1－a )≥f (1＋a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．[－2，－1]C ．[－1,0)D ．(－∞，0)[解析] 当a <0时，1－a >1,1＋a <1，所以f (1－a )＝－(1－a )＝a －1，f (1＋a )＝(1＋a )2＋2a ＝a 2＋4a ＋1，由f (1－a )≥f (1＋a )得a 2＋3a ＋2≤0，解得－2≤a ≤－1，所以a ∈[－2，－1]，故选B. [答案] B7．若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，34B.⎝⎛⎭⎪⎫0，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34[解析] ∵y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，∴mx 2＋4mx ＋3恒不为0.当m ＝0时，mx 2＋4mx ＋3＝3满足题意；当m ≠0时，Δ＝16m 2－12m <0，解得0<m <34.综上，0≤m <34，即m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34.[答案] D 二、填空题8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，f (x －3)＋2，x >0，则f (9)＝________.[解析] f (9)＝f (6)＋2＝f (3)＋4＝f (0)＋6＝0＋2＋6＝8. [答案] 89．(2019·江苏泰州检测)已知函数f (x )＝3－2x ＋1的定义域为A ，值域为B ，则A ∩B ＝________.[解析] 由题意，知A ＝R ，B ＝(1，＋∞)，所以A ∩B ＝(1，＋∞)．[答案] (1，＋∞)10．(2019·山东潍坊检测)已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2x 的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则实数a 的值为________． [解析] 由函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2x 的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，易知当x ＝12时，1－a 2x ＝0，即1－a2＝0，所以a ＝ 2.[答案]2[能力提升]11．(2019·山东潍坊二模)函数f (x )＝1ln (5－2x )＋e x －1的定义域为( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，2]C ．[0,2]D ．[0,2)[解析]要使函数有意义，应有⎩⎨⎧ln (5－2x )>0，e x－1≥0，解得0≤x <2，故定义域为[0,2)，选D. [答案] D12．(2019·河南新乡调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ，x ≤10，－lg (x ＋2)，x >10，若f (8－m 2)<f (2m )，则实数m 的取值范围是( )A ．(－4,2)B ．(－4,1)C ．(－2,4)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)[解析] 由函数f (x )的图象可知函数f (x )在R 上单调递减，因此由f (8－m 2)<f (2m )可得8－m 2>2m ，解得－4<m <2.故选A.[答案] A13．已知函数f (x )的定义域为[3,6]，则函数y ＝f (2x )log 12(2－x )的定义域为________．[解析] 要使函数y ＝f (2x )log 12(2－x )有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ≤6，log 12(2－x )>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧32≤x ≤3，0<2－x <1，解得32≤x <2，故函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2. [答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，214．(2019·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________． [解析] 由题意，当x >12时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋2x －12>1恒成立，即x >12满足题意；当0<x ≤12时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋x －12＋1>1恒成立，即0<x ≤12满足题意；当x ≤0时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x －12＝x ＋1＋x －12＋1>1，解得x >－14，即－14<x ≤0.综上，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞15．如图，点M 是边长为1的正方形ABCD 的边CD 的中点．当点P 在正方形的边上沿A —B —C 运动时，点P 经过的路程为x ，△APM 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式．[解] 利用分段函数建立关系式．当点P 在线段AB 上，即0<x ≤1时，y ＝12x ；当点P 在线段BC 上，即1<x ≤2时，y ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1×1－12(x －1)×1－12×(2－x )×12＝14(3－x )．所以所求函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，0<x ≤1，14(3－x )，1<x ≤2.[延伸拓展](2018·安徽合肥模拟)设集合A ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋12，x ∈A ，2(1－x )，x ∈B .若x 0∈A ，且f [f (x 0)]∈A ，则x 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤14，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，38 [解析] 因为x 0∈A ，即0≤x 0<12，所以f (x 0)＝x 0＋12，12≤x 0＋12<1，即12≤f (x 0)<1，即f (x 0)∈B ，所以f [f (x 0)]＝2[1－f (x 0)]＝1－2x 0. 因为f [f (x 0)]∈A ，所以0≤1－2x 0<12，解得14<x 0≤12.又因为0≤x 0<12，所以14<x 0<12，故选C.[答案] C课时跟踪训练(五)[基础巩固]一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，f (x －3)，x >0，则f (5)＝( )A ．32B ．16 C.12D.132[解析] f (5)＝f (5－3)＝f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝2－1＝12，故选C. [答案] C2．(2018·烟台模拟)函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( )A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 B ．(－∞，2] C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[2，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析] ∵x ∈(－∞，1)∪[2,5)，则x －1∈(－∞，0)∪[1,4)．∴2x －1∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2. [答案] A3．(2019·北京东城第一学期联考)若函数f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝( )A ．3－cos2xB ．3－sin2xC ．3＋cos2xD ．3＋sin2x[解析] f (sin x )＝3－cos2x ＝2＋2sin 2x ，所以f (cos x )＝2＋2cos 2x ＝3＋cos2x .[答案] C4．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝15－x ＋1B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1 C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xD ．y ＝1－2x[解析] A 项，因为5－x ＋1>1，所以函数值域为(0,1)；B 、D 项的函数值域为[0，＋∞)；C 项，因为1－x ∈R ，根据指数函数的性质可知函数的值域为(0，＋∞)，故选C.[答案] C5．已知f ⎝⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( ) A ．(x ＋1)2 B ．(x －1)2 C ．x 2－x ＋1D ．x 2＋x ＋1[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x ＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1.[答案] C6．(2018·江西临川一中月考)若函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．(－∞，0]∪[3，＋∞)D ．(－∞，0)∪[3，＋∞)[解析] 令f (x )＝ax 2＋2ax ＋3，∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的值域为[0，＋∞)，∴f (x )＝ax 2＋2ax ＋3的函数值取遍所有的非负实数，∴a 为正实数，∴该函数图象开口向上，∴只需ax 2＋2ax ＋3＝0的判别式Δ＝(2a )2－12a ≥0，即a 2－3a ≥0，解得a ≥3或a ≤0(舍去)．故选B.[答案] B 二、填空题7．函数y ＝1－x 2x ＋5的值域为________．[解析] y ＝1－x 2x ＋5＝－12(2x ＋5)＋722x ＋5＝－12＋722x ＋5.∵722x ＋5≠0，∴y ≠－12， ∴函数y ＝1－x2x ＋5的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－12. [答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－12 8．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f (3)＝________. [解析] ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2(x ≠0)，∴f (x )＝x 2＋2，∴f (3)＝32＋2＝11.[答案] 119．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为________．[解析] 设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由题意知， f (x )取遍所有的正实数．当a ＝0时， f (x )＝2x ＋1符合条件；当a ≠0时，则⎩⎨⎧a >0，Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.所以0≤a ≤1.[答案] [0,1] 三、解答题10．求下列函数的值域： (1)y ＝1－x 21＋x 2；(2)y ＝－2x 2＋x ＋3； (3)y ＝x ＋1x ＋1； (4)y ＝x ＋4－x 2.[解] (1)y ＝1－x 21＋x 2＝－1－x 2＋21＋x 2＝－1＋21＋x 2. 由1＋x 2≥1，得0<21＋x 2≤2，所以－1<－1＋21＋x 2≤1. 故函数的值域为(－1,1]． (2)y ＝－2x 2＋x ＋3＝－2⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋258.由0≤－2⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋258≤258，得0≤y ≤524.故函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，524. (3)当x >0时，x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号，所以x ＋1x ＋1≥3；当x <0时，x ＋1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－x ＋1－x ≤－2，当且仅当x ＝－1时取等号，所以x ＋1x ＋1≤－1. 故函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． (4)设x ＝2cos θ(0≤θ≤π)，则y ＝x ＋4－x 2＝2cos θ＋4－4cos 2θ＝2cos θ＋2sin θ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4由0≤θ ≤π，得π4≤θ＋π4≤5π4，所以－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，－2≤y ≤22，故函数的值域为[－2,22]．[能力提升]11．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x[解析] 选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |,2f (x )＝2|x |，故f (2x )＝2f (x )；选项B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2x －2|x |,2f (x )＝2x －2|x |，故f (2x )＝2f (x )；选项C ，f (2x )＝2x ＋1,2f (x )＝2x ＋2，故f (2x )≠2f (x )；选项D ，f (2x )＝－2x,2f (x )＝－2x ，故f (2x )＝2f (x )．故选C.[答案] C12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12[解析] 因为当x ≥1时， f (x )＝ln x ≥0, f (x )的值域为R ，所以当x <1时，f (x )＝(1－2a )x ＋3a 的值域包含一切负数．当a ＝12时，(1－2a )x ＋3a ＝32不成立；当a >12时，(1－2a )x ＋3a >1＋a ，不成立；当a <12时，(1－2a )x ＋3a <1＋a .由1＋a ≥0，得a ≥－1.所以－1≤a <12.故选C.[答案] C13．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于__________．[解析]由已知得1⊕x ＝⎩⎨⎧1－2≤x ≤1，x 21<x ≤2，当x ∈[－2,2]时，2⊕x ＝2，∴f (x )＝⎩⎨⎧x －2，－2≤x ≤1，x 3－2，1<x ≤2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.[答案] 614．(2013·安徽卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________________.[解析] 当－1≤x ≤0时，有0≤x ＋1≤1，所以f (1＋x )＝(1＋x )[1－(1＋x )]＝－x (1＋x )，又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12f (1＋x )＝－x (x ＋1)2.[答案] －x (x ＋1)215．已知函数f (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6. (1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为[0，＋∞)，求实数a 的取值范围． [解] (1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，(ⅰ)当a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合要求； (ⅱ)当a ＝－1时， f (x )＝6x ＋6，定义域不为R .②若1－a 2≠0，g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数， ∵f (x )的定义域为R ，∴g (x )≥0，∀x ∈R 恒成立，∴⎩⎨⎧1－a 2>0，Δ＝9(1－a )2－24(1－a 2)≤0⇔⎩⎨⎧－1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≤0⇒－511≤a <1.综合①②得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－511，1.(2)∵函数f (x )的值域为[0，＋∞)，∴函数g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6取一切非负实数， ①当1－a 2≠0时有⎩⎨⎧1－a 2>0，Δ＝9(1－a )2－24(1－a 2)≥0⇔⎩⎨⎧－1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≥0⇒－1<a ≤－511.②当1－a 2＝0时a ＝±1，当a ＝1时，f (x )＝6不合题意．当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6的值域为[0，＋∞)，符合题目要求．故所求实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－511.16．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a 、b 是常数，且a ≠0)满足条件：f (2)＝0，且方程f (x )＝x 有两个相等实根．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m 、n (m <n )，使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m,2n ]？如存在，求出m 、n 的值；如不存在，说明理由．[解] (1)方程f (x )＝x ，即ax 2＋bx ＝x ，亦即ax 2＋(b －1)x ＝0，由方程有两个相等实根，得Δ＝(b －1)2－4a ×0＝0， ∴b ＝1.①由f (2)＝0，得4a ＋2b ＝0，②由①、②得，a ＝－12，b ＝1，故f (x )＝－12x 2＋x . (2)假设存在实数m 、n 满足条件，由(1)知， f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12，则2n ≤12，即n ≤14.∵f (x )＝－12(x －1)2＋12的对称轴为x ＝1， ∴当n ≤14时，f (x )在[m ，n ]上为增函数．于是有⎩⎨⎧f (m )＝2m ，f (n )＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ，∴⎩⎨⎧m ＝－2或m ＝0，n ＝－2或n ＝0.又m <n ≤14，∴⎩⎨⎧m ＝－2，n ＝0.故存在实数m ＝－2，n ＝0，使f (x )的定义域为[m ，n ]，值域为[2m,2n ]．[延伸拓展]设f (x )，g (x )都是定义在实数集上的函数，定义函数(f ·g )(x )：∀x∈R ，(f ·g )(x )＝f [g (x )]．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x >0，x 2，x ≤0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，则( )A ．(f ·f )(x )＝f (x )B ．(f ·g )(x )＝f (x )C ．(g ·f )(x )＝g (x )D ．(g ·g )(x )＝g (x )[解析]对于A ，(f ·f )(x )＝f [f (x )]＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )>0，f 2(x )，f (x )≤0，当x >0时，f (x )＝x >0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x ；当x <0时，f (x )＝x 2>0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x 2；当x ＝0时，(f ·f )(x )＝f 2(x )＝0＝02，因此对任意的x ∈R ，有(f ·f )(x )＝f (x )，故A 正确，选A.[答案] A课时跟踪训练(六)[基础巩固]一、选择题1．(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( )A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x[解析] 函数y ＝11－x，y ＝ln(x ＋1)在(－1,1)上都是增函数，函数y ＝cos x 在(－1,0)上是增函数，在(0,1)上是减函数，而函数y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎪⎫12x在(－1,1)上是减函数，故选D.[答案] D2．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( )A ．(－∞，1]B ．[3，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)[解析] 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数 t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．[答案] B3．下列函数f (x )中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)时，均有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0”的是( )A ．f (x )＝12 B ．f (x )＝x 2－4x ＋4 C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝log 12x[解析] (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0等价于x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)正负号相同，故函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．显然只有函数f (x )＝2x 符合，故选C.[答案] C4．函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值是( )A.45B.54 C.34D.43[解析] 由f (x )＝1⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34≤43，则[f (x )]max ＝43，故选D. [答案] D5．(2019·东北三校联考(一))设函数f (x )＝x 2＋(a －2)x －1在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的最小值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[解析] 由题意得a －2－2≤2，解得a ≥－2，所以实数a 的最小值为－2.[答案] A6．(2019·德州市模拟)设偶函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )＋f (－x )x>0的解集为( ) A ．(－1,0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0,1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1,0)∪(0,1)[解析] 因为函数f (x )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，f (1)＝0，所以函数f (x )在区间(－∞，0)上是减函数，且f (－1)＝0.由f (x )＋f (－x )x >0，可得2f (x )x >0，即f (x )x >0，当x <0时，f (x )<0，即f (x )<f (－1)，解得－1<x <0；当x >0时，f (x )>0，即f (x )>f (1)，解得x >1.故不等式f (x )＋f (－x )x >0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)． [答案] A 二、填空题7．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________.[解析] 易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝1，f (b )＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝4.∴a ＋b ＝6.[答案] 68．函数y ＝log 12|x －3|的单调递减区间是________．[解析] 函数的定义域为{x |x ≠3}．令u ＝|x －3|，则在(－∞，3)上u 为x 的减函数，在(3，＋∞)上u 为x 的增函数．又∵0<12<1，∴在区间(3，＋∞)上，y 为x 的减函数．[答案] (3，＋∞)9．若函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] 解法一：f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a (x ＋2)＋1－2ax ＋2＝1－2ax ＋2＋a . 任取x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2a x 1＋2－1－2ax 2＋2＝(1－2a )(x 2－x 1)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是递增的，∴f (x 1)－f (x 2)<0.∵x 2－x 1>0，x 1＋2>0，x 2＋2>0， ∴1－2a <0，a >12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.解法二：f (x )＝a (x ＋2)＋1－2a x ＋2＝a ＋1－2ax ＋2，。

教育最新K122019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：10-3用样本估计总体 Word版含解析-

