福建省长泰一中2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)
2014-2015年福建省漳州市长泰一中高三上学期数学期末试卷(理科)与解析
2014-2015学年福建省漳州市长泰一中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（5分）若集合A={x|x2﹣2x﹣16≤0}，B={x|C≤5}，则A∩B中元素个数为（）A．6个B．4个C．2个D．0个2．（5分）如果复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为（）A．﹣2B．1C．2D．1或﹣2 3．（5分）在△ABC中，若B=60°，AB=2，AC=2，则△ABC的面积（）A．B．2C．D．4．（5分）下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，e≤0B．∀x∈R，2x＞x2C．x+≥2D．a2+b2≥，a，b∈R5．（5分）某程序框图如图所示，若程序运行后输出S的值是25，则图中判断框①处可填入的语句是（）A．n≤4？B．n≤5？C．n≤6？D．n≤7？6．（5分）由函数f（x）=e x﹣e的图象，直线x=2及x轴所围成的图象面积等于（）A．e2﹣2e﹣1B．e2﹣2e C．D．e2﹣2e+17．（5分）若函数f（x）=，则f（2）的值为（）A．2B．3C．4D．58．（5分）如图过拋物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（）A．y2=x B．y2=3x C．y2=x D．y2=9x9．（5分）若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是（）A．α∥β，l⊂α，n⊂β⇒l∥n B．α∥β，l⊂α⇒l⊥βC．l⊥n，m⊥n⇒l∥m D．l⊥α，l∥β⇒α⊥β10．（5分）如图，三行三列的方阵中，从中任取三个数，则至少有两个数最大公约数大于1 的概率是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．（4分）的展开式中，常数项为．（用数字作答）12．（4分）已知两个单位向量，的夹角为30°，=t+，=﹣t．若•=0，则正实数t=．13．（4分）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是．14．（4分）已知等差数列{a n}中，a5=1，a3=a2+2，则S11=．15．（4分）双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为：A．（1，3）；B．（1，3]；C．（3，+∞）；D．[3，+∞）”其正确选项是B．若将其中的条件“|PF1|=2|PF2|”更换为“|PF1|=k|PF2|，k＞0且k≠1”，试经过合情推理，得出双曲线离心率的取值范围是．（用k表示）三、解答题（本大题共5小题，共80分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤．）16．（13分）已知向量（x∈R），设函数f（x）=﹣1．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若∠A为锐角且f（A）=2，B=，边AB=3，求边BC．17．（13分）从装有大小相同的3个白球和3个红球的袋中做摸球试验，每次摸出一个球．如果摸出白球，则另从袋外取一个红球替换该白球放回袋中，继续做下一次摸球试验；如果摸出红球，则结束摸球试验．（Ⅰ）求一次摸球后结束试验的概率P1与两次摸球后结束试验的概率P2；（Ⅱ）记结束试验时的摸球次数为ξ，求ξ的分布列及其数学期望Eξ．18．（13分）如图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图．（Ⅰ）若F为PD的中点，求证：AF⊥平面PCD；（Ⅱ）证明：BD∥平面PEC；（Ⅲ）求平面PEC与面PDC所成的锐二面角的大小．19．（13分）设椭圆E：+=1（a＞b＞0），短轴长为4，离心率为，O为坐标原点，（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥？若存在，求出该圆的方程，若不存在说明理由．20．（14分）已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极值，对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围；（Ⅲ）当0＜x＜y＜e2且x≠e时，试比较的大小．四、选做题．本题设有21、22、23三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分7分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．【选修4-2：矩阵与变换】21．（7分）二阶矩阵M对应的变换T将点（2，﹣2）与（﹣4，2）分别变换成点（﹣2，﹣2）与（0，﹣4）．①求矩阵M；②设直线l在变换T作用下得到了直线m：x﹣y=6，求l的方程．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（7分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合．若曲线C1的方程为ρsin（θ﹣）+2=0，曲线C2的参数方程为（Ⅰ）将C1的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点Q为C2上的动点，P为C1上的动点，求|PQ|的最小值．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数f（x）=|x+3|﹣|x﹣2|．①求不等式f（x）≥3的解集；②若f（x）≥|a﹣4|有解，求a的取值范围．2014-2015学年福建省漳州市长泰一中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（5分）若集合A={x|x2﹣2x﹣16≤0}，B={x|C≤5}，则A∩B中元素个数为（）A．6个B．4个C．2个D．0个【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣16≤0}={x|1﹣}，B={x|C≤5}={0，1，4，5}，∴A∩B={0，1，4，5}，∴A∩B中元素个数为4．故选：B．2．（5分）如果复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为（）A．﹣2B．1C．2D．1或﹣2【解答】解：∵复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，∴a2+a﹣2=0且a2﹣3a+2≠0，∴a=﹣2，故选：A．3．（5分）在△ABC中，若B=60°，AB=2，AC=2，则△ABC的面积（）A．B．2C．D．【解答】解：∵在△ABC中，B=60°，AB=2，AC=2，∴由正弦定理=得：sinC===，∴C=30°，∴A=90°，则S=AB•AC•sinA=2，△ABC故选：B．4．（5分）下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，e≤0B．∀x∈R，2x＞x2C．x+≥2D．a2+b2≥，a，b∈R【解答】解：选项A，由指数函数的性质可得任意x均有e x＞0，故错误；选项B，当x=3时，不满足2x＞x2，故错误；选项C，当x为负数时，显然x为负数，故错误；选项D，a2+b2﹣=﹣=≥0，故a2+b2≥，故正确．答选：D5．（5分）某程序框图如图所示，若程序运行后输出S的值是25，则图中判断框①处可填入的语句是（）A．n≤4？B．n≤5？C．n≤6？D．n≤7？【解答】解：当n=1时，s=s+a，所以s=0+1=1，根据a=a+2，s=s+a知，算法执行的是求以1为首项，以2为公差的等差数列前n项的和，所以=因为输出的s的知识25，所以由n2=25得，n=5，即算法执行了5次运算，所以判断框内应填n≤5？故选：B．6．（5分）由函数f（x）=e x﹣e的图象，直线x=2及x轴所围成的图象面积等于（）A．e2﹣2e﹣1B．e2﹣2e C．D．e2﹣2e+1【解答】解：由题意，令f（x）=0，可得x=1∴函数f（x）=e x﹣e的图象，直线x=2及x轴所围成的图象面积等于=（e x﹣ex）=e2﹣2e故选：B．7．（5分）若函数f（x）=，则f（2）的值为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：已知函数f（x）=①当x=2时，函数f（2）=f（2+2）=f（4）②当x=4时，函数f（4）=f（4+2）=f（6）③当x=6时，函数f（6）=6﹣3=3故选：B．8．（5分）如图过拋物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（）A．y2=x B．y2=3x C．y2=x D．y2=9x【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴，求得p=，因此抛物线方程为y2=3x，故选：B．9．（5分）若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是（）A．α∥β，l⊂α，n⊂β⇒l∥n B．α∥β，l⊂α⇒l⊥βC．l⊥n，m⊥n⇒l∥m D．l⊥α，l∥β⇒α⊥β【解答】解：对于A，α∥β，l⊂α，n⊂β，l，n平行或异面，所以错误；对于B，α∥β，l⊂α，l 与β 可能相交可能平行，所以错误；对于C，l⊥n，m⊥n，在空间，l与m还可能异面或相交，所以错误．故选：D．10．（5分）如图，三行三列的方阵中，从中任取三个数，则至少有两个数最大公约数大于1 的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：=，从中任取三个数的事件总数为种方法．从中任取三个数，三个数的公约数为1的事件包括，①从5个质数中任取三个数共种方法；②取一个或两个质数有如下取法（2、3、35），（2、3、55），（2、5、21），（2、5、33），（2、7、33），（2、7、55），（2、11、21），（2、11、35），（2、21、55），（2、33、35），（3、7、55），（3、11、35），（5、11、21），（5、7、33）共14种方法．所以从中任取三个数，则至少有两个数最大公约数大于 1 的方法为84﹣10﹣14=60种方法．所以从中任取三个数，则至少有两个数最大公约数大于1 的概率是p=．故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．（4分）的展开式中，常数项为672．（用数字作答）=C9r（2x）9﹣r=（﹣1）r29﹣r C9r x9﹣r=【解答】解：由通项公式得T r+1（﹣1）r29﹣r C9r，令9﹣=0得r=6，所以常数项为（﹣1）623C96=8C93=8×=672故答案为67212．（4分）已知两个单位向量，的夹角为30°，=t+，=﹣t．若•=0，则正实数t=1．【解答】解：两个单位向量，的夹角为30°，则=1×1×cos30°=，由=t+，=﹣t，若•=0，则（t+）•（﹣t）=0，即有t﹣t+（1﹣t2）=0，则（1﹣t2）=0，解得，t=1（﹣1舍去）．故答案为：1．13．（4分）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是24．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得y=x+z，平移直线y=x可知当直线经过点A（8，0）时，目标函数取最小值b=﹣8，当直线经过点B（4，4）时，目标函数取最大值a=16，∴a﹣b=16﹣（﹣8）=24故答案为：2414．（4分）已知等差数列{a n}中，a5=1，a3=a2+2，则S11=33．【解答】解：等差数列{a n}中，∵a5=1，a3=a2+2，∴，∴a1=﹣7，d=2，∴=11×（﹣7）+=33．故答案为：33．15．（4分）双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为：A．（1，3）；B．（1，3]；C．（3，+∞）；D．[3，+∞）”其正确选项是B．若将其中的条件“|PF1|=2|PF2|”更换为“|PF1|=k|PF2|，k＞0且k≠1”，试经过合情推理，得出双曲线离心率的取值范围是．（用k表示）【解答】解：∵|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为：A．（1，3）；B．（1，3]；C．（3，+∞）；D．[3，+∞）”其正确选项是B，区间前端点为1，后端点为3==，若将其中的条件“|PF1|=2|PF2|”更换为“|PF1|=k|PF2|，k＞0且k≠1”，试经过合情推理，得出双曲线离心率的取值范围是开区间，前端点为1，后端点为，∴双曲线离心率的取值范围是；故答案为．三、解答题（本大题共5小题，共80分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤．）16．（13分）已知向量（x∈R），设函数f（x）=﹣1．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若∠A为锐角且f（A）=2，B=，边AB=3，求边BC．【解答】解：由已知得到函数f（x）=﹣1=2cos2x+2sinxcosx﹣1=cos2x+sin2x=2cos（2x﹣）；所以（1）函数f（x）的单调增区间是（2x﹣）∈[2kπ﹣π，2kπ]，即x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，f（A）=2，则2cos（2A﹣）=2，因为∠A为锐角，所以A=，又B=，边AB=3，所以由正弦定理得，即，解得BC=．17．（13分）从装有大小相同的3个白球和3个红球的袋中做摸球试验，每次摸出一个球．如果摸出白球，则另从袋外取一个红球替换该白球放回袋中，继续做下一次摸球试验；如果摸出红球，则结束摸球试验．（Ⅰ）求一次摸球后结束试验的概率P1与两次摸球后结束试验的概率P2；（Ⅱ）记结束试验时的摸球次数为ξ，求ξ的分布列及其数学期望Eξ．【解答】解：（Ⅰ）一次摸球结束试验，即摸出红球，故概率；二次摸球结束试验，先摸出白球，再摸出红球故概率P2=；（Ⅱ）依题意得：ξ的所有可能值有1，2，3，4，；；ξ1234P∴Eξ=．18．（13分）如图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图．（Ⅰ）若F为PD的中点，求证：AF⊥平面PCD；（Ⅱ）证明：BD∥平面PEC；（Ⅲ）求平面PEC与面PDC所成的锐二面角的大小．【解答】解：由三视图知，此几何体底面是一个边长为4的正方形，两线段PA 与EB垂直于底面ABCD，PA=4，EB=2，故以AB方向为X轴，以AD方向为Y 轴，以AP方向为Z轴，给出图形中各点的坐标，A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），D（0，4，0），P（0，0，4），E（4，0，2）（Ⅰ）若F为PD的中点，则F（0，2，2），故=（0，2，2），=（4，4，﹣4），=（﹣4，0，0），令平面PCD的法向量为，则，即，即，令z=1，得，故有=2，即AF与平面的法向量方向平行，∴AF⊥平面PCD；（Ⅱ）取PC中点M，连接EM，则M（2，2，2），则=（﹣2，2，0），又=（﹣4，4，0），故=2，于是EM∥BD，又EM在面PEC内，BD不在面PEC 内∴BD∥平面PEC；（Ⅲ）由（I），平面PCD的法向量为，又=（4，0，﹣2），=（0，4，﹣2），令面PEC的法向量为，则，即，即z=2x=2y，令x=1，得y=1，z=2，故故锐二面角的余弦是cosθ=||==、故θ=30°即平面PEC与面PDC所成的锐二面角的大小为30°19．（13分）设椭圆E：+=1（a＞b＞0），短轴长为4，离心率为，O为坐标原点，（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥？若存在，求出该圆的方程，若不存在说明理由．【解答】解：（1）∵椭圆E：+=1（a＞b＞0），短轴长为4，离心率为，∴2b=4，e==，又a2=b2+c2．解得，∴椭圆E的方程为．（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥，设该圆的切线方程为y=kx+m，联立化为（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，则△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，化为8k2﹣m2+4＞0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（k1x+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=﹣+m2=．∵，∴x1x2+y1y2=0，∴=0，∴3m2﹣8k2﹣8=0，∴≥0，又8k2﹣m2+4＞0，∴，∴，即或，∵直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，∴圆的半径为r=，==，r=，所求的圆为，此时圆的切线y=kx+m都满足或，而当切线的斜率不存在时，切线为x=与椭圆的两个交点为或满足．综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且．20．