分式运算常见错误示例易错点剖析

分式运算常见错误示例

一、概念记不准

例1 下列哪些是分式? 哪些是整式? ①2x 1-π

② 31+a ③43 错解：①，③是分式, ②是整式.①在代数式2x 1-π

中, 因为在分母中含有字母π, 所以是分式; ②在代数式31+a 中, 因为它是二项式,属于整式； 43是分式.

错解分析：分式的定义就是形如B

A , 其中A 和

B 都为整式, 分母B 中要含有字母，①2x 1-π中的分母π是常数, 而不是字母; ② 31+a 中的a 1是分式, 加3 后, 仍然属于分式; ③把分式和分数混淆了. 正解：①,③是整式, ②是分式.

二、直接将分式约分

例2 x 为何值时,分式

239x x --有意义? 错解: ()()2331333

9x x x x x x --==+-+-.要使分式有意义,必须满足x +3≠0,即x ≠-3.

错解分析: 错误的原因是将x -3约去,相当于分子、分母同除以一个可能为零的代数式,无意中扩大了字母的取值范围,当x =3时,分式无意义的条件漏掉了.

正解:要使分式有意义,必须满足2x -9≠0,解得x ≠±3.∴当x ≠±3时, 分式239

x x --有意义.

三、误以为分子为零时,分式的值就为零

例3 当x 为何值时,分式2

24x x -+的值为零?

错解: 由题意,得|x |-2=0,解得x =±2. ∴当x =±2时, 分式2

24x x -+的值为零.

错解分析: 分式值为零的条件是分子为零而分母不为零.本题当x =-2时,分母2x +4=2×(-2)+4=0,分式无意义,应舍去.

正解: 由题意,得|x |-2=0,解得x =±2. 当x =2时,分母2x +4≠0; 当x =-2时, 分母2x +4=2×(-2)+4=0,分式无意义.∴当x =2时, 分式2

24x x -+的值为零.

四、分式通分与解方程去分母混淆

例4 化简22

x x --x -2. 错解:原式=2x - x (x -2) -2(x -2) =2x -2x +2x -2x +4=4.

错解分析: 上述错误在于进行了去分母的运算,当成了解方程,而本题是分式的加减运算,必须保持分式的值不变.

正解:22x x --x -2= 22x x --(x +2)= 22x x --()()222

x x x +--=22(4)2x x x ---= 42

x -. 五、颠倒运算顺序

例5 计算a ÷b ×1b

错解: a ÷b ×1b = a ÷1=a .

错解分析: 乘法和除法是同级运算,应按从左到右的顺序进行.

错解颠倒了运算顺序,造成运算错误.

正解:a ÷b ×1b =a b ×1b =

2a b

. 六、化简不彻底

例6 计算221244x x ---. 错解:原式=

()()()212222x x x -+--=()()()()42222222x x x x x +-+-+- =()()()42222x x x -++-=()()

2222x x x -++-. 错解分析: 上面计算的结果,分子、分母还有公因式(x -2)可约分,应继续化简.

正解: 原式=

()()()212222x x x -+--=()()()()42222222x x x x x +-+-+- =()

()()42222x x x -++-=()()2222x x x -++-=()

122x -+. 七、忽视“分母等于零无意义”致错

1.错在只考虑了其中的一个分母

例7 x 为何值时, 分式1111

+-x 有意义?

错解：当x + 1 ≠ 0, 得x ≠ - 1. 所以当x ≠ - 1时, 原分式有意义.

错解分析：上述解法中只考虑了分式

11+x 中的分母, 没有注意整个分式的大分母1

11+-x . 正解：由x + 1 ≠ 0, 得x ≠ - 1.由111+-

x ≠ 0, 得x ≠ 0，因此，当x ≠0 且x ≠ - 1 时, 原分式有意义.

2.错在没有把方程的两个解带到分母中去检验

例8 先化简, 再求值: 1

211222+--?+-x x x x x x , 其中x 满足x 2 - 3x + 2= 0. 错解：1211222+--?+-x x x x x x =2)

1()1)(1(1)1(--+?+-x x x x x x = x . ∵x 2- 3x + 2= 0,∴( x - 2) ( x - 1) = 0. ∴x = 1 或x = 2，原式=1或2.

错解分析：只要把本题中的x = 1 代入到 ( x - 1) 2 中可知, 分母等于0, 所以原式无意义. 故原式只能等于2. 正解：2222

x x x 1x(x 1)(x 1)(x 1)x x 1x 2x 1x 1(x 1)----+==+-++-··，由x 2-3x +2=0，

解得x 1=2,x 2=1，

当x =2时， x +1≠0，x 2-2x +1≠0，

当x =1时，x 2-2x +1=0，

故x 只能取2，

则原式=x =2.

