二次函数的解析式
二次函数解析式的求法
二次函数解析式的求法二次函数是一种形如y=ax+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0。
要求二次函数的解析式，需要掌握以下几个步骤：1. 求出a、b、c的值，这可以通过函数的已知点、导数或根的信息来确定。
2. 根据一般式y=ax+bx+c或顶点式y=a(x-h)+k，选择其中一种形式。
3. 将a、b、c的值代入选择的形式中，得到最终的解析式。
具体求法如下：1. 已知点求解析式如果已知二次函数通过两个点(x1,y1)和(x2,y2)，可以利用这两个点的坐标和函数的一般式来求解析式。
我们可以将两个点的坐标带入一般式中，得到以下两个方程：y1=ax1+bx1+cy2=ax2+bx2+c将两个方程联立，消去c，得到：a=(y2-y1)/(x2-x1)b=(y1x2-y2x1)/(x2-x1)将a、b的值带入一般式y=ax+bx+c中，得到最终的解析式。
2. 已知导数求解析式二次函数的导数为y'=2ax+b，如果已知导数，可以通过求导数反推出a和b的值，然后代入一般式或顶点式中求解析式。
例如，当已知函数f(x)=2x+4x+1的导数为f'(x)=4x+4时，可以根据导数的定义得到a=2，b=4，然后代入一般式y=2x+4x+c中，用已知点的坐标求解c，得到最终的解析式。
3. 已知根求解析式如果已知二次函数的两个根x1和x2，可以根据根的定义得到(x-x1)(x-x2)=0，将它展开得到x-(x1+x2)x+x1x2=0，然后用已知点的坐标求解a、b、c，最后代入一般式或顶点式中求解析式。
例如，当已知函数f(x)=x+2x-3的两个根为-3和1时，可以利用(x+3)(x-1)=0得到x+2x-3=0，根据二次函数的一般式得到a=1，b=2，c=-3，然后代入一般式y=x+2x-3中即可得到最终的解析式。
总之，求二次函数解析式需要根据不同的已知信息选择合适的求解方法，掌握这些方法可以更加轻松地解决二次函数的相关问题。
二次函数的几种解析式及求法解读
的图像如图所示，
评析：
刚才采用一般式、顶点式和交点式求解， 通过对比可发现用顶点式和交点式求解比用 一般式求解简便。同时也培养学生一题多思、 一题多解的能力，从不同角度进行思维开放、 解题方法开放的培养。注重解题技巧的养成 训练，可事半功倍。
2、将抛物线 向左平移4个单位， 再向下平移3个单位，求平移后所得抛物线的解析式。 解法：将二次函数的解析式 转化为顶点式得： (1)、由 向左平移4个单位得： （左加右减）
2、已知二次函数与x 轴的交点坐标为（-1，0）, （1，0），点（0，1）在图像上，求其解析式。
解：设所求的解析式为
∵抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0） ∴ ∴ 又∵点（0，1）在图像上， ∴ ∴ a = -1 ∴ 即：
四、尝试练习
4、将二次函数 的图像向右平移1个单位， 再向上平移4个单位，求其解析式。 解：∵ 二次函数解析式为
1 2 所求的解析式为： y ( x 2) 1 3
(3)图象与X轴交于(2,0) (-1,0)且过点(0,-2)
解法(一)可设一般式 解法(二)可设交点式
解:∵抛物线与X轴交于点(2,0)(-1,0) ∴设解析式为:y=a(x-2)(x+1) 把点(0,-2)代入 a(0-2)(0+1)=-2 解得 a=1 ∴y=(x-2)(x+1) 即:y=x2-x-2
二次函数的几种解 析式及求法
二次函数解析(常见的三种表示形式)
(1)一般式
2 y ax bx c(a 0)
2 n(a 0)顶点坐标（ y a ( x m ) m, n) (2)顶点式
(3)交点式 y a( x x 1 )( x x 2 )( a 0)
求二次函数解析式的三种方法
求二次函数解析式的三种方法一、已知任意三点求解析式用一般式，即2(0)y ax bx c a =++≠。
方法是：把三点坐标分别代入一般式，得到关于a 、b 、c 的三元一次方程组，求出a 、b 、c 的值，即可得到二次函数的解析式。
例1、如图，抛物线经过A 、B 、C 三点，顶点为D ，且与x 轴的另一个交点为E ，求抛物线的解析式x分析：观察图像，点A 、B 、C 、E 的坐标已知，在其中任选三点，将它们的坐标代入一般式，即可求出抛物线的解析式解：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，由图像可知，抛物线经过点A （-1，0）、B （0，3）、C （2，3）三点，所以03423a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以抛物线的解析式为23y x x =-++二、已知顶点或最大（小）值求解析式用顶点式，即2()(0)y a x h k a =-+≠方法是：先将顶点坐标（h ，k ）或最大（小）值代入顶点式，再把另一点的坐标代入求出a ，即可得抛物线的解析式例2、已知二次函数2y ax bx c =++的顶点为（-2，1），且过点（2，7），求二次函数的解析式分析：本题提供的是一般式，若用一般式求解比较繁琐，若设顶点式，则只需求一个待定系数即可。
