对策问题之必胜策略
组合数学第08讲_必胜策略(教师版)A4
组合数学第08讲_必胜策略游戏策略中往往有一类比较复杂的，需要逐步来递归的问题，这就需要对必胜与必败转态进行标记．一．网格移动类1．含义：给定一个东西和固定的表格，给出移动该物体的规则，最终谁移动到不能再移谁就算胜（或者输），求必胜（或必败）策略．2．方法：从最后必胜（或必败）的转态进行倒推，找出一般的规律，将必胜（或必败）的格子都标记出来即可找出必胜策略．二．其他类型1．特点：操作次数比较有限，没有周期规律．2．方法：由于操作次数较少，所以通常用枚举法，将必胜的操作标记出来，就可以得到必胜策略．重难点：从最后的必胜条件出来，进行倒推，将必胜的操作标记出来．题模一：网格移动类例1.1.1如下图，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45 角走1步，最终将棋子走到方格B的人获胜．请问：（1）谁一定能获胜？必胜策略是什么？BA【答案】（1）甲必胜；（2）甲必胜【解析】（1）我们给必胜格子（如方格B）标记“√”，给必败格子标记“×”．从方格B逆推，能一步走到B的格子都要标记“×”．特别地，最上边一行和最右边一列为“√”和“×”相间的标记，如左图．对于左图中的格子1和格子3，对方有办法把它移到必胜格子中，所以格子1和格子3都是必败格子．如果把棋子移到格子2中，对手无论怎么移，都只能移到必败格子中，因此格子2是必胜格子．用类似的方法分析，得到右图．因此甲有必胜策略，每次把棋子移到标有“√”的格子中即可．（2）与第（1）问方法类似，得到下图．甲有必胜策略，每次把棋子移到标有“√”的格子中 即可．例1.1.2如图，方格A 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°角走任意步（不能拐弯），最终将棋子走到方格B 的人获胜．请问：（）一定能获胜？A ．甲B ．乙C ．甲和乙都有可能【答案】B【解析】如下图标a 都是必胜格，A 本身就在必胜格里，所以先走的到达不了下一个必胜格，所以乙胜． 例1.1.3如图，方格A 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°角走任意步（不能拐弯），最终将棋子走到方格B 的人赢．请问：（）一定能获胜？√ × √ × √ × B 1 × × 2 3 √ × √ A × √× √ × √ × B × × × × × × × √ × √ × √ × √ × × × × × × × √ × √ × √ × √ A × × × × × ××× × × × × B × × × × √ × × × × × × × √ × × √ × × × × × × × × × × × × A × × √ × × ×B AB a a ABAA．甲B．乙C．甲和乙都有可能【答案】A【解析】如图表有a的都是必胜格，只要甲第一步走到标有a个格必胜，选A．BaaaA a例1.1.4把一枚棋子放在图中左下角的方格内，甲、乙两人玩这样一个游戏：双方轮流移动棋子，只能向上、向右或者向右上方沿45°角移动，一次可以移动任意多格．谁把棋子移到了右上角的方格中即为输，试问：如果甲先走，是否有必胜的策略，为什么？【答案】乙必胜．从右上角开始分析哪些位置是必胜的，哪些位置是必败的，结果如图所示．因此甲第一步必然走到“√”上，而乙必然可以每一步都给甲留下“×”．【解析】首先看图最右面的那列，在这列中，如果棋子在右上角的下面，那么先走的只能把棋子向上走，所以他必败；如果棋子不在这个位置，那么他只要把棋子走到这个位置便可确保胜利．而为了方便分析，下面在图中先走必胜的位置标“√”，先走必败的位置标“×”，此时图如下所示：对1和2这两个位置，第一步只要走到右上的“×”处，便可取胜，所以标“√”；对3来说，怎么先走的如何走，都是走到一个“√”处，因为“√”处先走必胜，所以对3先走必败，应当标“×”．