（14分）已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极值，对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围；（Ⅲ）当0＜x＜y＜e2且x≠e时，试比较的大小．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=a﹣．（Ⅰ）当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，函数在（0，+∞）单调递减，∴在（0，+∞）上没有极值点；当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞，f′（x）＜0得x＜．f′（x）=0得x=．∴在（0，）上递减，在（，+∞）上递增，即在x=处有极小值．∴当a≤0时在（0，+∞）上没有极值点，当a＞0时，在（0，+∞）上有一个极值点．（3分）（Ⅱ）∵函数在x=处取得极值，∴a=1，f（x）=x﹣1﹣lnx，∵f（x）≥bx﹣2，移项得（1﹣b）x≥lnx﹣1，再将b分离得出，b≤，令g（x）=，则令g′（x）=，可知在（0，e2）上g′（x）＜0，在（e2，+∞）上g′（x）＞0，∴g（x）在x=e2处取得极小值，也就是最小值．此时g（e2）=1﹣，所以b≤1﹣．（Ⅲ）由（Ⅱ）g（x）=在（0，e2）上为减函数．0＜x＜y＜e2且x≠e 时，有g（x）＞g（y），＞，整理得＞①当0＜x＜e时，1﹣lnx＞0，由①得，当e＜x＜e2时，1﹣lnx＜0，由①得四、选做题．本题设有21、22、23三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分7分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．【选修4-2：矩阵与变换】21．（7分）二阶矩阵M对应的变换T将点（2，﹣2）与（﹣4，2）分别变换成点（﹣2，﹣2）与（0，﹣4）．①求矩阵M；②设直线l在变换T作用下得到了直线m：x﹣y=6，求l的方程．【解答】解：①设M=，∵矩阵M对应的变换T将点（2，﹣2）与（﹣4，2）分别变换成点（﹣2，﹣2）与（0，﹣4），∴•=，•=，∴，∴．∴M=．②在直线l任意一点P（x，y），点P在变换T作用下得到了点P′（x′，y′），∵直线l在变换T作用下得到了直线m：x﹣y=6，∴•=且x′﹣y′=6，∴x′=x+2y，y′=3x+4y，∴（x+2y）﹣（3x+4y）=6，即x+y+3=0，∴直线l的方程是x+y+3=0．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（7分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合．若曲线C1的方程为ρsin（θ﹣）+2=0，曲线C2的参数方程为（Ⅰ）将C1的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点Q为C2上的动点，P为C1上的动点，求|PQ|的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，即；（Ⅱ）由c2得x2+y2=1，所以圆心为c2（0，0），半径为1．又圆心到直的距离为，所以．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数f（x）=|x+3|﹣|x﹣2|．①求不等式f（x）≥3的解集；②若f（x）≥|a﹣4|有解，求a的取值范围．【解答】解：①当x≥2，则f（x）=x+3﹣（x﹣2）=5≥3成立，则有x≥2；当﹣3＜x＜2时，f（x）=x+3﹣（2﹣x）=2x+1≥3，解得，x≥1，则有1≤x＜2；当x≤﹣3时，f（x）=﹣x﹣3﹣（2﹣x）=﹣5≥3不成立，则x∈∅．则不等式f（x）≥3的解集为{x|x≥2或1≤x＜2}={x|x≥1}；②由于||x+3|﹣|x﹣2||≤|（x+3）﹣（x﹣2）|=5，则﹣5≤|x+3|﹣|x﹣2|≤5，f（x）≥|a﹣4|有解，即为|a﹣4|≤5即有﹣5≤a ﹣4≤5， 解得，﹣1≤a ≤9，则实数a 的取值范围为[﹣1，9]．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性非奇非偶x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=单调性在(0,)+∞上是增函数 在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．。
福建省莆田一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷
福建省莆田一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知p：x＞4，q：x＞5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）中心在原点、焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=13．（5分）200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布图如图所示，则时速在50，60）分汽车大约有多少辆？（）A．30 B．40 C．50 D．60考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率分布直方图，结论频率、频数与样本容量的关系，即可得出正确的答案．解答：解：根据频率分布直方图，得；时速在.1，2hslx3y3h点评：本题考察了充分必要条件的定义，不等式的求解，命题和集合的关系，属于容易题．18．（12分）某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如表所示：文艺节目新闻节目总计20岁至40岁40 18 58大于40岁15 27 42总计55 45 100（Ⅰ）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？（Ⅱ）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．考点：分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（I）在100名电视观众中，收看新闻的观众共有45人，从中随机抽取5名，抽样比为，进而由大于40岁的观众为27人，得到大于40岁的观众应该抽取人数．（II）抽取的5人中，年龄大于40岁的有3人，列举出所有基本事件的个数，及满足恰有1名观众的年龄为20至40岁的基本事件个数，代入古典概型概率公式，可得答案．解答：解：（I）在100名电视观众中，收看新闻的观众共有45人，其中20至40岁的观众有18人，大于40岁的观众共有27人．故按分层抽样方法，在应在大于40岁的观众中中抽取人．…（4分）（II）抽取的5人中，年龄大于40岁的有3人，分别记作1，2，3；20岁至40岁的观众有2人，分别高为a，b，若从5人中任取2名观众记作（x，y），…（6分）则包含的总的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，a），（1，b），（2，3），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（a，b）共10个．…（8分）其中恰有1名观众的年龄为20岁至40岁包含的基本事件有：（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b）共6个．…（10分）故P（“恰有1名观众的年龄为20至40岁”）=；…（12分）点评：本题考查的知识点是分层抽样，古典概型概率公式，（I）的关键计算抽样比，（II）的关键是计算所有基本事件个数及满足条件的基本事件个数．19．（12分）已知F1（﹣1，0）、F2（1，0）为椭圆C的左、右焦点，且点P（1，）在椭圆C 上．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=x+1与椭圆C交于A、B两点，求弦长|AB|．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）先设出椭圆的方程，代入求出a，b的值即可；（2）联立方程组解出A，B的坐标，从而求出|AB|的长．解答：解：（1）设椭圆的方程是：=1，由a2﹣b2=1，+=1，解得：a2=3，b2=2，∴椭圆C的方程是：+=1；（2）由，解得：，，∴|AB|==．点评：本题考查了求椭圆的方程问题，考查了椭圆的性质，是一道中档题．20．（12分）已知直线y=kx+1和双曲线3x2﹣y2=1相交于两点A，B；（1）求k的取值范围；（2）若以AB为直径的圆恰好过原点，求k的值．考点：双曲线的简单性质．专题：直线与圆．分析：（1）把直线方程与双曲线的方程联立可得△＞0，解出即可．（2）利用向量垂直与数量积的关系、根与系数的关系即可得出．解答：解：设交点A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y，得（3﹣a2）x2﹣2ax﹣2=0，（1）由于直线与双曲线相交，∴∴a2＜6且a2≠3．∴a的取值范围为，且．（2）由韦达定理，得x1+x2=，①，②∵以AB为直径的圆恰好过坐标系的原点，∴，∴=x1x2+y1y2=0，即x1x2+（ax1+1）（ax2+1）=0，整理得（a2+1）x1x2+a（x1+x2）+1=0③将①②代入③，并化简得=0，∴a=±1，经检验，a=±1满足题目条件，故存在实数a满足题目条件．点评：本题考查了直线与双曲线相交转化为方程联立可得△＞0及根与系数的关系、圆的性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）设x∈（0，4），y∈（0，4）．（1）若x∈N+，y∈N+以x，y作为矩形的边长，记矩形的面积为S，求S＜4的概率；（2）若x∈R，y∈R，求这两数之差不大于2的概率．考点：几何概型；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）求出x∈N+，y∈N+时（x，y）所有的结果以及满足矩形的面积S＜4的（x，y）所有结果，利用古典概型求出对应的概率；（2）求出x∈R，y∈R时所有的结果组成区域Ω与两个数之差不大于2的所有结果组成区域H的面积，利用几何概型求出对应的概率．解答：解：（1）∵x∈N+，y∈N+，∴（x，y）所有的结果为（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9个，满足矩形的面积S＜4的（x，y）所有的结果为（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1）共5个，∴S＜4的概率为P=；（2）x∈R，y∈R时所有的结果组成区域为Ω={（x，y）|0＜x＜4，0＜y＜4}，两个之差不大于2的所有结果组成区域为H={（x，y）|0＜x＜4，0＜y＜4，|x﹣y|≤2}∴概率P（H）==．点评：本题考查了古典概型与几何概型的应用问题，解题时应根据题意，准确判断是哪种概率类型，从而进行解答问题，是基础题．22．（14分）直线l：y=k（x﹣1）过已知椭圆经过点（0，），离心率为，经过椭圆C的右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x=4上的射影依次为点D、K、E．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且，当直线l的倾斜角变化时，探求λ+μ的值是否为定值？若是，求出λ+μ的值，否则，说明理由；（Ⅲ）连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）由题设知，因为a2=b2+c2a2=4，c2=1，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设直线l方程y=k（x﹣1），且l与y轴交于M（0，﹣1），设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），由得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，再由韦达定理结合题设条件能够推导出当直线l的倾斜角变化时，λ+μ的值为定值．（Ⅲ）当直线l斜率不存在时，直线l⊥X轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK 的中点猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点．证明：由A（x1，y1），B（x2，y2），知D（4，y1），E（4，y2）．当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点再证点也在直线l BD上；所以当m变化时，AE与BD相交于定点．解答：解：（Ⅰ）由题设知，因为a2=b2+c2a2=4，c2=1，∴椭圆C的方程（3分）（Ⅱ）易知直线l的斜率存在，设直线l方程y=k（x﹣1），且l与y轴交于M（0，﹣k），设直线l 交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）由得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，∴（6分）又由，∴（x1，y1）=λ（1﹣x1，﹣y1），∴，同理∴（8分）∴所以当直线l的倾斜角变化时，λ+μ的值为定值；（10分）（Ⅲ）当直线l斜率不存在时，直线l⊥X轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK 的中点猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点（11分）证明：由（Ⅱ）知A（x1，y1），B（x2，y2），∴D（4，y1），E（4，y2）当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点∵当时，==∴点在直线l AE上，同理可证，点也在直线l BD上；∴当m变化时，AE与BD相交于定点点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要灵活运用圆锥曲线性质，注意合理地进行等价转化．。
数学上学期期中试题-第一中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题及答案(理)
广东省揭阳市第一中学2014-2015学年度 高二上学期期中考试数学（理）试卷一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．1．不等式13()()022x x +-≥的解集是（ ）A. 13{|}22x x -≤≤B. 13{|}22x x x ≤-≥或C. 13{|}22x x -<<D. 13{|}22x x x <->或2．下列函数中，既是偶函数又在区间0+∞（，）上单调递减的是（ ）. A ．1y x=B ．xy e -= C ．21y x =-+D ．lg ||y x =3．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且25932a a a =⋅，12=a ，则=1a （ ） A ．21 B ．22 C ．2 D ．24．在ABC ∆中，2,6a b B π===，则A 等于（ ）A ．4πB ．4π或34πC ．3πD ． 34π5．—个几何体的三视图及其尺寸如右图所示，则该几何体的表面积为 （ ）A ．12πB ．15πC ．24πD ．36π 6．下列结论正确的是（ ） A ．当0>x 且1≠x 时，x x lg 1lg +≥2 B ．当0>x 时，xx 1+≥2 C ．当x ≥2时，x x 1+的最小值为2 D ．当x <0≤2时，xx 1-无最大值 7．已知等比数列}{n a 的各项均为正数，公比1≠q ，记293a a P +=，75a a Q =，则P 与Q 大小关系是（ ）A ．Q P >B ．Q P <C ．Q P =D ．无法确定8．若函数x a x f 2)(⋅-=与14)(++=a x g x的图象有交点，则a 的取值范围是（ ）A ．222-≤a 或 222+≥aB ． 1-<a（第5题）C ．2221-≤≤-aD ． 222-≤a二、填空题:(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上). 9.不等式21<+xx 的解集为 10．函数)2sin(sin 3)(x x x f ++=π的最大值是11.已知正数y x ,满足12=+y x ，则yx 11+的最小值为 12.已知数列*))((2,1,}{2111N n a a a na a a n n n ∈+++==+ 中，则数列}{n a 的通项为13. 如果直线 0=++c by ax 与圆O ：122=+y x 交于B A ,两点，且1=AB ，O 为坐标原点，则OA OB ⋅=14. 已知12,x x 是关于x 的一元二次方程220x ax b ++=的两个实数根，且12(0,1),(1,2)x x ∈∈，则21b a --的取值范围是_________ 三、解答题 (本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.（本题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中340,4a S ==-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）当n 为何值时, n S 取得最小值.16.