3. 错在没有考虑除式也不能为零

例9 先化简1

1112-÷??????-+x x x , 再选择一个恰当的x 值代入并求值. 错解：11112-÷??

????-+x x x =x x x x x )1)(1(111-+?-+-= x + 1. ∵ x - 1 ≠0, x 2 - 1 ≠ 0, ∴x ≠± 1.

当取x = 0 时代入x +1,原式= 1.

错解分析：本题若取x = 0, 则除式x 颠倒到分母上时, 分式就变得无意义了, 显然是不正确的, 所以x ≠- 1, 0, 1. 其他值代入均可求. 正解：11112-÷??????-+x x x =x (x 1)(x 1)x 1x 1

x -+=+-·, ∵ x -1≠0, x 2-1 ≠0,

2x x 1-为除数不为0，即x ≠0, ∴x ≠±1且x ≠0,

当取x =2 时, 原式=x +1=2+1=3.

4.错在“且”与“或”的混用

例10 x 为何值时, 分式)

3)(2(1--x x 有意义? 错解：要使分式有意义, x 必须满足分母不等于零, 即( x - 2) ( x -

3) ≠0, 所以x ≠2 或x ≠3.

错解分析：“且”与“或”是两个完全不同的联结词,两件事情至少一件发生用“或”，两件事情同时发生用“且”.

正解：要使分式有意义, x 必须满足( x - 2) ( x - 3)≠0, 所以x ≠2 且x ≠3.

八、忽视分数线具有双重作用

例11 化简： 11

---x x x 错解：原式= 1

121)1)(1(11122--=----=---x x x x x x x x x . 错解分析：分数线具有除号和括号的双重作用, 在添分数线时, 如果分数线前面是负号, 那么所添各项都要变号.

正解：原式= 111)1)(1(11122-=--+-=+--x x x x x x x x .

《分式》典型例题分析

《分式》复习提纲考点1. 分式的概念 1、下列各有理式 π y y x y x y x x y xy y x x x ,31),(23,,53,81,4, 23,822++-+---中，分式的个数是（） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个考点2. 分式的意义分式： B A (A ，B 都是整式，且B 中含有字母，B ≠0) ① 分式有意义? ；② 分式无意义? ；③ 分式值为零? 1、若分式 3 2 -x 有意义，则x__________ 2、要使分式 ) 5)(32(23-+-x x x 有意义，则（） A. x ≠2 3 - B. x ≠5 C. x ≠23-且x ≠5 D. x ≠2 3 -或x ≠5 3、当a 为任意有理数时，下列分式一定有意义的是（） A ． 112++a a B. 12+a a C. 112++a a D. 21 a a + 4、分式 3 24 x x +-当x 时有意义；当x 时分式没有意义；当x 时分式的值为零。 5、当x 时，分式2 5 2++x x 的值是零；当x 时，分式242--x x 的值是零；当x 时，分式 x x -+22 的值是零考点3、最简公分母、最简分式 1、分式 ac b bc a ab c 3,2,2 --的最简公分母是；分式1 3x ，11x x +-，225(1)xy x -的最简公分母为________ 2、下列分式中是最简分式的是（） A. 122+x x B. x 24 C. 1 12 --x x D. 11--x x

3、下列分式中是最简分式的是（） A. 2 2 2) (y x y x -- B. 2x xy - C. xy x y x ++2 D. 22-+x x 考点4、分式的基本性质 1. 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。（1）y x y x 3 22132 21-+；（2）b a b a -+2.05.03.0 2、把分式xy y x +中的分子、分母的x 、y 同时扩大2倍，那么分式的值（） A. 扩大2倍 B. 缩小为原来的2 1 C. 不变 D. 缩小为原来的4 1 3、约分（1）4 3 22016xy y x -= ；（2）4 4422+--x x x = 4、通分（1）b a 21，2 1ab ；（2）y x -1，y x +1；（3）221y x -，xy x +21. 考点5、计算 1、(1)222222x b yz a z b xy a ÷= ；（2）49 3222--?+-x x x x = ；（3）43222)1.().()( ab a b b a --= (4) x x x x x x 36299622 2+-÷-+- （5）ab a b a a b a b a --+-2224. （6） 22212(1)441x x x x x x x -+÷+?++-