解：设二次函数为2(2)1y a x =++，把点（2，7）代入解析式，得27(22)1a =++，解得12a =，所以二次函数的解析式为21(2)12y x =++，即21212y x x =++ 三、已知与x 轴两交点坐标求解析式用交点式，即12()()(0)y a x x x x a =--≠ 方法是：将抛物线与x 轴两个交点的横坐标1x 、2x 代入交点式，然后将抛物线上另一点的坐标代入求出a，即可得抛物线的解析式例3、已知变量y是x的二次函数，且函数图像如图，在x轴上截得的线段AB长为4个单位，又知函数图像顶点坐标为P（3，-2），求这个函数的解析式分析：因为函数图像在x轴上截得的线段AB长为4个单位，且函数图像顶点坐标为P （3，-2），根据图像可知，图像与x轴的两个交点的坐标分别为A（1，0）、B（5，0），然后利用交点式即可求出二次函数的解析式解：因为函数图像顶点坐标为P（3，-2），在x轴上截得的线段AB长为4个单位，所以抛物线与x轴的交点分别为A（1，0）、B（5，0），设所求二次函数解析式为(1)(5)y a x x=--。
二次函数解析式的求解
二次函数解析式的求解二次函数的解析式有以下三种表示法：1、 一般式：2,(0)y ax bx c a =++≠ 此种表示法适合于我们知道函数图像上的三点，把三点的坐标代入上式，联接待定系数从而求得函数的解析式。
例1已知二次函数经过(1,2),(2,3),(3,4)A B C 三点，求此二次函数的解析式。
2、 顶点式：2(),(0)y a x m k a =++≠，其中点(,)m k -为二次函数的顶点。
此种表示法适合于知道它的顶点和图像上的另外一点，此时把顶点代入上式，只剩下一个未知系数，此时再把我们知道的另外一点代入，从而求出解析式。
例2已知二次函数的顶点为(4,5)M ，且函数图像经过点(6,8)A ，求此二次函数的解析式。
3、交点式：12()(),(0)y a x x x x a =--≠例3已知函数经过(1,0),(1,0),(3,4)A B C -三点，求此解析式。
特殊的二次函数：1、函数的顶点是坐标系的原点：2(0)y a x a =≠，例如我们学过的函数：221,22y x y x ==，此类函数图像的对称轴是y 轴。
例4已知二次函数图像的顶点是坐标系的原点，且函数图像经过点(2,1)A ,求此二次函数的解析式。
2、函数的顶点在y 轴上：2,(0)y ax c a =+≠，例如我们学过的函数：221y x =+，此类函数图像的对称轴也是y 轴。
例5已知二次函数图像的顶点在y 轴上，且函数经过点(2,1),(3,4)A B ,求此二次函数。
3、函数图像经过原点：2,(0)y ax bx a =+≠例如函数：224y x x =+。
例6已知二次函数经过原点，且过点(3,0),(3,4)A B -,求此二次函数。
例题分析例7如图，已知抛物线与x 交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y 轴交于点B(0，3)。
（1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积； （3）△AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。
二次函数解析式和表达式的区别
二次函数解析式和表达式的区别摘要：1.二次函数解析式的定义和表达式的定义2.二次函数解析式和表达式之间的区别3.二次函数解析式和表达式在实际问题中的应用4.如何从实际问题中得出二次函数的解析式和表达式正文：在数学中，二次函数解析式和表达式是常用的表示二次函数的方式，但它们之间存在着明显的区别。
首先，我们来了解一下二次函数解析式和表达式的定义。
二次函数解析式是指用字母表示二次函数的关系式，通常形式为y=ax+bx+c（a、b、c为常数），它直接揭示了自变量x与因变量y之间的关系。
而二次函数表达式则是指用数值表示二次函数的方式，它通常是通过将二次函数解析式中的字母换成数值来实现的。
其次，二次函数解析式和表达式之间的区别在于，解析式强调的是函数的关系，而表达式强调的是函数的值。
例如，对于二次函数y=ax+bx+c，当我们知道a、b、c的值后，就可以通过解析式计算出y与x的关系。
而表达式则直接给出了函数在不同x值下的y值，便于我们进行数值计算和图形绘制。
在实际问题中，二次函数解析式和表达式都有广泛的应用。
例如，在物理中，二次函数解析式可以用来表示物体的运动轨迹，而表达式则可以用来计算物体的位置、速度和加速度等物理量。