[课时跟踪检测][基础达标]1．某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设该组数据的平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >a >bD ．c >b >a解析：把该组数据按从小到大的顺序排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，其平均数a ＝110×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，中位数b ＝15＋152＝15，众数c ＝17，则a <b <c .答案：D2．(2017届山西省第二次四校联考)某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60解析：∵[20,40)，[40,60)的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，∴该班的学生人数150.3＝50.答案：B3．如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为( )A．85,84 B．84,85C．86,84 D．84,86解析：由图可知去掉一最高分和一个最低分后，所剩数据为84,84,86,84,87，则平均数为85，众数为84.答案：A4.如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是()A．12.5,12.5B．12.5,13C．13,12.5D．13,13解析：由频率分布直方图可知，众数为10＋152＝12.5.因为0.04×5＝0.2,0.1×5＝0.5，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的面积相等，所以中位数在区间[10 ,15)内．设中位数为x，则(x－10)×0.1＝0.5－0.2，解得x＝13.答案：B5.(2017年山东卷)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为()A．3,5 B．5,5C．3,7 D．5,7解析：根据两组数据的中位数相等可得65＝60＋y，解得y＝5，又它们的平均值相等，所以56＋62＋65＋74＋(70＋x)5＝59＋61＋67＋(60＋y)＋785，解得x＝3.故选A.答案：A6．(2016年山东卷)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25，27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A．56 B．60C．120 D．140解析：由直方图可知每周自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，则每周自习时间不少于22.5小时的人数为0.7×200 ＝140.故选D.答案：D7．(2018届榆林模拟)甲、乙、丙三名同学6次数学测试成绩及班级平均分(单位：分)如表：A ．甲同学的数学学习成绩高于班级平均水平，且较稳定B ．乙同学的数学成绩平均值是81.5C ．丙同学的数学成绩低于班级平均水平D ．在6次测验中，每一次成绩都是甲第一、乙第二、丙第三解析：由统计表可知，甲同学的数学学习成绩高于班级平均水平，且较稳定，所以A 正确；乙同学的数学成绩平均值是16(88＋80＋85＋78＋86＋72)＝81.5，故B 正确；丙同学的数学学习成绩低于班级平均水平，所以C 正确；第6次测试成绩是甲第一、丙第二、乙第三，所以D 是错误的，故选D.答案：D8．一个样本a,3,5,7的平均数是b ，且a ，b 是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，则这个样本的方差是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：由x 2－5x ＋4＝0得，两根分别为1,4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1.又a,3,5,7的平均数是b . 即a ＋3＋5＋74＝b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4符合题意，则方差s 2＝14[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2]＝5. 答案：C9．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为________．解析：由频率分布直方图可得第一组的频率是0.08，第二组的频率是0.32，第三组的频率是0.36，则中位数在第三组内，估计样本数据的中位数为10＋0.10.36×4＝1009.答案：100910．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x 的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________．解析：(1)由频率分布直方图总面积为1，得(0.001 2＋0.002 4×2＋0.003 6＋x ＋0.006 0)×50 ＝1，解得x ＝0.004 4.(2)用电量在[100,250)内的频率为(0.003 6＋0.004 4＋0.006 0)×50＝0.7，故所求户数为100×0.7＝70.答案：(1)0.004 4 (2)7011．已知x 是1,2,3，x,5,6,7这七个数据的中位数且1,2，x 2，－y 这四个数据的平均数为1，则y －1x 的最小值为________．解析：由题意可知1＋2＋x 2－y ＝4，所以y ＝x 2－1.由中位数定义知，3≤x ≤5，所以y －1x ＝x 2－1－1x ，当x ∈[3,5]时，函数y ＝x 2－1与y ＝－1x 均为增函数，所以y ＝x 2－1－1x 在[3,5]上为增函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x min ＝8－13＝233.答案：23312．(2017届广东珠海高三摸底)2016年8月7日，在里约奥运会射击女子10米气手枪决赛中，中国选手张梦雪以199.4环的总成绩夺得金牌，为中国代表团摘得本届奥运会首金，俄罗斯选手巴特萨拉斯基纳获得银牌．下表是两位选手其中10枪的成绩.(2)请计算两位射击选手成绩的方差，并比较谁的射击情况比较稳定．解：(1)x 张＝110(10.2＋…＋9.2)＝10， x 巴＝110(10.1＋…＋9.7)＝9.9，可知张梦雪的成绩较好．(2)s 2张＝110(0.22＋0.32＋0.22＋0.12＋0＋0.72＋0.92＋0.12＋0.32＋0.82)＝0.222， s 2巴＝110(0.22＋0.12＋0.52＋0.32＋0.72＋0.72＋0.62＋0.32＋0.42＋0.22)＝0.202，因为s 2张>s 2巴，可知巴特萨拉斯基纳成绩较稳定．[能力提升]1．(2017届北京东城模拟)甲、乙两名篮球运动员在4场比赛中的得分情况如图所示．v 1，v 2分别表示甲、乙二人的平均得分，s 1，s 2分别表示甲、乙二人得分的方差，那么v 1和v 2，s 1和s 2的大小关系是( )A ．v 1>v 2，s 1>s 2B ．v 1<v 2，s 1>s 2C ．v 1>v 2，s 1<s 2D ．v 1<v 2，s 1<s 2解析：由茎叶图得， v 1＝14(9＋13＋14＋20)＝14， v 2＝14(8＋9＋13＋22)＝13，s 1＝14[(9－14)2＋(13－14)2＋(14－14)2＋(20－14)2]＝312， s 2＝14[(8－13)2＋(9－13)2＋(13－13)2＋(22－13)2]＝612.∴v 1>v 2，s 1<s 2，故选C. 答案：C2．为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a,5组数据中最大频率为0.32，则a 的值为( )A ．64B ．54C ．48D ．27 解析：前两组的频数为100×(0.05＋0.11)＝16.因为后五组频数和为62，所以前三组为38.所以第三组频数为22.又最大频率为0.32的最大频数为0.32×100＝32.所以a ＝22＋32＝54.答案：B3．(2017届山东淄博一模)某校女子篮球队7名运动员身高(单位：厘米)分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175 cm ，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数记为x ，那么x 的值为________．解析：由题意可知，170＋17×(1＋2＋x ＋4＋5＋10＋11)＝175，即17×(33＋x )＝5，即33＋x ＝35，解得x ＝2. 答案：24．已知一组数据：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7构成公差为d 的等差数列，且这组数据的方差等于1，则公差d 等于________．解析：这组数据的平均数为a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 77＝7a 47＝a 4，又因为这组数据的方差等于1，所以17[(a 1－a 4)2＋(a 2－a 4)2＋(a 3－a 4)2＋(a 4－a 4)2＋(a 5－a 4)2＋(a 6－a 4)2＋(a 7－a 4)2]＝17(9d 2＋4d 2＋d 2＋0＋d 2＋4d 2＋9d 2)＝1，即4d 2＝1，解得d ＝±12. 答案：±125．(2018届张掖重点中学联考)张掖市旅游局为了了解大佛寺景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n 人，问题是“大佛寺是几A 级旅游景点？”统计结果如下图表：(1)分别求出a，b，x，y的值；(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组各抽取多少人；(3)在(2)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．解：(1)由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为90.36＝25，再结合频率分布直方图可知，n＝250.025×10＝100，所以a＝100×0.01×10×0.5＝5，b＝100×0.03×10×0.9＝27，x＝181 00×0.02×10＝0.9，y＝3100×0.015×10＝0.2.(2)因为第2,3,4组回答正确的共有54人，所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为第2组：1854×6＝2；第3组：2754×6＝3；第4组954×6＝1.(3)设第2组的2人为A1，A2；第3组的3人为B1，B2，B3；第4组的1人为C1.则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B3，C1)，共15种，其中恰好没有第3组人的共3种．所以所抽取的人中恰好没有第3组人的概率P＝315＝15.。