从上面的分析中，可以发现，对一个位置来说，如果它的上，右或右上有一个“×”，那先走的只需要把棋子移动到这些“×”处便可确保胜利；相反，如果它的三个方向上全是“√”，那无论如何走，都是后走的获胜．根据这个规律，便不难知道对任意一个位置来说，是否先走必胜，从而可以完成这个图，完成后的图如下所示：因为棋子最开始在左下角，甲只能向右走，而它右侧全部是“√”，所以乙必胜，每步时× √ √ √ × √ √ √ √ √ √ √ × √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ × √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ × √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √× 1 √ 2 3 √ √ √ √ √ √ √ ● √× √ √ √ × √ √ √ √ √ √ √ × √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ × √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ × √ √ √ √ ● √ √ √ √ √ √ √ √ √ √乙只需要把棋子移动到“×”即可． 题模二：其它例1.2.1桌上有一块巧克力，它被直线划分成3行7列的21个小方块，如图所示．现在让你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏，规则如下：①每人每次只许沿一条直线把巧克力切成两块；②拿走其中一块，把另一块留给对手再切；③不断重复前两步，最后谁能恰好留给对手一个小方块，谁获胜．如果你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能保证自己最后获胜？【答案】切走12个小方块【解析】当只剩1行（或1列）时，但不是一个小方块，先切的人只要切剩下一个小方块就赢了．当剩2行（或2列）时，如果剩22⨯的方块，那么先切的人切完后成为12⨯的方块，所以后切的人必胜；如果剩23⨯、24⨯、…等情况，先切的人只要切剩下一个22⨯的方块就可以取胜．当剩3行（或3列）时，如果剩33⨯的方块，先切的人切一刀后只能剩下13⨯或23⨯的方块，此时后切的人获胜．当有37⨯块时，先切的人切走3412⨯=块，给对手留下一个33⨯的正方形，接着每次都给对手留下一个11⨯或22⨯的正方形即可获胜． 例1.2.2如图为“狡兔三窟”的游戏，游戏中只有两个棋子：一为“猎人”，一为“狡兔”，它们的位置如图所示，棋盘的北端X 是一方飞第，这意味着任何一方棋子，都可以“飞”过X ，即：由C 直接到达D ，或由D 直接到达C ，游戏开始，由“猎人”先走，接下去双方轮流运子，每次一步，每次只能沿着黑线走到其相邻的点上，当猎人和兔子都到同一点时，猎人可以抓住兔子．那么，“猎人”至少要走（ ）步才能抓住兔子．A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】如果猎人第一步就开始往下抓兔子，那么兔子也会往下跑，这样猎人紧追兔子中间只差一步的话是永远抓不到兔子．那么猎人的对策就是第一步向上走，前三步向上绕一圈，这是猎人在空心点上，兔子在实心点上，如果兔子在1号位置，第4步抓到，若兔子在2，至多再3步抓到，最终在第6步被抓到例1.2.3在黑板上写有999个数，2、3、4、……、1000．甲、乙两人轮流擦去黑板上的一个数（甲先擦，乙后擦），如果最后剩下的两个数互质，则甲胜，否则乙胜．请判断：__________有必胜策略．【答案】乙【解析】共有500个偶数，甲共擦499个数．若甲想获胜，他必须擦499个偶数，否则乙只要先擦奇数，最终必能剩两个偶数，乙胜．但当甲全擦偶数时，乙只要保留两个个位为5的奇数至最后即可，故乙有必胜策略．