等腰三角形的性质与判定

等腰三角形的性质与判定
【知识梳理】
1．等腰三角形的概念：
有 相等的三角形，叫做等腰三角形， 叫做腰，另一条边叫做 ．两腰所夹的角叫做 ，底边与腰所夹的角叫做 ．
2．等腰三角形性质定理：
(1)等腰三角形的两个 相等，也能够说成 ．
． (3)等腰三角形是 图形．
3．等腰三角形的判定：
(1)有 相等的三角形是等腰三角形． (2)假如一个三角形有两个角相等，那么这两个角 也相等．简写成 ．
【例题讲解】
例1等腰三角形ABC 中，AB =AC ，一腰上的中线BD •将这个等腰三角形周长分成15和6两局部，求这个三角形的腰长及底边长．
例2如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠ABD =∠ACD ．求证：△DBC 是等腰三角形．
例3 如图，AB =AE ，BC =ED ， ∠B =∠E ．
求证：∠C =∠D ．
例4如图，AB =AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证：∠BAC =2∠DBC ．
例5 相关等腰三角形的基本图形．
（1）如图3，若OD 平分∠AOB ，DE ∥OB
交OA 于E ．求证：EO ＝ED ．提问：这个结论的逆命题是否准确？
（2）如图 3，若 OD 平分∠AOB ， EO ＝ED ，求证： DE ∥OB ． （3）如图 3，若 DE ∥OB 交OA 于E ， EO ＝ED ，求证： OD 平分∠AOB ．
总结：图3是相关等腰三角形的一个很常用的基本图形．以上三个小题说明：在图3中，“角平分线．平行线．等腰三角形”
这三者中，若有两条成立，则第三条必成立．熟悉这个结论，对解决包含该图形的较复杂的题目是很有协助的．
相关的题组练习．
（1）如图4，AD ∥BC ， BD 平分
∠ABC ．求证： AB ＝AD ．
（2）已知：如图5（a ），AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ．问：①图中有几个等腰三角形？②如图5（b ），若过D 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，图中又增加了几个等腰三角形？ （3）如图5（c ），若将第（2）题中的△ABC 改为不等边三角形，其它条件不变，情况会如何？还可证出哪些线段的和差关系？
(4）对第（3）题中“两内角平分线”可作怎样的推广？相对应的线段和差关系如何?
推广①当过△ABC 的一个内角和一个外角平分线的交点作这两角的公共边的平行线时，如图5（d ）．
推广②当过△ABC 的两个外角平分线上一点作这两个角的公共边的平行线时，如图5（e ）．
（5）如图6，若BD ，CD 分别平分∠ABC 和∠ACB ，过D 作DE ∥AB 交BC 于E ，作DF ∥AC 交BC 于F ．求证：BC 的长等于
△DEF 的周长．
【课后巩固】
1．在△ABC 中，AB =AC ，若∠B =56º，则
D
C
B
A
E
D C
B
A
D
C
B A 33
34
∠C =__________．
2． 若等腰三角形的一个角是50°，则这个等腰
三角形的底角为_____________．
3． 若等腰三角形的两边长分别为x cm 和（2x
－6）cm ，且周长为17cm ，则第三边的长为________．
4． 如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，若
∠CAD =25°，则∠ABE = ，
若BC =6，则CD = ．
5．△ABC 中，AB =AC ，∠ABC =36°，D ．E 是BC 上的点，∠BAD =∠DAE =∠EAC ，则图中等腰三角形有______个
6．等腰三角形一腰上的高与底边夹角为20°，则其顶角的大小为___________． 7．如图，∠ABC =50°，∠ACB =80°，延长CB 到D ，使BD =AB ，延长BC 到E ，使CE =CA ，连接AD ．AE ，则∠DAE =_______．
E
D
C
B A
8．如下列图，△MNP 中，
∠P =60°，MN =NP ，MQ ⊥PN ，垂足为Q ，延长MN 至G ，取
NG =NQ ，若△MNP 的周长为12，MQ =a ，则
△MGQ 周长是 ．
9．△ABC 中，∠C =∠B ，D ．E 分别是AB ．AC
上的点，•AE =•2cm ，•且DE •∥BC ，•则
AD =______
10．如图，∠AOB 是一个钢架且∠AOB =10°，
为了使钢架更加牢固，需在内部添加一些
钢管EF ，FG ，GH ，…，添加的钢管长度
都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管______根．
11．如图△ABC 中，AB =AC ，AD 、BE 是△ABC 的高，它们相交于H ，且AE=BE ． 求证：AH =2BD ． 12．△ABC 为非等腰三角形，分别以AB 、AC 为 向△ABC 外作等腰直角三角形ABD 和等腰直角三角 形ACE ，且∠DAB =∠EAC =90°． 求证：（1）BE =CD ；（2）BE ⊥CD ．
13．如图，点D 、E 在ABC ∆的边BC 上，AB AC =，AD AE =． 求证：BD CE = 14．如图，AB AC =，30BAD ∠=，且
AD AE =．求EDC ∠的度数．
15.如图，ABC ∆中，90ACB ∠=，CD BA ⊥于
D ，A
E 平分BAC ∠交CD 于
F ，交BC 于E ，
求证：CEF ∆是等腰三角形．
16．Rt ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=，O 为 AB 中点，若点M ．N 分别在线段AB ．AC 上移 动，且在移动过程中保持AN BM =，试判断 OMN ∆的形状，并证明你的结论．
17.已知：如图，△ABC 中，D 在AB 上，E 在AC 延长
线上，且BD ＝CE ，DE 交BC 于M ，MD ＝ME ，求
证：△ABC 是等腰三角形．
18.已知一个等腰三角形，从它的一个顶点出发引一条直线将它分成两个等腰三角形，这样的等腰三角形有几种情况？画出图形并写出原等腰三角形各角度数． E D C B A
P Q
M N G 35
E M D
C
B A
36。