半无限大导体平面角域的镜像
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EM第29讲镜像法导体平面
例 题
把地面作为无限大导体平面，并令其电位为0。设
传输线l和2单位长度上分别
故可近似把
看作是分别处在
传输线的轴线上，则问题转变为无限大导平面上有两 根平行线电荷 的场问题，可采用镜像法求解。
Research Institute of RF & Wireless Techniques
29.4
South China University of Technology
Research Institute of RF & Wireless Techniques
29.2 导体平面镜像
South China University of Technology
区域：P.358
原问题在
区域的解没变。
Research Institute of RF & Wireless Techniques
求解场区域
空间，
Research Institute of RF & Wireless Techniques
29.2 导体平面镜像
在点
South China University of Technology
电位函数满足以
函数表示的泊松方程：
Research Institute of RF & Wireless Techniques
29.2 导体平面镜像
原问题与等效问题，在上半平面问题相同。
上半空间 等效
South China University of Technology
下半空间 不等效
镜像法的实质：以一个处于镜像位置的电荷代替边
界的影响，使整个空间变成均匀的介电常数为 的 空间，则空间任一点 P 的电位由 q 及其镜像电荷 －q共同产生，即 q q
2.8 镜像法
分界面为一无限大平面位于介质1中距分界面的距离为求介质1及介质导体平面位于点电荷产生的电场中时会在其上产生感应电荷其面电荷密利用镜像电荷可代替其感应电荷的作用从而将导体平面去2018414第二章2818那么电介质平面位于点电荷产生的电场中时会在其上产生则我们是否也可以利电荷多少个
第二章 2.8
2.8
Z
0
q
P( x y z)
导体
h
z 0 平面为导体平面，其参考电位为零。
点电荷 q 与导体平面之间的电位满足：
电位 给定
z ＞0
2 0
q所在点除外
4
z0
2014-6-14
0
第二章 2.8
镜像电荷 q 的设置： 将无限大导体平面去 h 掉，整个空间充满介 电常数为 0 的介质， 在 q的镜像位置上置 一电荷 q ，则
2
q
2
第二章 2.8
三、球面导体与点电荷：
1、接地导体球与点电荷如图所示：求球外 ?
a
o
q
P 1
r2
a
P
d1
镜像电荷 ：
0 d 2 q
P2
r 1
q
P1
d1
1
q P2 点
2014-6-14
P点在导体球面上
23
第二章 2.8
26
r2
边界条件： 方法一：
球面： r 如图 1
边界
像电荷
2014-6-14 2
第二章 2.8
镜像法最后将求解有限区域 的边值问题转换为无边界的无限 大均匀媒质中的求解问题。
原电荷
像电荷
镜
如何求镜 像电荷
3
第二章 2.8
2.8
Z
0
q
P( x y z)
导体
h
z 0 平面为导体平面，其参考电位为零。
点电荷 q 与导体平面之间的电位满足：
电位 给定
z ＞0
2 0
q所在点除外
4
z0
2014-6-14
0
第二章 2.8
镜像电荷 q 的设置： 将无限大导体平面去 h 掉，整个空间充满介 电常数为 0 的介质， 在 q的镜像位置上置 一电荷 q ，则
2
q
2
第二章 2.8
三、球面导体与点电荷：
1、接地导体球与点电荷如图所示：求球外 ?