【八年级】八年级数学下册103分式的加减分式解题中常见错误归类剖析素材新版苏科版

【关键字】八年级分式解题中常见错误归类剖析分式是在整式运算、多项式因式分解、一元一次方程的解法基础上学习的．分式的运算与整式的运算相比，运算步骤明显增多，符号更加复杂，解法更加灵活；因而更容易出现这样或那样的错误，为帮助同学们弄清分式运算中的错误所在，本文归纳几种错误如下，供同学们学习时参考．一、忽视隐含条件致错【例1】当x=___________时，分式的值为0．〖错解〗当x2－x＝0，即x=0或x=1时，上述分式的值为零．【剖析】由于x=0时，分母=0，因此分式无意义．故正确答案为：x=1．二、轻易约分致错【例2】为何值时，分式无意义？〖错解〗因为,由a+3=0得a＝－3，∴当a=－3时分式没有意义．【剖析】讨论分式有无意义及分式的值是否为零，一定要对原分式进行讨论，而不能讨论化简后的分式．误解的原因是轻易的约掉分子、分母中的公因式(a＋1)，相当于分子、分母同除以一个可能为零的代数式，扩大了分式中字母的取值范围，即放宽了分式成立的条件．正确答案应为：a＝－3或a=－1．三、符号上的错误【例3】化简的结果是（）． A、 B、 C、 D、〖错解〗原式=，选C 【剖析】错误的原因是由于把(2-m)变形为（m-2）时没有改变分式的符号．正解应为，故应选A．四、通分时误去分母【例4】计算：〖错解〗原式= 【剖析】错解把分式的化简与解方程去分母混同一体，分式化简的每一步变形的依据都是依靠分式的基本性质，通分要保留分母，而不是去分母；正解应为：原式=. 五、违走运算通性致错

【例5】计算：〖错解〗原式 = = 【剖析】乘除法是同级运算，谁在前先做谁，而不应违反运算通性．正解应为：原式== 六、结果不是最简分式【例6】计算〖错解〗原式【剖析】本题错在分式化简的结果不是最简分式，应在分式此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！

分式的乘除法典型例题

《分式的乘除法》典型例题例1 下列分式中是最简分式的是（） A ．264a b B ．b a a b --2)(2 C ．y x y x ++22 D ．y x y x --2 2 例2 约分（1）36)(12)(3a b a b a ab -- （2）44422 -+-x x x （3）b b 2213432-+ 例3 计算（分式的乘除）（1）22563ab cd c b a -?- （2）42 2 643mn n m ÷- （3）2 33344222++-?+--a a a a a a （4）2 22 22222b ab a b ab b ab b ab a +-+÷-++ 例4 计算（1）)()()(432 2xy x y y x -÷-?- （2）x x x x x x x --+?+÷+--36)3(446222 例5 化简求值 22232232b ab b a b b a ab a b a b +-÷-+?-，其中3 2=a ，3-=b . 例6 约分（1）3286b ab ；（2）2 22322xy y x y x x --

例7 判断下列分式，哪些是最简分式？不是最简分式的，化成最简分式或整式. （1）44422-+-x x x ；（2）36 ) (4)(3a b b a a --；（3）22 2y y x -；（4）882122++++x x x x 例8 通分：（1）223c a b ， ab c 2-，cb a 5 （2）a 392 -， a a a 2312---，652+-a a a

参考答案例1 分析：（用排除法）4和6有公因式2，排除A ．2)(a b -与)(b a -有公因式)(b a -，排除B ，22y x -分解因式为))((y x y x -+与)(y x -有公因式)(y x -，排除D. 故选择C. 解 C 例2 分析（1）中分子、分母都是单项式可直接约分.（2）中分子、分母是多项式，应该先分解因式，再约分.（3）中应该先把分子、分母的各项系数都化为整数，把分子、分母中的最高次项系数化为正整数，再约分. 解：（1）36)(12)(3a b a b a ab --)4()(3)()(3333-?--?-=b a a b b a b a a 3)(4 1b a b --= （2）4 4422-+-x x x )2)(2()2(2-+-=x x x 22+-=x x （3）原式2123486)22 1(6)3432(b b b b -+=?-?+=312482-+-=b b b b b b 634)12)(12(3)12(4-=-++-= 例3 分析（1）可以根据分式乘法法则直接相乘，但要注意符号.（2）中的除式是整式，可以把它看成1 64 mn .然后再颠倒相乘，（3）（4）两题都需要先分解因式，再计算. 解：（1）22563ab cd c b a -?-2253)6(ab c cd b a ?--=b ad 52= （2）422643mn n m ÷-7 43286143n m mn n m -=?-= （3）原式)2)(1)(3)(1()3)(2)(2(++----+=a a a a a a a 1 22--=a a （4）原式)()()()(2b a b a b b a b b a -+÷-+=2 2 22))((b b a b b a b a -=-+= 说明：（1）运算的结果一定要化成最简分式；（2）乘除法混合运算，可将除