（本题满分12分）在ABC △中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边长，已知ABC △的1，sin sin A B C +=，且ABC △的面积为3sin 8C . （1）求边AB 的长； （2）求tan()A B +的值．17．（本小题满分14分）四棱锥ABCD P - 中，底面ABCD 是正方形，ABCD PA 面⊥，垂足为点A ，2==AB PA ，点N M ,分别是PB PD ,的中点.（1） 求证：ACM PB 平面//；（2） 求证：PAC MN 平面⊥； （3） 求四面体MBC A -的体积.18. （本小题满分14分）某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大. 已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少?19．（本小题满分14分）已知圆0122:22=+--+y x y x C ，直线kx y l =:，直线l 与圆C 交于B A 、两点，点M 的坐标为(0,)b ，且满足MA MB ⊥. （1）当1=b 时，求k 的值； （2）当)23,1(∈b 时，求k 的取值范围．20. （本小题满分14分） 已知向量m n //，其中31m (,1)1x c =-+-，n (1,)y =-(,,)x y c R ∈，把其中,x y 所满足的关系式记为()y f x =，且函数()f x 为奇函数.(1)求函数()f x 的表达式；(2)已知数列{}n a 的各项都是正数，nS为数列{}n a 的前n 项和，且对于任意*n N ∈，都有“数列{}()n f a 的前n 项和”等于2n S ，求数列{}n a 的首项1a 和通项公式n a ；(3)若数列{}n b 满足1*42(,)n a n n b a a R n N +=-⋅∈∈，求数列{}n b 的最小值.揭阳一中2014-2015学年度高二级第一学期期中考试（理科）数学试卷参考答案一、选择题1.A2. C3.B4.B5. C6. B7. A8. D 二、填空题11. {}10><x x x 或 12. 213. 3+ 14. n a n = 15. 21 16. )1,41( 三、解答题15．解: （1） 340,4a S ==-，1120,434 4.2a d a d +=⎧⎪∴⎨⨯+=-⎪⎩ ………………………2分 解得14,2a d =-=. ………………………4分()41226n a n n ∴=-+-⨯=-． (6)（2）()()11412n n n dS na n n n -=+=-+-…………………………………8分 25n n =-252524n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭……………………10分∈n Ｎ*, ∴当2=n 或3=n 时, n S 取得最小值6-. ……………………12分 16．解: （1）因为ABC △1，所以1AB BC AC ++=．………1分又sin sin A B C +=，由正弦定理得BC AC +=．……………2分 两式相减，得1AB =．…………………………………………………………………3分 （2）由于ABC △的面积13sin sin 28BC AC C C ⋅=，得34BC AC ⋅=，…………5分 由余弦定理得222cos 2AC BC AB C AC BC+-=⋅……………………………………………7分22()2123AC BC AC BC AB AC BC +-⋅-==⋅，………………………9分又0180C <<，所以sin 3C ==．…………………………11分故tan()tan A B C +=-=-分另解：由（1）得BC AC +=34BC AC ⋅=，所以AC BC ==分 在ABC △中，作CD AB ⊥于D，则CD =，………………………………8分所以tan tan A B ==分故tan tan tan()1tan tan A BA B A B++==--……………………………………12分17．证明：（1）连接AC ，BD ，记AC 与BD 的交点为O ，连接MO. ∵点O ，M 分别是BD ，PD 的中点 ∴MO//PB ，………… 2分 又PB ⊄面ACM ，MO ⊂面ACM ∴PB//面ACM. …………4分（2）∵PA ⊥面ABCD ∴PA ⊥BD …………5分 ∵底面ABCD 是正方形 ∴AC ⊥BD …………6分 又∵PA∩AC=A∴BD ⊥面PAC …………7分在⊿PBD 中，点M ，N 分别是PD ，PB 的中点∴MN//BD …………8分 ∴MN ⊥面PAC …………9分 （3）∵h S V V ABC ABC M MBC A ∙∙==--Δ31，且PA h 21= …………11分 ∴32)21()21(31=∙∙∙∙∙=-PA AD AB V MBC A …………14分18．解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x 、y 台，总利润是P ，则P =6x +8y ，………… 2分约束条件为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈≥≥≤+≤+Ny N x y x y x y x ,0,01101053002030…………6分可行域如图所示：y x P 86+=可化为P x y 8143+-=，可看作一组斜率为43-的直线，由图知直线y =－34x +18P 过点M 时，纵截距最大这时P 也取最大值，…10分由⎩⎨⎧=+=+1101053002030y x y x 解得)9,4(M …………12分∴P max =6×4+8×9=96（百元）故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润96百元…14分19．解：（1）圆的方程可化为1)1()1(22=-+-y x ，故圆心为)1,1(C ，半径1=r ....2分当1=b 时，点)1,0(M 在圆上，又MA MB ⊥，故直线l 过圆心)1,1(C ，∴1=k ………4分 从而所求直线l 的方程为x y = …………………………6分 （2）设),(),,(2211y x B y x A 由MA MB ⊥得0))((2121=--+b y b y x x 即0))((2121=--+b kx b kx x x∴0)()1(221212=++-+b x x kb x x k ① …………………8分联立得方程组⎩⎨⎧=+--+=012222y x y x kxy ，化简，整理得01)22()1(22=++-+x k x k ………….(*)由判别式0>∆得0>k 且有22122111,122kx x k k x x +=++=+………………10分 代入 ①式整理得01)1(2122=+++-b k k kb ,从而2221221k k k b b ++=+，又)23,1(∈b ∴613122222<++<k k k 可得k 的取值范围是),236()236,1(+∞+- ……14分20. (Ⅰ)m//n 3331101(10)1y y x c x c x c ∴⋅-=⇒=+-+-≠+-, ……………………2分因为函数()f x 为奇函数.所以1c =,3()(0)f x x x ⇒=≠ ……………………3分(Ⅱ)由题意可知,23333212123()()()n n n n f a f a f a S a a a a S +++=⇒++++=…①由①可得321111,01a a a a =>⇒=……………4分 3333212311(n 2)n n a a a a S --∴++++=≥………②由①-②可得:32211()n n n n n n a S S a S S --=-=+……5分{}n a 为正数数列212n n n n n a S S S a -∴=+=-…..③21112n n n a S a ---∴=-……④由③-④可得:2211n n n n a a a a ---=+10n n a a -+>,11n n a a -∴-=,{}n a ∴为公差为1的等差数列……7分*()n a n n N ∴=∈……8分(Ⅲ) *()n a n n N ∴=∈,122*42(2)()n n n n b a a a n N +∴=-⋅=--∈ 令2(2)nt t =≥,22()(2)n b t a a t ∴=--≥……9分(1)当2a <时,数列{}n b 的最小值为当1n =时,144n b b a ==-……10分 (2)当2a ≥时①若*2()k a k N =∈时, 数列{}n b 的最小值为当n k =时,2k b a =-……11分②若1*22()2k k a k N ++=∈时, 数列{}n b 的最小值为, 当n k =时或1n k =+ 221(2)k k k b b a a +==--……12分③若1*222()2k k ka k N ++<<∈时, 数列{}n b 的最小值为,当n k =时,22(2)k k b a a =-- ……13分④若11*222()2k k k a k N +++<<∈时,数列{}n b 的最小值为,当1n k =+时 1221(2)k k b a a ++=--……14分。
福建省长泰一中2014-2015学年高二下学期期中考试试卷(实验班)数学(文)(A卷)
2长泰一中2014/2015学年下学期期中考试高二年文科数学试卷（A 卷）线性回归方程中，1221ni i i n i i x y nx yb x nx==-=-∑∑ a y bx =-独立性检验中，临界值表:P(K 2≥k 0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.828一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合P ＝{x |x 2－x －2≥0}，Q ＝{y |y ＝12x 2－1，x ∈P }，则P ∩Q ＝( )A ．{m |m ≥2}B ．{－1}C ．{m |－1≤m ＜2}D ．{m |－1＜m ＜2}2.若复数z 满足(3)(2)5z i --=(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为A. 2i +B. 2i -C.5i +D.5i - 3．函数lg(2)y x =-的定义域为A. （－2，0）B. （0，2）C. （－2，2）D. [2,2)-4．若集合P ＝{x |0＜x ＜5，x ∈R}，Q ＝{1,2,3,4}，则x ∈P 是x ∈Q 的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．若函数f (x ) =4x 2－a x +5在区间[)2,+∞上单调递增，在(],2-∞上单调递减，则f (1)=（ ）A ．1B ．17C ．25D ．－76．已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( )A．2 B．1 C．0 D．－27．推理：因为平行四边形对边平行且相等，而矩形是特殊的平行四边形，所以矩形的对边平行且相等，以上推理的方法是()A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．合情推理8．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)周期为4，当x∈[]0,2时，f(x)= 2x－x2，则f(1)+ f(2)+…+ f(2014)的值是（）A．0B．1 C．2014 D．20159．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是() A．有两个内角是钝角B．有三个内角是钝角C．至少有两个内角是钝角D．没有一个内角是钝角10．已知函数f(x＋1)是偶函数，当x2＞x1＞1时，·(x2－x1)＞0恒成立，设a＝f(－1 2)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．b＜a＜c B．c＜b＜aC．b＜c＜a D．a＜b＜c11．已知命题p：∃x0∈R,x0－2＞lg x0；命题q：∀x∈R,x2-x+1＞0，给出下列结论①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧¬q”是假命题；③命题“¬p∨q”是真命题；④命题“p∨¬q”是假命题．其中所有正确结论的序号是（）A．②③B．①②③C．①③④D．①④12．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题为()A．①②B．①②③C．④D．②③二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）．13．已知数列{a n}，a1＝12，a n＋1＝3a na n＋3，则通过计算可得a2，a3，a4，a5的值，由此可猜想a n＝____________.14．学习合情推理后，甲、乙两位同学各举一个例子．甲：由“若三角形周长为l ，面积为S ，则其内切圆半径r ＝2Sl”类比可得“若三棱锥表面积为S ，体积为V ，则其内切球半径r ＝3VS”；乙：由“若直角三角形两直角边长分别为a 、b ，则其外接圆半径r ＝a 2＋b 22”类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a 、b 、c ，则其外接球半径r ＝a 2＋b 2＋c 23”．这两位同学类比得出的结论正确的是_______．15.函数(2)y f x =+的定义域为(,1]-∞，则函数22[log (1)]y f x =-的定义域 是__ __．16．若x ，y ∈R ，且有不等式：①22211112222x y x y ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭②22212123333x y x y ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭③22213134444x y x y ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭④22223235555x y x y ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 根据上述不等式，请你推出更一般的结论：三、解答题（本大题共6小题，满分74分．写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 17．(本小题满分10分)通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的数据:根据以上数据，判定有多大的把握认为“爱好该项运动与性别有关．18．(本小题满分12分)假设某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y(万元)有 如下的统计数据。
2014-2015年福建省漳州市华安一中高二(上)期末数学试卷(理科)及答案