a
o
q
P 1
r2
a
P
d1
镜像电荷 ：
0 d 2 q
P2
r 1
q
P1
d1
1
q P2 点
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P点在导体球面上
23
第二章 2.8
26
r2
边界条件： 方法一：
球面： r 如图 1
边界
像电荷
2014-6-14 2
第二章 2.8
镜像法最后将求解有限区域 的边值问题转换为无边界的无限 大均匀媒质中的求解问题。
原电荷
像电荷
镜
如何求镜 像电荷
3
无限大导体平面的镜像
y2
y (z
d
)2
3/
2
Ez
q
4π0
x2
y2
zd (z
d )2 3/2
x2
y2
zd (z
d )2
3/ 2
上半空间的电场分布：
原始问题的场分布
镜像法求出的场分布
导体表面感应电荷：
S
Dn
0Ez (z
0)
2π(x2
qd y2
d 2 )3/2
导体表面上感应电荷总量：
qS Sdxdy
镜像法的实质是：用在待求场域外假想的镜像电荷（或 电流）替代边界上的作用，将场域视为无限大均匀媒质， 待求场为实际源和镜像源产生的场的叠加。
小 结：
1. 镜像法的原理 2. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像 3. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
z r1
p
q
导体平面 d o
d q
r2
x
上半空间的电场强度： E
q
4π0
x2
y2
1 (z
d )2
1/ 2
x 2
y2
1 (z
d )2
1/ 2
Ex
q
4π0
x2
y2
x (z
d )2
3/2
x 2
y2
x (z
d )2
3/2
Ey
q
4π0
x2
y2
y (z
d )2
3/2
x 2
q
导体平面
边界条件： 0
由平面镜像可知，如图镜像电荷位于导体 平面下方对称点处。
由边界条件可知，镜像电荷为与原电荷大 小相等、性质相反的点电荷-q。
无限大电介质平面的镜像
下半空间任一点的磁场为：
H2=^-a，，
2 2 nrff 仞
在分界面（,=尸'=广）上，磁场满足边界条件： H B1n=B2n
H = ---sin 0--sin 伊
Bln = COS0 +
n 2nr 2nr
2nr
2nr
日2 (I + I"= ——COS0 2nr
2nr
I' =
一I〃 = 2
一2
+2
I
COS0
讨论：
「=_[" = % - i
日2 +閥
⑴ 当外> 时，If > 0, I" < 0，说明尸与I方向相同，I"与I方向相反。
（2）当 卩2。2时，/'v0, I ">0，说明I，与I方向相反， I"与I方向相同。
⑶当2有限2 T8时，I' = -1, I" = I，此时々2中磁场为原来的两倍。
q' 分
产
击aR时位
当待求区域为介质2时：
将整个空间视为均匀介质2,在边界之外设一镜像电荷q，且位置与 q重合。于是区域2中的电位和电位移矢量分别为：
心=
q + q”
4丸勻
R”
伞蒙” R
在分界面(R = R'= R")上，应)两足边界条件:
8、=奴 D\n = D2n
D = q cos a--cos a
4.5无限大介质平面的镜像
1. 点电荷对无限大电介质平面的镜像 2. 线电流对无限大磁介质平面的镜像
1.点电荷对无限大介质平面的镜像
当待求区域为介质1时：
整个空间为均匀介质1,在边界之外设一镜
H2=^-a，，
2 2 nrff 仞
在分界面（,=尸'=广）上，磁场满足边界条件： H B1n=B2n
H = ---sin 0--sin 伊
Bln = COS0 +
n 2nr 2nr
2nr
2nr
日2 (I + I"= ——COS0 2nr
2nr
I' =
一I〃 = 2
一2
+2
I
COS0
讨论：
「=_[" = % - i
日2 +閥
⑴ 当外> 时，If > 0, I" < 0，说明尸与I方向相同，I"与I方向相反。
（2）当 卩2。2时，/'v0, I ">0，说明I，与I方向相反， I"与I方向相同。
⑶当2有限2 T8时，I' = -1, I" = I，此时々2中磁场为原来的两倍。
q' 分
产
击aR时位
当待求区域为介质2时：
将整个空间视为均匀介质2,在边界之外设一镜像电荷q，且位置与 q重合。于是区域2中的电位和电位移矢量分别为：
心=
q + q”
4丸勻
R”
伞蒙” R
在分界面(R = R'= R")上，应)两足边界条件:
8、=奴 D\n = D2n
D = q cos a--cos a
4.5无限大介质平面的镜像
1. 点电荷对无限大电介质平面的镜像 2. 线电流对无限大磁介质平面的镜像
1.点电荷对无限大介质平面的镜像
当待求区域为介质1时：
整个空间为均匀介质1,在边界之外设一镜
镜像法
/jp2007/02/wlkc/htm/c_4_p_4.htm§4.4 镜像法镜像法是求解电磁场的一种特殊方法，特别适用于边界面较规则(如平面、球面和柱面等)情况下，点源或线源产生的静态场的计算问题。
例如当一点电荷q 位于一导体附近时，该导体将处于点电荷q产生的静电场中，在导体表面上会产生感应电荷，则空间的电场应为该感应电荷产生的电场和点电荷q产生的电场的叠加。