随练1.1如右图，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°角走1步，最终将棋子走到方格B的人获胜．请问：谁有必胜策略？必BA【答案】甲必胜【解析】策略是每次把棋子走到下图中标有“√”的格子内．√×√× B×××××√×√×√A ××××随练1.2如图，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°角走任意步（不能拐弯），最终将棋子走到方格B的人赢．请问：（）一定能获胜？BAA．甲B．乙C．甲和乙都有可能【答案】B【解析】如下图标a都是必胜格，A本身就在必胜格里，所以先走的到达不了下一个必胜格，所以乙胜，选B．BaaaA随练1.3如图，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°角走任意步（不能拐弯），最终将棋子走到方格B的人获胜．请问：（）一定能获胜？BAA．甲B．乙C．甲和乙都有可能【答案】A【解析】甲第一步走到如图所示的a处，无论乙怎么走，甲都有方法取胜，所以选A．BaA随练1.4桌上有一块巧克力，它被直线划分为排成3行7列的21个小方块，如图所示．现在让你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏，规则如下： ① 每次只许沿一条直线把巧克力切成两块； ② 拿走其中一块，把另一块留给对手再切； ③ 谁能留给对手恰好是一个小方块，谁就取胜．如果请你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能使你最后获胜？【答案】切走12块，给对手留下一个33⨯的正方形，接着每次都给对手留下一个正方形 【解析】如果只剩1行或1列，但不是一个小方块，那么先切的人只要剩一个小方块就赢了；如果剩2行，如果是22⨯的方块，那么先切的人切完后成为12⨯的方块，所以后切的人必胜；如果比22⨯多的话（23⨯，24⨯……），因为22⨯的时候是后切的人获胜，所以这时先切的人只要剩下一个22⨯的方块就可以取胜；在33⨯的时候，先切的切完后，剩下的巧克力是13⨯或者23⨯，根据上面的分析可以知道后切的一定获胜．所以第一刀切完后剩下33⨯的就可以保证获胜了，即是切下3412⨯=块巧克力．随练1.5如图所示，五角星上共有10个交点和15条小线段．甲首先将一枚棋子放在A 点上，并由此出发沿某条小线段将棋子移到相邻的一个交点上，之后乙再将棋子沿某条小线段移到下一个相邻的交点上，之后甲再走，……，如此下去．如果要求每条小线段都不能重复经过，并且轮到某人无路可走时便判其失败，那么甲是否有必胜策略？【答案】甲没有必胜策略，且乙必胜．一旦甲由角上的点走到中间，乙就再走回相邻的角上去．【解析】一枚棋子如果处在五角星的某个角上的话，先走的人只能把它从角上移到中心．而如果在中心的话则可以选择移到角上或者其他中心位置．据此可以给乙想出如下的方案：一旦甲由角上的点走到中间，乙就再走回相邻的角上去，角上的点是5个，中心点也只有5个，最后必然是连成一个封闭图形，甲无路可走．作业1如下图，方格A 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°角走1步，最终将棋子走到方格B 的人获胜．请问：谁一定能获胜？必胜策略是什么？A【答案】甲必胜【解析】我们给必胜格子（如方格B ）标记“√”，给必败格子标记“×”．从方格B 逆推，能一步走到B 的格子都要标记“×”．特别地，最上边一行和最右边一列为“√”和“×”相间的标记，如左图．对于左图中的格子1和格子3，对方有办法把它移到必胜格子中，所以格子1和格子3都是必败格子．如果把棋子移到格子2中，对手无论怎么移，都只能移到必败格子中，因此格子2是必胜格子．用类似的方法分析，得到右图．因此甲有必胜策略，每次把棋子移到标有“√”的格子中即可．作业2（1）在一个3×3的方格棋盘的左上角方格中放有一枚棋子。
对策问题