分式运算中的常用技巧与方法

分式运算中的常用技巧与方法1 在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法，常常收到事半功倍的效果。现就分式运算中的技巧与方法举例说明。一、整体通分法例1．化简： 21 a a --a-1 分析将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。解： 21 a a --a-1= 21 a a --(a+1)= 21a a --(1)(1)1 a a a -+-= 22(1) 1a a a ---=11 a - 二、逐项通分法例2．计算 1 a b --1a b +- 22 2b a b +- 344 4b a b - 分析：注意到各分母的特征，联想乘法公式，适合采用逐项通分法解：1a b -- 1a b +- 22 2b a b +- 344 4b a b -= 22 ()() a b a b a b +---- 22 2b a b +- 344 4b a b - =222b a b --222b a b +- 344 4b a b -= 222244 2()2() b a b b a b a b +---- 344 4b a b - = 344 4b a b -- 344 4b a b -=0 三、先约分，后通分例3．计算： 2262a a a a +++ 22444 a a a -++

分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算解： 2262a a a a +++ 22444a a a -++=(6)(2)a a a a +++2 (2)(2)(2)a a a +-+=62a a +++22a a -+=242 a a ++=2 四、整体代入法例4．已知1x +1y =5求2522x xy y x xy y -+++的值解法1：∵ 1x + 1y =5∴xy ≠0,.所以 2522x xy y x xy y -+++= 225112y x y x -+++= 11 2()5112x y x y +-++=25552 ?-+=57 解法2：由1x +1y =5得，x y xy +=5, x+y=5xy ∴2522x xy y x xy y -+++=2()5()2x y xy x y xy +-++=25552xy xy xy xy ?-+=57xy xy =57 五、运用公式变形法例5．已知a 2-5a+1=0，计算a 4+4 1a 解：由已知条件可得a ≠0,∴a+1a =5 ∴a 4+4 1a =(a 2+2 1a )2-2=[(a+1a )2-2]2-2=(52-2)2 -2=527 六、设辅助参数法例6．已知b c a += a c b += a b c +，计算：()()() a b b c c a abc +++ 解：设b c a += a c b += a b c +=k ，则b+c=ak ；a+c=bk ；

(完整word版)分式混合运算练习题(30题)

分式精华练习题一．解答题 1．计算：（1）（2）（﹣2m2n﹣2）2?（3m﹣1n3）﹣3 2．计算：3．化简：．4．化简：5．计算：． 6．化简?（x2﹣9）7．计算：． 8．计算：+．9．计算：（1）；（2）．10．． 11．计算：12．计算：﹣a﹣1． 13．计算：（1）（2）14．计算：a﹣2+15．计算：．16．化简：，并指出x的取值范围．17．17．已知ab=1，试求分式：的值．18．计算：﹣19．计算：20．化简 21．计算： 22．化简： 23．计算：（1）；（2）．24．化简： 25．化简：．26化简： 27．计算：28．计算：（）÷．29．化简．30．计算：﹣x﹣2）

1.在下列方程中，关于x 的分式方程的个数（a 为常数）有（） ①0432212=+-x x ②.4=a x ③.;4=x a ④.;1392=+-x x ⑤;62 1 =+x ⑥ 21 1=-+-a x a x . A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2. 关于x 的分式方程15 m x =-，下列说法正确的是（） A ．方程的解是5x m =+ B ．5m >-时，方程的解是正数 C ．5m <-时，方程的解为负数 D ．无法确定 3.方程x x x -=++-13 15112 的根是（） A.x =1 B.x =-1 C.x =8 3 D.x =2 4.,04 412=+-x x 那么x 2的值是（） A.2 B.1 C.-2 D.-1 5.下列分式方程去分母后所得结果正确的是（） A. 11211-++=-x x x 去分母得，1)2)(1(1-+-=+x x x ； B. 1255 52=-+-x x x ，去分母得，525-=+x x ； C.242222-=-+-+-x x x x x x ，去分母得，)2(2)2(2 +=+--x x x x ； D. ,1 1 32-=+x x 去分母得，23)1(+=-x x ； 6. .赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完.当他读了一半书时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x 页，则下面所列方程中，正确的是( ) A. 21140140-+x x =14 B.21280280++x x =14 C.21 140 140++x x =14 D. 21 1010++x x =1 7.若关于x 的方程 01 11=----x x x m ，有增根，则m 的值是（） A.3 B.2 C.1 D.-1 8.若方程 ,) 4)(3(1 243+-+=++-x x x x B x A 那么A 、B 的值为（） A.2，1 B.1，2 C.1，1 D.-1，-1 9.如果,0,1≠≠= b b a x 那么=+-b a b a （） A.1-x 1 B.11+-x x C.x x 1- D.1 1 +-x x 10.使分式442-x 与6 52 632 2+++-+x x x x 的值相等的x 等于（） A.-4 B.-3 C.1 D.10 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 满足方程 22 11-=-x x 的x 的值是___ 12. 当x =____时，分式x x ++51的值等于2 1. 13.分式方程 02 22=--x x x 的增根是 . 14. 一汽车从甲地开往乙地，每小时行驶v 1千米，t 小时可到达，如果每小时多行驶v 2千米，那么可提前到达________小时. 15. 农机厂职工到距工厂15千米的某地检修农机，一部分人骑自行车先走40分钟后，其余人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车速度为自行车速度的3倍，若设自行车的速度为x 千米/时，则所列方程为 . 16.已知,54=y x 则=-+2 22 2y x y x . 17.=a 时，关于x 的方程 5 3 221+-=-+a a x x 的解为零. 18.飞机从A 飞到B 的路程S ’、速度是,1v ，返回的速度是2v ，往返一次的平均速度是 . 19.当=m 时，关于x 的方程 3 1 3292 -=++-x x x m 有增根. 20. 某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m 的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路x m ，则根据题意可得方程 . 三、解答题（共5大题，共60分） 21. .解下列方程 (1)x x x --=+-34231 (2) 2123442+-=-++-x x x x x （3）21124 x x x -=--． 22. 有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成；现在先由甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，问规定日期多少天？ 24.小兰的妈妈在供销大厦用12.50元买了若干瓶酸奶，但她在百货商场食品自选室内发现，同样的酸奶，这里要比供销大厦每瓶便宜0.2元钱，因此，当第二次买酸奶时，便到百货商场去买，结果用去18.40元钱，买的瓶数比第一次买的瓶数多 5 3 倍，问她第一次在供销大厦买了几瓶酸奶？