一般情况下，在空间电场未确定之前，导体表面的感应电荷分布是不知道的，因此直接求解该空间的电场是困难的。
然而，在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷q和所有等效电荷产生的电场叠加得到。
这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。
可见，惟一性定理是镜像法的理论依据。
在镜像法应用中应注意以下几点：(1)镜像电荷位于待求场域边界之外。
(2)将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。
(3)实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界上的边界条件不变。
4.4.1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像zqdx设在自由空间有一点电荷位于无限大接地导体平面上方，且与导体平面的距离为d 。
如图4.2(a)所示上半空间的电位分布和电场强度计算可用镜像法解决。
待求场域为0z >空间，边界为0z =的无限大导体平面，边界条件为在边界上电位为零，即(,,)0x y z φ= (4.29)设想将无限大平面导体撤去，整个空间为自由空间。
在原边界之外放置一镜像电荷'q ，当'q q =-，且'q 和q 相对于0z =边界对称时，如图4.2(b)所示。
点电荷q 和镜像电荷'q 在边界上产生的电位满足式(4.29)所示的边界条件。
根据镜像法原理，在0z >空间的电位为点电荷q 和镜像电荷'q 所产生的电位叠加，即1/21/2222222011{}4()()qx y z d x y z d φπε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.30)上半空间任一点的电场强度为E φ=-∇电场强度E 的三个分量分别为3/23/22222220{}4()()x qxxE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31a)3/23/22222220{}4()()y qyyE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31b)3/23/22222220{}4()()z qz dz dE x y z d x y z d πε-+=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31c)可见，在导体表面0z =处，0x y E E ==，只有z E 存在，即导体表面上法向电场存在。
第三章 边值问题的解法
解：根据轴对称的特点和无限长的假设， 可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程，
R2
采用圆柱坐标系
R1
1 (r ) 0 积分 Aln r B
r r r
由边界条件 U A ln R1 B 0 Aln R2 B
A U ln R1 R2
B
U ln R1
ln
R2
第3章 边值问题的解 法
给定边界条件下求有界空间 的静电场和电源外恒定电场的问 题，称之为边界值问题。
3.1边值问题的提法(分类)
3.1.1边值问题的分类
1 狄利克雷问题：给定整个场域边界面S上各点电位的（函数）
值
f (s)
2 聂曼问题：给定待求位函数在边界面上的法向导数值
/ n f (s)
q
4π0
(r
2
2dr
1
cos
d
)2 1/ 2
(d
2r2
a
2dra2 cos
a4 )1/ 2
导体球不接地：
q a q d
b a2 d
q q a q d
a
—
a
导体球不接地：根据电荷守恒定律，导体球上感应电荷代
数和应为零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜
球壳内：边界为r = a1的导体球面，
边界条件为 (a1, ,) 0
➢ 根据球面镜像原理，镜像电荷
的位置和大小分别为
a1 q1
q
1
b1
a12 d1
q1
q1
半无限大导体平面角域的镜像
该角域外有3个镜像电荷 q1、 q2和q3 ，位置如图所示。其中
q1 q, q2 q, q3 q
当n=3时：
q
q
π 3
q
q
π 3
q
q
q
角域外有5个镜像电荷，大小和位置如图所示。所有镜像电荷都正、 负交替地分布在同一个圆周上，该圆的圆心位于角域的顶点，半径 为点电荷到顶点的距离。
角域夹角为π/n，n为整数时，有(2n－1)个镜像电荷，它们与水平边
4.6 半无限大导体平面角域的镜像
1. 直角域的镜像 2. 60度角域的镜像 3. 在π/n（n为整数）角域的镜像
1. 点电荷对半无限大接地导体直角域的镜像
由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角 π , n 为整数时，该角域中
n
的点电荷将有个镜像电荷，该角域中的场可以用镜像法求解 当n=2时：
界的夹角分别为： (2m π ), m 1, 2,