对策问题用数学的观点和方法研究取胜的策略问题的数学分支叫做对策论。
人们在竞争中总希望自己的一方获取好的结果，这就要求参与竞争的双方要制定自己的策略，哪一方的策略更胜一筹，哪一方就会取得最终的胜利，我们称这种现象叫“对策现象”。
例1、有20根火柴，两人轮流拿取，规定每人每次至少拿走一根，最多拿走2根，直至拿完为止。
（1）谁拿得最后一根火柴谁胜。
你有取胜的对策吗？（2）谁拿得最后一根火柴谁负。
你有取胜的对策吗？例2、两人轮流报数，但报出的数字不得超过5，也不为0，同时把所报的数一一累加起来，谁先得到30，谁就获胜，如何报数，才能确保获胜呢？例3、盒子内有1993只小玻璃球，甲、乙两人轮番从盒内往外取球（不放回），每人每次可取1、2、3、4、5、6、7只中的任何一个数目，谁取到最后一只球谁就是胜利者。
问：先取者，还是后取者有必胜策略？取最后一个获胜的方法是：应用总数除以可控和所得余数是几，先取者只需取得余数，然后采取跟随战术，别人取n我方取（可控和－n）即可获胜。
所以此类题型通常称为取余制胜。
取最后一个失败的方法是：将此类题型化为谁取得（总数－1）谁获胜，然后应用以上的方法操作即可。
例4、图中是一个4×9的长方形方格，甲和乙分别在AB两点各执一个棋子，棋子移动规则是只能沿着方格横行或竖行若干格，且不能越过别人棋子所在的行或列。
到无处可走即算负，请找出必胜策略。
例5、桌子上有一块巧克力，它被直线划分成37个小方块，（如图），现有两人轮流切巧克力，规则是：（1）每次只许沿一条直线把巧克力切成两块；（2）拿走其中一块，把另一块留给对方再切；（3）谁能留给对方恰好一个小方块，谁就获胜，问如何取胜？此类题型获胜方法是找到制胜形状。
然后每次抢到制胜形即可。
通常这类题的制胜形是正方形，我们将它称为正方形制胜。
例6、有分别装有63、108个球的两个箱子，两人轮流在任意一箱中任意取球，规定取得最后一个球者胜，先取者要获胜，问应如何取？此类题型获胜的方式为对称制胜。
成功克服困难的实用策略
成功克服困难的实用策略在人生的旅途中，困难和挑战几乎无处不在。
只有学会有效地应对和克服困难，我们才能取得成功并实现自己的目标。
本文将介绍一些实用的策略，帮助我们成功克服困难。
一、正确认识困难面对困难时，我们首先要有正确的认识。
困难并非是不可逾越的障碍，而是成长和获得成功的机会。
我们需要理解困难是生活中不可避免的一部分，它们能够激发我们的潜能和智慧。
正确认识困难，我们就能够更加勇敢地去面对它们。
二、制定明确的目标在克服困难之前，我们需要明确自己的目标。
设定明确的目标能够帮助我们有条不紊地行动，并更好地应对困难。
通过设定小目标来逐步达到长期目标，并确保它们是可量化和可衡量的，这样我们就能够更好地评估自己的进展，并作出必要的调整。
三、积极思考和积极情绪积极的思考和情绪对于克服困难起着至关重要的作用。
我们要相信自己的能力，相信困难并非不可逾越。
通过培养积极的心态，我们能够更好地应对挑战，并从中吸取教训。
时刻保持乐观和积极进取的心态，对于克服困难至关重要。
四、寻找解决问题的方法解决问题的能力对于克服困难格外重要。
当面对困难时，我们应该积极主动地寻找解决问题的方法。
这可能需要我们进行更多的研究和学习，向他人寻求建议和支持，或者尝试不同的方式去解决问题。
关键在于我们要有寻找解决办法的积极态度，并不断调整和改进方法。
五、充分利用资源在克服困难的过程中，我们应该充分利用身边的资源。
这包括我们的知识、技能，以及他人的帮助和支持。
我们可以通过阅读书籍、参加培训、咨询专家或寻求他人的意见，来获取必要的知识和技能，帮助我们更好地应对困难。
六、坚持与毅力成功克服困难需要坚持和毅力。
困难可能会出现挫折和阻碍，但只要我们坚持下去，并努力寻找解决问题的方法，最终我们一定能够克服困难并实现目标。
在面临挑战时，不要轻易放弃，相信自己的能力和潜力，并持续努力向前。
七、从困难中学习克服困难不仅能够让我们实现目标，还能给我们带来宝贵的经验和教训。