2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：10-1算法初步含解析

[配套K12]2019届高考数学一轮复习第10单元算法初步、统计、统计案例听课学案理

第十单元算法初步、统计、统计案例第63讲算法初步课前双击巩固1.算法(1)算法通常是指按照解决某一类问题的和的步骤.(2)应用:算法通常可以编成计算机,让计算机执行并解决问题.2.程序框图定义:程序框图又称流程图,是一种用、流程线及来表示算法的图形.3.三种基本逻辑结构4.基本算法语句(1)输入语句、输出语句和赋值语句的格式与功能:(2)条件语句的格式及框图:①IF-THEN格式:图10-63-1 ②IF-THEN-ELSE格式:图10-63-2(3)循环语句的格式及框图:①UNTIL语句:图10-63-3 ②WHILE语句:图10-63-4题组一常识题1.[教材改编]执行如图10-63-5所示的程序框图,运行相应的程序,若输入x的值为2,则输出S的值为.图10-63-52.[教材改编]运行如图10-63-6所示的程序后输出的结果是3,则输入的x值是.图10-63-6题组二常错题◆索引:注意循环结构中控制循环的条件;注意区分程序框图是条件结构还是循环结构.3.若[x]表示不超过x的最大整数,执行如图10-63-7所示的程序框图,则输出S的值为.图10-63-74.操作图10-63-8中的流程图,使得当成绩不低于60分时,输出“及格”,当成绩低于60分时,输出“不及格”,则①处填,②处填.图10-63-85.更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法,其内容如下:“可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也.以等数约之.”图10-63-9是关于该算法的程序框图,如果输入a= 153,b= 119,则输出的a的值是.图10-63-9课堂考点探究探究点一算法的基本结构1 (1)[2017·咸阳三模]已知如图10-63-10所示的程序框图的输入值x∈[-1,4],则输出y值的取值范围是()A.[0,2]B.[-1,2]C.[-1,15]D.[2,15]图10-63-10(2)如图10-63-11所示的程序框图的运行结果为S=20,则判断框中可以填入的关于k的条件是()图10-63-11A.k>9?B.k≤8?C.k<8?D.k>8?[总结反思] 解决程序框图问题时一定要注意以下几点:(1)不要混淆处理框和输入框;(2)注意区分程序框图是条件结构还是循环结构;(3)注意区分“当型循环结构”和“直到型循环结构”;(4)处理关于循环结构的问题时,一定要正确控制循环次数;(5)要注意各个程序框的顺序.式题 (1)[2017·雅安三诊]执行如图10-63-12所示的程序框图,为使输出的数据为31,则判断框中可以填入的条件为()A.i≤3?B.i≤4?C.i≤6?D.i≤7?图10-63-12(2)[2017·银川一中二模]执行如图10-63-13所示的程序框图,输入n=6,m=4,那么输出的p 等于()A.720B.360C.240D.120图10-63-13探究点二算法的交汇性问题考向1与统计的交汇问题2 图10-63-14(1)是某县参加2017年高考的学生身高(单位:cm)的条形统计图,将从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1,A2,…,A10(如A2表示身高(单位:cm)在[150,155)内的学生人数).图(2)是统计图(1)中身高在一定范围内学生人数的一个程序框图.现要统计身高在[160,180)内的学生人数,则在程序框图中的判断框内应填写()图10-63-14A.i<6?B.i<7?C.i<8?D.i<9?[总结反思] 与统计交汇的程序框图问题,多体现在将统计的图表知识(如频率分布直方图、茎叶图等)与程序框图交汇在一起,解决此类问题时应根据题意读懂统计的图表数据后,再根据程序框图的算法进行推理演算.考向2与函数的交汇问题3 [2017·四川绵阳中学三模]某市乘坐出租车的收费办法如下:图10-63-15(1)不超过3千米的里程收费10元;(2)超过3千米的里程按每千米2元收费(对于其中不足千米的部分, 若其小于0.5千米则不收费,若其大于或等于0.5千米则按1千米收费),当车程超过3千米时,另收燃油附加费1元.相应系统收费的程序框图如图10-63-15所示,其中x(单位:千米)为行驶里程,y(单位:元)为所收费用,用[x]表示不大于x的最大整数,则图中①处应填 ()A.y=2[x+0.5]+4B.y=2[x+0.5]+5C.y=2[x-0.5]+4D.y=2[x-0.5]+5[总结反思] 与函数交汇的程序框图问题,常见的有条件结构的应用、分段函数的求值问题,读图时应正确理解题意,根据相应条件选择与之对应的运算法则求值.考向3与数列求和的交汇问题4 图10-63-16图10-63-16是一个算法的程序框图,如果输入i=0,S=0,那么输出的结果为()A.B.C.D.[总结反思] 解决与数列求和交汇的程序框图问题的关键有以下两个方面:一是循环结构的识图、推理,将其输出结果呈现为一个数列求和的形式;二是结合数列求和的知识对结果进行求和运算.常见题型为等差数列、等比数列求和,裂项相消法求和以及周期分组法求和.强化演练1.【考向3】[2017·岳阳二模]执行如图10-63-17所示的程序框图,输出s的值为()图10-63-17A.1B.C.D.2.【考向2】[2017·江西八校联考]执行如图10-63-18所示的程序框图,若输出S的值为4,则判断框中填入的条件可能是()图10-63-18A.k<18?B.k<17?C.k<16?D.k<15?3.【考向3】执行如图10-63-19所示的程序框图,若输出的结果是,则输入的a为()A.6B.5C.4D.3图10-63-194.【考向2】[2017·福州一中质检]执行如图10-63-20所示的程序框图,则输出的结果是()A.1B.C.D.2图10-63-205.【考向1】图10-63-21是计算某年级500名学生期末考试成绩(满分为100分)及格率q 的程序框图,则图中处理框内应填入.探究点三基本算法语句5 图10-63-22为一个求50个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为 ()图10-63-22A.i>50B.i<50C.i>=50D.i<=50[总结反思] 应用基本算法语句的四个关注点:(1)输入、输出语句:在输入、输出语句中加提示信息时要加引号,变量之间用逗号隔开.(2)赋值语句:左、右两边不能对换,赋值号左边只能是变量.(3)条件语句:条件语句中包含其他条件语句时,要分清内外条件结构,保证结构完整性.(4)循环语句:分清“UNTIL”语句和“WHILE”语句的格式和特征,不能混用.式题 (1)当a=3时,如图10-63-23所示的程序输出的结果是()A.9B.3C.10D.6图10-63-23(2)在执行图10-63-24中的程序时,如果输入n的值为6,那么输出的结果为()A.6B.720C.120D.1图10-63-24第64讲随机抽样课前双击巩固1.简单随机抽样(1)抽取方式:逐个;(2)每个个体被抽到的概率;(3)常用方法:和.2.分层抽样(1)定义:在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样.(2)分层抽样的应用范围:当总体是由组成时,往往选用分层抽样.3.系统抽样的步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.(1)先将总体的N个个体;(2)确定,对编号进行,当(n是样本容量)是整数时,取k=;(3)在第1段用确定第1个个体编号l(l≤k);(4)按照一定的规则抽取样本,通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l+k),再加k得到第3个个体编号,依次进行下去,直到获取整个样本.题组一常识题1.[教材改编]为了了解一批零件的长度,抽测了其中200个零件的长度,在这个抽样中,总体的一个样本是.2.[教材改编]某中学从编号为1~60的60个班级中,随机抽取6个班级进行卫生检查,所抽班级的号码是6,16,26,36,46,56,则这种抽样方法是.3.[教材改编]某学校高三年级有男同学200人,女同学300人,用分层抽样的方法抽取一个容量为50的样本,则应抽取男同学人,女同学人.4.[教材改编]总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成,利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为.7816657208026314021443199714019832049234493682003623486969387181题组二常错题◆索引:系统抽样中剔除的个体随机;分层抽样每层抽取的个数比例是相同的;简单随机抽样、系统抽样、分层抽样都是等可能抽样.5.某学校为了解高一年级1203 名学生对某项教改试验的意见,打算从中抽取一个容量为40 的样本,若采用系统抽样,则分段间隔为.6.某公司有员工500人,其中不到35岁的有125人,35~50岁的有280人,50岁以上的有95人,为了调查员工的身体健康状况,从员工中抽取了100人,则应在这三个年龄段中抽取的人数分别为.7.某校要从高一、高二、高三共2012名学生中选取50名组成志愿团,若先用简单随机抽样的方法从2012名学生中剔除12名,再从剩下的2000名学生中按分层抽样的方法抽取50名,则下面对每名学生入选的概率描述正确的是.(填序号)①都相等且为;②都相等且为;③不完全相等.课堂考点探究探究点一简单随机抽样1 (1)某班级有男生20人,女生30人,从中抽取10人组成样本,其中一次抽样结果是抽到了4名男生、6名女生, 则下列说法正确的是()A.这次抽样可能采用的是简单随机抽样B.这次抽样一定没有采用系统抽样C.这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率D.这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率(2)[2017·辽宁实验中学模拟]福利彩票“双色球”中红色球的号码可以从01,02,03,…,32,33这33个两位数号码中选取,小明利用下面的随机数表选取红色球的6个号码,选取方法是从第1行第9列和第10列的数字开始从左到右依次选取两个数字,则第4个被选中的红色球号码为()81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 8506 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49A.12B.33C.06D.16[总结反思] (1)简单随机抽样满足:①抽取的个体数有限;②逐个抽取;③不放回抽取;④等可能抽取.(2)抽签法适用于总体中个体数较少的情况,随机数表法适用于总体中个体数较多的情况.式题假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标,现从800袋牛奶中抽取60袋牛奶进行检测,利用随机数表抽样时,先将800袋牛奶按000,001,…,799进行编号,如果从下面随机数表第2行第7列开始向右读取,那么抽取检测的第5袋牛奶的编号为.8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5025 8392 12066301 6378 5916 9556 6719 9810 5071 7512 8673 5807 4439 52383321 1234 2978 6456 0782 5242 0744 3815 5100 1342 9966 0279探究点二系统抽样2 某学校高一、高二、高三年级学生人数分别为720,720,800,现从全校学生中随机抽取56人参加防火防灾问卷调查.先采用分层抽样方法确定各年级参加调查的人数,再在各年级内采用系统抽样方法确定参加调查的学生.若将高三年级的学生依次编号为001,002,…,800,则高三年级抽取的学生的编号不可能为()A.001,041,…,761B.031,071,…,791C.027,067,…,787D.055,095,…,795[总结反思] 解决系统抽样问题的两个关键步骤:(1)分组的方法应依据抽样比例而定,即根据定义每组抽取一个样本.(2)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法,一旦起始编号确定,其他编号便随之确定了.式题 (1)某种饮料每箱装6瓶,库存23箱未开封的饮料,现欲对这种饮料进行质量检测,工作人员需从中随机取出10瓶,若采用系统抽样法,则要剔除的饮料的瓶数是 ()A.2B.8C.6D.4(2)[2018.长沙长郡中学月考]某中学将参加摸底测试的1200名学生编号为1,2,3, (1200)从中抽取一个容量为50的样本进行学习情况调查,按系统抽样的方法分为50组,如果第一组中抽出的学生编号为20,则第四组中抽取的学生编号为()A.68B.92C.82D.170探究点三分层抽样3 (1)某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,产品数量之比依次为k∶5∶3,现用分层抽样方法抽出一个容量为120的样本,已知A种型号产品共抽取了24件,则抽取的C种型号产品件数为()A.24B.30C.36D.40(2)[2017·衡水中学二模]某学校为了解学生学习的情况,采用分层抽样的方法从高一年级的2400名学生、高二年级的2000名学生、高三年级的n名学生中,抽取90人进行问卷调查.已知高一年级被抽取的学生人数为36,那么高三年级被抽取的学生人数为()A.20B.24C.30D.32[总结反思] 进行分层抽样的相关计算时,常用到的两个关系:(1)=;(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层所抽取的个体数之比.式题 (1)为了调研雄安新区的空气质量状况,某课题组对雄县、容城、安新三县空气质量进行调查,按地域特点在三县内设置空气质量观测点.已知三县内观测点的个数分别为6,y,z,依次构成等差数列,且6,y,z+6成等比数列,若采用分层抽样的方法抽取12个观测点的数据,则应从容城抽取的观测点的数据个数为()A.8B.6C.4D.2(2)[2017·乌鲁木齐模拟]某高中有学生2000人,其中高一年级有760人,若从全校学生中随机抽出1人,抽到的学生是高二年级学生的概率为0.37,现采用分层抽样(按年级分层)方法在全校抽取20人,则应在高三年级中抽取的学生人数为.第65讲用样本估计总体课前双击巩固1.作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中与的差);(2)决定与;(3)将数据;(4)列;(5)画.2.频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的 ,就得到频率分布折线图.(2)总体密度曲线:随着样本容量的增加,作图时增加, 减小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线. 3.茎叶图的优点茎叶图的优点是不但可以保留所有信息,而且可以记录,这对数据的记录和表示都能带来方便. 4.样本的数字特征 (1)众数、中位数、平均数= (2)标准差、方差①标准差:样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s 表示,s=.②方差:标准差的平方s 2.s 2=[(x 1-)2+(x 2-)2+…+(x n -)2],其中x i (i=1,2,3,…,n )是 ,n 是 ,是 .题组一常识题1.[教材改编]如图10-65-1是100位居民月均用水量的频率分布直方图,则月均用水量在[2,2.5)(单位:t)范围内的居民有人.图10-65-12.[教材改编]某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分数据用茎叶图(如图10-65-2)表示,从茎叶图的分布情况看,运动员的发挥更稳定.图10-65-23.[教材改编]某射手在一次训练中五次射击的成绩(单位:环)分别为9.4,9.4,9.4,9.6,9.7,则该射手成绩的方差是.4.[教材改编]从某项综合能力测试中抽取100人的成绩,统计如下,则这100个成绩的平均数为.题组二常错题◆索引:频率分布直方图与茎叶图中识图不清致误;中位数、平均数、众数的概念混淆不清致误;方差、平均数的统计意义不清楚致误.5.如图10-65-3所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x= ,y= .图10-65-36.如图10-65-4是某学校抽取的部分学生体重的频率分布直方图,已知图中从左到右的前3个分组的频率依次成等差数列,第2个分组的频数为10,则抽取的学生人数为.图10-65-47.甲、乙、丙三个班各有20名学生,一次数学考试后,三个班学生的成绩与人数统计如下:甲班成绩乙班成绩丙班成绩用s1,s2,s31,s2,s3的大小关系是.课堂考点探究探究点一频率分布直方图1 某手机厂商推出一款6寸大屏手机,现对500名该手机使用者(200名女性,300名男性)进行调查,使其对手机进行打分,得分的频数分布表如下:(1)完成如图10-65-5所示的频率分布直方图,并比较女性用户和男性用户评分的波动大小(不计算具体值,给出结论即可);图10-65-5(2)根据评分的不同,利用分层抽样的方法从男性用户中抽取20名用户,在这20名用户中,从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户,求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和数学期望.[总结反思] (1)绘制频率分布直方图时的两个注意点:①制作好频率分布表后,可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确;②频率分布直方图的纵坐标是,而不是频率.(2)由频率分布直方图进行相关计算时,需掌握的两个关系式:①×组距=频率;②=频率,此关系式的变形为=样本容量,样本容量×频率=频数.式题 [2017·淮北二模] 交通指数是交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念.记交通指数为T ,其范围为[0,10],分别有5个级别:T ∈[0,2)畅通;T ∈[2,4)基本畅通;T ∈[4,6)轻度拥堵;T ∈[6,8)中度拥堵;T ∈[8,10]严重拥堵.一般早高峰时段T ≥3,从贵阳市交通指挥中心随机选取了早高峰时段二环以内50个交通路段,依据交通指数数据绘制的频率分布直方图如图10-65-6所示.(1)据此直方图估算T∈[4,8)时交通指数的中位数和平均数.(2)据此直方图求出早高峰时段二环以内的3个路段中至少有2个严重拥堵的概率.(3)某人上班路上所用时间:畅通时为20分钟,基本畅通时为30分钟,轻度拥堵时为35分钟,中度拥堵时为45分钟,严重拥堵时为60分钟.求此人早高峰时所用时间的数学期望.图10-65-6探究点二茎叶图2 “一带一路”经济带的发展规划已经得到了越来越多相关国家的重视和参与.某市顺潮流、乘东风,闻迅而动,决定利用旅游资源优势,撸起袖子大干一场.该市相关部门为了了解游客的情况,以便制定相应的策略,在某月中随机抽取甲、乙两个景点各10天的游客数,画出茎叶图如图10-65-7所示.(1)若景点甲中的数据的中位数是125,景点乙中的数据的平均数是124,求x,y的值;(2)若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据,今从这段时期中任取4天,记其中游客数超过120人的天数为ξ,求P(ξ≤2);(3)现从图中共20天的数据中任取2天的数据(甲、乙两景点中各取1天),记其中游客数不低于115人且不高于125人的天数为η,求η的分布列和数学期望.图10-65-7[总结反思] 使用茎叶图时的两个注意点:(1)观察所有的样本数据,弄清图中数字的特点,注意不要漏掉数据;(2)注意不要混淆茎叶图中茎与叶的含义.式题 (1)[2017·北京海淀区一模]《中国诗词大会》是中央电视台首档全民参与的诗词节目,节目以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为基本宗旨,力求通过对诗词知识的比拼及赏析,带动全民重温那些曾经学过的古诗词,分享诗词之美,感受诗词之趣,从古人的智慧和情怀中汲取营养,涵养心灵.如图10-65-8是2016年《中国诗词大会》节目中,七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0~9中的一个),去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1,a2,则一定有()A.a1>a2B.a2>a1C.a1=a2D.a1,a2的大小与m的值有关图10-65-8(2)[2017·宜宾二诊]某生产车间的甲、乙两位工人生产同一种零件,这种零件的标准尺寸为85 mm,现分别从他们生产的零件中各随机抽取8件进行检测,其尺寸(单位:mm)用茎叶图表示如图10-65-9所示,则估计 ()A.甲、乙生产的零件尺寸的中位数相等B.甲、乙生产的零件质量相当C.甲生产的零件质量比乙生产的零件质量好D.乙生产的零件质量比甲生产的零件质量好图10-65-9探究点三样本数字特征3[2017·蚌埠质检]某学校高一、高二、高三三个年级共有300名教师,为了调查他们的备课时间情况,通过分层抽样获得了20名教师一周的备课时间,统计数据如下表(单位:小时):(1)试估计该校高三年级的教师人数;(2)从高一年级和高二年级抽出的教师中,各随机选取一人,高一年级选出的人记为甲,高二年级选出的人记为乙,求该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率;(3)再从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取一名教师,他们该周的备课时间分别是8,9,10(单位: 小时),这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为,表格中数据的平均数记为,试判断与的大小(结论不要求证明).[总结反思] 利用频率分布直方图估计样本数字特征的方法:(1)中位数:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图面积相等,由此可以估计中位数.(2)平均数:平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘矩形底边中点横坐标之和.(3)众数:最高的矩形底边中点的横坐标.式题 (1)[2017·广西贵港、玉林联考]随着人民生活水平的提高,对城市空气质量的关注度也逐渐增高,图10-65-10是某城市1月至8月的空气质量检测情况,图中一、二、三、四级是空气质量等级,一级空气质量最好,一级和二级都是质量合格空气,下面叙述不正确的是()图10-65-10A.1月至8月空气质量合格天数超过20天的月份有5个B.第二季度与第一季度相比,空气质量达标天数的比重下降了C.8月份是空气质量最好的一个月D.6月份的空气质量最差(2)[2017·佛山一模]本学期王老师任教高三(1)班、高三(2)班两个平行班,两个班都是50名学生,如图10-65-11反映的是两个班学生在本学期5次数学测试中班级平均分的对比,由图可知不正确的结论是()图10-65-11A.(1)班的数学成绩平均水平好于(2)班B.(2)班的数学成绩没有(1)班稳定C.下次考试(2)班的数学平均分要高于(1)班D.在第1次考试中,(1),(2)两个班的总平均分为98第66讲变量间的相关关系、统计案例课前双击巩固1.变量间的相关关系(1)常见的两变量之间的关系有两类:一类是函数关系;另一类是,与函数关系不同,是一种非确定性关系.(2)从散点图上看,点散布在从左下角到右上角的区域内,两个变量的这种相关关系称为,点散布在从左上角到右下角的区域内,两个变量的相关关系为.2.两个变量的线性相关(1)从散点图上看,如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近,称两个变量之间具有,这条直线叫作.(2)回归方程为=x+,其中=,=-.(3)通过求Q=(y i-bx i-a)2的最小值而得到回归直线的方法,即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小,这一方法叫作最小二乘法.(4)相关系数:当r>0时,表明两个变量;当r<0时,表明两个变量.r的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强.r的绝对值越接近于0时,表明两个变量之间.通常|r|大于时,认为两个变量有很强的线性相关性.3.独立性检验假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(称为2×2列联表)为:K2=(其中n=a+b+c+d为样本容量).题组一常识题1.[教材改编]下列关系中,属于相关关系的是.(填序号)①正方形的边长与面积;②农作物的产量与施肥量;③人的身高与眼睛近视的度数;④哥哥的数学成绩与弟弟的数学成绩.2.[教材改编]对变量x,y有观测数据(x i,y i)(i=1,2,…,10),得散点图如图10-66-1①;对变量u,v有观测数据(u i,v i)(i=1,2,…,10),得散点图如图②.由这两个散点图可以判断变量x 与y, u与v .(填正相关、负相关或不相关)图10-66-13.[教材改编]某医疗机构通过抽样调查(样本容量n=1000),利用2×2列联表和K2统计量研究患肺病是否与吸烟有关.计算得K2的观测值k≈4.453,经查对临界值表知P(K2≥3.841)=0.05,现给出下列四个结论,其中正确的是.(填序号)①在100个吸烟的人中约有95个人患肺病;②若某人吸烟,则他有95%的可能性患肺病;③有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”;④只有5%的把握认为“患肺病与吸烟有关”.4.[教材改编]对具有线性相关关系的变量x和y,测得一组数据如下表所示.若已求得x与y之间的回归直线的斜率为6.5,则这条回归直线的方程为.题组二常错题◆索引:易混淆相关关系与函数关系;误认为样本数据必在回归直线上;利用回归方程分析问题时,所得的数据易误认为是准确值.5.在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据,并制作成如图10-66-2所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图.根据该图知,人体脂肪含量与年龄相关,且脂肪含量的中位数20%.图10-66-26.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(x i,y i)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是.(填序号)①y与x具有正的线性相关关系;②回归直线过样本点的中心(,);③若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kg;④若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重必为58.79 kg.7.某产品在某销售点的零售价x(单位:元)与每天的销售量y(单位:个)的统计数据如下表所示.由表中数据可得回归直线方程=x+中的=-5,根据模型预测零售价为20元时,每天的销售量约为个.课堂考点探究探究点一变量相关关系的判断1 (1)已知变量x和y满足关系=-0.1x+1,变量y与z正相关.下列结论中正确的是()A.x与y负相关,x与z负相关B.x与y正相关,x与z正相关C.x与y正相关,x与z负相关D.x与y负相关,x与z正相关(2)下列说法正确的是 ()①任何两个变量之间都具有相关关系;②圆的周长与该圆的半径之间具有相关关系;③某商品的需求量与该商品的价格之间是一种非确定性关系;④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的;。

2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：10-2随机抽样 Word版含解析

[课时跟踪检测][基础达标]1．下面的抽样方法是简单随机抽样的是()A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见D．用抽签法从10件产品中抽取3件进行质量检验解析：A、B是系统抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C是分层抽样，因为总体的个体有明显的层次；D是简单随机抽样．答案：D2．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽取容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为()A．50B．60C．70D．80解析：由分层抽样方法得33＋4＋7×n＝15，解得n＝70.答案：C3．(2018届商丘模拟)从学号为0～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是() A．1,2,3,4,5 B．2,4,6,8,10C．4,14,24,34,44 D．5,16,27,38,49解析：50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，∴每一组号码间距相同.4,14,24,34,44，∴C有可能．答案：C4．中央电视台为了调查近三年的春晚节目中各类节目的受欢迎程度，用分层抽样的方法，从2014年至2016年春晚的50个歌舞类节目，40个戏曲类节目，30个小品类节目中抽取样本进行调查，若样本中的歌舞类和戏曲类节目共有27个，则样本容量为()A．36 B．35C．32 D．30解析：设从30个小品节目中抽取x个，则有x30＝2750＋40，解得x＝9.则27＋9＝36，所以样本容量为36.答案：A5．(2017届四川资阳)某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为() A．6 B．4C．3 D．2解析：1836＋18×9＝3，故选C.答案：C6．(2017届安徽马鞍山第一次质检)高三(1)班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号，31号，44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是()A．8 B．13C．15 D．18解析：因为系统抽样是等距抽样，由于44－31＝13，所以5＋13＝18.答案：D7．(2017届兰州双基测试)从一个容量为N的总体中抽取一个容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2<p3B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2D．p1＝p2＝p3解析：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，所以p1＝p2＝p3.答案：D8．某工厂在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )A ．800双B ．1 000双C ．1 200双D ．1 500双解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占12月份生产总数的三分之一，即为1 200双皮靴．答案：C9．(2017届江苏南通二调)从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________．解析：根据系统抽样的特点，共有80个产品，抽取5个样品，则可得组距为805＝16，又其中有1个为28，则与之相邻的为12和44，故所取5个依次为12,28,44,60,76，即最大的编号为76.答案：7610．(2018届北京模拟)某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，……，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________，若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．解析：因为每小组有5个人，第5组抽出的号码为22，所以第8组应抽出的号码为22＋15＝37，又因为40岁以下人数占50%，所以样本中也应占50%，故40岁以下年龄段应抽取20人．答案：37 2011．(2017届湖南七校联考)某高中共有学生1 000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人．如果在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为0.19，现采用分层抽样(按年级分层)在全校抽取100人，则应在高三年级中抽取的人数等于________．解析：因为该高中共有学生1 000名，在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为0.19，所以高二年级女生有1 000×0.19＝190(人)，则高二年级共有学生180＋190＝370(人)，所以高三年级共有学生1 000－370－380＝250(人)，则采用分层抽样(按年级分层)在全校抽取100人，应在高三年级中抽取的人数为2501 000×100＝25.答案：2512．在某市今年的公务员考试成绩中随机抽取500名考生的笔试成绩，按成绩分组，得到频率分布表如下：12名考生进行第二轮选拔，分别求第3,4,5组每组进入第二轮选拔的考生人数．解：由题意可知，第2组的频数为500×0.350＝175，所以第3,4,5组共有考生500－25－175＝300名，则第4组有100名考生．所以第3组抽取的人数：150300×12＝6，第4组抽取的人数：100300×12＝4，第5组抽取的人数：50300×12＝2.[能力提升]1．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在A 营区，从301到495在B 营区，从496到600在C 营区，则三个营区被抽中的人数依次为( )A ．26,16,8B ．25,17,8C ．25,16,9D ．24,17,9解析：依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k (k ∈N *)组抽中的号码是3＋12(k －1)．令3＋12(k －1)≤300，得k ≤1034，因此A 营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k －1)≤495，得1034<k ≤42，因此B 营区被抽中的人数是42－25＝17；故C 营区被抽中的人数为50－25－17＝8.故选B.答案：B2．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( )A ．100B ．150C ．200D ．250解析：样本抽取比例为703 500＝150，该校总人数为1 500＋3 500＝5 000，则n 5 000＝150，故n ＝100，选A.答案：A3．一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：辆，其中有A 类轿车10辆，则z 的值为________．解析：由题意可得50100＋300＋150＋450＋z ＋600＝10100＋300，解得z ＝400.答案：4004．(2017届北京海淀模拟)某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．解析：第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50(件)；该产品的平均使用寿命为1 020×0.5＋980×0.2＋1 030×0.3＝1 015(小时)．答案：50 1 0155．哈六中2016届有840名学生，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为________．解析：使用系统抽样方法，从840名学生中抽取42人，即从20人中抽取1人．所以从编号1～480的人，恰好抽取48020＝24(人)，接着从编号481～720共240人中抽取24020＝12(人)．答案：12。