n及(2π )Fra bibliotek, (n 1)
n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当角 域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。
小 结：
1. 直角域的镜像 2. 60度角域的镜像 3. 在π/n（n为整数）角域的镜像
q1 q, q2 q, q3 q
当n=3时：
q
q
π 3
q
q
π 3
q
q
q
角域外有5个镜像电荷，大小和位置如图所示。所有镜像电荷都正、 负交替地分布在同一个圆周上，该圆的圆心位于角域的顶点，半径 为点电荷到顶点的距离。
角域夹角为π/n，n为整数时，有(2n－1)个镜像电荷，它们与水平边
4.6 半无限大导体平面角域的镜像
1. 直角域的镜像 2. 60度角域的镜像 3. 在π/n（n为整数）角域的镜像
1. 点电荷对半无限大接地导体直角域的镜像
由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角 π , n 为整数时，该角域中
n
的点电荷将有个镜像电荷，该角域中的场可以用镜像法求解 当n=2时：
界的夹角分别为： (2m π ), m 1, 2,
n及(2π )Fra bibliotek, (n 1)
n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当角 域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。
小 结：
1. 直角域的镜像 2. 60度角域的镜像 3. 在π/n（n为整数）角域的镜像
无限大导电平面的镜象法
2
2
平行双电轴法
18
可知： 1) 若已知电轴位置，选取任意点x0为圆心，即可作
出以x0为圆心R0为半径的等位圆。
2) 若已知电轴位置，给定任意的R0，亦可作出此等 位圆圆心所在处x0的等位圆。 3) 若已知R0，及圆心的位置x0，亦可推出电轴所在 的位置，亦即推求出距离D
平行双电轴法
19
二、平行双电轴法
2
2
平行双电轴法
20
2、 对于相互平行但半径不同的双输电线
半径R0′与R0″以及两圆柱体轴心距离d已知，得
D 2 2 2 2 x0 R0 x0 R0 2
2
x0 x0 d
电轴至中性面的距离为 D/2
在等位圆上选择特殊点A及B R2/R1=R2′/R1′=K(常数)
D R0 x0 2 k D x0 R0 2 D R0 x0 2 D D x0 R0 2
D R0 x0 2
第二章 静
电
场(二)
目 录
§2-1 静电场的唯一性定理及其应用 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 无限大介质交界平面的镜象 §2-6 §2-7 §2-8 §2-9 带电导体系统的电场能量及其分布 §2-10 虚位移法计算电场力
2
本章内容
除唯一性定理以外，都属于静电场求解方面的应用问题 1、唯一性定理及其重要意义 2、电 轴 法
静电场的唯一性定理及其应用
说明
6
二、唯一性定理的应用——等位面法
根据唯一性定理，若沿场的等位面任意一侧，填充导电媒质， 则等位面另侧的电场保持不变。
2
平行双电轴法
18
可知： 1) 若已知电轴位置，选取任意点x0为圆心，即可作
出以x0为圆心R0为半径的等位圆。
2) 若已知电轴位置，给定任意的R0，亦可作出此等 位圆圆心所在处x0的等位圆。 3) 若已知R0，及圆心的位置x0，亦可推出电轴所在 的位置，亦即推求出距离D
平行双电轴法
19
二、平行双电轴法
2
2
平行双电轴法
20
2、 对于相互平行但半径不同的双输电线
半径R0′与R0″以及两圆柱体轴心距离d已知，得
D 2 2 2 2 x0 R0 x0 R0 2
2
x0 x0 d
电轴至中性面的距离为 D/2
在等位圆上选择特殊点A及B R2/R1=R2′/R1′=K(常数)
D R0 x0 2 k D x0 R0 2 D R0 x0 2 D D x0 R0 2
D R0 x0 2
第二章 静
电
场(二)
目 录
§2-1 静电场的唯一性定理及其应用 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 无限大介质交界平面的镜象 §2-6 §2-7 §2-8 §2-9 带电导体系统的电场能量及其分布 §2-10 虚位移法计算电场力
2
本章内容
除唯一性定理以外，都属于静电场求解方面的应用问题 1、唯一性定理及其重要意义 2、电 轴 法
静电场的唯一性定理及其应用
说明
6
二、唯一性定理的应用——等位面法
根据唯一性定理，若沿场的等位面任意一侧，填充导电媒质， 则等位面另侧的电场保持不变。
电磁场与电磁波理论基础 第二章 课后答案
u=0
∂u 1 ∂u ∂u E = −∇u = − e ρ + eϕ + e z ρ ∂ϕ ∂z ∂ρ
得到 题 2-9 图
E = −∇u = 0, ρ ≤ a
a2 a2 E = − A 1 + 2 cos ϕ e ρ + A 1 − 2 sin ϕ eϕ , ρ ≥ a ρ ρ
代入得到
2 2
r1
-2 q
Y
S1 (-a, 0 , 0)
X