辩论比赛的胜出之道：一场辩论的制胜策略
辩论比赛的胜出之道：一场辩论的制胜策略一场辩论比赛的制胜策略辩论比赛是高校教育中一项重要的活动，不仅考验学术能力，还能培养学生的思辨能力和表达能力。
在一场辩论比赛中，制胜的策略是至关重要的。
本文将探讨一些制胜策略，帮助选手在辩论比赛中取得胜利。
首先，准备充分是取得胜利的关键。
在辩论比赛中，选手需要对辩题进行全面的了解，从各个角度考虑问题，熟悉相关的数据和事实。
选手应针对辩题，进行深入的研究，查阅相关资料和文献，以提供客观、有力的论据支持自己的立场。
只有准备充分，才能有足够的底气和自信来应对对手的质疑和挑战。
其次，选手需要有效地组织自己的辩论观点。
在辩论比赛中，选手的陈述应该有逻辑性和条理性。
可以采取以下方法来组织和呈现观点：首先，明确表达自己的立场；其次，提供相关的事实和数据来支持立场；然后，通过逻辑推理和比较等方法，展示自己的观点的合理性和优越性；最后，总结自己的观点，强调立场的重要性和必要性。
选手还可以使用引言、连接词和过渡语句等技巧，使自己的陈述更加连贯和有说服力。
此外，选手还需要学会有效地驳斥对方观点。
在辩论比赛中，质疑和争论是常见的现象，选手需要掌握一些驳斥技巧来回应对手的质疑和反驳。
首先，选手需要仔细倾听对手的观点，并做好笔记，以了解对方的立场和论据。
其次，选手可以通过提出事实、逻辑推理和举例等方法，来有力地驳斥对方的观点。
同时，选手应该保持冷静和礼貌，避免陷入人身攻击或过激的辩论行为。
另外，团队合作也是一场辩论比赛中的制胜策略。
在团队比赛中，选手需要与队友密切协作，共同制定战略，并充分发挥各自的优势和专长。
团队成员之间需要相互支持和配合，及时地进行信息交流和沟通，确保整个辩论过程有序进行。
团队合作不仅能够充分利用各自的资源和知识，还可以增加比赛的丰富性和多样性，增加制胜的机会。
最后，选手需要具备良好的沟通和表达能力。
辩论比赛是一种公开的表达活动，选手需要通过语言和肢体语言来与观众和评委进行有效的互动和交流。
必胜策略 奥数题
必胜策略奥数题摘要：一、奥数题背景介绍1.奥数题的来源和发展2.奥数题在我国的重视程度二、必胜策略的重要性1.奥数竞赛的激烈程度2.必胜策略在解题中的关键作用三、必胜策略的分类及应用1.基础必胜策略a.逻辑推理b.排除法c.代入法2.进阶必胜策略a.构造法b.归纳法c.逆向思维四、必胜策略在实际解题中的应用案例1.基础必胜策略案例2.进阶必胜策略案例五、培养必胜策略能力的建议1.多做练习题2.培养逻辑思维能力3.学会总结和归纳正文：奥数题是奥林匹克数学竞赛的简称，它旨在选拔和培养具有优秀数学潜质的学生。
随着我国对奥数竞赛的重视程度不断提高，越来越多的小学生、初中生和高中生投入到奥数的学习和训练中。
在这个过程中，掌握必胜策略成为了取得好成绩的关键因素。
必胜策略是指在解决奥数题时，能够迅速找到解题方法，提高解题效率的一系列技巧。
在奥数竞赛中，时间就是分数，谁能更快地解决问题，谁就能在竞赛中占据优势。
因此，必胜策略在奥数题解题过程中具有非常重要的地位。
必胜策略可以分为基础必胜策略和进阶必胜策略。
基础必胜策略主要包括逻辑推理、排除法和代入法，这些方法适用于大部分的奥数题。
逻辑推理是通过分析题目中的条件，利用逻辑关系找到解题思路；排除法是在众多选项中，通过排除不可能成立的答案，缩小答案范围；代入法则是将选项代入题目中，检验哪个选项符合题意。
进阶必胜策略包括构造法、归纳法和逆向思维。
构造法是通过构造一个模型，将问题转化为已知的解题方法；归纳法是从特殊情况出发，推导出一般性规律；逆向思维则是从相反的角度思考问题，寻找解题思路。
在实际解题过程中，我们需要灵活运用这些必胜策略。
例如，对于一道需要运用构造法的题目，我们可以先尝试从已知条件入手，寻找可以构造的模型。
如果不行，我们再考虑使用其他策略，如归纳法或逆向思维。
通过不断尝试和总结，我们能够更好地掌握这些必胜策略，提高解题能力。
为了培养必胜策略能力，我们需要多做练习题，从题目中学习和总结。