2019届高考数学一轮复习课时跟踪检测(十)对数与对数函数理(普通高中).doc

2019届高考数学一轮复习课时跟踪检测（十）对数与对数函数理（普通高中）A 级——基础小题练熟练快 1．函数y ＝log 3x －＋1的定义域是( )A ．[1,2]B ．[1,2)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧log 3x －＋1≥0，2x －1＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧log 3x －313，x ＞12，解得x ≥23.2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.12x C ．log 12xD ．2x －2解析：选A 由题意知f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)， ∵f (2)＝1，∴log a 2＝1，∴a ＝2. ∴f (x )＝log 2x .3．如果log 12x <log 12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x解析：选D ∵log 12x <log 12y <log 121，∴x >y >1.4．若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |0＜y ≤1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )解析：选A 由函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |0＜y ≤1}，知0＜a ＜1，由此可知y ＝log a |x |的图象大致是A.5．设函数f (x )＝log a |x |(a >0，且a ≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)>f (2)B ．f (a ＋1)<f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定解析：选A 由已知得0<a <1，所以1<a ＋1<2，又易知函数f (x )为偶函数，故可以判断f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (2)．6．(2018·郑州模拟)已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝12，则f (－a )＝( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12解析：选D ∵f (x )＝lg 1－x1＋x 的定义域为－1<x <1，∴f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x1＋x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，∴f (－a )＝－f (a )＝－12.7．lg 2＋lg 5＋20＋⎝⎛⎭⎫5132×35＝________. 解析：原式＝lg 10＋1＋523×513＝32＋5＝132.答案：1328．已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则log b a ＝________.解析：f (x )的图象过两点(－1,0)和(0,1)．则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0，且f (0)＝log a (0＋b )＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝1，b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝2.所以log b a ＝1.答案：19．(2018·安徽两校阶段性测试)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝2x，则f (log 49)＝________.解析：因为log 49＝log 23＞0，又f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝2x，所以f (log 49)＝f (log 23)＝－22log 3－＝－21log23＝－13.答案：－1310．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·log 2x ，则f (2)＝ ________.解析：因为f (x )＝1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·log 2x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·log 212，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，所以f (x )＝1＋12log 2x ，所以f (2)＝1＋12log 22＝32.答案：32B 级——中档题目练通抓牢1．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 227－log 233，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b ＜cB ．a ＝b ＞cC ．a ＜b ＜cD ．a ＞b ＞c解析：选 B 因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23＞1，b ＝log 227－log 233＝log 233＝a ，c ＝log 32＜log 33＝1，所以a ＝b >c .2.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1,0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1,0<c <1解析：选D 由对数函数的性质得0＜a ＜1，因为函数y ＝log a (x ＋c )的图象在c ＞0时是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，所以根据题中图象可知0＜c ＜1.3．若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a ＞0，且a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )＞0，则f (x )的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析：选A 令M ＝x 2＋32x ，则M >0，所以x ＞0或x ＜－32.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )＞0，所以a ＞1，又M ＝x 2＋32x 图象的对称轴为x ＝－34，且开口向上，故由复合函数的单调性知，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．4．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________.解析：因为2a ＝5b＝m ，所以a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，所以m 2＝10，m ＝10.答案：105．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12－x ，x ＜0，若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________________．解析：由f (a )＞f (－a )得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12－a ＞log 2－a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2－a ＞log 2－a解得a ＞1或－1＜a ＜0. 答案：(－1,0)∪(1，＋∞)6．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，且a ≠1)， ∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 7．已知函数f (x )＝log a (a 2x＋t )，其中a ＞0且a ≠1. (1)当a ＝2时，若f (x )＜x 无解，求t 的取值范围；(2)若存在实数m ，n (m ＜n )，使得x ∈[m ，n ]时，函数f (x )的值域也为[m ，n ]，求t 的取值范围．解：(1)∵log 2(22x＋t )＜x ＝log 22x ，∴22x ＋t ＜2x 无解，等价于22x ＋t ≥2x恒成立，即t ≥－22x＋2x＝g (x )恒成立，即t ≥g (x )max ，∵g (x )＝－22x ＋2x＝－⎝⎛⎭⎪⎫2x －122＋14，∴当2x＝12，即x ＝－1时，g (x )取得最大值14，∴t ≥14，故t 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞. (2)由题意知f (x )＝log a (a 2x＋t )在[m ，n ]上是单调增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f m ＝m ，fn ＝n ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2m ＋t ＝a m，a 2n ＋t ＝a n，问题等价于关于k 的方程a 2k －a k＋t ＝0有两个不相等的实根，令a k＝u ＞0，则问题等价于关于u 的二次方程u 2－u ＋t ＝0在u ∈(0，＋∞)上有两个不相等的实根，即⎩⎪⎨⎪⎧ u 1＋u 2＞0，u 1·u 2＞0，Δ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧t ＞0，t ＜14，得0＜t ＜14.∴t 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14. C 级——重难题目自主选做1．(2018·广东省级名校模拟)已知函数f (x )＝(e x－e－x)x ，f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1 B ．[1,5]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，5 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，15∪[5，＋∞) 解析：选C ∵f (x )＝(e x－e －x)x ，∴f (－x )＝－x (e －x－e x )＝(e x －e －x)x ＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数．∵f ′(x )＝(e x－e －x)＋x (e x ＋e －x)＞0在(0，＋∞)上恒成立． ∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∵f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，∴2f (log 5x )≤2f (1)，即f (log 5x )≤f (1)， ∴|log 5x |≤1，∴15≤x ≤5.故选C.2．(2018·沈阳质检)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________.解析：f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3x ，0＜x ＜1，log 3x ，x ≥1，所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0＜m ＜n 且f (m )＝f (n )，可得⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，mn ＝1，所以0＜m 2＜m ＜1，则f (x )在[m 2,1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)＞f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以nm＝9.答案：9。