2014-2015学年福建省漳州市华安一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）椭圆的焦距为（）A．B．4C．D．52．（5分）设复数z=3+4i7，则|z|=（）A．B．1C．5D．3．（5分）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4B．4C．2D．24．（5分）条件甲：“a＞0且b＞0”，条件乙：“方程﹣=1表示双曲线”，那么甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）如果执行右边的程序框图，那么输出的S=（）A．10B．22C．46D．946．（5分）若=（2，﹣3，1），=（2，0，3），=（0，2，2），则•（+）=（）A．4B．15C．7D．37．（5分）已知焦点在y轴的椭圆的离心率为，则m=（）A．3或B．3C．D．8．（5分）若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为（）A．2B．3C．4D．49．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（）A．B．C．D．10．（5分）椭圆的两顶点为A（a，0），B（0，b），且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11．（4分）准线方程为x=1的抛物线的标准方程是．12．（4分）函数f（x）=+lnx的导数为．13．（4分）如图，若在矩形OABC中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为14．（4分）点P是函数y=x2﹣lnx的图象上任一点，则P到直线y=x﹣2的距离的最小值为．15．（4分）已知四面体四个顶点分别为A（2，3，1）、B（4，1，﹣2）、C（6，3，7）和D（﹣5，﹣4，8），则顶点D到平面ABC的距离为．三、解答题（80分解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）16．（13分）已知复数z1=2﹣3i，z2=求：（1）z 1+（2）z1•z2；（3）．17．（13分）某商场举行抽奖活动，从装有编号为0，1，2，3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码相加之和：等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．（1）求中三等奖的概率（2）求中奖概率．18．（13分）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．（1）求a，b的值（2）求f（x）在x∈[﹣3，3]的最值．19．（13分）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD，（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（2）证明平面AMD⊥平面CDE；（3）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．20．（14分）已知函数f（x）=x2（x﹣a）+bx（Ⅰ）若a=3，b=l，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若b=0，不等式﹣1nx+1≥0对任意的x∈[，+∞）恒成立，求a的取值范围．21．（14分）已知F1，F2为椭圆的左右焦点，点P（1，）为其上一点，且有|PF1|+|PF2|=4（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在直线与椭圆交于M，N两点，且线段MN的中点为点（1，），若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由？（3）若直线y=kx+2与椭圆交于A，B两点，当k为何值时，OA⊥OB（O为坐标原点）？2014-2015学年福建省漳州市华安一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）椭圆的焦距为（）A．B．4C．D．5【解答】解：因为椭圆，所以半长轴为：a=3，半短轴为：b=2，所以，c==．所以焦距为：2．故选：C．2．（5分）设复数z=3+4i7，则|z|=（）A．B．1C．5D．【解答】解：复数z=3+4i7=3+4i3=3﹣4i，则|z|==5．故选：C．3．（5分）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4B．4C．2D．2【解答】解：双曲线2x2﹣y2=8，可化为∴a=2，∴双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是4故选：B．4．（5分）条件甲：“a＞0且b＞0”，条件乙：“方程﹣=1表示双曲线”，那么甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“a＞0且b＞0”，可推得“方程﹣=1表示双曲线”，即甲可推出乙，而“方程﹣=1表示双曲线”不能推出“a＞0且b＞0”，即乙不可可推出甲，故甲是乙的充分不必要条件故选：A．5．（5分）如果执行右边的程序框图，那么输出的S=（）A．10B．22C．46D．94【解答】解：由图循环体被执行四次，其运算规律是对S+1的和乘以2再记到S 中，每次执行后的结果依次是4，10，22，46故选：C．6．（5分）若=（2，﹣3，1），=（2，0，3），=（0，2，2），则•（+）=（）A．4B．15C．7D．3【解答】解：∵=（2，0，3），=（0，2，2），∴+=（2，2，5），∴•（+）=2×2+（﹣3）×2+1×5=3，故选：D．7．（5分）已知焦点在y轴的椭圆的离心率为，则m=（）A．3或B．3C．D．【解答】解：∵椭圆的焦点在y轴，∴a2=m+9，b2=9，可得c2=a2﹣b2=m，又∵椭圆的离心率等于∴⇒∴m=3故选：B．8．（5分）若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为（）A．2B．3C．4D．4【解答】解：双曲线的左焦点坐标为：，抛物线y2=2px的准线方程为，所以，解得：p=4，故选：C．9．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（）A．B．C．D．【解答】解：∵抛物线C：y2=4x的焦点为F，∴F点的坐标为（1，0）又∵直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则A，B两点坐标分别为（1，﹣2）（4，4），则=（0，﹣2），=（3，4），则cos∠AFB===﹣，故选：D．10．（5分）椭圆的两顶点为A（a，0），B（0，b），且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（）A．B．C．D．【解答】解：依题意可知点F（﹣c，0）直线AB斜率为=，直线BF的斜率为=∵∠FBA=90°，∴（）•=﹣=﹣1整理得c2+ac﹣a2=0，即（）2+﹣1=0，即e2+e﹣1=0解得e=或﹣∵0＜e＜1∴e=，故选：C．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11．（4分）准线方程为x=1的抛物线的标准方程是y2=﹣4x．【解答】解：由题意可知：=1，∴p=2且抛物线的标准方程的焦点在x轴的负半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2=﹣2px将p代入可得y2=﹣4x故答案为：y2=﹣4x12．（4分）函数f（x）=+lnx的导数为．【解答】解：函数的导数f′（x）=，故答案为：13．（4分）如图，若在矩形OABC中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为【解答】解：图中阴影部分的面积为S=cosxdx=sinx=1，矩形的面积为，∴豆子落在图中阴影部分的概率为．故答案为：．14．（4分）点P是函数y=x2﹣lnx的图象上任一点，则P到直线y=x﹣2的距离的最小值为．【解答】解：由可得x=1，所以切点为（1，1），它到直线y=x﹣2的距离为．故答案为：15．（4分）已知四面体四个顶点分别为A（2，3，1）、B（4，1，﹣2）、C（6，3，7）和D（﹣5，﹣4，8），则顶点D到平面ABC的距离为11．【解答】解：因为四面体四个顶点分别为A（2，3，1）、B（4，1，﹣2）、C（6，3，7）和D（﹣5，﹣4，8），所以=（2，﹣2，﹣3），=（4，0，6），=（﹣7，﹣7，7）．设平面ABC的法向量为=（a，b，c）所以，不妨令a=3，则c=﹣2，解得b=6．平面ABC的法向量为=（3，6，﹣2）．所以顶点D到平面ABC的距离，就是在平面ABC的法向量投影的长度，即：==11．故答案为：11．三、解答题（80分解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）16．（13分）已知复数z1=2﹣3i，z2=求：（1）z 1+（2）z1•z2；（3）．【解答】解：∵数z1=2﹣3i，z2===﹣1+i．则（1）z 1+=（2﹣3i）+（﹣1﹣i）=1﹣4i；（2）z1•z2=（2﹣3i）（﹣1+i）=1+5i；（3）=．17．（13分）某商场举行抽奖活动，从装有编号为0，1，2，3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码相加之和：等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．（1）求中三等奖的概率（2）求中奖概率．【解答】解：从袋中同时抽两个小球共有（0，1）（0，2）（0，3）（1，2）（1，3）（2，3）六中情况（1）设抽出两个球的号码之和为3为事件A，事件A共包含（0，3）（1，2）两种情况∴（2）设抽出两球的号码为5为事件B，两球的号码之和为4为事件C，由上知∴中奖概率概率为P=18．（13分）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．（1）求a，b的值（2）求f（x）在x∈[﹣3，3]的最值．【解答】解：（1）f'（x）=3ax2+2bx﹣3，依题意，f'（1）=f'（﹣1）=0，即，解得a=1，b=0．（2）f（x）=x3﹣3x，f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）．令f'（x）=0，得x=﹣1，x=1．若x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），则f'（x）＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数．若x∈（﹣1，1），则f'（x）＜0，故f（x）在（﹣1，1）上是减函数．∴f（﹣1）=2是极大值；f（1）=﹣2是极小值；又f（3）=18，f（﹣3）=﹣18．∴最大值与最小值分别为：f（3）=18，f（﹣3）=﹣18．19．（13分）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD，（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（2）证明平面AMD⊥平面CDE；（3）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．【解答】（1）解：由题设知，BF∥CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角．设P为AD的中点，连接EP，PC．因为FE=∥AP，所以FA=∥EP，同理AB=∥PC．又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD．而PC，AD都在平面ABCD内，故EP⊥PC，EP⊥AD．由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a，CD=DE=EC=，故∠CED=60°．所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°（2）证明：因为DC=DE且M为CE的中点，所以DM⊥CE．连接MP，则MP⊥CE．又MP∩DM=M，故CE⊥平面AMD．而CE⊂平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE．（3）解：设Q为CD的中点，连接PQ，EQ．因为CE=DE，所以EQ⊥CD．因为PC=PD，所以PQ⊥CD，故∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角．可得，．20．（14分）已知函数f（x）=x2（x﹣a）+bx（Ⅰ）若a=3，b=l，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若b=0，不等式﹣1nx+1≥0对任意的x∈[，+∞）恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，a=3、b=l，则f（x）=x2（x﹣3）+x=x3﹣3x2+x，所以f′（x）=3x2﹣6x+1，则在点（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=3﹣6+1=﹣2，又f（1）=1﹣3+1=﹣1，所以在点（1，f（1））处的切线方程y+1=﹣2（x﹣1），即2x+y﹣1=0；（Ⅱ）由b=0得f（x）=x2（x﹣a），因为﹣1nx+1≥0对任意的x∈[，+∞）恒成立，所以x﹣lnx+1≥a对任意的x∈[，+∞）恒成立，设g（x）=x﹣lnx+1，则，令=0，解得x=1，当＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0；所以函数g（x）在（，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，则函数g（x）的最小值是g（1）=2，即a≤2，所以a的取值范围是（﹣∞，2]．21．（14分）已知F1，F2为椭圆的左右焦点，点P（1，）为其上一点，且有|PF1|+|PF2|=4（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在直线与椭圆交于M，N两点，且线段MN的中点为点（1，），若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由？（3）若直线y=kx+2与椭圆交于A，B两点，当k为何值时，OA⊥OB（O为坐标原点）？【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为+=1（a＞b＞0），由已知|PF1|+|PF2|=4，得2a=4，即有a=2，点P（1，）在椭圆上，即有+=1，即有b=，则所求椭圆方程是；（2）若存在这样的直线l，依题意，l不垂直x轴，设l方程代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2+8k（﹣k）x+4（k﹣）2﹣12=0，设M（x1，y1）、N（x2，y2），有，得，又∵点C（1，）在椭圆内部，故所求直线l方程；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程：，化简得：（3+4k2）x2+16kx+4=0，则，，∵OA⊥OB∴x1•x2+y1y2=0，又，∴，解得：，∴，经检验满足△＞0，∴当时，OA⊥OB．。
福建省漳州一中2013-2014学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
漳州一中2013～2014学年第一学期期中考高二年数学（理科）试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 命题p ：0∀>x ，1sin -≥x ，则A ．p ⌝：0∃>x ，sin 1x <-B ．p ⌝：0∀>x ，1sin -<xC ．p ⌝：0∃>x ，sin 1x >-D ．p ⌝：0∀>x ，1sin -≥x2. 某雷达测速区规定：凡车速大于或等于80 km/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有A ．20辆B ．40辆C ．60辆D ．80辆 3．方程122=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的范围A ．(0,)+∞B ．(0,2)C ．(0,1)D ．(1,)+∞4. 以下茎叶图记录了甲.乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)A ．2,5 B. 5,5 C. 5,8D ．8,85．已知动圆C 与圆221:(2)9C x y +-=和圆222:(2)25C x y ++=都外切,则动圆圆心C 的轨迹是A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．双曲线的一支 6．已知椭圆C 的上、下顶点分别为1B 、2B ，左、右焦点分别为1F 、2F ，若四边形1122B F B F 是正方形，则此椭圆的离心率e 等于A ．13 B ．12 C ．2D7．已知椭圆的两个焦点为1(F，2F ，P 是此椭圆上的一点，且12PF PF ⊥， 12||||2PF PF ⋅=，则该椭圆的方程是A. 1622=+y xB. 1422=+y xC. 1622=+y x D. 1422=+y x8. 对于任意给定的实数m ，直线03=+-m y x 与双曲线0(12222>=-a by a x ，)0>b 最多有一个交点，则双曲线的离心率等于 A ．2B ．2C ．3D ．109. 已知抛物线24y x =，以(1,1)为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为A.210x y -+=B.210x y --=C.230x y +-=D.230x y +-=10．若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最小值为A．2-．12C．2．1 11．在同一坐标系中，方程22221a x b y +=与20(0)ax by a b +=>>的曲线大致是12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 是抛物线28y x =的焦点，两曲线的一个公共点为P ，且||5PF =，则双曲线的离心率为 A.2C.2D.3二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．右边框图表示的程序所输出的结果是 ．14．已知定点(2,3)A 在抛物线22(0)y px p =>的内部，F 为抛物线的焦点，点Q 在抛物线上，||||AQ QF +的最小值为4，则p = . 15．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形球盘，点A B 、是它的两个焦点，长轴长210a =，焦距26c =，静放在点A 的小球（小球的半径不计）从点A 沿直线（不与长轴共．．．．．线．）发出，经椭圆 壁反弹后第一次．．．回到点A 时，小球经过的路程为 ． 16．已知椭圆1C 的中心在原点、焦点在x 轴上，抛物线2C 的顶点在原点、焦点在x 轴上.小明从曲线1C 、2C 上各取若干个点（每条曲线上至少取两个点．．．），并记录其坐标（,)x y .由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆1C 上，也不在抛物线2C 上，小明的记录如下：据此，可推断抛物线2的方程为_____________.三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y =，且双曲线过点（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）过双曲线右焦点F 作倾斜角为4π的直线交双曲线于,A B ，求||AB . 