分式运算的几种技巧

分式运算的几种技巧分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。一、整体通分法例1 计算：2 11 ---a a a 【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a -1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式. 【解】2222(1)(1)(1)(1)11(1)111111 +--+---=-+=-==------a a a a a a a a a a a a a a a a 二、先约分后通分法例2 计算2221 2324+-++-+x x x x x x 分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多。解：原式=)2)(1(1+++x x x +)2)(2()2(+--x x x x =21 +x +2+x x =21++x x 三、分组加减法例3计算21-a +12 +a -12-a -21+a 分析：本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便。解：原式=（21-a -21+a ）+（12 +a -12-a ） =44 2-a +142--a =)1)(4(1222--a a 四、分离整数法例4 计算 3 x 4x 4x 5x 2x 3x 1x 2x -----+++-++ 方法：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。解：原式= (1)1(2)1(4)1(3)11243 ++++-----+-++--x x x x x x x x =1111(1)(1)(1)(1)1243 +-++---++--x x x x =11111243--+++--x x x x =。。。五、逐项通分法

分式混合运算练习题(50题)

一．解答题 1．计算：（1）（2）（﹣2m2n﹣2）2?（3m﹣1n3）﹣3 2．计算： 3．化简：． 4．（2007?双柏县）化简： 5．（2006?襄阳）计算：． 6．（2005?江西）化简?（x2﹣9） 7．（2007?北京）计算：． 8．（2005?宜昌）计算：+． 9．（2001?吉林）计算：（1）；（2）．10．（2001?常州）． 11．计算：

12．计算：﹣a﹣1． 13．计算：（1）（2） 14．计算：a﹣2+ 15．计算：． 16．化简：，并指出x的取值范围． 17．已知ab=1，试求分式：的值． 18．计算：﹣ 19．（2010?新疆）计算： 20．（2009?太原）化简： 21．（2009?上海）计算：． 22．（2009?眉山）化简： 23．（2009?江苏）计算：（1）；（2）．

24．（2009?东营）化简： 25．（2008?白银）化简：． 26．（2007?南昌）化简： 27．（2007?巴中）计算： 28．（2006?宜昌）计算：（）÷ ． 29．（2006?十堰）化简：． 30．（2006?南充）计算：﹣x ﹣2） 31．（2015?眉山）计算： 1 121222-+÷+--x x x x x x 32．（2015?宜昌）化简：12 1 122 2++-+-x x x x 33．（2015?厦门）计算：12 1++++x x x x 34．（2015?柳州）计算：a a a 1 1+- 35．（2015?佛山）计算：4 8 222---x x

36．（2015?福州）化简：2 22222)(b a ab b a b a +-++ 37．（2015?宜宾）化简：1 )1111(222--÷---a a a a a 38．（2015?青岛）化简：n n n n n 1 )12(2-÷++ 39．（2015?重庆）化简：1 22 )1112(2 ++-÷+-+-x x x x x x 40．（2015?泸州）化简：)11 1(1 22 2+-÷++m m m m 41．（2015?扬州）化简：)11 11(12---+÷-a a a a a 42．（2015?滨州）化简：)3 1 31(96262 +--÷+--m m m m m 43．（2015?广西）化简：2 1 )12(22-÷-+a a a a 44．（2015?连云港）化简：m m m m +-÷++224 )111( 45．（2015?成都）化简：2 1 )412(2+-÷ -++a a a a a 46．（2015?重庆）计算：y y y y y y ++-÷+--2 29 6)181( 47．（2015?南京）计算：b a a a b a b a +÷---)12(222