[配套K12]2019版高考数学一轮复习第十章算法初步课时作业理

第十章算法初步、复数与选考内容第1讲程序框图及简单的算法案例1．(2017年北京)执行如图X1011所示的程序框图，输出s 的值为( )图X1011A ．2 B.32C.53D.852．(2016年北京)执行如图X1012所示的程序框图，输出的s 值为( )图X1012A ．8B ．9C ．27D ．36 3．(2015年天津)阅读程序框图(图X1013)，运行相应的程序，则输出S 的值为( )图X1013A ．－10B ．6C ．14D ．184．(2017年广东调研)执行如图X1014所示的程序框图后输出S 的值为( )图X1014A ．0B ．－ 3 C. 3 D.325．(2016年天津)阅读下面的程序框图(如图X1015)，运行相应的程序，则输出S 的值为________．图X1015 图X10166．(2017年江南名校联考)某程序框图如图X1016所示，判断框内为“k ≥n ？”，n 为正整数，若输出S ＝26，则判断框内的n ＝________.7．(2017年广东惠州三模)执行如图X1017所示的程序框图，如果输出y 的结果为0，那么输入x 的值为( )图X1017A.19B ．－1或1C ．1D ．－1 8．(2017年广东深圳二模)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，也就是大约一千五百年前，传本的《孙子算经》共三卷．卷中有一问题：“今有方物一束外周，一市有三十二枚，问：积几何？”该著作中提出了一种解决问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚加一，即得．”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一市的枚数n 是8的整数倍时，均可采用此方法求解．如图X1018，是解决这类问题的程序框图，若输入n ＝40，则输出S 的结果为________．图X10189．(2017年广东深圳一模) 执行如图X1019所示的程序框图，若输入p ＝2017，则输出i 的值为( )图X1019A ．335B ．336C ．337D ．33810．(2017年江西南昌二模)执行如图X10110程序框图，输出S 为( )图X10110A.17B.27C.47D.67第2讲复数的概念及运算1．(2017年天津)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i为实数，则a 的值为________．2．(2017年新课标Ⅱ)(1＋i)(2＋i)＝( ) A ．1－i B ．1＋3i C ．3＋i D ．3＋3i3．(2015年山东)若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1－i D ．－1＋i4．若i 为虚数单位，图X1021中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )图X1021A ．EB ．FC ．GD ．H5．(2017年广东深圳一模)若复数a ＋i1＋2i(a ∈R )为纯虚数，其中i 为虚数单位，则a ＝( )A ．2B ．3C ．－2D ．－36．(2017年新课标Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B.22C. 2 D ．2 7．(2012年新课标)下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题：p 1：|z |＝2；p 2：z 2＝2i ；p 3：z 的共轭复数为1＋i ；p 4：z 的虚部为－1.其中的真命题为( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 2，p 4D ．p 3，p 48．(2017年广东广州一模)复数(1＋i)2＋21＋i的共轭复数是( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i9．(2017年广东广州一模)复数21＋i的虚部是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．210．(2016年北京)设a ∈R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________.11．(2016年天津)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)·(1－b i)＝a ，则a b的值为________．12．(2017年江苏)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．13．(2017年浙江)已知a，b∈R，(a＋b i)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.14．(2017年江西南昌二模)若a＋i1＋2i＝t i(i为虚数单位，a，t∈R)，则t＋a＝( ) A．－1 B．0 C．1 D．2第3讲坐标系与参数方程第1课时坐标系1．(2017年湖北八校联考)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的13，得曲线C .(1)写出曲线C 的参数方程；(2)设直线l ：3x ＋y ＋1＝0与曲线C 的两交点分别为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．2．(2017年广东华附执信深外联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin 2α－94(α为参数，α∈R )，在以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中(取相同的长度单位)，曲线C 2：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－22，曲线C 3：ρ＝2cos θ.(1)求曲线C 1与C 2的交点M 的直角坐标；(2)设A ，B 分别为曲线C 2，C 3上的动点，求|AB |的最小值．3．(2014年新课标Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．4．(2015年新课标Ⅰ)在平面直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋ (y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．5．(2017年广东汕头一模)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝6cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 是参数)． (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程(普通方程)；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝2 7，求直线l 的倾斜角α的值．6．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2. (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设M 是直线l 上任意一点，过M 作圆C 的切线，切点为A ，B ，求四边形AMBC 面积的最小值．7．(2017年广东深圳一模)在平面直角坐标系中xOy 中，曲线E 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)写出曲线E 的普通方程和极坐标方程；(2)若直线l 与曲线E 相交于点A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求证：1|OA |2＋1|OB |2为定值，并求出这个定值．第2课时参数方程1．(2016年江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．2．(2017年广东广州二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的普通方程为x －y －2＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2 3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．(1)求线段AB 的长；(2)已知点P 在曲线C 上运动，当△PAB 的面积最大时，求点P 的坐标及△PAB 的最大面积．3．(2017年广东东莞二模)已知在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos φ，y ＝－1＋3sin φ(φ为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)求曲线C 1的极坐标方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)若直线θ＝π6(ρ∈R )与曲线C 1交于P ，Q 两点，求线段PQ 的长度．4．(2015年湖南)已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值．5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：ρ＝4cosθ(ρ>0,0≤θ<2π)．(1)求直线l 的极坐标方程；(2)求直线l 与曲线C 交点的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．6．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2 5sin θ.(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)设点P (3，5)，直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求1|PA |＋1|PB |的值．7．(2017年广东梅州一模)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝4sin θ.(1)求曲线C 1与C 2交点的平面直角坐标；(2)A ，B 两点分别在曲线C 1与C 2上，当|AB |最大时，求△OAB 的面积(O 为坐标原点)．8．已知平面直角坐标系xOy 中，过点P (－1，－2)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos 45°，y ＝－2＋t sin 45°(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin θtan θ＝4m (m >0)，直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N .(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|PM |＝|MN |，求实数m 的值．第4讲不等式选讲第1课时不等式的证明1．(2016年江苏)设a ＞0，|x －1|＜a 3，|y －2|＜a3，求证：|2x ＋y －4|＜a .2．(2017年广东揭阳二模)已知函数f (x )＝|2|x |－1|. (1)求不等式f (x )≤1的解集A ；(2)当m ，n ∈A 时，证明：|m ＋n |≤mn ＋1.3．(2017年广东华附执信深外联考)设函数f (x )＝|x －a |，a ∈R . (1)当a ＝2时，解不等式：f (x )≥6－|2x －5|；(2)若关于x 的不等式f (x )≤4的解集为[－1,7]，且两正数s 和t 满足2s ＋t ＝a ，求证：1s ＋8t≥6.4．(2013年新课标Ⅱ)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ca ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.5．(2017年广东东莞二模)已知函数f (x )＝|x ＋3|＋|x －1|的最小值为m . (1)求m 的值以及此时的x 的取值范围；(2)若实数p ，q ，r 满足p 2＋2q 2＋r 2＝m ，证明：q (p ＋r )≤2.6．(2014年新课标Ⅰ) 若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．7．(2015年新课标Ⅱ)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．8．(2016年新课标Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.第2课时绝对值不等式1．(2017年新课标Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求实数m的取值范围．2．(2017年广东广州一模)已知函数f(x)＝|x＋a－1|＋|x－2a|.(1) 若f(1)<3，求实数a的取值范围；(2) 若a≥1，x∈R，求证：f(x)≥2.3．已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|2x －1|(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥2的解集；(2)若f (x )≤2x 的解集包含⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，求实数a 的取值范围．4．已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|x |－2. (1)解不等式f (x )≥0；(2)若存在实数x ，使得f (x )≤|x |＋a ，求实数a 的取值范围．5．(2017年广东深圳二模)已知函数f (x )＝|x ＋1－2a |＋|x －a 2|，a ∈R . (1)若f (a )≤2|1－a |，求实数a 的取值范围；(2)若关于x 的不等式f (x )≤1存在实数解，求实数a 的取值范围．6．(2017年广东汕头一模)已知函数f(x)＝|x|＋|x－2|.(1)求关于x的不等式f(x)<3的解集；(2)如果关于x的不等式f(x)<a的解集不是空集，求实数a的取值范围．7．(2017年广东深圳一模)已知f(x)＝|x＋a|，g(x)＝|x＋3|－x，记关于x的不等式f(x)<g(x)的解集为M.(1)若a－3∈M，求实数a的取值范围；－1，1⊆M，求实数a的取值范围．(2)若[]8．(2017年广东珠海二模)已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x|＋a.(1)若a＝－1，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若方程f(x)＝2x有三个不同的解，求实数a的取值范围．第十章算法初步、复数与选考内容第1讲程序框图及简单的算法案例1．C 解析：k ＝0时，0<3成立，第一次进入循环k ＝1，s ＝1＋11＝2；1<3成立，第二次进入循环k ＝2，s ＝2＋12＝32；2<3成立，第三次进入循环k ＝3，s ＝32＋132＝53；当k ＝3时不满足进行循环条件，输出s ＝53.故选C.2．B3．B 解析：输入S ＝20，i ＝1；i ＝2×1，S ＝20－2＝18，2>5不成立；i ＝2×2＝4，S ＝18－4＝14,4>5不成立；i ＝2×4＝8，S ＝14－8＝6,8>5成立；输出6.故选B.4．A 解析：第一次循环后S ＝0－33×0＋1＝－3，i ＝2；笫二次循环后S ＝－3－33－3＋1＝3，i ＝3；第三次循环后S ＝3－33×3＋1＝0，i ＝4……依次下去，S 的值变化周期为3.因为2016＝3×672，所以最后输出S 的值为0.故选A.5．4 解析：第一次循环，S ＝8，n ＝2；第二次循环，S ＝2，n ＝3；第三次循环，S ＝4，n ＝4；结束循环，输出S ＝4.6．4 解析：依题意，执行题中的程序框图，第一次循环，k ＝1＋1＝2，S ＝2×1＋2＝4；第二次循环，k ＝2＋1＝3，S ＝2×4＋3＝11；第三次循环，k ＝3＋1＝4，S ＝2×11＋4＝26. 因此当输出S ＝26时，判断框内的条件n ＝4.7．D 解析：程序框图表示y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋x ，3x ＋x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x 2＋1＝0.解得x ＝－1.⎩⎪⎨⎪⎧x >0，3x＋2＝0.解集为空．所以x ＝－1.故选D.8．121 解析：第一次循环，n ＝40－8＝32，S ＝40＋32＝72；第二次循环，n ＝32－8＝24，S ＝72＋24＝96; 第三次循环，n ＝24－8＝16，S ＝96＋16＝112; 第四次循环，n ＝16－8＝8，S ＝112＋8＝120;第五次循环，n ＝8－8＝0，S ＝120＋0＝120，此时，n ＝0，满足题意，结束循环，输出S ＝120＋1＝121.9．C 解析：第1步，n ＝1，r ＝1，s ＝1；第2步，n ＝2，r ＝0，s ＝2；第3步，n ＝3，r ＝1，s ＝0；第4步，n ＝4，r ＝0，s ＝1；第5步，n ＝5，r ＝1，s ＝2；第6步，n ＝6，r ＝0，s ＝0；此时，i ＝1，依此类推，当n 为6的倍数时，i 增加1，当n ＝2016时，共有336个6的倍数，继续循环，可得当n ＞p 时，i ＝337.故选C.10．A 解析：考虑进入循环状态，根据程序框图可知，当i ＝1时，有S ＝27；当i ＝2时，有S ＝47；当i ＝3时，有S ＝17；当i ＝4时，有S ＝27；当i ＝5时，有S ＝47；当i ＝6时，有S ＝17.所以输出S ＝17.故选A.第2讲复数的概念及运算1．－2 解析：a －i 2＋i ＝a －－＋－＝a －－a ＋5＝2a －15－a ＋25i 为实数，则a ＋25＝0，a ＝－2.2．B 解析：(1＋i)(2＋i)＝2＋i ＋2i －1＝1＋3i.故选B.3．A 解析：因为z1－i＝i ，所以z ＝i(1－i)＝1＋i.所以z ＝1－i.故选A.4．D 解析：由题图知，复数z ＝3＋i ，∴z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝＋－＋－＝4－2i2＝2－i.∴表示复数z1＋i的点为H .5．C 解析：因为a ＋i1＋2i＝a ＋－＋－＝a ＋25＋－2a ＋15i 为纯虚数，所以a ＝－2.故选C.6．C 解析：由题意可得z ＝2i 1＋i .由复数求模的法则⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 1|，可得|z |＝|2i||1＋i|＝22＝ 2 .故选C.7．C 解析：z ＝2－1＋i ＝－1－－1＋－1－＝－1－i.p 1：|z |＝2，p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为－1＋i ，p 4：z 的虚部为－1.8．B 解析：(1＋i)2＋21＋i＝2i ＋1－i ＝1＋i ，共轭复数为1－i.9．B 解析：21＋i＝1－i ，故虚部为－1.10．－1 解析：(1＋i)(a ＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ∈R ⇒a ＝－1，故填－1.11．2 解析：(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝a ，1－b ＝0.所以ab＝2.故答案为2.12.10 解析：|z |＝|(1＋i)(1＋2i)|＝|1＋i||1＋2i|＝2×5＝10.13．5 2 解析：(a ＋b i)2＝3＋4i ⇒a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴a 2＋b 2＝5，ab ＝2.14．A 解析：因为a ＋i1＋2i ＝t i ⇒a ＋i ＝t i·(1＋2i)＝t i －2t ，则⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1，a ＝－2t .⇒a ＝－2.所以t ＋a ＝－1.故选A.第3讲坐标系与参数方程第1课时坐标系1．解：(1)由坐标变换公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝13x ，y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝y ′.代入x 2＋y 2＝1中，得9x ′2＋y ′2＝1.故曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13cos θ，y ＝sin θ.(2)由题意知，P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，P 2(0，－1)．线段P 1P 2的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，－12，kP 1P 2＝－3.故P 1P 2线段中垂线的方程为y ＋12＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16，即3x －9y －4＝0，即极坐标方程为3ρcos θ－9ρsin θ－4＝0.2．解：(1)由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin 2α－94，得y ＝－94＋1－cos 2α＝－54－(x －1)2.∴曲线C 1的普通方程为y ＝－54－(x －1)2(0≤x ≤2)．由C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－22，得曲线C 2的直角坐标系普通方程为x ＋y ＋1＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－54－x －2，x ＋y ＋1＝0，得4x 2－12x ＋5＝0.解得x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝52舍，y ＝－32.∴点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.(2)由C 3：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ.∴曲线C 3的直角坐标系普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1.则曲线C 3的圆心(1,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝|1＋0＋1|2＝ 2.∵圆C 3的半径为1，∴|AB |min ＝2－1.3．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知，C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同．则tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 4．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－3 2ρ＋4＝0.解得ρ1＝2 2，ρ2＝ 2.|MN |＝ρ1－ρ2＝ 2. 因为C 2的半径为1，则△C 2MN 的面积为12×2×1×sin 45°＝12.5．解：(1)由ρ＝6cos θ，得ρ2＝6ρcos θ. ∵x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－6x ＝0，即(x －3)2＋y 2＝9.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α，代入圆的方程，得(t cos α－2)2＋(t sin α)2＝9.化简，得t 2－4t cos α－5＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝4cos α，t 1t 2＝－5. ∴|AB |＝|t 1－t 2| ＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝16cos 2α＋20＝2 7.∴16cos 2α＝8.解得cos α＝±22.∵α∈[0，π)，∴α＝π4或3π4.6．解：(1)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)，∴圆C 的普通方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝4.由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得ρcos θ＋ρsin θ＝2. ∵ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)圆心C (3，－4)到直线l ：x ＋y －2＝0的距离为d ＝|3－4－2|2＝3 22，由于M 是直线l 上任意一点，则|MC |≥d ＝3 22.∴四边形AMBC 面积S ＝2×12×|AC |×|MA |＝|AC |·|MC |2－|AC |2＝2|MC |2－4≥2d 2－4＝ 2. ∴四边形AMBC 面积的最小值为 2.7．(1)解：曲线E 的普通方程为x 24＋y 23＝1，极坐标方程为ρ2⎝ ⎛⎭⎪⎫14cos 2θ＋13sin 2θ＝1，∴所求的极坐标方程为3ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝12.(2)证明：不妨设点A ，B 的极坐标分别为A (ρ1，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2，则⎩⎪⎨⎪⎧14ρ1cos θ2＋13ρ1sin θ2＝1，14⎣⎢⎡⎦⎥⎤ρ2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π22＋13⎣⎢⎡⎦⎥⎤ρ2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π22＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧1ρ21＝14cos 2θ＋13sin 2θ，1ρ22＝14sin 2θ＋13cos 2θ.∴1ρ21＋1ρ22＝712，即1|OA |2＋1|OB |2＝712(定值)．第2课时参数方程1．解：直线l 的参数方程化为普通方程为3x －y －3＝0，椭圆C 的参数方程化为普通方程为x 2＋y 24＝1，联立方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x 2＋y 24＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－17，y 2＝－8 37.∴A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，－8 37.故AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋172＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋8 372＝167.2．解：(1)曲线C 的普通方程为x 212＋y 24＝1.将直线x －y －2＝0代入x 212＋y 24＝1中消去y ，得x 2－3x ＝0.解得x ＝0，或x ＝3.所以点A (0，－2)，B (3,1)．所以|AB |＝－2＋＋2＝3 2. (2)在曲线C 上求一点P ，使△PAB 的面积最大，则点P 到直线l 的距离最大．设过点P 且与直线l 平行的直线方程y ＝x ＋b .将y ＝x ＋b 代入x 212＋y 24＝1整理，得4x 2＋6bx ＋3(b 2－4)＝0.令Δ＝(6b )2－4×4×3(b 2－4)＝0，解得b ＝±4.将b ＝±4代入方程4x 2＋6bx ＋3(b 2－4)＝0，解得x ＝±3.易知当点P 的坐标为(－3,1)时，△PAB 的面积最大．且点P (－3,1)到直线l 的距离为： d ＝|－3－1－2|12＋12＝3 2. 所以△PAB 的最大面积为S ＝12×|AB |×d ＝9.3．解：(1)因为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos φ，y ＝－1＋3sin φ，故(x －3)2＋(y ＋1)2＝9.故x 2＋y 2－2 3x ＋2y －5＝0.故曲线C 1的极坐标方程为ρ2－2 3ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0.因为ρ＝2cos θ，所以ρ2＝2ρcos θ.所以C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0[或写成(x －1)2＋y 2＝1]． (2)设P ，Q 两点所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将θ＝π6(θ∈R )代入ρ2－2 3ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0中，整理，得ρ2－2ρ－5＝0.故ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－5.故|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝2 6.4．解：(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ， ①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①，得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0. ②(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t 代入②，得t 2＋5 3t ＋18＝0.设这个方程的两个实数根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.5．解：(1)将直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝32t消去参数t ，得普通方程3x －y－2 3＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入3x －y －2 3＝0，得3ρcos θ－ρsin θ－2 3＝0.化简，得ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝ 3.(注意解析式不进行此化简也不扣步骤分)(2)方法一，C 的普通方程为x 2＋y 2－4x ＝0. 由⎩⎨⎧ 3x －y －2 3＝0，x 2＋y 2－4x ＝0解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－3，或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝ 3.所以直线l 与直线C 交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2 3，π6.方法二，由⎩⎨⎧3ρcos θ－ρsin θ－2 3＝0，ρ＝4cos θ，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝0. 又因为ρ≥0,0≤θ<2π，所以⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，θ＝5π3，或⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2 3，θ＝π6.所以交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2 3，π6.6．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t ，得直线l 的普通方程为x ＋y －3－5＝0.又由ρ＝2 5sin θ，得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2 5y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5.(2)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得⎝⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－3 2t ＋4＝0.由于Δ＝(3 2)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实数根．所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝3 2，t 1·t 2＝4.所以t 1>0，t 2>0.又直线l 过点P (3，5)，A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，所以|PA |＝t 1，|PB |＝t 2.所以1|PA |＋1|PB |＝1t 1＋1t 2＝t 1＋t 2t 1t 2＝3 24.7．解： (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋2cos θ，y ＝2sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝2cos θ，y ＝2sin θ，所以(x ＋2)2＋y 2＝4.又由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ.所以x 2＋y 2＝4y . 把两式作差，得y ＝－x .代入x 2＋y 2＝4y ，得交点为(0,0)，(－2,2)．(2)如图D187，由平面几何知识可知，当A ，C 1，C 2，B 依次排列且共线时，|AB |最大．图D187此时|AB |＝2 2＋4. O 到AB 的距离为2， ∴△OAB 的面积为 S ＝12(2 2＋4)×2＝2＋2 2. 8．解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t co s 45°，y ＝－2＋t sin 45°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋22t ，y ＝－2＋22t .∴直线l 的普通方程为x －y －1＝0.∵ρsin θtan θ＝4m ，∴ρ2sin 2θ＝4m ρcos θ. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4mx (m >0)． (2)∵ y 2＝4mx ，∴x ≥0.设直线l 上的点M ，N 对应的参数分别是t 1，t 2(t 1>0，t 2>0)，则|PM |＝t 1，|PN |＝t 2.∵|PM |＝|MN |，∴|PM |＝12|PN |.∴t 2＝2t 1.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22t ，y ＝－2＋22t ，代入y 2＝4mx ，化简，得t 2－4 2(m ＋1)t ＋8(m ＋1)＝0.∴⎩⎨⎧t 1＋t 2＝4 2m ＋，t 1·t 2＝m ＋，又t 2＝2t 1，解得m ＝－1，或m ＝18.∵m >0，∴m ＝18.第4讲不等式选讲第1课时不等式的证明1．证明：由a ＞0，|x －1|＜a 3，得|2x －2|＜2a3.又|y －2|＜a3，∴|2x ＋y －4|＝|(2x －2)＋(y －2)|≤|2x －2|＋|y －2|＜2a 3＋a3＝a ，即|2x ＋y －4|＜a .2．(1)解：由|2|x |－1|≤1，得－1≤2|x |－1≤1，即|x |≤1. 解得－1≤x ≤1.所以A ＝[]－1，1.(2)证明：证法一，|m ＋n |2－(mn ＋1)2＝m 2＋n 2－m 2n 2－1＝－(m 2－1)(n 2－1)，因为m ，n ∈A ，故－1≤m ≤1，－1≤n ≤1，m 2－1≤0，n 2－1≤0.故－(m 2－1)(n 2－1)≤0，|m ＋n |2≤(mn ＋1)2. 又显然mn ＋1≥0，故|m ＋n |≤mn ＋1.证法二，因为m ，n ∈A ，故－1≤m ≤1，－1≤n ≤1, 而m ＋n －(mn ＋1)＝(m －1)(1－n )≤0.m ＋n －[]－mn ＋＝(m ＋1)(1＋n )≥0，即－(mn ＋1)≤m ＋n ≤mn ＋1，故|m ＋n |≤mn ＋1.3．(1)解：当a ＝2时，不等式可化为|x －2|＋|2x －5|≥6， ∴①⎩⎪⎨⎪⎧x ≥52，x －2＋2x －5≥6，或②⎩⎪⎨⎪⎧2≤x <52，x －2＋5－2x ≥6，或③⎩⎪⎨⎪⎧x <2，2－x ＋5－2x ≥6.由①，得x ≥133；由②，得x ∈∅；由③，得x ≤13.∴原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫133，＋∞. (2)证明：不等式f (x )≤4，即－4≤x －a ≤4， ∴a －4≤x ≤a ＋4.∴a －4＝－1，且a ＋4＝7.∴a ＝3.∴1s ＋8t ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1s ＋8t (2s ＋t )＝13⎝⎛⎭⎪⎫10＋t s ＋16s t ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋2t s ·16s t ＝6. 即1s ＋8t ≥6，当且仅当s ＝12，t ＝2时取等号． 4．证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设，得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c ⎝⎛当且仅当a ＝b ＝c ＝13时⎭⎫取等号 .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.5．(1)解：依题意，得f (x )＝|x ＋3|＋|x －1|≥|x ＋3－x ＋1|＝4，故m 的值为4. 当且仅当(x ＋3)(x －1)≤0，即－3≤x ≤1时等号成立，即x 的取值范围为[]－3，1.(2)证明：因为p 2＋2q 2＋r 2＝m ，所以(p 2＋q 2)＋(q 2＋r 2)＝4.因为p 2＋q 2≥2pq ，当且仅当p ＝q 时等号成立， q 2＋r 2≥2qr ，当且仅当q ＝r 时等号成立，所以(p 2＋q 2)＋(q 2＋r 2)＝4≥2pq ＋2qr .故q (p ＋r )≤2，当且仅当p ＝q ＝r 时等号成立．6．解：(1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥4 2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥2 6·ab ≥4 3.由于4 3>6，从而不存在a ，b ，使2a ＋3b ＝6.7．证明：(1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd ，得(a ＋b )2>(c ＋d )2.因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2.即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由(1)，得a ＋b >c ＋d .②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2. 即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |<|c －d |.综上所述，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．8．(1)解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2，得－2x <2.解得x >－1，∴－1<x ≤－12.当－12<x <12时，f (x )<2，∴－12<x <12.当x ≥12时，由f (x )<2，得2x <2.解得x <1，∴12≤x <1.∴f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)·(1－b 2)<0，即(a ＋b )2<(1＋ab )2. 因此|a ＋b |<|1＋ab |. 第2课时绝对值不等式1．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1. 解得1≤x ≤2.当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ，而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54，且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54. 2．(1)解：因为f (1)<3，所以|a |＋|1－2a |<3.①当a ≤0时，得－a ＋(1－2a )<3.解得a >－23.所以－23<a ≤0;②当0<a <12时，得a ＋(1－2a )<3.解得a >－2.所以0<a <12；③当a ≥12时，得a －(1－2a )<3.解得a <43.所以12≤a <43.综上所述，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，43. (2)证明：因为a ≥1，x ∈R, 所以f (x )＝|x ＋a －1|＋|x －2a | ≥|(x ＋a －1)－(x －2a )| ＝|3a －1|＝3a －1≥2.3．解：(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥2可化为|x ＋1|＋|2x －1|≥2.①当x ≥12时，不等式为3x ≥2，解得x ≥23.故x ≥23；②当－1≤x <12时，不等式为2－x ≥2，解得x ≤0.故－1≤x ≤0；③当x <－1时，不等式为－3x ≥2，解得x ≤－23.故x <－1.所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤0，或x ≥23. (2)因为f (x )≤2x 的解集包含⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，则当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，f (x )≤2x 恒成立．不等式可化为|x ＋a |≤1，解得－a －1≤x ≤－a ＋1.由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧－a －1≤12，－a ＋1≥1.解得－32≤a ≤0.所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0. 4．解：(1)①当x ≤－12时，－1－2x ＋x ≥2⇒x ≤－3，所以x ≤－3；②当－12<x <0时，2x ＋1＋x ≥2⇒x ≥13，所以为∅；③当x ≥0时，x ＋1≥2⇒x ≥1，所以x ≥1.综合①②③不等式的解集为(－∞，－3]∪[1，＋∞)． (2)若存在实数x ，使得f (x )≤|x |＋a ，即|2x ＋1|－2|x |≤2＋a ⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12－|x |≤1＋a 2. 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12－|x |min ≤1＋a 2，由绝对值的几何意义，得－12＝－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12－x ≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12－|x |≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12－x ＝12，只需－12≤1＋a2⇒a ≥－3.5．解：(1)因为f (a )≤2|1－a |，所以|1－a |＋|a －a 2|≤2|1－a |，即(|a |－1)|1－a |≤0. 当a ＝1时，不等式成立．当a ≠1时，|1－a |>0，则|a |－1≤0. 解得－1≤a <1.综上所述，实数a 的取值范围是{a |－1≤a ≤1}． (2)若关于x 的不等式f (x )≤1存在实数解，则f (x )min ≤1.又f (x )＝|x ＋1－2a |＋|x －a 2|≥|(x ＋1－2a )－(x －a 2)|＝(a －1)2，所以(a －1)2≤1，解得0≤a ≤2.所以实数a 的取值范围是{a |0≤a ≤2}． 6．解：(1)f (x )<3，即|x |＋|x －2|<3，原不等式可化为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，－2x ＋2<3，或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <2，2<3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x －2<3，解得－12<x ≤0或0<x <2或2≤x <52.∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <52. (2)f (x )＝|x |＋|x －2|≥|x －(x －2)|＝2，若关于x 的不等式f (x )<a 的解集不是空集，则a >2.∴实数a 的取值范围是(2，＋∞)．7．解：(1)依题意，有|2a －3|<|a |－(a －3)．若a ≥32，则2a －3<3.∴32≤a <3.若0<a <32，则3－2a <3.∴0<a <32.若a ≤0，则3－2a <－a －(a －3)，无解．综上所述，实数a 的取值范围为(0,3)．(2)由题意可知，当x ∈[－1,1]时，f (x )<g (x )恒成立， ∴|x ＋a |<3恒成立，即－3－x <a <3－x . 当x ∈[－1,1]时恒成立， ∴－2<a <2.8．解：(1)当a ＝－1时，不等式f (x )≥0可化为 |2x ＋1|－|x |－1≥0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－x ＋－－x －1≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x <0，x ＋－－x －1≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋－x －1≥0.解得x ≤－2，或x ≥0.∴不等式的解集为(－∞，－2]∪[0，＋∞)． (2)由f (x )＝2x ，得a ＝2x ＋|x |－|2x ＋1|. 令g (x )＝2x ＋|x |－|2x ＋1|，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1⎝⎛⎭⎪⎫x <－12，－x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x <0，x －x作出函数y ＝g (x )的图象，如图D188，图D188易知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，B (0，－1)，结合图象知，当－1<a <－12时，函数y ＝a 与y ＝g (x )的图象有三个不同的交点，即方程f (x )＝2x 有三个不同的解．∴实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12.。