18．（本小题满分12分）某教室有4扇编号为,,,a b c d 的窗户和2扇编号为,x y 的门，窗户d 敞开，其余门和窗户均被关闭．为保持教室空气流通，班长在这些关闭的门和窗户中随机地敞开2扇．（Ⅰ）记“班长在这些关闭的门和窗户中随机地敞开2扇”为事件A ，请列出事件A 包含的基本事件；（Ⅱ）求至少有1扇门被班长敞开的概率．19.（本小题满分12分）命题p : “方程22133x y k k +=-+表示双曲线” (R k ∈)；命题q :)1(log 22++=kx kx y 定义域为R ，若命题p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数k 的取值范围.20．（本小题满分12分）如图，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点(1,2)P ，11(,)A x y ，22(,)B x y 均在抛物线上.（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y y 12+的值及直线AB 的斜率.21．（本小题满分12分）已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -，焦点在x 轴上，若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在斜率为(0)k k ≠，且过定点(0,2)Q 的直线l ，使l 与椭圆交于两个不同的点M N ,，且AN AM =？若存在，求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由．22．（本小题满分14分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>过点(1,2A ，其焦距为2.（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则椭圆在其上一点00(,)A x y 处的切线方程为12020=+byy a x x ，试运用该性质解决以下问题： （i ）如图（1），点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，求OCD ∆面积的最小值；（ii ）如图（2），过椭圆222:182x y C +=上任意一点P 作1C 的两条切线PM 和PN ，切点分别为,M N .当点P 在椭圆2C 上运动时，是否存在定圆恒与直线MN 相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.图（1） 图（2）漳州一中2013～2014学年第一学期期中考高二年数学（理科）答案一、选择题：1-5.AACCD 6-10.CADBB 11-12.DC二、填空题：13.1320 14. 4 15. 20 16.24y x = 三、解答题：17．（本小题满分12分）解：(1)设双曲线方程为：223x y λ-=，点代入得：3λ=，所以所求双曲线方程为：2213y x -= ………………6分（2）直线AB 的方程为：2y x =-，由22233y x x y =-⎧⎨-=⎩ 得：22470x x +-=， ………………10分12|||62AB x x ∴=-==. ………………12分 18. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）事件A 包含的基本事件为：{,}a b 、{,}a c 、{,}a x 、{,}a y 、{,}b c 、{,}b x 、{,}b y 、{,}c x 、{,}c y ，{,}x y ，共10个．………6分注：⑴ 漏写1个情形扣2分，扣完6分为止；多写情形一律扣3分． （Ⅱ）方法一：记 “至少有1扇门被班长敞开”为事件B ．∵事件B 包含的基本事件有{,}a x 、{,}a y 、{,}b x 、{,}b y 、{,}c x 、{,}c y ，{,}x y ，共7个．……9分∴7()10P B =． ……………12分方法二：事件“2个门都没被班长敞开” 包含的基本事件有{,}a b 、{,}a c 、{,}b c ，共3个． ……………8分∴2个门都没被班长敞开的概率1310P =， ……………10分 ∴至少有1个门被班长敞开的概率23711010P =-=． ……………12分 19. （本小题满分12分） 解:p: 由(3)(3)0k k -+<得：33k -<< ………………2分q:令21t kx kx =++，由t >对x R∈恒成立. ………………3分（1）当k =时,10>,∴0k =符合题意. ……………… 4分（2）当0k ≠时，0k >⎧⎨∆<⎩，由2410k k ∆=-⨯⨯<得(4)0k k -<，解得：04k << ……………… 6分综上得：q :40<≤k . ……………… 7分因为p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，所以命题,p q 一个为真,一个为假. …………… 8分∴-3<k 30 4.k k <⎧⎨<≥⎩或 或33,0 4.k k k ≤-≥⎧⎨≤<⎩或 ……………… 10分 ∴30k -<<或34k ≤< ………………12分 20. （本小题满分12分）解：（I ）由已知条件，可设抛物线的方程为22(0)y px p =>因为点(1,2)P 在抛物线上,所以2221p =⨯，得2p =. ………… 2分 故所求抛物线的方程是24y x =, 准线方程是1x =-. …………… 4分 （II ）设直线PA 的方程为2(1)(0)y k x k -=-≠，即：21y x k -=+，代入24y x =，消去x 得： 24840y y k k-+-=. …………… 5分设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理得：142y k+=，即：142y k=-. …………… 7分将k 换成k -，得242y k=--，从而得：124y y +=-， …………… 9分直线AB 的斜率1212221212124144AB y y y y k y y x x y y --====--+-. …………… 12分 21. （本小题满分12分）解：（I ）依题意可设椭圆方程为 1222=+y ax ，则右焦点(,0)F c ，3=，解得：c a ∴=， 故所求椭圆的方程为1322=+y x . …………… 4分 （II ）设存在直线符合题意，直线方程为2y kx =+，代入椭圆方程得：22(31)1290k x kx +++=， …………… 6分设1122(,),(,)M x y N x y ，00(,)P x y 为弦MN 的中点，则由韦达定理得：2212214436(31)01231k k k x x k ⎧∆=-+>⎪⎨+=-⎪+⎩，21k ∴> …………… 8分0002262,23131k x y kx k k ∴=-=+=++， ……………9分因为MNAP AN AM ⊥∴=,0011y k x +∴⋅=-1k ∴=± ……………11分不符合0∆>，所以不存在直线符合题意. …………… 12分 22. （本小题满分14分）（I ）解：依题意得：椭圆的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，由椭圆定义知：122||||a AF AF =+11a cb ∴==∴=，所以椭圆1C 的方程为2212x y +=. …………… 4分 （II ）（ⅰ）设22(,)B x y ，则椭圆1C 在点B 处的切线方程为2212xx y y +=令0=x ，21y y D =，令22,0x x y C ==，所以221OCD S x y ∆= …………… 5分 又点B 在椭圆的第一象限上，所以12,0,0222222=+>>y x y x222222222222221y x y x y x =≥+=∴ …………… 7分221OCDS x y ∆∴=≥=，当且仅当122222222==⇔=y x y x所以当B 时，三角形OCD的面积的最小值为2 …………… 9分（Ⅲ）设(,)P m n ，则椭圆1C 在点),(33y x M 处的切线为：1233=+y y x x 又PM 过点(,)P m n ，所以1233=+n y m x ，同理点),(44y x N也满足4412x m y n +=， 所以,M N 都在直线12=+yn m x上， 即：直线MN 的方程为12mx ny += ……………12分所以原点O 到直线MN 的距离d ==2，………… 13分 所以直线MN 始终与圆2212x y +=相切. …………… 14分。
2014-2015年福建省厦门一中高二(上)期中数学试卷和参考答案(文科)
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤． 17． （12 分）已知不等式 ax2+x+c＞0 的解集为{x|1＜x＜3}． （Ⅰ）求 a，c 的值； （Ⅱ）若“ax2+2x+4c＞0”是“x+m＞0”的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围．
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二、填空题：本大题 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在答题卡相应位 置． 13． （4 分）请写出命题“若 a+b=3，则 a2+b2≥4”的逆否命题： ． ，
14． （4 分）△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 b=1，c= ∠C= ，则△ABC 的面积是 ．
15． （4 分）已知函数 f（x）= 式 f（x）＞f（1）的解集是 ．
，则不等
16． （4 分）植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻 两棵树相距 10 米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从 1 到 20 依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树 苗可以放置的两个最佳 坑位的编号为 ．
2014-2015 学年福建省厦门一中高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． 1． （5 分）设集合 M={x|（x+3） （5﹣x）＞0}，N={x|log3x≥1}，则 M∩N=（ A．[3，5） B．[1，3] C． （5，+∞） D． （﹣3，3] 2． （5 分）下列命题中，真命题是（ A． B．常数数列一定是等比数列 C．一个命题的逆命题和否命题同真假 D．x+ ≥2 3． （5 分）若 a、b 为实数，则“ab＜1”是“ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分条件 D．既不充分也不必要条件 ） ”的（ ） ） ）
【精编】2014-2015年福建省漳州市长泰一中高一(上)数学期中试卷带解析答案
2014-2015学年福建省漳州市长泰一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，合计60分）1．（5分）设集合A={﹣1，0，1}，B={x∈R|x＞0}，则A∩B=（）A．{﹣1，0}B．{﹣1}C．{0，1}D．{1}2．（5分）函数y=x+1的零点是（）A．0 B．﹣1 C．（0，0） D．（﹣1，0）3．（5分）若函数f（x）=（a﹣1）x﹣1为R上的增函数，则实数a的取值范围为（）A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞04．（5分）设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定5．（5分）某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林（）A．14400亩B．172800亩C．17280亩D．20736亩6．（5分）当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=log a x的图象是（）A．B．C．D．7．（5分）已知全集U=R，集合A={x|0＜2x＜1}，B={x|log3x＞0}，则A∩（∁U B）=（）A．{x|x＞1}B．{x|x＞0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＜0}8．（5分）已知函数f（x）=ax2+bx+3a+b是定义域为[a﹣1，2a]的偶函数，a+b 的值是（）A．0 B．C．1 D．﹣19．（5分）如果函数f（x）=（﹣∞＜x＜+∞），那么函数f（x）是（）A．奇函数，且在（﹣∞，0）上是增函数B．偶函数，且在（﹣∞，0）上是减函数C．奇函数，且在（0，+∞）上是增函数D．偶函数，且在（0，+∞）上是减函数10．（5分）设a=log54，b=（log53）2，c=log45，则（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有＜0，则（）A．f（3）＜f（2）＜f（4） B．f（1）＜f（2）＜f（3） C．f（2）＜f（1）＜f （3）D．f（3）＜f（1）＜f（0）12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（2017）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案直接写在答题卷相应位置上．）13．（4分）计算（）﹣1+log24的结果为．14．（4分）已知函数f（x）=则f（f（））=．15．（4分）函数的定义域是．16．（4分）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a﹣b，ab、∈P（除数b≠0），则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．其中正确的命题的序号是．（把你认为正确的命题的序号填填上）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）求的值．18．（12分）已知f（x）为二次函数，且f（x+1）+f（x﹣1）=2x2﹣4x．（1）求f（x）的表达式；（2）判断函数g（x）=在（0，+∞）上的单调性，并证之．19．（12分）已知函数．（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）求函数f（x）的值域．20．（12分）某商场的一种商品每件进价为10元，据调查知每日销售量m（件）与销售价x（元）之间的函数关系为m=70﹣x，10≤x≤70．设该商场日销售这种商品的利润为y（元）．（单件利润=销售单价﹣进价；日销售利润=单件利润×日销售量）（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求该商场销售这种商品的日销售利润的最大值．21．（12分）已知f（x）=x2+（lga+2）x+lgb，f（﹣1）=﹣2，当x∈R时f（x）≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时f（x）的最小值？22．（14分）已知函数f（x）=|x+1|+ax（a∈R）．（Ⅰ）试给出a的一个值，并画出此时函数的图象；（Ⅱ）若函数f（x）在R上具有单调性，求a的取值范围．2014-2015学年福建省漳州市长泰一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，合计60分）1．（5分）设集合A={﹣1，0，1}，B={x∈R|x＞0}，则A∩B=（）A．{﹣1，0}B．{﹣1}C．{0，1}D．{1}【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={x∈R|x＞0}，∴A∩B={1}，故选：D．2．（5分）函数y=x+1的零点是（）A．0 B．﹣1 C．（0，0） D．（﹣1，0）【解答】解：令y=0，∴x+1=0，∴x=﹣1，∴﹣1是函数的零点，故选：B．3．（5分）若函数f（x）=（a﹣1）x﹣1为R上的增函数，则实数a的取值范围为（）A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0【解答】解：∵f（x）=（a﹣1）x﹣1为R上的增函数，∴由一次函数的图象知a﹣1＞0，解得a＞1，故选：B．4．（5分）设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定【解答】解析：∵f（1.5）•f（1.25）＜0，由零点存在定理，得，∴方程的根落在区间（1.25，1.5）．故选：B．5．（5分）某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林（）A．14400亩B．172800亩C．17280亩D．20736亩【解答】解：由题设知该林场第二年造林：10000×（1+20%）=12000亩，该林场第三年造林：12000×（1+20%）=14400亩，该林场第四年造林：14400×（1+20%）=17280．故选：C．6．（5分）当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=log a x的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数y=a﹣x与可化为函数y=，其底数大于1，是增函数，又y=log a x，当0＜a＜1时是减函数，两个函数是一增一减，前增后减．