《分式》典型例题分析

《分式》复习提纲考点1. 分式的概念 1、下列各有理式 π y y x y x y x x y xy y x x x ,31),(23,,53,81,4,23,822++-+---中，分式的个数是（） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个考点2. 分式的意义分式：B A (A ， B 都是整式，且B 中含有字母，B ≠0) ① 分式有意义? ；② 分式无意义? ；③ 分式值为零? 1、若分式3 2-x 有意义，则x__________ 2、要使分式) 5)(32(23-+-x x x 有意义，则（） A. x ≠23- B. x ≠5 C. x ≠23-且x ≠5 D. x ≠2 3-或x ≠5 ? 3、当a 为任意有理数时，下列分式一定有意义的是（） A ． 112++a a B. 12+a a C. 112++a a D. 21a a + 4、分式324 x x +-当x 时有意义；当x 时分式没有意义；当x 时分式的值为零。 5、当x 时，分式2 52++x x 的值是零；当x 时，分式242--x x 的值是零；当x 时，分式x x -+22 的值是零考点3、最简公分母、最简分式 1、分式ac b b c a ab c 3,2,2--的最简公分母是；分式13x ，11x x +-，225(1)xy x -的最简公分母为________ 2、下列分式中是最简分式的是（） A. 122+x x B. x 24 C. 1 12--x x D. 11--x x 3、下列分式中是最简分式的是（） { A. 2 2 2)(y x y x -- B. 2x xy - C. xy x y x ++2 D. 22-+x x 考点4、分式的基本性质 1. 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。

分式的运算(含答案)解读

10、分式的运算【知识精读】 1. 分式的乘除法法则；当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。 2. 分式的加减法（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。求最简公分母是通分的关键，它的法则是： ①取各分母系数的最小公倍数； ②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取； ③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。（2）同分母的分式加减法法则（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。 3. 分式乘方的法则

（n为正整数） 4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题：（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；（3）运算中及时约分、化简；（4）注意运算律的正确使用；（5）结果应为最简分式或整式。下面我们一起来学习分式的四则运算。【分类解析】例1：计算的结果是（） A. B. C. D. 说明：先将分子、分母分解因式，再约分。例2：已知，求的值。

分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。例3：已知：，求下式的值：分析：本题先化简，然后代入求值。化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。例4：已知a、b、c为实数，且，那么的值是多少？分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。例5：化简：说明：解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则运用了乘法分配律，避免了上述问题。因此，解题时注意审题，仔细观察善于抓住题目的特征，选择适当的方法。

人教版初一数学分式混合运算专题练习

分式的运算例1、下列分式a bc 1215，a b b a --2 )(3，) (222b a b a ++，b a b a +-22中最简分式的个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 例2.计算：3234)1(x y y x ? a a a a 2122)2(2+?-+ x y xy 2 2 63)3(÷ 41441)4(222--÷+--a a a a a 例3、若4 32z y x ==,求222z y x zx yz xy ++++的值. 例4、计算（1）3 3 22）（c b a - （2） 43222)()()(x y x y y x -÷-?- （3）2 33 2 )3()2(c b a b c a - ÷- （4）232222)()()(x y xy xy x y y x -?+÷- 例5计算：1 814121111842+-+-+-+--x x x x x 练习：1.计算：8 87 4432284211x a x x a x x a x x a x a --+-+-+-- 例6.计算：20 18119171531421311?+?++?+?+?Λ 练习1、()()()()()() ()() 1011001 431 321 211 +++ ++++ +++ ++x x x x x x x x Λ 例7、已知 2 1)2)(1(12++-=+-+x B x A x x x ,求A. B 的值。计算下列各题: （1）2 222223223x y y x y x y x y x y x ----+--+ （2）11 11322+-+--+a a a a .