【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)：单元评估检测9 算法初步

单元评估检测(九) 算法初步、统计与统计案例概率(120分钟 150分) (对应学生用书第302页)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·晋城模拟)抛掷两颗质地均匀的骰子，则向上的点数之积为6的概率等于( ) A ．118B ．19 C ．16D ．536B2．(2017·益阳模拟)某公司2010—2015年的年利润x (单位：百万元)与年广告支出y (单位：百万元)的统计资料如表所示：A ．利润中位数是16，x 与y 有正线性相关关系B ．利润中位数是17，x 与y 有正线性相关关系C ．利润中位数是17，x 与y 有负线性相关关系D ．利润中位数是18，x 与y 有负线性相关关系 B3．从1,2,3,4这四个数字中依次取(不放回)两个数a ，b ，使得a 2≥4b 的概率是( ) 【导学号：00090404】A ．13B ．512C ．12D ．712C4．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝－2a n (n ∈N *)．若从数列{a n }的前10项中随机抽取一项，则该项不小于8的概率是 ( ) A ．310B ．25C ．35D ．710B5．(2017·石家庄模拟)如图1给出了一种植物生长时间t (月)与枝数y (枝)之间的散点图．请你据此判断这种植物生长的时间与枝数的关系用下列哪种函数模型拟合最好？( )图1A ．指数函数y ＝2tB ．对数函数y ＝log 2tC ．幂函数y ＝t 3D ．二次函数y ＝2t 2A6．在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的5个小球，这些小球除标注的数字外其他特征完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是 ( ) A ．110B ．310C ．25D ．14C7．随着网络的普及，人们的生活方式正在逐步改变．假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00－7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30－7：30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是 ( )【导学号：00090405】A ．18B ．58C ．12D ．78 D8．分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m >n 的概率为( )A ．710B ．310C ．35D ．25A9．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为 ( ) A ．16B ．13 C ．23D ．45C10．(2017·福州模拟)若自然数n 使得加法n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)产生进位现象，则称n 为“先进数”，例如：4是“先进数”，因4＋5＋6产生进位现象，2不是“先进数”，因2＋3＋4不产生进位现象，那么，小于100的自然数是“先进数”的概率为 ( ) A ．0.10 B ．0.90 C ．0.89 D ．0.88 D11．(2017·六安模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ＋12≥0表示的区域为Ω，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2≤14表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机投入360粒芝麻，则落在区域Γ中的芝麻数为( ) A ．150 B ．114 C ．70 D ．50B12．集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，x ＋y －1≥0，x ∈N ，y ∈N，集合B ＝{(x ，y )|y ≤－x ＋5，x ∈N ，y ∈N }．先后掷两颗骰子，设掷第一颗骰子得到的点数记作a ，掷第二颗骰子得到的点数记作b ，则(a ，b )∈A ∩B 的概率等于( ) A ．14B ．29C ．736D ．536B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．执行如图2所示的算法框图，若输入x ＝10，则输出y 的值为________．图2－5414．某品牌洗衣机专卖店在国庆期间举行了八天的促销活动，每天的销售量(单位：台)茎叶图如图3，则销售量的中位数是________．图31515．(2017·襄阳模拟)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为________． 1316．现有4名学生A ，B ，C ，D 平均分乘两辆车，则“A ，B 两人恰好乘坐同一辆车”的概率为________． 13三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2017·武汉模拟)某学校甲、乙两个班各派10名同学参加英语口语比赛，并记录他们的成绩，得到如图4所示的茎叶图．现拟定在各班中分数超过本班平均分的同学为“口语王”．图4(1)记甲班“口语王”人数为m ，乙班“口语王”人数为n ，比较m ，n 的大小． (2)求甲班10名同学口语成绩的方差．[解] (1)由茎叶图可得出甲、乙所对应的各个数据．因为x 甲＝60＋72＋75＋77＋80＋80＋84＋88＋91＋9310＝80，所以m ＝4；x 乙＝61＋64＋70＋72＋73＋85＋86＋88＋97＋9410＝79，所以n ＝5.所以m ＜n . (2)甲班10名同学口语成绩的方差s 2＝110[(60－80)2＋(72－80)2＋(75－80)2＋(77－80)2＋(80－80)2＋(80－80)2＋(84－80)2＋(88－80)2＋(91－80)2＋(93－80)2]＝110(202＋82＋52＋32＋42＋82＋112＋132)＝86.8.18．(12分)20名同学某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图5：图5(1)求频率分布直方图中a 的值．(2)分别求出成绩落在[50,60)，[60,70)中的学生人数．(3)从成绩在[50,70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60,70)中的概率．【导学号：00090406】[解] (1)据直方图知组距为10，由 (2a ＋3a ＋6a ＋7a ＋2a )×10＝1，解得a ＝1200＝0.005. (2)成绩落在[50,60)中的学生人数为 2×0.005×10×20＝2，成绩落在[60,70)中的学生人数为 3×0.005×10×20＝3.(3)记成绩落在[50,60)中的2人为A 1，A 2，成绩落在[60,70)中的3人为B 1，B 2，B 3，则从成绩在[50,70)的学生中选2人的基本事件共有10个：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)．其中2人的成绩都在[60,70)中的基本事件有3个：(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)．故所求概率为P ＝310.19．(12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率．(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率．[解] (1)从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个：1和2,1和3，所以取出的球的编号之和不大于4的概率P ＝13.(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，所有(m ，n )有4×4＝16种，而n ≥m ＋2有1和3,1和4,2和4三种结果，所以所求概率P ＝1－316＝1316.20．(12分)近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．是否能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？ χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋dχ2的观测值k ＝120×80×150×50≈11.111＞10.828，可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关．21．(12分)2016年“十一”长假期间，中国楼市迎来新一轮的收紧调控大潮．自9月30日起直至黄金周结束，北京、广州、深圳、苏州、合肥等19个城市8天内先后出台楼市调控政策．某银行对该市最近5年住房贷款发放情况(按每年6月份与前一年6月份为1年统计)作了统计调查，得到如下数据：(1)试求z ′x ＋a ′. (2)利用(1)中所求的线性回归方程估算2017年房贷发放数额.【导学号：00090407】[解] (1)计算得t ＝3，z ＝2.2，∑5i ＝1t 2i ＝55，∑5i ＝1t i z i ＝45，所以b ＝45－5×3×2.255－5×32＝1.2，a ＝2.2－1.2×3＝－1.4，所以z ＝1.2t －1.4.注意到t ＝x －2 011，z ＝(y －50)÷10，代入z ＝1.2t －1.4，整理得y ＝12x －240 96.(2)当x ＝2 017时，y ＝108，即2017年房贷发放的实际值约为108亿元． 22．(12分)为考虑某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：图6现从所有实验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为25.(1)求2×2列联表中的数据x ，y ，A ，B 的值． (2)绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效． (3)在犯错误的概率不超过多少的前提下认为疫苗有效？附：χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d[解] (1)M .由已知得P (M )＝y ＋30100＝25，所以y ＝10，所以B ＝40，x ＝40，A ＝60.(2)依题意得，未注射疫苗发病率为4060＝23，注射疫苗发病率为1040＝14.发病率的条形统计图如图所示，由图可以看出疫苗影响到发病率，故疫苗有效．(3)依题意得：χ2的观测值k ＝－260×40×50×50＝503≈16.667＞10.828. 所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为疫苗有效．。

【高考汇编】2019届高三一轮文科数学：课时跟踪检测汇编295页(含答案解析)