抢数中的必胜策略 刘茜ding
（执果索因 逐步追溯到已知条件）
逆推法
逆推法
甲在某一时刻留下4颗棋子,不管乙怎么取棋， 甲接下去和乙取的颗数和为4，甲必胜。
逆推法
甲要留下4枚棋子取胜，则甲要先取走其 余26枚棋子中的最后一枚。
逆推法
甲要留下4枚棋子取胜，则甲要拿到第26 颗棋子。
逆推法
22
逆推法
18
逆推法
14
逆推法
归纳法
已知 可知 未知
（由因导果 逐步推出要解决的问题）
归纳法
①当棋子有1～3颗，甲先取，甲可以一次拿完，甲胜。
②当棋子有4颗时，则甲不能一次拿完，乙胜。
③当棋子有5～7颗时，甲先取后总可以给乙剩4颗，甲胜。 ④当棋子有8颗时，无论甲怎样取，乙均可使他拿的数目与甲拿 的数目之和为4。给甲剩下4颗，乙胜。 ……
游戏中的必胜策略问题
——抢数游戏
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桔园小学 刘茜
选题 桌面上有30颗棋子，甲乙两人轮流取 棋子，每次可取的颗数为1、2或3。谁最后 把棋子全部取完了，谁就是胜利者。若甲 先取，他应采用什么策略？
题目的背景
《数学课程标准》中指出“教师 可以利用游戏，引导学生开展有趣 的数学活动，使学生在体会学习乐 趣的同时，还能学到一种解决问题 的有效策略，其中包含着朴素的用 “区间套原理”逐步逼近的思想。
不仅仅因为这种游戏不受场地、设备、器材等 的限制，随时随地均可进行，而且这种游戏凭借 机敏的思维和熟练的数学计算揭示和掌握游戏的 秘密，从而战胜对手，获得胜利。
题目分析 这道题是以四年级上册博弈论等对策问 题为载体，加以深化。对策问题看似简单 ，但对学生逻辑思维能力要求较高。当棋 子较少时，学生可能容易找出必胜策略。
小 游 戏
小学奥数第二十八讲 对策问题.doc
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】第二十八讲对策问题阅读与思考战国时期，齐王与大将田忌约定，双方各出上、中、下三个等级的马各一匹，进行三场对抗赛，输一场付给胜者黄金一千两。
由于田忌的马比齐王同等级的马都要逊一筹，所以，同等级的马进行比赛时，齐王赢了三场，得到了三千两黄金。
当齐王再次邀请田忌赛马时，田忌好为难：一方面是必败的结果，另一方面是不能违抗大王的旨意。
就去与军师孙膑商量，孙膑是位足智多谋的军事家，他巧妙地帮田忌出了一个主意：用自己的下等马与国王的上等马比赛，而用自己的上等马与国王的中等马比赛，再用自己的中等马与国王的下等马比赛。
结果是田忌输了第一场，胜了第二、三场，还赢了国王的一千两黄金。
这就是著名的“田忌赛马”的故事，它是斗智策略的精彩范例。
在用数学解决问题时，有时也经常出现一些有趣的智力“对弈”问题，如何取胜呢？就需要我们利用数学中的原理和方法，正确、合理地选择“对策”，使自己获胜或取得最佳效果。
用数学的观点和方法来研究取胜策略问题的数学分支叫做对策论或博弈论。
这类问题是思想和方法在日常生活及一些军事、体育比赛中得到了越来越广泛的应用。
解决这类问题往往需要设想对方可能采取的各种方案，并使自己的策略能在对方所采取的各种方案中都占据有利的局面。
我们把这种局面称作“胜局”，所心在一种具体规则下，是否存在胜局，怎样寻找胜局和如何把握胜局就成了研究对策问题的关键。
在对策问题中，我们通常采用的是逆推法和对称法。
逆推法就是在设计游戏策略时，往往从正面不容易想到好的方法，就从结果逆推游戏过程，采用逆向思维从后面往前面想的一种策略；对称法就是通过模仿对方的游戏步骤，使得对方始终面临平衡状态的一种策略。
典型例题|例1|两人轮流报数，但报出的数只能是1至8的自然数，同时把所报的数一一累加起来，谁先使累加数的和达到80，谁就获胜，问怎样才能确保获胜？训练1：两人轮流报数，每人每次报一个数，但只能报1至5五个自然数，同时把所报的数一一累加起来，谁先使这个累加和达到40，谁就获胜。
小学奥数第37周 对策问题