故选：C．7．（5分）已知全集U=R，集合A={x|0＜2x＜1}，B={x|log3x＞0}，则A∩（∁U B）=（）A．{x|x＞1}B．{x|x＞0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＜0}【解答】解：∵A={x|0＜2x＜1}{x|x＜0}，B={x|log3x＞0}={x|x＞1}，所以C U B={x|x≤1}，∴A∩（C U B）={x|x＜0}．故选：D．8．（5分）已知函数f（x）=ax2+bx+3a+b是定义域为[a﹣1，2a]的偶函数，a+b 的值是（）A．0 B．C．1 D．﹣1【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx+3a+b是定义域为[a﹣1，2a]的偶函数∴a﹣1=﹣2a，b=0解得，b=0∴a+b=故选：B．9．（5分）如果函数f（x）=（﹣∞＜x＜+∞），那么函数f（x）是（）A．奇函数，且在（﹣∞，0）上是增函数B．偶函数，且在（﹣∞，0）上是减函数C．奇函数，且在（0，+∞）上是增函数D．偶函数，且在（0，+∞）上是减函数【解答】解：定义域为R，关于原点对称，f（﹣x）==f（x），则为偶函数，当x＞0时，y=（）x为减函数，则x＜0时，则为增函数，故选：D．10．（5分）设a=log54，b=（log53）2，c=log45，则（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c【解答】解：∵a=log54＜log55=1，b=（log53）2＜（log55）2，c=log45＞log44=1，∴c最大，排除A、B；又因为a、b∈（0，1），所以a＞b，故选：D．11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有＜0，则（）A．f（3）＜f（2）＜f（4） B．f（1）＜f（2）＜f（3） C．f（2）＜f（1）＜f （3）D．f（3）＜f（1）＜f（0）【解答】解：若对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有＜0，则函数f（x）满足在[0，+∞）上单调递减，则f（3）＜f（1）＜f（0），故选：D．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（2017）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，∴f（﹣1）=1，f（0）=0，f（1）=f（0）﹣f（﹣1）=﹣1，f（2）=f（1）﹣f（0）=﹣1，f（3）=f（2）﹣f（1）=0，f（4）=f（3）﹣f（2）=1，f（5）=f（4）﹣f（3）=1，f（6）=f（5）﹣f（4）=0，f（7）=f（6）﹣f（5）=﹣1，故当x∈N时，函数值以6为周期，呈现周期性变化，故f（2017）=f（1）=﹣1，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案直接写在答题卷相应位置上．）13．（4分）计算（）﹣1+log24的结果为5．【解答】解：（）﹣1+log24=3+2=5，故答案为：514．（4分）已知函数f（x）=则f（f（））=．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（）==﹣2，f（f（））=f（﹣2）=3﹣2=．故答案为：．15．（4分）函数的定义域是（0，1] ．【解答】解：由得log0.1（2x﹣1）≥0，∴0＜2x﹣1≤1，1＜2x≤2，∴0＜x≤1故答案为：（0，1]16．（4分）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a﹣b，ab、∈P（除数b≠0），则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．其中正确的命题的序号是③④．（把你认为正确的命题的序号填填上）【解答】解：要满足对四种运算的封闭，只有一个个来检验，如①对除法如不满足，所以排除；对②当有理数集Q中多一个元素i则会出现1+i∉该集合，所以它也不是一个数域；③④成立．故答案为：③④．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）求的值．【解答】解：原式=lg2（lg2+lg5）+lg5=lg2•lg10+lg5=lg2+lg5=lg10=1．18．（12分）已知f（x）为二次函数，且f（x+1）+f（x﹣1）=2x2﹣4x．（1）求f（x）的表达式；（2）判断函数g（x）=在（0，+∞）上的单调性，并证之．【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由条件得：a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=2x2﹣4x，从而，解得：，所以f（x）=x2﹣2x﹣1；…（6分）（2）函数g（x）=在（0，+∞）上单调递增．理由如下：g（x）==，设设任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则g（x1）﹣g（x2）=﹣（）=（x1﹣x2）（1+），∵x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1+＞0，∴g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），所以函数g（x）=在（0，+∞）上单调递增．…（12分）19．（12分）已知函数．（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）求函数f（x）的值域．【解答】解：（1）函数f（x）为R上的奇函数．…（2分）证明：显然，函数f（x）的定义域为R，…（3分）因为，所以，函数f（x）为R上的奇函数．…（5分）（2）…（2分）因为2x＞0，故1+2x＞1，，所以，即﹣1＜f（x）＜1，即函数f（x）的值域为（﹣1，1）．…（5分）20．（12分）某商场的一种商品每件进价为10元，据调查知每日销售量m（件）与销售价x（元）之间的函数关系为m=70﹣x，10≤x≤70．设该商场日销售这种商品的利润为y（元）．（单件利润=销售单价﹣进价；日销售利润=单件利润×日销售量）（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求该商场销售这种商品的日销售利润的最大值．【解答】解：（1）y=m（x﹣10），=（x﹣10）（70﹣x），=﹣x2+80x﹣700（10≤x≤70）；（2）∵y=﹣x2+80x﹣700=﹣（x﹣40）2+900，10≤x≤70，∴当x=40元时，最大利润y=900元．21．（12分）已知f（x）=x2+（lga+2）x+lgb，f（﹣1）=﹣2，当x∈R时f（x）≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时f（x）的最小值？【解答】解：由f（﹣1）=﹣2，得：f（﹣1）=1﹣（lga+2）+lgb=﹣2，解之得：lga﹣lgb=1，∴=10，a=10b．又由x∈R，f（x）≥2x恒成立．知：x2+（lga+2）x+lgb≥2x，即x2+xlga+lgb≥0，对x∈R恒成立，由△=lg2a﹣4lgb≤0，故得（1+lgb）2﹣4lgb≤0即（lgb﹣1）2≤0，只有lgb=1，不等式成立．即b=10，∴a=100．∴f（x）=x2+4x+1=（2+x）2﹣3当x=﹣2时，f（x）min=﹣3．22．（14分）已知函数f（x）=|x+1|+ax（a∈R）．（Ⅰ）试给出a的一个值，并画出此时函数的图象；（Ⅱ）若函数f（x）在R上具有单调性，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a=0时，函数f（x）=|x+1|如图（4分）（Ⅱ）化简f（x）=①a＞1时，当x≥﹣1时，f（x）=（a+1）x+1是增函数，且f（x）≥f（﹣1）=﹣a；当x＜﹣1时，f（x）=（a﹣1）x﹣1是增函数，且f（x）＜f（﹣1）=﹣a．所以，当a＞1时，函数f（x）在R上是增函数．同理可知，当a＜﹣1时，函数f（x）在R上是减函数．（6分）②a=1或﹣1时，易知，不合题意．③﹣1＜a＜1时，取x=0，得f（0）=1，取x=，由＜﹣1，知f（）=1，所以f（0）=f（）．所以函数f（x）在R上不具有单调性．（10分）综上可知，a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．（12分）赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
2015年福建省三明一中高二上学期数学期中试卷和解析(理科)
2014-2015学年福建省三明一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．下列各小题中，所给出的四个答案中有且仅有一个是正确的）1．（5分）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的中年职工为5人，则样本容量为（）A．7 B．15 C．25 D．352．（5分）双曲线=1的渐近线方程为（）A．y=±B．y=±x C．y=±x D．y=±x3．（5分）“x=1”是“x2﹣3x+2=0”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，则互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个黑球”与“都是红球”B．“至少有一个黒球”与“都是黒球”C．“恰有m个黒球”与“恰有2个黒球”D．“至少有一个黒球”与“至少有1个红球”5．（5分）有一抛物线型拱桥，当水面离拱顶2米时，水面宽4米，则当水面下降1米后，水面宽度为（）A．9 B．4.5 C．D．26．（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于（）A．15 B．29 C．31 D．637．（5分）下列命题中①“正多边形都相似”的逆命题；②“若x2+y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；③“若m＞0，则x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题；④命题：“2≥2”是“p∧q”的形式；其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）以椭圆+=1的焦点为焦点，离心率e=2的双曲线方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=19．（5分）已知Ω={（x，y）|x+y≤6，x≥0，y≥0}，A={（x，y）|x≤4，y≥0，x﹣2y≥0}，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）双曲线两焦点为F1，F2，点P在双曲线上，直线PF1，PF2倾斜角之差为，则△PF1F2面积为（）A．16B．32C．32 D．4211．（5分）直线y=kx﹣2交抛物线y2=8x于A、B两点，若弦AB的中点M（2，m），则k=（）A．2或﹣1 B．﹣1 C．2 D．312．（5分）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（）A．4a B．2（a﹣c）C．2（a+c）D．以上答案均有可能二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）13．（4分）写出命题“∃x0∈（0，π），使得sinx0＜x0”的否定形式是．14．（4分）抛物线y=4x2的准线方程为．15．（4分）设x，y∈R，集合A={（x，y）|x2﹣4y2=4}，B={（x，y）|y=kx+1}，若A∩B为单元素集，则k的值有个．16．（4分）下列四个命题中，①二直线平行的充要条件是它们的斜率相等；②点P（x，y）到A（﹣2，0），B（2，0）的距离和是4，则P的轨迹是线段AB；③双曲线上的点P与两焦点F1，F2满足|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率e∈（1，3]；④若△ABC的周长为10，A（﹣1，0）、B（1，0），则点C的轨迹方程是+=1．其中正确的命题是（将你认为正确的命题的序号都填上）．三、解答题：（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）给出两个命题：命题p：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根；命题q：函数y=（3﹣m）x为增函数．若“p或q”为真命题，求实数m的取值范围．18．（12分）随着居民收入的增加，私家车的拥有量呈快速增长趋势，下表是A 市2009年以来私家车拥有量的调查数据：（1）甲、乙两同学利用统计知识对以上数据进行处理，得到的线性回归方程分别为甲：=3.5x+5，乙：=3.2x+3.6．已知甲、乙两人中只有一人计算正确，请判断哪位同学的结论正确，并说明理由；（2）在（1）前提下，请估计2014年该城市私家车的拥有量．19．（12分）直线0过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线于A（x 1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=2，|AB|=4．（1）求抛物线的标准方程；（2）求抛物线上的点P到直线m：x﹣y+3=0的距离的最小值．20．（12分）先后抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），骰子向上的数字依次记为a，b．（1）求a+b能被5整除的概率；（2）求使关于=x的方程x2﹣2ax+b=0有实数解的概率．21．（13分）已知动圆P与圆O1：（x+2）2+y2=1外切，与圆O2：（x﹣2）2+y2=9内切．（1）求动圆圆心P的轨迹方程；（2）已知直线y=kx+1与P的轨迹方程相交于不同的两点，求k的取值范围．22．（13分）已知椭圆C方程为（a＞b＞0），左、右焦点分别是F1，F2，若椭圆C上的点P（1，）到F1，F2的距离和等于4．（Ⅰ）写出椭圆C的方程和焦点坐标；（Ⅱ）设点Q是椭圆C的动点，求线段F1Q中点T的轨迹方程；（Ⅲ）直线l过定点M（0，2），且与椭圆C交于不同的两点A，B，若∠AOB为锐角（O为坐标原点），求直线l的斜率k0的取值范围．2014-2015学年福建省三明一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．下列各小题中，所给出的四个答案中有且仅有一个是正确的）1．（5分）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的中年职工为5人，则样本容量为（）A．7 B．15 C．25 D．35【解答】解：设样本容量为n，由题意知：，解得n=15．故选：B．2．（5分）双曲线=1的渐近线方程为（）A．y=±B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：由题意，a=4，b=3，渐近线方程为y=±x，故选：C．3．（5分）“x=1”是“x2﹣3x+2=0”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x2﹣3x+2=0得x=1或x=2，则“x=1”是“x2﹣3x+2=0”成立充分不必要条件，故选：A．4．（5分）从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，则互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个黑球”与“都是红球”B．“至少有一个黒球”与“都是黒球”C．“恰有m个黒球”与“恰有2个黒球”D．“至少有一个黒球”与“至少有1个红球”【解答】解：选项A，“至少有一个黑球”说明有黑球，黑球的个数可能是1或2，而“都是红球”说明没有黑球，黑球的个数是0，这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，故A是对立的；选项B，“至少有一个黑球”发生时，“都是黑球”也会发生，故B不互斥，当然不对立；选项C，“恰有M个黒球”与“恰有2个黒球”互斥，但不是必有一个发生，故不对立．选项D，“至少有一个黑球”，黑球的个数可能是1或2，表明红球个数为0或1，这与“至少有1个红球”不互斥，因此它们不对立；故选：C．5．（5分）有一抛物线型拱桥，当水面离拱顶2米时，水面宽4米，则当水面下降1米后，水面宽度为（）A．9 B．4.5 C．D．2【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，故水面宽为2m．故选：D．6．（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于（）A．15 B．29 C．31 D．63【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：A B 是否继续循环循环前 2 1/第一圈 3 3 是第二圈 4 7 是第三圈 5 15 是第四圈 6 31 否则输出的结果为31．故选：C．7．