在工程中，二次函数解析式和表达式常用于建模和优化问题，如曲线拟合、参数估计等。
那么，如何从实际问题中得出二次函数的解析式和表达式呢？一般来说，我们可以通过以下步骤：1.分析实际问题，找出其中的数学关系。
例如，在物体运动问题中，我们可以通过测量物体的位移、时间等数据，找出位移与时间的关系。
2.建立二次函数模型。
根据实际问题中的数学关系，我们可以建立二次函数模型，如y=ax+bx+c。
3.利用已知数据求解二次函数参数。
将实际问题中的数据代入二次函数模型，通过最小二乘法等方法求解出a、b、c等参数。
4.得出二次函数的解析式和表达式。
在求解出二次函数参数后，我们就可以得到二次函数的解析式和表达式。
总之，二次函数解析式和表达式是表示二次函数两种常见的方式，它们在实际问题中有着广泛的应用。
十种二次函数解析式求解方法
十种二次函数解析式求解方法二次函数是一个形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数且a不为0。
解析式是一种表示函数的方式，它可以用来求解函数的性质和方程的解。
下面是十种二次函数解析式求解方法：1. 一般式：二次函数的一般式为y = ax^2 + bx + c。
通过将函数写成一般式，可以快速识别出a、b和c的值，进而求解一些重要的性质，如顶点、轴对称线、开口方向等。
2.标准式：二次函数的标准式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点的坐标。
通过将一般式转化为标准式，可以直观地找出顶点的坐标及与x轴的交点。
3.因式分解：有时候，二次函数的解析式可以通过因式分解的方式得到。
例如，对于函数y=x^2-5x+6，我们可以将其因式分解为y=(x-2)(x-3)，从而得到x=2和x=3是方程的解。
4.完全平方：如果二次函数的解析式可以表示为一个完全平方的形式，那么我们可以通过提取出完全平方的方式得到方程的解。
例如，对于函数y=x^2-4x+4，我们可以将其写成y=(x-2)^2的形式，从而得到x=2是方程的解。
5. 配方法：对于一般的二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过配方法将其转化为一个完全平方的形式。
通过配方法，我们可以找到一个常数k使得ax^2 + bx + c = a(x + p)^2 + k，从而得到方程的解析式。
6.求导方法：通过对二次函数求导，我们可以得到函数的导数。
导数可以帮助我们找到函数的最值点和切线，进而求解其他问题。
7.顶点公式：二次函数的顶点公式为(h,k)，其中h=-b/(2a)，k=f(h)。
通过顶点公式，我们可以快速找到二次函数的顶点，进而求解一些重要的性质。
8. 零点公式：二次函数的零点公式为x = (-b ± √(b^2 -4ac))/(2a)。
通过零点公式，我们可以求解二次函数的零点或解方程。
9. 判别式：二次函数的判别式为Δ = b^2 - 4ac。
求二次函数解析式几种常用方法
求二次函数的解析式的几种方法山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。
现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。
一、二次函数常见的三种表达式：（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()；（2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点；（3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。
二、利用待定系数法求二次函数关系式(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。
例1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式． 解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩ 解之得1,4,3,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以抛物线为243;y x x =-+-说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．(2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。