第三十七周对策问题专题简析：同学们都熟悉“田忌与齐王赛马”的故事，这个故事给我们的启示是：田忌采用了“扬长避短”的策略，取得了胜利。
生活中的许多事物都蕴含着数学道理，人们在竞赛和争斗中总是玩游戏，大至体育比赛、军事较量等，人们在竞赛和争斗中总是希望自己或自己的一方获取胜利，这就要求参与竞争的双方都要制定出自己的策略，这就是所谓“知己知彼，百战不殆”。
哪一方的策略更胜一筹，哪一方就会取得最终的胜利。
解决这类问题一般采用逆推法和归纳法。
例题1：两个人做一个移火柴的游戏，比赛的规则是：两人从一堆火柴中可轮流移走1至7根火柴，直到移尽为止。
挨到谁移走最后一根火柴就算谁输。
如果开始时有1000根火柴，首先移火柴的人在第一次移走多少根时才能在游戏中保证获胜。
先移火柴的人要取胜，只要取走第999根火柴，即利用逆推法就可得到答案。
设先移的人为甲，后移的人为乙。
甲要取胜只要取走第999根火柴。
因此，只要取到第991根就可以了（如乙取1根甲就取7根；如乙取2根甲就取6根。
依次类推，甲取的与乙取的之和为8根火柴）。
由此继续推下去，甲只要取第983根，第975根，……第7根就能保证获胜。
所以，先移火柴的人要保证获胜，第一次应移走7根火柴。
练习1：1、一堆火柴40根，甲、乙两人轮流去拿，谁拿到最后一根谁胜。
每人每次可以拿1至3根，不许不拿，乙让甲先拿。
问：谁能一定取胜？他要取胜应采取什么策略？2、两人轮流报数，规定每次报的数都是不超过8的自然数，把两人报的数累加起来，谁先报到88，谁就获胜。
问：先报数者有必胜的策略吗？3、把1994个空格排成一排，第一格中放一枚棋子，甲、乙两人轮流移动棋子，每人每次可后移1格、2格、3格，谁先移到最后一格谁胜。
先移者确保获胜的方法是什么？例题2：有1987粒棋子。
甲、乙两人分别轮流取棋子，每次最少取1粒，最多取4粒，不能不取，取到最后一粒的为胜者。
现在两人通过抽签决定谁先取。
你认为先取的能胜，还是后取的能胜？怎样取法才能取胜？从结局开始，倒推上去。
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对策问题之必胜策略
知识点总结： 一 取余制胜（取棋子，报数游戏） 1．每次取 1~n 个棋子，总数，取最后一个
赢 策略：总数÷（1+n） 有余则先，拿掉余数，之后总与对手凑成 1+n 即可 无余则后，总与
对手凑成 1+n 即可 2. 每次取 1~n 个棋子，总数，取最后一个输 策略：最狠的做法就是留给
对方一枚棋子，对方不取也得取。所以想 赢的关键就在于能不能取到倒数第二枚棋子。 问题转
化为：每次取 1~n 个棋子，总数，取倒数第二枚棋子赢。 （总数-1）÷（1+n） ，之后同 1 中
做法。 二．抢占制胜点（倒推法） 1. 能一步到棋子的位置均是不能走的地方即负位 2. 处处
为别人着想。自己不能走的地方逼别人走进去即可，即确定 制胜点。 三．对称法 1. 同等情况
下，模仿对方步骤可以达到制胜目的。 2. 不同等情况下，创造对等局面方可制胜。
1. 桌子上放着 100 根火柴，甲、乙二人轮流每次取走 1～5 根。规定 谁取走最后一根火柴谁
获胜。如果双方都采用最佳方法，甲先取， 那么谁将获胜？ 分析：100÷（1+5）=16??4 有余
数，先拿必胜，甲必胜。 （1）甲先拿 4 个； （2）乙拿 a 个，甲就拿 6-a 个
2. 甲乙两人轮流报数，报出的数只能是 1～7 的自然数。同时把所报 数一一累加起来，谁先
使这个累加和达到 80，谁就获胜。请问必 胜的策略是什么？ 分析： 80÷（1+7）=10 无余数，
后拿必胜。 甲拿 a 个，乙就拿 8-a 个必胜
3. 1000 个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮 流向右移动棋子，每次移
动 1～7 格。规定将棋子移到最后一格者 谁赢。甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？ 分