S 2 (a, 0, 0)
题 2-7 图
u (r ) =
q 4πε 0
1
( x + a)
2
+ y2 + z2
−
2 2 2 ( x − a) + y + z 2
电位为零，即令
q u (r ) = 4πε 0
∂u2 =0 ∂x
代入，得到
ρ S下 = −ε 0
∂u1 ∂x
=
x =0
ρd ρd ε U ε U x2 − 0 0 + 0 = − 0 0 + 0 2d 6 x =0 6 d d
ρ0
对于上极板，导体中的电位为常数
u1 = U 0
有
∂u1 =0 ∂x
上极板下表面电荷密度为
l
场分布具有柱对称性，电通密度矢量 D 仅有 e ρ 分量，由 高斯定理 题 2-15 图
D ⋅ dS = ρ
(S ) (V )
V
dV
取圆柱面为高斯面，有
2π
Dρ ρ ldϕ = 20 ρ e
0 0 0
点电荷对无限大接地导体平面的镜像边值问题
60
(3a2
r2)
2
(r)
a3 3 0 r
电场强度（球坐标梯度公式）：
0ra ar
E1 (r )
1
1
r
er
r 3 0
er
E2 (r )
2
2
r
er
a2 30r 2
er
0ra ar
对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分
方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；
q1
x
F2
x
4
q2 0 (2d1)2
F3
4 0
q2 (2d1)2 (2d2 )2
3/ 2
2d1
x 2d2
y
3.2.2 点电荷对导体球面的镜像 设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。
1) 边值问题：
2 0 （除q点外的导体球外空间) 0
r
导球面 0
2) 设镜像电荷 q位于球内,球面上任一点电位为
3.2 镜像法
3.2.1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
1.平面导体的镜像
边值问题：
2 0
0
（除 q 所在点外的区域） （导板及无穷远处）
s D dS q
（S 为包围 q 的闭合面）
上半场域边值问题：
2 0
（除 q 所在点外的区 域）
q q 0 （导板及无穷远处） 4 0r 4 0r
（方向指向地面）
Ep
2
q 4 0r 2
cos
qh 2 0 (h2
x2 )3/ 2
p
0E p
qh 2(h2 x2 )3/ 2
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4.6半无限大导体平面角域的镜像
1. 直角域的镜像 2. 60度角域的镜像
3. 在n/n （n为整数）角域的镜
像
1.点电荷对半无限大接地导体直角域的镜像
由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角a=n /为整数时，该角域中
n
的点电荷将有个镜像电荷，该角域中的场可以用镜像法求解
♦该角域外有3个镜像电荷01、必和03，位置如图所示。其中
01 =—q, 02 = q, 03 =_q
♦当n=3时:
角域外有5个镜像电荷，大小和位置如图所示。所有镜像电荷都正、 负
交替地分布在同一个圆周上，该圆的圆心位于角域的顶点，半径 为 点电荷到顶点的距离。
♦角域夹角为兀加，"为整数时，有（2〃-1）个镜像电荷，它们与水平
边 界的夹角分别为：
n
八〕
（2m — 土 B）, m = 1,2,—1）
n
>
及（2n -。）
,
♦ n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当角
域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。
小结:
1.直角域的镜像 2.60度角域的镜像 3.在协（〃为整数）角域的镜像
1. 直角域的镜像 2. 60度角域的镜像
3. 在n/n （n为整数）角域的镜
像
1.点电荷对半无限大接地导体直角域的镜像
由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角a=n /为整数时，该角域中
n
的点电荷将有个镜像电荷，该角域中的场可以用镜像法求解
♦该角域外有3个镜像电荷01、必和03，位置如图所示。其中
01 =—q, 02 = q, 03 =_q
♦当n=3时:
角域外有5个镜像电荷，大小和位置如图所示。所有镜像电荷都正、 负
交替地分布在同一个圆周上，该圆的圆心位于角域的顶点，半径 为 点电荷到顶点的距离。
♦角域夹角为兀加，"为整数时，有（2〃-1）个镜像电荷，它们与水平
边 界的夹角分别为：
n
八〕
（2m — 土 B）, m = 1,2,—1）
n
>
及（2n -。）
,
♦ n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当角
域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。
小结:
1.直角域的镜像 2.60度角域的镜像 3.在协（〃为整数）角域的镜像