若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，，，则相当于方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而212()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为12()()(0)y a x x x x a =--≠．例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式．解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-．又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴(01)(03)3a +-=-． 解得1a =．因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即223y x x =--．说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号．(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0)例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。
求二次函数解析式的三种方法
求二次函数分析式的三种基本方法四川 倪先德二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。
娴熟地求出二次函数的分析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的分析式有三种基本形式：1、一般式： y=ax 2 +bx+c (a≠0)。
2、极点式： y=a(x － h) 2 +k (a ≠0) ，此中点 (h,k) 为极点，对称轴为 x=h 。
3、交点式： y=a(x － x 1 )(x － x 2) (a ≠ 0) ，此中 x 1 ,x 2 是抛物线与 x 轴的交点的横坐标。
求二次函数的分析式一般用待定系数法，但要依据不一样条件，设出适合的分析式： 1、若给出抛物线上随意三点，往常可设一般式。
2、若给出抛物线的极点坐标或对称轴或最值，往常可设极点式。
3、若给出抛物线与 x 轴的交点或对称轴或与 x 轴的交点距离，往常可设交点式。
研究问题，典例指津：例 1、已知二次函数的图象经过点( 1, 5), (0, 4) 和 (1,1) ．求这个二次函数的分析式．剖析：因为题目给出的是抛物线上随意三点，可设一般式 y=ax 2 +bx+c (a ≠ 0) 。
解：设这个二次函数的分析式为y=ax 2 +bx+c (a ≠ 0)a b c5a 2 依题意得： c4解这个方程组得：b 3 a bc 1c4∴这个二次函数的分析式为 y=2x 2 +3x － 4。
例 2、已知抛物线 y ax 2 bx c 的极点坐标为 (4, 1) ，与 y 轴交于点 (0,3) ，求这条抛物线的分析式。
分 析 ： 此 题 给 出 抛 物 线 y ax 2 bx c 的 顶 点 坐 标 为 (4, 1) ，最好抛开题目给出的y ax 2bx c ，从头设极点式y=a(x － h) 2 +k (a ≠ 0) ，此中点 (h,k) 为极点。
解：依题意，设这个二次函数的分析式为 y=a(x －4) 2 － 1 (a ≠ 0)又抛物线与 y 轴交于点 (0,3) 。
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二次函数的解析式
1 二次函数
二次函数是代数学中最基本的函数之一，它是一类多项式，其中
包括一个二次项和常数项。
而且它的取值运算也是代数学当中最为基
础的运算。
它有着多种形式的表达式和以及特殊的应用。
其解析式也
有许多的变形，像是“h(x) = ax² + bx + c”这样的也有。
2 二次函数的解析式
二次函数的解析式为“y = ax² +bx +c”，其中a、b、c都是常数。
如果a不等于0，那就可以把上面的式子表示成“y = a(x-h)² + k”，这里h = -b/2a，k = c-b²/4a，这就是二次函数的解析式。
二次函数的解析式是用来概括和表达二次函数的一种特殊形式。
它把复杂的表达式简化成更为容易求解的形式，从而让求解和解析变
得更为容易。
如果把上面的解析式画出来，一般会是一条曲线，而且
处在这个曲线上的任一点都可以被表示为“y= ax²+bx+c”这样的形式。
3 应用
二次函数有着广泛的应用，它们可以用来描述某一种对称性客观
现象并对其作出模型。
比如自然现象中的一些动力学方面的问题，像
自由落体、抛体、算法等等；还有经济社会发展的规律，像货币流动、资本积累等都可以用二次函数来模拟。
总而言之，二次函数的解析式为“y=ax²+bx+c”，这是一种容易求解的形式，当我们遇到平面上有对称性的物理现象时可以试着运用它来解决问题。
它的应用也是许多方面的，比如力学、经济等等，而它也实在是几何学中最基本的函数之一，也是我们走向数学高手之路必须掌握的知识点之一。