2019届高三一轮文科数学：课时跟踪检测汇编目录2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：1-1集合Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：1-2命题及其关系、充分条件与必要条件Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：1-3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-1任意角和弧度制及任意角的三角函数Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-2同角三角函数的基本关系与诱导公式Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-3三角函数的图象与性质Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-4函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-5三角恒等变换Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-6正弦定理和余弦定理Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-7正弦定理和余弦定理的应用Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：4-1平面向量的概念及其线性运算Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：4-2平面向量的基本定理及坐标表示Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：4-3平面向量的数量积与平面向量应用举例Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：4-4数系的扩充与复数的引入Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：5-1数列的概念与简单表示法Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：5-2等差数列及其前n项和Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：5-3等比数列及其前n项和Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：5-4数列求和Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-1不等关系与不等式Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-2一元二次不等式及其解法Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-3二元一次不等式（组）及其简单的线性规划问题Word 版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-4基本不等式Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-5合情推理与演绎推理Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-6直接证明与间接证明Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-1空间几何体的结构特征及三视图与直观图Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-2空间几何体的表面积与体积Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-3空间点、线、面之间的位置关系Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-4直线、平面平行的判定及性质Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-5直线、平面垂直的判定及性质Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-1直线的倾斜角与斜率、直线的方程Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-2两条直线的位置关系Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-3圆的方程Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-4直线与圆、圆与圆的位置关系Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-5椭圆Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-6双曲线Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-7抛物线Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-8圆锥曲线的综合问题Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：9-1随机事件的概率Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：9-2古典概型Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：9-3几何概型Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：10-1算法初步Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：10-2随机抽样Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：10-3用样本估计总体Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：10-4变量间的相关关系、统计案例Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：选修4-4-1坐标系Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：选修4-4-2参数方程Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：选修4-5-1绝对值不等式Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：选修4-5-2不等式的证明Word版含解析[课时跟踪检测] [基础达标]1．(2017届河北石家庄二模)设集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－x <6}，则下列结论正确的是( ) A ．N ⊆M B ．M ∩N ＝∅ C ．M ⊆ND ．M ∩N ＝R解析：M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－x <6}＝{x |－2<x <3}，则M ⊆N ，故选C. 答案：C2．(2018届安徽六安质检)集合A ＝{x |x －2<0}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，＋∞) C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞)解析：由题意，得A ＝{x |x <2}．又因为A ∩B ＝A ，所以A ⊆B .又因为B ＝{x |x <a }，所以a ≥2，故选D. 答案：D3．(2017届河北唐山二模)集合M ＝{2，log 3a }，N ＝{a ，b }，若M ∩N ＝{1}，则M ∪N ＝( ) A ．{0,1,2} B ．{0,1,3} C ．{0,2,3}D ．{1,2,3}解析：因为M ∩N ＝{1}，所以log 3a ＝1，即a ＝3，所以b ＝1，即M ＝{2,1}，N ＝{3,1}，所以M ∪N ＝{1,2,3}，故选D.答案：D4．(2017届四川泸州一模)已知集合A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |log 2x >1}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(－2,2] B ．(－2,1] C ．(0,3)D ．(1,3)解析：∵集合B ＝{x |log 2x >1}＝(2，＋∞)，∴∁R B ＝(－∞，2]．∵集合A ＝{x |－2<x <3}＝(－2,3)，∴A ∩(∁R B )＝(－2，2]，故选A.答案：A5．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：∵32－x ∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3.又∵x ∈Z ，∴x 值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4.答案：C6．(2018届邯郸质检)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2>4}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ x ⎪⎪⎪x ＋3x －1 ≤0，则(∁U A )∩B 等于( ) A ．{x |－2≤x <1}B ．{x |－3≤x <2}C ．{x |－2≤x <2}D ．{x |－3≤x ≤2}解析：∵全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2>4}＝{x |x >2或x <－2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ x ⎪⎪⎪x ＋3x －1 ≤0＝{x |－3≤x <1}，∴∁U A ＝{x |－2≤x ≤2}，∴(∁U A )∩B ＝{x |－2≤x <1}．故选A. 答案：A7．(2017届江西南昌模拟)已知集合M ＝{x |x 2－4x <0}，N ＝{x |m <x <5}，若M ∩N ＝{x |3<x <n }，则m ＋n 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：由x 2－4x <0得0<x <4，所以M ＝{x |0<x <4}．又因为N ＝{x |m <x <5}，M ∩N ＝{x |3<x <n }，所以m ＝3，n ＝4，则m ＋n ＝7.答案：C8．设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9<0}，B ＝{x |－1<x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝________. 解析：由题意知，A ＝{x |x 2－9<0}＝{x |－3<x <3}， ∵B ＝{x |－1<x ≤5}，∴∁R B ＝{x |x ≤－1或x >5}．∴A ∩(∁R B )＝{x |－3<x <3}∩{x |x ≤－1或x >5}＝{x |－3<x ≤－1}．答案：{x |－3<x ≤－1}9．(2017届福建泉州二模)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝________.解析：∵B ∩(∁U A )＝∅，∴B ⊆A .∵A ＝{－1,2}，∴根据题意知B ＝∅或{－1}或{2}．若B ＝∅，则m ＝0；若B ＝{－1}，则m ＝1；若B ＝{2}，则m ＝－12.答案：0或1或－1210．已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]11．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }． (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)因为A ∩B ＝[0,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3.所以m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}，因为A ⊆∁R B ，所以m －2>3或m ＋2<－1，即m >5或m <－3.因此实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)． 12．设集合A ＝{x |(x －2m ＋1)(x －m ＋2)<0}，B ＝{x |1≤x ＋1≤4}． (1)若m ＝1，求A ∩B ；(2)若A ∩B ＝A ，求实数m 的取值集合．解：集合B ＝{x |0≤x ≤3}．(1)若m ＝1，则A ＝{x |－1<x <1}，则A ∩B ＝{x |0≤x <1}． (2)∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B .当A ＝∅即m ＝－1时，A ∩B ＝A ；当A ≠∅即m ≠－1时，(ⅰ)当m <－1时，A ＝(2m －1，m －2)，要使得A ⊆B ，只要⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1≥0，m －2≤3，⇒12≤m ≤5，所以m 的值不存在．(ⅱ)当m >－1时，A ＝(m －2,2m －1)，要使得A ⊆B ，只要⎩⎪⎨⎪⎧m －2≥0，2m －1≤3，⇒m ＝2.综上，m 的取值集合是{－1,2}．13．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪132≤2－x≤4，B ＝{x |x 2＋2mx －3m 2<0}(m >0)． (1) 若m ＝2，求A ∩B ；(2) 若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解：集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，因为m >0，所以B ＝(－3m ，m )． (1)m ＝2时，B ＝{x |－6<x <2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ＜2}． (2)要使B ⊆A ，只要⎩⎪⎨⎪⎧－3m ≥－2，m ≤5⇒m ≤23，所以0＜m ≤23，综上，知m 的取值范围是0<m ≤23.[能力提升]1．(2018届河南开封月考)设全集U ＝R ，A ＝{x |2x (x－2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}解析：易知A ＝{x |2x (x－2)<1}＝{x |x (x －2)<0}＝{x |0<x <2}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |1－x >0}＝{x |x <1}，则∁U B ＝{x |x ≥1}，阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}．答案：B2．(2017届辽宁大连三模)已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝lg x }，B ＝{(x ，y )|x ＝a }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．a <1B ．a ≤1C ．a <0D ．a ≤0解析：因为y ＝lg x 的定义域为{x |x >0}，依题意知，对数函数y ＝lg x 的图象与直线x ＝a 没有交点，所以a ≤0.答案：D3．(2017届山东潍坊模拟)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .则集合A ＝________.(用列举法表示)解析：(1)若a 1∈A ，由①可知a 2∈A ，又A 中只有两个元素，所以a 3∉A ，此时与②矛盾，所以a 1∉A .(2)若a 2∈A ，那么由②可得a 3∈A ，此时a 4∉A ，满足题设条件，所以{a 2，a 3}是一个满足条件的A .(3)若a 2∉A ，由于集合A 中只有两个元素，那么集合A 只可能是{a 3，a 4}，而这与③矛盾．故集合A ＝{a 2，a 3}．答案：{a 2，a 3}4．已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}． (2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m >2m ，2m ≤1，1－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m <1－m ，即m <13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，得0≤m <13或∅，即0≤m <13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．[课时跟踪检测][基础达标]1．(2018届邯郸质检)“x >3”是“1x <13”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：“x >3”⇒“1x <13”；反之不成立，例如取x ＝－1.因此“x >3”是“1x <13”的充分不必要条件．故选A.答案：A2．已知集合A ＝{1，m 2＋1}，B ＝{2,4}，则“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若A ∩B ＝{4}，则m 2＋1＝4，∴m ＝±3，故“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件．答案：A3．(2017届山东重点中学模拟)已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定解析：命题p ：“正数a 的平方不等于0”写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题．答案：B4．命题p ：“若x 2<1，则x <1”的逆命题为q ，则p 与q 的真假性为( ) A ．p 真q 真 B ．p 真q 假 C ．p 假q 真D ．p 假q 假解析：q ：若x <1，则x 2<1.令x ＝－2，∴x 2＝4，∴q 假． ∵p ：x 2<1，则－1<x <1，∴p 真，故选B. 答案：B5．(2018届鹤壁模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，使tan x 0＝1，命题q ：∀x ∈R ，x 2>0，下面结论正确的是( ) A ．命题“p ∧q ”是真命题 B ．命题“p ∧綈q ”是假命题 C ．命题“綈p ∧q ”是真命题 D ．命题“綈p ∧綈q ”是假命题解析：因为tan45°＝1，所以p ：∃x 0∈R ，使tan x 0＝1是真命题，所以綈p 是假命题．因为x ＝0，x 2＝0，所以命题q ：∀x ∈R ，x 2>0是假命题，所以綈q 是真命题，所以p ∧q 是假命题，綈p ∧q 是假命题，綈p ∧綈q 是假命题，故选择D.答案：D6.(2017届江西新余调研)设p ：∀x ∈R ，x 2－4x ＋m >0；q ：函数f (x )＝－13x 3＋2x 2－mx －1在R 上是减函数，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若p 为真，则Δ＝16－4m <0，解得m >4；若q 为真，则f ′(x )＝－x 2＋4x －m ≤0在R 上恒成立，则Δ＝16－4m ≤0，解得m ≥4，所以p 是q 的充分不必要条件．答案：A7．(2018届河北唐山二模)已知a ，b 为实数，则“a 3<b 3”是“2a <2b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：由于函数y ＝x 3，y ＝2x 在R 上单调递增，所以a 3<b 3⇔a <b ⇔2a <2b ，即“a 3<b 3”是“2a <2b ”的充要条件．答案：C8．(2017届河南三市调研)若x ，y ∈R ，则x >y 的一个充分不必要条件是( ) A ．|x |>|y | B ．x 2>y 2 C.x >yD ．x 3>y 3解析：由|x |>|y |，x 2>y 2未必能推出x >y ，排除A 、B ；由x >y 可推出x >y ，反之，未必成立，而x 3>y 3是x >y 的充要条件，故选C.答案：C9．(2017届浙江宁波一模)若“x >1”是“不等式2x >a －x 成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．a >3B ．a <3C ．a >4D ．a <4解析：若2x >a －x ，即2x ＋x >a .设f (x )＝2x ＋x ，则函数f (x )为增函数．由题意知“2x ＋x >a 成立，即f (x )>a 成立”能得到“x >1”，反之不成立．因为当x >1时，f (x )>3，所以a >3.答案：A10．(2018届河北唐山月考)已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是________．解析：p ：由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1.由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．又q ：x >a ，故a ≥1.答案：[1，＋∞)11．(2017届河南濮阳第二次检测)若“m >a ”是“函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ＋m －13的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为________．解析：由于f (0)＝m ＋23，因为函数y ＝f (x )的图象不过第三象限，所以m ＋23≥0，即m ≥－23.由于“m >a ”是“m ≥－23”的必要不充分条件，因此a <－23，故实数a 能取的最大整数为－1.答案：－112．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 13．(2018届江西九江地区高三七校联考)命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax －1<0，命题q ：3a －1＋1<0.(1)若“p 或q ”为假命题，求实数a 的取值范围；(2)若“綈q ”是“a ∈[m ，m ＋1]”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：(1)关于命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax －1<0， a >0时，显然不成立，a ＝0时成立，a <0时只需Δ＝a 2＋4a <0即可，解得－4<a <0，故p 为真时，a ∈(－4,0]；关于命题q ：3a －1＋1<0，解得－2<a <1，命题“p 或q ”为假命题，即p ，q 均为假命题，则a ≤－4或a ≥1.(2)綈q ：a ≤－2或a ≥1，所以m ＋1≤－2或m ≥1，所以m ≤－3或m ≥1.14．已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．求： (1)若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围； (2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件；(3)若綈p 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：(1)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件． (2)若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S .∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9.即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，(3)P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且SP ，∴[－2,10][1－m,1＋m ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)． [能力提升]1．(2017届济南模拟)若a ＝log 2x ，b ＝2x ，则“a >b ”是“x >1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：函数a ＝log 2x ，b ＝2x的图象如图所示，由图象可知，若a >b ，则x >2，即x >1成立，反之，若x >1，当x ＝32时，a <b .答案：A2．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0. 答案：[－3,0]3．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }，∵β：|x －1|<1，∴0<x <2，∴β可看作集合B ＝{x |0<x <2}．又∵α是β的必要不充分条件，∴B A ，∴a ≤0. 答案：(－∞，0]4．已知命题p ：|x －2|<a (a >0)，命题q ：|x 2－4|<1，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：由题意p ：|x －2|<a ⇔2－a <x <2＋a ，q ：|x 2－4|<1⇔－1<x 2－4<1⇔3<x 2<5⇔－5<x <－3或3<x < 5. 又由题意知p 是q 的充分不必要条件，所以有⎩⎨⎧－5≤2－a ，2＋a ≤－3，a >0，①或⎩⎨⎧3≤2－a ，2＋a ≤5，a >0，②由①得a 无解；由②解得0<a ≤2－ 3.[课时跟踪检测][基础达标]1．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＝2－x ，若命题(綈p )∧q 为真命题，则x 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－2解析：∵綈p ：∃x 0∈R,2x 0≥3x 0，要使(綈p )∧q 为真，∴綈p 与q 同时为真．由2x ≥3x 得⎝⎛⎭⎫23x≥1，∴x ≤0. 由x 2＝2－x 得x 2＋x －2＝0，∴x ＝1或x ＝－2，又x ≤0，∴x ＝－2. 答案：D2．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解析：由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③綈q 为真命题，则p ∧(綈q )为真命题；④綈p 为假命题，则(綈p )∨q 为假命题，故选C答案：C3．设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则綈p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2>2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2n C ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n解析：因为特称命题的否定是全称命题，所以綈p ：∀n ∈N ，n 2≤2n . 答案：C4．(2017届湖北荆州一模)命题“自然数的平方大于零”的否定是( ) A ．∃x ∈Z ，x 2≤0 B ．∀x ∈N ，x 2≤0 C ．∃x ∈N ，x 2≤0D ．∃x ∈N ，x 2＜0解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“自然数的平方大于零”的否定是：∃x ∈N ，x 2≤0.故选C.答案：C5．命题p ：若a <b ，则ac 2<bc 2；命题q ：∃x 0>0，使得x 0－1－ln x 0＝0，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧qB ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q )解析：命题p ：若a <b ，则ac 2<bc 2，c ＝0时不成立，因此是假命题；命题q ：取x 0＝1，满足x 0－1－ln x 0＝0，因此是真命题；则为真命题的是(綈p )∧q ，故选C.答案：C6．(2017届河北唐山质检)命题p ：若sin x >sin y ，则x >y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( ) A ．p 或q B ．p 且q C ．qD ．綈p解析：取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 不正确；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 正确，故綈p 为真命题，p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，故选B.答案：B7．(2018届河北衡水中学调研)已知命题p ：方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根；命题q ：函数f (x )＝x ＋4x的最小值为4.给出下列命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨(綈q )．则其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4解析：由于Δ＝4a 2＋4>0，所以方程x 2－2ax －1＝0有上实数根，即命题p 是真命题；当x <0时，f (x )＝x ＋4x的值为负值，故命题q 为假命题，所以p ∨q ，p ∨(綈q )，(綈p )∨(綈q )是真命题，故选C.答案：C8．(2017届辽宁大连二模)命题p ：“∃x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π4，sin2x 0＋cos2x 0>a ”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a <1B ．a < 2C ．a ≥1D ．a ≥ 2解析：依题意，命题p 的否定綈p ：“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，sin2x ＋cos2x ≤a ”应为真命题，即∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，sin2x ＋cos2x ≤a 恒成立，而sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈[1， 2 ]，所以实数a 的取值范围是a ≥ 2. 答案：D9．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2 C ．∃x 0∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 20 D ．∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 20解析：原命题是全称命题，条件为“∀x ∈R ”，结论为“∃n ∈N *，使得n ≥x 20”，其否定形式为特称命题，条件中改量词，并否定结论，只有D 选项符合．答案：D10．已知命题p ：方程x 2－mx ＋1＝0有实数解，命题q ：x 2－2x ＋m >0对任意x 恒成立．若命题q ∨(p ∧q )真、綈p 真，则实数m 的取值范围是________．解析：由于綈p 真，所以p 假，则p ∧q 假，又q ∨(p ∧q )真，故q 真，即命题p 假、q 真．当命题p 假时，即方程x 2－mx ＋1＝0无实数解，此时m 2－4<0，解得－2<m <2；当命题q 真时，4－4m <0，解得m >1. 所以实数m 的取值范围是1<m <2. 答案：(1,2)11．(2017届山东青岛模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，使tan x 0＝1；命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，现有以下结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且綈q ”是假命题；③命题“綈p 或q ”是真命题；④命题“綈p 或綈q ”是假命题．其中正确结论的序号为________．(写出所有正确结论的序号)解析：当x 0＝π4时，tan x 0＝1，所以命题p 为真；不等式x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，所以命题q也为真，故命题“p 且q ”是真命题，①正确；命题“p 且綈q ”是假命题，②正确；命题“綈p 或q ”是真命题，③正确；命题“綈p 或綈q ”是假命题，④正确．答案：①②③④12．(2018届山东潍坊质检)已知命题p ：∀x >0,2ax －ln x ≥0.若命题p 的否定是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：命题p 的否定是：∃x 0>0,2ax 0－ln x 0<0，即不等式2ax －ln x <0有解．而不等式2ax －ln x <0可化为2a <ln x x ，令g (x )＝ln x x ，则g ′(x )＝1－ln x x 2，可得g (x )在x ＝e 处取得最大值1e ，因此要使不等式2a <ln xx 有解，只需2a <1e ，即a <12e.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，12e 13．(2017届湖北百所重点校高三联考)已知函数f ()x ＝log 0.3()4x －1的定义域为A ，m >0，函数g ()x ＝4x－1()0<x ≤m 的值域为B .(1)当m ＝1时，求()∁R A ∩B ；(2)是否存在实数m ，使得A ＝B ？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x －1>0，log 0.3(4x －1)≥0，解得14<x ≤12，即A ＝⎝⎛⎦⎤14，12. 当m ＝1时，因为0<x ≤1，所以14<4x －1≤1，即B ＝⎝⎛⎦⎤14，1，所以(∁R A )∩B ＝⎝⎛⎦⎤12，1. (2)因为B ＝⎝⎛⎦⎤14，4m －1，若存在实数m ，使A ＝B ，则必有4m －1＝12，解得m ＝12，故存在实数m ＝12，使得A ＝B .14．已知命题p ：∃x 0∈[0,2]，log 2(x ＋2)<2m ；命题q ：关于x 的方程3x 2－2x ＋m 2＝0有两个相异实数根．(1)若(綈p )∧q 为真命题，求实数m 的取值范围；(2)若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围．解：对于命题p ：f (x )＝log 2(x ＋2)，则f (x )在[0,2]上是增函数，故当x ∈[0,2]时，f (x )的最小值为f (0)＝1，若p 为真命题，则2m >1，∴m >12.对于命题里q ，Δ＝4－12m 2>0即m 2<13时，方程3x 2－2x ＋m 2＝0有两相异实数根，∴－33<m <33.(1)若(綈p )∧q 为真，则实数m 满足⎩⎨⎧m ≤12，－33<m <33，故－33<m ≤12，即实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－32，12. (2)若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则p 、q 一真一假，若p 真q 假，则实数m 满足⎩⎨⎧m >12，m ≤－33或m ≥33，即m ≥33；若p 假q 真，则实数m 满足⎩⎨⎧m ≤12，－33<m <33，即－33<m ≤12. 综上所述，实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－33，12∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞.15．已知m ∈R ，命题p ：对∀x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：∃x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当a ＝1时，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求m 的取值范围．解：(1)设y ＝2x －2，则y ＝2x －2在[0,1]上单调递增， ∴y min ＝－2.∵对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立，∴m 2－3m ≤－2，即m 2－3m ＋2≤0，解得1≤m ≤2. ∴m 的取值范围为[1,2]．(2)a ＝1时，y ＝2x 在区间[－1,1]上单调递增，∴y max ＝2. ∵存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立，∴m ≤1. ∵p ∧q 假，p ∨q 为真，∴p 与q 一真一假，①当p 真q 假时，可得⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤2，m >1，解得1＜m ≤2；②当p 假q 真时，可得⎩⎪⎨⎪⎧m <1或m >2，m ≤1，解得m <1.综上可得1＜m ≤2或m ＜1.∴实数m 的取值范围是(－∞，1)∪(1,2]．[能力提升]1．(2017届江西南昌二模)命题“∀x >0，xx －1>0”的否定是( )A ．∃x 0<0，x 0x 0－1≤0 B ．∃x 0>0,0≤x 0≤1C ．∀x >0，xx －1≤0D ．∀x <0,0≤x ≤1解析：命题“∀x >0，x x －1>0”的否定是“∃x 0>0，x 0x 0－1≤0或x 0＝1”，即“∃x 0>0,0≤x 0≤1”，故选B.答案：B2．(2018届山东临沂调研)下列命题中，真命题是( ) A ．存在x 0∈R ，sin 2x 02＋cos 2x 02＝12B ．任意x ∈(0，π)，sin x >cos xC ．任意x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>xD ．存在x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1解析：对于A 选项，∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝1，故A 为假命题；对于B 选项，存在x ＝π6，sin x ＝12，cos x＝32，sin x <cos x ，故B 为假命题；对于C 选项，x 2＋1－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0恒成立，C 为真命题；对于D 选项，x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0恒成立，不存在x 0∈R ，使x 20＋x 0＝－1成立，故D 为假命题．答案：C3．(2017届湖北百校联考)已知命题p ：对任意x ∈(0，＋∞)，log 4x <log 8x ；命题q ：存在x 0∈R ，使得tan x 0＝1－3x 0，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧(綈q )C ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧q解析：当x ＝1时，log 4x ＝log 8x ，所以命题p 是假命题；函数y ＝tan x 的图象与y ＝1－3x 的图象有无数个交点，所以存在x 0∈R ，使得tan x 0＝1－3x 0，即命题q 是真命题，故(綈p )∧q 是真命题，选D.答案：D4．(2017届河南安阳模拟)已知命题p：∃m∈R，m＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为________．解析：命题p是真命题时，m≤－1，命题q是真命题时，Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2，所以p∧q是真命题时，－2<m≤－1.答案：{m|m≤－2或m>－1}[课时跟踪检测][基础达标]1．与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )解析：与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )且角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确．答案：C2．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( ) A ．sin α＋cos α<0 B ．tan α－sin α<0 C ．cos α－tan α<0D ．tan αsin α<0解析：在第三象限，sin α<0，cos α<0，tan α>0，则可排除A 、C 、D 三项．答案：B3．已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a <0)，则2sin α＋cos α的值为( ) A ．－25B.25 C ．0D.25或－25解析：因为x ＝－4a ，y ＝3a ，a <0，所以r ＝－5a ，所以sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35＋45＝－25.故选A. 答案：A4．sin1，cos1，tan1的大小关系是( ) A ．sin1<cos1<tan1 B ．tan1<sin1<cos1 C ．cos1<tan1<sin1D ．cos1<sin1<tan1解析：如图，单位圆中∠MOP ＝1 rad>π4 rad.因为OM <22<MP <AT ，所以cos1<sin1<tan1.故选D.答案：D5．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )A.π3B.π6 C ．－π3D ．－π6解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确；又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周角的16，即为－16×2π＝－π3.答案：C6．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则sin α等于( ) A ．sin2 B ．－sin2 C ．cos2D ．－cos2解析：因为r ＝(2sin2)2＋(－2cos )2＝2，由任意角三角函数的定义得sin α＝yr ＝－cos2.答案：D7．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫αk π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样．答案：C8．已知点A 的坐标为(43，1)，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )A.332B.532C.112D.132解析：设OA 的倾斜角为α，B (m ，n )(m ＞0，n ＞0)，则OB 的倾斜角为π3＋α.因为A (43，1)，所以tan α＝143，tan ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝n m ， n m ＝3＋1431－3×143＝1333，即m 2＝27169n 2，因为m 2＋n 2＝(43)2＋12＝49，所以n 2＋27169n 2＝49，所以n ＝132或n ＝－132(舍去)，所以点B 的纵坐标为132.答案：D9．某扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r 3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝⎛⎭⎫2r 32πr 2＝527，∴α＝5π6. ∴扇形的弧长与圆周长之比为l c ＝5π6·23r 2πr ＝518.答案：51810．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为____________．解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22，根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈⎝⎛⎭⎫π4，5π4.答案：⎝⎛⎭⎫π4，5π411．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径为6. (1)求AB ；(2)求这个扇形所含的弓形的面积．解：(1)∵120°＝23π rad ，∴AB ＝23π×6＝4π.(2)S 弓＝S 扇－S △AOB ＝12×6×4π－12×63×3 ＝12π－9 3.12．若角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α＋cos α的值．解：在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则|OP |＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |，当t >0时，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，sin α＋cos α＝15；当t <0时，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，sin α＋cos α＝－15.综上得sin α＋cos α的值为±15.13．已知α为第四象限角，cos α＝1213，求sin α，tan α的值．解：∵α为第四象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－513.∴tan α＝sin αcos α＝－512.[能力提升]1．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y ＝－1＋1－1＝－1. 答案：B2．已知sin α<0，tan α>0. (1)求α角的集合； (2)求α2角终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α>0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限；其集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2角终边在第二、四象限． (3)当α2角在第二象限时，tan α2<0，sin α2>0，cos α2<0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0，sin α2<0，cos α2>0，所以tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．[课时跟踪检测][基础达标]1．tan ⎝⎛⎭⎫－233π的值为( ) A.3 B ．－ 3 C.33D ．－33解析：tan ⎝⎛⎭⎫－233π＝tan ⎝⎛⎭⎫－8π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案：A2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3解析：因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝ 3. 因为|θ|<π2，所以θ＝π3.答案：D3．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：因为tan(α－π)＝34，所以tan α＝34.又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45. 答案：B4．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝( ) A.223B ．－223C.13D ．－13解析：cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13. 答案：D5．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，若f (2 016)＝5，则f (2 017)的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：∵f (2 016)＝5，∴a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＋4＝5，即a sin α＋b cos β＝1.∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－1＋4＝3.答案：B6．已知sin α＋3cos α＋1＝0，则tan α的值为( ) A.43或34 B ．－34或－43C.34或－43D ．－43或不存在解析：由sin α＝－3cos α－1，可得(－3cos α－1)2＋cos 2α＝1，即5cos 2α＋3cos α＝0，解得cos α＝－35或cos α＝0，当cos α＝0时，tan α的值不存在；当cos α＝－35时，sin α＝－3cos α－1＝45，tan θ＝sin αcos α＝－43，故选D.答案：D7．已知sin(3π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α，则sin αcos α＝________. 解析：∵sin(3π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α， ∴sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2，∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－2(－2)2＋1＝－25. 答案：－258．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos θ＝________. 解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ. 又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，又∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos θ＝55. 答案：559．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝⎛⎭⎫－4π3的值是________．解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π－π6·tan －π－π3＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·⎝⎛⎭⎫－tan π3＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32×(－3)＝－334.答案：－33410．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin2α.解：由已知得，sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.11．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π)＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－tan α)·sin α＝－cos α.(2)因为cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，所以－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.12．已知△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．解：(1)因为sin A ＋cos A ＝15，①所以两边平方得1＋2sin A cos A ＝125，所以sin A cos A ＝－1225.(2)由sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π，可知cos A <0，所以A 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．(3)因为(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A >0，cos A <0，所以sin A －cos A >0，所以sin A －cos A ＝75，②所以由①②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，所以tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.[能力提升]1．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析：sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋cos 290°＝44＋12＋1＝912. 答案：9122．已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z )．(1)化简f (x )的表达式； (2)求f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009的值．解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时， f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时， f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ，综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009 ＝sin 2π2 018＋sin 21 008π2 018＝sin 2π2 018＋sin 2⎝⎛⎭⎫π2－π2 018 ＝sin 2π2 018＋cos 2π2 018＝1.[课时跟踪检测][基础达标]1．y ＝|cos x |的一个单调增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π 解析：将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的图象做关于x 轴的对称，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.答案：D2．设偶函数f (x )的部分图象如图所示，△KML 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为( )A ．－34 B ．－14 C ．－12 D.34解析：由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cosπx ，故f ⎝⎛⎭⎫16＝12cos π6＝34. 答案：D3．关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3，下列说法正确的是( ) A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递减 C.⎝⎛⎭⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π解析：函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错；在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π6，当k ＝0时，x ＝π6，所以它的图象关于⎝⎛⎭⎫π6，0对称，故选C. 答案：C4．(2017届河南中原名校模拟)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中0<φ<2π，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，则φ等于( )A.π6 B.5π6 C.7π6D.11π6解析：若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于函数的最大值或最小值，即2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋π6，k ∈Z ，又f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，即sin φ<0，又0<φ<2π，所以π<φ<2π.所以当k ＝1时，此时φ＝7π6，满足条件．答案：C5．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎣⎡⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：由π2<x <π，ω>0得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意结合选项知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2，所以⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，所以12≤ω≤54.答案：A6．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0D ．－2或0解析：因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.答案：B7．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2。