析： （1000-1）÷（1+7）=124??7 有余，先走必胜。 （1）甲先走 7 格 （2）乙走 a 格，
甲就拿 8-a 个必胜
4. 5 张扑克牌，每人每次只能拿 1 张到 4 张。谁取最后一张谁输。必 胜的策略是什么？ 分
析：先拿 4 张，留给别人 1 张就行。
5. 现有 1000 根火柴，甲乙两人轮流去拿，每人每次最少拿 1 根，最 多拿 7 根，谁取最后
一根谁输。试问：先拿获胜，还是后那获胜? 怎么拿法？ 分析： （1000-1）÷（1+7）=124??7
有余数，先拿必胜。 （1）甲先拿 7 个； （2）乙拿 a 个，甲就拿 8-a 个
6. 有两堆火柴， 每堆都有 36 根。 两人轮流从两对里的其中一堆里拿， 拿的根数不限。谁拿
到最后的部分谁获胜。那么谁将必胜？获胜 的策略是什么？ 分析：后拿者必胜 先拿的人从一
堆中拿几根，后拿的人就从另外一堆中拿几根
7. 有两堆火柴，其中一堆都有 25 根，另一堆有 38 根火柴。两人轮 流从两对里的其中一堆
里拿，拿的根数不限。谁拿到最后的部分 谁获胜。那么谁将必胜？获胜的策略是什么？ 分析：
先拿者必胜 甲先从 38 根的一堆中拿出 13 根，留给对方相同的两堆火柴。接 着乙从一堆中
拿几根，甲就从另外一堆中拿几根。
8. 桌上有 30 根火柴，两人轮流从中拿取，规定每人每次可取 1～3 根，且取最后一根者为
赢。问：先取者如何拿才能保证获胜？ 答： （30÷4=7…..2,先取 2 根，与对手凑 4 即可）
9. 甲、乙二人轮流报数，甲先乙后，每次每人报 1～4 个数，谁报到第 888 个数谁胜。谁 将
获胜？怎样获胜？ 答： （甲胜。甲先报 3 个数，以后每次与乙合报 5 个数即可获胜。 ）
10. 1111 个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次 移
动 1～7 格。 规定将棋子移到最后一格者输。 甲为了获胜， 第一步必须向右移多少格？ 答：
（1111-1）÷（1＋7）＝138??6，所以甲第一步必须移 5 格，还剩下 1105 格，1105 是 8 的
倍数加 1。以后无论乙移几格，甲下次移的格数与乙移的格数之和是 8，甲就必胜。 因为甲移
完后，给乙留下的空格数永远是 8 的倍数加 1。
11. （1）有两对火柴，每堆都有 97 根。两人轮流从两对里的其中一堆里拿，拿的根数不限。
谁拿到最后的部分谁获胜。那么谁将必胜？获胜的策略是什么？ （2）分别装有 63,108 个球
的两个箱子，两人轮流从任一箱中取球，取得球数不限。规 定取得最后球者胜，谁有必胜的策
略？怎么获胜？ 答： （1）后拿必胜。策略是先拿的人从一堆中拿几根，后拿的人就从另外一
堆中拿几根。 （2）先拿必胜。策略是后拿的人从 108 个球中拿走 45 个球，留给对方相同的
两堆球。 接下来策略同上。
12. 黑板上写着一排相连的自然数 1，2，3，…，51。甲、乙两人轮流划掉连续的 3 个数。 规
定在谁划过之后另一人再也划不成了， 谁就算取胜。 问： 甲有必胜的策略吗？ 答：甲先划，
把中间 25，26，27 这三个数划去，就将 1 到 51 这 51 个数分成了两组，每 组有 24 个数。
这样，只要乙在某一组里有数字可划，那么甲在另一组里相对称的位置上 就总有数字可划。因
此，若甲先划，且按上述策略去进行，则甲必能获胜。
13. 在纸上写有一行或若干行 “—” 号， 甲乙两人轮流将其中一个或相邻的两个 “—” 号改成
“+”号，谁能修改到最后一个“—”号，谁就获胜。如果开始时： （1）有 11 个“—”号 （2）有 10
个“—”号 规定甲先修改，请问谁有必胜的策略。
答： （1）甲必胜。甲先将最中间的一个—变成+，以后乙在哪里改成+，甲在对称的位置改 成
+即可。 （2）甲必胜。甲先将最中间的两个—变成+，以后乙在哪里改成+，甲在对称的位置改
成+即可。