（5分）下列命题中①“正多边形都相似”的逆命题；②“若x2+y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；③“若m＞0，则x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题；④命题：“2≥2”是“p∧q”的形式；其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①“正多边形都相似”的逆命题是：相似的多边形都是正多边形，①错误；②“若x2+y2≠0，则x，y不全为零”的否命题为：“若x2+y2=0，则x，y全为零，”，②正确；③“若m＞0，则x2+x﹣m=0有实根”是真命题，则它的逆否命题是真命题．③正确；④命题：“2≥2”即为“2＞1或2=2”，是p∨q的形式，④错误；综上，正确命题有2个，故选：B．8．（5分）以椭圆+=1的焦点为焦点，离心率e=2的双曲线方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：椭圆+=1的∴焦点坐标为（﹣4，0），（4，0）∵双曲线的焦点与椭圆的焦点重合∴c=4∵椭圆C的离心率2，∴∴a=2∴b=2∴双曲线方程是﹣=1故选：A．9．（5分）已知Ω={（x，y）|x+y≤6，x≥0，y≥0}，A={（x，y）|x≤4，y≥0，x﹣2y≥0}，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得：Ω={（x，y）|x+y≤6，x≥0，y≥0}表示的区域是图中的三角形AOB，=18，易得区域的面积S△AOBA={（x，y）|x≤4，y≥0，x﹣2y≥0}表示的区域为图中的阴影部分，区域的面积S=4，阴影所以点P落入区域A的概率为．故选：A．10．（5分）双曲线两焦点为F1，F2，点P在双曲线上，直线PF1，PF2倾斜角之差为，则△PF1F2面积为（）A．16B．32C．32 D．42【解答】解：∵直线PF1，PF2倾斜角之差为，∴∠F1PF2=，∴△PF1F2面积=16×=16．故选：A．11．（5分）直线y=kx﹣2交抛物线y2=8x于A、B两点，若弦AB的中点M（2，m），则k=（）A．2或﹣1 B．﹣1 C．2 D．3【解答】解：直线y=kx﹣2代入抛物线y2=8x，整理可得k2x2﹣（4k+8）x+4=0，△=（4k+8）2﹣16k2=64k+64＞0，即k＞﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵AB的中点的横坐标为2，∴x1+x2==4得k=﹣1（舍去）或k=2，故选：C．12．（5分）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（）A．4a B．2（a﹣c）C．2（a+c）D．以上答案均有可能【解答】解：（1）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2（a﹣c），则选B；（2）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2（a+c），则选C；（3）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a，则选A．由于三种情况均有可能，故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）13．（4分）写出命题“∃x0∈（0，π），使得sinx0＜x0”的否定形式是∀x∈（0，π），使得sinx≥x．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x0∈（0，π），使得sinx0＜x0”的否定形式是：∀x∈（0，π），使得sinx≥x．故答案为：∀x∈（0，π），使得sinx≥x．14．（4分）抛物线y=4x2的准线方程为．【解答】解：整理抛物线方程得x2=y，∴p=∵抛物线方程开口向上，∴准线方程是y=﹣故答案为：．15．（4分）设x，y∈R，集合A={（x，y）|x2﹣4y2=4}，B={（x，y）|y=kx+1}，若A∩B为单元素集，则k的值有4个．【解答】解：∵x2﹣4y2=4，∴﹣y2=1，∵直线y=kx+1恒过（0，1）．∴据图可判断；当直线与渐近线平行时，1个交点，∴k=，1个交点，∵直线与双曲线相切时，1个公共点，∴根据对称性，这样的直线有2条，∴k的值有2个，∴当直线与双曲线有1个公共点时，k的值有4个，∴若A∩B为单元素集，则k的值有4个，故答案为：416．（4分）下列四个命题中，①二直线平行的充要条件是它们的斜率相等；②点P（x，y）到A（﹣2，0），B（2，0）的距离和是4，则P的轨迹是线段AB；③双曲线上的点P与两焦点F 1，F2满足|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率e∈（1，3]；④若△ABC的周长为10，A（﹣1，0）、B（1，0），则点C的轨迹方程是+=1．其中正确的命题是②③（将你认为正确的命题的序号都填上）．【解答】解：①二直线平行的充要条件是它们的斜率相等且在y轴上的截距不等或斜率都不存在且在x轴上的截距不等，因此不正确；②点P（x，y）到A（﹣2，0），B（2，0）的距离和是4，则P的轨迹是线段AB，正确；③双曲线上的点P与两焦点F1，F2满足|PF1|=2|PF2|，则|PF1|=4a，|PF2|=2a，∴2a+2c≥4a且4a+2a≥2c，解得1＜e≤3，因此双曲线的离心率e∈（1，3]，正确；④若△ABC的周长为10，A（﹣1，0）、B（1，0），则点C满足|AC|+|BC|=10=2a ＞|AB|=2，因此其椭圆的标准方程为，因此不正确．综上可得：只有②③正确．故答案为：②③．三、解答题：（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）给出两个命题：命题p：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根；命题q：函数y=（3﹣m）x为增函数．若“p或q”为真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：若p为真命题，则△=16（m﹣2）2﹣16＜0∴1＜m＜3．若q为真命题，则3﹣m＞1，∴m＜2．…（6分）又“p或q”为真命题∴p，q中至少有一个为真命题．∴由图得：实数m的取值范围是（﹣∞，3）．…（12分）18．（12分）随着居民收入的增加，私家车的拥有量呈快速增长趋势，下表是A 市2009年以来私家车拥有量的调查数据：（1）甲、乙两同学利用统计知识对以上数据进行处理，得到的线性回归方程分别为甲：=3.5x+5，乙：=3.2x+3.6．已知甲、乙两人中只有一人计算正确，请判断哪位同学的结论正确，并说明理由；（2）在（1）前提下，请估计2014年该城市私家车的拥有量．【解答】解：解法一：（1）由表中数据可知=2，=10，得样本中心（2，10）；分别代入=3.5x+5和=3.2x+3.6，可得=3.2x+3.6过样本中心（2，10），又∵已知甲、乙两人中只有一人计算正确，∴乙的结论正确．（2）∵2014=2009+5，∴将x=5代入=3.2x+3.6，得=19.6；由此预计2014年该城市私家车的拥有量将达到19.6万辆．解法二：（1）由表中数据可知，=2，=10，又由b=，a=﹣b，可解得b=3.2，a=3.6，于是所求的回归直线方程为=3.2x+3.6，即乙的结论正确．（2））∵2014=2009+5，∴将x=5代入=3.2x+3.6，得=19.6；由此预计2014年该城市私家车的拥有量将达到19.6万辆．19．（12分）直线0过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=2，|AB|=4．（1）求抛物线的标准方程；（2）求抛物线上的点P到直线m：x﹣y+3=0的距离的最小值．【解答】解：（1）由抛物线定义得，|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4，又∵x1+x2=2，∴p=2．∴抛物线标准方程y2=4x．（2）由题得，直线m与抛物线没有公共点，设与直线m平行且与抛物线相切的直线n：x﹣y+t=0，联立，消去x整理得，y2﹣4y+4t=0．∴△=16﹣16t=0，解得，t=1，故切线n：x﹣y+1=0．∴d min==，即抛物线上的点P到直线m：x﹣y+3=0的最小距离为．20．（12分）先后抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），骰子向上的数字依次记为a，b．（1）求a+b能被5整除的概率；（2）求使关于=x的方程x2﹣2ax+b=0有实数解的概率．【解答】解：一次事件记为（a，b），则共有6×6=36种不同结果，因此共有36个基本事件，（1）a+b能被5整除的事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4种，设“a+b能被5整除”为事件A，∴P（A）==．（2）设“方程x2﹣2ax+b=0有实数解”为事件B，它的对立事件“方程x2﹣2ax+b=0无解”为事件C，若方程x2﹣2ax+b=0无解，则a2＜b，则C中符合条件的（a，b）有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，5），（2，6）共7种，故由对立事件得P（B）=1﹣P（C）=1﹣=．21．（13分）已知动圆P与圆O1：（x+2）2+y2=1外切，与圆O2：（x﹣2）2+y2=9内切．（1）求动圆圆心P的轨迹方程；（2）已知直线y=kx+1与P的轨迹方程相交于不同的两点，求k的取值范围．【解答】解：（1）如图：设动圆圆心P坐标（x，y），r为动圆P的半径，∵动圆p与圆O1外切，可得|PO1|=r+1．动圆P与圆O2内切可得|PO2|=r﹣3．∴两式相减得|PO1|﹣|PO2|=4=|O1O2|，∴动圆圆心P的轨迹是以O1（，0）、O2（，0）、为焦点，实轴2a=4的双曲线的右支，又b2=（）2﹣22=4，∴动圆圆心P的轨迹方程：．…（6分）（2）联立，消去y整理得：（1﹣k2）x2﹣2kx﹣5=0，…①∵直线y=kx+1与点P的轨迹相交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），∴△=（﹣2k）2﹣4（1﹣k2）（﹣5）=20﹣16k2，x1+x2=，x1•x2=．…（10分）等价于方程①有两个不相等的正实根x1，x2，可得，即，解得∴k的取值范围．…（13分）22．（13分）已知椭圆C方程为（a＞b＞0），左、右焦点分别是F1，F2，若椭圆C上的点P（1，）到F1，F2的距离和等于4．（Ⅰ）写出椭圆C的方程和焦点坐标；（Ⅱ）设点Q是椭圆C的动点，求线段F1Q中点T的轨迹方程；（Ⅲ）直线l过定点M（0，2），且与椭圆C交于不同的两点A，B，若∠AOB为锐角（O为坐标原点），求直线l的斜率k0的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：2a=4，得a=2，又点P（1，）在椭圆上，∴，解得b2=1．∴椭圆C的方程为，焦点；（Ⅱ）设椭圆上的动点Q（x0，y0），线段F1Q中点T（x，y），由题意得：，得，代入椭圆的方程得，即为线段F1Q中点T的轨迹方程；（Ⅲ）由题意得直线l的斜率存在且不为0，设l：y=kx+2，代入整理，得（1+4k2）x2+16kx+12=0，△=（16k）2﹣4（1+4k2）•12=16（4k2﹣3）＞0，得…①设A（x1，y1），B（x2，y2），∴．∵∠AOB为锐角，∴cos∠AOB＞0，则，又．∴==，∴k2＜4 …②由①、②得．∴k的取值范围是．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
2014-2015年福建省宁德二中高二上学期数学期中试卷及参考答案(理科)
2014-2015学年福建省宁德二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）1．（5分）在△ABC中，若C=90°，a=6，B=30°，则c﹣b等于（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣22．（5分）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：13．（5分）边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90°B．120°C．135° D．150°4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣105．（5分）等差数列{a n}中，a1+a2+…+a50=200，a51+a52+…+a100=2700，则a1等于（）A．﹣1221 B．﹣21.5 C．﹣20.5 D．﹣206．（5分）下列各对不等式中同解的是（）A．2x＜7与 B．（x+1）2＞0与x+1≠0C．|x﹣3|＞1与x﹣3＞1 D．（x+1）3＞x3与7．（5分）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b8．（5分）如果实数x，y满足x2+y2=1，则（1+xy）（1﹣xy）有（）A．最小值和最大值1 B．最大值1和最小值C．最小值而无最大值 D．最大值1而无最小值9．（5分）设集合（）A．B．C．D．10．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（）A．10 B．﹣10 C．14 D．﹣14二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11．（4分）在△ABC中，若b=2，B=30°，C=135°，则a=．12．（4分）数列{a n}是等差数列，a4=7，S7=．13．（4分）等差数列{a n}中，a2=5，a6=33，则a3+a5=．14．（4分）一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30，则这个两位数为．15．（4分）当x=时，函数y=x2（2﹣x2）有最值，且最值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．三个数成等差数列，其比为3：4：5，如果最小数加上1，则三数成等比数列，求这三个数．17．在△ABC中，若A+B=120°，则求证：+=1．18．解不等式﹣4＜﹣x2﹣x﹣＜﹣2．19．求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件．20．已知a＞2，求证：log（a﹣1）a＞log a（a+1）21．如果x2+y2=1，求3x﹣4y的最大值．2014-2015学年福建省宁德二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）1．（5分）在△ABC中，若C=90°，a=6，B=30°，则c﹣b等于（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：c==4，b=atan30°=2∴c﹣b=4﹣2=2故选：C．2．（5分）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：1【解答】解：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=π所以∠A=，∠B=，∠C=．由正弦定理可知：a：b：c=sin∠A：sin∠B：sin∠C=sin：sin：sin=1：：2．故选：C．3．（5分）边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90°B．120°C．135° D．150°【解答】解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°﹣θ，有余弦定理可得，cosθ==，易得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°﹣θ=120°，故选：B．4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10【解答】解：∵a 4=a1+6，a3=a1+4，a1，a3，a4成等比数列，∴a 32=a1•a4，即（a1+4）2=a1×（a1+6），解得a1=﹣8，∴a2=a1+2=﹣6．故选：B．5．（5分）等差数列{a n}中，a1+a2+…+a50=200，a51+a52+…+a100=2700，则a1等于（）A．﹣1221 B．﹣21.5 C．﹣20.5 D．﹣20【解答】解：∵a1+a2+…+a50=200 ①a51+a52+…+a100=2700 ②②﹣①得：50×50d=2500，∴d=1，∵a1+a2+…+a50=200，∴na1+n（n﹣1）d=200，∴50a1+25×49=200，∴a1=﹣20.5，故选：C．6．（5分）下列各对不等式中同解的是（）A．2x＜7与 B．（x+1）2＞0与x+1≠0C．|x﹣3|＞1与x﹣3＞1 D．（x+1）3＞x3与【解答】解：A、2x＜7，解得x＜，2x+＜7+，解得：0≤x＜，不是同解不等式本选项错误；B、（x+1）2＞0与x+1≠0为同解不等式，本选项正确；C、|x﹣3|＞1化为x﹣3＜﹣1或x﹣3＞1，与x﹣3＞1不是同解不等式，本选项错误；D、（x+1）3＞x3变形得：x+1＞x，即1＞0恒成立，而＜，x+1≠0且x≠0，不是同解不等式，本选项错误，故选：B．7．（5分）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b【解答】解：对于A，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故A错对于B，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故B错对于C，∵﹣1＜b＜1∴0≤b2＜1∵a＞1∴a＞b2故C正确对于D，例如a=此时满足a＞1＞b＞﹣1，a2＜2b故D错故选：C．