2019届高三一轮文科数学课件：10.1-算法初步(含答案)

答案：A
3．如图所示的程序框图的运行结果为________．
2 4 解析：因为 a＝2，b＝4，所以输出 S＝＋＝2.5. 4 2
答案：2.5
4．执行如图的程序框图，则输出的结果为________．
解析：进行第一次循环时， 100 S＝＝20，i＝2，S＝20>1； 5 进行第二次循环时， 20 S＝＝4，i＝3，S＝4>1； 5 进行第三次循环时， 4 S＝＝0.8，i＝4，S＝0.8<1， 5 此时结束循环，输出的 i＝4.
答案：4
5．如图所示，程序框图的输出结果是________．
1 解析：第一次循环：S＝，n＝4； 2 1 1 第二次循环：n＝4<8，S＝＋，n＝6； 2 4 1 1 1 第三次循环：n＝6<8，S＝＋＋，n＝8； 2 4 6 1 1 1 11 第四次循环：n＝8<8 不成立，输出 S＝＋＋＝ . 2 4 6 12
名称示意图相应语句 ①输入语句： INPUT“提示内容”；变量顺序结构 ②输出语句： PRINT“提示内容”；表达式 ③赋值语句：变量＝表达式
直到型循环循环结构当型循环结构结构
DO _____
循环体
LOOP UNTIL 条件
WHILE ________ WEND _________
「基础知识填一填」 1．算法 (1)算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤． (2)应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题． 2．程序框图定义：程序框图又称流程图，是一种用算法的图形．
程序框、流程线及文字说明来表示
3．三种基本结构及相应语句
答案：B

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

[课时跟踪检测]
[基础达标]
1．(2018届唐山模拟)执行右图程序框图，若输出y＝4，则输入的x为()
A．－3或－2或1
B．－2
C．－2或1
D．1
解析：由题当x>0时，y＝(x＋1)2＝4⇒x＝1，当x≤0时，y＝2－x＝4⇒x＝－2，综上x＝1或－2.
答案：C
2．执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝－1，b＝－2，则输出的a的值为()
A．16
B．8
C．4
D．2
解析：当a＝－1，b＝－2时，a＝(－1)×(－2)＝2<6；a＝2，b＝－2时，a ＝2×(－2)＝－4<6；当a＝－4，b＝－2时，a＝(－4)×(－2)＝8>6，此时输出
的a＝8，故选B.
答案：B
3．(2017届河北石家庄模拟)执行如图所示的程序框图，输出的S值为－4时，则输入的S0的值为()
A．7 B. 8 C. 9 D. 10
解析：根据程序框图，知当i＝4时，输出S，
∵第一次循环得，S＝S0－1，i＝2；
第二次循环得，S＝S0－1－4，i＝3；
第三次循环得，S＝S0－1－4－9，i＝4；
∴S0－1－4－9＝－4，∴S0＝10.
答案：D
第3题图第4题图
4．(2017年全国卷Ⅰ)如图是为了求出满足3n－2n>1 000的最小偶数n，那么在◇和▭两个空白处中，可以分别填入()
A．A>1 000和n＝n＋1
B．A>1 000和n＝n＋2
C．A≤1 000和n＝n＋1
D．A≤1 000和n＝n＋2
解析：由题意知3n－2n>1 000时，输出n，故判断框内填A≤1 000，因为所求为最小偶数，所以矩形框内填n＝n＋2，故选D.
答案：D
5．(2017年北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的s值为()
A．2 B.3 2
C.5
3 D.
8
5
解析：初始值：k＝0，s＝1.
第一次循环：k＝k＋1＝1<3，s＝s＋1
s＝2；
第二次循环：k＝k＋1＝2<3，s＝s＋1
s＝
3
2；
第三次循环：k＝k＋1＝3，s＝s＋1
s＝
5
3；退出循环结构．
答案：C
第5题图第6题图
6．(2017年山东卷)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为() A．0,0 B．1,1
C．0,1 D．1,0
解析：第一次，x＝7,22<7，b＝3,32>7，a＝1；第二次，x＝9，22<9，b＝3,32＝9，a＝0.
答案：D
7．(2017届辽宁五校联考)如图，若f(x)＝log3x，g(x)＝log2x，输入x＝0.25，
则输出的h(x)＝()
A．0.25 B．2log32
C．－1
2log23 D．－2
解析：若输入x＝0.25，f(x)＝log30.25＝－2log32>g(x)＝log20.25＝－2，h(x)＝g(x)＝－2，故输出h(x)＝－2，故选D.
答案：D
8．(2017届山东临沂模拟)已知实数x∈[1,10]，执行如图所示的程序框图，则输出x的值不小于55的概率为()
A.1
9 B.
2
9
C.4
9 D.
5
9
解析：设实数x∈[1,10]，
经过第一次循环得，x＝2x＋1，n＝2；
经过第二次循环得，x＝2(2x＋1)＋1，n＝3；
经过第三次循环得，x＝2[2(2x＋1)＋1]＋1，n＝4；此时输出x，输出x的值为8x＋7.
令8x＋7≥55，得x≥6.
由几何概型得输出的x不小于55的概率为10－6
10－1
＝
4
9.
故选C. 答案：C
第7题图第8题图
9．执行如图所示的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为________．
解析：当条件x≥0，y≥0，x＋y≤1不成立时输出S的值为1，当条件x≥0，y≥0，x＋y≤1成立时，S＝2x＋y，下面用线性规划的方法求此时S的最大值．作出不等式组
⎩⎪
⎨
⎪⎧x≥0，
y≥0，
x＋y≤1
表示的平面区域如图中阴
影部分所示，由图可知当直线S＝2x＋y经过点M(1,0)时S最大，其最大值为2×1＋0＝2，故输出S的最大值为2.
答案：2
10．(2017届安徽阜阳模拟)执行如图所示的程序框图，若输入x＝6，则输出y的值为________．
解析：执行程序，可得x＝6，y＝2，
不满足条件|y－x|<1，执行循环体，x＝2，y＝0；不满足条件|y－x|<1，执行循环体，x＝0，y＝－1；
不满足条件|y－x|<1，执行循环体，x＝－1，y＝－3 2；
满足条件|y－x|<1，退出循环，输出y的值为－3 2.
答案：－3
2
第10题图第11题图
11．(2018届济南模拟)某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是________．
解析：阅读流程图，程序运行中数据的变化如下：
k＝0，S＝0<100，
S＝0＋20＝1，k＝k＋1＝1，
S<100，S＝1＋21＝3，k＝k＋1＝2，
S<100，S＝3＋23＝11，k＝k＋1＝3，
S<100，S＝11＋211＝2 059，k＝k＋1＝4，
此时S>100，输出的k值为4.
答案：4
12．(2017届广州市五校联考)如图所示的程序框图，其输出结果为________．
解析：由程序框图，得S ＝
11×2＋12×3＋…＋16×7＝⎝
⎛
⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
16－17＝1－17＝67，故输出的结果为67.
答案：6
7
[能力提升]
1．(2017届北京东城模拟)如图给出的是计算12＋14＋16＋18＋…＋1
100的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )
A ．i <50?
B ．i >50?
C ．i <25?
D ．i >25?
解析：因为该循环体需要运行50次，i 的初始值是1，间隔是1，所以i ＝50时不满足判断框内的条件，而i ＝51时满足判断框内条件，所以判断框内的条件可以填入i >50?
答案：B
2．(2018届湖北部分重点中学高三起点考试)美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一．美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的．程序框图如图所示，若输入a ，n ，ξ的值分别为
8,2,0.5，每次运算都精确到小数点后两位，则输出的结果为( )
A ．2.81
B ．2.82
C ．2.83
D ．2.84
解析：输入a ＝8，n ＝2，ξ＝0.5，m ＝8
2＝4，n ＝4＋22＝3，|4－3|＝1>0.5；m ＝8
3≈2.67，n ≈2.67＋32＝2.84，|2.67－2.84|＝0.17<0.5，输出n ＝2.84.故选D.
答案：D
第2题图第3题图
3．(2017年天津卷)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：阅读程序框图可得，程序执行过程如下：首先初始化数值为N ＝19，
第一次循环：N ＝N －1＝18，不满足N ≤3；第二次循环：N ＝N
3＝6，不满足N ≤3；第三次循环：N ＝N
3＝2，满足N ≤3；此时跳出循环体，输出N ＝2.
答案：C
4．(2017届安徽合肥模拟)执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是()
A．20 B．21
C．22 D．23
解析：由题意，模拟执行程序，可得k＝0，S＝0，
满足条件S≤a，S＝2×0＋3＝3，k＝0＋1＝1；
满足条件S≤a，S＝2×3＋3＝9，k＝1＋1＝2；
满足条件S≤a，S＝2×9＋3＝21，k＝2＋1＝3；
由题意，此时，应该不满足条件21≤a，退出循环，输出k的值为3，从而结合选项可得输入a的值为20.故选A.
答案：A
5．已知函数f(x)＝x2－ax的图象在点A(1，f(1))处的切线与直线x＋3y＋2＝0垂直．执行如图所示的程序框图，输出的k值是________．
解析：因为f(x)＝x2－ax，
所以f ′(x )＝2x －a ，
所以根据导数的几何意义，y ＝f (x )的图象在点A (1，f (1))处的切线斜率k ＝f ′(1)＝2－a .
因为函数f (x )＝x 2－ax 的图象在点A (1，f (1))处的切线l 与直线x ＋3y ＋2＝0垂直，
所以(2－a )×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－13＝－1，所以a ＝－1，
所以f (x )＝x 2＋x ，所以
1f (x )＝1x 2＋x ＝1x －1x ＋1
，从而程序运行，可得程序框图的功能是求S ＝12＋16＋112＋…＋1k 2＋k ＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1＝1－1k ＋1＝k k ＋1>1415
时k 的值，可解得k >14.
答案：15。

【配套K12】2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：10-1算法初步 Word版含解析-

2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练

教育最新K122019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：10-3用样本估计总体 Word版含解析-

2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：10-1算法初步 含解析

[配套K12]2019届高考数学一轮复习 第10单元 算法初步、统计、统计案例听课学案 理

2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：10-2随机抽样 Word版含解析

2019届高考数学一轮复习 课时跟踪检测(十)对数与对数函数 理(普通高中).doc

[配套K12]2019版高考数学一轮复习 第十章 算法初步课时作业 理

【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 单元评估检测9 算法初步