分式考点及典型例题分析(最全面)

分式考点及典型例题分析 1、分式的定义：例：下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、π xy 3、y x +3、m a 1+中分式的个数为（）（A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 . ⑴275x x -+； ⑵ 123 x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹222xy x y +. （2）下列式子，哪些是分式？ 5a -； 234x +；3y y ； 78x π+；2x xy x y +-；145 b -+. 2、分式有，无意义，总有意义：（1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解；（2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解；注意：（12 +x ≠0）例1：当x 时，分式 51-x 有意义；例2：分式x x -+212中，当____=x 时，分式没有意义例3：当x 时，分式112-x 有意义。例4：当x 时，分式12+x x 有意义例5：x ，y 满足关系时，分式x y x y -+无意义；例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（） A ． 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5x x - 例7：使分式2+x x 有意义的x 的取值围为（）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2

人教版初中数学专题复习---分式知识点和典型例习题

第十六章分式知识点和典型例习题【知识网络】第一讲分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) ４.幂的运算法则【主要公式】１.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3．分式的乘法与除法：b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= ４.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法；a m ● a n =a m+ｎ; ａm ÷ a n =ａm －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = ａm b ｎ , （a m ) ｎ = a ｍn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解：平方差与完全平方式 (ａ+b ）(a-b ）= a 2 - b ２ ;(ａ±b ）2= a ２±2a ｂ+ｂ2 （一)、分式定义及有关题型题型一:考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π，是分式的有：．题型二:考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 (1) 44+-x x ?(2)2 32+x x (3） 1 22-x （4） 3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件

【例３】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1)3 1+-x x (2) 4 2 ||2--x x ?（3)653 222----x x x x 题型四:考查分式的值为正、负的条件【例4】（1)当x 为何值时，分式 x -84 为正；（２)当x 为何值时,分式2 )1(35-+-x x 为负； (３）当x 为何值时,分式 3 2 +-x x 为非负数. 练习: 1．当x 取何值时,下列分式有意义：（1) 3 ||61 -x (2） 1 )1(32++-x x ??（3) x 111+ 2．当x 为何值时，下列分式的值为零： (1）4 |1|5+--x x (2) 5 6252 2+--x x x 3．解下列不等式 (１） 01 2 ||≤+-x x （2) 03 252 >+++x x x (二）分式的基本性质及有关题型 1．分式的基本性质: M B M A M B M A B A ÷÷=??= 2．分式的变号法则： b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一:化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数． (1)y x y x 4 1313221+- (2) b a b a +-04.003.02.0 题型二:分数的系数变号【例２】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）y x y x --+-? (2）b a a --- ?（３)b a --- 题型三:化简求值题【例3】已知： 511=+y x ,求 y xy x y xy x +++-2232的值．提示:整体代入,①xy y x 3=+，②转化出 y x 1 1+．

分式的基本性质-经典例题及答案

讲义编号： ______________ 副校长/组长签字：签字日期：【考纲说明】掌握分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行约分和通分，本部分在中考中通常会以选择题的形式出现，占3--4分。【趣味链接】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，3小时后相遇. 尔后两人都用原来速度继续前进，结果甲达到B地比乙达到A地早1小时21分.已知甲每小时比乙多走1千米，求甲、乙两人的速度。【知识梳理】分式 1.分式的概念：形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式.其中，A叫分式的分子，B叫分式的分母. 2.分式有意义的条件：因为两式相除的除式不能为零，即分式的分母不能为零，所以，分式有意义的条件是：分式的分母必须不等于零，即B≠0，分式有意义.

3．分式的值为零的条件：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可. 有理式有理式的分类：有理式分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 用式子表示为：（其中M≠0）约分和通分 1．分式的约分：把一个分式的分子与分母中的公因式约去叫约分. 2．分式的通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分. 最简分式与最简公分母：约分后，分式的分子与分母不再有公因式，我们称这样的分式为最简分式.取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母. 【经典例题】【例1】不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（? ） A．10 B．9 C．45 D．90 【例2】下列等式：①=-;②=;③=-; ④=-中,成立的是（） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【例3】不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（? ） A． B． C． D．【例4】分式，，，中是最简分式的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

分式经典题型分类练习题

分式的运算（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 1- 题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3 1 +-x x （2） 4 2||2--x x （3） 6 53222----x x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式 x -84 为正；（2）当x 为何值时，分式2 )1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式 3 2 +-x x 为非负数. 练习： 1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1） 3 ||61 -x （2） 1 )1(32++-x x （3） x 111+ 2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4 | 1|5+--x x （2） 5 62522+--x x x 3．解下列不等式（1） 01 2 ||≤+-x x （2） 03 252 >+++x x x （二）分式的基本性质及有关题型 1．分式的基本性质：M B M A M B M A B A ÷÷= ??= 2．分式的变号法则： b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1）y x y x 4 1313221+- （2） b a b a +-04.003.02.0