8．（5分）如果实数x，y满足x2+y2=1，则（1+xy）（1﹣xy）有（）A．最小值和最大值1 B．最大值1和最小值C．最小值而无最大值 D．最大值1而无最小值【解答】解：∵x2+y2=1，∴x=sinθ，y=cosθ，∴（1﹣xy）（1+xy）=1﹣x2y2=1﹣（sinθcosθ）2=1﹣=1﹣sin22θ，当sin2θ=0时，1﹣sin22θ有最大值1；当sin2θ=±1时，1﹣sin22θ有最小值．∴（1﹣xy）（1+xy）的最大值是1，最小值是．故选：B．9．（5分）设集合（）A．B．C．D．【解答】解：集合A中的不等式，当x＞0时，解得：x＞；当x＜0时，解得：x＜，集合B中的解集为x＞，则A∩B=（，+∞）．故选：B．10．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（）A．10 B．﹣10 C．14 D．﹣14【解答】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是即方程ax2+bx+2=0的解为故则a=﹣12，b=﹣2，a+b=﹣14．二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11．（4分）在△ABC中，若b=2，B=30°，C=135°，则a=﹣．【解答】解：A=180°﹣30°﹣135°=15°，sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=根据正弦定理得=∴a==﹣故答案为﹣12．（4分）数列{a n}是等差数列，a4=7，S7=49．【解答】解：==7a4=49．故答案：49．13．（4分）等差数列{a n}中，a2=5，a6=33，则a3+a5=38．【解答】解：等差数列{a n}中，a2=5，a6=33，则a3+a5 =a2+a6=5+33=38，故答案为38．14．（4分）一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30，则这个两位数为13或24．【解答】解：设十位数字为x，则个位数字为（x+2），∴10＜10x+x+2＜30，解得＜x＜，∵x取整数，则x=1或2，当x=1时，该两位数为13；当x=2时，该两位数为24．故这两个数字为13或者24．故答案为：13或24．15．（4分）当x=±1时，函数y=x2（2﹣x2）有最大值，且最值是1．【解答】解：当x2＜2时，函数y=x2（2﹣x2）=1，当且仅当x2=1，即x=±1时取等号．∴函数y=x2（2﹣x2）有最大值1，故答案分别为：±1，大，1．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．三个数成等差数列，其比为3：4：5，如果最小数加上1，则三数成等比数列，求这三个数．【解答】解：设三个数分别为：3x，4x，5x，（x≠0），∵最小数加上1，则三数成等比数列，①当x＞0时，最小的数为3x，则3x+1，4x，5x成等比数列，∴（4x）2=5x（3x+1），化简可得x2﹣5x=0，即x（x﹣5）=0，解得x=0（舍去）或x=5，∴原三个数是15，20，25；②当x＜0时，最小的数为5x，则3x，4x，5x+1成等比数列，∴（4x）2=（5x+1）•3x，化简可得x2﹣3x=0，即x（x﹣3）=0，解得x=0（舍去）或x=3，又∵x＜0，∴x无解．综合①②可得，原三个数为15，20，25．17．在△ABC中，若A+B=120°，则求证：+=1．【解答】证明：∵在△ABC中，A+B=120°，∴C=60°，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，∴c2+ab=a2+b2，∴c2+ab+ac+bc=a2+b2+ac+bc，∴（c+a）（c+b）=a（a+c）+b（b+c），∴1=+，则+=1．18．解不等式﹣4＜﹣x2﹣x﹣＜﹣2．【解答】解：不等式﹣4＜﹣x2﹣x﹣＜﹣2可化为8＞x2+2x+3＞4，它等价于；解①得，x2+2x﹣5＜0，∴﹣1﹣＜x＜﹣1+；解②得，x2+2x﹣1＞0，∴x＜﹣1﹣，或x＞﹣1+；综上，﹣1﹣＜x＜﹣1﹣，或﹣1+＜x＜﹣1+；∴不等式的解集为{x|﹣1﹣＜x＜﹣1﹣，或﹣1+＜x＜﹣1+}．19．求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件．【解答】解：作出约束条件所对应的区域，可知当目标直线z=2x+y过直线y=﹣1与直线x+y=1的交点（2，﹣1）时取最大值，代入可得z=2×2﹣1=3故z=2x+y的最大值为：320．已知a＞2，求证：log（a﹣1）a＞log a（a+1）【解答】证明（法一）：∵=．因为a＞2，所以，log a（a﹣1）＞0，log a（a+1）＞0，所以，log a（a﹣1）•log a（a+1）=）a﹣log a（a+1）＞0，命题得证．所以，log（a﹣1证明2：因为a＞2，所以，log a（a﹣1）＞0，log a（a+1）＞0，所以，由法1可知：log a（a﹣1）•log a（a+1）=∴＞1．故命题得证21．如果x2+y2=1，求3x﹣4y的最大值．【解答】解：设3x﹣4y=b，即3x﹣4y﹣b=0，则圆心到直线的距离d=，即|b|≤5，解得﹣5≤b≤5，故3x﹣4y的最大值5．。
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长泰一中 2014－2015学年第一学期期中考试卷高二年理科数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题） 考试范围：必修5及2-1第一章 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题.（本大题共12小题，满分60分．）1.已知数列3,3,15,…,)12(3-n ,那么9是数列的 ( )（A ）第12项（B ）第13项 （C ）第14项（D ）第15项2．已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若a 5、a 9、a 15成等比数列,那么公比为 ( ) A ．B ．C ．D ．3．若1>a 则111-+-a a 的最小值等于 ( ) A ．a B．2 D ．3 4. 不等式3260-->x y 表示的区域在直线3260--=x y 的 ( ) A ．右上方 B ．右下方 C ．左上方 D ．左下方5．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于 ( ) A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°6 等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为 （ ） A 81 B 120 C 168 D 1927.下列不等式的解集是空集的是 ( ) A.x 2-x+1>0 B.-2x 2+x+1>0 C.2x -x 2>5 D.x 2+x>28．不等式组(5)()0,03x y x y x -++≥⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域是( )(A ) 矩形( B) 三角形 (C ) 直角梯形 (D ) 等腰梯形9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 310．在△ABC中，a＝2bcosC，则该三角形一定是 ( ) A．等腰三角形B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形11．已知条件:12p x+>，条件2:56q x x->，则p⌝是q⌝的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12．命题:p若,a b R∈，则1a b+>是1a b+>的充分而不必要条件；命题:q函数y=的定义域是(][),13,-∞-+∞，则（）A．“p或q”为假 B．“p且q”为真 C．p真q假 D．p假q真第Ⅱ卷（共10个题：共90分）二、填空题：（本大题共4小题，满分16分．）13.若不等式022>++bxax的解集为{x|3121<<-x},则=+ba _______.14．140,0,1x yx y>>+=若且，则x y+的最小值是．15. 等差数列{}n a中, ,33,952==aa则{}n a的公差为______________16.在下列说法中，①“若1a>且1b>，则2a b+>”的否命题为真命题②命题“若,a b是N中的两个不同元素，则a b+的最小值为0”的逆否命题为假命题③“若220x y+≠，则,x y不全为0”的逆命题为真命题④“1x=-”是“2560x x--=”的必要不充分条件写出所有正确结论的序号_______________.三、解答题：本大题共6小题，满分74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）在∆ABC中，已知02,150===a c B，求边b的长及∆ABC的面积.18、（本小题满分12分）已知命题),(012:,64:22>≥-+-≤-aaxxqxp若非p是q 的充分不必要条件，求a的范围。
19.（本小题满分12分）设命题:p “方程012=++mx x 有两个实数根”，命题:q “方程244(2)10x m x +-+=无实根”，若p q ∧为假，q ⌝为假，求实数m 的取值范围．20．（本小题满分12分）已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若21sin sin cos cos =-C B C B ． （1）求A ； （2）若4,32=+=c b a ，求ABC ∆的面积．21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-。
（1）求{}n a 的通项n a ；（2）求{}n a 前n 项和n S 的最大值． （3）设b n =)4)(4(11+--n n a a ,数列{b n }的前n 项的和记为B n ,求证B n ＜21.22．（本小题满分14分）某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元． （Ⅰ）若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？（Ⅱ）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以46万元出售该楼; ②纯利润总和最大时，以10万元出售该楼，问哪种方案盈利更多？长泰一中 2014－2015学年第一学期期中考试卷高二年理科数学试卷(答案)本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题） 考试范围：必修5及2-1第一章 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题.（本大题共12小题，满分60分．）1.已知数列3,3,15,…,)12(3-n ,那么9是数列的( C )（A ）第12项（B ）第13项 （C ）第14项（D ）第15项2．已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若a 5、a 9、a 15成等比数列,那么公比为 ( C )A ．B ．C ．D ．3．若1>a 则111-+-a a 的最小值等于( C )A ．aB ．1-a C ．2 D ．3 4. 不等式3260-->x y 表示的区域在直线3260--=x y 的( B ) A ．右上方 B ．右下方 C ．左上方 D ．左下方 5．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( D ) A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°6 等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（ B ） A 81 B 120 C 168 D 192 7.下列不等式的解集是空集的是( C )A.x 2-x+1>0B.-2x 2+x+1>0C.2x -x 2>5D.x 2+x>28．不等式组 (5)()0,03x y x y x -++≥⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域是( D )(A ) 矩形( B) 三角形(C ) 直角梯形 (D ) 等腰梯形9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( B )A ．1B ．2 C.3－1 D. 310．在△ABC 中，a ＝2bcosC ，则该三角形一定是( A ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 11．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ A ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 12．命题:p 若,a b R ∈，则1a b +>是1a b +>的充分而不必要条件；命题:q函数y =的定义域是(][),13,-∞-+∞，则（ D ）A ．“p 或q ”为假 B ．“p 且q ”为真 C ．p 真q 假 D ．p 假q 真第Ⅱ卷（共10个题：共90分）二、填空题：（本大题共4小题，满分16分．） 13. 若不等式022>++bx ax 的解集为{x|3121<<-x },则=+b a _______.-14, 14．140,0,1x y x y >>+=若且，则x y +的最小值是 ．915. 等差数列{}n a 中, ,33,952==a a 则{}n a 的公差为______________ 816.在下列说法中，①“若1a >且1b >，则2a b +>”的否命题为真命题②命题“若,a b 是N 中的两个不同元素，则a b +的最小值为0”的逆否命题为假命题 ③“若220x y +≠，则,x y 不全为0”的逆命题为真命题④ “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件 写出所有正确结论的序号_______________. ②③三、解答题：本大题共6小题，满分74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）在∆ABC 中，已知02,150===a c B ，求边b 的长及∆ABC 的面积.解：在∆ABC 中,由余弦定理得: 2222cos =+-b a c ac B …………………2分2232233249⎛⎫=+--= ⎪ ⎪⎝⎭………………4分∴7=b ………………………………………………………………………………6分由三角形的面积公式得：1sin 2=S ac B …………………………………………9分11222=⨯⨯=12分 18、（本小题满分12分）已知命题),0(012:,64:22>≥-+-≤-a a x x q x p 若非p 是q 的充分不必要条件，求a 的范围。
解：{}:46,10,2,|10,2p x x x A x x x ⌝->><-=><-或或…………………3分 {}22:2101,1,|1,1q x x a x a x a B x x a x a -+-≥≥+≤-=≥+≤-，或记或…6分 而,pq A⌝⇒∴B ，…7分即12110,030a a a a -≥-⎧⎪+≤∴<≤⎨⎪>⎩…………………………………12分 19.（本小题满分12分）设命题:p “方程012=++mx x 有两个实数根”，命题:q “方程244(2)10x m x +-+=无实根”，若p q ∧为假，q ⌝为假，求实数m 的取值范围．解：若方程012=++mx x 有两个实根，则2140m ∆=-≥………………1分解得2m ≤-或 2m ≥， 即p : 2m ≤-或 2m ≥………………3分若方程244(2)10x m x +-+=无实根，则016)2(1622<--=∆m ………4分 解得31<<m ， 即31:<<m q ．………………6分由于若p q ∧为假，则p ，q 至少有一个为假；………………7分 又q ⌝为假，则q 真．所以p 为假，………………8分 即p 假q 真，从而有2213m m -<<⎧⎨<<⎩………………10分解得 12m <<所以，实数m 的取值范围是(1,2)．………………12分20．（本小题满分12分）已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若21sin sin cos cos =-C B C B ． （1）求A ； （2）若4,32=+=c b a ，求ABC ∆的面积． 解：（Ⅰ）21sin sin cos cos =-C B C B 21)cos(=+∴C B ………………3分 又π<+<C B 0 ，3π=+∴C B ………………4分π=++C B A ，32π=∴A ． ………………6分 （Ⅱ）由余弦定理A bc c b a cos 2222⋅-+= 得 32cos22)()32(22π⋅--+=bc bc c b ………………8分 即：)21(221612-⋅--=bc bc ，4=∴bc ………………10分323421sin 21=⋅⋅=⋅=∴∆A bc S ABC ………………12分 21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-。