分式运算的八种技巧

分式运算的八种技巧 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

分式运算综合题 1、先化简，再求值：（1-x x －11+x ）÷1 12-x ，其中x=2 2、先化简，再求值： 2 1 +-a a ·12422 +--a a a ÷1 1 2 -a ，其中a 满足a 2-a=12。 3、计算：223y x y x -+－222y x y x -++2 232y x y x --。 4、化简： 12+x x -1422-+x x ÷1 22 2+-+x x x ，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值。 5、已知M=222y x xy -，N=2222y x y x -+，P=2 24x y xy -，用 “＋”或“-”连接M ，N ，P 有多种不同的形式，如M+N-P 。请你任选一种进行计算，并化简求值，其中x ：y=5:2。 6、已知abc ≠0且a+b+c=0,求a(b 1+c 1)+b(c 1+a 1)+c(a 1+b 1 )的值。 7、已知两个式子：A= 442-x ，B=21+x ＋x -21 ，其中x ≠±2，则A 与B 的关系是（） A.相等 B.互为倒数 C.互为相反数大于B 8、已知1＜x ＜2，则式子|2|2--x x －1|1|--x x ＋x x | |化简的结果是（） A.－1 9、已知a2+3ab+b2=0(a ≠0,b ≠0)，则式子a b +b a = 。 10、已知a 1+b 21=3，则式子b a ab b ab a 634452--+-= 。 11、已知3-x m －2+x n =) 2)(3(17+-+x x x ，求m 2+n 2的值。 12、已知a,b 为实数，且ab=1，设M=1+a a +1 +b b ，N= 11+a ＋1 1 +b ，试确定M ，N 的大小关系。 13、先化简，再求值：（x- 13+x x ）÷1 22 2++-x x x ,其中x 满足x 2+x-2=0. 14、已知A=（x-3）÷4 ) 96)(2(22-+-+x x x x －1,(1)化简A; 2x-1＜x, (2)若x 满足不等式组且x 为整数，求A 的值。 1- 3x ＜3 4 ， 15、计算：21-x －12-x ＋12+x －2 1+x 。 16、计算：3 22 3223322342b b a ab a b a ab b a b a b a a ---++-+

分式的化简求值经典练习题(带答案)

分式的化简一、比例的性质： ⑴比例的基本性质：a c ad bc b d =?=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=?? 交换内项交换外项同时交换内外项 ⑶反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d b d a c =?= ⑷合比性：a c a b c d b d b d ±±=?=，推广：a c a kb c kd b d b d ±±=?=（k 为任意实数） ⑸等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a b d n b +++=+++（...0b d n +++≠）二、基本运算分式的乘法：a c a c b d b d ??=? 分式的除法：a c a d a d b d b c b c ?÷=?=? ( 乘方：()n n n n n a a a a a a a a b b b b b b b b ?=?=?个个 n 个＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +?=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数) ⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1 n n a a -= (0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数】知识点睛中考要求

分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a b c c c +±= 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bc b d bd bd bd ±±=±= ，分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在. 一、分式的化简求值【例1】先化简再求值： 2 11 1x x x ---，其中2x = 【考点】分式的化简求值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年，湖南郴州）【解析】原式()()111x x x x x =---()11 1x x x x -==- 当2x =时，原式11 2x == 【答案】1 2 【例2】已知：22 21()111 a a a a a a a ---÷?-++，其中3a = 【考点】分式的化简求值【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】22 222 1(1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷ ?=-=--++- 【答案】4- 【例3】！【例4】先化简，再求值： 22144 (1)1a a a a a -+-÷ --，其中1a =- 【考点】分式的化简求值例题精讲

分式经典题型分类例题及练习题

分式的运算（一）、分式定义及有关题型题型一:考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π,是分式的有: ?. 题型二:考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时,下列分式有意义（1） 4 4+-x x (２) 2 32+x x （3） 1 22-x (4) 3 ||6--x x (5) x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时,下列分式的值为0. (1) 3 1 +-x x ? （2） 4 2||2 --x x ?（3) 6 5322 2----x x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件【例４】(1）当x 为何值时，分式 x -84 为正; （2）当x 为何值时，分式 2 )1(35-+-x x 为负； (3）当x 为何值时，分式3 2 +-x x 为非负数. 练习: 1.当x 取何值时，下列分式有意义： (１） 3 ||61 -x ?（２） 1 )1(32++-x x (3） x 111+ 2．当x 为何值时，下列分式的值为零: （1）4 | 1|5+--x x ?(2） 5 62522+--x x x 3.解下列不等式 (1)01 2 ||≤+-x x （2） 03 252 >+++x x x

(二)分式的基本性质及有关题型 1.分式的基本性质: M B M A M B M A B A ÷÷=??= 2．分式的变号法则:b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数. （1)y x y x 4 1313221+-? （２）b a b a +-04.003.02.0 题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （１） y x y x --+-? (2）b a a ---??（３）b a --- 题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求 y xy x y xy x +++-2232的值. 【例4】已知:21=-x x ,求221 x x +的值. 【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求y x 241 -的值. 练习：